高中数学-必修二-圆与方程-经典例题

习题精选精讲圆标准方程已知圆心),(b a C 和半径r ,即得圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题．一、求圆的方程例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为（)（A)3)1()2(22=++-y x(B)3)1()2(22=-++y x（C)9)1()2(22=++-y x （D)9)1()2(22=-++y x解 已知圆心为)1,2(-,且由题意知线心距等于圆半径，即2243546+++=dr ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C).点评：一般先求得圆心和半径,再代入圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-即得圆的方程.二、位置关系问题例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点,则a 的取值范围是( )(A))12,0(- (B ）)12,12(+-（C))12,12(+--(D))12,0(+解 化为标准方程222)(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =.∵直线1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距ar a d =>-=21，平方去分母得22212a a a >+-，解得1212-<<--a ,注意到0>a ，∴120-<<a ,故选(A).点评:一般通过比较线心距d 与圆半径r 的大小来处理直线与圆的位置关系：⇔>r d 线圆相离；⇔=r d 线圆相切;⇔<r d 线圆相交.三、切线问题例３ （06重庆卷理） 过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为（ )(A)x y 3-=或x y 31=(B)x y 3=或x y 31-= (Ｃ)x y 3-=或x y 31-= (Ｄ)x y 3=或x y 31=解 化为标准方程25)1()2(22=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径25=r .设过坐标原点的切线方程为kx y =,即0=-y kx ，∴线心距251122==++=r k k d ,平方去分母得0)3)(13(=+-k k ，解得3-=k 或31，∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 31=，故选(A ）.点评:一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.四、弦长问题例4 (0６天津卷理) 设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32,则=a.解由已知圆4)2()1(22=-+-y x ，即得圆心)2,1(C 和半径2=r .∵线心距112++=a a d，且222)2(r AB d=+，∴22222)3()11(=+++a a ,即1)1(22+=+a a ,解得0=a ． 点评：一般在线心距d 、弦长AB 的一半和圆半径r 所组成的直角三角形中处理弦长问题：222)2(r AB d =+.五、夹角问题例5 (０6全国卷一文) 从圆012222=+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（)(Ａ)21 （B ）53（Ｃ)23 (Ｄ) 0解 已知圆化为1)1()1(22=-+-y x ,即得圆心)1,1(C 和半径1=r ．设由)2,3(P 向这个圆作的两条切线的夹角为θ，则在切线长、半径r和PC构成的直角三角形中,522cos=θ,∴5312cos 2cos 2=-=θθ，故选(B ）. 点评:处理两切线夹角θ问题的方法是：先在切线长、半径r 和PC所构成的直角三角形中求得2θ的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角θ问题.六、圆心角问题例6 （０6全国卷二） 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率=k.解 由已知圆4)2(22=+-y x ，即得圆心)0,2(C 和半径2=r .设)2,1(P ，则2-=PC k ；∵⊥PC 直线l 时弦最短,从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线l 的斜率221=-=PCk k .点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题:在同圆中,若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小．七、最值问题例7 (０6湖南卷文） 圆0104422=---+y x y x上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( )(A) 30 (B) 1８ (C)26(D)25解 已知圆化为18)2()2(22=-+-y x ,即得圆心)2,2(C 和半径23=r .设线心距为d ,则圆上的点到直线014=-+y x 的最大距离为r d +，最小距离为r d -，∴262)()(==--+r r d r d ，故选(C).点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距d 与圆半径r 的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为r d+,最小距离为r d -.八、综合问题例8 (06湖南卷理) 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ )(Ａ)]4,12[ππ (B ）]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π解 已知圆化为18)2()2(22=-+-y x ，即得圆心)2,2(C 和半径23=r .∵圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,∴2222222=-≤++=r b a ba d ,即0422≤++b ab a ,由直线l 的斜率b a k -=代入得0142≤+-k k ，解得3232+≤≤-k ，又3212tan-=π,32125tan +=π，∴直线l 的倾斜角的取值范围是]125,12[ππ，故选(B).点评:处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程,进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.圆的方程1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式,要注意各种形式的圆方程的适用范围．(1) 圆的标准方程：(x －a ）２+(y-b)２=r 2，其中(a ，ｂ)是圆心坐标,r 是圆的半径；(2)圆的一般方程：ｘ2＋y 2+Dx+Ｅy+Ｆ=0 (D 2＋Ｅ2－４F>0),圆心坐标为(2,2ED --），半径为r=2422FE D -+2. 直线与圆的位置关系的判定方法．(1) 法一：直线：A ｘ＋By ＋C ＝0；圆:ｘ2＋y ２＋Ｄｘ+Ey+F ＝0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax+By+Ｃ=0；圆:（x －a)２＋(y-b)2＝ｒ２，圆心（a,b)到直线的距离为d=⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 22.3. 两圆的位置关系的判定方法．设两圆圆心分别为O 1、 O ２，半径分别为r 1、 r 2， |O 1O 2|为圆心距，则两圆位置关系如下: ｜Ｏ1O ２|>r 1+r 2⇔两圆外离； |O 1O 2｜＝r 1＋r ２⇔两圆外切;｜ｒ1-r 2|＜｜O １O ２｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交; ｜Ｏ１O ２｜=|r 1－r 2｜⇔两圆内切； 0＜｜O １O 2|＜|r 1－r ２|⇔两圆内含． ●点击双基1.方程x 2+ｙ2-2(t +3)x +2（１－４t 2)ｙ+16t 4＋９＝0(t ∈Ｒ）表示圆方程,则t 的取值范围是A ．-1<ｔ<71 B.－1<t <21C.－71＜t <１ D .１<t <２ 解析：由Ｄ2+Ｅ２－4F >0,得7t ２-6t －1<0，即－71<t <1．答案:C2．点P (5a +１，１２a )在圆(x －1)2＋y 2=１的内部,则a 的取值范围是 A.｜a ｜<1 B.ａ＜131 C.|a ｜<51 D .|a ｜＜131 解析:点P 在圆（x -1)２+y ２=1内部⇔(5ａ+１-1)2＋（12a ）2＜1⇔ﻩ｜a |<131.答案:Ｄ 3.已知圆的方程为（ｘ-a )2+（y －b ）2=ｒ2(ｒ>0)，下列结论错误的是 A.当a 2+b 2=ｒ2时,圆必过原点B.当ａ=r 时，圆与y 轴相切 C.当ｂ＝ｒ时，圆与x 轴相切D .当b <ｒ时，圆与x 轴相交解析：已知圆的圆心坐标为（a ，b ）,半径为r ，当b <r 时,圆心到x 轴的距离为|b |,只有当|b |<r 时，才有圆与x 轴相交,而b ＜r 不能保证|b ｜＜r ，故D 是错误的．故选D .答案:D●典例剖析【例2】 一圆与ｙ轴相切，圆心在直线ｘ－３y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解:因圆与y 轴相切,且圆心在直线x －3y =0上,故设圆方程为（x －3b )2+(y －ｂ)2=9b 2. 又因为直线y =ｘ截圆得弦长为27，则有(2|3|b b -)2＋（7)２=9b 2,解得b =±1.故所求圆方程为(x －3)2+（ｙ-１）2＝９或(x ＋3）2+（y +1)2=9. 夯实基础１．方程ｘ2＋ｙ２+Dx +Ey +F ＝0(D 2+E ２-4Ｆ>0)表示的曲线关于x ＋y =０成轴对称图形，则 Ａ.D +E ＝０B. B.Ｄ＋Ｆ=0 Ｃ.E +Ｆ=０ D. D ＋E +Ｆ=０ 解析：曲线关于x ＋ｙ=0成轴对称图形，即圆心在x +y ＝0上.答案：A２.（2０04年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1,2）距离为1,且与点B （3，1）距离为2的直线共有 A ．1条 B.2条 C.3条 D ．4条 解析:分别以A 、B 为圆心，以１、2为半径作圆,两圆的公切线有两条,即为所求.答案：B3.（２00５年黄冈市调研题)圆x 2+y 2+x －６y ＋3=０上两点P 、Q 关于直线ｋx -ｙ＋4=0对称，则k ＝____＿＿______.解析:圆心（－21，3）在直线上，代入kx -y ＋4=0，得k =2.答案:2 4.（2０04年全国卷Ⅲ，1６)设Ｐ为圆x 2+y ２＝1上的动点,则点P 到直线3x －4y -１0=０的 距离的最小值为＿_______＿＿__． 解析：圆心（0，0）到直线3x -4y －10=0的距离d =5|10|-=2.再由d －r ＝2-1=1，知最小距离为１.答案：1 5．（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x ２＋y 2+2x －6y +１＝0上有两点P 、Ｑ,满足关于直线x +my +4=0对称，又满足·＝0．（1)求m 的值;(２)求直线ＰQ 的方程.解:(1）曲线方程为（ｘ+1）2+（ｙ－3）2＝9表示圆心为(－1,3),半径为3的圆．∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +４=０对称,∴圆心(－１,3)在直线上．代入得m =－1. (2)∵直线P Ｑ与直线y =x ＋4垂直，∴设P (x 1，y １)、Q (x 2,y ２）,ＰQ 方程为y ＝－ｘ+b .将直线y =-ｘ+b 代入圆方程,得２ｘ2+2(4-b ）ｘ+ｂ2－６b +1＝０．Δ=4(4-b ）2-４×2×（b 2-６b +１）>0，得2-32<ｂ<2+32．由韦达定理得ｘ1+ｘ２=－（４－b ）,ｘ1·x ２＝2162+-b b .y １·y ２=b 2－ｂ(x 1+x 2）+x 1·ｘ2=2162+-b b +４ｂ.∵·=0,∴ｘ1x 2+y 1y 2=0，即ｂ2－6b +1＋４b =0.解得b =１∈(2－３2,2＋３2).∴所求的直线方程为ｙ＝-x +1.培养能力7.已知实数ｘ、y 满足方程x ２+y 2-4x +1=０.求(1）xy的最大值和最小值;（２)y -ｘ的最小值; （3)ｘ2+y ２的最大值和最小值.解:(1）如图，方程x 2＋y ２－４x ＋1＝0表示以点(2，0)为圆心,以3为半径的圆．设x y=k ，即y =kx ,由圆心(2,0）到y =k ｘ的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由1|02|2+-k k =3，解得k 2＝3.所以k ｍａx =3,k ｍin =－3.（2)设y -x =b ，则y =x ＋b ，仅当直线ｙ=x +b 与圆切于第四象限时,纵轴截距b 取最小值.由点到直线的距离公式,得2|02|b +-=3，即b =－２±6，故（y -ｘ）min =-２－6.（3)ｘ2+ｙ２是圆上点与原点距离之平方,故连结OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则(x ２+y 2)ma ｘ=|OC ′|=２+3,（ｘ2＋y 2）min ＝|OB ｜=２－3．8.(文)求过两点A （１，４）、B （３,2),且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M １（2，3）,M 2(２，4)与圆的位置关系．解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可． 因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段A Ｂ的垂直平分线上.由k ＡB =3124--=－１,AB 的中点为(2，3）, 故A Ｂ的垂直平分线的方程为y －3=x -2，即x -ｙ+1＝0.又圆心在直线y =0上,因此圆心坐标是方程组 x -y +1＝０，y ＝０ 半径r =22)40()11(-+--=20，所以得所求圆的标准方程为(ｘ+1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （-1，0）的距离为22)03()12(-++=18,|Ｍ１C |＜ｒ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心Ｃ的距离|Ｍ２C ｜=22)04()12(-++=25>20,所以Ｍ２在圆C 外.的解，即圆心坐标为（－1，0）.“求经过两圆04622=-++x y x和028622=-++y y x 的交点，并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程。