《实数》课时教学设计1

《实数》课时教学设计第一课时教学目标1．了解有理数的意义，会对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义；2．了解实数与数轴上的点一一对应，了解有理数的运算律适用于实数；3．会按结果所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数，进行实数的四则运算；4．鼓励学生在独立思考的基础上，积极参与讨论，与他人交流，并发表白己的看法．教学重点难点1．无理数、实数的意义；2．实数的性质．教学过程一、复习旧知，引入新课．师：使用计算器，把下列有理数写成小数的形式，你们发现了什么？ 3、53-、847、119、911、95由学生独立使用计算器，将这些有理数写成小数形式．3＝3.0，6.053-=-，875.5847= ∙∙=18.0119，∙=2.1911，∙=5.095 点评：从学生熟悉的知识入手，很快地进入学习状态，很自然地引出无理数概念．生：我们通过计算后，发现3、53-、847可以写成有限小数的形式；119、911、95可以写成无限循环小数的形式．师：不仅这六个数可以写成有限小数或无限循环小数的形式，事实上，同学们可以检验任何一个分数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式；反之，任何一个有限小数或无限小数都可以化为分数．如果把整数视为分母为1的分数，那么，我们学过的有理数实际上都是分数，反之分数也都是有理数 那么，我们思考一下2、3是不是有理数？为什么？ 生：通过前面的学习，我们知道2＝1.41421356……它是一个无限不循环小数，所以它不是有理数． 师：同学们回答得很对，有兴趣的同学还可以研究一下2能写成分数吗？如果说明不能，我们就严格论证了2不是有理数．我们把有限小数或无限循环小数叫做有理数；无限不循环小数叫做无理数．很多数的平方根和立方根，例如33、5-、32、3……都是无理数，π＝3.14159265……也是无理数．如果我们把有理数、无理数统称实数，你能把我们学过的数进行一下分类吗？生1：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无理数负分数正分数分数负整数正整数整数有理数实数0生2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无理数负有理数正有理数有理数实数0生3：我们不清楚无理数是否也有正无理数和负无理数之分？师：无理数也像有理数一样，分为正无理数和负无理数，2是正无理数，2-是负无理数，因此我们将这一组的分类完善为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数负有理数正有理数有理数实数0 我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示，探究一下无理数是否也可以用数轴上的点来表示．点评：强调概念的实际背景，帮助学生进一步理解概念，改变机械记忆概念的学习习惯．实数的分类不仅是列出的这两种，还有其他的分类方法，留做探究做出，由学生课下完成，课堂学习引伸到课外学习．二、探究活动．π、2是否可以用数轴上的点表示．生：我们设想直径为1个单位长度的圆的周长就是π．点评：让学生自己设计方案，寻求问题的答案．若让这个圆从原点沿数轴向右滚动1周，原上的一点就由原点到达O ′、OO ′，的长度就是π则O ′的坐标就是π．因此得出这样的结论：无理数π可以用数轴上的点表示出来．师：非常好!用这种方法我们还可以在数轴上找到与π有关的无理数所对应的点． 生：受到他们的启发，我们也在数轴上找到了与2对应的点．以单位长度1为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示2，与负半轴的交点就表示2-．师：这两位同学的想法都非常好，我们还可以设计一个方案，在数轴上找到表示5等无理数的点．事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数．因此，我们可以猜想一下，数轴上的点与实数的关系是什么？点评：学生之间互相交流，教师给学生不断启发，让学生在这种多向互动中获取知识，形成技能，提高解决问题的能力．生：实数包括有理数和无理数，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，任何一个无理数也都可以用数轴上的一点个来表示．数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，总之，数轴上的点表示实数．师：他们总结得非常好!当数从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．有理数比较大小、有理数关于相反数和绝对值的意义，同样适用于实数． 点评：不断地鼓励学生参与讨论，并表达自己的看法．不断地引导学生主动地从事观察、推理、分析、类比、交流等数学活动，帮助学生克服单纯地依赖、模仿与记忆的学习方式．三、课堂练习．1．2的相反数是________，|2|＝___________；－π的相反数是_________，|－π|＝_________；0的相反数是_________，|－0|＝____________．由学生独立完成，并归纳总结出如何求一个实数的相反数，以及如何求一个实数的绝对值．生：（1）当a 为实数时，a 的相反数为－a ；（2）当a ＞0的实数时，|a |＝a ；（3）当a ＜0的实数时，|a |＝－a ；（4）当a ＝0时，|a |＝0．2．求364-的绝对值． 生：因为4646433-=-=-．所以 44643=-=-．3．已知一个数的绝对值为3，求这个数． 生：因为33=，33=-，所以绝对值为3的数为±3．师：当数从有理数扩充到实数后，实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，其中正实数与0还可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用．4．计算下列各式的值：（1）()223-+；（2）3233+师：有理数的运算法则与性质对于实数仍适用．（1）可用加法结合律；（2）可用分配律．由学生独立完成．5．计算：（1）5＋π（精确到0.01）（2）23⋅（结果保留3位有效数字），师：当遇到有理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数． 因此可将5≈2.236，π≈3.142；3≈1.732，2≈1.414． 再进行计算．由学生独立完成．点评：对于学有余力的学生，教师为他们提供学习材料，指导他们学习，发展他们的数学才能．四、拓展探索．平面内有四个点，它们的坐标分别是：A (2，2)，B (5，22)，C (5，2)，D (2，2)．求：（1）依次连结A 、B 、C 、D ，围成的四边形是一个什么图形？（2）求这个四边形的面积；（3）若将这个四边形向下平移2个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？生：（1）根据坐标，分别求出每一条边的长，观察每一条边之间的关系． 因为2222=-=AD ，2222=-=BC所以AD ＝BC ，同理AB ＝DCA 、D 两点的横坐标相同，说明AD 与x 轴垂直，D 、C 两点的纵坐标相同，说明DC 与y 轴垂直．由此可以推断出AD 与DC 是垂直关系，因此可以判断出四边形为长方形．（2）DC ＝5－2＝3，BC ＝2，2323S =⨯=长．（3）若将这个四边形向下平移2个单位长度，A 、B 、C 、D 四个点的横坐标不变，纵坐标比原来减少2．依次可以求出A 、B 、C 、D 四个点的纵坐标分别为2、2、0、0，四点坐标可得．师：利用点的坐标可以求出线段的长度，以及线段与线段之间的关系．五、课后小结．1．今天的探究学习，你们有哪些收获？2．根据你们对有理数、无理数、实数的理解，你们认为实数还可以怎样分类？3．实数的相反数：若a 表示一个正实数，那么－a 表示一个负实数；a 与－a 互为相反数，0的相反数为0；4．实数的绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．六、作业练习．p178 5，6，7，8； p178 复习巩固1，2．评析：本课教案内容的设计结合具体的数学内容，采用“问题情境——建立模型——解释、应用拓展”的模式展开，让学生历经知识的形成与应用的过程．对于概念教学，侧重了概念背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式．教案设置的问题情境，激发了学生不断地深入思考，引导学生进行自主探索，鼓励学生进行交流，使学生在交流中进一步理解所学知识，掌握知识，形成技能，发展思维．第二课时·教学设计（一）创设情境，导入新课复习导入：1．用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律．2．用字母表示有理数的加法交换律和结合律．3．平方差公式．完全平方公式．4．有理数的混合运算顺序．（二）合作交流，解读探究自主探索 独立阅读，自习教材．总结 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用．讨论 下列各式错在哪里？如何改正？1．－32×3÷9×31＝9×3÷3＝9；2．21212－＝）－（；3．6565－｜＝－｜ 4．当x ＝2 时，222－－x x ＝0．【点拨】 1．－32表示3的平方的相反数，为－9，另外，在运算顺序上也出现错误．2．1＜2，因而1－2＜0，而一个数的算术平方根应是非负数．3．5＜6，因而5－6＜0，而一个数的绝对值应是非负数．4．要使222＋－x x 的值为0，必须要有x 2－2＝0，且x ＋2≠0，故只有x ＝2．【练一练】 计算下列各式的值：（1）（3＋2）－2；解：（1）（3＋2）－2 ＝3＋（2－2）（加法结合律） ＝3＋0＝3； （2）33＋23． （2）33＋23． ＝（3＋2）3（分配律） ＝53．总结 实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的． 试一试 计算：（1）5＋π（精确到0.01）；（2）3·2（结果保留3个有效数字）．解：（1）5＋π≈2.236＋3.142≈5.38；（2）3·2≈1.732×1.414≈2.45．总结 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．【练一练】 计算：（1））－）（＋（2323；（2）3312－；（3）（2－1）2．【提示】 （1）式的结构是平方差的形式；（3）式的结构是完全平方的形式．解：（1））－）（＋（2323＝（3）2－（2）2＝1；（2）；＝－＝）－（＝－11231433312（3）（2－1）2＝（2）2－2·2·1＋12＝3－22．总结 在实数范围内，乘法公式仍然适用．（三）应用迁移，巩固提高例1 a 为何值时，下列各式有意义？（1）2a ；（2）a －；（3）2＋a ；（4）31－a ；（5）a a －＋；（6）．＋312a a 解：（1）∵ a 为任何实数时，a 2≥0，∴ a 为任意实数时，2a 有意义．（2）∵ 要使a －有意义，必须使－a ≥0，即a ≤0，∴ 当a ≤0时，a －有意义．（3）∵ 要使2＋a 有意义，必须使a ＋2≥0，即a ≥－2，所以当a ≥－2时，2＋a 有意义；（4）∵ 31－a 有意义，a －1可取任意实数，即a 为任意实数，所以当a 为任意实数时，31－a 有意义； （5）∵ 要使a 有意义，必须使a ≥0，要使a －有意义，必须使－a ≥0，即a ≤0，∴ 要使a a －＋有意义，a 必须等于0．因此仅当a ＝0时，a a －＋有意义；（6）∵ a a 12＋是分式，当a ≠0时有意义，∴ 当a ≠0时，312a a ＋意义．例2 计算：（1）求5的算术平方根与2的平方根之和；（保留三位有效数字）（2）｜＋｜－｜－｜2552；（精确到0.01）（3）|a －π|＋|2－a |（2＜a ＜π）．（精确到0.01）解：（1）∵ 5的算术平方根为5，2的平方根为±2，∴ 5的算术平方根与2的平方根之和为5±2又因为5≈2.235，2≈1.414，所以5±2≈2.236＋1.414＝3.655－2≈2.236－1.414≈0.82（2）因为2＜5，所以2－5＜0，所以 |2－5|－|5＋2|＝5－2－5－2＝－22≈－2×1.414≈－2.83．（4）因为2＜a ＜π，所以|a －π|＝－（a －π）＝π－a ，|2－a |＝－（2－a ）＝a －2因此|a －π|＋|2－a |＝π－a ＋a －2＝π－2＝3.142－1.414＝1.73．例3 已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图10—3—3所示．化简|a |＋|b |＋|a ＋b |－222c a c －）－（的值．解：由数轴可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，且a ＋b ＞0．所以|a |＋|b |＋|a ＋b |－222c a c －）－（ ＝a ＋（－b ）＋（a ＋b ）－（a －c ）－2（－c ）＝a －b ＋a ＋b －a ＋c ＋2c＝a ＋3c ．例4 （学案点击中考）（2005年·宁波） 计算202322322－－－＋－⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 【评析】 有理数数域扩充到实数数域内后，所有的运算律及运算方法都是适合的．解：原式＝42＋1－49＝－43．【备选例题】实数p 在数轴上的位置如图10—3—4所示，化简()()2211－＋－p p 的值．【点拨】 （1）1＜p ＜2 （2）算术平方根的非负性．－＝）－（，－＝）－（p p p p 221122【答案】 1（四）总结反思，拓展升华总结 1．实数的运算法则及运算律．2．实数的相反数和绝对值的意义．（五）课堂跟踪反馈夯实基础1．a 、b 是实数，下列命题正确的是（D ）A ．a ≠b ，则a 2≠b 2B ．若a 2＞b 2，则a ＞bC ．若|a |＞|b |，则a ＞bD ．若|a |＞|b |，则a 2＞b 22．如果3962＝＋－＋a a a 成立，那么实数a 的取值范围是（B ）A ．a ≤0B ．a ≤3C ．a ≥－3D ．a ≥3 3．|31－|＝1，|π－3.14|＝π－3.14，|2－1.42|＝242.1－．4．23－的相反数是32－，39－的相反数是39．5．当a ＞17时，|a －17|＝17－a ，217）－（a ＝17－a ．6．当m ＝－1时，2m ＋|m |＋2m ＝0．7．比较下列各数的大小： （1）－3和－1.7；（2）π和722．【答案】 （1）－3＜－1.7；（2）π＜722．提升能力8．已知a 、b 、c 在数轴上如图所示，化简｜．＋＋｜　）－（｜＋＋－｜c b a c b a a 22【答案】 由图示知，b ＜a ＜0，c ＞0，∴ a ＋b ＜0，c －a ＞0，b ＋c ＜0，∴ ｜．＋＋｜　）－（｜＋＋－｜c b a c b a a 22＝|a |－|a ＋b |＋|c －a |＋|b ＋c |＝－a ＋（a ＋b ）＋（c －a ）－（b ＋c ）＝－a ＋a ＋b ＋c －a －b －c＝－a ． 9．（2005年·南京）10在两个连续整数a 和b 之间，即a ＜10＜b ，那么a ，b 的值是3，4．10．（2005年·南昌）实数m 、n 在数轴上位置如图所示，则下列不等关系正确的是（A ）A ．n 3＜m 3B ．n 2＜m 2C ．n 0＜m 0D ．|n |＜|m |开放探究11．计算下列各题：（1）211－；（2）221111－； （3）222111111－；（4）222211111111－．仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律吗？根据这个规律先写出下面的结果，并说明理由．21222211111个个n n -【答案】 （1）3 （2）33（3）333 （4）3 333 观察各式，不难有21222211111个个n n -＝个n 333。