法捆绑法、插空法的运用 PPT课件
排列组合 插板法 插空法 捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？图中“”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n 个元素分成（b+1）组的方法.应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异?（2）所分成的每一组至少分得一个元素?(3) 分成的组别彼此相异?举个很普通的例子来说明?把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况? 问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36?下面通过几道题目介绍下插板法的应用?e 二次插板法?例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc?可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位?所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
数学选修2312排列优限法、捆绑法、插空法的运用共16页PPT
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
数学选修2312排列优限法、捆绑法、 插空法的运用
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用捆绑法：当要求某几个元素必须相邻（挨着）时，先将这几个元素看做一个整体，（比如：原来3个元素，整体考虑之后看成1个元素）然后将这个整体和其它元素进行考虑。
这时要注意：一般整体内部各元素如果在前后顺序上有区别的还需进行一定的顺序考虑。
插空法：当要求某几个元素必须不相邻（挨着）时，可先将其它元素排好，然后再将要求不相邻的元素根据题目要求插入到已排好的元素的空隙或两端位置。
插隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比分组数目少1的隔板插入到元素中的一种解题策略。
题目特点：“若干相同元素分组”、“ 每组至少一个元素”。
例1：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？ A.20 B.12 C.6 D.4分两种情况考虑C=8种1、这两个新节目挨着，那么三个节目有4个空，又考虑到这两个节目的先后顺序共有2×14P=12种2、这两个节目不挨着，那么三个节目有4个空，这就相当于考虑两个数在4个位置的排列，由24综上得，共8+12=20种此题中使用了捆绑法和插空法。
例2：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（）种站法。
A.120B.72C.48D.24插空法:我们来这样考虑，因A、B两人不站一起，故可考虑的位置C、D、E，C、D、E三个人站在那有P=12。
一共留出4个空，将A、B分别放入这4个空的不同的空中，那就是4个空中取2个空的全排列，即24P=6，综上，共有6*12=72种这样考虑了之后，还有一点就是C、D、E三个人也存在一个排列问题，即23例3：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站一起，共有（）种站法。
A.120B.72C.48D.24捆绑法：此题和上一题实质是一样的，我们来这样考虑，A、B两人既然必须站在一起，那么索性我们就把他P=24，又因为A、B两人虽然是站们看成一个人，那么我们就要考虑其和C、D、E共4个人的全排列，即44P=2，综上，共有48种。
排列组合--插板法、插空法、捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法(不相邻)、捆绑法(相邻)插板法(m为空得数量)【基本题型】有ｎ个相同得元素,要求分到不同得m组中,且每组至少有一个元素,问有多少种分法？图中“"表示相同得名额,“”表示名额间形成得空隙,设想在这几个空隙中插入六块“挡板",则将这１0 个名额分割成七个部分,将第一、二、三、……七个部分所包含得名额数分给第一、二、三……七所学校,则“挡板"得一种插法恰好对应了１0 个名额得一种分配方法,反之,名额得一种分配方法也决定了档板得一种插法,即挡板得插法种数与名额得分配方法种数就是相等得,【总结】ﻫ需满足条件:ｎ个相同元素,不同个ｍ组,每组至少有一个元素,则只需在ｎ个元素得n－1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
ﻫ注意:这样对于很多得问题,就是不能直接利用插板法解题得。
但,可以通过一定得转变,将其变成符合上面3个条件得问题,这样就可以利用插板法解决,并且常常会产生意想不到得效果。
插板法就就是在n个元素间得(n—１)个空中插入若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+１)组得方法.应用插板法必须满足三个条件:(1) 这n个元素必须互不相异(2)所分成得每一组至少分得一个元素ﻫ(3)分成得组别彼此相异举个很普通得例子来说明把1０个相同得小球放入3个不同得箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况？问题得题干满足条件(1)(２),适用插板法,c9 2＝36 ﻫ下面通过几道题目介绍下插板法得应用e二次插板法ﻫ例8:在一张节目单中原有６个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况？ﻫ－o — o －ｏ－o -ｏ—o —三个节目ａｂｃ可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共就是c71×ｃ８１×c9 1=50４种【基本解题思路】将n个相同得元素排成一行,n个元素之间出现了(n－１)个空档,现在我们用(m—１)个“档板”插入(n-1)个空档中,就把ｎ个元素隔成有序得ｍ份,每个组依次按组序号分到对应位置得几个元素(可能就是１个、2个、3个、4个、…。
排列组合插板法、插空法、捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分图中“”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法.应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列(优限法、捆绑法、插空法的运用)
插空法案例
总结词
插空法适用于在排列组合问题中，当需要将 一个元素插入到已经排好的元素序列中时， 可以采用插空法。
详细描述
插空法是一种实用的排列组合解题方法，它 通过将需要插入的元素插入到已经排好的元 素序列中的空位中，简化问题，提高解题效 率。在插空法中，我们首先找到已经排好的 元素序列中的空位，再将需要插入的元素插 入到合适的空位中。
排列(优限法、捆绑法 、插空法的运用)
目录 CONTENT
• 优限法 • 捆绑法 • 插空法 • 三种方法的比较与选择 • 实际应用案例分析
01
优限法
定义与特点
定义
优限法是指在排列组合问题中，先对 元素进行优先级排序，再根据优先级 进行排列的方法。
特点
优限法主要关注元素的优先级，根据 优先级的高低进行排列，可以快速确 定最优解或近似最优解。
捆绑法案例
总结词
捆绑法适用于在排列组合问题中，当需要将若干个元素 捆绑在一起作为一个整体来处理时，可以采用捆绑法。
详细描述
捆绑法是一种有效的排列组合解题方法，它通过将若干 个元素捆绑在一起作为一个整体来处理，简化问题，提 高解题效率。在捆绑法中，我们首先将需要捆绑的元素 视为一个整体，再与其他元素进行排列组合。
04
三种方法的比较与选择
适用条件比时。
捆绑法
适用于排列组合问题中，当某些元素必须作为一 个整体进行排列时。
插空法
适用于排列组合问题中，当需要将某些元素插入 到其他元素之间或两端时。
优缺点比较
优限法
优点是简单易懂，易于操作；缺点是可能存在多种分组方式，需要 仔细考虑。
优限法的应用场景
任务调度
在任务调度中，可以根据任务的紧急程度、优先级等因素， 使用优限法进行排列，确保任务按照优先级顺序执行。
排列组合中的基本解题方法之插空法和捆绑法
排列组合中的基本解题方法之插空法和捆绑法一、基础理论：捆绑法：遇到有“相邻元素”的问题，先把规定的相邻元素捆绑在一起参与排列，当需要考虑元素的相对顺序时，再进行松绑。
题干中常见的词语如：相邻站位、相连、连续等。
插空法：遇到有“不相邻元素”的问题，先把无要求的元素进行排序，然后行程中间的空位或两端的空位，然后进行插空。
运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。
解题过程是“先排列，再插空”。
可见：捆绑法主要解决相邻问题，而插空法主要解决的是不相邻的问题。
二、真题精析例1、5名学生和2名老师站成一排照相，要求2名老师相邻但不站在两端，则不同的排法共有：A.1440种B.960种C.720种D.480种【分析】题干当中有“相邻”，所以选择的做题方法一定是捆绑法，要想把这件事解决清楚，要分如下几步：第一步，首让没有要求的元素进行排序，即先排5名学生，有A(5,5)种方法;第二步，将2名老师“捆绑”在一起，看成一个人，插空到5名学生中间的4个空中，即C(4,1)种方法;第三步，这2名老师不同，要进行排列，即A(2,2)种方法，此件事情完成。
分步做的事情，根据乘法原理可知，共有A(5,5)×C(4,1)×A(2,2)=960种不同的排法。
所以答案为B.小结：捆绑法和插空法虽然是两种不同的方法，但是却经常一起结合起来使用。
例2、一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法?A.20B.12C.6D.4【分析】此题是插板法的典型例题，因为相当于把2个新节目插到原来3个节目中，所以要搞清楚具体有几个空位。
【解析】原来的3个节目已经固定下来了，所以在排原来的3个节目的时候，不用再混排了。
所以这件事可以分步完成，需要把放进去的2个新节目分第一步放进去和第二步放进去。
第一步，排其中一个节目，在原来的3个节目中有4个空位可以选择，即C(4,1)中方法;第二步，排第二个节目，那么此时第一个节目放进去之后，就有4个节目了，也就是有5个空位可以选择，所以排法是C(5,1)中方法，此时这件事情完成。
计数综合2 捆绑法 插空法 插板法
排列组合进阶（一）知识点精讲“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
不相邻问题插空法，可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。
相同元素分组问题用插板法，且要求每一组均“非空”，也就是每组至少有一个。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。
应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须相同（2）所分成的每一组至少分得一个元素（3）分成的组别彼此相异课堂例题与练习捆绑法部分：1．4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？2．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？3．有ABCDE共5个人并排站在一起,如果AB必须相邻,并B在A的右边,那么不同的排法有多少种4．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？5．一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目，4个舞蹈节目要排在一起，有多少不同的安排节目的顺序？6．将甲乙丙丁四名大学毕业生分到3个不同车间实习，每个车间至少分到一名，且甲乙两人不能分到同一个车间，则不同的分法种数为？插空法：7．7名学生站成一排,甲乙互不相邻有多少不同排法？8．学校组织老师学生一起看电影,同一排电影票12张.8个学生,4个老师,要求老师在学生中间,且老师互不相邻,共有多少种不同的坐法？9．一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？10．把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？11．在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？12．停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？13．3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？14．路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，现为了节约用电，要将其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？15．一条马路的两边各立着10盏电灯，现在为了节省用电，决定每边关掉3盏，但为了安全，道路起点和终点两边的灯必须是亮的，而且任意一边不能连续关掉两盏。
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A n(n 1)(n 2)(n m 1)
m n
A
m n
n! ( n m) !
3．练习：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同 的排法？
解：问题可以看作：7个元素的全排列A77＝5040
⑵ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置， 共有多少种不同的排法？
解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列A66 =720
三、练习：三名女生和五名 男生排成一排， ⑴如果女生全排在一起，有 多少种不同排法？ ⑵如果女生全分开，有多少 种不同排法？
A66 A33 =4320 A55A63=14400 A52A66=14400
⑶如果两端都不能排女生， 有多少种不同排法？ A52A66+2A31A51A66 ⑷如果两端不能都排女生， 有多少种不同排法？
A22
① 乙 ② c ③ a A55 ④ e ⑤ b ⑥ d ⑦ 甲
⑵甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 解法一：第一步 从（除去甲、乙）其余的 5 位同学中选2 位同学站在排头和排尾有A52种方法；第二步 从余下的5位 同学中选5位进行排列（全排列）有A55种方法 ，所以一共 有A52 A55 ＝2400种排列方法． 解法二：若甲站在排头有 A66种方法；若乙站在排尾有 A66 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有 A55 种方法．所 以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有 A77 － 2 A66 ＋ A55=2400种． 小 结一：对于“在”与“不在”等 有 特殊元素 或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊 位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）。
创新练习
• 某班8运动员在运动会 后排成一排照像留念， • （1）若甲乙两人之间 必须间隔一人，有多 少种不同排法？ • （2）若甲乙两人之间 至少间隔两人，有多 少种不同排法？
⑶ 7位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多 少种不同的排法？
解一：甲站其余六个位置之一有A61种，其余6人全排列有 A66 种，共有A61 A66 =4320。 解二：从其他 6 人中先选出一人站首位，有 A61 ，剩下 6 人 （含甲）全排列，有A66 ，共有A61 A66 =4320。 解三：7人全排列有A77，甲在首位的有A66，所以
a
b
甲
c
d
乙
e
所以一共有A55 A62=3600种方法．
拓展：③甲、乙和丙三个同学其余四个同学排好有A44 种方法，此时他们留下五个“空”， 再将甲、乙和丙三个同学分别插入这 五个“空”有 A53 种方法，所以一共有 A44 A53 ＝1440种．
小结三：对于不相邻问题，常用 “插空法”（特殊元素后考 虑）．
解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共 有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元 素中选取2个元素放在排头和排尾，有A52种方法；将剩下的4个元素 进行全排列有 A44 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排 列有A22种方法．所以这样的排法一共有A52 A44 A22 ＝960种方法．
排列的简单应用
排列的简单应用
• 目的：理解掌握含有特殊限制条
件的排队问题的解决方法，进一 步培养分析问题、解决问题的能 力． • 重点：优限法、捆绑法、插空法 的运用
一、【概念复习】： 1．排列的定义，理解排列定义需要注意的 几点问题； 从 n 个不同元素中，任取 m(m<n) 个元素（这 里的被取元素各不相同）按照 一定的顺序 排 成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素 的一个排列. 2．排列数的定义，排列数的计算公式
=36000
或A88- A32 A66=36000
四、小结： 1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置； ⑵某些元素要求连排（即必须相邻）； ⑶某些元素要求分离（即不能相邻）； 2．基本的解题方法： ⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊 元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法“优 限法”； ⑵ 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一 个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列 ，这种方法称为“捆绑法”； ⑶ 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这 些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”。
小结二：对于相邻问题，常 用“捆绑法”（先捆后 松）．
⑷甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
解法一：（排除法） A77-A66 A22 =3600 解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有A55种方法， 此时他们留下六个位置（就称为“空” ），再将甲、乙同学 分别插入这六个位置（空）有A62种方法，
共有 A77- A66=7 A66- A66=4320。
二、新课：例： 7位同学站成一排．
⑴甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有A22种；第二步 余下的5名同学进行全排列有A55种 则共有A22 A55 =240种排列方法 ① 甲 ② d ③ e ④ a ⑤ b ⑥ c ⑦ 乙
⑶甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素 与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有A66种方法； 再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A22 种方法．所 以这样的排法一共有A66 A22 ＝1440种．
拓展：①甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ 解：方法同上，一共有A55A33 ＝720种． ②甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾 的排法有多少种？
解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素，若丙站在排头或排尾有 2A55 种方法， 所 以 丙 不 能 站 在 排 头 和 排 尾 的 排 法 有 （ A66 2A55）·A22=960种方法． 解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以 可以从其余的四个位置选择共有A41种方法， 再将其余的5个元素进行全排列共有A55种方法，最后将 甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有 A41 A55 A22 ＝960种方法．