两角差的余弦公式教案
3.1.1 两角差的余弦公式 教案
3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标1.引导学生建立两角差的余弦公式。
通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
2.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。
二、教学重点难点重点：两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点：探索过程的组织和引导。
三、学情分析之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角α、β，的正弦余弦值来表示cos(α-β)，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
四、教学方法1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式。
2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程。
3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。
五、设计思路本节课利用向量的数量积运算的定义来推导两角差的余弦公式，在学习两角差的余弦公式时，应从特例入手，归纳、提炼、拓展到一般的两角差的余弦公式，从单位圆上的三角函数和向量两种不同的途径探索、推导公式。
六、教学过程（一）新课导入某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,小山高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为60米，从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°，∠CAB=15°.求这座电视发射塔的高度。
对于30°，45°，60°等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150°，210°，315°等角的三角函数值。
我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据。
若,αβ为两个任意角, 则Cos()Cos Cos αβαβ-=-成立吗？ 令60,30αβ=︒=︒，显然Cos(6030)Cos60Cos30︒-︒≠︒-︒154530,Cos15Cos(4530)︒=︒-︒∴︒=︒-︒Q 。
两角差的余弦公式教案
两角差的余弦公式教案
目标：学生能够理解和应用两角差的余弦公式解决相关问题。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 使用举例的方式引起学生对两角差的兴趣，并引导他们思考两角差的概念。
2. 提问学生：你们知道两角差的余弦公式是什么吗？有什么用途？
二、理论介绍（15分钟）
1. 介绍两角差的概念和符号表示。
2. 说明两角差的余弦公式的推导过程。
3. 引导学生理解公式的意义，并提供实际应用案例。
三、示范与实践（20分钟）
1. 通过具体的示范问题，展示如何使用两角差的余弦公式。
2. 导引学生解决练习题，巩固所学知识。
3. 现场纠正学生的错误答案，并让他们讲解正确答案的解题方法。
四、归纳总结（10分钟）
2. 与学生讨论公式的实际应用，并回答他们的问题。
五、拓展延伸（10分钟）
1. 提供更具挑战性的问题，让学生思考扩展形式。
六、作业布置（5分钟）
1. 布置相关练习题作为课后作业。
评估方法：
1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和回答问题的准确性。
2. 作业完成度：检查学生完成的作业，看是否能正确运用两角差的余弦公式。
教学资源：
1. 投影仪或白板，用于展示教学内容。
2. 复印的练习题和答案。
注意事项：
1. 确保教学步骤的顺序和时长合理，以确保学生的学习效果和兴趣。
2. 鼓励学生互动与讨论，以促进他们的思考和理解。
两角差的余弦公式教案
3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标1．知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2．过程与方法：通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.二、重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.三、教学设计（一）导入新课(复习导入)我们在初中时就知道cos45°=22,cos30°=23,由此我们能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(α-β)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.（二）推进新课、新知探究、提出问题①请学生猜想cos(α-β)=?②利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？ ③利用向量的知识,又能如何推导发现cos(α-β)=?④细心观察C (α-β)公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？⑤如何正用、逆用、灵活运用C (α-β)公式进行求值计算？活动:问题1：出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos(α-β)=cosα-cosβ的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如α=60°,β=30°,则cos(α-β)=cos30°=23,而cosα-cosβ=cos60°-cos30°=231 ,这一反例足以说明cos(α-β)≠cosα-cosβ.让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.图2问题2：教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图2,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O,以Ox 为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B,则OA =(cosα,sinα),OB =(cosβ,sinβ),∠AOB =α-β.由向量数量积的定义有OA ·OB =|OA ||OB |·cos(α-β)=cos(α-β),由向量数量积的坐标表示有OA ·OB =(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ,于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就是研究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π),使cosθ=cos(α-β),若θ∈［0,π］,则OA ·OB =c osθ=cos(α-β).若θ∈［π,2π］,则2π-θ∈［0,π］,且OA ·OB =cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β).由此可知,对于任意角α、β都有c os(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C (α-β))此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C (α-β).有了公式C (α-β)以后,我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值,就可以求得cos(α-β)的值了.问题3：:教师引导学生细心观察公式C (α-β)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)= __________等.因此,只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α-β)的值了. 问题4：对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=23, cosα=cos ［(α+β)-β］=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.（三）应用示例例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30°=.42621222322+=⨯+⨯ 方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°＋sin60°sin45° =21×.426232222+=⨯+ 点评:本题是指定方法求cos15°的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会.变式训练1.求sin75°,sin15°的值.解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621322322+=⨯+⨯ sin15°= 15cos 12-=2)426(1+-=.426162628-=⨯- 点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.2.求值:cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式C (α-β)的右边的特征,逆用公式便可得到cos(110°-20°).这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性.例2 已知sinα=54,α∈(2π,π),cosβ=135-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 解:由sinα=54,α∈(2π,π),得 cosα=.53)54(1sin 122-=--=--a又由cosβ=135-,β是第三象限角,得 sinβ=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯-点评:本题是直接运用公式C(α-β)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯.（四）课堂小结1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点.2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.（五）作业。
两角差的余弦公式教学设计及点评定稿版
两角差的余弦公式教学设计及点评定稿版教学设计：两角差的余弦公式一、教学目标1.了解两角差的余弦公式的含义和应用背景。
2.掌握两角差的余弦公式的表达方式和解题方法。
3.能够运用两角差的余弦公式解决实际问题。
二、教学内容1.两角差的余弦公式的概念和导出过程。
2.应用例题分析和解答。
三、教学过程1.导入新知识（10分钟）介绍两角差的余弦公式的应用背景和重要性，引起学生对该内容的兴趣和好奇心。
2.概念讲解（15分钟）解释两角差的余弦公式的概念和含义，包括公式的表达方式和在几何图形中的意义。
通过几个简单的例子帮助学生理解公式的实际应用。
3.导出过程（20分钟）4.应用例题演练（30分钟）解答一些简单的例题，让学生动手计算两角差的余弦值，加深对公式的理解。
适当选择一些实际问题的例题，让学生看到公式在实际问题中的应用价值。
5.拓展应用（15分钟）给学生一些更复杂的应用题，让他们运用所学知识解决这些问题。
鼓励学生多思考，发散思维，寻找不同的解题方法。
6.归纳总结（10分钟）总结两角差的余弦公式的应用范围和解题方法，并强化公式的记忆和理解。
鼓励学生用自己的话表达公式的含义，加深对公式的理解。
四、教学点评在拓展应用环节，教师给学生一些更复杂的应用题，让学生运用所学知识解决这些问题。
这是一个很重要的环节，能够培养学生的思考能力和解决问题的能力。
同时，教师鼓励学生多思考，发散思维，寻找不同的解题方法，培养学生的创造力和创新意识。
在总结归纳环节中，教师引导学生用自己的话表达公式的含义，加深对公式的理解。
这种方式能够增强学生对知识的理解和记忆，并培养学生表达能力和思维能力。
同时，教师还进行了复习巩固，加深学生对公式的记忆和理解。
总之，这个教学设计环环相扣，层层深入，既加强了学生对两角差的余弦公式的理解，又培养了学生解决问题的能力和思考能力。
必修4教案3.1两角差的余弦公式
例 4、化简① sin sin 3 cos cos3 （ cos 2 ） ②
1 sin cos （ tan ） 1 sin cos 2
例 5、已知 tan tan
3 求 (2 cos 2 )(2 cos 2 ) 的值（3） 3
= sin cos cos sin ② sin( ) sin cos cos sin ③ tan( )
sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
tan( )
tan tan 1 tan tan tan tan 1 tan tan
4
)
4 3 且 求 cos ( 2 10 ) 5 4 4
5 10 ， cos 求 的值( 4 ) 5 10
例2、
、 均为锐角，且 sin
例3、 ①已知 sin sin
2 4 且 cos cos 求 cos( ) ( 1 9 ) 3 3 1 1 ②已知 、 (0, ) ， sin sin ， cos cos 2 2 2
求 cos2 的值（ 7 25 ）
例 2、已知 sin 3sin(2 ) 求证： tan( ) 2 tan 0 例 3、①求值
2sin 500 sin100 （ 3） cos100
两角差的余弦公式优秀教学设计1
两角差的余弦公式一、教学目标知识与技能目标：1、理解两角差余弦公式的推导过程；2、掌握两角差的余弦公式并能用之解决某些简单的问题。
过程与方法目标：1、通过对公式的推导，让学生体会所蕴含的类比思想和分类讨论的思想；2、通过对公式的推导提高学生分析问题，解决问题的能力，让学生从公式探索中体会认知新事物时从一般到特殊的思想和规律;情感态度与价值观目标：通过对公式的推导与简单应用，使学生经历数学知识的发现、认知的过程，体验成功探索新知的乐趣，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试，从而提高学生的学习兴趣。
二、教学重点两角差的余弦公式及公式的灵活应用三、教学难点余弦公式的探索，推导和证明四、教学策略选择与设计课标要求我们要尽量的把课堂还给学生，让学生小组合作，在得到新知的同时又能培养他们的合作，分析和探索能力。
我们主要采用引导探索的教学方法，引导学生自主探索，合作交流去发现，探求两角差的余弦公式（关键在于如何引导学生通过大胆猜想，类比得出公式）。
五、教学过程：（一）回顾复习在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？问题引入: 我们在前面所学三角函数值时就知道，21cos45,cos302==，而cos15cos(4530)=-，大家猜想一下，cos15等于多少呢？是不是等于cos45-cos30？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的，也就是cos()α β不会等于cos -cos αβ问：那么会是多少呢？（学生大胆猜测两角差余弦的表达式）（二）得出新知所以，cos()α-β=cos cos sin sin αβ+αβ（三）定义解析1 成立条件：是不是对于任意的α，β都适用于差的余弦公式?等价于α-β不属于[0，π]时是否成立？2 结论：归纳为“余余正正符号异”（四）定义巩固例1 利用差角余弦公式求cos15°的值分析：引导学生用15°=45°-30°，和15°=60°-45°两种方法求解．(2)cos15cos105sin15sin105+= ．(3)cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)θ+θ-+θ+θ-= ．例2 已知45sin ,(,),cos ,5213πα=α∈πβ=-β是第三象限角，求cos(α-β)的值． 分析：注意各角所在象限的符号，对于基础好的学生，把条件(,)2πα∈π去掉，结果又如何？ 例3 公式逆用 求13cos15sin152+的值 ［（五）回顾提高刚才我们经历了两角差的余弦公式的完整、曲折探索过程，回顾来看，大家有什么启 发和感悟？（引导学生从思想方法，思路转换等方面去总结提高）公式探究的一般步骤：特殊→猜想→证明根据你所总结的知识，能否证明下面的公式：例4 对于任意的α，β cos()α+β=cos cos sin sin αβ-αβ分析：可以把+β看成是-（-β）；或者根据两角差的余弦公式探索过程，重新证明两角和的余弦公式；（六）课堂练习例5 α，β都是锐角 111cos ,cos(714α=α+β)=-，求cos β的值。
两角差的余弦公式教案(示范课)
《3.1.1两角差的余弦公式》教案玉林高中数学科 授课人：饶蔼教学目标1. 知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础.2. 过程与方法：在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题、合作交流的能力；通过两角差的余弦公式的简单运用,掌握不同方法求值.3. 情感态度：通过课题背景的设计，增强学生的探究、应用意识，认识到数学来源于生活，激发学生的学习积极性.教学重、难点1. 重点：两角差余弦公式的探究、证明过程和公式的初步应用.2. 难点：探究过程的组织和适当引导.学情分析学生已经掌握了利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，也学习了同角三角函数式的变换；理解了平面向量及其运算的意义，并能用数量积表示两个向量的夹角，经历了用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，具有一定的推理能力、运算能力和解决实际问题的能力，但利用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量夹角的联系与区别. 教法、学法1. 教法：问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学.2. 学法：课前预习、小组探究、反思小结等.教学过程（一）创设情境，引入课题金城超市电梯长度约为8米，坡度（与地面夹角）约为30度，请问当我们上完电梯后，在水平方向上前进了多少米？设前进量为x 米，则3430cos 8=︒=x 米提问：当电梯坡度为45度时，其他不变，x 等于多少？8 m x︒30答：2445cos 8=︒=x 米提问：当电梯坡度为15度时，此时x 又等于多少？答：︒=15cos 8x 米问题1：︒15cos 等于多少？能否用特殊角三角函数值来表示？【设计意图】从学生的实际生活出发，自然地引出问题，培养学生把实际问题抽象为数学模型来解决的能力，让学生感知数学来源于生活，并应用于生活，激发学生的学习兴趣；（二）探究归纳，提出猜想问题2：对任意的βα,，βαβαcos cos )cos(-=-是否成立？1. 思考：︒15能否用特殊角表示？预案1：)3045cos(15cos ︒-︒=︒问：︒-︒=︒30cos 45cos 15cos 是否成立？为什么？【设计意图】让学生经历提出假设 证明假设的过程，知道要证明一个假设不成立，只需举出反例即可，即明白特殊与一般的辩证关系。
两角差的余弦公式教学设计
《两角差的余弦公式》教学设计一、教材内容解析（1）内容：高中数学人教A版必修4第三章《三角恒等变换》第一节第一课时，两角差的余弦公式，是用两个单角的三角函数值来表示两个差角的余弦值。
揭示单角三角函数与复角三角函数的内在联系，开辟了三角函数研究的新领域。
（2）地位：这一内容是任意角三角函数知识的延伸，是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知识基础，起着承上启下的作用。
（3）作用分析：两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，是在学生掌握了任意角的三角函数、平面向量的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示两角差的三角函数。
教材采用了一种学生易于接受的推导方法，即先用数形结合的思想，借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时的公式。
对于α，β为任意角时的情况，教材运用向量的知识进行了探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。
（4）重点与难点：两角差的余弦公式的探索推导将是本节的重点，探索过程中老师的组织和适当的引导是本节课的难点，因为这不仅是学习积极性的问题，还有探索过程中必用的基础知识是否具备的问题，以及对已经学过的知识和方法应用能力等问题。
二、教学目标的设置：（1）知识与技能目标：掌握公式的两种证明方法，数形结合法和向量法；学会运用分类讨论思想完善证明；熟记公式的结构特征，学会公式最简单的应用。
（2）过程与方法目标：以学生学习向量数量积时物理学中力做功的例子为引例，创设问题情景，经历用向量数量积推导两角差余弦公式的过程，进一步体会向量方法的应用。
经历三角函数线推导两角差的余弦公式的过程，加强新旧知识的联系，锻炼应用已学过的知识与方法解决问题的能力，使学生从直观角度加强对差角公式结构形式的认识，从而体会数形结合的数学思想方法。
（3）情感、态度与价值观目标：体验科学探索的过程，鼓励学生大胆质疑、猜想，培养学生的“问题意识”，使学生感受科学探索的乐趣和勇气，通过对猜想的验证，对公式证明的完善，培养学生实事求是的科学态度和科学精神，感受运用新知解决实际问题的成就感。
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两角差的余弦公式教案
海南省三亚市第一中学数学组陈艳
一教材分析和目标：
本节课选自人教版.必修四.第三章第一节,是学习了第一章三角函数和第二章平面向量后的内容,其的中心任务是通过以知的向量和三角恒等变换知识,探索建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构.功能及其运用，同时本节内容也是第三章其他十个公式的推导基础。
1. 知识与技能
(1)掌握两角差的余弦公式,并能用之解决简单的问题。
(2)通过对公式的推导,对学生渗透探究思想、类比思想以及分类讨论思想。
2. 过程与方法目标：
通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。
3. 情感与态度目标：
通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。
二教学重点、难点：
重点：通过探索得到两角差的余弦公式，公式的灵活应用。
难点：两角差的余弦公式探索与证明。
教法：问题诱思法，探究法，演练结合法。
学法：自主探究法
三教学流程：
一用熟悉的知识引出课题
二
明确
探索
的目
标和
途径
三
组织
学生
自主
探索
证明
四
通过例
题练习
加强对
公式的
理解
六
布置
作业
五
小
结
四教具:多媒体(幻灯片加几何画板课件演示)
五教学情景设计:
1.我们先看两个问题：
（1） cos( π—β)＝?
（2） cos( 2π—β)＝?
大家根据诱导公式很快得出了答案，大家接着思考一个问题，当特殊角π和2π被一般角α取代，
（3） cos( α－β )＝?
2.大家猜想了多种可能，其中有同学猜想
cos(α－β)＝cosα－cosβ
cos(α－β)＝sinα－sinβ
cos(α－β)＝sinα－cosβ
cos(α－β)＝cosα－sinβ
那么这些结论是否成立？
3.我们一起来用计算器验证。
(几何画板课件)
在这里我们做与单位圆相交的两个角α，β，现在我们来一起模拟计算下大家猜想的几组结论。
首先任意取一组α，β角，模拟计算出 cos(α－β) cosα－cosβsinα- sinβ cosα－sinβ由结果推翻假设（反证法），
那么cos(α－β)到底等于什么呢？现在我们来借助计算机的强大计算功能，由cos(α－β)的结果模拟可能的答案。
4.计算机模拟结论
cos(α–β)＝cosαcos β+ sinαsinβ（黑板板书）。
变换不同的α，β角度，结论仍保持不变。
同学们观察分析该结论的构成，右边与向量夹角的坐标表示一致.
5．证明过程如下：
假设OA与OB的夹角为θ，OA＝（cosα，sinα），OB＝（cosβ，sinβ）
由向量数量积的概念，有OA·OB＝|OA|·|OB|cosθ＝cosθ
由向量数量积的坐标表示有OA·OB＝cosαcos β+ sinαsinβ
于是有 cosθ＝cosαcos β+ sinαsinβ
分类讨论如下：
（1）α－β在[0，π]时，θ＝α－β
（2）α－β在[π，2π]时两向量夹角θ＝2π-（α－β）
此时 cos[2π-（α－β）]＝cos（α－β）
（3）α－β在全体实数范围都可以由诱导公式转换到[0，2π]
综合三种情况，cos(α－β)＝cosαcos β+ sinαsinβ。
得证
经过大家的猜想，计算，证明，我们得出两角差的余弦公式，有些同学开始产生疑问，我们最开始的两个诱导公式是否出现了错误，都是两角差的余弦，结论似乎不一致，现在我们一起来探讨，揭开谜底。
6．例一: 用两角差的余弦公式证明问题
（1）cos (π—β)＝－cos β （2）cos (2π—β)＝cos β 证明（1） cos(π—β)
＝ cos π·cosβ＋sin π·sin β ＝－1·cosβ +0·sinβ ＝－cos β
左边=右边 所以cos(π—β)＝－cos β得证
证明（2） cos(2π—β)
＝ cos2π·cos β + sin 2π·sinβ ＝1·cosβ + 0·sinβ ＝cos β
左边=右边 所以cos(2π—β)＝cos β得证
前面我们都是用抽象的角度,现用具体角度. 7．例二: 用两角差余弦公式求cos15°.
解法一:cos15° ＝cos(45°—30°)
＝cos45°·cos30°+sin45°·sin30°
＝
12+ 解法二: cos15°= cos(60°—45°)
= cos60°·cos45°＋sin60°·sin45°＝
4
（分成17°-2°是否可行?） 8．练习：
证明: cos(α＋β)= cos α·cos β－sin α·sinβ
思考 : 能否参考两角差的余弦公式进行推导? 我们的新课改提倡“减负”，从数学的角度，减负就是---“加正”，所以 α＋β=α- (- β） 证明:∵ cos (α＋β) = cos [α－(- β）]
=cosα·cos( -β) +sin α·sin(-β)
= cosα·cosβ－sinα·sin β
∴cos(α＋β)=cosα·cosβ－sinα·sinβ
9．对比两角和与差的余弦公式:
cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ
余余异号正正
10．化简求值：
（1） cos105°cos15°＋sin105°sin15°=cos90°=0
（2）cos(θ+20°)cos(θ－40°)＋sin(θ+20°)sin(θ－40°)=cos60°=1 2
（3）cos35°cos10°－sin35°sin10°=cos45°
11．回顾反思：
（1）提出问题：由两个熟悉的诱导公式入手，从特殊到一般，提出问题。
（2）探究问题
假设猜想——反证否定——计算机模拟猜想——证明——肯定结论——
灵活应用——公式对照记忆。
12．下节课需要解决的内容，通过已经证明的两角和余弦的思路，思考两角和差的正弦。
13．作业布置：
课本131页第一题和第五题。
14.板书设计
证明过程如下：
假设OA
与
OB
的夹角为θ，
OA
＝（cos α，sin α）
， OB
＝（cos β，sin β）
由向量数量积的概念，有
OA
·OB
＝|
OA
|·|
OB
|cos θ 由向量数量积的坐标OA
·
OB
＝cos αcos β+ sin α左边=右边证明（2）＝ cos2π·cosβ
教学设计附表:。