【人教A版】高中数学：必修2全集第四章4.1-4.1.2圆的一般方程
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新人教A版必修2高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程
圆的一般方程，其圆心为－D2 ，－E2，半径为
D2＋E2－4F
2
.
(2)当_D__2_＋__E_2－__4_F__＝__0__时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表
示点－D2 ，－E2. (3)当__D__2＋__E__2－__4_F__<_0___时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
不表示任何图形．
8
应用待定系数法求圆的方程 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心 的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待 定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆 的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
2．若不同四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)在同一 圆上，则实数a的值为________．
【答案】7
【解析】设经过 A，B，C 三点的圆的方程为 x2＋y2＋Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0(D2 ＋ E2 － 4F ＞ 0) ， 由 题 意 可 得
5－2＋152D－＋DF＋＝F0＝，0， －32＋32－3D＋3E＋F＝0.
D＝－4， 解得E＝－235，
F＝－5.
∴A，B，C
三点确定的圆的方程为 x2＋y2－4x－235y－5＝0.∵D(a,3)也在此 圆上，∴a2＋9－4a－25－5＝0，∴a＝7 或 a＝－3(舍去)．
圆的一般方程的求法
【例 2】 已知圆 C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线 x＋y－1＝0 上且圆心在第二象限，半径为 2，求圆的一般方程．
【解题探究】圆的一般方程中含有待定系数D，E，F，求 圆的一般方程即求这些待定系数的值．
【解析】圆心C－D2 ，－E2， 因为圆心在直线x＋y－1＝0上， 所以－D2 －E2－1＝0，即D＋E＝－2. ① 又r＝ D2＋2E2－12＝ 2，所以D2＋E2＝20. ② 由①②可得DE＝＝－2，4 或ED＝＝2－. 4， 又圆心在第二象限，所以－D2 <0，即D>0.所以ED＝＝－2，4. 所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
人教新课标A版高一数学《必修2》4.1.2 圆的一般方程
即三角形ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
典例精讲：与圆有关的轨迹问题 例4 已知点A(4,0)，P是圆x2＋y2＝1上的动点，求线段AP的中点M的
轨迹方程．
分析:求解动点的轨迹方程，关键是寻找动点M的横、纵坐标之间的 关系．
典例精讲：与圆有关的轨迹问题 解:
课堂练习
B
课堂练习
(2)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝0，表示点(－1，－1)． (3)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，表示圆．
合作探究 探究点1：二元二次方程表示圆的条件 规律：对二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，常通过“配方”来研 究其表示的图形.
(2)图形：
若D2＋E2－4F<0时，它不表示任何图形.
(3)
(4)
典例精讲：题型一：二元二次方程表示圆的条件 (4)解法2：配方法
变式训练 变式1:
答案
D
典例精讲：题型二：圆的一般方程与标准方程的互化 例2: 将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径． (1)x2＋y2＋4x－6y－12＝0；
(2)4x2＋4y2－8x＋4y－15＝0.
分析: 把一般方程化成标准方程常用配方法．
第四章 圆与方程
4.1 圆的方程 4.1.2 圆的一般方程
学习目标 1.了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(易错点)
2.会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单
问题．(重点)
3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法．(难点)
预习清单 知识点：圆的一般方程 圆的一般方程
2.方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0表示的图形( D ) A．是一个点 C．是一条直线 B．是一个圆 D．不存在
高中数学人教A版必修二第四章4.1.2 圆的一般方程课件
圆的一般方程
x2 y2 2x 4y 1 0
(x -1) 2 (y 2) 2 4 配
拆 平
x2 2x 1 y2 4y 4 4 方
方
x2 y2 2x 4y 1 0
看不见圆心、半径
提取圆心和半 径的必经之路
已知x2 y2 2x 6 y 2 0表示圆，
则它的圆心坐标为
，半径为
(2)没有xy这样的二次项.
(3) D2 E 2 4F 0
本节总结：圆的一般方程
方我突程们出x把2了+yD形22++式DEx上2+-E的4yF+特F＞=点00的时轨x2迹+y可2+能D是x+圆Ey、+F点=或0所无表轨示迹.的 圆的方程称为圆的一般方程.
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 明确指出了圆心和半径 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0
x2 y2 2x 6y 2 0
x2 2x 1 y2 6y 2 1 (x 1)2 y2 6 y 2 1
(x 1)2 (y2 6 y 9) 2 10 (x 1)2 (y 3)2 2 10 (x 1)2 (y 3)2 8
圆心（ -1，，3） 半径2 2
。 X配方 y配方
人民教育出版社 高中数学 高一 必修2
4.1.2 圆的一般方程
圆的标准方程: x a2 y bN2 o r2
• 圆心C(a,b),半径为r.
Image
(x -1) 2 (y 2) 2 4
22
No • 圆心C(1,2), •半径为2 Image
(x -1) 2 (y 2) 2No4 拆平方 Image
x2 y2 Dx Ey F 0
2018学年高中数学必修二人教A版课件：第四章4.1-4.1.2圆的一般方程 精品
[知识提炼·梳理]
1．圆的一般方程的概念 当 D2＋E2－4F>0 时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey ＋F＝0 叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－ 4F>0)表示的圆的圆心为_－__D_2_，__－__E2___，半径长为 __12__D_2_＋__E_2_－__4_F__．
D＝－6， 联立①②，解得
F＝0. 故所求圆的方程为 x2＋y2－6x＝0.
类型 3 求与圆有关的动点的轨迹(方程)
[典例 3] 等腰三角形的顶点是 A(4，2)，底边的一个 端点是 B(3，5)，求另一个端点 C 的轨迹方程，并说明它 的轨迹是什么．
解：设另一端点 C 的坐标为(x，y)． 依题意，得|AC|＝|AB|.
答案：C
3．如果方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 所表示的曲线关于 y＝x 对称，则必有( )
A．D＝E B．D＝F C．F＝E D．D＝E＝F 解析：由题知圆心－D2，－E2在直线 y＝x 上，即－E2 ＝－D2，所以 D＝E.
答案：A
4．若方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示以(2，－4) 为圆心，4 为半径的圆，则 F＝________．
1．任何一个圆的方程都可写成 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0 的形式，但方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的曲线 不一定是圆，只有 D2＋E2－4F>0 时，方程才表示圆心为 －D2，－E2，半径为 r＝12 D2＋E2－4F的圆．
2．在圆的方程中含有三个参变数，因此必须具备三 个独立条件才能确立一个圆．求圆的方程时是选用标准 方程还是一般方程的依据：当给出的条件与圆心坐标、 半径有关，或者由已知条件容易求得圆心和半径时，一 般用标准方程．当上述特征不明显时，常用一般方程， 特别是给出圆上三点，用待定系数法求圆的方程时，常 用一般式，这样得到的关于 D，E，F 的三元一次方程组， 要比使用标准的方程简便得多．
人教A高中数学必修二4.1.2 圆的一般方程
人教版高中数学必修2
4.1.2圆的一般方程
复习回顾:
1、圆的标准方程是什么？ 2、其中圆心的坐标和半径各是什么？
思考:
● 将圆的标准方程展开会得怎样 的式子？
思考:
● 将圆的标准方程展开会得怎样的式
子？
x a 2 y b 2r2
展开、整理
x 2 y 2 2 a 2 x b a y 2 b 2 r 2 0
22
2
另外：
⑵ 当 D2E24F0时，①式表示点( D , E )
22
⑶ 当 D2E24F0时，①式不表示图形.
圆的一般方程:
x2y2Dx E y F0
(D2E24F0)
其中：圆心为 ( D , E ) ，
22
半径为 1 D2 E2 4F 。
2
1. 求下列各方程表示的圆的圆心坐标 和半径长：
参变量简单化
x2y2Dx E y F0 ①
结论:
● 任何圆都可以（展开）用形如：
x2y2Dx E y F0
二元二次方程表示.
思考:
● 反之是否成立？
即：x2y2Dx E y F0
是否一定表示圆？
思考:
● 形如：x2y2Dx E y F0
的二元二次方程是否一定表示圆？
这个圆的半径长和圆心坐标。
同步练习：
1.求过三点 A (0,0),B (6,0),C (0,8)的圆的方 程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标。
所求圆的方程为：
x2y26x8y0
半径为 r1 D2E24F5 2
圆心为 3 , 4
结论：在使用待定系数法求圆方程时，何 时选择圆标准方程，何时选择圆的一般方 程？
高中数学 4.14.1.2圆的一般方程课件 新人教A版必修2
种形式的方程中的一种；②根据所给条件，列出关于 D， 栏
目
E，F 或 a，b，r 的方程组；③解方程组．求出 D，E，
链 接
F 或 a，b，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到
所求的圆的方程．
第二十七页，共39页。
跟踪 训练
2．(1)已知圆经过 A(2，－3)和 B(－2，－5)，若圆心 在直线 x－2y－3＝0 上，求圆的方程．
第十九页，共39页。
跟踪 训练
1．求出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)x2＋y2－6x＝0；
(2)x2＋y2＋2by＝0(b≠0)；
栏
目
(3)x2＋y2－2ax－2
3y＋3a2＝0－
6 2 <a<
26.
链 接
解析：(1)原方程化为(x－3)2＋y2＝32，因此该圆的圆 心为(3,0)，半径为 3.
第十四页，共39页。
栏 目 链 接
第十五页，共39页。
题型一 圆的一般方程的概念(gàiniàn)
例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心(yuánxīn)和
半径．
栏
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
目 链
接
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
第二十页，共39页。
跟踪 训练
(2)原方程化为 x2＋(y＋b)2＝b2(b≠0)，因此该
圆的圆心为(0，－b)，半径为|b|.
栏
目
(3)原方程化为(x－a)2＋(y－ 3)2＝3－2a2.因为
链 接
表示圆，所以 3－2a2>0，从而该圆的圆心为(a， 3)，
高中数学人教A版必修二4.1.2圆的一般方程课件
x2+y2-7x-3y+2=0. ( 3)“求经过点A(4,-5)，且与直线m：x-2y+4=0相切于 点B(-2,1)的圆的方程”，有哪一些方法？
(4-a)2+(-5-b)2=r2
(-2-a)2+(1-b)2=r2
b|a1a--(-+2-12b(-)+2=4)-2|2=r2
42+(-5)2+4D-5E+F=0
当当a当 当 a,,baba不,不,b同 b不同不时同时同 为时为0时 为时00为 时 时 , 0,, 时,
表表示表 表 示圆示圆 示心圆心 圆为心为心为 为 a,a0a,0, 半a ,,,半 径0半径 为径 , 半 为为a径 2a2为 ab22b的2a的 b圆22圆 的 . .b圆2
当当a当 当 a,,baba同,同,b时b同时同为时为时 0为时0为 0时,时0,,时,
(-2)2+12 -2D+E+F=0
-
-E2|-D2-D2(--1-122+)((-=-E22-2))2+4|
=
D2+E2 -4F 2
AB的中垂线：y-(-2)=1 (x-1) m的垂线：y-1=-2[x-(-2)]
L XZ XJY
例析
例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点
A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的
若设 2a D,2b E ,a 2 b2 r 2 F，则有 :
x 2 y 2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程。
2.下列二元二次方程各表示什么图形？由 此你能得到什么结论？
(1)x2+y2 -2x- 4y +1=0
人教A版高中数学必修二第4章 4.1 4.1.2 圆的一般方程
3－1.设定点 M(－3,4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动，以 OM、ON 为两边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹．
解：设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为2x，2y，
线段 MN 的中点坐标为x0－2 3，y0＋2 4， ∵平行四边形对角线互相平分，
∴22xy＝ ＝xy00－ ＋22 34
正解：∵方程表示一个圆，故 2m2＋m－1＝m2－m＋2， 即 m2＋2m－3＝0. 故 m＝1 或 m＝－3. 当 m＝1 时，原方程可化为 2x2＋2y2＝－3，不合题意；
当 m＝－3 时，原方程可化为 x2＋y2＝114，表示一个圆．
综上所述，m＝－3 即为所求．
4－1.已知点 P(1,2)在圆 C∶x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0 的外部， 则 k 的取值范围是( )
4．1.2 圆的一般方程
1．方程 x2＋y2＋2x－4y－6＝0 表示的图形是( D )
A．以(1，－2)为圆心， 11为半径的圆
B．以(1,2)为圆心， 11为半径的圆
C．以(－1，－2)为圆心， 11为半径的圆
D．以(－1,2)为圆心， 11为半径的圆
2．圆 x2＋y2－2x＋2y＝0 的周长是( A )
A．k∈R
B．k＜2 3 3 C．－2 3 3＜k＜0 D．－2 3 3＜k＜2 3 3
解析：∵x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0 表示圆，
∴k2＋4－4k2＞0，即
k2＜43，∴－2
3
32 <k<
3
3 .
又点 P(1,2)在圆 C 的外部， ∴12＋22＋k＋2×2＋k2＞0， 即 k2＋k＋9＞0， ∴k∈R，
解法一：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
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第四章 圆与方程
4.1 圆的方程
4.1.2 圆的一般方程
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若直线l ：ax －by ＋1＝0平分圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则a ＋2b 的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．4
D ．－4
解析：已知圆C 的圆心为(－1，2)，因为直线l 平分圆C 的周长，所以直线l 过圆心．即－a －2b ＋1＝0，所以a ＋2b ＝1. 答案：A
2．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22
，则a 的值为( ) A ．－2或2
B.12或32 C ．2或0 D ．－2或0
解析：由圆心(1，2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2
＝22，得a ＝0或a ＝2.
答案：C
3．方程x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0表示的图形是( )
A ．一个圆
B．只有当a＝0时，才能表示一个圆
C．一个点
D．a，b不全为0时，才能表示一个圆
解析：(2a)2＋4b2＝4(a2＋b2)，
当a＝b＝0时，方程表示一个点；
当a≠0或b≠0时方程表示一个圆．
答案：D
4．若圆O：x2＋y2＝4和圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是()
A．x＋y＝0 B．x＋y－2＝0
C．x－y－2＝0 D．x－y＋2＝0
解析：因为两圆的圆心坐标为O(0，0)和C(－2，2)，直线l为线段OC的垂直平分线，所以直线l的方程是x－y＋2＝0.
答案：D
5．若点M(3，0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3，0)的最长的弦所在的直线方程是()
A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0
C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0
解析：由题意，过M(3，0)的最长的弦所在的直线为过点M(3，0)的直径，x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心为(4，2)，故所求直线方程为y－0＝2(x－3)，即2x－y－6＝0.
答案：C
二、填空题
6．圆x2＋y2－6x＋4y＝0的周长是________．
解析：(x－3)2＋(y＋2)2＝13，。