【十年高考(理数)2010-2019】六 数列 第十七讲 递推数列与数列求和(附答案)

∴ Sn
= na1 +
n(n −1) × d 2
=
n(n +1) ，所以 1
2
Sn
=
2 k(k +1)
= 2( 1 k
− 1 )， k +1
2 千里之行始于足下
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∑n
所以
1 = 2[(1− 1) + (1 − 1) + ⋅⋅⋅ + (1 −
1
)] = 2(1−
1
) = 2n ．
S k =1 k
10．（2012
福建）数列{an} 的通项公式 an
=
n cos
nπ 2
+1 ，前 n 项和为 Sn ，则
S2012 =___________．
三、解答题
11．（2018 浙江）已知等比数列{a1} 的公比 q > 1 ，且 a3 + a4 + a5 = 28 ， a4 + 2 是 a3 ， a5 的等差中项．数列{bn}满足 b1 = 1，数列{(bn+1 − bn )an} 的前 n 项和为 2n2 + n ．
所以数列{an} 是以 −1为首项，2 为公比的等比数列，所以 an = −2n−1 ，
所以
S6
=
−1× (1− 1− 2
26 )
=
−63
．
4．
2n n +1
【解析】设等差数列的首项为
a1 ，公差为
d
，则
a1 + 2d = 3
4a1
+
4
× 2
3
d
，
= 10
解得 a1 = 1， d = 1 ，
（Ⅱ）设数列{cn} 满足 c1
= 1, cn
=
1, bk
2k ,n =
&l+1 ,
其中
k
∈
N*
.
{ ( )} （i）求数列 a2n c2n −1 的通项公式；
∑ ( ) 2n
（ii）求 aici n ∈ N* .
i =1
2010-2018 年
一、选择题
1．（2013
{ } 大纲）已知数列 an 满足 3an+1
8．（1） − 1 16
，（2）
11 3 ( 2100
− 1)
【解析】(1)∵ Sn
=
(−1)n an
−
1 2n
．
n = 3 时，a1＋a2＋a3＝－a3－18
①
n = 4 时，a1＋a2＋a3＋a4＝a4－116，∴a1＋a2＋a3＝－116. ②
所以 S6 = −1− 2 − 4 − 8 −16 − 32 = −63 ．
优解 因为 Sn = 2an + 1 ，所以当 n = 1 时， a1 = 2a1 +1，解得 a1 = −1 ， 当 n ≥ 2 时， an = Sn − Sn−1 = 2an +1− 2an−1 −1 ，所以 an = 2an−1 ，
(1)求 q 的值；
(2)求数列 {bn } 的通项公式． 12．(2018 天津)设{an}是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Sn (n ∈ N∗ ) ，{bn}是等差
数列．已知 a1 = 1， a3 = a2 + 2 ， a4 = b3 + b5 ， a5 = b4 + 2b6 ． (1)求 {an } 和 {bn } 的通项公式； (2)设数列{Sn} 的前 n 项和为Tn (n ∈ N∗ ) ，
} { 8．（2013 湖南）设 Sn 为数列
an
的前
n
项和，
Sn
=
(−1)n an
−
1 2n
,n∈
N∗,
则
（1） a3 = _____；
（2） S1 + S2 + ⋅⋅⋅ + S100 = ___________．
9．（2012 新课标）数列{an} 满足 an+1 + (−1)n an = 2n − 1，则{an} 的前 60 项和为 ．
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专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和
2019 年
1. （ 2019 天 津 理 19 ） 设 {an} 是 等 差 数 列 ， {bn} 是 等 比 数 列 . 已 知
a1 = 4, b1 = 6 ，b2 = 2a2 − 2,b3 = 2a3 + 4 .
（Ⅰ）求{an} 和{bn} 的通项公式；
n
，有
1
a1 (a1
+
1)
+
a2
1
(a2
+
1)
+Λ
an
1
(an
+
1)
<
1 3
.
18．（2013 湖南）设 Sn 为数列{ an }的前项和，已知 a1 ≠ 0 ，2 a n −a1 = S1 • Sn ， n ∈N ∗
(Ⅰ)求 a1 ， a2 ，并求数列｛ an ｝的通项公式；
(Ⅱ)求数列｛ nan ｝的前 n 项和．
数是 100.
3． −63 【解析】通解 因为 Sn = 2an + 1 ，所以当 n = 1 时， a1 = 2a1 +1，解得 a1 = −1 ；
当 n = 2 时， a1 + a2 = 2a2 +1，解得 a2 = −2 ；
当 n = 3 时， a1 + a2 + a3 = 2a3 +1 ，解得 a3 = −4 ；
当 n = 4 时， a1 + a2 + a3 + a4 = 2a4 +1 ，解得 a4 = −8 ；
当 n = 5 时， a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 2a5 +1，解得 a5 = −16 ；
当 n = 6 时， a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2a6 +1，解得 a6 = −32 ．
（Ⅰ）求 b1 ， b11 ， b101 ；
（Ⅱ）求数列{bn}的前1 000 项和．
15．（2015 新课标Ⅰ） Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 an > 0 ， an2 + 2an = 4Sn + 3
（Ⅰ）求 {an } 的通项公式：
（Ⅱ）设 bn
=
1 anan+1
，求数列{bn}的前 n 项和．
1 Sn
= (−1) + (n −1)(−1)
=
−n ，所以 Sn
=
−
1 n
．
6．
20 11
【解析】由题意得： an
= (an
− an−1) + (an−1
− an−2 ) + K
+ (a2
− a1) + a1
= n + n −1 + L + 2 + 1 = n(n + 1) 2
所以 1 an
=
2( 1 n
∑ ∑ ∑ ∑ ( ) 2n
2n
2n
2n
( ) （ii） aici = ai + ai ci −1 = ai + a2i c2i −1
i =1
i =1
i =1
i =1
( )
2n 2n −1 n
∑( ) = 2n × 4 +
×3 + 9× 4i −1

2
i=1
( ) ( ) =
−
n
1 +
), 1
Sn
= 2(1 −
1 )= n +1
2n n +1
,
S10
=
20 11
．
7．【解析】当
n
=1
时，
a1
=
S1
=
2 3
a1
+
1 3
，解得
a1
=1，
当
n
≥2
时，
an
=
Sn
−
Sn−1
=
2 3
an
+
1 3
－(
2 3
an−1
+
1 3
)=
2 3
an
−
2 3
an−1 ，即
an
=
−2an−1 ，
∴{ an }是首项为 1，公比为－2 的等比数列，∴ an = (−2)n−1 .
19．（2011
广东）设 b
>
0 ，数列{an} 满足 a1
=
b ， an
=
nban−1 an−1 + 2n − 2
(n
≥
2) ．
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数 n
， an
≤
bn+1 2n+1
+ 1.
4 千里之行始于足下
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专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和
16．（2015
广东）数列{an}满足： a1
+
2a2
+⋅⋅⋅+
nan
=
4
−
n+2 2n−1
，
n ∈ N* ．
（1）求 a3 的值；
（2）求数列{an}的前 n 项和Tn ；
（3）令 b1
=
a1