第16讲相似三角形的基本知识点

了可化为 ，还可化为 ， ， ， ， ， ， ．
更比性质(交换比例的内项或外项)：
反比性质(把比的前项、后项交换)：
．
合比性质：
．
注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
发生同样和差变化比例仍成立．如： 等等．
等比性质：
如果 ，那么 ．
注意：
(1)此性质的证明运用了“设 法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
（3）位似图形的对应边互相平行或共线.
知识点14位似图形的性质
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.拓展：位似图形有许多性质，它具有相似图形的所有性质.
知识点15画位似图形
1.画位似图形的一般步骤：
（1）确定位似中心
（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.
（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.
知识点12相似多边形的性质
(1)相似多边形周长比，对应对角线的比等于相似比．
(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．
(3)相似多边形面积比等于相似比的平方．
注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．
例题1把一个矩形的各边都扩大4倍，则对角线扩大到倍，其面积扩大到倍．
16.已知:如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.
求证:AB·BC=AC·CD.
17.已知：ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=900延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=1350。求证：ΔEAC∽ΔCBF
18．已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.
公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
（1）（AD）2=BD·DC，
（2）（AB）2=BD·BC，
（3）（AC）2=CD·BC。
证明：在△BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴AD/BD＝CD/AD，即
13.如图11,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,
则S四边形DFGE∶S四边形FBCG=_________.
14.如图12,ΔABC中,中线BD与CE相交于O点,SΔADE=1,则S四边形BCDE=________.
15.已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:ΔAEF∽ΔACB.
知识点2比例线段的相关概念
如果选用同一单位量得两条线段 的长度分别为 ，那么就说这两条线段的比是 ，或写成 ．
注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．
在四条线段 中，如果 的比等于 的比，那么这四条线段 叫做成比例线段，简称比例线段．
注意：
(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．
4若x∶y∶z=2∶7∶5，且x－2y＋3z=6，则x=，y=，z=；
5设==，则=___，=____.
；其中 ．
知识点4比例线段的有关定理
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：
(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．
(2)比例线段是有顺序的，如果说 是 的第四比例项，那么应得比例式为： ．
例题
⒈若AB=1m，CD=25cm，则AB∶CD=；若线段AB=m, CD=n，
则AB∶CD=.
⒉若MN∶PQ=4∶7，则PQ∶MN=，MN=PQ，
PQ=MN。
知识点3比例的性质
基本性质：
(1) ；
(2) ．
注意：
由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如 ，除
知识点16相似三角形常见的图形
（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC
（2）射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；
（3）满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．
(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
例题
1若线段a，b，c，d成比例，其中a=5㎝，b=7㎝，c=4㎝，则,d=．
2若a·b=c·d则有a∶d=；若m∶x=n∶y,则x∶y=.
3已知4x－5y=0，则（x＋y）∶（x－y）的值为．
用数学语言表述是：
，
∽ ．
知识点8相似三角形的等价关系
(1)对称性：若 ∽ ，则 ∽ ．
(2)传递性：若 ∽ ，且 ∽ ，则 ∽ ．
知识点9三角形相似的判定方法
1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角
形与原三角形相似．
4.ΔABC的三边长为 , ,2,ΔA'B'C'的两边为1和 ,若ΔABC∽ΔA'B'C',则ΔA'B'C'的笫三边长为________.
5.两个相似三角形的面积之比为1∶5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_____.
6.如图4,RtΔABC中,∠C=900,D为AB的中点,DE⊥AB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为__________.
签字
教学组长：
学生/家长：
乐恩特教育个性化教学辅导教案
校区：百花
授课教师
王宁波
日期
2014.8
时间
10：00~12:00
学生
李延泽
年级
初三
科目
数学
课题
相似三角形的基本知识点
教学目标
要求
熟练掌握相似的基本知识中考考点
教学重难点
分析
教学过程
知识回顾
讲授新课
知识点1相似图形
形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.
19．已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP。
求证:(1)CE2=AE·EB ; (2) AE·EB=ED·EP
20已知，如图，在△ABC中，D为BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长。
DE = 4cm ,则BC =。
2．如图4在ΔABC中, DE∥BC, BC = 6cm，
SΔADE∶SΔABC=1∶4 ,则DE的长为。
3.两个相似三角形面积比是9∶25，其中一个三角形的周长为
36cm，则另一个三角形的周长是．
知识点11相似多边形
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比(相似系数)．
②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．
知识点7相似三角形的基本定理
定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原
三角形相似．
定理的基本图形：
定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．
知识点5黄金分割
把线段 分成两条线段 ，且使 是 的比例中项，叫做把线段 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割点，其中 ≈0.618
．例题1已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则AC∶AB=.
（AD）2=BD·DC。其余类似可证。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：
（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）2，
即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
这就是勾股定理的结论。
例题1如图1，D、E是ΔABC的边AB、AC上的点, DE与BC不平行,
（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.
2.位似中心的选取：
（1）位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外.
（2）位似中心可取在多边形的一条边上.
（3）位似中心可取在多边形的某一顶点上.
说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小.
请填上一个你认为合适的条件:使得ΔADE∽ΔACB.
2.已知：ΔABC , P是边AB上的一点,连结CP.(如图2)
(1)当∠ACP满足条件时,ΔACP∽ΔABC.
(2)当AC∶AP=时,ΔACP∽ΔABC
3在ΔABC和ΔA′B′C′中,∠A=∠A′= 40°∠B = 80°∠B′= 60°则ΔABC和ΔA′B′C′。(填“相似”与“不相似”)
知识点6相似三角形ຫໍສະໝຸດ 概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．
相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．
相似三角形对应角相等，对应边成比例．