高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考2月月考试题

高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考2月月考试题

一 选择题（5?10=50分）

1．已知集合()(){}{}

120,13,A x x x x B x x x R =--==+<∈，则A B = ( )

A ．{}0,1

B ．{}0,1,2

C ．{}

42x x -<<

D ．{}

02x x <<

2.复数z 满足

1+)2i z =（，则=z （ ）

A ．1i --

B ．1i -

C ． 1+i

D ．1+i -

3.阅读如下图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为 （ ）

A ． 11

B ． 10

C ． 9

D ．8

4. 下列四个函数中，图象既关于直线π125=

x 对称，又关于点??

?

??06，

π对称的是( ) A ??

? ?

?

+

=32sin πx y B ??

? ?

?-=32sin πx y C ??

? ?

?-=64sin πx y D ??

? ?

?

+=64sin πx y

5.已知(),p x y 是不等式组10300x y x y x +-≥??

-+≥??≤?

的表示的平面区域内的一点，()1,2A ，O 为坐标

原点，则OA OP ?的最大值( )

A.2

B.3

C.5

D.6

6.“命题“q p ∨”为假”是“命题“q p ∧”为假”的( ) A ． 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

7. 已知12,F F 是双曲线22

221x y a b

-=，()0,0a b >>的左，右焦点，若双曲线左支上

存在一点P 与点2F 关于直线bx

y a

=

对称，则该双曲线的离心率为（ ） A.

5

2

258. 某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成.其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一.则不同安排方法的种数是 A. 24 B.36 C. 48 D.64

9.若函数()1

lg a x

f x x b x

-=+-是其定义域上的偶函数，则函数()y f x =的图象不可能是（ ）

10. 设函数()x f '是函数()()R x x f ∈的导函数，()10=f ，且()()3'3-=x f x f ，则

()()x f x f '4＞的解集为( )

A ????

??∞+，23B ???

? ??∞+，2e C ??? ??∞+，32ln D ??? ??∞+，34ln 二 填空题（5?5=25）

11. 若二项式7

(2)a x x

+的展开式中

3

1

x 的系数是84，则实数a ＝( ) 12. 已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直，则2015cos(2)2

π

α-的值为

13. 设数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，且333S a =，则公比q 的值为 14.在直三棱柱111ABC A B C -中，若,3

BC AC A π

⊥∠=

，

14,4AC AA ==，M 为1AA 的中点，点P 为BM 中点，Q 在线段1CA 上，且1

3AQ QC =．则异面直线PQ 与AC 所成角的余弦值 ．

15若函数)(x f 满足0,≠∈?m R m ，对定义域内的任意)()()(,m f x f m x f x +=+恒成立，则称)(x f 为m 函数，现给出下列函数：

①x

y 1

=

； ②x y 2=；

③x y sin =； ④nx y 1=

其中为m 函数的序号是。（把你认为所有正确的序号都填上） 三 解答题 （75分）

16.在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足()A c b C a cos 2cos -=． (Ⅰ)求A ∠的大小；

(Ⅱ)若3a =，求ABC ?面积S 的取值范围．

17.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()

*

∈-=N n a S n n 332．

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ)若数列{}n b 满足：3log n n n b a na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T

18.某次数学测验共有3道题，评分标准规定：“每题答对得5分，答错得0分”.已知某考生能正确解答这3道题的概率分别为312525

，，，且各个问题能否正确解答互不影响. （I ）求该考生至少答对一道题的概率；

（II ）记该考生所得分数为X ，求X 的分布列和数学期望.

19.如图1，等腰梯形ABCD 中，0

//,,60,AD BC AB AD ABC E =∠=是BC 的中点，如图2，将ABE ?沿AE 折起，使面BAE ⊥面AECD ，连接,,BC BD P 是棱BC 上的动点．

（1）求证：AE BD ⊥ （2）若2,AB =当BP BC

为何值时，二面角P ED C --的大小为0

45.

20.已知椭圆22

22:1x y C a b

+=()0a b >>的左右焦点分别是()()12,0,,0F c F c -，直线

:l x my c =+与椭圆C 交于两点,M N 且当3

3

m =-

时，M 是椭圆C 的上顶点，且△12MF F 的周长为6. （1）求椭圆C 的方程；

（2）设椭圆C 的左顶点为A ，直线,AM AN 与直线：4x =分别相交于点,P Q ，问当

M 变化时，以线段PQ 为直径的圆被x 轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，

若不是，说明理由

21.设函数2

ln ()x f x x

=

,2

()g x x =. （1）求()f x 的极大值；

（2）求证：2

*

12ln !()(21)()e n n n n n N ≤++∈

（3）当方程()0()2a f x a R e

+-=∈有唯一解时，试探究函数

2()(())()k

F x x x f x k a k R x

'=+--∈与()g x 的图象在其公共点处是否存在公切线，若存在.研

究k 的值的个数；若不存在，请说明理由.

1.A

2.C

3.C

4.B

5.D

6.A

7.D

8.B

9.C 10.C

11.a ＝112.4

5

-13. 1或﹣14.

15.②③

16.

17.

()()111213324

n n n n T n ++??=+-+?? 18.

19.

(2)

所以如图建立空间直角坐标系

AB=2,则, B(0,0,), D(0, ,0) E(1,0,0), C(2, ,0)

,),,

设

,

设平面PDE的法向量为,

则即

易知平面CDE的法向量为

解得

所以当时，二面角的大小为。

20.20.解：（1）当时，直线的倾斜角为，所以：

解得：，

所以椭圆方程是：；…………………………………………………………5分

（1）当时，（2）直线的方程为：，（3）此时，（4）点的坐标（5）分别是，又点坐标（7）是，（8）由图可以得到两点坐标（9）分别是，（10）以为直径的圆过右焦点，（11）被轴截得的弦

长为6，（12）猜测当变化时，（13）以为直径的圆恒过焦点，（14）被轴截得的弦长为定值6，（15）………………………………………………………………12分

证明如下：

设点点的坐标分别是，则直线的方程是：，

所以点的坐标是，同理，点的坐标是，…………………9分

由方程组得到：，

所以：，……………………………………………11分

从而：

=0，

所以：以为直径的圆一定过右焦点

，被轴截得的弦长为定值6.……………14分

21.解：（1）43

2ln 12ln ().x x x x

f x x x

--'=

=由()0f x '=得,

x e =

从而()f x 在)e 单调递增,在(,)e +∞单调递减.

1

()().2f x f e e

==

极大…………………………………4分 （2）证明：1()().2f x f e e ==极大1

()2f x e

∴≤

2ln 12x x e ∴≤21ln 2x x e

∴≤ 2

2ln e x x ∴≤…………………6分 分别令1,2,3,,x n =

22ln11e ∴≤，22ln 22e ≤，22ln e n n ≤

22222(ln1ln 2ln3ln )123e n n ∴++++≤++++

(1)(21)

2ln !6

n n n e n ++∴≤

2*12ln !()(21)()e n n n n n N ∴≤++∈……………………9分 （3）解：由（1）的结论：方程()0()2a

f x a R e +-

=∈有唯一解 1a ∴= 函数21

()(())()2ln k F x x x f x k a k x x x x

'=+--=--

假设(),()F x g x 的图象在其公共点00(,)x y 处存在公切线，

22

2(),()2kx x k

F x g x x x

-+''== 由00()()F x g x ''=得： 20002

22kx x k x x -+=，即：32

000220x kx x k -+-= 200(1)(2)0,x x k ∴+-=?02

k

x = 又函数的定义域为：(0,)+∞

当0k ≤时，0(0,)2

k

x =?+∞∴函数()F x 与()g x 的图象在其公共点处不存在公切线；

当0k >时，令()(),22

k k

F g =即：222ln 2224k k k --= 即：28ln (0)82k k k -=> 下面研究方程28ln 82k k

-=在(0,)+∞解的个数 令：2

8()ln (0)82x x x x ?-=->2114

()44x x x x x

?-'=-= ()x ?在(0,2)递减，(2,)+∞递增； 且1

(2)02

?=-<

且当0,()x x ?→→+∞； 当,()x x ?→+∞→+∞ ()x ?∴在(0,)+∞有两个零点

∴方程28ln 82

k k -=在(0,)+∞解的个数为2

综上：当0k ≤时，函数()F x 与()g x 的图象在其公共点处不存在公切线； 当0k >时，符合题意的k 的值有2个

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A

B =

（A ）{1}（B ）{1

2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是

（A ）(31)

-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，

（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8

（4）圆

22

28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-

（B ）3

4-

（C ）3（D ）2

（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π

（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π

12个单位长度，则评议后图象的对称轴为

（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π

12 (k ∈Z)

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，

若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=

（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=3

5，则sin 2α=

（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–7

25

（10）从区间[]

0,1随机抽取2n 个数

1x ,

2

x ，…，

n

x ，

1

y ，

2

y ，…，

n

y ，构成n 个数对()11,x y ，

()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有

m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率

π的近似值为

（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n

（11）已知F1，F2是双曲线E 22

221x y a b

-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，

sin 211

3

MF F ∠=

,则E 的离心率为

（A

B ）

3

2

（C

D ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x

+=与()

y f x =图像的交点为

1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ???则1

()m

i i i x y =+=∑

（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=

45，cos C=5

13

，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.

（3）如果α∥β，m ?α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.

其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）

（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

（16）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+2）的切线，则b=。 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本题满分12分）

n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如

[][]0.9=0lg99=1，.

（I ）求111101b b b ，，；

（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.

18.（本题满分12分）

某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数

1 2 3 4 ≥5 保费

0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 一年内出险次数

1 2 3 4 ≥5

概率

0.30 0.15 0.20 0.20 0.10

0. 05

（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=5

4，

EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=

（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆E:22

13

x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.

（I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.

（21）（本小题满分12分） (I)讨论函数x

x 2f (x)x 2

-=

+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈时，函数2

x =(0)x e ax a g x x -->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修41：集合证明选讲

如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA,DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.

(I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；

(II)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25.

（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

（II ）直线l 的参数方程是（t 为参数）,l 与C 交于A 、B 两点，∣AB ∣=，求l 的斜率。 （24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x ∣+∣x+∣，M 为不等式f(x)＜2的解集. （I ）求M ；

（II ）证明：当a,b ∈M 时，∣a+b ∣＜∣1+ab ∣。