绵阳南山中学实验学校高2012级第一次诊断性考试模拟试题(一)旧人教版

四川省自贡市2012届高三第一次诊断性考试（数学理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 1．设集合A={1，2}，则满足{1,2,3}A B = 的集合的个数是 （ ）A ．1B ．3C ．4D ．8 2．已知1,,()((1))(1),,x x R f x f f i i x x R +∈⎧=+⎨-∉⎩则等于（ ）A ．3i +B ．3C ．0D ．—3 3．“14a =”是“对任意的正数x ，均有1ax x+≥”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．已知等差数列3138{}2,{}n n a a a a a +-=满足则的前15项和15S 等于 （ ）A ．60B ．30C ．15D ．105．已知0,60,||||,cos ,a b c a c b a a b ++==<>且与的夹角为则等于（ ）A B ．12C ．—12D ．6．已知函数0(12)(1)()2ln 38,limx f x f f x x x x∆→-∆-=+∆则的值为（ ）A ．10B ．—10C ．—20D ．207．甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0，5，10三种数字，每人则可喊0，5，10，15，20五种数字，当两人所出数字之和等于某人所喊时为胜，若甲喊10，乙喊15时，则（ ） A ．甲胜的概率大 B ．乙胜的概率大 C ．甲、乙胜的概率一样大 D ．不能确定 8．下列图像中，有且只有一个是函数3221()(1)1(,0)3f x x ax a x a R a =++-+∈≠的导数'()f x 的图象，则(1)f -的值为（ ）9．已知函数sin(2)3y x π=-，下列结论正确的个数为（ ）①图像关于12x π=-对称；②函数在区间[0,]π上的最大值为1； ③函数图像按向量(,0)6a π=- 平移后所得图像关于原点对称。

A ．0B ．1C ．2D ．310．已知函数()22x f x =-，则函数|()|y f x =的图像可能是（ ）11．从6名学生中选出4人分别从事A 、B 、C 、D 四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事A 种工作，则不同的选派方案共有 （ ） A ．280种 B ．240种 C ．180种 D ．96种12．设[]x 表示不超过x 的最大整数（如5[2]2,[]14==），对于给定的*n N ∈，定义(1)([]1)3,[1,),[,3)(1)([]1)2x n n n n x C x x x x x x --+=∈+∞∈--+ 则当时，函数8x C 的值域是（ ）A ．16[,28]3 B ．16[,56)3 C ．1628(4,](,28]33⋃ D ．28(4,)[28,56)3⋃二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．若316*2323(),()n n n C C n N a b ++=∈-则的展开式中第3项的系数为 。

14．如图，已知线段AB 的长度为2，它的两个端点在⊙O 的圆周上运动，则AB AO ⋅= 。

15．()f x 是以4为周期的奇函数，11()1sin ,(4cos 2)24f f αα==且则= 。

16．在实数集R 上定义一种运算“*”，该运算具有性质： ①对任意,,**a b R a b b a ∈=；②对任意,*0a R a a ∈=；③对任意,,,(*)**()(*)(*)2.a b c R a b c c ab a c b c c ∈=++-则1*2= ；函数1()*(0)f x x x x=>的最小值是 。

三、解答题：共6小题，满分74分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知向量22,cos ),(1,2cos ),().m x x n x f x m n =+==⋅设函数（I ）求()f x 的最小正周期与单调递增区间；（II ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若()4,1,f A b ABC ==∆a 的值。

某中学在高二开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课，对于该年级的甲、乙、丙3名学生。

（I ）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；（II ）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率； （III ）求某一选修课被这3名学生选择的人数的数学期望。

19．（本小题满分12分）已知数列11{}1,31nn n n a a a a a +==+满足（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）记12231,lim .n n n n x S a a a a a a S +→∞=++ 求 20．（本小题满分12分）已知2,()(23)2a R f x a x x a ∈=--+求函数在区间[0，1]上的最小值。

已知函数()[,0)(0,]f x e e -⋃是定义在上的奇函数，当(0,],()ln .x e f x ax x ∈=+时 （I ）求()f x 的解析式；（II ）是否存在实数a ，使得当[,0),()x e f x ∈-时的最小值是3，如果存在，求出a 的值，如果不存在，说明理由。

22．（本小题满分14分）已知函数()f x 的定义域为[0，1]，且同时满足：①对于任意[0,1]x ∈，总有()3f x ≥；②(1)4f =；③若121212120,0,1,()()() 3.x x x x f x x f x f x ≥≥+≤+≥+-则有 （I ）求(0)f 的值；（II ）求函数()f x 的最大值；（III ）设数列*11{},1,(3),2n n n n a n S a S a n N ==--∈的前项和为满足， 求证：1232327()()()log .2n nf a f a f a a +++<四川省自贡市2012届高三第一次诊断性考参考答案及评分意见一、选择题(每小题5分 共60分)： (理科)CBABD CABDD BC (文科)CBDAB DACDB BC 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分） （理）13. 6 ；14. 2；15.－1；16. 5；3. （文）13. 0 ；14. 2；15.－1； 16. 12-⋅n n .三、解答题：共6个题，共74分。

17．解：(Ⅰ)3)62sin(2cos 222sin 3)(2++=++=⋅=πx x x n m x f ………（3分）∴ )(x f 的最小正周期为22π=T ＝π， ………（4分） 由,226222πππππ+≤+≤-k x k 得,63ππππ+≤≤-k x k∴ )(x f 的单调递增区间为Z k k k ∈+-],6,3[ππππ ………（6分）(Ⅱ) )(A f ＝4 得 43)62sin(2=++πA 即 21)62sin(=+πA ∵ π<<A 0 ∴6562ππ=+A ，即 A ＝3π ………（8分）又23sin 21=A bc ∴2343=c ∴ 2=c …………（10分） 在△ABC 中由余弦定理有32121241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ∴ 3=a …………（12分）18．解：(Ⅰ)3名学生选择了3门不同的选修课的概率：则8344423443341=⨯⨯⨯⨯==A P ………文（6分）理（3分） (Ⅱ) 恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率：1694442332432223242=⨯⨯⨯⨯⨯==A C C P ………文（12分）理（6分） (Ⅲ) 设某一选修课被这3名学生选择的人数为ξ，则ξ＝0,1,2,3 ……（7分）P(ξ＝0)＝64274333= P(ξ＝1)＝6427433213=CP(ξ＝2)＝64943313=⋅C P(ξ＝3)＝6414333=C ξ的分布列是……（11分）43641364926427164270=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE …………（12分） 19．解：(Ⅰ) 由131+=+n n n a a a 得 3111=-+n n a a …………（3分）∴数列{na 1}是首项为1，公差为3的等差数列 ∴3)1(11-+=n a n 即231-=n a n …（6分） (Ⅱ) ∵ 31)131231()13)(23(11⨯+--=+-=+n n n n a a n n …………（9分）∴ )]131231()10171()7141()411[(31+--++-+-+-=n n S n ＝13)1311(31+=+-n n n ………文（12分）∴ 31lim =n S ………（12分）20．解：当032=-a 即 32=a 时，322)(+-=x x f 在[0，1] 上递减∴ 34)1()(min -==f x f ………（2分） 当032≠-a 即32≠a 时，)(x f 为二次函数 ………（3分） 若032>-a 即32<a 时，)(x f 的开口向上，其对称轴为a x 321-=………（4分）① 当132>-a 即 31<a 时 23123)321()(2m i n -+-=-=a a a a f x f ………（6分） ② 当 1320≤-<a 即3231<≤a 时，a f x f 2)1()(min -== ………（8分）若032<-a 即32>a 时，)(x f 的开口向下，其对称轴为ax 321-= ……（9分）a f x f 2)1()(min -== ……（10分）综上可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<-+-=)31(2)31(23123)(2min a a a a a a x f ……（12分） （理）21．解：(Ⅰ)设(](]e x e x ,0,0,∈--∈则 ∴ )ln()(x ax x f -+-=- 又)(x f 为奇函数，)(x f ＝－)ln()(x ax x f --=-∴ 函数)(x f 的解析式为 ⎩⎨⎧+--=,ln ),ln()(x ax x ax x f [)(]e x e x ,00,∈-∈ …………（4分）(Ⅱ) 假设存在实数a 符合题意，先求导xa x f 1)('-= ① 当e a 1-≥，由于[)0,e x -∈，则01)`(≥-=xa x f ∴ )ln()(x ax x f --=是[)0,e -上的增函数， ∴ 31)()(min =--=-=ae e f x f 则 ee a 14-<-= （舍去） ……（8分） ② 当e a 1-<时 a x e 1≤≤- ⇔ 01)`(<-=xa x f01<<x a ⇔ 01)('>-=x a x f ，则)ln()(x ax x f --=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a e 1,上递减， 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡0,1a 上递增，∴ 3)1ln(1)1()(min =--==a a f x f 解得 2e a -=综合①、②可知存在实数2e a -=使得当[)0,e x -∈时，)(xf 有最小值3. ………（12分）（文）21．解：(Ⅰ) b ax x x f ++=23)('2 ………（1分）∵ )(x f 在 1=x 处有极值10∴ ⎩⎨⎧=++=+++0231012b a a b a 解得⎩⎨⎧-==114b a⎩⎨⎧=-=33b a ………（3分） 当,4=a 11-=b 时，1183)('2-+=x x x f ，其中0>∆，所以函数有极值点，……（4分） 当,3-=a 3=b 时，0)1(3)('2≥-=x x f ，所以函数无极值点， ……（5分）∴ b 的值为－11 ……（6分） (Ⅱ) 023)('2≥++=b ax x x f 对任意[)∝+-∈,4a ，[]2,0∈x 都成立则032)(2≥++=b x xa a F 对任意[)∝+-∈,4a ，[]2,0∈x 都成立 ……（7分）∵ 0≥x ∴)(a F 在[)∝+-∈,4a 上单调递增或为常函数∴ min )(a F ＝038)4(2≥++-=-b x x F 对任意[]2,0∈x 恒成立 ……（9分）即 max 2)83(x x b +-≥，又316316)34(38322≤+--=+-x x x 当 34=x 时取得最大值 ……（11分） ∴b 的取值范围⎪⎭⎫⎢⎣⎡∝+,316 ……（12分）另解(Ⅱ) 023)('2≥++=b ax x x f 对任意[)∝+-∈,4a ，[]2,0∈x 都成立即ax x b 232--≥对任意[)∝+-∈,4a ，[]2,0∈x 都成立，即max 2)23(ax x b --≥……（8分）令3)3(323)(222a a x ax x x F ++-=--= 当0≥a 时0)0()(max ==F x F ，∴0≥b …（9分）当－04<≤a 时，3)(2maxa x F =∴32ab ≥……（10分）又316)3(max 2=a ∴316≥b …（11分）综上可知b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∝+,316 ……（12分） 22．解：(Ⅰ) 令021==x x 则有3)0(2)0(-≥f f ，即 3)0(≤f又对任意 []1,0∈x 总有3)(≥x f ∴ 3)0(=f …………（3分）(Ⅱ) 任取1x 、[]1,02∈x ，21x x < )]([)(1212x x x f x f -+= 3)()(121--+≥x x f x f ∵1012≤-<x x ∴3)(12≥-x x f ∴)(33)()(112x f x f x f =-+≥，即[0,1])(在x f 上递增. ∴ 当[]1,0∈x 时，4)1()(=≤f x f ∴)(x f 的最大值为4 …………（6分） (Ⅲ) 当1>n 时，)3(21)3(2111-+--=-=--n n n n n a a S S a ，∴311=-n n a a ……（7分） ∴ 数列{}n a 是以1为首项，公比为31的等比数列，∴131-=n n a ……（8分） ]313[)1(11--⋅=n n f f ＝]31)13(31[111---⨯-+n n n f ≥3]31)13[()31(111-⨯-+---n n n f f ≥ …即 4≥33)31(311+---nn n f …………（10分）∴ 111313313)31(---+=+≤n n n n f ，即 1313)(-+≤n n a f …………（11分）∴ )313()313()313()()()(1121121---++++++≤+++n n a f a f a f ＝233321233311])31(1[131+<⨯-+=--⋅+-n n n n n ………（文）14分……（13分） 又233)12(23)33(log 2327log 23223323+=+=⋅=-n n a n n ∴原不等式成立 ……（14分）。