中国矿业大学 硕士研究生数理统计复习题

复习题：1设12,,,n X X X 是正态总体2~(,)X N μσ的样本， 1．试问2211()nii Xμσ=-∑服从什么分布（指明自由度）？)1,0(~N X i σμ-且独立，)(~)()(1212122n X X ni i ni i χσμμσ∑∑==-=-2．假定0μ=，求212212()()X X X X +-的分布。

)2,0(~221σN X X +,)2,0(~221σN X X -)1,0(~221N X X σ+,)1,0(~221N X X σ-)1(~)2(221χσX X +,)1(~)2(221χσX X -又221)2(σX X +和221)2(σX X -相互独立，故212212()()X X X X +-＝)1,1(~1/)2(1/)2(221221F X X X X σσ++ 2设总体X 服从(0,1)上的均匀分布，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，最大顺序统计量),,,max(21)(n n X X X X =，求随机变量)(n X 的概率密度；解：⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(~x x f X ，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,0,0)(x x x x x F而),,,max(21)(n n X X X X =的分布函数为})),,,{max(}{)(21)()(z X X X P z X P z F n n X n ≤=≤=}),,,{21z X z X z X P n ≤≤≤= n z F )]([=()()z F z f n n XX )()('=()[]()z f z F n n 1-=1-=n nz ，)10(<<z 3设X 服从),0(θ上的均匀分布，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它01)(θθx x fn X X X ,,,21 为样本，),,,max(21)(n n X X X X =，1）求随机变量)(n X 的概率密度；2）问{}nX X X ,,,max ˆ21 =θ是否为θ的无偏估计量？ 答 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它01)(~θθx x f X ,其分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=θθθx x x x x F ,10,0,0)({}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤==≤=θθθθy y y y y F y X X X P y F n nn ,10,)(0,0)]([),,,(max )(21ˆ⎪⎩⎪⎨⎧<<==--其它,00,)()]([)(11ˆθθθy ny y f y F n y f n n nθθθθθθ≠+===⎰⎰-+∞∞-1)()ˆ(01ˆn ndy ny ydy y yf E nn ， 不是无偏估计4设总体X 的概率密度为.,,0,)()(其它θθ≥⎩⎨⎧=--x e x f x θ是未知参数,n X X X ,,,21 是来自X 的样本，1．求θ的矩估计量1θ∧；矩估计法:1)(-==⎰∞--θθθdx xe EX x ，令X EX =-=1θ, => 1ˆ1+=X θ 2．求θ的最大似然估计量2θ∧；最大似然估计法：设n x x x ,,21 为样本的观察值，则 似然函数为∑===---=∏ni ii x n x ni eeL 1)(1)(θθθ，θθ≥=≥≤≤i ni i x n i x 1min ,,1,即按似然估计的思想，当 似然函数关于θ是增函数，故ix min ˆ2=θ。

θ的最大似然估计量为iX min ˆ2＝θ。

5设电池的寿命服从指数分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=001)(_x x ex f xθθ 其中0>θ为未知参数，今随机抽取5只，测得寿命如下： 1150，1190，1310，1380，1420求电池的平均寿命θ的最大似然估计值。

解 似然函数∑==ni ix neL 11_1)(θθθ， ∑=--=ni ixn L 11ln )(ln θθθ令01)(ln 12=+-=∑=ni ixn L dx d θθθ1290)14201380131011901150(51ˆ=++++==x θ6在某次外语四级考试中，设全体考生的成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得样本均值566.x =分，样本标准差15=s 分。

问在水平050.=α下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？ 解 设考生的成绩为X ，则),(N ~X 2σμ010070μμμμ≠==:H ,:H检验统计量n/s x t 0μ-=，拒绝域)n (t t 12->α算得03012354136157********.)(t ./.t .=<=-=可以认为全体考试的成绩为70分 .7设n X X X ,,,21 是总体)(~λπX 的样本, 证明对于任意常数α, 统计量X ,2S , 2)1(S X αα-+都是参数λ的无偏估计量.证 由于)(~λπX , 因此由例1和例2可得λ==)()(X E X E , λ==)()(2X D S E ,())()1()()1(22S E X E S X E αααα-+=-+λλααλ=-+=)1(,所以22)1(,,S X S X αα-+都是λ的无偏估计量.8设总体X 的数学期望和方差都存在, 321,,X X X 是X 的样本, 证明统计量632ˆ3211X X X ++=μ, 442ˆ3212X X X ++=μ, 333ˆ3213X XX ++=μ. 都是总体均值μ=)(X E 的无偏估计量, 并确定哪个估计量更有效.解 设2)(σ=X D , 由于μμμμμ=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=613121632)ˆ(3211X X X E E , μμμμμ=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=414121442)ˆ(3212X X X E E , μμμμμ=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=313131333)ˆ(3213X X XE E . 故321ˆ,ˆ,ˆμμμ都是总体均值μ的无偏估计量. 又由于 222232111873619141632)ˆ(σσσσμ=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=X X X D D , 222232128316116141442)ˆ(σσσσμ=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=X X X D D , 2222321331919191333)ˆ(σσσσμ=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=X X X D D .因此)ˆ()ˆ()ˆ(123μμμD D D <<, 估计量3ˆμ更有效. 9设总体X 服从正态分布)9,(μN ，n X X X ,,,21 来自X 的样本1216,,,X X X ，则当n____＝90______时，1.0][2≤-μX E10设n X X X 221,,, 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则当c ＝n21时，∑=+-ni i i n X X c 12)(为2σ的无偏估计。

11设621,,,X X X 来自总体)1,0(N 的样本，设26543221)()(X X X X b X X a Y +++++=，则当a ＝ b ＝ ，Y 服从自由度为____的_______分布。

12),(2σμN ，未知已知2σμ，n X X X ,,,21 来自X 的样本。

（1）求2σ的矩估计和最大似然估计。

（2）估计量∑=-=n i i X n S 122)(1μ是不是2σ的优效估计？为什么？13]1,1[~θθ+-U X ,0>θ未知，设n X X X ,,,21 是从总体X 抽取的一个样本，n x x x ,,,21 是样本观察值，（1）求θ的最大似然估计量θˆ； （2）θˆ是不是θ的无偏估计量？为什么？14已知某炼铁厂的铁水含碳量（％）X 在正常情况下服从),(2σμN , 现测5炉铁水，其碳含量分别如下：4.28， 4.40 ，4.42， 4.35， 4.37 （％） 试求σ的置信度为0.95的置信区间。

15已知我国14岁女生的平均体重为43.38kg ，从该年龄的女生中随机抽取10名运动员测其体重，得39 36 43 43 40 46 45 45 42 41经算95.37,422==s x ，问这些运动员的平均体重与14岁女生的平均体重的差异是否显著？（)05.0=α(14岁女生的体重),(~2σμN X ). 16测量20位青年男子和20位老年男子的血压值，青年男子：总体),(~211σμN X 经算3684.193,12821==s x ， 老年男子：总体),(~222σμN Y 经算6842.937,113721==s y ， 问老年男子血压值个体间的波动是否显著地高于青年男子（)05.0=α）17我校硕士研究生《数理统计》课实行选课、考教分离制，由全校统一命题进行考试，试卷批改也是集体阅卷、流水进行，成绩出来以后要进行多项分析，现从参加该课程考生中经计算：1386x = ，2381x = ，3377x = ，4373x = ；1517x =，75.85x =，11585141512==∑∑==i j ij x SS 设各成绩值总体服从同方差的正态分布，（1）试仅从学生成绩角度用方差分析法检验各个教师的教学水平是否有明显差异？（2）求参数4μ的点估计；（3）求参数13μμ-的0.95的置信区间。

(0.05)α=y x αβε=++，()2~0,N εσ并算得9130.3i i x ==∑，9191.11i i y ==∑，91345.09i i i x y ==∑，921115.11ii x ==∑，9211036.65i i y ==∑。

1．证明β都是12,,,n Y Y Y 的线性组合； 2．线性回归方程 y x αβ=+； 3．对回归效果的显著性进行检验（显著性水平0.05α=）。