高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考2月月考试题

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湖北省高三下学期2月月考数学试题(解析版)

高三数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若全集为R ，集合，，则（）{2x A x =≤∣{ln(2)0}B x x =-<∣()A B =RIðA.B.C.D.3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦30,2⎛⎤⎥⎝⎦3,22⎛⎫⎪⎝⎭()2,+∞【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再根据补集交集的定义即可求出.【详解】因为，，所以． 32A x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭∣{}12B x x =<<()322R A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭∣ð故选：C ．2. 已知p ：，q ：关于x ，y 的方程表示圆，则是的（） 1t >2268250x y tx ty +-++=p q A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由方程表示圆得出参数的范围，然后再判断出是的充分不必要条件.t p q 【详解】关于x ，y 的方程表示圆等价于，即2268250x y tx ty +-++=()()22684250t t -+-⨯>，21t >显然由可推出，反之由不能的到（可能是） 1t >21t >21t >1t >1t <-故是的充分不必要条件. p q 故选：A.3. 新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车．新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV ）、纯电动汽车（BEV ，包括太阳能汽车）、燃料电池电动汽车（FCEV ）、其他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等．非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料．下表是2021年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表：月份代码x 1 2 3 4 5 销售量y （万辆）0.50.611.41.5由上表可知其线性回归方程为，则的值是（）．ˆˆ0.16y bx =+ˆb A. 0.28 B. 0.32C. 0.56D. 0.64【答案】A 【解析】【分析】先计算，，再根据样本中心点适合方程解得的值即可. x y (),x y ˆˆ0.16ybx =+ˆb 【详解】由表中数据可得，，1234535x ++++==0.50.61 1.4 1.515y ++++==将代入，即，解得． ()3,1ˆˆ0.16ybx =+ˆ130.16b =⨯+ˆ0.28b =故选:A ．4. 的展开式中所有有理项的系数和为（） 8x ⎛- ⎝A. 85B. 29C. D.27-84-【答案】C 【解析】【分析】写出通项后可得有理项，进一步计算可得结果. 【详解】展开式的通项为：，其中，4883188C ((1)C --+==-rr r r r rr T x x 012345678r =，，，，，，，，当时为有理项，故有理项系数和为0,3,6r =，003366888(1)C (1)C (1)C 1(56)2827-+-+-=+-+=-故选：C.5. 定义在R 上的偶函数满足，当时，，则函数()f x ()()2f x f x =-[]0,1x ∈()21x f x =-在区间上的所有零点的和是（）()()()sin 2πx f g x x =-15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】A 【解析】【分析】数形结合，函数与在区间上的交点横坐标即为g (x )的零点，根据()f x ()sin 2πy x =15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对称性即可求零点之和.【详解】如图所示，与在区间上一共有10个交点，()f x ()sin 2πy x=15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦且这10个交点的横坐标关于直线对称， 1x =所以在区间上的所有零点的和是10．()g x 15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：A ．6. 赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩，营养价值高.快递运输过程中脐橙损失的新鲜度y 与采摘后的时间t 之间满足函数关系式：为了保证从采摘到邮寄到客户手中新鲜度不22030,010,100012,10100,20tt t y t +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪⨯≤≤⎪⎩低于，则脐橙从采摘到邮寄到客户手中的时间不能超过（）85%（参考数据：） 2log 316≈．A. 20小时 B. 25小时 C. 28小时 D. 35小时【答案】C 【解析】【分析】由题意列不等式求解【详解】由题意，当时，损失的新鲜度小于，没有超过；10t <10%15%当时，令，即，所以. 10t ≥20301215%20t +⋅≤203022023,log 3 1.630tt ++≤≤≈28t ≤故选：C7. 在平行四边形中，，点P 为平行四边形所在平面内一点，ABCD 1,2,AB AD AB AD ==⊥ABCD 则的最小值是（）()PA PC PB +⋅A.B. C.D. 58-12-38-14-【答案】A 【解析】【分析】建立如图所示坐标系设，根据数量积坐标公式即可求解最值． (,)P x y 【详解】建立如图所示坐标系，设，则， (,)P x y (0,0),(1,0),(1,2)A B C 所以，，(1,)PB x y =-- (,)(1,2)(12,22)PA PC x y x y x y +=--+--=--故，()(12)(1)PA PC PB x x +⋅=--+ 22315(22)()22428y y x y ⎛⎫⎛⎫--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以时，取得最小值．31,42x y ==()PA PC PB +⋅ 58-故选：A ．8. 伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，*n ∈N sin xx=，又根据泰勒展开式可以得到222222222111149x x x x n ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭35sin 3!5!x x x x =-+++，根据以上两式可求得（）()()121121!n n x n ---+- 22221111123n +++++= A.B.C.D.26π23π28π24π【答案】A 【解析】【分析】由同时除以x ，再利用展开式中的系数可求出.()()121351sin 3!5!21!n n x x x x x n ---=-++++- 2x 【详解】由，两边同时除以x ，()()121351sin 3!5!21!n n x x x x x n ---=-++++- 得，()()122241sin 13!5!21!n n x x x x x n ---=-++++-又 222222222sin 111149x x x x x x n ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭展开式中的系数为， 2x 2222211111123n π⎛⎫-+++++ ⎪⎝⎭所以， 222221111111233!n π⎛⎫-+++++=- ⎪⎝⎭所以．2222211111236n π+++++= 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知两个不为零的实数x ，y 满足，则下列结论正确的是（） x y <A. B. ||31x y ->2xy y <C. D.||||x x y y <11e e x y x y-<-【答案】AC 【解析】【分析】根据题中条件，确定，可判断A 正确；由不等式的性质，当时，可判断B ||0x y ->0y <错；判断函数的单调性，可判断C 正确；取特殊值，，可判断D 错. ()||f x x x ==1x -1y =【详解】因为，所以，所以，则A 正确；x y <||0x y ->||31x y ->因为，当时，，当时，，则B 错误；x y <0y >2xy y <0y <2xy y >令，易知在R 上单调递增，又，所以，即22,0(),0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩()f x x y <()()f x f y <，则C 正确；||||x x y y <对于D ，若，，则，即D 错误. =1x -1y =1112e e x y--=->-故选：AC.10. 已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结122i z =-i 1P 2z 2i 1z -=论正确的是（） A. 点的坐标为 B.1P ()2,2-122i z =+C. 的D. 的最小值为21z z -1+21z z -【答案】ABC 【解析】【分析】利用复数的几何意义可判断A 选项；利用共轭复数的定义可判断B 选项；利用复数模的三角不等式可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，因为，则，A 对； 122i z =-()12,2P -对于B 选项，由共轭复数的定义可得，B 对； 122i z =+对于C 选项，，则，1i 23i z -=-1i z -==，()()212121i i i i 1z z z z z z -=---≤-+-=当且仅当时，等号成立，即的最大值为，C 对； 21i z ⎫=++⎪⎪⎭21z z -1对于D 选项，，()()212112i i i i 1z z z z z z -=---≥---=当且仅当时，等号成立，即的最小值为，D 错. 21i z ⎛=- ⎝21z z -1-故选：ABC.11. 如图，在棱长为2的正方体中，若M ，N 分别为棱，的中点，则下列说1111ABCD A B C D -1CC 11C D 法正确的是（）A.//BM DN B. 三棱锥的体积为1 M AND -C. 与BM 所成角的余弦值为1B N 45D. 过点B ，M ，N 的平面截该正方体所得截面的面积为 32【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，得到，得到两者不平行；B 选()()2,0,1,0,1,2BM DN =-=项，利用等体积法求解；C 选项，利用空间向量求异面直线夹角公式进行求解；D 选项，作出辅助线，得到过点B ，M ，N 的平面截该正方体的截面，并求出面积.【详解】A 选项，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，D 1,,DA DC DD ,,x y z则，()()()()()10,0,0,2,2,0,0,2,1,0,1,2,2,2,2D B M N B 则，()()2,0,1,0,1,2BM DN =-=设，则，，无解，故不平行，A 错误；BM DN λ=()()2,0,10,1,2λ-=20λ-=⋅,BMDNB 选项，正方形的面积为4，11CDD C ，，，112122CDM S CD CM =⋅=⨯= 111112122DD N S D D D N =⋅=⨯= 1111122MC N S C N C M =⋅= 所以，， 1341122DMN S =---= 11321332A DMN DMN V S AD -=⋅=⨯⨯= 故三棱锥的体积为1，B 正确；M AND -C 选项，，，()()()10,1,22,2,22,1,0B N =-=-- ()()()0,2,12,2,02,0,1BM =-=-则， 1114cos ,5B N BMB N BM B N BM⋅===⋅故与BM 所成角的余弦值为，C 正确； 1B N 45D 选项，连接，， 1A B 1,A N MB 因为M，N 分别为棱，的中点，1CC 11C D 所以，其中不平行， 1//A B MN 1A N BM ==1,A N BM 故过点B ，M ，N 的平面截该正方体所得截面为等腰梯形， 1A NMB 过点分别作⊥于点，⊥于点， ,M N MR 1A B R NT 1A B T 则1RT MN AT BR ====NT ===故等腰梯形的面积为，D 错误.1A NMB ()1922MN A B NT+⋅==故选：BC12. 已知函数，则（）()*()sin cos nnf x x x n =+∈N A. 对任意正奇数为奇函数 ,()n f x B. 当时，的单调递增区间是 4n =()f x ,()4k k k πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZC. 当时，在 3n =()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 对任意正整数的图象都关于直线对称,()n f x 4x π=【答案】CD 【解析】【分析】A.取，利用奇偶性的定义判断；B.由判断；C. 由1n =4413()sin cos cos 444f x x x x =+=+，利用导数法判断；D.由与是否相等判断.3n =2f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 【详解】取，则，从而，此时不是奇函数，则A 错误； 1n =()sin cos f x x x =+(0)10f =≠()f x 当时，4n =()2442222()sin cos sin cos 2sin cos f x x x x x x x =+=+-，211cos4131sin 21cos42444x x x -=-=-=+则的递增区间为，则B 错误： ()f x ,()422k k k πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 当时，，3n =22'()3sin cos 3cos sin 3sin cos (sin cos )f x x x x x x x x x =-=-当时，；当时，， 0,4x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭'()0f x <,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦'()0f x >所以在上单调递减，在上单调递增， ()f x 0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭,42ππ⎛⎤⎥⎝⎦所以的最小值为 ()f x 334f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭故C 正确；因为， sin cos cos sin ()222n n n n f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以的图象关于直线对称，则D 正确.()f x 4x π=故选：CD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 请写出渐近线方程为的一个双曲线方程____________.y =【答案】（答案不唯一）2213y x -=【解析】【分析】先指定焦点所在位置，由题意可得，进行赋值即可得双曲线方程． ::a b c【详解】若焦点在轴上，由题意可得：，x ::2a b c =不妨令，则双曲线方程．12a b c ===，2213y x -=故答案为：．（答案不唯一） 2213y x -=14. _____. tan 204sin 20︒+︒=【解析】【分析】将化为，化简得到，再将化为，展开得到tan 20︒sin 20cos 20︒︒sin 202sin 40cos 20︒+︒︒sin 40︒()sin 6020︒-︒答案. 【详解】原式sin 20sin 202sin 404sin 20cos 20cos 20︒︒+︒=+︒=︒︒()sin 202sin 6020cos 20︒+︒-︒====︒【点睛】本题考查了三角恒等变换，将化为是解题的关键.sin 40︒()sin 6020︒-︒15. 在上､下底面均为正方形的四棱台中，已知，1111ABCD A B C D -1111AA BB CC DD ====，，则该四棱台的表面积为___________；该四棱台外接球的体积为___________.2AB =111A B =【答案】 ①. ②.5+【解析】【分析】在等腰梯形中，过作，垂足为H ，由题意可得，，11DCC D 1C 1C H DC ⊥12CH =1C H =从而可求出四棱台的表面积，设，.由棱台的性质，可将该棱台补成四棱AC BD O = 11111A C B D O ⋂=锥(如图). 由于上､下底面都是正方形，则外接球的球心在上，点O 到点B 与到点的距离相等，O 1OO 1B 到A ，A 1，C ，C 1，D ，D 1的距离相等，从而可求出球的半径，进而可求出四棱台外接球的体积【详解】在等腰梯形中，过作，垂足为H ，易求，，则四棱11DCC D 1C 1C H DC ⊥12CH =1C H =台的表面积为. (12)14452S S S S +=++=++⨯=+上底下底侧设，.由棱台的性质，可将该棱台补成四棱锥(如图). AC BD O = 11111A C B D O ⋂=因为，，可知与相似比为1：2； 2AB =111A B =11SA B SAB △则，，则，则 12SA AA ==AO =SO =1OO =由于上､下底面都是正方形，则外接球的球心在上，在平面上，由于，1OO 11B BOO 1OO =，即点O 到点B 与到点的距离相等，同理O 到A ，A 1，C ，C 1，D ，11B O =1OB OB ==1BD 1，于是O 为外接球的球心，且外接球的半径r =.故答案为： 5+【点睛】关键点点睛：此题考查棱台的有关计算，考查多面体的外接球问题，解题的关键是根据题意找出外接球的球心的位置，从而可求出球的半径，考查计算能力，属于中档题16. 已知抛物线：的焦点是，过的直线交于不同的A ，B 两点，则的C 24x y =F F l C ()1AF BF +⋅最小值是______．【答案】 3##3+【解析】【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理、抛物线的定义和基本不等式l 1y kx =+可求出结果.【详解】由题意知，，显然直线的斜率存在， ()0,1F l 设直线的方程为，，，l 1y kx =+()11,A x y ()22,B x y 由得，所以，所以，24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩2440x kx --=124x x =-221212144x x y y =⋅=所以()()()121212111122AF BF y y y y y y +⋅=+++=+++，122333y y =++≥+=当且仅当，. 1y =2y =故答案为：.3+四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图，在平面四边形ABCD 中，若，，，，6AB =10BC =12CD =120ABC ∠=︒．ACB ACD ∠=∠（1）求的值； cos BCD ∠（2）求AD 的长度．【答案】（1）7198（2） AD =【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理得，由正弦定理得，再根据二倍角公ABC 14AC =sin BCA ∠=式求解即可得； 71cos 98BCD ∠=（2）结合（1）得，进而在中，根据余弦定理得. 13cos 14BCA ∠=ACD AD =【小问1详解】解：在中，因为，，，ABC 6AB =10BC =120ABC ∠=︒由余弦定理，可得， 2222cos 196AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯⨯∠=所以． 14AC =又由正弦定理可得，sin sin AB ACBCA ABC=∠∠所以 sin120sin AB BCA AC ⋅︒∠==所以． 271cos 12sin 98BCD BCA ∠=-∠=【小问2详解】解：由（1），因为为锐角，可得． BCA ∠13cos 14BCA ∠==在中，根据余弦定理，可得ACD 2222cos AD AC CD AC CD BCA =+-⋅⋅∠， 22131412214122814=+-⨯⨯⨯=所以．AD =18. 大豆是我国重要的农作物，种植历史悠久．某种子实验基地培育出某大豆新品种，为检验其最佳播种日期，在A ，B 两块试验田上进行实验（两地块的土质等情况一致）.6月25日在A 试验田播种该品种大豆，7月10日在B 试验田播种该品种大豆．收获大豆时，从中各随机抽取20份（每份1千粒），并测量出每份的质量（单位：克），按照，，进行分组，得到如下表格： [)100,150[)150,200[]200,250[)100,150[)150,200[]200,250A 试验田/份 3 6 11 B 试验田/份6104把千粒质量不低于200克的大豆视为籽粒饱满，否则视为籽粒不饱满．（1）判断是否有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关？（2）从A ，B 两块实验田中各抽取一份大豆，求抽取的大豆中至少有一份籽粒饱满的概率；（3）用样本估计总体，从A 试验田随机抽取100份（每份千粒）大豆，记籽粒饱满的份数为X ，求X 的数学期望和方差．参考公式：，其中．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++ ()20P K k ≥0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.0010k 2.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）有（2）1625（3）， ()55E X =99()4=D X 【解析】【分析】（1）根据完成列联表，然后根据公式计算，再与临界值()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++2K 表比较可得结论，（2）A ，B 两块实验田中各抽取一份大豆中，籽粒饱满的概率分别为两份大豆都籽粒不饱满的概111,,205率为，再结合对立事件概率和为1求解即可； 94920525⨯=（3）根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，即可求解. 【小问1详解】列联表为22⨯6月25日播种7月10日播种合计饱满 11 4 15 不饱满 9 16 25 合计202040，()()()()()()22240111649 5.227 5.024********n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯所以有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关．【小问2详解】A ，B 两块实验田中各抽取一份大豆，抽取的大豆中有一份籽粒饱满的概率分别为，， 112015两份大豆籽粒都不饱满的概率为 111911,20525⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故抽取的大豆中至少有一份籽粒饱满的概率为. 91251625-=【小问3详解】从A 试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满的概率为， 1120则，故， 11~(100,)20X B 11()1005520=⨯=E X . 111199()100(1)20204=⨯⨯-=D X 19. 如图，在中，，，，M ，N 分别为AB 、BC 的中点，将ABC 2CAB π∠=4AB =1AC =BMN沿MN 向上折起到点P 处，使得．3PC =（1）求证：平面平面ACNM ；PMN ⊥（2）求二面角M -PC -A 的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】(1)根据面面垂直的判定定理证明；(2)建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用法向量的夹角与二面角的平面角的关系求解. 【小问1详解】在中，M ，N 分别为AB 、BC 的中点，ABC 2CAB π∠=则，所以折叠后有，． AB MN ⊥MN AM ⊥PM MN ⊥因为，所以． 4AB =122AM PM AB ===又，所以． 1AC =MC =又，3PC =所以，即．222PM MC PC +=PM MC ⊥平面，，,MC MN ⊂ACNM MC MN M = 所以平面，PM ⊥ACNM 又平面，所以平面平面ACNM ． PM ⊂PMN PMN ⊥【小问2详解】由（1）知MA ，MN ，MP 两两垂直，分别以MA ，MN ，MP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，，，，()0,0,0M ()2,0,0A ()2,1,0C ()002P ,,所以，，．()2,1,2PC =- ()0,1,0AC = ()2,1,0CM =--设平面PAC 的一个法向量，()111,,n x y z =则，即，解得，令，得，所以．00n PC n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 11112200x y z y +-=⎧⎨=⎩1110x z y =⎧⎨=⎩11z =111101x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩()1,0,1n = 设平面PCM 的一个法向量，()222,,m x y z =则，即，解得，令，得，所以00m PC m CM ⎧⋅=⎨⋅=⎩2222222020x y z x y +-=⎧⎨--=⎩22220y x z =-⎧⎨=⎩21x =2220y z =-⎧⎨=⎩．()1,2,0m =-所以，cos ,m n n m m n⋅〈〉==⋅由图知二面角M -PC -A 为锐二面角，所以二面角M -PC -A20. 在①；②，；③这三个条件中任选12311111n n S S S S n ++++=+ 12a =12n n na S +=242n n n S a a =+一个，补充到下面横线处，并作答．已知正项数列的前n 项和为，，．{}n a n S *n ∈N （1）求数列的通项公式；{}n a （2）若数列满足，记表示x 除以3的余数，求．{}n b 22n a nb =()x Ω211n i i b +=⎛⎫Ω ⎪⎝⎭∑注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分．【答案】（1）2n a n =（2）2112n i i b +=⎛⎫Ω= ⎪⎝⎭∑【解析】【分析】（1）选条件①时，利用，可求出数列的通项公式；选条件②时，化11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩{}n a 简可得为常数列，进而求出数列的通项公式；选条件③时，利用()121n na a n n n+=≥+{}n a ，可求出数列的通项公式；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩{}n a（2）依题意可知，所以，再利用二项式定理解决整除和余数问2nn b =()21212212122212n n n ii b +++=-==--∑题.【小问1详解】选条件①时，当时，，解得，所以． 1n =1112S =12S =12a =当时，，， 2n ≥12311111n n S S S S n ++++=+ 123111111n n S S S S n--++++= 两式相减得，即，， ()111n S n n =+()1n S n n =+2n ≥当时满足上式，所以． 1n =()1n S n n =+所以当时，，2n ≥()()1112nn n a S S n n n n n -=-=+--=又，所以． 12a =2n a n =选条件②时，因为，12n n na S +=当时，， 1n =2124a S ==当时，， 2n ≥()112n n n a S --=两式相减，得，所以， ()11n n na n a +=+()121n na a n n n+=≥+又，所以， 21221a a==()*11n n a a n n n+=∈+N 所以数列为常数列，又，所以，n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭121a =2n a n =所以． 2n a n =选条件③时，当时，，因为，所以． 1n =211142a a a =+10a >12a =由，当时，， 242n n n S a a =+2n ≥211142n n n S a a ---=+两式相减，得，2211422n n n n n a a a a a --=-+-整理得，所以．2211220n n n n a a a a -----=()()1120n n n n a a a a --+--=因为，所以， 0n a >()122n n a a n --=≥所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，{}n a所以． 2n a n =【小问2详解】由题知，2nn b =所以，()21212212122212n n n i i b +++=-==--∑又，()12212242312n n n +++-=-=+-而()10112111111131233332n n n n n n n n n n n C C C C C ++-+++++++-=+++++- 01121111133331n n n nn n n n C C C C +-++++=++++-()011221111333312n n n n n n n n C C C C --++++=++++-+ 所以．2112n i i b +=⎛⎫Ω= ⎪⎝⎭∑21. 已知点，动点到直线的距离与到点的距离的比为2，设动点的轨迹为曲线. ()1,0A M 4x =A M C （1）求曲线的方程；C （2）若点，点，为曲线上位于轴上方的两点，且，求四边形的面积()1,0B -P Q C x PA QB ∥PABQ 的最大值.【答案】（1）22143x y +=（2）3 【解析】【分析】（1）直接法求点的轨迹方程；（2）由已知得，为所求椭圆的焦点，通过计算，可得四边形为平行四边形，A B C =PE QF PEFQ 将所求四边形的面积转化为求三角形的面积，从而得到PABQ POE 2POE PABQ S S ==四边形△，利用换元法及导数法即可求出面积的最大值. 【小问1详解】设，所以(),M x y 2=4x -=两边平方，得，()()2224414x x y -=-+化简，得，即曲线的方程为.22143x y +=C 22143x y +=【小问2详解】如图，由（1）知曲线为椭圆，，为其焦点，延长与椭圆相交于另一点，延长与椭圆相C A B PA E QB 交于另一点.F 设直线的方程为，，，PE 1x my =+()11,P x y ()22,E x y 联立方程消去并化简，得， 221,431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x ()2234690,m y my ++-=所以，， 122634m y y m +=-+122934y y m =-+所以PE ==()22121.34m m +==+因为，所以，设的方程为， //PA QB //PE QF QF 1x my =-同理可求，所以，所以四边形为平行四边形，()2212134m QF m +=+PE QF =PEFQ 所以四边形的面积. PABQ 2PQEPOE PABQ S S S==四边形△△点到直线的距离，O PEd ==所以 ()22121112234POEmS PE d m +=⋅=⨯=+△所以.2POEPABQ S S ==四边形△，所以，()1t t =≥212121313PABQ t S t t t==++四边形令，则，显然当时，， 13y t t =+2221313t y t t-=-='1t ≥0'>y 所以在上单调递增，所以当，13y t t=+[)1,+∞1t =即时，取得最小值，且， 0m =y min 4y =所以，即四边形的最大值为3.()max3PABQS =四边形PABQ 22. 已知函数（）．()e xf x x mx =-m ∈R （1）当时，求的单调区间；2e m -<-()f x （2）令，若是函数的极值点，且，求证：()()ln F x f x m x =-0x ()F x ()00F x >．()30022F x x x >-+【答案】（1）单调递增区间为，无减区间 (),-∞+∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出，令，再次利用导数判断函数的单调性得出，进而()f x '()()g x f x '=()min 0g x >可得结果；（2）求出，当时，显然不成立，当时，求出极值点满足，结合常见不等()F x '0m ≤0m >0x 00e xm x =式，再利用导数证明不等式成立即可. e 1x x >+1ln 22x x x -->-【小问1详解】，令，则．()()1e x f x x m '=+-()()1e x g x x m =+-()()2e x g x x '=+当时，，当时，，<2x -()0g x '<2x >-()0g x '>所以函数在上单调递减；在上单调递增，()g x (),2-∞-()2,-+∞所以．()()2min 2e g x g m -=-=--又，则，则，2e m -<-2e 0m --->()min 0g x >所以对任意恒成立，所以的单调递增区间为，无减区间． ()0f x ¢>x ∈R ()f x (),-∞+∞【小问2详解】证明：（），()()()ln e ln xF x f x m x x m x x =-=-+0x >则， ()()()11e 11e xx m F x x m x x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，则函数在上单调递增，故函数无极值点，不合题意； 0m ≤()0F x '>()F x ()0,∞+当时，令，因为函数，在上单调递增， 0m >()e xm h x x =-e x y =my x=-()0,∞+所以函数在上单调递增． ()e xmh x x=-()0,∞+取满足，则，， b 10min ,22m b ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭e b <2m b -<-所以，又， ()e 20b m h b b=-<-<()e 10m h m =->所以，使得，即， ()0,x b m ∈()000e 0x m h x x =-=()()00001e 0x m F x x x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭'此时．00e x m x =当时，，当时，，00x x <<()0F x '<0x x >()0F x '>所以函数在上单调递减，在上单调递增，()F x ()00,x ()0,x +∞所以是函数的唯一的极值点，0x ()F x 所以． ()()()()000000000min e ln e 1ln x x F x F x x m x x x x x ==-+=--因为，所以，()00F x >()0000e 1ln 0x x x x -->令，则， ()1ln x x x ϕ=--()110x x ϕ=--<'所以在上单调递减，()1ln x x x ϕ=--()0,∞+又，所以当时，，()10ϕ=()00x ϕ>001x <<令，，则， ()()e 1x t x x =-+01x <<()e 1xt x '=-当时，，则在上单调递增， 01x <<()e 10xt x '=->()t x ()0,1所以，所以．()()00t x t >=e 1x x >+令，，则， ()()1ln 22ln 1m x x x x x x =----=--01x <<()1xm x x'-=当时，，所以函数在上单调递减，01x <<()0m x '<()m x ()0,1所以，所以，()()10m x m >=1ln 22x x x -->-所以， ()()()()03000000000e1ln 12222x F x x x x x x x x x =-->+-=-+即，所以．()300022F x x x >-+()30022F x x x >-+【点睛】关键点点睛：本题解题关键是设出隐零点并结合不等式与不等式e 1x x >+1ln 22x x x -->-证明，考查学生逻辑推理能力，是一道难题.。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第二次月考试卷

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第二次月考试卷数学(文科）满分：150分时量：120分钟一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的. 1．设全集U R =，{0},{1},3xA xB x x x =<=<-+则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{0}x x >B ．{31}x x -<<-C ．{30}x x -<<D ．{1}x x <-2．下列命题正确的是( )A ．2000,230x R x x ∃∈++=B ．32,x N x x ∀∈>C ．1x >是21x >的充分不必要条件D ．若a b >，则22a b >3．设原命题：若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( ) A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真 C ．原命题真，逆命题真D ．原命题假，逆命题假4．()f x 是R 上的奇函数，当0x ≥时，3()ln(1)f x x x =++，则当0x <时，()f x ＝( ) A ．3ln(1)x x ---B ．3ln(1)x x +- C ．3ln(1)x x --D ．3ln(1)x x -+-5.下列函数中,既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是( ) A y x =B ln y x =C x y e =D cos y x =6．已知21()sin()42f x x x π=++，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图象是( )7.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A ． )2()1()23(f f f <-<- B ． )2()23()1(f f f <-<-C ． )23()1()2(-<-<f f fD ． )1()23()2(-<-<f f f8．设 1.50.90.4814,8,2a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小顺序为（）A 、a b c >>B 、a c b >>C 、b a c >>D 、c a b >>9.若21025x=，则10x -等于（）A 、15-B 、15C 、150D 、162510. 已知()()2212f x x a x =+-+在(],4-∞上单调递减，则a 的取值范围是（）A 、3a ≤-B 、3a ≥-C 、3a =-D 、以上答案都不对11．已知定义域为R 的函数()f x 满足：(4)3f =-，且对任意x R ∈总有'()3f x <，则不等式()315f x x <-的解集为( )A ．(,4)-∞B ．(,4)-∞-C ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞D ．(4,)+∞12．把能够将圆22:9O x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“圆梦函数”,则下列函数不是圆O 的“圆梦函数”的是( ) A ．3()f x x =B.()tan2x f x = C.()ln[(4)(4)]f x x x =-+ D.()()xxf x e e x -=+二、填空题:本大题共4个小题，共20分，将答案填写在题中的横线上.13．若命题“2,20x R ax ax ∀∈--≤”是真命题，则实数a 的取值范围是________．14．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上是单调递增函数．如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+≤，那么t 的取值范围是________．15．若函数3()3f x x x =+对任意的[2,2],(2)()0m f mx f x ∈--+<恒成立，则x ∈________.16．设定义域为R 的函数2lg ,0(),2,0x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩则函数2()2()3()1g x f x f x =-+的零点的个数为. 三、解答题:本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知全集U R =,集合2{(2)(3)0},{()(2)0}A x x x B x x a x a =--<=---<.(1)当12a =时,求()u C B A ⋂. (2)若A B ⊆,求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知命题p :在[]1,2x ∈时,不等式220x ax +->恒成立;命题q :函数213()log (23)f x x ax a =-+是区间[)1,+∞上的减函数.若命题“p q ∨”是真命题,求实数a 的取值范围.19．（本小题满分10分）已知1()f x x x=+(1)求函数在12x =处的切线方程. (2)求函数在0x x =处的切线与直线y x =和y 轴围成的三角形的面积.20．（本小题满分12分）对,a b R ∈，记,,max{,},,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数()max{1,25}()f x x x x R =++∈．(1)求(0),(3)f f -；(2)作出()f x 的图象，并写出()f x 的单调区间；(3)若关于x 的方程()f x m =有且仅有两个不等的实数解，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数21()()2xf x e x ax a R =--∈． (1)若函数()f x 的图象在处的切线方程为2y x b =+，求,a b 的值； (2)若函数在R 上是增函数，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知二次函数2()2(,)f x x bx c b c R =++∈满足(1)0f =,且关于x 的方程()0f x x b ++=的两个实数根分别在区间(3,2),(0,1)--内. (1)求实数b 的取值范围;(2)若函数()log ()b F x f x =在区间(1,1)c c ---上具有单调性,求实数c 的取值范围.湘阴一中第二次月考答题卷数学(文科）满分：150分时量：120分钟命题：李振奎审题：盛任一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.把答案填在下面表格中.二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分，把答案填在下面对应题号后的横线上。

2023年高三2月大联考(新高考卷)数学试题及参考答案

2023年高三2月大联考（新高考卷）数学试题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()i z i 4321-=-，则z 的共轭复数=z （）A .i 21--B .i21+-C .i21-D .i21+2.已知集合{}12>=xx A ，集合{}022<--=x x x B ，则=B A （）A .()2,0B .()2,1C .()21，-D .()∞+，03.已知平面向量()2,1-=a，()3,4-=b ，则b a +与a 的夹角为（）A .6πB .4πC .32πD .43π4.下列函数中，既是奇函数又在()∞+，0上单调递增的为（）A .xy tan =B .()()x x y --+=1ln 1ln C .321x x y +=D .xe e y x x 2--=-5.2022年小李夫妇开设了一家包子店，经统计，发现每天包子的销量()2501000~，N X （单位：个），估计300天内每天的销售约在950到1100个的天数大约为（）（附：若随机变量()2~σμ，N X ，则()6827.0≈+≤≤-σμσμX P ，XP ≤-σμ2（9545.02≈+≤）σμ，()9973.033≈+≤≤-σμσμX P ）.A .236B .246C .270D .2756.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a S 263=-，则55a S 的值为（）A .1611B .1633C .211D .4831-7.已知椭圆C ：()012222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为21F F ，.若椭圆C 上存在一点M ，使得21F F 是1MF 与2MF 的等比中项，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡2155，B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡21105，C .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1105，D .⎥⎦⎤ ⎝⎛210，8.若4.06.0ea =，4ln 2-=b ，2-=ec ，则c b a ,,的大小关系为（）A .c b a >>B .bc a >>C .a c b >>D .ab c >>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某校有5名同学参加国家安全知识竞赛，甲同学得知其他4名同学的成绩（单位：分）分别为80,84,86,90，若这5名同学的平均成绩为87，则下列结论正确的是（）A .甲同学的竞赛成绩为95B .这5名同学竞赛成绩的方差为26.4C .这5名同学竞赛成绩的第40百分位数是84D .从这5名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为0.610.在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动.他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小胡，他于点A 处测得河对岸点B 位于点A 的南偏西45°的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点E D C ,,，使点D C B ,,共线，点B 位于点D 的正西方向上，点C 位于点D 的正东方向上，测得m CE CD 100==，︒=∠75BAD ，︒=∠120AEC ，m AE 200=，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（）A .mAD 200=B .ADC ∆的面积为231000m C .mAB 6100=D .点A 在点C 的北偏西30°方向上11.已知直线l ：02=+--m y mx 与圆C ：922=+y x 相交于B A ,两点，则（）A .直线l 过定点()2,1B .若ABC ∆的面积取得最大值，则1-=m C .AB AC ⋅的最小值为8D .线段AB 的中点在定圆上12.如图，四棱锥ABCD P -的底面是梯形，AD BC ∥，1===CD BC AB ，2=AD ，2==PD P A ，平面P AD ⊥平面ABCD ，E O ,分别为线段P A AD ,的中点，点Q 是底面ABCD 内（包括边界）的一个动点，则下列结论正确的是（）A .BP AC ⊥B .三棱锥AOE B -外接球的体积为43πC .异面直线PC 与OE 所成角的余弦值为43D .若直线PQ 与平面ABCD 所成的角为60°，则点Q 的轨迹长度为π3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()()5312-+x x 的展开式中4x 的系数为.（用数字作答）14.已知双曲线M ：()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，点P 为双曲线M 右支上一点，且满足312121=-F F PF PF ，则双曲线M 的渐近线方程为.15.将函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin πx x f 的图象向右平移6π个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变，得到函数()x g 的图象，则不等式()022023>⎪⎭⎫⎝⎛-πg x g 在区间[]π，0内的解集为.16.已知函数()ax ae x f x-=和()()x e x x g x+-=1，记()x f ，()x g 的导函数分别为()x f '，()x g '，若存在0>t ，使得()()t g t f '='，则实数a 的最小整数值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，设向量()a A m ,cos =，()c b B C n 23,cos 3cos 2--= ，且n m∥.（1）求cb ；（2）若32π=A ，ABC ∆的面积为332，求a 值.18.（12分）已知等比数列{}n a 的公比为()1≠q q ，21=a ，23132a a a =+，等差数列{}n b 的公差为1-，23=b ，记{}s x x x ,,min 21表示s x x x ,,21这s 个数中最小的数.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧=n n n n n n a b a b a b c 2,,2,2min 2211 ，求数列{}n nc 的前n 项和n S .19.如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，4221===CB CA AA ，BC AC ⊥，BM BB 21=，P 为M C 1上一点.（1）证明：平面11MC A ⊥平面AMC ；（2）若点P 的平面11ABB A 的距离为22，求平面APC 与平面APM 夹角的余弦值.20.（12分）某会议主办方邀请甲、乙、丙、丁、戊5位专家参加一项学术会议并安排了专家的位置，若5位专家随机选择一个位置就座，恰好坐到主办方安排的位置上，为坐对位置，否则，为坐错位置.设坐对位置的专家人数为X.（1）求随机变量X 的分布列及数学期望；（2）在其中3为专家坐错位置的条件下，求恰有2位专家坐对位置的概率.21.（12分）已知抛物线C ：()022>=p px y ，圆E ：()12422=+-y x 与抛物线C 有且只有两个公共点.（1）求抛物线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过圆心E 的直线与圆E 交于点B A ,，直线OB OA ,分别交抛物线C 于点Q P ,（点Q P ,不与点O 重合）.记OAB ∆的面积为1S ，OPQ ∆的面积为2S ，求21S S 的最大值.22.（12分）已知函数()()()R a x ax e x x f x∈---=2321311，()x f '是()x f 导函数.（1）若()()xx f x g '=，求证：当0>a 时，()0>a g 恒成立；（2）若()x f 存在极小值，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1.C解析：由()i z i 4321-=-得i ii z 212152143+=-=--=，∴=z i 21-.2.A解析：由12>x得0>x ，∴{}0>=x x A .由022<--x x 得21<<-x ，∴集合{}21<<-=x x B ，则{}20<<=x x B A .3.D 解析：设b a +与a的夹角为θ，由已知得，()1,3-=+b a ，∴()5-=⋅+a b a ，又5=a，10=+b a ，∴221055cos -=⨯-=θ，∴43πθ=.4.D解析：对于A，函数x y tan =是奇函数，但在()∞+，0上不是单调函数，故A 错误.对于B，()()x x y --+=1ln 1ln 的定义域为()1,1-，不符合题意，故B 错误.对于C，令()321xx x g +=，则()x g 的定义域为{}0≠x x ，且()()()()x g xx x x x g -=-+=-+-=-323211，∴()x g 是奇函数.对()x g 求导，得()0342<--='xx x g ，∴()x g 在()∞+，0上单调递减，故C 错误.对于D，令()x ee xf xx2--=-，则()()x f x e e x f x x -=+-=--2，∴x ee y xx 2--=-是奇函数，∵02≥-+='-x x e e y ，当且仅当0=x 时取等号，∴函数x e e y xx2--=-在R 上单调递增，故D 正确.5.B解析：根据题意，501000==σμ，，()1100950≤≤X P XP ≤-=σμ（()()+⨯≈+≤≤-++≤≤-=+≤6827.0212221212σμσμσμσμσμX P X P ）8186.09545.021=⨯，∴300天内每天包子的销量约在950到1100个的天数大约为2468186.0300≈⨯.6.A解析：令1=n 得11263a a =-，解得61=a .由n n a S 263=-得11263++=-n n a S ，两式相减，整理得n n a a 21-=+，∴数列{}n a 是以6为首项，-2为公比的等比数列，∴()126--⨯=n n a ，∴()[]()()[]nnn S 21221216--⨯=----⨯=，∴()()1611262124555=-⨯+⨯=a S .7.A解析：设m MF =1，n MF =2，椭圆C 的半焦距为c ，则a n m 2=+，24c mn =，∴()22222224a m n m mn n m c a -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-.∵c a m c a +≤≤-，∴()[]2222,04ca m c a ∈-=-，即22254c a c≤≤，则41512≤≤e ，∴2155≤≤e .8.B解析：（1）先比较b a ,：∵()4.04.04.0ln 16.0e e ea -==，()2ln 124ln 2-=-=b ，∴可以构造函数()()x x x f ln 1-=，则()4.0ef a =，()2f b =.对()x f 求导，得()x x f ln -='，当()+∞∈,1x 时，()0<'x f ，∴()x f 在()∞+，1上单调递减.∵215.05.00<<<=e ee ，∴()()24.0f e f >，即b a >.（2）再比较c b ,：∵e e c b --=--=-2ln 244ln 4∴可以构造函数()e x x x x g --=ln 2，则()x x g ln 1-='，当()e x ,0∈时，()0>'x g ；当()+∞∈,e x 时，()0<'x g ，∴()x g 在()e ,0上单调递增，在()∞+，e 上单调递减，∴()()0max ==e g x g ，∴()02<g ，∴0<-c b ，即c b <.（3）最后比较c a ,：∵()24.014.0+--=-e ec a ，∴可以构造函数()()21+--=e e x x h x，则()xxe x h -='，当()1,0∈x 时，()0<'x h ，∴()x h 在()1,0上单调递减.又∵()25.05.05.0+-=e eh ，且6.15.0>e ，∴()05.0>h ，∴()()05.04.0>>h h ，∴0>-c a ，即c a >.综上得，b c a >>.二、选择题9.AB解析：对于A，设甲同学的竞赛成绩为x ，则()879086848051=++++⨯x ，解得95=x .故A 正确.对于B，这5名同学竞赛成绩的方差()()()()()[]4.268795879087868784878051222222=-+-+-+-+-=s ，B 正确.对于C，∵2%405=⨯，∴这5名同学竞赛成绩的第49百分位数是()85868421=+⨯，故C 错误.对于D，竞赛成绩高于平均成绩的有2人，∴从这5名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为4.052==P ，故D 错误.10.AC解析：对于A，∵︒=∠75BAD ，点B 位于点A 的南偏西45°方向上，∴︒=∠60ADB ，︒=∠120ADC ，︒=∠45B .又︒=∠=∠120ADC AEC ，m CE CD 100==，AC AC =，m AE 200=，在ADC AEC ∆∆，中，︒⋅-+=120cos 2222CE AE CE AE AC ，︒⋅-+=120cos 2222CD AD AD CD AC ，∴m AE AD 200==.故A 正确.对于B，ADC ∆的面积为()2350002310020021sin 21m ADC CD AD =⨯⨯⨯=∠⨯⨯⨯，故B 错误.对于C，在ABD ∆中，由正弦定理得BADADB AB sin sin =∠，解得：)m BADBAD AB 61002223200sin sin =⨯=∠⋅=，故C 正确.对于D，过点A 作BC AG ⊥于点G ，易知︒=∠30DAG ，∴︒>∠30CAG ，故D 错误.11.ACD解析：直线l 可化为()21+-=x m y ，则直线l 过定点()2,1，故A 正确.由题意，知圆C 的半径3=r ，ABC ∆的面积ACB ACB r S ∠=∠=sin 29sin 212，当2π=∠ACB 时，ABC ∆的面积取得最大值，此时圆心C 到直线l 的距离为223，则223122=++-m m ，解得1-=m 或71-=m ，故B错误.221AB BAC AB AC =∠=⋅，当l PC ⊥时，弦长AB 最短为4，此时AB AC ⋅的最小值为8，故C 正确.当P 不是AB 的中点时，设线段AB 的中点为Q ，由垂径定理知CQ PQ ⊥，则Q 在以PC 为直径的圆（除去P 点）上，当P 是AB 的中点时，Q 与P 重合，故D 正确.12.AC解析：易证四边形ABCO 为菱形，∴AC BO ⊥.连接PO ，∵2==PD P A ，∴AD PO ⊥.∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD AD =，⊂PO 平面P AD ，∴⊥PO 平面ABCD∵⊂AC 平面ABCD ，∴AC PO ⊥.又O OB PO = ，∴⊥AC 平面POB .又⊂BP 平面POB ，∴BP AC ⊥，故A 正确.易证AOE ∆为等腰直角三角形，AOB ∆为等边三角形，且平面P AD ⊥平面ABCD ，∴三棱锥AOE B -外接球的球心为等边三角形AOB 的中心，∴三棱锥AOE B -外接球的半径为33，∴三棱锥AOE B -外接球的体积为：ππ273433343=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=V ,故B 错误.∵OE PD ∥，∴CPD ∠为异面直线PC 与OE 所成的角（或其补角），∵122=-=OD PD PO ，∴222=+=OC PO PC .在PCD ∆中，由余弦定理得43222122cos =⨯⨯-+=∠CPD ，故C 正确.∵⊥PO 平面ABCD ，∴OQ 为PQ 在平面ABCD 内的射影，若直线PQ 与平面ABCD 所成的角为60°，则︒=∠60PQO.∵1=PO ,∴33=OQ ，故点Q 的轨迹为以O 为圆心，33为半径的半圆，∴点Q 的轨迹长度为π33，故D 错误.三、填空题13.165解析：由二项式定理得()53-x 的展开式的通项为()r rrr xC T 3551-=-+，∴在()()5312-+x x 的展开式中4x 的系数为()()165332115225=-⨯+-⨯C C .14.x y 22±=解析：设双曲线M 的半焦距为c ，由双曲线的定义及312121=-F F PF PF 得3122=c a ，∴3=ac，∴2222=-=aa c ab ，∴双曲线M 的渐近线方程为x y 22±=.15.⎪⎭⎫⎝⎛23ππ，解析：由题意可得()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin πx x g ，∴2332sin 22023==⎪⎭⎫⎝⎛ππg ，则()022023>⎪⎭⎫⎝⎛-πg x g 可化为()023>-x g ，∴()23>x g ，令Z k k x k ∈+<-<+,2323223πππππ，得Z k k x k ∈+<<+,23ππππ.当0=k 时，不等式()022023>⎪⎭⎫⎝⎛-πg x g 在区间[]π，0内的解集为⎪⎭⎫⎝⎛23ππ，.16.3解析：∵()a ae x f x-='，()1+='xxe x g ，存在0>t ，使得()()t g t f '='，∴()11+=-t tte e a .∵0>t ，∴01>-te ，∴方程1111-++=-+=tt t e t t e te a 有解.令()()011>-++=x e x x x G x ，则()()()()()22121111---=-+--+='x x x x x x e x e e e e x e x G ，令()()02>--=x x e x h x，则()01>-='xe x h 恒成立，∴()x h 在()∞+，0上单调递增.∵()031<-=e h ，()0422>-=e h ，∴存在唯一一个()2,10∈x ，使得()00=x h ，∴当()0,0x x ∈时，()0<x h ，()0<'x G ，当()+∞∈,0x x 时，()0>x h ，()0>'x G ，∴()x G 在()0,0x 上单调递减，在()+∞,0x 上单调递增，∴()()110000min -++==x e x x x G x G .由0200=--x e x 得200+=x e x ，∴()()3,2112100000∈+=-+++=x x x x x G ，故实数a 的最小整数值为3.四、解答题17.解：（1）∵()a A m ,cos = ，()c b B C n 23,cos 3cos 2--= ，且n m∥，∴()()B C a A c b cos 3cos 2cos 23-=-.由正弦定理得()()B C A A C B cos 3cos 2sin cos sin 2sin 3-=-，即()()B A B A C A C A sin cos cos sin 33sin cos cos sin 2+=+，∴()()B A C A +=+sin 3sin 2，∴C B sin 3sin 2=.由正弦定理得c b 32=，∴23=c b .（2）∵32π=A ，23=c b ，∴ABC ∆的面积为332833sin 212===c A bc S ，∴234==b c .由余弦定理得：976cos 222222=++=-+=bc c b A bc c b a ，∴3192=a .18.解：（1）由23132a a a =+得q q 232222⨯=⨯+⨯，解得2=q 或1=q （舍去），∴n n n a 2221=⨯=-.∵等差数列{}n b 的公差为1-，23=b ，∴()()n n b b n -=-⨯-+=5133.（2）设()()n k k a b h kn k k n k ,2,12522=-==，令()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≤-+-11242252262252k nkn k n k n k k k k ，解得76≤≤k ，故当6=k 或7=k 时，k h 最小，最小值为62--n ，∴6221122,,2,2min --=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=n n n n n n n a b a b a b c ，∴62-⋅-=n n n nc ，∴()63452232221----⨯++⨯+⨯+⨯-=n n n S ，()544422322212----⨯++⨯+⨯+⨯-=n n n S ，两式相减可得：()5634522222-----⋅-++++-=-n n n n S ()55221212--⋅+---=n nn ，∴()55221---⋅-=n n n S .19.解：（1）∵BM BB 21=,∴M 为1BB 的中点，∴21==M B BM .又三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，211==BC C B ，∴︒=∠=∠4511CMB MB C ，∴︒=∠901CMC ，∴CM M C ⊥1.∵AC CC ⊥1，BC AC ⊥,C BC CC = 1，⊂BC CC ，1平面11B BCC ，∴⊥AC 平面11B BCC .又⊂M C 1平面11B BCC ，∴M C AC 1⊥.∵C AC CM = ，⊂AC CM ，平面AMC ，∴⊥M C 1平面AMC .∵⊂M C 1平面11MC A ，∴平面11MC A ⊥平面AMC .（2）过点P 作BC PH ⊥于点H ，可得1BB PH ∥，∴点P 的平面11ABB A 的距离等于点H 到平面11ABB A 的距离，过点H 作AB HQ ⊥于点Q ，由面面垂直的性质定理可得，HQ 的长度为点H 到平面11ABB A 的距离，∴22=HQ .∵点C 到直线AB 距离为2，∴H 为线段BC 的中点，∴P 诶线段M C 1的中点.以C 诶原点，1,,CC CB CA 所在的直线分别为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()3104002200020001，，，，，，，，，，，，，，P C M A C ，∴()()()222002312，，，，，，，，-=-=-=AM AC AP ，设平面APC 的法向量为()111,,z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00m AC m AP ，即⎩⎨⎧=-=++-020321111x z y x ，则01=x ，令11=z ，得31-=y ，∴平面APC 的一个法向量为()1,3,0-=m.设平面APM 的法向量为()222,,z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n AM n AP ，即⎩⎨⎧=++-=++-0222032222222z y x z y x ，令12=y ，得22=x ，12=z .∴平面APM 的一个法向量为()1,1,2=n.设平面APC 与平面APM 的夹角为θ，则15156102cos =⨯=⋅=n m n m θ，∴平面APC 与平面APM 夹角的余弦值为1515.20.解：（1）由题知，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,5，()()30111204433205514==⨯+⨯==A C X P ；()8312045915515==⨯==A C X P ；()6112020225525==⨯==A C X P ；()12112010135535==⨯==A C X P ；()12011555===A X P .则X 的分布列为：则()112015121361283130110=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E .（2）设A=“其中的3位专家坐错位置”，B=“恰有2位专家坐对位置”，X 01235P301183611211201()()()12010912011211531=--==-=-=X P X P A P ，()()612===X P AB P ，则()()()1092012010961===A P AB P A B P .∴所求的概率为10920.21.解：（1）由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1242222y x px y 整理得()04282=+--x p x .由对称性可得关于x 的方程有两个相等的正的实数根，∴()016282=--=∆p ，且028>-p ，解得2=p ，∴抛物线C 的方程为x y 42=.（2）如图，由题意知直线AB 额斜率不为0，故设直线AB 的方程为4+=my x ，()()()()44332211,,,,y x Q y x P y x B y x A ，，，.将直线AB 的方程代入圆E 的方程中，消去x ，得()12122=+y m ，∴11222+=m y ，∴12y y -=，且11222221+==m y y .直线OA 的方程为x x y y 11=，代入抛物线方程x y 42=，消去x ，得y x xy 1124=，解得114y x y =或0=y ，∴1134y x y =.同理得2244y x y =，∴22211142312144sin 21sin 21y x y y x y y y y y OQ OB OP OA POQ OQ OP AOB OB OA S S ⋅=⋅=⋅=∠⋅⋅∠⋅⋅=()()()()()()16416441616212122212122121221+++=++==y y m y y m y y my y m y y x x y y()()()414916112161121616222222212221++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=m m m m m y y m y y 9254922-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=m .∴当0=m 时，21S S 取得最大值，最大值为169.22.解：（1）∵()x f 的定义域为R，()()1--='ax e x x f x，()()01≠--=x ax e x g x ，()12--=a e a g a .令()()01>--=x ax e x h x，则()x e x h x2-='.令()()02>-=x x e x xϕ，则()()02>-='x e x xϕ.由()0='x ϕ，得2ln =x ，∴当()2ln ,0∈x 时，()0<'x ϕ；当()+∞∈,2ln x 时，()0>'x ϕ，∴()x ϕ在()2ln ,0上单调递减，在()+∞,2ln 上单调递增，∴当()+∞∈,0x 时，()()02ln 222ln >-=≥ϕϕx ，即当()+∞∈,0x 时，()0>'x h ，∴()x h 在()+∞,0上单调递增.∵0>a ，∴()()00=>h a h ，∴当0>a 时，()0>a g 恒成立.（2）由（1）知，()()1--='ax e x x f x.设()()R x ax e x m x∈--=1，则()a e x m x-='.①当0≤a 时，恒成立，()0>'x m ，∴()x m 在R 上单调递增.∵()00=m ，∴当()0,∞-∈x 时，()0<x m ，从而()0>'x f ；当()+∞∈,0x 时，()0>x m ，从而()0>'x f .又∵()00='f ，∴R x ∈∀都有()0≥'x f ，()x f 在R 上单调递增，此时()x f 无极值.②当0>a 时，由()0='x m 得a x ln =，∴当()a x ln ,∞-∈时，()0<'x m ；当()+∞∈,ln a x 时，()0>'x m ，∴()x m 在()a ln ,∞-上单调递减，在()+∞,ln a 上单调递增，∴当a x ln =时，()x m 取得最小值，且最小值为()1ln ln --=a a a a m .令()()01ln >--=x x x x x F ，()x x F ln -='，∴当()1,0∈x 时，()0>'x F ；当()+∞∈,1x 时，()0<'x F ，∴()x F 在()1,0上单调递增，在()∞+，1上单调递减.∵()01=F ，∴当()+∞∈,0x 时，()0≤x F ，即当0>a 时，()01ln ln ≤--=a a a a m （当且仅当1=a 时等号成立）.（ⅰ）当1=a 时，()()00ln ==m a m ，且当0≠x 时，都有()0>x m ，∴()00='f ,且当()0,∞-∈x 时，()0<'x f ；当()∞+∈，0x 时，()0>'x f ，∴()x f 在()0，∞-上单调递减，在()∞+，0上单调递增，∴()x f 在0=x 处取得极小值，符合题意.（ⅱ）当10<<a 时，0ln <a ，且()0ln <a m .∵011>=⎪⎭⎫⎝⎛--a e a m ，()00=m ，∴()x m y =的图象大致如图（1）由函数的单调性及零点存在定理，得在⎪⎭⎫⎝⎛-a a ln ,1内存在唯一的实数1x ，使得()01=x m ，∴当()1,x x ∞-∈时，()0>x m ，从而()0<'x f ；当()0,1x x ∈时，()0<x m ，从而()0>'x f ；当()+∞∈,0x 时，()0>x m ，从而()0>'x f ，∴()x f 在()1,x ∞-上单调递减，在()+∞,1x 上单调递增，∴()x f 在1x x =处取得极小值，符合题意.（ⅲ）当1>a 时，0ln >a ，且()0ln <a m .∵()00=m ，由（1）知，()0>a m ，∴()x m y =的图象大致如图（2）.由函数的单调性及零点存在定理，得在()a a ,ln 内存在唯一的实数2x ，使()02=x m ，∴当()0,∞-∈x 时，()0>x m ，从而()0<'x f ；当()2,0x x ∈时，()0<x m ，从而()0<'x f ；当()+∞∈,2x x 时，()0>x m ，从而()0>'x f ；∴()x f 在()2,x ∞-上单调递减，在()+∞,2x 上单调递增，∴()x f 在2x x =处取得极小值，符合题意.综上，当()x f 存在极小值，a 的取值范围为()∞+，0.。

高三第二次月考数学试卷(附答案)

高三第二次月考数学试卷（卷面150分,考试时间120分钟）卷Ⅰ一. 选择题:(共12小题,每小题5分共60分,每小题只有一个正确选项)1. 定义{}A B x x A x B -=∈∉且,若{}1,2,3,4,5M =,{}2,3,6N =,则N M -等于 A. M B. N C. {}1,4,5 D.{}62. 非空数集{}1,2,3,4,5S ⊆ ,且S 还满足条件:若,a S ∈则 6a S -∈ ,则符合上述条件的S 集合的个数为A. 4B. 5C. 6D. 73. 设集合{}22,A x x x R =-≤∈,{}2,12B y y x x ==--≤≤, 则()R C A B ⋂等于 A. R B. {}0x x R x ∈≠且 C. {}0 D. ∅4. 已知函数()2f x x bx c =++ 对任意实数x 都有()()1f x f x +=- ,则下面不等式成立的是 A. ()()()202f f f - B. ()()()220f f f - C. ()()()022f f f - D. ()()()202f f f -5. 函数()3,f x x x x R =+∈,当02πθ≤≤时,()()sin 10f m f m θ+-恒成立,则实数m 的取值范围是A. ()0,1B. (),0-∞C. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. (),1-∞6. 数列{}n a 为等差数列,n S 为其n 前项的和,147a a a ++=21 ,3699a a a ++=,则9S 等于A. 15B. 40C. 45D. 50 7. 在等比数列{}n a 中,7114146,5a a a a ⋅=+=,则2010a a = A.2332或 B. 23 C. 32 D. 131或-2 8. 化简()11111121231234123n N n*+++++∈+++++++++的结果是 A. 1n n + B.21n n + C. 221n n + D. 21nn +9.已知[)1sin cos ,,tan 5αααπα+=∈且0,则的值为A. 43-B. 34-C. 34D. 4310. 函数()()sin 0y x ωω=在区间[]0,1上存在对称轴,则ω的最小值为A.4π B. 2πC. πD. 2π 11. 如果4x π≤ , ,那么函数()2cos sinf x x x =+的最小值是A.12 B. 12- C. 1- D. 12. 函数()f x 在R 上是增函数, ()0,2A ,()4,2B 是其图象上的两个点,则不等式()22f x +的解集是A. ()(),22,-∞-⋃+∞B.()2,2-C. ()(),04,-∞+∞D.()0,4二.填空题:(共4小题,每小题5分,共20分,请将答案直接填在题中的横线上)13.若y = 的定义域为R ，则a 的取值范围 . 14.已知()()l o g 2a fx a x =-在[]0,1上是减函数,则a 的取值范围是 .15. 设数列{}n a 的通项为()27n a n n N *=-∈,则1215a a a +++=16. 在ABC ∆3中，已知sinB=5,5cos 13A =,则cos C = .三.解答题:(共6小题,共70分,解答应写出文字说明,推导过程或演算步骤)17.(本题满分10分)已知向量()()sin ,0,cos ,1a x b x →→==，其中203xπ，求12a →的取值范围。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题普通高等学校招生全国统一考试理科数学

高考数学高三模拟考试试卷压轴题普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。

1．1212ii+=-（） A ．4355i --B ．4355i -+C ．3455i --D ．3455i -+2．已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．43．函数()2x xe ef x x --=的图象大致是（）4．已知向量a b ，满足，1a =，1a b ⋅=-，则()2a a b ⋅-=（）A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的离心力为3，则其渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．3y x =± 6．在ABC △中，5cos2C =，1BC =，5AC =，则AB =（） A ．42B ．30 C ．29 D ．257．为计算11111123499100S =-+-+⋅⋅⋅+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（） A ．112B ．114C ．115D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为（）A ．15BCD10．若()cos sin f x x x =-在[]a a -，是减函数，则a 的最大值是（）A ．4πB ．2πC ．43πD ．π 11．已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()()12350f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．50-B ．0C ．2D ．5012．已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的左、右焦点交点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（） A ．23B ．12C ．13D ．14 二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线()2ln 1y x =+在点()00，处的切线方程为__________．14．若x y ，满足约束条件25023050x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤，则z x y =+的最大值为_________．15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________． 16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45︒．若SAB △的面积为_________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高三第二次月考(数学)试题含答案

高三第二次月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）1．如果复数21iz =-+，则 A ．z 的共轭复数为1i + B ．z 的实部为1 C ．2z =D ．z 的虚部为1-2.（5分）2．已知集合{}0 1 2A =，，，集合{}|2B x x =>，则A B ⋂= A ．{}2B ．{}0 1 2，，C ．{}|2x x >D ．∅3.（5分）3．不等式组220y x y ≤⎧⎨-+≥⎩，表示的平面区域是图中的（）A ．B ．C ．D ．4.（5分）4．已知集合{}3,M a =，{}22,3,2N a a =--，若M N ⊆，则实数a 的值是（） A ．±1B ．1或2C ．2D ．±1或25.（5分）5．在一次投篮训练中，某队员连续投篮两次.设命题p 是“第一次投中”，q 是“第二次投中”，则命题“两次都没有投中目标”可表示为 A ．()p q ⌝∧ B ．()()p q ⌝∧⌝C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∨⌝6.（5分）6．下列说法中正确的是（）A ．若0a b <<，则a b >B ．若a b >，则11a b< C ．若a b >，则22ac bc > D ．若ac bc >，则a b >7.（5分）7．关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()3,1-，则不等式20bx ax c ++<的解集为（） A ．()1,2?B ．()1,2-C ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭8.（5分）8．的一个必要不充分条件是A ．-1<<6B ．C ．D ．9.（5分）9．若不等式2(1)(1)20m x m x -+-+>的解集是R ，则m 的范围是A ．[1,9)B ．(1,9)C ．(,1](9,)-∞⋃+∞D ．(,1)(9,)-∞⋃+∞10.（5分）10．在下列函数中，最小值是2的函数是（）A ．()1f x x x=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ C ．()223f x x =+D ．()42x xf x e e =+- 11.（5分）11．已知命题p ：“[]x 0,1∀∈，x a e ≥”，命题q ：“x R ∀∈，2x 4x a 0++≠”，若命题p q ∧￢是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[]1,4B ．[]e,4C ．()4,∞+D ．(],1∞-12.（5分）12．以下有关命题的说法错误的是A ．“03x <<”是“11x -<”的必要不充分条件B ．命题“若2x ≠或3y ≠，则5x y +≠”的否命题为真命题C ．若p q ∨是真命题，则p q ∧也是真命题D ．对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥二、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．若变量x 、y 满足约束条件12x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值为________．14.（5分）14．已知0x >，0y >，且21x y +=，则112x y+的最小值是______．15.（5分）15．当x∈（1，3）时，不等式x 2+mx+4＜0恒成立，则m 的取值范围是．16.（5分）16．已知命题p ：24x -≤≤，命题q ：实数x 满足()20x m m -≤>，若p⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________.三、解答题（本题共计6小题，总分70分） 17.（10分）17．（10分）解下列关于x 的不等式：（1）(2)1(3)x x x x +-≥-；（2）2112x x +≤+ 18.（12分）18．（12分）已知集合{}2|514A x y x x ==--，集合，集合．（1）求∁R (A ∪B)；（2）若，求实数m 的取值范围．19.（12分）19．（12分）已知命题p ：2,10x R ax ax ∀∈++>，命题:213q a -<．(1)若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，求实数a 的取值范围．20.（12分）20．（12分）当0x >时，解关于x 的不等式2(1)0()aax a a R x-++≥∈ 21.（12分）21. （12分）设函数()12f x x m x =+--.（1）若1m =，求函数()f x 的值域；（2）若1m =-，求不等式()3f x x >的解集.22.（12分）22．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求C 与l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点(2,2)P -，求11||||PM PN +的值答案一、单选题（本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）Ｄ 2.（5分）Ｄ 3.（5分）Ｃ 4.（5分）Ｂ 5.（5分）Ｂ 6.（5分）Ａ 7.（5分）Ｃ 8.（5分）Ａ 9.（5分）Ａ 10.（5分）Ｄ 11.（5分）Ｂ 12.（5分）Ｃ二、填空题（本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13. 3【详解】画出可行域和目标函数，如图所示：2z x y =+，则2y x z =-+，z 表示直线在y 轴的截距，根据图像知：当1x y ==时，函数有最大值为3. 故答案为：3.14.（5分）14．4【详解】由题意，知0x >，0y >，且21x y +=，则111122()()222422222y x y xx y x y x y x y x y+=+=++≥+⋅=+，当且仅当22y x x y =，即11,24x y ==时等号成立，所以112x y +的最小值是4.故答案为：4.15.（5分）15．（﹣∞，﹣5]．【详解】利用函数f （x ）=x 2+mx+4的图象，∈x∈（1，3）时，不等式x 2+mx+4＜0恒成立， ∈，即，解得m≤﹣5．∈m 的取值范围是（﹣∞，﹣5]．故答案为（﹣∞，﹣5]．16.（5分）故答案为：[4，)+∞．三、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（1）[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（2）{}|21x x -<≤【详解】（1）原不等式可化为2210x x --≥，即()()2110x x +-≥，解得12x ≤-或1≥x ，所以原不等式的解集为[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.（2）不等式2112x x +≤+可化为102x x -≤+，等价于(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩，解得212x x -≤≤⎧⎨≠-⎩，所以不等式的解集为{}|21x x -<≤.18.（12分）18．（1）(2,7)-；（2）2m <或6m ≥．（注意书写形式）试题解析：（1）25140x x --≥72x x ∴≥≤-或 ∈又()27120,43,4,3x x x B --->∴-<<-=--(][),27,A B ∴⋃=-∞-⋃+∞ ()()2,7R C A B ∴⋃=-（2） ∈ ∈． ∈,,∈．∈,则或．∈．综上，或19.（12分）19．(1) [)0,4 (2) ()[)1,02,4-【详解】根据复合命题真假，讨论p 真q 假，p 假q 真两种情况下a 的取值范围．（1）命题p 是真命题时，21>0ax ax ++在R 范围内恒成立， ∈∈当0a =时，有10≥恒成立；∈当0a ≠时，有2040a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得：04a <<； ∈a 的取值范围为：[)0,4.（2）∈p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，∈p ，q 中一个为真命题，一个为假命题，由q 为真时得由213a -<，解得1a 2-<<，故：∈p 真q 假时，有041a a ≤<⎧⎨≤-⎩或042a a ≤<⎧⎨≥⎩，解得：24a ≤<；∈p 假q 真时，有012a a <⎧⎨-<<⎩或412a a ≥⎧⎨-<<⎩，解得：10a -<<；∈a 的取值范围为：()[)1,02,4-.20.（12分）20．【详解】∈0x >故原不等式等价于()()()221010ax a x a ax x a -++≥⇔--≥当0a ≤时，10ax 恒成立此时不等式解集为 Φ ；当0a >时，由()()10ax x a --=，有1x x a a==或，则当01a <<时，解集为：(]10,,a a ⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭当1a =时，解集为R +;当1a >时，解集为：[)10,,a a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦21.（12分）21．（1）[3,3]-（2）(),1-∞详解：（1）当1m =时，()12f x x x =+--3,121,123,2x x x x -≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩，当12x -<≤时，3213x -≤-<，∈函数值域为[3,3]-．（2）当1m =-时，不等式()f x 即123x x x +-->.∈当1x <-时，得123x x x ---->，解得15x <，所以1x <-；∈当12x -≤<时，得123x x x +-+>，解得1x <，所以11x -≤<； ∈当2x ≥时，得123x x x ++->，解得1x <-，所以无解；综上所述，原不等式的解集为(),1-∞.22.（12分）22．（1）22(2)9x y +-=，40x y -+=；（2. 【详解】解：（1）因为曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以其直角坐标方程为22(2)9x y +-=，∈直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∈sin cos 4ρθρθ-=，∈其直角坐标方程为40x y -+=；（2）直线l 过点(2,2)P -且参数方程可表示为222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C的方程，得250t --=，则12t t +=125t t =-，∈121211||||t t PM PN t t -+==。

高三数学2月模拟考试试题理含解析试题

2021届高三数学2月模拟考试试题理〔含解析〕第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,2A =，集合{}2,3B =，那么()C A B ⋃⋃=〔〕 A. ∅B. {}1,2,3,4C. {}2,3,4D.{}0,1,2,3,4【答案】C 【解析】【分析】先求C A ⋃，再根据并集定义求结果.【详解】因为{}3,4C A ⋃=，所以(){}2,3,4C A B ⋃⋃=，选C.【点睛】此题考察集合的补集与并集，考察根本分析求解才能，属基此题. 2.在区间[2,2]-上任意取一个数x ，使不等式20x x -<成立的概率为〔〕 A16B.12C.13D.14【答案】D 【解析】【分析】先解不等式，再根据几何概型概率公式计算结果. 【详解】由20x x -<得01x <<，所以所求概率为1012(2)4-=--，选D.【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．〔3〕几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．根本领件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法〞求解几何概型的概率．3.各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，那么6a =〔〕 A. 64 B. 32 C. 16 D. 4【答案】B 【解析】【分析】先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求6.a【详解】由2416a a =得2445516116,1602232.a q q q q a a q ==>∴=∴===选B.【点睛】此题考察等比数列通项公式，考察根本分析求解才能，属基此题.4.欧拉公式cos sin ix e x i x =+〔i 为虚数单位〕是由瑞士著名数学家欧拉创造的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4i i e eππ表示的复数在复平面中位于〔〕 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据欧拉公式计算4i i e eππ，再根据复数几何意义确定象限.【详解】因为4224422iie cos isin i cosisine ππππππ+===-++，所以对应点（，在第二象限，选B. 【点睛】此题考察复数除法以及复数几何意义，考察根本分析求解才能，属基此题.5.M 、N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，那么||MN 的最大值是〔〕 A. 17 B.34C. 32D.172【答案】A 【解析】【分析】先作可行域，再根据图象确定MN 的最大值取法，并求结果. 【详解】作可行域，为图中四边形ABCD及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点一共圆，BD 为直径，所以MN 的最大值为BD=21417+=,选A.【点睛】线性规划的本质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目的函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进展比拟，防止出错；三，一般情况下，目的函数的最大或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.6.假设均不为1的实数a 、b 满足0a b >>，且1ab >，那么〔〕 A. log 3log 3a b >B. 336a b +>C. 133ab a b ++>D.b a a b >【答案】B 【解析】【分析】举反例说明A,C,D 不成立，根据根本不等式证明B 成立.【详解】当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =;因为0a b >>，1ab >，所以23323323236a b a b a b ab++>=>>，综上选B.【点睛】此题考察比拟大小，考察根本分析论证才能，属基此题. 7.一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为A. 238+B. 823+C.283D. 10【答案】A 【解析】【分析】根据三视图可知该几何体为一组合体，是一个棱长为2的正方体与三棱锥的组合体，根据体积公式分别计算即可.【详解】几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图可得该几何体的体积为311232+232832V =⨯⨯=+, 应选A.【点睛】此题主要考察了三视图，正方体与三棱锥的体积公式，属于中档题.8.如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域〔阴影局部〕的面积为()y f x =，那么函数()f x 的图像是〔〕A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯;根据正切函数图象可知选D.【点睛】此题考察函数解析式以及函数图象，考察根本分析识别才能，属基此题. 9.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著?九章算术?中的“更相减损术〞.执行该程序框图，假设输入a 、b 、i 的值分别为6、8、0，那么输出a 和i 的值分别为〔〕A. 0，3B. 0，4C. 2，3D. 2，4【答案】C 【解析】【分析】执行循环，直至a b =终止循环输出结果.【详解】执行循环，得1,2;2,4;3,2i b i a i a ======，完毕循环，输出2,2a b ==，此时3i =,选C.【点睛】算法与流程图的考察，侧重于对流程图循环构造的考察.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择构造、循环构造、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 10.函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩的图像关于y 轴对称，那么sin y x =的图像向左平移〔〕个单位，可以得到cos()y x a b =++的图像〔〕.A.4π B.3π C.2π D. π【答案】D 【解析】【分析】根据条件确定,a b 关系，再化简()cos y x a b =++，最后根据诱导公式确定选项.【详解】因为函数()()(),0,0sin x a x f x cos x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像关于y 轴对称，所以sin cos 22a b ππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()sin cos a b ππ-+=+，即sin cos sin cos b a a b ，==，因此π2π()2a b k k Z +=+∈，从而()()cos sin y x a b sinx x π=++=-=+,选D.【点睛】此题考察偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考察根本分析识别才能，属中档题.11.一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，其中4AB =，2BC CD AD ===，那么该抛物线的焦点到其准线的间隔是〔〕D. 【答案】B 【解析】【分析】不妨设抛物线HY 方程22(0)x py p =>，将条件转化为坐标，代入解出p ，即得结果. 【详解】不妨设抛物线HY 方程22(0)x py p =>，可设(1,),(2,C m B m +，那么1232242(pm p p m =⎧⎪∴==⎨=⎪⎩，即抛物线的焦点到其准线的间隔选B.【点睛】此题考察抛物线方程及其性质，考察根本分析求解才能，属基此题.12.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC AM ⊥平面α，且B ∈平面α，那么平面α截正方体所得截面的周长为〔〕A.B. 4+C.D. 【答案】A 【解析】【分析】根据线面垂直确定平面α，再根据截面形状求周长.【详解】显然在正方体中BD ⊥平面11ACC A ,所以BD ⊥ AM ,取AC 中点E, 取AE 中点O,那么11tan tan AOA ACM AO AM ∠=∠∴⊥, 取A 1C 1中点E 1, 取A 1E 1中点O 1,过O 1作PQ//B 1D 1,分别交A 1B 1,A 1D 1于P,Q 从而AM ⊥平面BDQP ,四边形BDQP 为等腰梯形，周长为2= A.【点睛】此题考察线面垂直判断以及截面性质，考察综合分析与求解才能，属难题.第二卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.双曲线C ：22221x y a b-=，点P (2，1) 在C 的渐近线上，那么C 的率心率为．【解析】试题分析：根据双曲线的方程，可知焦点在x 轴上，结合P (2，1)在渐近线上，所以1,2b a =即2,a b =所以c =，从而有其离心率c e a == 考点：双曲线的离心率． 14.6(2-x的展开式中的常数项的值是__________．〔用数学答题〕【答案】60 【解析】【分析】根据二项式定理确定常数项的取法，计算得结果. 【详解】因为36662166(2)((2)(1)r r rr r r rr T C x C x ---+==-，所以令3602r -=得4r =，即常数项为46446(2)(1)60.C --= 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 15.设ABC ∆的外心P 满足1()3AP AB AC =+，那么cos BAC ∠=__________．【答案】12【解析】【分析】根据向量表示确定外心为重心，即得三角形为正三角形，即得结果.【详解】设BC 中点为M,所以()1233AP AB AC AM =+=,因此P 为重心，而P 为ABC ∆的外心，所以ABC ∆为正三角形，1cos 2BAC ∠=.【点睛】此题考察向量表示以及重心性质，考察综合分析与求解才能，属中档题. 16.数列{}n a 的首项为1，其余各项为1或者2，且在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列{}n a 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么2019S =__________.〔用数字答题〕【答案】3993 【解析】【分析】先由题意，得到第1k +个1为数列{}n a 第21k k ++项，根据题意，分组求和，即可求出结果.【详解】由题意，第1k +个1为数列{}n a 第()21135211k k k k ++++++-=++项，当44k =时，211981k k ++=；当45k =，时212071k k ++=；所以前2021项有45个1和()24420191981+-个2，因此()2201945244201919813993S ⎡⎤=+⨯+-=⎣⎦.【点睛】此题主要考察数列的求和，熟记分组求和的方法即可，属于常考题型.三、解答题：本大题一一共6个大题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，1cos23A =-，c =sin A C =．〔1〕求a 的值；〔2〕假设角A 为锐角，求b 的值及ABC 的面积．【答案】〔1〕a =〔2〕5b =，2ABC S ∆= 【解析】【分析】〔1〕结合题设条件和正弦定理sin sin a cA C=，即可求解；〔2〕由余弦的倍角公式，求得cos A =sin A =，再结合余弦定理和三角形的面积公式，即可求解.【详解】〔1〕在ABC 中，因为c =sin A C =，由正弦定理sin sin a cA C=，解得a = 〔2〕因为21cos 22cos 13A A =-=-，又02A π<<，所以cos A =sin A =．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=，解得5b =或者3b =-〔舍〕，所以1sin 22ABC S bc A ∆==. 【点睛】此题主要考察了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.18.如图〔1〕，等腰梯形ABCD ，2AB =，16CD =，AD =E 、F 分别是CD 的两个三等分点.假设把等腰梯形沿虚线AF 、BE 折起，使得点C 和点D 重合，记为点P ，如图〔2〕.〔1〕求证：平面PEF ⊥平面ABEF ；〔2〕求平面PAF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕77. 【解析】【分析】〔1〕根据线面垂直的断定定理，先证明BE ⊥面PEF ，再由面面垂直的断定定理，即可得出结论成立；〔2〕过P 作PO EF ⊥于O ，过O 作BE 的平行线交AB 于G ，得到PO ⊥面ABEF ，又PO ，EF ，OG 所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，用空间向量的方法，分别求出平面PAF 和平面PAB 的法向量，计算向量夹角余弦值，即可求出结果.【详解】〔1〕因为E ，F 是CD 的两个三等分点，易知，ABEF 是正方形，故BE EF ⊥，又BE PE ⊥，且PE EF E ⋂=，所以BE ⊥面PEF ，又BE ⊂面ABEF ，所以面PEF ABEF ⊥.〔2〕过P 作PO EF ⊥于O ，过O 作BE 的平行线交AB 于G ，那么PO ⊥面ABEF ，又PO ，EF ，OG 所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，那么()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0F -，(3P ，所以()2,0,0AF =-，(3FP =，()0,2,0AB =，(2,1,3PA =--，设平面PAF 的法向量为()1111,,n x y z =，那么1100n AF n FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴1112030x y z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，()10,3,1n =-，设平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，那么2200n AB n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴222220230y x y x =⎧⎪⎨--=⎪⎩，()23,0,2n =，因此12127cos 727n n n n θ⋅===⋅⋅ 所以平面PAF 与平面PAB 7. 【点睛】此题主要考察证明面面垂直，以及求二面角的余弦值，熟记线面垂直，面面垂直的断定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.19.1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点0(1,)P y 在椭圆上，且2PF x ⊥轴，12PF F ∆的周长为6.〔Ⅰ〕求椭圆的HY 方程；〔Ⅱ〕过点(0,1)T 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，是否存在常数λ，使得7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-恒成立？请说明理由.【答案】〔Ⅰ〕22143x y +=〔Ⅱ〕当2λ=时，7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-【解析】【分析】〔Ⅰ〕由三角形周长可得124PF PF +=，求出a ，再根据222b a c =-即可写出椭圆HY方程〔Ⅱ〕假设存在常数λ满足条件，分两类讨论〔1〕当过点T 的直线AB 的斜率不存在时，写出A,B 坐标，代入7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-可得2λ=〔2〕当过点T 的直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为1y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组，利用根与系数的关系代入OA OB TA TB λ⋅+⋅= ()()1212121211x x y y x x y y λ⎡⎤+++--⎣⎦中化简即可求出2λ=.【详解】〔Ⅰ〕由题意，()11,0F -，()21,0F ，1c = ∵12PF F ∆的周长为6，∴122226PF PF c a c ++=+=∴2a =，b =HY 方程为22143x y +=.〔Ⅱ〕假设存在常数λ满足条件.〔1〕当过点T 的直线AB的斜率不存在时，(A，(0,B ， ∴OA OB TA TB λ⋅+⋅=)()311λ⎡⎤-+-=⎣⎦327λ--=-，∴当2λ=时，7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-；〔2〕当过点T 的直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为1y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得()2234880k x kx ++-=， ∴122843k x x k +=-+，122843x x k =-+.∴OA OB TA TB λ⋅+⋅= ()()1212121211x x y y x x y y λ⎡⎤+++--⎣⎦()()()21212111k x x k x x λ=+++++()()2222811814343k k k k λ++=--+++ ()()228211743k k λλ⎡⎤-+++⎣⎦=+=-+ ∴21143λλ++==，解得：2λ=即2λ=时，7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-；综上所述，当2λ=时，7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-.【点睛】此题主要考察了椭圆的HY 方程，直线与椭圆的位置关系，向量的坐标运算，分类讨论的思想，属于难题.20.某地区进展疾病普查，为此要检验每一人的血液，假如当地有N 人，假设逐个检验就需要检验N 次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这个k 个人的血液混合在一起检验，假设检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因此这k 个人只要检验一次就够了，假如为阳性，为了明确这个k 个人中终究是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进展检验，这时k 个人的检验次数为1k +次.假设在承受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是HY 的，且每个人是阳性结果的概率为p .〔Ⅰ〕为熟悉检验流程，先对3个人进展逐个检验，假设0.1p =，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；〔Ⅱ〕设ξ为k 个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数. ①当5k =，0.1p =时，求ξ的分布列；②是运用统计概率的相关知识，求当k 和p 满足什么关系时，用分组的方法能减少检验次数. 【答案】〔Ⅰ〕0.243；〔Ⅱ〕①见解析，②当1P ->时，用分组的方法能减少检验次数. 【解析】【分析】〔Ⅰ〕根据HY 重复试验概率公式得结果;〔Ⅱ〕①先确定随机变量，再分别计算对应概率，列表可得分布列，②先求数学期望，再根据条件列不等式，解得结果. 【详解】〔Ⅰ〕对3人进展检验，且检验结果是HY 的，设事件A ：3人中恰有1人检测结果为阳性，那么其概率()1230.10.90.243P A C =⋅⋅=〔Ⅱ〕①当5K =，0.1P =时，那么5人一组混合检验结果为阴性的概率为50.9，每人所检验的次数为15次，假设混合检验结果为阳性，那么其概率为510.9-，那么每人所检验的次数为6次，故ξ的分布列为②分组时，每人检验次数的期望如下()11k P P k ξ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()1111k P P k ξ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭∴()()()111111111k k k E P P P k k k ξ⎛⎫⎡⎤=⋅-++--=--+ ⎪⎣⎦⎝⎭不分组时，每人检验次数为1次，要使分组方法能减少检验次数，需()1111kP k--+< 即 1P ->所以当1P ->时，用分组的方法能减少检验次数. 【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值〞，第二步是“探求概率〞，第三步是“写分布列〞，第四步是“求期望值〞. 21.函数2()44ln(2)f x x x m x =-+，其中m 为大于零的常数〔Ⅰ〕讨论()y f x =的单调区间；〔Ⅱ〕假设()y f x =存在两个极值点1x ，212()x x x <，且不等式12()f x ax ≥恒成立，务实数a 的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕见解析; 〔Ⅱ〕(],32ln2a ∈-∞--. 【解析】【分析】〔Ⅰ〕先求导数，再根据导函数零点情况分类讨论导函数符号，最后根据导函数符号确定函数单调区间; 〔Ⅱ〕先根据参变别离法转化为求对应函数最值问题，再根据极值点条件化函数为一元函数，最后利用导数求对应函数单调性以及最值，即得结果.【详解】〔Ⅰ〕()284(0)x x m f x x x-+=>' ，〔1〕当12m ≥时，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞在上单调递增〔2〕当102m <<时，设方程2840x x m -+=的两根为1x ，2x那么1x =，2x =∴1104x <<，21142x <<， ∴()f x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，()12,x x 上单调递减〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，102m <<且1212x x +=，128mx x ⋅= 由()12f x ax ≥∴()12f x a x ≤因为()()()221111111144ln2211412ln2f x x x m x x x x x =-+=--+-所以()()()1111121122128ln21122f x f x x x x x x x ==--+-- 设12t x =，102t <<令()()21212ln (0)12h t t t t t t =--+<<- ()()21212ln 1h t t t ⎡⎤=-+'⎢⎥-⎢⎥⎣⎦当102t <<时，()2112ln 01t t -+<- 故()h t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()132ln22h t h ⎛⎫>=--⎪⎝⎭综上所述，(],32ln2a ∈-∞--时，()12f x ax ≥恒成立.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或者存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可别离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x ty t=-⎧⎨=⎩〔t 为参数〕，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程分别为ρθ=，3sin ρθ=.〔Ⅰ〕求直线l 的极坐标方程；〔Ⅱ〕设曲线1C 与曲线2C 的一个交点为点A 〔A 不为极点〕，直线l 与OA 的交点为B ，求||AB .【答案】〔Ⅰ〕sin cos 1ρθρθ+=52AB （Ⅱ）=【解析】【分析】〔Ⅰ〕消参得直线的普通方程，再利用公式转化为极坐标方程即可〔Ⅱ〕利用极坐标的极径的几何意义分别求,A ρ B ρ，根据A B AB ρρ=- 求解. 【详解】〔Ⅰ〕直线l 的参数方程为1x ty t =-⎧⎨=⎩〔t 为参数〕消参得：10y x +-=，由cos ,sin x y ρθρθ== 代入直角坐标方程可得sin cos 1ρθρθ+=〔Ⅱ〕法1：由3sin ρθρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得tan 3θ=，所以6πθ=点A 的极坐标3(,)26A π ，又点B 在直线OA 上，所以设B 的极坐标为(,)6B πρ 由sin cos 1ρθρθ+=得1B ρ=，所以1,)6B π，所以52A B AB ρρ=-=法2：曲线1C 与曲线2C的直角坐标为220x y +=，2230x y x +-=由2222030x y x y x ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩ 得点A的坐标34A ⎫⎪⎪⎝⎭所以直线OA的方程为y x =由1x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩得点B的坐标为3122B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以32OA =，1OB =52AB =-或者者：AB ==52AB =-【点睛】此题主要考察了直线的参数方程，极坐标方程，利用极坐标中极径求弦长，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.函数()12f x x a x =-+-〔a 为实数〕〔Ⅰ〕当1a =时，求函数()f x 的最小值；〔Ⅱ〕假设1a >，解不等式()f x a ≤ 【答案】〔1〕1〔2〕31{x |1}1a x a +≤≤+ 【解析】【分析】〔Ⅰ〕根据绝对值不等式的性质即可求出()f x 的最小值〔Ⅱ〕分区间讨论去掉绝对值号，解含参不等式即可.【详解】〔Ⅰ〕1a =时，()()()12121f x x x x x =-+-≥---= 所以()f x 的最小值为1〔Ⅱ〕①2x >时，()12f x x ax a a =-+-≤，311a x a +≤+，因为3112011a a a a +--=>++ 所以此时解得：3121a x a +<≤+②12x ≤≤时，()12f x x ax a a =--+≤，1x ≥，此时：12x ≤≤③1x <时，()12f x x ax a a =--+≤，1x ≥，此时无解；综上：不等式的解集为31{x |1}1a x a +≤≤+ 【点睛】此题主要考察了含绝对值函数的最小值，含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想方法，属于中档题.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高三数学下学期2月月考试题文含解析试题

“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟〞2021届高三数学下学期2月月考试题文〔含解析〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.请将正确答案填涂在答题卡上.{|}310A x x ≤≤＝，27{|}B x x =<<，A B ⋂=〔〕A. {|210}x x <B. {|210}x x <<C. {|37}x x <D.{|37}x x【答案】C 【解析】【分析】由A 与B ，找出两集合的交集即可．【详解】∵{|310}A x x =≤≤，{|27}B x x =<<， ∴A ∩B ＝{|37}x x ≤<，应选：C ．【点睛】此题考察了交集及其运算，纯熟掌握交集的定义是解此题的关键，属于根底题．2122z ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，〔i 为虚数单位〕，z 在复平面内对应的点在〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】先将z 化简运算得到12-+，再由对应点的坐标得出结果.【详解】由题意知211312244222z i ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，其对应点的坐标为〔12-，在第二象限．应选：B ．【点睛】此题考察了复数的运算法那么、几何意义，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．0,,t 2:an x x x p π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭那么p ￢为〔〕A. 0,,tan 2x x x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭B. 0000,,tan 2x x x π⎛⎫∃∈< ⎪⎝⎭C. 0000,,tan 2x x x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭D. 0,,tan 2x x x π⎛⎫∀∉ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】利用全称命题的否认是特称命题写出结果即可．【详解】因为全称命题的否认是特称命题，所以命题:0,,tan 2p x x x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭的否认￢p 为∃x 0000,tan 2x x π⎛⎫∈≥ ⎪⎝⎭，，应选：C ．【点睛】此题考察命题的否认，特称命题与全称命题的否认关系，是根本知识的考察．2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．假设1F AB 的周长为8，那么椭圆方程为〔〕A. 22143x y +=B. 2211612x y +=C. 2212x y +=D. 22142x y +=【答案】A 【解析】【分析】利用椭圆的定义，可求解a ，由椭圆的离心率求得c ，即可得到b ，得到结果. 【详解】如图：由椭圆的定义可知，1F AB ∆的周长为4a ， ∴4a=8,a=2,又离心率为12， ∴c=1，b 23=，所以椭圆方程为22143x y +=,应选：A ．【点睛】此题考察椭圆的定义及简单性质的应用，属于根底题．ABC 的边长为1，那么AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=〔〕A.32B. 32-C.12D. 12-【答案】B 【解析】【分析】先化简()AB BC BC CA CA AB BA BC CB CA AC AB ⋅+⋅+⋅=-⋅+⋅+⋅，再利用平面向量的数量积公式计算得解.【详解】解：∵正ABC 的边长为1，∴()AB BC BC CA CA AB BA BC CB CA AC AB ⋅+⋅+⋅=-⋅+⋅+⋅()311cos6032︒=-⨯⨯⨯=-.应选：B ．【点睛】此题主要考察向量的数量积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.x ，y 满足20{30x y x y x -≤+≤≥，那么2x y +的最大值为〔〕A. 0B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】试题分析：由图可得在A处获得最大值，由20,{(1,2)3x yAx y-=⇒⇒+=最大值24x y+=，应选C.考点：线性规划.【方法点晴】此题考察线性规划问题，灵敏性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤〔1〕在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；〔2〕将目的函数变形为a zy xb b=-+；〔3〕作平行线：将直线0ax by+=平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使zb最大〔或者最小〕时所经过的点，求出该点的坐标；〔4〕求出最优解：将〔3〕中求出的坐标代入目的函数，从而求出z的最大〔小〕值.7.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I〔a〕，按从大到小排成的三位数记为D〔a〕，〔例如a=746，那么()467I a=，()764D a=〕阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=〔〕A. 693B. 594C. 495D. 792 【答案】C【解析】【分析】给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案．【详解】由程序框图知：例当a＝123，第一次循环a＝123，b＝321﹣123＝198；第二次循环a＝198，b＝981﹣189＝792；第三次循环a＝792，b＝972﹣279＝693；第四次循环a＝693，b＝963﹣369＝594；第五次循环a＝594，b＝954﹣459＝495；第六次循环a＝495，b＝954﹣459＝495，满足条件a＝b，跳出循环体，输出b＝495．故答案为：495．【点睛】此题通过新定义题型考察了循环构造的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法，属于根底题．21()sin sin cos 2f x x x x =+-，那么以下说法错误的选项是〔〕A. ()f x 的最小正周期是πB. ()y f x =关于4x π=对称C. ()f x 在37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D. ()f x 的最小值为2-【答案】B 【解析】【分析】由三角函数恒等变换化简解析式可得f 〔x 〕=〔2x 4π-〕，由正弦函数的图象和性质一一判断选项即可．【详解】∵f 〔x 〕＝sin 2x +sin x cos x 12-12122cos x -=+sin2x 12-2=sin 〔2x 4π-〕．∴最小正周期T 22π==π，故A 正确；最小值为2-故D 正确； x 37,88ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2x 3,422πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()f x ∴在37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 正确；x=4π时，f 〔4π〕4π=12，此时函数值不是最值，∴()y f x =不关于4x π=对称，故B 错误；应选B.【点睛】此题主要考察了三角函数恒等变换的应用，考察了正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.“斗拱〞是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体。

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高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考2月月考试题一选择题（5⨯10=50分）1．已知集合()(){}{}120,13,A x x x x B x x x R =--==+<∈，则A B = ( )A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}42x x -<<D ．{}02x x <<2.复数z 满足1+)2i z =（，则=z （）A ．1i --B ．1i -C ． 1+iD ．1+i -3.阅读如下图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为（）A ． 11B ． 10C ． 9D ．84. 下列四个函数中，图象既关于直线π125=x 对称，又关于点⎪⎭⎫⎝⎛06，π对称的是( ) A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx y B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin πx y C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=64sin πx y D ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=64sin πx y5.已知(),p x y 是不等式组10300x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩的表示的平面区域内的一点，()1,2A ，O 为坐标原点，则OA OP ⋅的最大值( )A.2B.3C.5D.66.“命题“q p ∨”为假”是“命题“q p ∧”为假”的( ) A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知12,F F 是双曲线22221x y a b-=，()0,0a b >>的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线bxy a=对称，则该双曲线的离心率为（） A.52258. 某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成.其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一.则不同安排方法的种数是 A. 24 B.36 C. 48 D.649.若函数()1lg a xf x x b x-=+-是其定义域上的偶函数，则函数()y f x =的图象不可能是（）10. 设函数()x f '是函数()()R x x f ∈的导函数，()10=f ，且()()3'3-=x f x f ，则()()x f x f '4＞的解集为( )A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+，23B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，2e C ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，32ln D ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，34ln 二填空题（5⨯5=25）11. 若二项式7(2)a x x+的展开式中31x 的系数是84，则实数a ＝( ) 12. 已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直，则2015cos(2)2πα-的值为13. 设数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，且333S a =，则公比q 的值为 14.在直三棱柱111ABC A B C -中，若,3BC AC A π⊥∠=，14,4AC AA ==，M 为1AA 的中点，点P 为BM 中点，Q 在线段1CA 上，且13AQ QC =．则异面直线PQ 与AC 所成角的余弦值．15若函数)(x f 满足0,≠∈∃m R m ，对定义域内的任意)()()(,m f x f m x f x +=+恒成立，则称)(x f 为m 函数，现给出下列函数：①xy 1=； ②x y 2=；③x y sin =； ④nx y 1=其中为m 函数的序号是。

（把你认为所有正确的序号都填上）三解答题（75分）16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足()A c b C a cos 2cos -=． (Ⅰ)求A ∠的大小；(Ⅱ)若3a =，求ABC ∆面积S 的取值范围．17.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()*∈-=N n a S n n 332．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若数列{}n b 满足：3log n n n b a na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T18.某次数学测验共有3道题，评分标准规定：“每题答对得5分，答错得0分”.已知某考生能正确解答这3道题的概率分别为312525，，，且各个问题能否正确解答互不影响. （I ）求该考生至少答对一道题的概率；（II ）记该考生所得分数为X ，求X 的分布列和数学期望.19.如图1，等腰梯形ABCD 中，0//,,60,AD BC AB AD ABC E =∠=是BC 的中点，如图2，将ABE ∆沿AE 折起，使面BAE ⊥面AECD ，连接,,BC BD P 是棱BC 上的动点．（1）求证：AE BD ⊥ （2）若2,AB =当BP BC为何值时，二面角P ED C --的大小为045.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左右焦点分别是()()12,0,,0F c F c -，直线:l x my c =+与椭圆C 交于两点,M N 且当33m =-时，M 是椭圆C 的上顶点，且△12MF F 的周长为6. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左顶点为A ，直线,AM AN 与直线：4x =分别相交于点,P Q ，问当M 变化时，以线段PQ 为直径的圆被x 轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由21.设函数2ln ()x f x x=,2()g x x =. （1）求()f x 的极大值；（2）求证：2*12ln !()(21)()e n n n n n N ≤++∈（3）当方程()0()2a f x a R e+-=∈有唯一解时，试探究函数2()(())()kF x x x f x k a k R x'=+--∈与()g x 的图象在其公共点处是否存在公切线，若存在.研究k 的值的个数；若不存在，请说明理由.1.A2.C3.C4.B5.D6.A7.D8.B9.C 10.C11.a ＝112.45-13. 1或﹣14.15.②③16.17.()()111213324n n n n T n ++⎡⎤=+-+⎣⎦ 18.19.(2)所以如图建立空间直角坐标系AB=2,则, B(0,0,), D(0, ,0) E(1,0,0), C(2, ,0),),,设,设平面PDE的法向量为,则即易知平面CDE的法向量为解得所以当时，二面角的大小为。

20.20.解：（1）当时，直线的倾斜角为，所以：解得：，所以椭圆方程是：；…………………………………………………………5分（1）当时，（2）直线的方程为：，（3）此时，（4）点的坐标（5）分别是，又点坐标（7）是，（8）由图可以得到两点坐标（9）分别是，（10）以为直径的圆过右焦点，（11）被轴截得的弦长为6，（12）猜测当变化时，（13）以为直径的圆恒过焦点，（14）被轴截得的弦长为定值6，（15）………………………………………………………………12分证明如下：设点点的坐标分别是，则直线的方程是：，所以点的坐标是，同理，点的坐标是，…………………9分由方程组得到：，所以：，……………………………………………11分从而：=0，所以：以为直径的圆一定过右焦点，被轴截得的弦长为定值6.……………14分21.解：（1）432ln 12ln ().x x x xf x x x--'==由()0f x '=得,x e =从而()f x 在)e 单调递增,在(,)e +∞单调递减.1()().2f x f e e==极大…………………………………4分（2）证明：1()().2f x f e e ==极大1()2f x e∴≤2ln 12x x e ∴≤21ln 2x x e∴≤ 22ln e x x ∴≤…………………6分分别令1,2,3,,x n =22ln11e ∴≤，22ln 22e ≤，22ln e n n ≤22222(ln1ln 2ln3ln )123e n n ∴++++≤++++(1)(21)2ln !6n n n e n ++∴≤2*12ln !()(21)()e n n n n n N ∴≤++∈……………………9分（3）解：由（1）的结论：方程()0()2af x a R e +-=∈有唯一解 1a ∴= 函数21()(())()2ln k F x x x f x k a k x x x x'=+--=--假设(),()F x g x 的图象在其公共点00(,)x y 处存在公切线，222(),()2kx x kF x g x x x-+''== 由00()()F x g x ''=得： 2000222kx x k x x -+=，即：32000220x kx x k -+-= 200(1)(2)0,x x k ∴+-=⇒02kx = 又函数的定义域为：(0,)+∞当0k ≤时，0(0,)2kx =∉+∞∴函数()F x 与()g x 的图象在其公共点处不存在公切线；当0k >时，令()(),22k kF g =即：222ln 2224k k k --= 即：28ln (0)82k k k -=> 下面研究方程28ln 82k k-=在(0,)+∞解的个数令：28()ln (0)82x x x x ϕ-=->2114()44x x x x xϕ-'=-= ()x ϕ在(0,2)递减，(2,)+∞递增；且1(2)02ϕ=-<且当0,()x x ϕ→→+∞；当,()x x ϕ→+∞→+∞ ()x ϕ∴在(0,)+∞有两个零点∴方程28ln 82k k -=在(0,)+∞解的个数为2综上：当0k ≤时，函数()F x 与()g x 的图象在其公共点处不存在公切线；当0k >时，符合题意的k 的值有2个高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，（2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34（9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α= （A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn （11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。