函数对称中心
函数对称中心的求解方法探究及应用
函数对称中心的求解方法探究及应用函数的对称性是函数的一个重要性质.充分体现了数学的形式美，给学生以美的感受的同时，锻炼学生的思维，拓展学生的视野，丰富学生的想象.函数的奇偶性就是函数的对称性的特例．如何探求函数的中心对称性呢？为此，本文将函数的中心对称性的探求策略及简单应用，整理如下，以飨读者.一、反比例函数图解法初中数学的学习中，我们接触了一次函数、反比例函数是中心对称图形，自然可以借助于常见的基本初等函数来探求等次分式函数的图象的对称中心.函数()()(),0cx d c ad bcf x ad bc a ax b a c ax b +-==+≠≠++图象的两条渐近线方为：b x a =-，cy a =，它的对称中心是,b c a a ⎛⎫-⎪⎝⎭.【例1】函数()1122ax f x a x +⎛⎫=≠ ⎪+⎝⎭的对称中心是()2,5-，则实数a 的值是.【解析】()()2121222a x aaf x a x x ++--==+++，其对称中心为()2,a -，所以5a =.【评注】上述分式函数通过分离常数，求出函数渐近线方程，这两条渐近线的交点，便是函数图象的对称中心。
【变式1】函数()321xf x x -=，该函数图象的对称中心是.遇到抽象函数的对称中心的探求，从图象平移变换的角度不易理解，这【解析】用2x -替换，得4f x f x -=-，可知，函数f x 关于点2,0对称，函数()()3f x x a =+的对称中心是(),0a -，则2-=a ，所以()()33124.f f -+=-【思考1】上面条件()32f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭说明了函数对称中心是3,04⎛⎫⎪⎝⎭，具有一般性吗？定义在R 上的函数()f x 满足()()2f a x f x -=，则函数图像关于022a x xx a -+==对称，即点()(),x f x 与()()2,a x f x -点关于x a =对称，这是大家熟知对称轴的计算公式.那么()()2,a x f x -关于x 轴对称翻折成()()2,a x f x --，那么点()(),x f x 与()()2,a x f x --点关于(),0a 中心对称，此时满足()()2f a x f x -=-，因此函数满足()()2f a x f x -=-，则函数图像必然关于(),0a 中心对称.【思考2】如果把对称点()()2,a x f x --向上抬高2b 单位,得到()()2,a x f x --与()(),x f x 的连线的中点上移几个单位？能得到什么结论？若对称点()()2,a x f x --向上平移2b 单位，根据中位线性质，其连线的中点也就是对称中心上移b 单位变为(),a b ，也就是若有()()22,f a x b f x -=-则函数对称中心变为(),a b .类似结论还有，()()2f a x c f b x +=+-，则()y f x =y =f (x )的图象关于点,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭对称．三、奇函数图像转化法函数()f x 的图像向右移动a 个单位，再向上平移b 个单位，得到奇函数()f x a b -+，则原函数图像关于点( )a b --,成中心对称图形.【例3】已知函数1y x =的图像的对称中心为()0,0;函数111y x x =++的图像的对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭;函数11112y x x x =++++的图像的对称中心为()1,0-;……;由此推测函数111112y x x x x n=++++++ 的图像的对称中心为．【解析】11()1f x xx =++图像右移12个单位后变成函数111()11222f x x x -=+-+.该函数是奇函数，故原函数中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.函数111()12f x x x x =++++图像右移1个单位后，变成奇函数111(1)11f x x x x -=++-+，故原来的函数对称中心为()1,0-.由此1111()12f x x x x x n =++++++ ，图像右移2n 个单位后，变为奇函数111111+++212122222n f x n n n n n x x x x x x ⎛⎫-=++++⎪⎝⎭--+-++-+，因此原函数对称中心为,02n⎛⎫- ⎪⎝⎭.【变式3】若()11111234g x x x x x =+++++++，求()()5g x g x +--=.【解析】51111311322222g x x x x x ⎛⎫-=+++ ⎪⎝⎭--++是奇函数，()g x 对称中心为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为点(),x y 关于5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称点是()5,x y ---，所以()()5g x g x --=-，故()()5g x g x +--=0.【变式4】函数()11111232013f x x x x x =++++++++ 图像的对称中心是（）A．()10060-，B．()10070-，C．()10060，D．()10070，【解析】()111110071006100510051006f x x x x x -=++++--++ ，则()1007f x -为奇函数，所以()f x 的图像关于点()10070-，对称.所以选B.【变式5】已知函数()1220121232013x x x x f x x x x x +++=++++++++ ，则()()02014f f +-=_______．【例4】已知函数()2112cos 221x xf x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-，其图像的对称中心是【变式6】(2013全国)已知函数误的是().A．0x R ∃∈，()00f x =B．函数()f x 的图象是中心对称图形C．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞上单调递减D．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=【解析】若0c =，则有()00f =，所以A 正确．由()32f x x ax bx c =+++，得()32f x c x ax bx -=++，因为函数()32f x x ax bx =++的对称中心为()0,0，所以()32f x x ax bx c =+++的对称中心为()0,c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间()0,x -∞单调递减是错误的，D 正确．选C.【变式7】()()311f x x =-+，则()()()()()43056f f f f f -+-+++++=．【解析】()()311f x x =-+是由3y x =平移得到的，由于3y x =是奇函数，图像关于原点对称，因此()f x 的对称中心为()1,1，有()()22f x f x +-=，所以()()()()()43056f f f f f -+-+++++ ()()()()()()()4635021f f f f f f f =⎡-+⎤+⎡-+⎤++⎡+⎤+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 52111=⨯+=．四、导数拐点法【例5】对于三次函数()()320,f x ax bx cx d a =+++≠给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现判断下列命题：①任意三次函数的图像都关于点,33bb f aa ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称；②存在三次函数()y f x =，()0f x ''=有实数解0x ，点()()00,x f x 为函数()y f x =的图像的对称中心；③存在三次函数的图像有两个及两个以上对称中心；④若函数()3211513cos()32122g x x x x x π+=-+-+-，则12342012100620132013201320132013g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.其中正确命题的序号为(把所有正确命题的序号都填上).【解析】对于①②明显正确；对于③，任意的三次函数满足()62f x ax b ''=+，而()0f x ''=只有一个根，所以任意三次函数的图像只有一个对称中心,33bb f aa ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.③错；对于④，令()3211533212u x x x x =-+-，()1cos 2v x x π+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()21u x x ''=-，所以()u x 的图像关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，同理，函数()v x 的图像关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以122012122012201320132013201320132013u u u v v v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 120121006100621201220132013u u ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，④错.故正确命题的序号为①②.【评注】三次函数的对称中心的横坐标实质上即为其二阶导函数的零点。
函数对称性公式大总结
函数对称性公式大总结1. 引言在数学中，函数对称性是一个重要的概念，它描述了函数在某种变换下保持不变的性质。
函数对称性有多种形式，如轴对称性、中心对称性等。
本文将对函数对称性的一些常见公式进行总结，并提供示例说明。
2. 轴对称函数公式2.1 轴对称性的定义轴对称是指函数图像对于某一条直线对称，即函数图像在这条直线两侧对称。
设函数为 f(x)，对称轴为 x = a，则函数 f(x) 在对称轴两侧的函数值相等，即 f(a + h) = f(a - h)。
2.2 轴对称函数公式•偶函数：若函数 f(x) 满足 f(-x) = f(x)，则称 f(x) 为偶函数。
•奇函数：若函数 f(x) 满足 f(-x) = -f(x)，则称 f(x) 为奇函数。
偶函数和奇函数都具有轴对称性，其中以偶函数更为常见。
3. 中心对称函数公式3.1 中心对称性的定义中心对称是指函数图像对于某一点对称，即函数图像关于这一点对称。
设函数为 f(x)，对称中心为 (a, b)，则函数 f(x) 在对称中心两侧的函数值相等，即 f(a + h) = f(a - h)。
3.2 中心对称函数公式•对数函数：对数函数 y = loga(x) 关于 y 轴对称，其中 a > 0，且a ≠ 1。
•幂函数：幂函数 y = ax^n 关于 y 轴对称，其中a ≠ 0，且 n 为任意整数。
•正弦函数和余弦函数：正弦函数 y = sin(x) 和余弦函数 y = cos(x) 关于原点对称。
4. 复合对称函数公式4.1 复合对称性的定义复合对称是指函数图像同时具有轴对称性和中心对称性。
函数 f(x) 在具有轴对称性的直线上的每一个点，同时也是具有中心对称性的点。
4.2 复合对称函数公式•奇次幂函数：奇次幂函数y = ax^(2n+1) 具有轴对称性和中心对称性，其中a ≠ 0，n 为任意整数。
5. 示例说明5.1 示例 1：偶函数考虑函数 f(x) = x^2，我们可以看到该函数关于 y 轴对称，即 f(x) = f(-x)。
乐乐课堂正弦涵数对称轴和对称中心
乐乐课堂正弦涵数对称轴和对称中心
1、对称轴：关于直线x=(π/2)+kπ,k∈Z对称。
正弦函数是三角函数的一种。
对于任意一个实数x都对应着唯一的角，而这个角解对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x 都有唯一确定的值sinx与它对应按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx，叫做正弦函数。
2、正弦函数y=sinx的对称中心就是曲线与x轴的交点。
正弦函数y=sinx的对称中心就是曲线与x轴的交点。
对称中心是：(kπ,0)。
对称轴就是函数取得最值时的x的值，对称轴是：x=kπ＋π/2。
正弦在直角三角形中，任意一个锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边。
一般的，在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v叫做角α的正弦函数，记作v=sin α。
通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y=sin x，它的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
三角函数对称轴和对称中心公式为正弦函数，对称轴为x=kπ+π/2（k∈Z），对称中心为（kπ,0）（k∈Z）；余弦函数，
对称轴为x=kπ（k∈Z），对称中心为（kπ+π/2,0）（k∈Z）；正切函数，无对称轴，对称中心为kπ/2+π/2,0）（k∈Z）；余切函数，无对称轴，对称中心为kπ/2,0）（k∈Z）；正割函数，对称轴为x=kπ（k∈Z），对称中心为（kπ+π/2,0）（k∈Z）；余割函数，对称轴为x=kπ+π/2（k∈Z），对称中心为（kπ,0)（k∈Z）。
如何探求函数的对称对称中心？
数学磨尖训练（4）-- 函数的中心对称性一、分式函数的中心对称性1.函数()121x f x x-=+，该函数图象的对称中心是 . 【变式1】函数()251x f x x -=-，该函数图象的对称中心是 .二、复合函数的中心对称性2.已知()1y f x =+是定义在R 上的奇函数.当1x >时，x x x f 4)(2-=,则函数()f x =__ __.【引申】函数()y f x a =+是奇函数⇔()()0f a x f a x ++-=⇔()()20f x f a x +-=⇔函数()y f x =关于点(),0P a 对称.【变式2】已知()3y f x =-是奇函数，当3x ≥-时，()23f x x x =+，当3x <-时，函数()f x = ．三、抽象函数的中心对称性3.证明：“函数()y f x =的图像关于点( )M a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x =满足()()22.f x f a x b +-=”【变式3】证明：“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+- 是奇函数”.四、三次函数的中心对称性4.三次函数()323f x x x =+，试问，该函数图象有没有对称中心？如果没有，请说明理由；若有，求出其对称中心．【变式4】函数()32324f x x x x =-+-+的图象的对称中心是 .五、函数中心对称性的活用5.函数())0,1f x a a =>≠． （1）证明：函数()y f x =图象关于点1122M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称； （2）求()()()()()()210123m f f f f f f =-+-++++的值．【变式5】函数()1222x x f x +=+．（1）证明：函数()y f x =图象关于点()11M ，对称；（2）求123198199100100100100100S f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 6.（2013上海春季高考）已知真命题:“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+- 是奇函数”.(1)将函数()323g x x x =-的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标;(2)求函数()22log 4x h x x=- 图像对称中心的坐标; 【变式6】（2014山东）已知函数()()y f x x R =∈.对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点()()()(),,,x h x x g x 关于点()(),x f x 对称.若()h x 是()g x =()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 .。
函数对称性5个结论的推导
函数对称性5个结论的推导1.奇函数的推导：奇函数是指函数关于原点对称。
设函数f(x)是奇函数，那么有f(x)=-f(-x)。
为了推导这个结论，我们考虑将x代替为-x，得到f(-x)=-f(x)。
这表明，当自变量的符号发生变化时，函数值也会发生变化，并保持相反的正负号。
例如，f(2)=-f(-2)，f(3)=-f(-3)等等。
因此，奇函数关于原点对称。
2.偶函数的推导：偶函数是指函数关于y轴对称。
设函数f(x)是偶函数，那么有f(x)=f(-x)。
为了推导这个结论，我们考虑将x代替为-x，得到f(-x)=f(x)。
这表明，当自变量的符号发生变化时，函数值保持不变。
例如，f(2)=f(-2)，f(3)=f(-3)等等。
因此，偶函数关于y轴对称。
3.半个周期对称的推导：半个周期对称是指函数的两个相邻的波峰或波谷关于y轴对称。
设函数f(x)是半个周期对称，那么有f(x)=f(x+T/2)，其中T表示函数的周期。
为了推导这个结论，我们考虑函数的周期性，即f(x+T)=f(x)，代入x=x+T/2得到f(x+T/2)=f(x+T/2+T)=f(x+T)=f(x)，即f(x)=f(x+T/2)。
这表明，函数在每个周期的半个周期上关于y轴对称。
4.四分之一周期对称的推导：四分之一周期对称是指函数的四个相邻的波峰或波谷关于y轴对称。
设函数f(x)是四分之一周期对称，那么有f(x)=f(x+T/4)，其中T表示函数的周期。
为了推导这个结论，我们考虑函数的周期性，即f(x+T)=f(x)，代入x=x+T/4得到f(x+T/4)=f(x+T/4+T)=f(x+T)=f(x)，即f(x)=f(x+T/4)。
这表明，函数在每个周期的四分之一周期上关于y轴对称。
5.中心对称的推导：中心对称是指函数关于一些点对称，该点称为中心。
设函数f(x)是中心对称，那么有f(x)=f(2a-x)，其中a表示中心点的横坐标。
为了推导这个结论，我们考虑将自变量x替换成2a-x，得到f(2a-x)=f(x)。
函数的周期性和对称性口诀
函数的周期性和对称性口诀
函数的周期性和对称性口诀是和对称差周期。
若f（x+a）=-f（x+b），多一个负号。
（x+a）-（x+b）=a-b，周期X2。
周期性，T=2|a-b|。
若f（x+a）=-f（-x+b），多一个负号。
（x+a）+（-x+b）=a+b，轴变中心。
对称性，对称中心（（a+b）/2,0）。
对称性的概念：
1、函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
2、中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
性质：
1、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两条对称轴x=a，x=b则函数f （x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。
2、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两个对称中心A（a，0），B（b，0）则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。
3、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B （b，0）（a≠b），则函数f（x）是周期函数，且周期T=4|b-a|（不一定为最小正周期）。
sin对称轴与对称中心公式
sin对称轴与对称中心公式
正弦函数的对称轴和对称中心是函数图像的重要特征。
正弦函数的对称轴是x=kπ+2π，其中k是整数。
正弦函数的对称中心是 (kπ,0)，其中k是整数。
这些公式可以帮助我们找到正弦函数图像的对称轴和对称中心。
对于正弦函数y=sin x，其对称轴的方程是x=kπ+2π，其中k是整数。
对于正弦函数y=sin x，其对称中心的坐标是 (kπ,0)，其中k是整数。
这些公式是基于正弦函数的周期性和振幅变化规律得出的。
正弦函数具有周期性，周期为 2π，因此在每个周期内，函数图像具有对称性。
对称轴和对称中心是正弦函数图像的重要特征，它们可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
证明函数关于某点中心对称
证明函数关于某点中心对称要证明一个函数在某个点中心对称，首先得理解什么叫“中心对称”。
简单来说，就是如果你把这个点当成一个镜子，函数在这个点的左边和右边的值就像镜子里的影像一样，一模一样。
这就好比你在家里拍个全家福，左边的叔叔和右边的姑姑，虽然站的位置不同，但看起来一样漂亮，没错吧？假设我们有个函数 ( f(x) )，我们要证明它在点 ( a ) 中心对称。
其实这跟我们生活中的很多事都很像，想象一下你和朋友一起踢足球，站在中间的那个人就像我们这里的( a )。
要是 ( f(a x) = f(a + x) )，就说明无论你是向左还是向右走，看到的景象都差不多。
换句话说，只要 ( f(x) ) 在 ( a ) 左边的表现和在右边的表现相同，中心对称就成立了。
现在咱们来细致地瞧一瞧这个等式。
先把 ( x ) 替换成一些具体的数值，比如说( x=1 )，你就能得到 ( f(a1) ) 和 ( f(a+1) ) 的关系。
如果这俩个值一样，那就说明在 ( a ) 的左右两边有一种神奇的平衡感。
就像是在海滩上建沙堡，左右两边都要对称才好看嘛，哈哈。
我们可以尝试用一些实际的例子来验证。
比方说，拿 ( f(x) = x^2 ) 这个函数举例，选定点 ( a=0 )。
我们来看看 ( f(x) ) 和 ( f(x) ) 的值。
哦，结果是 ( f(x) = (x)^2 = x^2 )，而 ( f(x) = x^2 )。
无论你从哪个方向看，都是同样的效果，没毛病，这样就证明了函数在零点中心对称，真是个“天上掉下个林妹妹”的例子。
那假如我们再来个复杂点的，比如 ( f(x) = x^3 3x )，同样在 ( a=0 ) 的情况下看看。
我们计算 ( f(x) )，哦，得到了 ( x^3 + 3x )，结果和 ( f(x) ) 反着来，这说明在这里并不对称，简直就是个小捣蛋鬼。
哈哈，数学就是这么神奇，有时候让你摸不着头脑，有时候又清晰得像阳光下的水晶。
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函数图像的中心对称性
一、结论
结论1. y = f (x) 为奇函数函数⇔f (x)的图像关于原点O对称⇔f (x) + f (－x) = 0 结论2. 函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称⇔f (x) + f (2a－x) = 2b f(x) + f(2a – x)=2b⇔f(x+a) + f(a – x)=2b；
结论3. 函数y = f (a x+b)为奇函数，则有f (－ax+b) + f (ax+b) = 0
结论4.函数
a
y k
x h
-=
-
的对称中心为（h, k）
二、练习：
1.若函数f(x)= (x+ a)3对任意的实数x都有f(1+x) = - f(1- x), 则f(2) + f( - 1)的值是_____________.
2.函数f(x)的定义域为x∈R，且x≠1，已知f(x+1)为奇函数，当x< 1进,f(x)= 2 x2– x + 1, 则当x > 1时f(x)的递减区间是________________.
３．设y = f ( 2 x + 1 ) 是一个奇函数，则y = f ( x ) 的对称中心是_______________.
４.已知函数f(x)的定义域为x∈R，且满足f(x)=- f(4 –x),当x > 2 时f ( x) 单调递增，已知m+n < 4, (m - 2) ( n – 2 ) < 0, 则f ( m) + f (n ) 的值是（）
（A）恒小于0（B）恒大于是0 (C) 可以为0 (D) 可正可负
５.已知f (x) + f (2 – x) + 2 = 0 对任意实数恒成立，则函数f (x) 图像关于_______对称
６．函数
23
1
x
y
x
+
=
+
的图像的对称轴是___________, 对称中心___________.
７.设x 是整数，给出一个流程如图，按此流程图计算，刚好处理3次，则输入的x的值是___________。