人教版高中数学必修二圆的标准方程教学设计

4.1.1圆的标准方程
教学目标：
(1)掌握圆的标准方程，会由标准方程得出圆心与半径，能根据圆 心、半径写出圆的标准方程．
(2)会用待定系数法与数形结合法求圆的标准方程．
(3)培养学生用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，
(4)在探索圆的知识与特点时感受数学中的对称美与和谐美． 教学重点：圆的标准方程的得出与应用．
教学难点：根据不同的已知条件，求圆的标准方程
教学方法: 启发、引导、讨论．
教学过程：
一、新课引入
1.引入语：
通过上一章的学习，我们知道直线这一平面图形可以由一个代数中的二元一次方程来表示，称此方程为直线的方程。

从而，通过方程利用代数的方法研究了直线的性质与特点。

事实上，这种方法是解析几何解决问题的基本方法，我们还可以采用它研究其他的一些平面图形，比如：圆。

在直角坐标系中，两点确定一条直线，或者一点和倾斜角也能确定一条直线。

圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？
（圆心，半径。

圆心决定位置，半径决定大小）
那么我们能否在圆心与半径确定的条件下，找到一个方程与圆对应呢？这就是我们这节课的主要任务。

（书写标题）
回顾直线方程得出的过程：在直线l 上任取一点P(x,y),找到该点的横纵坐标满足的一个关系式，通过验证，称此方程为直线的方程。

类似的，我们用得出直线方程方法来探求圆的方程。

二、讲授新课
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为(,)A a b ，半径为r （其中a 、b 、r 都是常数，0r ）．设(,)M x y 为这个圆上任意一点，
那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）{}P M MA r ==,由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条
件r =①
引导学生自己
证明r =为圆的方程，得出结论．
1.若点),(00y x M 在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标适用方程①．
2.若),(00y x 是方程①的一组解，则以这组解为坐标的点),(00y x M 到圆心A 的距离为r ，即点M 在圆心为A 的圆上．
故方
程r =为圆的一个方程。

方程①可等价变为：222()()x a y b r -+-= ② 方程②形式较①式更为和谐美观。

方程②也是圆心为(,)A a b ,半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．
特别地,若圆心为O （0，0），则圆的标准方程为：222r y x =+ 练习1 (口答) 、求圆的圆心及半径
(1)、422=+y x (2)、1)1(22=+-y x
练习2、写出下列圆的方程
（1）、圆心在原点，半径为3； 922=+y x
（2）、圆心在(-3、4),半径为5 5)4()3(22=+++y x
三、例题解析
例1 已知两点A(4,9)、B(6,3)，求以AB 为直径的圆的方程 分析：可以从计算圆心与半径．
解：解:圆心C （5，6）半径r=10
所求的圆的标准方程是10)6()5(22=-+-y x
把点)7,8(1M 的坐标代入方程10)6()5(22=-+-y x ，左右两边相等，点1M 的坐标适合圆的方程，所以点1M 在这个圆上；把点)5,3(2M 的坐标代入方程10)6()5(22=-+-y x ，左右两边不相等，点2M 的坐标不适合圆的方
程，所以点2M 不在这个圆上．
是否在这个圆上？并判断点
)5,3(),7,8(21M M
探究：点00(,)M x y 在圆222()()x a y b r -+-=的内部的条件是什么？在
圆的外部呢？
点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系的判断方法：
（1）22200()()x a y b r -+->，点在圆外
（2）22200()()x a y b r -+-=，点在圆上
（3）22200()()x a y b r -+-<，点在圆内
练习3.已知圆O 的标准方程为4)2()1(22=-+-y x 判断A(0,3); B(-3,2);C(2,1)与圆O 的位置关系。

(A 点在圆内，B 点在圆上，C 点在圆外)
例2：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8)A B C --,求它的外接圆的方程．
分析：外接圆过三角形的三个顶点，从圆的方程222
()()x a y b r -+-=可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数．
解：设所求圆的方程是222()()x a y b r -+-=． ①
因为(5,1),(7,3),(2,8A B C --都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是
解此方程组， 得a=2, b=-3, r=5
所以ABC ∆的外接圆的方程是 22(2)(3)25x y -++=．
解法二：分析：圆心为弦AB 的中垂线与弦AC 的中垂线的交点。

半径为圆心到A,B,C 三点中任一点的距离
设外接圆圆心为O,半径为r
弦AB 的中点为（6,1），所在直线的斜率为：-2
则，弦AB 的中垂线方程为：)6(211-=
-x y 即082=--y x 弦AB 的中点为（2
7,27-），所在直线的斜率为：3
则，弦AB 的中垂线方程为：)2
7(3127--=+x y 即01462=++y x 联立⎩⎨⎧=++=--01462082y x y x 解得⎩
⎨⎧-==32y x 则，外接圆圆心坐标为（2，-3）半径r=|OA|=5
所以ABC ∆的外接圆圆O 的方程是 22(2)(3)25x y -++=．
练习4、已知△ABO 的顶点坐标分别为A(8,0);B(0,6);O(0,0),求△ABO 外接圆的方程.
25)3()4(22=-+-y x
总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例2的两种解法，可得出圆的标准方程的两种求法：
①待定系数法：根据题设条件，列出关于a 、b 、r 的方程组，解方程组得到a 、b 、r 得值，写出圆的标准方程．
②数形结合法：确定圆的要素，圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程．
四、课堂小结
(1)、牢记: 圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=。

(2)、明确：三个条件a 、b 、r 确定一个圆。

(3)、方法：①待定系数法
②数形结合法
五、课后作业
P120,练习1,2,3,4 P124习题1，2，3。