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高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件

9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．

【新人教A版】高中数学选修4-5课件(全套)

a b 0 a b; a b 0 a b;a b 0 a b. 4
问题
上述结论是用类比的方法得到的，它们一定是正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
5
注意
1、注意公式成立的条件，要特别注意 “符号问题”; 2、要会用自然语言描述上述基本性质； 3、上述基本性质是我们处理不等式问题的理论基础。
（1）1-x （2）x(1-x)
解题回顾：同向不等式可以做加法运算，异向不等式可以做减法运算。当同向不等式两边都为正时，可以做乘法运算。本题常见的错误是将取值范围扩大。
变式:设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的
取值范围.
10
例5、已知 1 a 0, A 1 a2 , B 1 a2 ,C 1 , D 1 ,
44
定理设
a1, a2 , a3,..., an , b1, b2 , b3,..., bn 是实数，则
(a12 a22 ... an2 ) (b12 b22 ... bn2 ) (a1b1 a2b2 ... anbn )2
当且仅当立。
b 0 (i=1,2,…,n) 或存在一个数k使得 i
24
【典型例题】
例3、比较以下两个实数的大小：
(1)1618与1816; (2)
1
与2 n (n N* )
n1 n
（3）比较aa bb和ab ba的
【解题回顾】本题的解答关键在于选择合适的方法.
25
作商比较法：作商——变形——与1比较大小．大多用于比较幂指式的大小．
26
练习
1、若m 0,比较mm与2m的大小
2、选择题：已知 a b ，在以下4个不等式中正确的是：

(精品)1.0《_不等式和绝对值不等式》课件(新人教选修4-5)

a1 a2 n
an n a1a2
an ,
当且仅当a1 a2 an时，等号成立。
例 1求函数 y x 2 (1 5 x)(0 x 1 )的最值。
5
解下：面y 的解 5 x法 2 (对 2 吗2？ x) 5 x x( 2 2 x),
y124x x5(15x)21(4x5 x15x)3 1 ,
2a
2a
所以a2c+c3 >2a3即a3-c3+a3-a2c<0，(a-c)(2a2+ac+c2)<0
因为a>0,b>0,c>0，所以2a2+ac+c2>0，故a-c<0,即a<c.
从而a<c<b。当b-c=0，即b=c时，因为bc>a2，
所以b2>a2，即b≠a。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0，所以a=b，
3、培养学生的数感，渗透数形结合的思想。
重点:
不等式的解集的表示；不等式的性质和解法；不等式的性质和解法.在实际问题中建立一元一次不等式的数量关系；绝对值三角不等式的理解及应用；使学生掌握含绝对值的一次不等式的解法，并用数形结合方法加深对解法的理解；含绝对值不等式的解法。
难点:
不等式解集的确定；不等号方向的确定；根据实际问题建立一元一次不等式；绝对值三角不等式的代数证明；理解绝对值的几何意义。
b
AB=a；在正方形 CEFG中，EF=b.
B
J
a
C
E
b
则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.
S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形，此时有 a2+b2=2ab。

人教数学选修4-5全册精品课件

不等式的综合应用不等式的应用主要体现在两大方面：一是不等式作为一种重要工具在研究解答数学学科本身有关问题及其他学科有关问题方面的应用；二是解决现实生活、生产及科学技术领域中的实际问题．
不等式应用主要是：利用不等式求函数的定义域、值域；利用不等式求函数最大值、最小值；利用不等式讨论方程根及有关性质；利用不等式解应用题．
1 则 f(x)＝ (1－t2)， 2 1 2 ∴y＝f(x)＋ 1－2fx＝ (1－t )＋t 2 1 1 1 ≤ t ≤ ＝－ (t－1)2＋1 . 2 2 3 1 1 ∵在 t∈ ，上函数 y 是增函数， 2 3 1 7 ∴当 t＝时，y 有最小值为， 3 9 1 7 当 t＝时，y 有最大值为 . 2 8
例4
【思路点拨】首先应根据函数单调性去掉函数符号，转化为关于 sinx的不等式恒成立问题．【解】 ∵f(x)在(－∞，1]上是减函数，
∴k－sinx≤k2－sin2x≤1.
假设存在实数k符合题设．
∵k2－sin2x≤1即k2－1≤sin2x对一切x∈R恒成立，且sin2x≥0， ∴k2－1≤0，－1≤k≤1.①
本讲优化总结
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知识体系网络
专题探究精讲
讲末综合检测
知识体系网络
专题探究精讲
柯西不等式证法一构造二次函数(ai≠0，i＝1,2，„，n) 2 2 2 f(x ) ＝ (a 1 ＋a2 ＋„＋an )x2 － 2(a1b1 ＋ a2b2 ＋ „ ＋ 2 2 anbn)x＋(b2 ＋ b ＋„＋ b 1 2 n)． ∵ f(x)＝ (a1x－b1)2＋ (a2x－ b2)2＋„＋ (anx－ bn)2≥0， 2 2 ∴ Δ ＝ 4(a1b1 ＋ a2b2 ＋„＋ anbn)2 － 4(a 1 ＋a2 ＋„＋ 2 2 2 2 an )· (b1 ＋b2 ＋„＋bn )≤0. 2 2 2 ∴ (a1b1＋ a2b2＋„＋ anbn)2≤(a2 ＋ a ＋„＋ a )( b 1 2 n 1＋ 2 2 b2＋„＋bn)．

高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式二2.绝对值不等式的解法2

(3)若不等式的解集为∅，m 只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即 m≥1，m 的取值范围为[1，＋∞)．
法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋ 2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. (1)若不等式有解，则 m∈(－∞，1)． (2)若不等式解集为 R，则 m∈(－∞，－1)． (3)若不等式解集为∅，则 m∈[1，＋∞)．
法三：原不等式的解集就是 1<(x－2)2≤9 的解集，即
x－22≤9， x－22>1，
解得－x<11≤或xx≤>35，，
∴－1≤x<1 或 3<x≤5.
∴原不等式的解集是[－1,1)∪(3,5]．
(2)由不等式|2x＋5|>7＋x，
可得 2x＋5>7＋x 或 2x＋5<－(7＋x)，
整理得 x>2 或 x<－4.
∴原不等式的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
(3)①当 x2－2<0 且 x≠0，即－ 2<x< 2，且 x≠0 时，原不等式显然成立． ②当 x2－2>0 时，原不等式可化为 x2－2≥|x|，即|x|2－|x|－2≥0， ∴|x|≥2，∴不等式的解为|x|≥2，即 x≤－2 或 x≥2. ∴原不等式的解集为(－∞，－2]∪(－ 2，0)∪(0， 2)∪[2，＋∞)．
法三：将原不等式转化为|x＋7|－|x－2|－3≤0，构造函数 y＝|x＋7|－|x－2|－3，
即 y＝－2x＋12，2，x－＜－7≤7，x≤2， 6，x＞2.
作出函数的图象，由图可知，当 x≤－1 时，有 y≤0，即|x＋7|－|x－2|－3≤0， ∴原不等式的解集为(－∞，－1]．

高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质

探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1
−
a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作

人教版高中数学选修4-5-不等式选讲(绝对值不等式)ppt课件

x 3、解不等式|x＋3|－|2x－1|＜＋1. 2
x 解 ①当 x＜－3 时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜＋1，解得 x＜10， 2 ∴x＜－3. 1 x 2 ②当－3≤x＜时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜＋1，解得 x＜－， 2 2 5 2 ∴－3≤x＜－ . 5 1 x ③当 x≥ 时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜＋1，解得 x＞2，∴x＞2. 2 2 2 综上可知，原不等式的解集为xx＜－5，或x＞2 .
第三节
绝对值不等式
[最新考纲] 1．理解绝对值的几何意义；理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，并了解其等号成立的条件；能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式． 2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法．
1．绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤ |a|＋|b| ，当且仅当时，等号成立； ab≥0 (2)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤ ， |a－b|＋|b－c| 当且仅当时，等号成立． (a－ b)(b－c)≥0 (3)性质： ________≤| a±b|≤________；
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
法三：(数形结合法)将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.
－2x－6，x≤－2，令 f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则 f(x)＝－2，－2＜x＜1， 2x－4，x≥1.
作出函数的图像，如图所示．
由图像可知，当 x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
|a|－|b| |a|＋|b|

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所以f(x)>g(x).
答案:f(x)>g(x)
2.若x,y均为正实数,判断x3+y3与x2y+xy2的大小关系. 【解析】x3+y3-x2y-xy2
=x2(x-y)-y2(x-y)
=(x2-y2)(x-y)=(x-y)2(x+y),
因为x>0,y>0, 所以(x-y)2y+xy2.
n
a >
n
b
【即时小测】 1.若a<b<0,则下列结论不正确的是 ( )
A.a2<b2
B.ab<a2
b a C. 2 A.因为a<b<0, D.| a | |0<-b<-a, b || a b | 【解析】选所以 a b
故B,C,D都正确,A错误.
2.下列不等式: (1)x2+3>2x(x∈R).
(2)要判断一个命题为假命题,或者举反例,或者由题中
条件推出与结论相反的结果.其中,举反例在解选择题时用处很大.
2.运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项 (1)倒数法则要求两数同号.
(2)两边同乘以一个数,不等号方向是否改变要视此数
的正负而定. (3)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.
【归纳总结】 1.符号“⇒”和“⇔”的含义
“⇒”与“⇔”,即推出关系和等价关系,或者说“不
可逆关系”与“可逆关系”,这要求必须熟记和区别不同性质的条件.
2.性质(3)的作用它是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以
把它从一边移到另一边.即a+b>c⇒a>c-b.性质(3)是可
逆的,即a>b⇔a+c>b+c.
3.不等式的单向性和双向性性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆
的.
4.注意不等式成立的前提条件不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然
成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的
正负,乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N,且n≥2” 都需要注意.
类型一
作差法比较大小
(2)a5+b5≥a3b2+a2b3(a,b∈R).
(3)a2+b2≥2(a-b-1).其中正确的个数 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )
【解析】选C.因为x2+3-2x=(x-1)2+2>0, 所以(1)正确;a5+b5-(a3b2+a2b3)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a-b)2(a+b)(a2-ab+b2)正负不确定,
故不正确.
(4)因为a- 1 <b- 1 ,且a>0,b>0, b a 所以a2b-b<ab2-a⇒a2b-ab2-b+a<0,
⇒ab(a-b)+(a-b)<0⇒(a-b)(ab+1)<0,
所以a-b<0,即a<b,正确.
【方法技巧】
1.利用不等式的性质判断命题真假的技巧
(1)要判断一个命题为真命题,必须严格证明.
所以(2)不正确;a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0. 所以(3)正确.
【知识探究】探究点不等式的基本性质
1.若a>b,c>d,那么a-c>b-d吗?
提示:不一定成立,同向不等式具有可加性,但不具有可减性. 如2>1,5>1,但2-5>1-1不成立.
2.若a>b,c>d,一定有ac>bd吗? 提示:不一定,如a=-1,b=-2,c=-2,d=-3时就不成立.
【变式训练】1.下列命题中正确的是_________
.
①若a>b>0,c>d>0,那么
a b ; d -b). c ②若a,b∈R,则a2+b2+5≥2(2a
【典例】设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小. 【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什么?
提示:常用作差比较法.
【解析】因为x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4)
=(m-n)m3-n3(m-n)
=(m-n)(m3-n3)
=(m-n)2(m2+mn+n2)
n 2 3 2 m n [(m ) n ], 2 4
类型二
不等式性质的简单应用
【典例】判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)a>b>0,则
1 1 . (2)c>a>b>0,则 a b a b . (3)若 ,则cad>bc. a cb a b (4)设a,b 为正实数,若a- <b- ,则a<b. ＞ c d 1 1 a b
【解题探究】判断上述每个命题真假的关键是什么? 提示:关键是利用不等式的性质或者举反例进行判断.
第一讲
不等式和绝对值不等式
一
不
等式
1.不等式的基本性质
【自主预习】 1.两个实数a,b的大小关系
a-b>0 a-b=0 a-b<0
2.不等式的基本性质 (1)对称性:a>b⇔____. b<a (2)传递性:a>b,b>c⇒____. a>c (3)可加性:____⇔a+c>b+c. a>b
(4)可乘性:如果a>b,c>0,那么______; ac>bc 如果a>b,c<0,那么______. ac<bc (5)乘方:如果a>b>0,那么an__bn(n∈N,n≥2). > (6)开方:如果a>b>0,那么 __ (n∈N,n≥2).
【解析】(1)因为a>b>0,所以a>b两边同乘以 1 ab 得 1 1 得 1 > 1 ,故正确. a ＞b ， b a ab ab (2)因为c-a>0,c-b>0,且c-a<c-b 所以
1 1 ＞又a>b>0, c a 所以 cb a b ＞ ca cb
>0, ,正确.
(3)由 a b ,所以 a b >0, ＞ c d c d ad bc＞0， ad bc＜0， ad bc 即＞0，所以或＞0，且cd<0, cd 且cd>0或即ad>bc ad<bc cd cd＜0.
2
又m≠n,所以(m-n)2>0, 因为
n 2 3 2 [(m ) n ] 0, 2 故x>y. 4 所以x-y>0,
【方法技巧】作差比较法的四个步骤
【变式训练】 1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大
小关系是_________.
【解析】f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1) =x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,