高中数学必修2《二面角》教案
高中数学教案二面角
二面角一、素质教育目标(一）知识教学点1．二面角的有关概念．2．二面角的平面角的定义及作法．（二）能力训练点1．利用类比的方法理解和掌握二面角的有关概念;掌握二面角的平面角的定义．2．用转化的思维方法将二面角问题转化为其平面角问题,进一步培养学生的空间想象能力和分析、解决问题的能力．3．通过练习，归纳总结作二面角的平面角的三种方法．(三）德育渗透点让学生认识到研究二面角的问题是人类生产实践的需要，进一步培养学生实践第一的观点．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：二面角、二面角的平面角的概念．2．教学难点：如何选取恰当的位置作出二面角的平面角来解题．3．教学疑点：二面角的平面角必须满足下列两个条件:一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内．三、课时安排1课时．四、教与学过程设计（一)二面角师:我们知道,两个平面的位置关系有两种：一种是平行，另一种是相交．两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如:修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久,必须使水坝面和水平面成适当的角度;发射人造地球卫生时,也要根据需要,使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度(图看课本P．39中图1—43）,等等．这些事实都说明了研究两个平面所成的“角”是十分必要的，我们就把这样的“角"叫二面角，那么如何定义二面角呢?阅读课本P．39-40，回答下列问题．师:我们先来回忆：什么是角?如何表示？生:从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形叫做角（如图1-117）,表示为∠AOB．师：根据角的定义，我们可以类似地定义二面角．先给出半平面的定义．生：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面（如图1—119）．师：那么如何表示二面角呢？生:棱为AB，面为α、β的二面角记作二面角α—AB—β，如果棱用a表示，则记作二面角α—a—β．师：二面角的画法通常有哪几种？生：第一种是卧式法，也称为平卧式(如图1－120）．第二种是立式法，也称为直立式．（二）平面角师：为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要研究二面角的大小问题．如门和墙所在的平面是相交的,但门可以在关上、开一点小缝、开一半、全开等各种位置上,也就是说两平面虽处于相交的位置关系，但相互之间的位置关系还是应当讨论的．为了表示二面角的大小，我们必须引入平面角的定义．定义:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．师：二面角的大小可以用它的平面角来度量，即二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度．现在我们来思考：问题1:这样用平面角的度数来表示二面角的度数是否合理？为什么？生：是合理的．如图1-121,在二面角α—a—β的棱a上任取一点O，在半平面α和β内，从点O分别作垂直于棱a的射线OA、OB,射线OA和OB组成∠AOB，在棱上另取任意一点O＇，按同样的方法作∠A＇O＇B＇，因为OA和OA＇、OB和OB＇都垂直于棱a，所以∠AOB和∠A＇O＇B＇的两边分别平行且方向相同,根据等角定理，得：∠AOB＝∠A＇O＇B＇，即∠AOB的大小是一定的．由于这个唯一性，从而说明这样定义二面角的平面角是合理的，且与点O在棱上的位置无关．问题2：二面角的平面角必须满足哪几个条件？生：两个条件．一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内．师：平面角是直角的二面角叫直二面角．在实际生活中，木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时，就是测量这两个角所成二面角的平面角（图见P．40中图1—45）．我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5°，就是说卫生轨道平面与地球赤道平面所成的二面角的平面角是68。
二面角教学教案
二面角教课方案教课目的1．使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的观点，并能初步运用它解决本质问题；2．指引学生探究和研究“二面角的平面角”应当如何定义，在观点形成的过程中，发展学生的思想能力．教课要点和难点本课的要点是“二面角”和“二面角的平面角”的观点；本课的难点是“二面角的平面角”观点形成的过程．教课方案过程教师：在平面几何中“角”是如何定义的？学生：从平面内一点出发的两条射线所构成的图形叫做角．教师：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是如何定义的？它们有什么共同的特点？学生；直线 a，b 是异面直线，经过空间随意一点 O，分别引直线 a′∥ a，b′∥ b，我们把直线 a′和 b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 和 b 所成的角．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．它们的共同特点是都是将三维空间的角转变为二维空间的角．教师：请同学们察看下边的几个问题．（当教师说完上述话后，利用多媒体技术，让学生经过计算机看两个例子）例子之一：镜头一：淡蓝色的地球．（图片）镜头二：火箭发射人造地球卫星．（录相）镜头三：人造地球卫星绕地球旋转，最后画出卫星的轨道平面和地球赤道平面．让学生察看这两个平面订交成必定的角度．例子之二：镜头一：人走在坡度不太大的桥上．（录相）镜头二：人在登山．（录相）镜头三：攀岩运动．（录相）镜头四：演示下边动向图象．（让水平面静止不动，坡面在不停变化，目的是让学生看到，在生活实践中，有很多问题要波及到两个平面订交所成的角的情况）（注意：四个镜头要连续编排在一同进行演示，时间一分钟）教师：如何给二面角下定义呢？下边我们用类比的方法，与角的观点对照，商讨二面角的定义．这一段教课采纳计算机协助手段，每一个问题分三步达成，第一给出平面角的问题，而后请学生思虑并回答二面角的问题，最后计算机显示正确结果．这部分共有四个问题，所有研究完成后，将整个过程列成一个总表，显示在屏幕上．教师：请看角的图形，思虑二面角的图形．学生能够将自己画的图展现给大家．计算机显示：二面角的图形．教师：（给出平面角的定义）请同学们给二面角下定义．显示：从平面内一点出发的两条射线所构成的图形．学生：（口答）计算机显示：从空间向来线出发的两个半平面所构成的图形．教师：平面角由射线—点—射线构成．二面角呢？学生：二面角由半平面—线—半平面构成．教师：平面角表示法：∠AOB．二面角表示法α -a-β或α -AB-β ．最后计算机显示整个过程．教师：经过上边的研究我们已经看到，平面上的角，能够看作是一条射线绕其端点旋转形成的图形；近似地，一个半平面绕其界限旋转到必定地点所获得的图形，就是二面角．教师：二面角与平面内的角同样，是能够比较大小的，其比较方法，与平面内的角的大小的比较方法近似．（教师让学生翻开书籍）翻开书籍的过程，给我们一种二面角的大小连续变化的形象．（前方看到的登山问题也是这样）教师：用量角器能够量出平面内的角的大小，可否也能用量角器直接去量出二面角的大小呢？比方，这里有一个对顶量角器和一个三角木块（直三棱柱）模型，你们能用我们自制的对顶量角器来量出三角木块模型的某两面角的大小吗？比方平面α 与β的夹角？教师：一般地说，量角器只好丈量“平面角”（指两条订交直线所成的角．相应地，我们把异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，均称为空间角）那么，如何去胸怀二面角的大小呢？我们过去是如何胸怀某些角的？学生：分别经过“取点、平移（订交）”（对异面直线所成的角）与“斜线的射影（订交）”（对斜线与平面所成的角）去胸怀的．教师：这些做法的共同点是什么？学生：都是将空间角化为平面角．教师：对！再回到方才的量角操作，你是如何用对顶量角器去量二面角α -l-β 的大小呢？学生：将对顶量角器的一个角的两边靠紧二面角的两个面，角的极点则在二面角的棱上．教师：大家注意，本质上同学们量的是一个平面内的角：∠BAC．这个角的极点在二面角的棱上，它的两边分别在二面角的两个面内且与棱垂直．并且对于确立的二面角，这样的角的大小是独一的，确立的，我们把它叫做二面角的平面角．（对于训练有素，肯于思虑的学生可能会提出下边的问题）学生：若以棱a 上随意一点O为端点，在两个面内作与棱成等角θ′（0°＜θ′＜90°）的两条射线OA′，OB′，由空间等角定理知，∠A′OB′也是存在且独一的，为何不用这样的角定义二面角的平面角？教师：记∠ AOB=θ，∠ A′OB′ = ．当 OA′， OB′在平面 AOB同侧时θ＞；当 OA′， OB′在平面 AOB异侧时θ＜．请看图 6：设 A ′P′=a， A′ P=b，A′B′=x由余弦定理，得：x2=b2 +b2-2b 2 cos =2b2（1-cos），x2=a2 +a2-2a 2 cosθ =2a2（1-cos θ），当OA′，OB′在平面 AOB的同侧时，若用∠ A′OB′ = 表示二面角的大小，由（ * ）知，与θ之间会有常数关系，这将给表示，特别是计算、应用带来诸多不便；此外，若用∠ A′OB′ = 表示二面角的大小，当平面α⊥平面β时；≠ 90°，当半平面α与半平面β在同一平面时， =2θ′≠ 180°，都与已有知识和经验不符，不可以直观反应出空间两个订交平面的相对地点关系。
《二面角》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】
《二面角》教学设计第一课时◆教学目标1、掌握二面角的概念，提升学生的数学抽象素养.2、理解二面角的平面角的含义．提升学生的数学抽象素养.3、作二面角并求出二面角的大小，提高逻辑推理、数学运算的数学素养．◆教学重难点◆教学重点：二面角的概念．教学难点：作二面角并求出二面角的大小．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第47-50页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节主要学习二面角第一课时二面角及其度量．（2）学生在学习了异面直线所成角的概念及线面角的基础上，对空间角的问题有了一定的经验，二面角的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开．为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台．设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知形成定义问题2：日常生活中，很多场景中都有平面与平面呈一定角度的形象，例如如图（1）所示，在建造大坝时为了加固大坝大巴外侧的平面，一般于水平面呈一定角度，如图（2）所示，很多屋顶都是二面角的形象，你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？师生活动：学生在教师的指导下写出答案．教师讲解：我们已经知道,平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面．如图所示,在二面角βα-l -的棱上任取一点O ,以O 为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA 和OB ,则射线OA 和OB 所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是直角的二面角称为直二面角.比如，我们在地地理学科上学过的黄赤交角，指的就是黄道平面与赤道平面之间的夹角，大小为'2623，如图所示．设计意图：在学生学习了二面角及其平面角的概念之后,教师可以设计变式题引导学生通过动手练习找角,更好地感悟获得知识的体验,拓宽学生的思维,建立良好的思维习惯．黄赤交角是地理学中的名词,在此处主要是举例说明二面角知识在现实中的广泛应用,不必在课上进行过多的探究．问题3：“门开大点”“门开小点”说明了什么问题?平面角可以用量角器进行度量,二面角的大小可以用量角器来度量吗?如何确定二面角唯一的测量结果?哪个角能够表示二面角呢?师生活动：学生在教师的指导下写出答案．预设的答案：“门开大点”“门开小点”说明了门和墙体所形成的二面角的平面角的大小的变化情况，平面角可以用量角器进行度量,二面角的大小无法用量角器来度量．二面角及其平面角的大小不小于0°,不大于180°，而且,两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的四个二面角中,不小于0且不大于90°的角的大小.这样约定后,一个二面角的大小及两个相交平面所成的角的大小都是唯一确定的．设计意图：在学生学习了二面角及其平面角的概念之后,教师可以设计变式题引导学生通过动手练习找角,更好地感悟获得知识的体验,拓宽学生的思维,建立良好的思维习惯．追问：根据二面角的平面角的定义，你是否能总结出二面角的平面角的定义的三个主要特征？师生活动：学生在教师的指导下写出答案．预设的答案：二面角的平面角的定义有三个主要特征:①过棱上任意一点;②分别在两个半平面内作射线;③射线垂直于棱.二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关.设计意图：定义过程是求二面角大小的基本思维过程,也充分体现着将空间问题转化为平面问题的转化思想方法．问题4：根据二面角的平面角的定义，你能否总结出如何利用定义法求二面角的平面角的大小？师生活动：学生在教师的指导下写出答案． 教师讲解:步骤如下(1)找到或作出所求的二面角的平面角.(2)证明或说明所作图形为所求的二面角的平面角.(3)计算求解.此时一般为解斜三角形,需要用余弦定理及其变式,教师可以引导学生回顾.(4)明确答案.写出所求问题的结论.设计意图：通过师生共同探究,引导学生总结基本的思维过程与步骤．并为后面例题的求解给出思路．三、初步应用 例1:如图所示,已知二面角βα-l -的棱上有A,B两点，,,,,l BD BD l AC AC ⊥⊂⊥⊂βα若,7,4,3,6====CD BD AC AB 求二面角βα-l -的大小．师生活动：学生根据所学给出解答，由老师指定学生给出答案．预设的答案：如上图所示,在平面内过A 作BD 的平行线AE,且使得AE=BD,连接CE,ED ．因为四边形AEDB 是一个矩形,∠CAE 是二面角βα-l -的一个平面角,且AB⊥面AEC,所以ED⊥面AEC,从而1367222222=-=-=-=AB CD ED CD CE在△AEC 中,由余弦定理可知212cos 222=⨯-+=∠AE AC CE AE AC CAE ,因此3π=∠CAE ，即所求的二面角的大小为.设计意图：通过梳理求解二面角的基本方法和步骤，提升运算速度和准确度，让学生感3π受，用代数方法解问题决立体几何问题．发展学生逻辑推理，数学抽象和数学运算的核心素养．问题5：如图所示，设S 为二面角βα-B -A 的半平面α上一点，过点S 作半平面β的垂线'SS ,设O 为棱AB 上一点.（1）判断AB SO ⊥是AB O S ⊥'的什么条件； （2）由二面角的作法，你能得到什么启发？师生活动：学生自行解答，由老师指定学生给出答案．预设的答案：因为'S 是S 在平面内的射影,所以O S '是SO 在平面β内的射影,从而根据三垂线定理及其逆定理可知,AB SO ⊥是AB O S ⊥'的充要条件;当二面角βα-B -A 是一个锐角时,由此我们能得到作出它的平面角的另种方法:过其中一个半平面内一点S ,作另一个半平面的垂线段'SS ,过S (或'S )作棱的垂线SO (或O S '),连接O S '(或SO )即可.在图中,如果二面角βα-B -A 的大小为θ,则可以看出△AB S '与△SAB 在AB 边上的高之比为θcos ,因此这两个三角形的面积之比也为θcos ．教师讲解:要注意以下几个方面(1)该作法只适用二面角AB --αβ为锐角的情形.当二面角AB --αβ为钝角时,要将其中一个半平面延伸,即作出辅助半平面,先求出二面角AB --αβ的补角,再确定二面角AB --αβ的值.当二面角为直二面角时不作探讨．(2)这种作二面角的平面角的依据是三垂线定理及其逆定理.在学生尝试前或探究过程中,适当为学生提示必备知识,如充要条件、三垂线定理及其逆定理.(3)找垂线注意应用已知的条件以及有关垂直的判定和性质定理,按三垂线定理的条件,一条垂线垂直于二面角的一个面,还有垂直于棱的一条垂线．设计意图：本问题是在二面角βα-B -A 为锐角的前提下进行的,给出了作二面角的平面角的另种方法.教师在引导学生尝试探究．例2：如图所示三棱锥ABC S -中，面ABC SAC 面⊥,3==SC SA ,,2==BC AB 且BC AB ⊥,求二面角C AB S --的大小．师生活动：学生自行解答，由老师指定学生给出答案． 预设的答案：设O ,E 分别为AC ,AB 的中点,连接SO ,OE ,SE ,因为SA =SC ,所以SO ⊥AC ,又因为面SAC ⊥面ABC ,所以SO ⊥面ABC ,又因为OE 为△ABC ,因此SE 在平面ABC 内的射影为OE ,又因为OE 为ABC ∆的中位线,AB ⊥BC ,所以AB ⊥OE ,从而由三垂线定理可知AB ⊥SE ,因此∠SEO 为二面角SABC 的一个平面角由AB =BC =2且AB ⊥BC 可知AC =222222=+，又因为122=-=AO SA SO ,而且,121==BC EO 从而可知,45 =∠SEO 即所求二面角的大小为45．设计意图：引导学生归纳这种方法通常是先求得垂线段长与射影长,再在直角三角形中计算所求二面角的平面角的正切值．通过例2,教师引导学生注意以下方面(1)画图过程中要充分借助题目中的“等长”条件,构造等腰三角形的底边中点,进而应用等腰三角形的“三线合一”结论；(2)对作出的二面角的平面角要证明是所要求的二面角的平面角；(3)注重推理的逻辑性及格式、步骤的规范与完整.四、归纳小结，布置作业问题6：什么是半平面、二面角、二面角的棱、二面角的面、二面角的平面角、直二面角？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面．如图所示,在二面角βα-l-的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是直角的二面角称为直二面角.设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加理解二面角的定义．布置作业：教科书第52页练习A1,2题．五、目标检测设计1．(教材P52练习B②改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角A1BCA的余弦值为()A ．12B ．23C ．22D ．33设计意图：考查学生对二面角的应用．2已知矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝45，则二面角A BD P的正切值为________．设计意图：考查学生对二面角的大小求法的应用．3．已知△ABC 和△BCD 均为边长为a 的等边三角形，且AD ＝32a ，则二面角A BC D 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 设计意图：考查二面角的综合应用． 参考答案：1．C [易知∠A 1BA 为二面角A 1 BC A 的平面角， cos ∠A 1BA ＝AB A 1B ＝22．]2．13[过A 作AO ⊥BD ，交BD 于O ，连接PO ，∵矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4， P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝45，∴BD ＝32＋42＝5，PO ⊥BD ，∴∠POA 是二面角A BD P 的平面角， ∵12×BD ×AO ＝12×AB ×AD ， ∴AO ＝AB ×AD BD ＝125，∴tan ∠POA ＝P A AO ＝45125＝13．∴二面角A BD P 的正切值为13．]3．C [如图取BC 的中点为E ，连接AE ，DE ，由题意得AE ⊥BC ，DE ⊥BC ， 且AE ＝DE ＝32a ，又AD ＝32a ， ∴∠AED ＝60°，即二面角A BC D 的大小为60°．]。
二面角教学设计
二面角教学设计四川梓潼中学李光银教学分析：二面角的计算是立体几何中重要内容之一。
是继空间异面直线、直线与平面夹角之后又一个空间角的计算。
二面角的概念发展、完善了空间角的概念；进一步体现了空间问题平面化的思想。
学情分析：学生学习了线与线、线与面、面与面的平行与垂直问题，形成了一定的认知结构，并且又学习了异面直线所成的角、线现面所成的角，所以，有了一定的基础。
但是二面角与其它知识不一样，学生理解有困难，对学生来说作二面角的平面角又是一个很难的事，我们就要细分析、多引导，让学生自己去发现并解决。
教学目标：1．使学生了解二面角及其平面角的概念、作法，并能初步运用定义法和三垂线法求二面角的平面角，二面角及其平面角的知识解决实际问题。
2．引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的过程中，发展学生的思维能力．能力目标：培养学生的观察分析能力、空间想象能力和猜想能力，进而培养学生的创造能力。
培养学生的数形结合和把空间问题转化为平面问题的化归思想。
教学重点和难点：本课的重点是“二面角”和“二面角的平面角”的概念；本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程．教学设计过程一．复习引入学习过平面几何中的角，在立体几何中，学习“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”，分别为线线角，线面角，在现实生活中要研究面面角。
引入现实实例：1人造地球卫星绕地球旋转，卫星的轨道平面和地球赤道平面成一定的角度． 2.安装太阳能热水器的时候，集热板与地面成一定的角度二．讲授新课1．二面角的概念(1)有关定义：半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。
二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
(2)平面角与二面角的比较：平面角由射线—点—射线构成．二面角由半平面—线—半平面构成．（3）二面角的画法及表示：2．二面角的平面角 问题1：我们常说“把门开大一些”，“把书翻开一些”是指哪个角增大了?我们怎样来度量一个二面角的大小呢?问题2：我们以前学过的空间角，如异面直线所成的角，空间线面所成的角怎样度量的?设计这个问题意在引发学生回忆：空间角都是转化成平面角进行度量的，从化归思想的角度引导学生猜想得到：二面角也可以转化成平面角进行度量，并且角的大小唯一确定问题3：平面角度量二面角，那这个平面角的顶点和两边应放在什么位置? 设计这个问题让学生尝试二面角的度量方法，结合学生情况，引导思考，解决问题。
高中数学二面角的教案
高中数学二面角的教案【篇一：“二面角”教学设计】“二面角”教学设计一、教学内容解析“二面角”在人教版新课标教材《必修2》第二章第三节第二小节的一个子内容，它的主要用途在于去定义两平面垂直关系，同时它也是继讨论了直线与直线所成的角、直线与平面所成的角之后的另一种自然的空间角。
在《必修2》中教材没有例题进行二面角的计算，只是在小节习题中以正方体为背景设计了一个题，在《选修2-1》的第三章第二节中教材着重的加强了利用空间向量的工具去解决二面角的计算。
“二面角”的内容在以前的大纲版教材中是专设一节来进行详细的介绍，以及对二面角平面角的找寻进行了细致的划分，诸如：定义法，三垂线定理法等。
对比两个版本教材的编写情况可以看出，本节在新课程中主要起到的作用是更好地理解两平面垂直的关系，而且对前面两者——直线与直线的垂直，直线与平面的垂直起着衔接和完善整个关系体系的作用。
故而，“二面角”这节的重点应该是理解概念，以及通过学习本节让学生在各自的思维中构建整个知识脉络，建立相关关系。
二、教学目标设置在《说明》中对《必修2》教材第二章“点、直线、平面之间的位置关系”的目标设置为能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，以及以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
又在《说明》中对《选修2-1》教材第三章“空间向量与立体几何”的目标设置为能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，足以见得，对于二面角这个子内容的作用就是过渡，提出面面垂直的定义。
故而，在本节我设计的目标要求如下：（1）引导学生探索和研究两平面垂直应该如何定义，在概念形成的过程中，使得学生认同学习“二面角”概念的必要，并发展学生的思维。
（2）在经历概念形成的过程中去理解二面角平面的作法，并掌握。
三、学生学情分析在学习“二面角”之前，学生已经学习了空间中两直线的垂直定义，两直线所成角的定义，直线与平面垂直的定义和直线与平面所成角的定义，至此学生已经具备一定的空间想象力和概括能力，在这里很自然的能够联想到缺少了两个平面垂直的关系，两个平面的垂直是生活中常见的形式，学生能够去感受，而数学是严格的，也就自然会想该怎样去定义这种关系，根据前两种关系从“角度”出发的描述形式，“二面角”是呼之欲出，是势在必然。
二面角的说课稿
二面角的说课稿一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解二面角的概念，能够正确辨认二面角；2. 掌握求解二面角的方法和技巧；3. 运用二面角的概念和求解方法解决相关问题；4. 培养学生的观察力、推理能力和解决问题的能力。
二、教学重点1. 二面角的概念；2. 求解二面角的方法和技巧。
三、教学难点1. 运用二面角的概念解决相关问题；2. 培养学生的观察力和推理能力。
四、教学过程1. 导入（5分钟）通过展示一张包含二面角的图片，引起学生对二面角的兴趣，并提出问题：“你们知道什么是二面角吗？它有什么特点？”引导学生思量和讨论。
2. 概念讲解（15分钟）通过多媒体展示二面角的定义和特点，让学生理解二面角的概念。
并通过示意图和实际物体展示，让学生观察并找出身边的二面角实例。
引导学生总结二面角的特点。
3. 求解方法和技巧讲解（20分钟）介绍二面角的求解方法和技巧，包括使用三角函数和几何图形的性质求解二面角的具体步骤。
通过多个实例演示，让学生掌握求解二面角的方法和技巧。
4. 练习与巩固（25分钟）设计一系列练习题，包括选择题、填空题和解答题，让学生运用所学的方法和技巧解决问题。
通过个别辅导和小组合作学习，匡助学生巩固所学知识。
5. 拓展应用（15分钟）提供一些拓展应用题，让学生运用二面角的概念和求解方法解决更复杂的问题，培养学生的观察力、推理能力和解决问题的能力。
6. 总结与反思（5分钟）对本节课的内容进行总结，并引导学生反思学习过程中的困惑和不足之处。
鼓励学生提出问题，并进行讨论和解答。
五、教学资源1. 多媒体设备；2. 二面角的示意图和实物；3. 练习题和拓展应用题。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的积极性、合作性和表现情况；2. 作业评价：检查学生完成的练习题和拓展应用题的正确性和解题思路。
七、教学反思本节课通过引导学生观察和思量，培养了学生的观察力和推理能力。
通过多媒体展示和实物演示，使学生更加直观地理解了二面角的概念和特点。
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》一、教学目标1.理解二面角的概念，掌握二面角的表示方法。
2.学会应用二面角的性质和定理解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重难点重点：二面角的概念、表示方法及其性质。
难点：二面角性质的应用。
三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾空间几何中的基本概念，如平面、直线、角等。
（2）提出问题：在空间几何中，我们学过角，那么什么是二面角呢？2.二面角的概念及表示方法（1）讲解二面角的概念：由两条相交直线与它们所在平面所夹的角叫做二面角。
（2）讲解二面角的表示方法：用两条相交直线表示，或者用它们所在平面表示。
（3）举例说明：展示一个二面角模型，引导学生观察并理解二面角的定义。
3.二面角的性质（1）讲解二面角的性质：二面角的度数范围是0°到180°。
（2）讲解二面角的性质：二面角的大小与两条相交直线的夹角大小无关。
（3）讲解二面角的性质：二面角的两个面可以互换。
4.二面角的应用（1）讲解二面角的应用：求解空间几何问题。
（2）举例说明：展示一个实际问题，引导学生运用二面角的知识解决问题。
5.练习与讨论（1）布置练习题：让学生独立完成一些关于二面角的练习题。
（2）讨论答案：引导学生互相讨论，共同解决问题。
（2）拓展延伸：引导学生思考如何将二面角的知识应用于实际问题。
四、教学反思本节课通过讲解二面角的概念、表示方法、性质及其应用，使学生掌握了二面角的基本知识。
在教学过程中，注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
通过练习题和讨论，学生能够灵活运用二面角的知识解决问题。
但部分学生在理解二面角的性质时仍存在困难，需要在今后的教学中加以关注。
五、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、提问回答情况等。
2.作业完成情况：检查学生作业的完成质量，了解学生对二面角知识的掌握程度。
3.测试成绩：通过测试了解学生对二面角知识的掌握情况。
4.学生反馈：收集学生对本节课教学的意见和建议，以改进教学方法。
二面角的说课稿
二面角的说课稿一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解二面角的概念和特点；2. 掌握二面角的计算方法；3. 运用二面角解决实际问题。
二、教学重点和难点教学重点：二面角的概念和计算方法。
教学难点：运用二面角解决实际问题。
三、教学准备1. 教学工具：黑板、白板、投影仪；2. 教学素材：二面角的定义和性质的PPT、练习题、实物模型等。
四、教学过程1. 导入（5分钟）通过展示一张包含二面角的图片，引发学生对二面角的思考，激发学生的学习兴趣。
2. 概念讲解（15分钟）首先，通过PPT介绍二面角的定义和性质，包括二面角的角度范围、平面内的位置等。
然后，通过实物模型或图示，让学生直观地理解二面角的概念。
3. 计算方法（20分钟）讲解二面角的计算方法。
首先，介绍二面角的计算公式，并通过示例演示如何计算二面角。
然后，通过练习题让学生进行练习，巩固计算方法。
4. 实际应用（15分钟）通过实际问题的讲解，引导学生运用二面角解决实际问题。
例如，通过一个建筑物的示意图，让学生计算建筑物各个角的二面角，并分析其特点和应用。
5. 拓展延伸（10分钟）提供一些拓展题目，让学生进一步巩固和拓展对二面角的理解和应用能力。
6. 小结（5分钟）对本节课的重点内容进行小结，并强调二面角的重要性和应用价值。
五、课堂作业布置相关练习题作为课堂作业，要求学生独立完成，并在下节课前交上。
六、教学反思本节课通过引入实物模型和实际问题，增强了学生对二面角概念的理解和应用能力。
同时，通过练习题的训练，巩固了学生对二面角计算方法的掌握。
然而，在教学过程中，可能会遇到学生理解困难的情况，需要及时调整教学方法和提供更多的练习机会。
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◆教案
二面角
教材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2
【教学目标】
1、知识目标：
(1)使学生理解“二面角”以及“二面角平面角”的概念，能根据定义正确地作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题。
(2)进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
2、能力目标：
培养学生观察分析问题的能力、空间想象的能力、类比猜想的能力从而培养学生创新的能力。
3、过程与方法目标：
引导学生探索和研究“二面角”及“二面角的平面角”概念的发现、形成和发展过程，以培养学生的空间想象能力、动手能力和类比、化归、直觉、猜想等探索性思维方法。
4、情感、态度、价值观目标：
(1) 使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。
(2) 通过揭示概念的形成、发展、应用的过程，培养学生的辩证唯物主义观点。
(3) 培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神，体验数学中转化思想的意义和价值；
(4) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。
在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。
【教学重点与难点】
重点：“二面角”及“二面角的平面角”的概念和作法。
难点：“二面角的平面角”概念的形成过程以及如何根据条件用定义作出二面角的平面角。
【教学方法与手段】
(1)教学方法：
采用引导发现法、启发式探索讨论相结的教学方法。
(2)教学手段：
借助实物模型，和利用多媒体制作课件来辅助教学。
通过上述方法与手段，再现知识的产生过程，突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍,激发学生学习兴趣，发挥学生的主体作用；同时通过学生参与动手操作，亲身体验,促进了学生思维能力的发展,使教学活动真正体现“以学生发展为本”的思想。
【学法指导】
通过设计环环相扣的思考问题，引导学生主动地参与探究活动，体验学习的乐趣，教师在这个过程中不打断学生的思路，期望有能力的学生走在老师的前面，同时，学生也可以根据需要寻求老师和同学的帮助，以更好地在课堂上完成学习任务。
使学生充分经历“探索感知——讨论归纳——发现新知——应用新知解释现象”这一完整的探究活动，以获得理智和情感体验，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的。
学生自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，体现在整个教学过程中。
【教学流程】
【教学过程】
教学过程设计意图一、复习引入、创设情境导入新课
通过前面的学习我们知道空间内线与线、线与面都能够形成角，而且线线角与线面角的大小最终都是通过相应的平面角进行度量的。
抛出问题：
(1)空间内面与面能否构成角呢？
(2)如果能又如何称谓它呢？
(3)它的大小能否用相应的平面角进行度量呢？
这连续三个类比发问会使学生兴趣盎然, 带着明确的学习目标积极主动地投入课堂的教学中来。
二、二面角的概念
首先观察以下三个动画来回答我们刚才提出的第一个问题——空间中面与面是否能够形成角？
发射人造卫星时，必须使卫星旋转轨道平面与地球赤道平面成适老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，承上启下引出课题，帮助学生形成完整、系统的知识体系。
在这个过程中，放映动画辅助学生回顾相关内容。
教师板书，将这三个问题写在黑板上，便于以问题为中心展开本节课的教学。
（复习引入用时约2分钟）
带着问题观察动画，把“二面角”概念的引出置于生活的背景之中，自然引起学生的学习兴趣，既具体、生动，又注意培养学生用数学的意识，同时使学生认识到本节课题研究的必要性。
我们要读到书里面的全部内容，必须使书所在平面与封面所在平面成适当的角度。
为了使堤坝更加坚固耐用，必须使堤坝所在平面与水所在平面成一定的角度。
通过这三个动画回答了我们第一个问题，空间中面与面是可以形成角的，并且自然而然地引出“二面角”的说法，从而回答了我们第二个问题。
接下来通过与“平面角”类比，得出二面角的具体定义及表示方法。
角二面角
引入直线上一点把直线分
割成两条射线平面内一条直线把平面分割成两部分，每一部分称为半平面
定义从一点出发的两条射
线所组成的图形从一点出发的两个半平面所组成的图形
构成边——顶点——边半平面——直线——半平面
（面）（棱）（面）现实生活中的许多问题，只须给予适当的数学化，便可转化为数学问题，然后用数学知识加以解决。
通过将平面几何中的“角”与立体几何中的“二面角”做类比，使学生温故而知新，符合学生的认知规律，使学生能较深刻地把握概念的本质。
表示法 AOB ∠
l AB αβαβ----或
（二面角的概念 用时约8分钟）
三、二面角的平面角的概念——回答第三个问题
情境问题一
观察以上两个图形有什么不同？（电脑打出图片） 答案：大小不一样，也就是说两个二面角相对张合程度不同
情境问题二
应该如何把它们的大小度量出来呢？
情境问题三
我们以前碰到过类似的问题吗？
大屏幕演示，以提高效率。
情境问题四
两定义的共同特点是什么？——空间中线线角与线面角都是通过
相应的平面角进行度量的。
情境问题五
那么二面角的大小能否能用相应的平面角进行度量呢？
引导学生发现并提出问题，激发学生的探索欲望，从而培养学生的创造性思维。
揭示二面角的平面角概念产生的背景。
引导学生寻找类比联想的对象。
总结性语言，明确答案。
——答案是肯定的，因为在我们所学的知识范围内，能够度量的只是平面角而已。
所以我们要想度量空间角必须把他转换成平面角。
这样就回答了我们刚刚提出的第三个问题。
情境问题六
凭直觉猜想二面角的平面角的顶点以及两边应该在什么位置？ ——顶点在棱上，两边分布在两个半平面内。
给出二面角平面角的定义：
在公共棱l 上任意取一点O ，以点O 为垂足，在半平面内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则AOB 叫做二面角的平面角。
情境问题七
你能找出二面角的平面角的特征吗？(找同学来回答，然后教师补充完整) (1)顶点在棱上；
(2)平面角的两边分布在两个面内； (3)平面角的两边与棱垂直；
(4)平面角的范围[00
0,180]
类比猜想得出结论
根据学情避免了“二面角的平面角的唯一性”的纯理论性证明，后面把这个问题作为一个探究试验来处理。
给出图片加深印象。
让学生学会归纳总结，体现知识的条理性。
（二面角的平面角 用时约10分钟）
四、应用举例
例1、一张长为10厘米的正三角形纸片ABC ，以它的高AD 为折痕，
折叠成一个0120的二面角，求此时B 、C 两点间的距离
电脑屏幕演示折叠动画，帮助学生理解题意。
小结：涉及到二面角的计算问题，关键在于找出（或做出）二面角的平面角。
练习一、如图在四棱锥P-ABCD 中，底面是边长为a 的正方形，侧棱
PD=a ，PA=PC=2a ，求二面角P-BC-D 的大小。
例2、如图正方体1111ABCD A B C D ，
11A BD C BD 求平面与平面的夹角的余弦值。
以动态的动画演示来辅助学生理解题意，清楚的展现折叠后哪些量发生改变，哪些保持不变。
问题归类，培养学生归纳总结能力。
讲练结合，更容易让学生掌握知识要点。
由于学生刚刚接触二面角，所以在探究作二面角的平面角时会有困难，此时教师可以启发学生紧紧抓住二面角的平面角定义这一核心依据。
由浅入深逐渐深入，激发学生的探索欲望——例1只是要求找出二面角的平面角就可以了，而例2则要求同学们自己亲手把它作出来。