高中数学导数综合讲义(共十讲)
高中数学北师大版选修1-1 导数的概念 导数的几何意义 课件(40张) (1)
图 321
2．导数的几何意义：函数 y＝f(x)在 x0 处的导数 f′(x0)，是曲线 y＝f(x)在点 (x0，f(x0))处的________．
【答案】 1.直线 l
2.切线的斜率
若函数 f(x)在点 A(1,2)处的导数是－1，则过点 A 的切线方程为__________．
【解析】 ∵f′(1)＝k＝－1， ∴切线方程为：y－2＝－(x－1)，即 x＋y－3＝0.
【解】 由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函 2 数 f(x)＝x在点(－2，－1)处的导数． f－2＋Δx－f－2 而 f′(－2)＝ lim Δx Δx→0 2 ＋1 －2＋Δx 1 1 ＝ lim ＝ lim ＝－2，故曲线在点(－2，－1)处的切线方 Δ x － 2 ＋ Δ x Δx→0 Δx→0 1 程为 y＋1＝－2(x＋2)，整理得 x＋2y＋4＝0.
8 (2)在点 P 处的切线方程是 y－3＝4(x－2)， 即 12x－3y－16＝0.
利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤如下： 1求出函数 y＝fx在点 x0 处的导数 f′x0； 2根据直线的点斜式方程，得切线方程 (x)＝x在点(－2，－1)处的切线方程.
【自主解答】 当 x 从 100 变为 100＋Δx 时， 函数值 y 关于 x 的平均变化率 为 f100＋Δx－f100 Δx 100＋Δx＋ 100＋Δx＋3－100＋ 100＋3 ＝ 10Δx 1 1 ＝10＋ 10 100＋Δx＋10
当 x 趋于 100 时， 即 Δx 趋于 0 时， 平均变化率趋于 0.105， 即 f′(100)＝0.105， f′(100)＝0.105 表示当建筑面积为 100 平方米时，成本增加的速度为 1 050 元/平方米，也就是说当建筑面积为 100 平方米时，每增加 1 平方米的建筑面积， 成本就要增加 1 050 元．
高中数学全套讲义 选修1-1 导数概念中挡 学生版
目录目录 (1)考点一导数的概念 (2)题型1 变化的快慢和变化率 (2)题型2 导数的概念 (4)考点二导数的几何意义 (4)题型3 有关斜率的判断与计算 (4)课后综合巩固练习 (5)考点一 导数的概念1.平均变化率：已知函数()y f x =在点0x x =及其附近有定义，令0x x x ∆=-，0000()()()()y y y f x f x f x x f x ∆=-=-=+∆-，则当0x ∆≠时，比值00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆叫做函数()y f x =在0x 到0x x +∆之间的平均变化率．2.瞬时变化率：如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x x+∆-∆趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．可用符号记为：当0x ∆→时，00()()f x x f x l x+∆-→∆．还可以说：当0x ∆→时，函数平均变化率的极限等于函数在0x 的瞬时变化率l ，记作：000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆．3.导数：函数在0x 的瞬时变化率，通常就定义为()f x 在0x x =处的导数．并记作()0f x '0|x x y ='可以写为：0000()()lim()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．4.导函数：如果()f x 在开区间()a b ，内每一点x 导数都存在，则称()f x 在区间()a b ，可导，这样，对于开区间()a b ，内的每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '，于是在区间()a b ，内构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数，记为()f x '．导函数通常简称为导数，今后，如不特别指明求某一点的导数，求导数指的就是求导函数．题型1 变化的快慢和变化率1．（2018春•菏泽期中）已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如图，则对于函数()y f x =的描述正确的是( )A ．在(,0)-∞上为减函数B ．在0x =处取得最大值C ．在(4,)+∞上为减函数D ．在2x =处取得最小值2．（2019春•韩城市期末）设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x ='的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．3．（2018春•思明区校级月考）已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．2f '（2）f <（4）f -（2）2f <'（4）B ．2f '（4）2f <'（2）f <（4）f -（2）C ．2f '（2）2f <'（4）f <（4）f -（2）D ．f （4）f -（2）2f <'（4）2f <'（2）4．（2017春•东坡区校级月考）函数()f x 的图象如图所示，则下列关系正确的是( )A ．0f '<（2）f '<（3）f <（3）f -（2）B ．0f '<（2）f <（3）f -（2）f '<（3）C ．0f '<（3）f <（3）f -（2）f '<（2）D ．0f <（3）f -（2）f '<（2）f '-（3） 5．函数1y x=在区间0[x ，0x +△0](0x x ≠，0x +△0)x ≠内的平均变化率为 ．题型2 导数的概念6．（2017春•邢台月考）设函数()1sin 2f x x =+，则等于0()(0)lim (x f x f x→- ) A ．2-B ．0C ．3D ．27．（2019•濮阳一模）已知21()(0)2f x alnx x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．[1，)+∞8．（2018春•商丘期中）已知函数3()(2)x f x x x e =-，则0(1)(1)lim x f x f x→+-的值为( )A ．e -B ．1C ．eD ．09．（2016春•邯郸期中）已知f '（2）2=，则0(22)(2)lim 4x f x f x→--= ．考点二 导数的几何意义导数的几何意义：曲线()y f x =在点()00()x f x ，的切线的斜率等于()0f x '．题型3 有关斜率的判断与计算10．（2018•海南三模）已知函数42()2(1)f x x ax a x =-++-为偶函数，则()f x 的导函数()f x '的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．11．（2016春•海淀区期中）若小球自由落体的运动方程为21()(2s t gt g =为常数），该小球在1t =到3t =的平均速度为v ，在2t =的瞬时速度为2v ，则v 和2v 关系为( )A ．2v v >B ．2v v <C ．2v v =D ．不能确定12．（2018秋•中山市期末）已知曲线y lnx =的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．eB ．e -C ．1eD ．1e-13．（2016秋•福州期末）一质点做直线运动，由始点经过t 秒后的距离为322s t t t =-+，则2t =秒时的瞬时速度为( )A ．8/m sB ．10/m sC ．16/m sD ．18/m s14．（2018•邯郸二模）若过点(1,)P m -可以作三条直线与曲线:x C y xe =相切，则m 的取值范围是( ) A ．23(e -，)+∞ B ．1(,0)e-C ．(0,)+∞D ．231(,)e e-- 15．（2018秋•龙岩期末）已知P 为函数y lnx =图象上任意一点，点Q 为圆222(1)1x y e +--=上任意一点，则线段PQ 长度的最小值为 ．16．（2019春•襄阳期末）正弦曲线sin y x =上一点P ，正弦曲线的以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ．17．（2017秋•海陵区校级期中）已知点P 在曲线sin y x =上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ．课后综合巩固练习1．（2017•红桥区模拟）已知函数321()3f x x x =--，则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率为 ．2．（2017春•昌平区校级月考）曲线3123y x =-在点7(1,)3--处的切线的倾斜角为 ．3．（2015秋•徐州期末）若函数()x f x e ax =-在(1,)+∞上单调增，则实数a 的最大值为 ． 4．（2018春•江岸区校级月考）已知一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3s 时的瞬时速度为( )A ．5 /m sB ．6 /m sC ．7 /m sD ．8 /m s5．（2018•咸阳三模）已知三次函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则(0)(1)f f '=' ．6．（2018春•昌吉市期末）如图函数()f x 的图象在点P 处的切线为：25y x =-+，则f （2）f +'（2）= ．7．（2019春•让胡路区校级月考）已知函数()()y f x x R =∈上任一点0(x ，0())f x 处的切线斜率200(3)(1)k x x =-+，则该函数的单调递增区间为 ．8．（2017春•昌平区校级月考）曲线3123y x =-在点7(1,)3--处的切线的倾斜角为 ．9．（2016春•鹤壁期末）已知点P 在曲线41x y e =+上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是 ．10．（2016春•安徽校级月考）现有一倒放圆锥形容器，该容器深24m ，底面直径为6m ，水以35/m s π的速度流入，则当水流入时间为1s 时，水面上升的速度为 ．。
高中数学选修1-1《导数及其应用》知识点讲义(2)(K12教育文档)
高中数学选修1-1《导数及其应用》知识点讲义(2)(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学选修1-1《导数及其应用》知识点讲义(2)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学选修1-1《导数及其应用》知识点讲义(2)(word版可编辑修改)的全部内容。
第三章 导数及其应用一、变化率与导数()()()()()()()()00000000000000010,0limlim lim .x x x x x y f x x x x x yy x x x xx y x x f x x f x yx xy x x f x y f x x f x f x x∆→∆→=∆→==∆∆≠∆∆+∆∆∆→=+∆-∆=∆∆=+∆-=∆＇＇＇、定义：设在处取得一个增量.函数值也得到一个增量称为从到的平均变化率.若当时时，有极限存在，则称此极限值为函数在处的瞬时变化率，记为，也称为函数在处的导数，记作或,即()0y f x x x ==说明：导数即为函数在处的瞬时变化率.()()00.PT x f x P PT f x k ∆→=＇2、几何意义:时，Q 沿图像无限趋近于点时，切线的斜率.即()()()()003==limlim .x x f x x f x yy f x y f x y x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆＇＇＇＇、导函数（简称为导数）称为导函数，记作，即二、常见函数的导数公式1若()f x c =(c 为常数),则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=； 3 若()sin f x x =，则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =，则()sin f x x '=-； 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a'=8 若()ln f x x =，则1()f x x'=三、导数的运算法则1。
高中数学《导数》讲义(全)
高中数学导数讲义完整版第一部分 导数的背景一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。
导数综合讲义
导数综合讲义(含答案)(总55页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--导数综合讲义第1 讲导数的计算与几何意义 (3)第2 讲函数图像 (4)第3 讲三次函数 (7)第4 讲导数与单调性 (8)第5 讲导数与极最值 (9)第6 讲导数与零点 (10)第7 讲导数中的恒成立与存在性问题 (11)第8 讲原函数导函数混合还原（构造函数解不等式） (13)第9 讲导数中的距离问题 (17)第10 讲导数解答题 (18)10.1导数基础练习题 (21)10.2分离参数类 (24)10.3构造新函数类 (26)10.4导数中的函数不等式放缩 (29)10.5导数中的卡根思想 (30)10.6洛必达法则应用 (32)10.7先构造，再赋值，证明和式或积式不等式 (33)10.8极值点偏移问题 (35)10.9多元变量消元思想 (37)10.10导数解决含有ln x 与e的证明题（凹凸反转） (39)10.11导数解决含三角函数式的证明 (40)10.12隐零点问题 (42)10.13端点效应 (44)10.14其它省市高考导数真题研究 (45)导数【高考命题规律】2014 年理科高考考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，文科考查了求曲线的切线方程，导数在研究函数性质中的运用；2015 年文理试卷分别涉及到切线、零点、单调性、最值、不等式证明、恒成立问题；2016 文科考查了导数的几何意义，理科涉及到不等式的证明，含参数的函数性质的研究，极值点偏移；2017 年高考考查了导数判断函数的单调性，含参零点的分类讨论。
近四年的高考试题基本形成了一个模式，第一问求解函数的解析式，以切线方程、极值点或者最值、单调区间等为背景得到方程从而确定解析式，或者给出解析式探索函数的最值、极值、单调区间等问题，较为简单；第二问均为不等式相联系，考查不等式恒成立、证明不等式等综合问题，难度较大。
高二数学培优讲义导数的概念与运算
第十讲 导数的概念与运算教学目标：1、了解导数概念的实际背景．2、理解导数的几何意义．3、能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.一、知识回顾 课前热身知识点1、导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． (3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．知识点2、几种常见函数的导数①(C )′＝ 0 (C 为常数)； ②(x n )′＝ nx n －1 ；(n ∈Q)③(sin x )′＝ cos_x ； ④(cos x )′＝ －sin_x ；⑤ (e x )′＝ e x ； ⑥(a x )′＝ a x ln_a ；⑦(ln x )′＝ 1x .⑧(log a x )′＝ 1x ln a知识点3、导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．知识点4、复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．二、例题辨析 推陈出新例1、 求下列函数的导数(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln xx ； (3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x －2x ＋e.[解答] (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x 12-－x 12，∴y ′＝(x 12-)′－(x 12)′＝－12x 32-－12x 12-.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln xx 2＝1－ln x x 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.若将本例(3)中“tan x ”改为“sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4”如何求解？ 解：∵y ＝sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4＝－sin x 2cos x 2＝－12sin x ∴y ′＝－12cos x ． 变式练习1．求下列函数的导数(1)y ＝x ＋x 5＋sin x x 2；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝11－x ＋11＋x ；(4)y ＝cos 2xsin x ＋cos x . 解：(1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin x x 2＝x 32-＋x 3＋sin x x2，∴y ′＝(x 32-)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′ ＝－32x 52-＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. (3)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2. (4)y ＝cos 2xsin x ＋cos x＝cos x －sinx ，∴y ′＝－sin x －cos x .例2、 求下列复合函数的导数：(1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ；(3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)． [解答] (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5与u ＝2x －3复合而成， ∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4. (2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成．∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′＝12u －12(－1)＝－12u 12-＝－123－x＝3－x 2x －6.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，∴y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.变式练习2．求下列复合函数的导数： (1)y ＝(1＋sin x )2；(2)y ＝lnx 2＋1；(3)y ＝1(1－3x )4；(4)y ＝x1＋x 2.解：(1)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′＝2(1＋sin x )·cos x . (2)y ′＝(lnx 2＋1)′＝1x 2＋1·(x 2＋1)′＝1x 2＋1·12(x 2＋1)12-·(x 2＋1)′＝xx 2＋1.(3)设u ＝1－3x ，y ＝u －4.则y x ′＝y u ′·u x ′＝－4u －5·(－3)＝12(1－3x )5.(4)y ′＝(x1＋x 2)′＝x ′·1＋x 2＋x ()1＋x 2′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋2x 21＋x 2. 三、归纳总结 方法在握归纳1、求导之前，应先对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量；归纳2、复合函数求导必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系．四、拓展延伸 能力升华例1、 (1)(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．(2)已知曲线y ＝13x 3＋43. ①求曲线在点P (2,4)处的切线方程；②求斜率为4的曲线的切线方程．[解答] (1)y ＝x 22，y ′＝x ，∴y ′|x ＝4＝4，y ′|x ＝－2＝－2.点P 的坐标为(4,8)，点Q 的坐标为(－2,2)，∴在点P 处的切线方程为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8.在点Q 处的切线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得A (1，－4)，则A 点的纵坐标为－4.(2)①∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.②设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4，x 0＝±2.切点为(2,4)或⎝⎛⎭⎫－2，－43， ∴切线方程为y －4＝4(x －2)或y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0或12x －3y ＋20＝0.若将本例(2)①中“在点P (2,4)”改为“过点P (2,4)”如何求解？解：设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2，4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋\f(4,3)，即x 30－3x 20＋4＝0.∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0. ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0. ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0.解得x 0＝－1或x 0＝2. 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.变式练习3．已知函数f (x )＝2x ＋1(x >－1)，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线l 分别交x轴和y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求x 0＝1时，切线l 的方程；(2)若P 点为⎝⎛⎭⎫－23，233，求△AOB 的面积．解：(1)f ′(x )＝1x ＋1，则f ′(x 0)＝1x 0＋1，则曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))的切线方程为 y －f (x 0)＝1x 0＋1(x －x 0)，即y ＝xx 0＋1＋x 0＋2x 0＋1 .所以当x 0＝1时，切线l 的方程为x －2y ＋3＝0. (2)当x ＝0时，y ＝x 0＋2x 0＋1；当y ＝0时，x ＝－x 0－2. S △AOB ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2x 0＋1·(x 0＋2)＝(x 0＋2)22 x 0＋1，∴S △AOB ＝⎝⎛⎭⎫－23＋222－23＋1＝839.例2、已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 C.[)－1，＋∞ D.(]－∞，－1 [解答] 由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y ′＝2ax ＋3－1x＝1有正根，即2ax 2＋2x －1＝0有正根．当a ≥0时，显然满足题意；当a <0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a <0. 综上，a ≥－12.[答案] A归纳:导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)；(2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0求解．变式练习4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ(0<θ<π)，且f (x )＋f ′(x )是奇函数，则θ＝________. 解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ，∴f ′(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ.于是y ＝f ′(x )＋f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ＋3cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋θ＋π2＝2cos(3x ＋θ)， 由于y ＝f (x )＋f ′(x )＝2cos(3x ＋θ)是奇函数，∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0<θ<π，∴θ＝π2. 答案：π2练习1．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.22解析：y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－(cos x －sin x )sin x (sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′⎪⎪⎪4x π=＝12.∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. 选B 2．已知函数f (x )＝x 3＋f ′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ，则函数f (x )的图象在点⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫23处的切线方程是________． 解析：由f (x )＝x 3＋f ′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ，可得f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝⎛⎭⎫23x －1，∴f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2f ′⎝⎛⎭⎫23×23－1， 解得f ′⎝⎛⎭⎫23＝－1，即f (x )＝x 3－x 2－x .则f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫233－⎝⎛⎭⎫232－23＝－2227，故函数f (x )的图象在⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫23处的切线方程是y ＋2227＝－⎝⎛⎭⎫x －23，即27x ＋27y ＋4＝0. 答案：27x ＋27y ＋4＝0 五、课后作业 巩固提高1．曲线y ＝sin xx在点M (π，0)处的切线方程是________．答案：x ＋πy －π＝02．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.解析：由题意知f ′(5)＝－1，f (5)＝－5＋8＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2 3．(2013·永康模拟)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )解析：选D 据函数的图象易知，x <0时恒有f ′(x )>0，当x >0时，恒有f ′(x )<0. 4．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫－π3与f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．不确定 解析：选C 依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6，∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6， f ′⎝⎛⎭⎫π6＝12，f ′(x )＝－sin x ＋1，∵当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f ′(x )>0， ∴f (x )＝cos x ＋x 是⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的增函数，注意到－π3<π3，于是有f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3. 5．已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( )A ．0B ．－1 C.12 D ．2解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx －4，f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，t ＝12.6．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x －1C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1解析：选A 依题意得y ′＝(x ＋1)e x ＋2，则曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为y ′|x ＝0，故曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1.7．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2.下面的不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x解析：选A 由已知，令x ＝0得2f (0)>0，排除B 、D 两项；令f (x )＝x 2＋14，则2x 2＋12＋x ⎝⎛⎭⎫x 2＋14′＝4x 2＋12>x 2，但x 2＋14>x 对x ＝12不成立，排除C 项．8．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________.解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2.∴f ′(x )＝2x －4.∴f ′(0)＝－4. 答案：－49．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.答案：x －y －2＝010．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x ＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.故实数a 的取值范围是(－∞，0)．答案：(－∞，0)11．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求y ＝f (x )的解析式．解：由已知得，－1＋2f (－1)＋5＝0，∴f (－1)＝－2，即切点为(－1，－2)． 又f ′(x )＝(ax －6)′(x 2＋b )－(ax －6)(x 2＋b )′(x 2＋b )2＝－ax 2＋12x ＋ab(x 2＋b )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －61＋b ＝－2，－a －12＋ab (1＋b )2＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝2x －6x 2＋3.12．如右图所示，已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切，直线l 2：x ＝a (a <－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程； (2)求△ABD 的面积S 1.解：(1)由条件知点A (－1,2)为直线l 1与抛物线C 的切点． ∵y ′＝4x ，∴直线l 1的斜率k ＝－4.所以直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)，即4x ＋y ＋2＝0. (2)点A 的坐标为(－1,2)，由条件可求得点B 的坐标为(a,2a 2)，点D 的坐标为(a ，－4a －2)，∴△ABD 的面积为S 1＝12×|2a 2－(－4a －2)|×|－1－a|＝|(a＋1)3|＝－(a＋1)3.13．如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝e x于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；P n，Q n，记P k点的坐标为(x k,0)(k＝1,2，…，n)．(1)试求x k与x k－1的关系(k＝2，…，n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|.解：(1)设点P k－1的坐标是(x k－1,0)，∵y＝e x，∴y′＝e x，∴Q k－1(x k－1，e x k－1)，在点Q k－1(x k－1，e x k－1)处的切线方程是y－e x k－1＝e x k－1(x－x k－1)，令y＝0，则x k＝x k－1－1(k＝2，…，n)．(2)∵x1＝0，x k－x k－1＝－1，∴x k＝－(k－1)，∴|P k Q k|＝e x k＝e－(k－1)，于是有|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|＝1＋e－1＋e－2＋…＋e－(n－1)＝1－e－n1－e－1＝e－e1－ne－1，即|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|＝e－e1－ne－1.。
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
《高中数学导数讲解》课件
积分
导数是积分的基础，通过 求导可以推导出原函数的 表达式。
微分方程
导数在解决微分方程问题 中起到关键作用，如物理 中的动力学问题。
THANKS
感谢观看
பைடு நூலகம்
高中数学导数讲解
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的实际应用 • 导数的扩展知识
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，用于描述函数在某一点附近的变化率。对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处 的导数定义为$f'(x_0) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$，其中$Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)$ 。导数表示函数在点$x_0$处的切线斜率。
01
02
03
起源
导数最初由牛顿和莱布尼 茨在17世纪分别独立发现 ，为微积分学奠定了基础 。
早期发展
18世纪，欧拉、拉格朗日 等数学家进一步发展了导 数理论，将其应用于函数 研究。
现代应用
随着数学的发展，导数在 物理、工程、经济等领域 得到广泛应用，成为解决 实际问题的重要工具。
导数的其他性质
导数的几何意义
详细描述
在物理中，导数具有实际意义。例如，物体运动的瞬时速度 可以由速度函数的导数表示，物质扩散的瞬时速度可以由扩 散函数的导数表示。导数可以描述物体或物质在极短时间内 速度或加速度的变化。
02
导数的计算
切线斜率与导数
切线斜率
导数描述了函数在某一点的切线斜率 ，即函数在该点的变化率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导数综合讲义第1讲导数的计算与几何意义 (3)第2讲函数图像 (4)第3讲三次函数 (7)第4讲导数与单调性 (8)第5讲导数与极最值 (9)第6讲导数与零点 (10)第7讲导数中的恒成立与存在性问题 (11)第8讲原函数导函数混合还原（构造函数解不等式） (13)第9讲导数中的距离问题 (17)第10讲导数解答题 (18)10.1导数基础练习题 (21)10.2分离参数类 (24)10.3构造新函数类 (26)10.4导数中的函数不等式放缩 (29)10.5导数中的卡根思想 (30)10.6洛必达法则应用 (32)10.7先构造，再赋值，证明和式或积式不等式 (33)10.8极值点偏移问题 (35)10.9多元变量消元思想 (37)10.10导数解决含有ln x与x e的证明题（凹凸反转） (39)10.11导数解决含三角函数式的证明 (40)10.12隐零点问题 (42)10.13端点效应 (44)10.14其它省市高考导数真题研究 (45)导数【高考命题规律】2014年理科高考考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，文科考查了求曲线的切线方程，导数在研究函数性质中的运用；2015年文理试卷分别涉及到切线、零点、单调性、最值、不等式证明、恒成立问题；2016文科考查了导数的几何意义，理科涉及到不等式的证明，含参数的函数性质的研究，极值点偏移；2017年高考考查了导数判断函数的单调性，含参零点的分类讨论。
近四年的高考试题基本形成了一个模式，第一问求解函数的解析式，以切线方程、极值点或者最值、单调区间等为背景得到方程从而确定解析式，或者给出解析式探索函数的最值、极值、单调区间等问题，较为简单；第二问均为不等式相联系，考查不等式恒成立、证明不等式等综合问题，难度较大。
预测2018年高考导数大题以对数函数、指数函数、反比例函数以及一次函数、二次函数中的两个或三个为背景，组合成一个函数，考查利用导数研究函数的单调性与极值及切线，不等式结合考查恒成立问题，另外2016年全国卷1理考查了极值点偏移问题，这一变化趋势应引起考生注意。
【基础知识整合】1、导数的定义：'0000()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-=∆，'0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆2、导数的几何意义：导数值'0()f x 是曲线()y f x =上点00(,())x f x 处切线的斜率3、常见函数的导数：'0C =；'1()n n x nx-=；'(sin )cos x x =；'(cos )sin x x =-；'1(ln )x x =；'1(log )ln a x x a=；'()x x e e =；'()ln x xa a a =4、导数的四则运算：'''()u v u v ±=±；；'''()u v u v v u ⋅=+；'''2()u u v v uv v -=5、复合函数的单调性：'''(())()()xfg x f u g x =6、导函数与单调性：求增区间，解'()0f x >；求减区间，解'()0f x <若函数在()f x 在区间(,)a b 上是增函数'()0f x ⇒≥在(,)a b 上恒成立；若函数在()f x 在区间(,)a b 上是减函数'()0f x ⇒≤在(,)a b 上恒成立；若函数在()f x 在区间(,)a b 上存在增区间'()0f x ⇒>在(,)a b 上恒成立；若函数在()f x 在区间(,)a b 上存在减区间'()0f x ⇒<在(,)a b 上恒成立；7、导函数与极值、最值：确定定义域，求导，解单调区间，列表，下结论8、导数压轴题：强化变形技巧、巧妙构造函数、一定要多练记题型，总结方法第1讲导数的计算与几何意义（2016全国卷1理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =__________1ln 2-（2015全国卷1理21（1））已知函数31()4f x x ax =++，当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线34a =-（2015安徽卷理18（1））设*n N ∈，n x 是曲线221n y x +=+在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标，求数列{}n x 的通项公式.1n n x n =+（2015重庆卷理20（1））设函数2()()xax axf x a R e+=∈，若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程0a =，30x ey -=1、函数2()cos f x x =在点1(,)42π处的切线方程为___1024x y π+--=_____2、过32()325f x x x x =-++图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是_3[0,)[,)24πππ ____3、若一直线与曲线ln y x =和曲线2(0)x ay a =>相切于同一点P ，则a =__2e ___4、两曲线21y x =-和ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值范围是__(0,2)e __5、已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则22a b-的取值范围是（C ）（A ）(0,)+∞（B ）(0,1)（C ）1(0,)2（D ）[1,)+∞6、若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点(,)P s t 处具有公切线，则实数a =（C ）（A ）2-（B ）12（C ）1（D ）27、函数()f x 是定义在(0,)+∞的可导函数，当0x >且1x ≠时，'2()()01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为34-，则(1)f =（C ）（A ）0（B ）1（C ）38（D ）153第2讲图像问题1、己知函数()32f x ax bx c =++，其导数()'fx 的图象如图所示，则函数()f x 的极大值是（D ）（A ）a b c ++（B ）84a b c ++（C ）32a b+（D ）c2、设函数()y f x =可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为（A ）xy OxyO AxyO BxyO CyO Dx3、（2017全国卷Ⅰ文8）函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为（C ）B4、函数()ln ||||x x f x x =的图像可能是（B )A BDCyOx11-yOx11-yOx11-yOx11-5、函数1()(cos (,0)f x x x x x xππ=--≤≤≠的图像可能为（D ）6、已知21()sin()42f x x x π=++，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图像是(A )7、下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确．．．．．的序号是(B )（A ）①②（B ）③④（C ）①③（D ）①④8、已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式()()2'230x x fx -->的解集为(D)（A ）()(),21,-∞-+∞ （B ）()(),21,2-∞- （C ）()()(),11,02,-∞--+∞ （D ）()()(),11,13,-∞--+∞ 9、函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象如图所示,则2212x x +等于(C)（A ）89（B ）109（C ）169（D ）4510、（2015安徽）函数()()2ax bf x x c +=+的图像如图所示，则下列结论成立的是（C ）（A ）0,0,0a b c >><（B ）0,0,0a b c <>>（C ）0,0,0a b c <><（D ）0,0,0a b c <<<11、（2016全国卷）函数22xy x e =-在[2,2]-的图像大致为（D ）（A ）（B ）（B ）（D ）第3讲三次函数1、函数3211()(1)2(1)32f x x m x m x =-++-在(0,4)上无极值，则m =__3___2、已知322()3f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0，则a b -=_7-_3、设函数32()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点12,x x ，且对不等式12()()0f x f x +≤恒成立，则实数a 的取值范围是_1(,1][,2]2-∞- __4、函数32()32f x x x ax a =-+--，若存在唯一正整数0x ，使得0()0f x >，则实数a 的取值范围是__2[,1)3___5、已知函数32()1f x x ax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是（A ）（A ）[（B ）(（C ）(,)-∞+∞ （D ）(,)-∞+∞ 6、若函数32()132x a f x x x =-++在区间1(,3)2上有极值点，则实数a 的取值范围是（C ）（A ）5(2,,)2（B ）5[2,,)2（C ）10(2,,3（D ）10[2,,37、若函数32()132x a f x x x =-++在区间1(,3)2上单调递减，则实数a 的取值范围是（C ）（A ）1[,)3+∞（B ）5[,)3+∞（C ）10[,)3+∞（D ）16[,)3+∞8、若函数322()33x f x x =+-在区间(,5)a a +上存在最小值，则实数a 的取值范围是（C ）（A ）[5,0)-（B ）(5,0)-（C ）[3,0)-（D ）(3,0)-9、若函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极大值10，则ba的值为（C ）（A ）32-或12-（B ）32-或12（C ）32-（D ）12-1、已知函数2()52ln f x x x x =-+，则函数()f x 的单调递增区间是_1(0,)(2,)2+∞ __2、已知函数()ln ()xxf x e x ae a R =-∈，若()f x 在(0,)+∞上单调，则a 的取值范围是_1a ≤__3、设函数23()()xx axf x a R e+=∈，若()f x 在[3,)+∞上为减函数，则a 的取值范围是__92a ≥-_____4、若函数()f x 在定义域D 内的某个区间I 上是增函数，且()()f x F x x=在I 上也是增函数，则称()y f x =是I 上的“完美函数”，已知()ln +1xg x e x x =+-，若函数()g x 是区间[,)2m+∞上的“完美函数”，则整数m 的最小值为__3______5、设函数2()xf x e ax =+在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（C ）（A ）[1,)+∞（B ）(1,)-+∞（C ）[2,)-+∞（D ）(2,)-+∞6、函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不单调，则k 的取值范围是（B）（A ）[1,)+∞（B ）3[1,)2（C ）[1,2）（D ）3[,2)27、若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1(,2)2内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（D）（A ）(,2]-∞-（B ）(2,)-+∞（C ）1(2,)8--（D ）1[,)8-+∞8、设12x <<，则222ln ln ln ,(),x x x x x x 的大小关系是（A）（A ）222ln ln ln (x x x x x x <<（B ）222ln ln ln ()x x x x x x <<（C ）222ln ln ln (x x xx x x<<（D ）222ln ln ln (x x xx x x<<9、下列命题为真命题的个数是（D ）①22ee >②2ln 23>③ln 1eππ<④ln 2ln 2ππ<（A ）1（B ）2（C ）3（D ）41、已知0x =是函数222()(2)(2)f x x a x a x a =-++的极小值点，则a 的范围是_(,0)(2,)-∞+∞ __2、已知1x =是函数2()(2)(0)2xk f x x e x kx k =--+>的极小值点，则k 的范围是_(0,)e _3、已知函数2()21ln f x x x a x =-++有两个极值点12,x x ，且12x x <，则（D）（A ）212ln 2()4f x +<-（B ）212ln 2()4f x -<（C ）212ln 2()4f x +>（D ）212ln 2()4f x ->4、若函数()3xf x ae x =+在R 上有小于零的极值点，则实数a 的取值范围是（B ）（A ）(3,)-+∞（B ）(,3)-∞-（C ）1(,)3-+∞（D ）1(,3-∞-5、已知函数()(ln )f x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（B ）（A ）(,0)-∞（B ）1(0,2（C ）(0,1)（D ）(0,)+∞6、若函数2()(12)2ln (0)2ax f x a x x a =-++>在区间1(,1)2内有极值，则a 的取值范围是（C）（A ）1(,)e+∞（B ）(1,+)∞（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞7、若函数()f x 在区间A 上，对,,,(),(),()a b c A f a f b f c ∀∈为一个三角形的三条边，则称函数()f x 为“三角形函数”.已知函数()ln f x x x m =+在区间21[,]e e上是“三角形函数”，则实数m 的取值范围为（D）（A ）212(,)e e e +（B ）2(,+)e ∞（C ）1(,)e +∞（D ）22(,)e e++∞1、设函数2ln ()2xf x x ex a x=--+，若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（D）（A ）21(0,,]e e-（B ）21(0,]e e+（C ）21[,)e e-+∞（D ）21(,e e-∞+2、已知函数()2x me f x =与函数2()21g x x x =--+的图像有两个不相同的交点，则实数m的取值范围为（D ）（A ）[0,1)（B ）218[0,2){}e-（C ）218(0,2){}e-（D ）218[0,{}e-3、定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上存在1212,()x x a x x b <<<满足'1()()()f b f a f x b a -=-，'2()()()f b f a f x b a-=-，则称()f x 是[,]a b 上的“双中值函数”.已知函数32()2f x x x m =-+是[0,2]a 上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（A ）（A ）11(,84（B ）11(124，）（C ）11(,)128（D ）1(,1)84、若存在正实数m ，使得关于x 的方程(244)[ln()ln ]0x a x m ex x m x ++-+-=有两个不同的根，则实数a 的取值范围是（C ）（A ）(,0)-∞（B ）1(0,2e（C ）1(0)(,)2e-∞+∞ （D ）1(,)2e+∞5、（2017.12成都一诊）若关于x 的方程0xx x x e m e x e ++=-有三个不相等的实数解123,,x x x ，且1230x x x <<<，其中, 2.71828...m R e ∈=为自然对数的底数，则3122312(1)(1)(1)x x x x x x e e e ---的值为（D ）（A ）e （B ）1m -（C ）1m +（D ）16、已知函数1()(31)x f x x e mx +=++，若有且仅有两个整数使得()0f x ≤，则实数m 的取值范围为（B ）（A ）5(,2)e（B ）258[,23e e--（C ）218[,)23e--（D ）5[4,2e e--第7讲导数中的恒成立与存在性问题1、（2015全国卷1理12）设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（D ）（A ）3[,1)2e-（B ）33[,24e -（C ）33[,24e （D ）3[,1)2e2、设函数()(31)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若有且只有一个整数0x 使得0()0f x ≤，则a 的取值范围是（C ）（A ）23(,4e （B ）23[,4e （C ）2(,1)e （D ）2[,1)e 3、已知函数1()()x f x x a e=-，曲线()y f x =上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是（D ）（A ）2(,)e -+∞（B ）2(,0)e -（C ）21(,)e -+∞（D ）21(,0)e-4、设函数222()()()()4e af x x a a R -=+-∈，若关于x 的不等式1()5f x ≤有解，则实数a 的值为（A ）（A ）15（B ）14（C ）0（D ）125、已知21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数12,x x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）（A ）(0,1]（B ）(1+)∞，（C ）(0,1)（D ）[1,)+∞6、已知函数2()ln(1)f x a x x =+-，若对,(0,1)p q ∀∈，且p q ≠，有(1)(1)2f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（C ）（A ）(,18)-∞（B ）(,18]-∞（C ）[18,)+∞（D ）(18,)+∞7、设函数2()(33)(2)xxf x e x x ae x x =-+--≥-，若不等式()0f x ≤有解，则实数a 的最小值为（A ）（A ）11e-（B ）12e-（C ）11e-（D ）21e+8、设函数323()(+62)22x x f x e x x x ae x =-+--，若不等式()0f x ≤在[2,)-+∞上有解，则实数a 的最小值为（C ）（A ）312e--（B ）322e--（C ）3142e--（D ）11e--9、已知函数2ln ()()()x x b f x b R x+-=∈，若存在1[,2]2x ∈，使得'()()f x xf x >-，则实数b 的取值范围是（C ）（A）(-∞（B ）3(,2-∞（C ）9(,)4-∞（D ）(,3)-∞10、已知()xf x xe =，2()(1)g x x a =-++，若12,x x R ∃∈，使得21()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是_1a e≥-_______11、若关于x 的不等式22(1)ln 0c x cx x cx -++≥在(0,)+∞上恒成立，则实数c 的取值范围是__1[,)e+∞____12、若关于x 的不等式(1)(ln )0ax x ax -+≥在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是__1(,){}e e-∞- _13、若函数()1ln (0)f x x a x a =--<，1()x x g x e -=，且对任意1212,[3,4]()x x x x ∈≠，121211()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，则实数a 的取值范围为_33[4,0)4e -____14、设函数21()x f x x+=，()x x g x e =，对任意12,(0,)x x ∈+∞，不等式12()()+1g x f x k k ≤恒成立，则正数k 的取值范围是_121k e ≥-___15、记曲线()2xf x e x =--上任意一点处的切线为1l ，总存在过()3cosg x ax x =+上一点处的切线为2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是__[1,2]-__第8讲原函数导函数混合还原一．导数的常见构造1．对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -=更一般地，遇到()()0'≠>a a x f ，即导函数大于某种非零常数(若a =0，则无需构造)，则可构()()axx f x h -=2．对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h +=3．对于()()0'>+x f x f ，构造()()x f e x h x=4．对于()()x f x f >'[或()()0'>-x f x f ]，构造()()xe xf x h =5．对于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h =6．对于()()0'>-x f x xf ，构造()()xx f x h =7．对于()()0'>x f x f ，分类讨论：(1)若()0>x f ，则构造()()x f x h ln =；(2)若()0<x f ，则构造()()[]x f x h -=ln ；二．对于抽象函数而言，在构造函数时我们必须从以下方面考虑：函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性等方面考虑，如果题目给出的条件已经是最简的，则从问题入手；否则反向考虑。