高考数学(理科)一轮复习限时规范训练第五章第四节数列求和及综合应用(含解析)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练1．(2018·河北衡水中学质检)1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1＋12＋14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋ (1210)值为( )A ．18＋129B ．20＋1210C ．22＋1211D ．18＋1210解析：选B.设a n ＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .则原式＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1211 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－⎝⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋1211 ＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12111－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－⎝⎛⎭⎪⎫1－1211 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11－1＋1211＝20＋1210.2．(2018·重庆联考)设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)解析：选A.由题意可设f (x )＝kx ＋1(k ≠0)，则(4k ＋1)2＝(k ＋1)×(13k ＋1)，解得k ＝2，f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2(2＋4＋…＋2n )＋n ＝n (2n ＋3)．3．(2018·贵阳模拟)已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( ) A.nn ＋1B ．4n n ＋1C.3nn ＋1D ．5n n ＋1解析：选B.∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4nn ＋1. 4．(2018·南昌模拟)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 12＝( )A ．18B ．15C ．－18D ．－15解析：选A.记b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 11)＋b 12＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 12－b 11)＝6×3＝18.5．(2018·深圳调研)已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n 为奇数，－n 2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()A．0 B．100C．－100 D．10 200解析：选B.由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝(12－22)＋(32－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)＋(1012－1002)＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100.故选B.6．(2018·青岛二模)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和S n＝a1(1－q n)1－q＝2(1－2n)1－2＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102，由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.答案：67．(2018·黄石二模)已知公比不为1的等比数列{a n}的前5项积为243，且2a3为3a2和a4的等差中项．若数列{b n}满足b n＝log3a n＋2(n∈N*)，则数列{a n＋b n}的前n项和S n＝________.解析：由前5项积为243得a3＝3.设等比数列{a n}的公比为q(q≠1)，由2a3为3a2和a4的等差中项，得3×3q＋3q＝4×3，由公比不为1，解得q＝3，所以a n＝3n－2，故bn＝log3a n＋2＝n，所以a n＋b n＝3n－2＋n，数列{a n＋b n}的前n项和S n＝3－1＋30＋31＋32＋…＋3n－2＋1＋2＋3＋…＋n＝3－1(1－3n)1－3＋n(n＋1)2＝3n－16＋n(n＋1)2.答案：3n－16＋n (n ＋1)28．(2018·济南模拟)在公差d ＜0的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________.解析：由已知可得(2a 2＋2)2＝5a 1a 3，即4(a 1＋d ＋1)2＝5a 1·(a 1＋2d )，所以(11＋d )2＝25(5＋d )，解得d ＝4(舍去)或d ＝－1，所以a n ＝11－n .当1≤n ≤11时 ，a n ≥0，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n (10＋11－n )2＝n (21－n )2；当n ≥12时，a n ＜0，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11－(a 12＋a 13＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11)－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝2×11(21－11)2－n (21－n )2＝n 2－21n ＋2202.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧n (21－n )2，1≤n ≤11，n 2－21n ＋2202，n ≥12.答案：⎩⎨⎧n (21－n )2，1≤n ≤11，n 2－21n ＋2202，n ≥129．(2018·河北唐山二模)已知数列{a n }为单调递增数列，S n 为其前n 项和，2S n＝a 2n ＋n .(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋22n ＋1·a n ·a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，证明：T n ＜12.解：(1)当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 21＋1，所以(a 1－1)2＝0，即a 1＝1， 又{a n }为单调递增数列，所以a n ≥1.由2S n ＝a 2n ＋n得2S n ＋1＝a 2n ＋1＋n ＋1，所以2S n ＋1－2S n ＝a 2n ＋1－a 2n ＋1，则2a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋1，所以a 2n ＝(a n ＋1－1)2.所以a n ＝a n ＋1－1，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n .(2)证明：b n ＝a n ＋22n ＋1·a n ·a n ＋1＝n ＋22n ＋1·n ·(n ＋1)＝1n ·2n －1(n ＋1)·2n ＋1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11×21－12×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－13×23＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ·2n －1(n ＋1)·2n ＋1＝12－1(n ＋1)·2n ＋1＜12. 10．(2018·浙江卷)已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3＋a 4＋a 5＝28，a 4＋2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{(b n ＋1－b n )a n }的前n 项和为2n 2＋n .(1)求q 的值；(2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)由a 4＋2是a 3，a 5的等差中项得a 3＋a 5＝2a 4＋4， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＋4＝28， 解得a 4＝8.由a 3＋a 5＝20得8⎝⎛⎭⎪⎫q ＋1q ＝20，解得q ＝2或q ＝12，因为q ＞1，所以q ＝2.(2)设c n ＝(b n ＋1－b n )a n ，数列{c n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋n .由c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，解得c n ＝4n －1.由(1)可得a n ＝2n －1，所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，故b n －b n －1＝(4n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，n ≥2，b n －b 1＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＝(4n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(4n －9)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋…＋7×12＋3.设T n ＝3＋7×12＋11×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(4n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，n ≥2，12T n ＝3×12＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(4n －9)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(4n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 所以12T n ＝3＋4×12＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2－(4n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，因此T n ＝14－(4n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，n ≥2，又b 1＝1，所以b n ＝15－(4n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2.B 级 能力提升练11．(2018·合肥模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 020＝( )A ．22 020－1B ．3×21 010－3C ．3×21 010－1D ．3×22 020－2解析：选B.依题意得a n ·a n ＋1＝2n，a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，于是有a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝2，即a n ＋2an＝2，数列a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…是以a 1＝1为首项、2为公比的等比数列；数列a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…是以a 2＝2为首项、2为公比的等比数列，于是有S 2 020＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 019)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 020)＝1－21 0101－2＋2(1－21 010)1－2＝3×21010－3，故选B.12．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．若已知正项数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1，又b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝( )A.111 B ．112C.1011D ．1112解析：选C.依题意有na 1＋a 2＋…＋a n ＝12n ＋1，即数列{a n }的前n 项和S n ＝n (2n＋1)＝2n 2＋n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1，a 1＝3满足该式．则a n ＝4n －1，b n ＝a n ＋14＝n .因为1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1－111＝1011. 13．(2018·衡水模拟)数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，设S n 为{b n }的前n 项和．若a 12＝38a 5＞0，则当S n 取得最大值时n 的值为________．解析：设{a n }的公差为d ，由a 12＝38a 5＞0，得a 1＝－765d ，d ＜0，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －815d ，从而可知当1≤n ≤16时，a n ＞0；当n ≥17时，a n ＜0.从而b 1＞b 2＞…＞b 14＞0＞b 17＞b 18＞…，b 15＝a 15a 16a 17＜0，b 16＝a 16a 17a 18＞0，故S 14＞S 13＞…＞S 1，S 14＞S 15，S 15＜S 16，S 16＞S 17＞S 18＞….因为a 15＝－65d ＞0，a 18＝95d ＜0，所以a 15＋a 18＝－65d ＋95d ＝35d ＜0，所以b 15＋b 16＝a 16a 17(a 15＋a 18)＞0，所以S 16＞S 14，故当S n 取得最大值时n ＝16.答案：1614．(2018·湘东五校联考)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1前n 项的和，若λT n ≤a n ＋1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最大值．解：(1)设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )， 解得d ＝1或d ＝0(舍去)，所以a 1＝2，所以a n ＝n ＋1. (2)因为1a n a n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2(n ＋2)， 又λT n ≤a n ＋1对一切n ∈N *恒成立，所以λ≤2(n ＋2)2n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋4n ＋8，而2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋4n ＋8≥16，当且仅当n ＝2时等号成立．所以λ≤16，即λ的最大值为16.15．(2018·长沙模拟)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 10＝15，且a 3，a 4，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：－74≤T n ＜－1(n ∈N *)．解：(1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝15，a 24＝a 3a 7，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝15，(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.∴a n ＝2n －5(n ∈N *)．(2)证明：∵b n ＝a n 2n ＝2n －52n ，n ∈N *.∴T n ＝－32＋－122＋123＋…＋2n －52n ，①12T n ＝－322＋－123＋124＋…＋2n －72n ＋2n －52n ＋1，② ①－②得12T n ＝－32＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －2n －52n ＋1＝－12＋1－2n2n ＋1，∴T n ＝－1－2n －12n (n ∈N *)，∵2n －12n ＞0(n ∈N *)，∴T n ＜－1.T n ＋1－T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2n ＋12n ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫－1－2n －12n ＝2n －32n ＋1，∴T n ＜T n ＋1(n ≥2)．又T 1＝－1－12＝－32，T 2＝－1－4－14＝－74.∵T 1＞T 2，∴T 2最小，即T n ≥T 2＝－74.综上所述，－74≤T n ＜－1(n ∈N *)．C 级 素养加强练16．已知等差数列{a n }中，a 2＝p (p 是不等于0的常数)，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对任意的正整数n 都有S n ＝n (a n －a 1)2.(1)记b n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n ； (2)记c n ＝T n －2n ，是否存在正整数N ，使得当n ＞N 时，恒有c n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3，若存在，证明你的结论，并给出一个具体的N 值，若不存在，请说明理由．解：(1)由S 2＝2(a 2－a 1)2得a 1＋a 2＝a 2－a 1，∴a 1＝0，∴d ＝a 2－a 1＝p －0＝p ，∴S n ＝n (a n －a 1)2＝n (n －1)p 2，b n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2＝n ＋2n ＋nn ＋2＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以T n ＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－16＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝2n ＋3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.(2)c n ＝T n －2n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＜3对所有正整数n 都成立； 若c n ＞52，即3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＞52⇔1n ＋1＋1n ＋2＜14，记f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2，则f (n )单调递减，又f (6)＝17＋18＞18＋18＝14，f (7)＝18＋19＜18＋18＝14，故可取N ＝6，则当n ＞6时，f (n )＜14.故存在正整数N ，使得当n ＞N 时，恒有c n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3，N 可以取所有不小于6的正整数．。