限时规范检测(二十六) 平面向量的概念及其线性运算
平面向量的概念及其线性运算限时作业解读
限时作业平面向量的概念及其线性运算、选择题1•下面有5个命题：①单位向量的模都相等•②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量③若a,b满足|a|> |b|且a与b同向，则a> b.④两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同•⑤对任意非零向量a,b必有|a+b|w |a|+|b|.其中正确的命题序号是（）A.①③⑤B.④⑤C.①④⑤解析:①单位向量的模均为1,故①正确；②共线包括同向和反向，故②不正确；③向量不能比较大小，③不正确；④根据向量的表示，④正确；⑤由向量加法的三角形法则知⑤正确•答案:C2.已知正方形ABCD的边长为1, AB = a，BC = b，AC = c，则a+b+ c的模等于（A.OB. 2 2C. - 2解析:如图，a+ b= c,故a+ b+c= 2c.••• |a b c|=2|c|=22答案:D3. 若0、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）A. EF =0F OEB. EF =0F - OEC. EF 二-OF OED. EF 二-OF - OE解析：由减法的三角形法则知EF二OF - OE.答案:B4. 已知向量a与b的夹角为120 °a|= 3,|a b|“ 13 ，则|b|等于（）D.②④)D.2. 2A.5B.4C.3 解析:如图:a= OA,b= OB ,D. 1则a+ b= OB ,•••/ A = 60°,由余弦定理得a2 b2 -(a b)22|a| .|b|1 9 b2 -132 _ 23 |b|••• b2-3| b|-4= 0.0,「. |b| = 4.答案:B5. 设a, b是任意的两个向量，入€ R，给出下面四个结论：①若a与b共线，则b=^a②若b=-入测a与b共线;③若a=入则a与b共线;④当b^J时,a与b共线的充要条件是有且只有一个实数匸入，使得a=入b.其中正确的结论有（）A.①②B.①③C.①③④D.②③④解析：题目考查两向量共线的充要条件，此定理应把握好两点：①与入相乘的向量为非零向量,②入存在且唯一.故②③④正确.答案:D6. 命题p:A ABC及点G满足GA GB GC = 0;命题q:G是厶ABC的重心，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要解析:如图：充分性:取BC的中点D,连结GD,并延长至E,使|DE|=|GD|，则四边形BECG为平行四边形，• GB GC 二GE 二2GD .又GA GB GC 二0,• GA二-2GD，即G、A、D三点共线且G为三等分点，故G ABC的重心必要性易证也是成立的• 答案:C7•已知点A,B,C 是不在同一直线上的三个点，0是平面ABC 内一定点,P 是厶ABC 内的一动点II则 AB + 丄 BC = AB +BD = AD 又 OP —0A =丸(AB + 丄 BC) 22••• OP -0A 二 AD ,即 AP = AD .又入€[ 0,+ g ), • P 点在射线AD 上.故P 的轨迹过 △ ABC 的重心. 答案:C 二、填空题8•设e i , e 是不共线向量，&-4Q 2与k e 1+e 2共线，则实数 k 的值为 解析:e i -4e 2与k e i + e?共线，1 -4, 1 .• k .k1 41 答案：-丄49.已知 0R = a , 0P 2 = b , RP =扎PP 2，则 0P = __________________ 解析：0—0只5一0只+；时2= 0F>(0P 2 -0P 1)1 ■1九答案： ---- ab 1十丸1十几10. (2008陕西高考,15)关于平面向量a ,b ,c ,有下列三个命题 ① 若 a b = a c ,则 b = c ;② 若 a = (1,k),b = (-2,6),a // b ,则 k = -3;若 0P - 0A 二 -(AB 1 BC),尺2:0,+ a 则点P 的轨迹一定过 △ ABC 的(A.外心B.内心C.重心解析:如图,取BC 的中点D,连结AD,) D.垂心二 a(b - a)1 ■③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°其中真命题的序号为____________ .（写出所有真命题的序号）解析:对于①，向量在等式两边不能相消，故①不正确；1 k对于②，有，得k = -3,故②正确；—2 6对于③，根据平行四边形法则，可得a与a + b夹角为30°,故③不正确.答案:②三、解答题亠亠I AD | 1 | AE | 1 亠十T-zr _ 11. 在厶ABC中，，，BE与CD交于点P且AB = a，AC = b，用a，b表示| AB | 3 | AC | 4AP.1解:取AE的三等分点M，使|AM | | AE |，连结DM.3设|AM| = t,则ME = 2t.1又|AE| |AC|,4•••|AC| = 12t,|EC| = 9t,且DM // BE.■-■■■■ 2AP 二AD DP 二AP DC11J AB —(DA AC)3 11=1 AB ?(-丄 AB AC)3 11 3113 —2 ——AB AC 11 11 3 a 1111。
高考数学科学复习创新方案：平面向量的概念及其线性运算
平面向量的概念及其线性运算[课程标准]1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.4.掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．1．向量的有关概念名称定义备注向量既有01大小又有02方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为030的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于041个单位的向量与非零向量a 共线的单位向量为±a|a |平行向量方向相同或05相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任意向量平行(或共线)相等向量长度相等且方向06相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向07相反的向0的相反向量为0量2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b＝08b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝09a ＋(b ＋c )减法求两个向量差的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝10|λ||a |，当λ＞0时，λa 与a 的方向11相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向12相反；当λ＝0时，λa ＝130(λ＋μ)a ＝14λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝15λa＋λb3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2．在△ABC 中，三角形三边上的中线交于点G ，G 为△ABC 的重心，则有如下结论：(1)GA →＋GB →＋GC →＝0；(2)AG →＝13(AB →＋AC →)；(3)GD →＝12(GB →＋GC →)＝16(AB →＋AC →)．3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，点O 不在直线BC 上，则λ＋μ＝1.4．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.1．(多选)(2023·日照月考)下列命题中错误的是()A ．平行向量就是共线向量B ．相反向量就是方向相反的向量C ．a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >bD ．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件答案BC解析A 显然正确；由相反向量的定义知B 错误；任何两个向量都不能比较大小，C 错误；两个向量平行不能推出这两个向量相等，而两个向量相等可以推出这两个向量平行，故D 正确．故选BC.2．如图所示，向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，A ，B ，C 三点在一条直线上，且AC →＝－3CB →，则()A ．c ＝－12a ＋32bB ．c ＝32a －12bC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝a ＋2b答案A解析∵AC →＝－3CB →，∴AC →＝32AB →，∴OC →－OA →＝32(OB →－OA →)，∴OC→＝32OB →－12OA →，即c ＝－12a ＋32b .故选A.3．已知点O 为△ABC 的外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋CO →＝0，则△ABC 的内角A ＝()A ．30°B ．45°C．60°D．90°答案A解析由OA→＋OB→＋CO→＝0，得OA→＋OB→＝OC→，又O为△ABC的外接圆的圆心，根据向量加法的几何意义，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.4．(人教A必修第二册习题6.2T10(1)改编)已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________．答案[2，6]解析当a与b方向相同时，|a－b|＝2，当a与b方向相反时，|a－b|＝6，当a与b不共线时，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范围为[2，6]．5．(人教A必修第二册6.2.3例8改编)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________．答案－12解析依题意知2a－b≠0，向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，因为a，b是两个不共线向量，故a与b均不为零向－2k＝0，＋λ＝0，解得k＝12，λ＝－12.例1(多选)(2023·烟台月考)给出下列命题，其中叙述错误的命题为() A．向量AB→的长度与向量BA→的长度相等B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同答案BCD解析A 正确，AB →与BA →是相反向量，长度相等；B 错误，当a ，b 其中之一为0时，不成立；C 错误，当a ，b 其中之一为0时，不成立；D 错误，当a ＋b ＝0时，不成立．故选BCD.平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．1.设a 0为单位向量，有下列命题：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.其中假命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.2．(2023·常德月考)给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若AB →与BC →共线，则A ，B ，C 三点在同一条直线上；④a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与－b 反向；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中真命题的序号是________．答案③④解析①是假命题，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②是假命题，若b＝0，则a与c不一定共线；③是真命题，AB→与BC→共线且有公共点B，故有A，B，C三点在同一条直线上；④是真命题，b与－b反向，a与b同向，故a与－b反向；⑤是假命题，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．角度平面向量线性运算的几何意义例2若向量a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则向量a与向量a＋b所在直线的夹角是________(用弧度表示)．答案π6解析设OA→＝a，OB→＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，如图所示，则a＋b＝OC→，a－b＝BA→.因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以.|OA→|＝|OB→|＝|BA→|，所以△OAB是等边三角形，所以∠BOA＝π3在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，所以向量a与向量a＋b所在直线的夹角为π.6利用向量线性运算的几何意义解决问题的方法(1)根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解相关问题．(2)实数λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，|λ|的大小决定λa的模，据此可判断有关直线平行、三点共线，也可以推出有关线段的长度关系．(2023·德州模拟)已知点O是平面上一定点，点A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定经过△ABC的()A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心答案A解析因为AB →|AB →|，AC →|AC →|分别表示向量AB →，AC →方向上的单位向量，所以AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与∠BAC 的平分线方向一致，所以OP →－OA →＝AP →＝λ∈[0，＋∞)，所以向量AP →的方向与∠BAC 的平分线方向一致，所以点P 的轨迹一定经过△ABC 的内心．故选A.角度平面向量线性运算例3(1)(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA ，记CA→＝m ，CD→＝n ，则CB →＝()A ．3m －2nB ．－2m ＋3nC ．3m ＋2nD ．2m ＋3n答案B解析CD →＝23CA →＋13CB →，即CB →＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .故选B.(2)(2023·宣城模拟)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC →＝a ，BA →＝b ，BE →＝3EF →，则BF →＝()A.1225a ＋925b B.1625a ＋1225bC.45a ＋35bD.35a ＋45b 答案B解析BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋34EA →＝BC →＋34(EB →＋BA →)＝BC →－34BF →＋得BF →＝1625BC →＋1225BA →，即BF →＝1625a ＋1225b .平面向量的线性运算的求解策略(2023·芜湖质量检测)如图所示，下列结论正确的是()①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝－32a －32b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④答案C解析由a ＋b ＝23→，知PQ →＝32a ＋32b ，①正确；由a －b ＝23PT →，知PT →＝32a－32b ，②错误；PS →＝PT →＋b ，故PS →＝32a －12b ，③正确；PR →＝PT →＋2b ＝32a ＋12b ，④错误．故选C.角度利用线性运算求参数例4(2023·江苏省八市第二次调研)在▱ABCD 中，BE →＝12BC →，AF→＝13AE →.若AB →＝mDF →＋nAE →，则m ＋n ＝()A.12B.34C.56D.43答案D解析AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，DF →＝DA →＋AF →＝－AD →＋13AE →＝13AB →－56→，＝2AB →＋AD →，＝25AB →－AD →，∴2AE →＋65DF →＝125AB →，∴AB →＝12DF →＋56AE →，m ＋n ＝12＋56＝43.故选D.利用向量的线性运算求参数的步骤先通过向量的线性运算用两个不共线的向量表示有关向量，然后对比向量等式求出参数或建立方程(组)求解．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________．答案12－16解析因为MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.例5(1)(2023·滨州二模)已知O ，A ，B ，C 为平面α内的四点，其中A ，B ，C 三点共线，点O 在直线AB 外，且满足OA →＝1x OB →＋2y OC →.其中x >0，y >0，则x ＋8y 的最小值为()A ．21B ．25C ．27D ．34答案B解析根据题意，A ，B ，C 三点共线，点O 在直线AB 外，OA →＝1x OB →＋2yOC →.设BA →＝λBC →(λ≠0，λ≠1)，则OA →＝OB →＋BA →＝OB →＋λBC →＝OB →＋λ(OC →－OB →)＝λOC →＋(1－λ)OB →，－λ＝1x ，＝2y ，消去λ得1x ＋2y ＝1，∴x ＋8y ＝(x ＋8y1＋2x y ＋8y x ＋16≥17＋22x y ·8yx＝x ＝5，y ＝52时等号成立故选B.(2)(2023·潍坊三模)已知a ，b 是平面内两个不共线的向量，AB →＝a ＋λb ，AC →＝μa ＋b ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是()A ．λ－μ＝1B ．λ＋μ＝2C ．λμ＝1 D.λμ＝1答案C解析A ，B ，C 三点共线的充要条件是AB →＝m AC →且m ∈R ，∵AB →＝a ＋λb ，AC →＝μa ＋b ，又AB →＝mAC →，∴a ＋λb ＝mμa ＋m b＝mμ，＝m ，∴λμ＝1.故选C.共线向量定理的三个应用1.已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c与d 共线反向，则实数λ的值为()A ．1B ．－12C.12D ．－2答案B解析由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a＋(2λ－1)b ]，整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，＝k ，＝2λk －k ，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－12.故选B.2.(2023·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且AM→＝45AB →，连接AC ，MN 交于点P ，若AP →＝411AC →，则点N 为()A ．AD 的中点B ．AD 上靠近点D 的三等分点C ．AD 上靠近点D 的四等分点D ．AD 上靠近点D 的五等分点答案B解析设AD →＝λAN →，因为AP →＝411AC →＝411(AB →＋AD →)→＋＝511AM →＋4λ11AN →，又M ，N ，P 三点共线，所以511＋4λ11＝1，解得λ＝32，所以AN→＝23AD →，所以点N 为AD 上靠近点D 的三等分点．课时作业一、单项选择题1．如图，O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是()A.DA→－DC→＝AC→B.DA→＋DC→＝DO→C.OA→－OB→＋AD→＝DB→D.AO→＋OB→＋BC→＝AC→答案D解析对于A，DA→－DC→＝CA→，错误；对于B，DA→＋DC→＝2DO→，错误；对于C，OA→－OB→＋AD→＝BA→＋AD→＝BD→，错误；对于D，AO→＋OB→＋BC→＝AB→＋BC→＝AC→，正确．故选D.2．(2024·成都市高三高考适应性考试)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|D．|－λa|≥|λ|a答案B解析对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反，故A不正确，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定，故C不正确；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－b B．a⊥bC．a＝2b D．a⊥b且|a|＝|b|答案C解析由于a，b都是非零向量，若a|a|＝b|b|成立，则a与b需要满足共线同向．4．已知a，b为不共线的非零向量，AB→＝a＋5b，BC→＝－2a＋8b，CD→＝3a －3b，则()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线答案B解析由于a ，b 为不共线的非零向量，根据向量共线定理，向量AB →，BC →，向量BC →，CD →显然不共线，A ，C 错误；BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ＝AB →，AB →与BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线，B 正确；AC →＝AB →＋BC →＝－a ＋13b ，显然和CD →也不共线，D 错误．故选B.5．(2023·新乡模拟)如图，在矩形ABCD 中，O ，F 分别为CD ，AB 的中点，在下列选项中，使得点P 位于△AOF 内部(不含边界)的是()A.OP →＝OA →＋OC →B.OP →＝13OA →＋23OB→C.OP→＝OD →＋12OF → D.OP→＝－14OD →＋12OA →答案D解析对于A ，OA →＋OC →的终点即为点F ；对于B ，13OA →＋23OB →的终点在线段OF 的右侧；对于C ，OD →＋12OF →的终点在线段OA 的左侧；对于D ，－14OD →＋12OA→＝14OC →＋12OA →→＋△AOF 内部．故选D.6．(2023·衡水二中高三一模)在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →＝2ED →，AE 与对角线BD 交于点F ，则AF →＝()A.13AB →＋23AD →B.34AB →＋14AD →C.14AB →＋34AD →D.13AD →＋AB →答案C解析如图，正方形ABCD中，CE→＝2ED→，则DE＝13CD＝13AB，因为AB∥CD，所以△DEF∽△BAF，则EFAF ＝DEBA＝13，故AF→＝34AE→＝34(AD→＋DE→)＝34AD→＋3 4×13AB→＝34AD→＋14AB→.故选C.7．(2023·大连模拟)在△ABC中，AD→＝2DB→，AE→＝2EC→，P为线段DE上的动点，若AP→＝λAB→＋μAC→，λ，μ∈R，则λ＋μ＝() A．1 B.23C.32D．2答案B解析如图所示，由题意知，AE→＝23AC→，AD→＝23AB→，设DP→＝xDE→，所以AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋xDE→＝AD→＋x(AE→－AD→)＝xAE→＋(1－x)AD→＝23xAC→＋23(1－x)AB→，所以μ＝23x，λ＝23(1－x)，所以λ＋μ＝23(1－x)＋23x＝23.8．(2023·海口高三月考)点P是菱形ABCD内部一点，若2P A→＋3PB→＋PC→＝0，则菱形ABCD的面积与△PBC的面积的比值是()A．6B．8C．12D．15答案A解析如图，设AB的中点为E，BC的中点为F，因为2PA →＋3PB →＋PC →＝0，即2PA →＋2PB →＋PB →＋PC →＝0，则4PE →＋2PF →＝0，即PF →＝－2PE →，则S △PBC ＝2S △PBF ＝2×23S △BEF ＝43×14△ABC ＝13×12S菱形ABCD＝16S 菱形ABCD ，所以菱形ABCD 的面积与△PBC 的面积的比值是6.故选A.二、多项选择题9．(2023·丹东月考)下列各式中结果为零向量的是()A.AB →＋MB →＋BO →＋OM →B.AB →＋BC →＋CA →C.OA →＋OC →＋BO →＋CO →D.AB →－AC →＋BD →－CD→答案BD解析AB→＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →，A 不正确；AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0，B 正确；OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝BA →，C 不正确；AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0，D 正确．10．(2023·福清高三模拟)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是()A ．若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点B ．若AM →＝2AB →－AC →，则点M 在边BC 的延长线上C ．若AM →＝－BM →－CM →，则点M 是△ABC 的重心D ．若AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，则△MBC 的面积是△ABC 的面积的12答案ACD解析对于A ，AM →＝12AB →＋12AC →⇒12AM →－12AB →＝12AC →－12AM →，即BM →＝MC →，则M 是边BC 的中点，所以A 正确；对于B ，AM→＝2AB →－AC →⇒AM →－AB →＝AB →－AC →，所以BM →＝CB →，则点M 在边CB 的延长线上，所以B 错误；对于C ，如图，设BC 的中点为D ，则AM →＝－BM →－CM →＝MB →＋MC →＝2MD →，由重心性质可知C 正确；对于D ，AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12⇒2AM →＝2xAB →＋2yAC →，2x ＋2y ＝1.设AD →＝2AM →，所以AD →＝2xAB →＋2yAC →，2x ＋2y ＝1，可知B ，C ，D 三点共线，所以△MBC 的面积是△ABC 的面积的12，所以D 正确．故选ACD.11.如图所示，B 是AC 的中点，BE →＝2OB →，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，下列结论中正确的是()A ．当P 是线段CE 的中点时，x ＝－12，y ＝94B ．当x ＝－12时，y ∈32，4C ．若x ＋y 为定值2，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x －y 的最大值为－1答案CD解析当P 是线段CE 的中点时，OP →＝OE →＋EP →＝3OB →＋12(EB →＋BC →)＝3OB →＋12(－2OB →＋AB →)＝－12OA →＋52OB →，故A 错误；如图1，当x ＝－12时，令OF →＝－12OA →，则OP→＝－12OA →＋yOB →⇔OP →＝OF →＋yOB →⇔FP →＝yOB →⇔FP →∥OB →，①当P 在点M 时，则△OAB ∽△F AM ，∴OB FM ＝OA F A ＝23，∴FM ＝32OB ，即y ＝32.②当P 在点N 时，∵BE →＝2OB →，则FN →＝32OB →＋2OB →＝72→，即y ＝72，∴y ∈32，72，故B 错误；如图2，当x ＋y ＝2时，OP →＝x 2·2OA →＋y 2·2OB →，令OH →＝2OA →，OK →＝2OB →，则OP →＝x 2OH →＋y 2OK →，∵x 2＋y2＝1，∴P ，H ，K 三点共线，且HK 交CD 于I ，HK ∥BC ，∴点P 的轨迹是线段KI ，故C 正确；由图可知x ≤0，y ≥1，当x ＝0，y ＝1时，x －y 取得最大值－1，故D 正确．故选CD.三、填空题12．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．答案直角三角形解析因为OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，即AB →·AC →＝0，故AB →⊥AC →，所以△ABC 为直角三角形．13．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上(点E 不与点C ，D 重合)，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案0，12解析由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，∴AB →＝2DC →.∵点E 在线段CD 上(点E 不与点C ，D 重合)，∴DE →＝λDC →(0<λ<1)．∵AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0<λ<1，∴0<μ<12.14．(2023·浙江高三模拟)在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 为矩形ABCD 所在平面上一点，满足PB ⊥PD ，则|PA →|的最大值是________，|PA →＋PC →|的值是________．答案55解析因为PB ⊥PD ，所以点P 的轨迹为以BD 为直径的圆(不含点B ，D )，如图，设BD 的中点为O ，由题意得BD ＝5，所以圆O 的半径r ＝52，由圆的性质可得|PA →|max ＝2r ＝5.由矩形的性质可得O 也为AC 的中点，所以|PA →＋PC →|＝|2PO →|＝2r ＝5.四、解答题15．(2024·四川绵阳三台中学月考)已知向量a ，b 不共线，且OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a ＋λb .(1)将AB →用a ，b 表示；(2)若OA →与OC →共线，求λ的值．解(1)因为OA→＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，所以AB →＝OB →－OA →＝3a ＋b －(2a －b )＝a ＋2b .(2)因为OA →与OC →共线，OA →＝2a －b ，OC →＝a ＋λb ，所以OA →＝tOC →，即2a －b ＝t (a ＋λb )，又向量a ，b ＝t ，1＝tλ，解得t ＝2，λ＝－12，即λ的值为－12.16.如图，在△ABC 中，D 为BC 的四等分点，且靠近B 点，E ，F 分别为AC ，AD 的三等分点，且分别靠近A ，D 两点，设AB →＝a ，AC →＝b .(1)试用a ，b 表示BC →，AD →，BE →；(2)证明：B ，E ，F 三点共线．解(1)在△ABC 中，因为AB →＝a ，AC →＝b ，所以BC →＝AC →－AB →＝b －a ，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14BC →＝a ＋14(b －a )＝34a ＋14b ，BE→＝BA→＋AE→＝－AB→＋13AC→＝－a＋13b.(2)证明：因为BE→＝－a＋13b，BF→＝BA→＋AF→＝－AB→＋23AD→＝－a＋14b＝－12a＋16ba＋13b所以BF→＝12BE→，所以BF→与BE→共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线．。
考点专练26：平面向量的概念与线性运算—2023届高考数学一轮复习(附答案)
考点专练26：平面向量的概念与线性运算一、选择题1.(2022·山东省师大附中模拟)设a ，b 是非零向量，则“a ＝2b ”是“a |a|＝b|b|”成立的( )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件 2.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A.0B.BE →C.AD →D.CF →3.已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A .A ，B ，C 三点共线 B .A ，B ，D 三点共线 C .A ，C ，D 三点共线 D .B ，C ，D 三点共线4.向量e 1，e 2，a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，则a －b ＝( )A.－4e 1－2e 2B.－2e 1－4e 2 C .e 1－3e 2 D.3e 1－e 25.设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－12AB →＋32AC →．若BC →＝λCD →(λ∈R )，则λ＝( ) A .－2 B.－3 C.2 D.36.如图，AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.a －12bB.12a －b C .a ＋12b D.12a ＋b7.(2022·北京东城期末)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上．若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是( ) A .[0,1] B.[0，3] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，28.(多选)设a ，b 都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使a |a|＋b|b|＝0成立的是( )A .a ＝－2b B.a ＝2b C .a ＝b D.a ＝－b9.(多选)设a ，b 是不共线的两个平面向量，已知PQ →＝a ＋sin α·b ，其中α∈(0,2π)，QR →＝2a －b ．若P ，Q ，R 三点共线，则角α的值可以为( ) A.π6 B.5π16 C.7π6 D.11π610.(多选)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是( ) A .若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点 B .若AM →＝2AB →－AC →，则点M 在边BC 的延长线上 C .若AM →＝－BM →－CM →，则点M 是△ABC 的重心D .若AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12 二、填空题11.(2021·河南三市联考)若AP →＝12PB →，AB →＝(λ＋1)BP →，则λ＝________12.若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝_________13.设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为_________三、解答题14.经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →， m ，n ∈R ，求1n ＋1m 的值．15.已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t(a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值；若不存在，请说明理由．16.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值．参考答案：一、选择题1.B2.D3.B4.C5.C6.D7.C8.AD9.CD 10.ACD二、填空题11.答案：－52 12.答案：23 13.答案：4三、解答题14.解：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ． 由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ，则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ()13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3．15.解：由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k)a ＝(2k －t)b ．因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解得t ＝65．故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．16.解：如图所示，①设点O 为正六边形的中心，则AO →＝AB →＋AF →．当动圆Q 的圆心经过点C 时，与边BC 交于点P ，点P 为边BC 的中点．连接OP ，则AP →＝AO →＋OP →． 因为OP →与FB →共线，所以存在实数t ，使得OP →＝tFB →， 所以此时m ＋n ＝1＋t ＋1－t ＝2，取得最小值．所以AP →＝AO →＋OP →＝AB →＋AF →＋t(AB →－AF →)＝(1＋t)AB →＋(1－t)AF →．②当动圆Q 的圆心经过点D 时，取AD 的延长线与圆Q 的交点P 时，AP →＝52AO →＝52(AB →＋AF →)＝52AB →＋52AF →，此时m ＋n ＝5，取得最大值．。
第1讲 平面向量的概念及线性运算
6
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
向量 运算
定义
求 a 与 b 的相
反向量－b 的 减法
和的运算叫做
a 与 b 的差
法则(或几何意义)
_□_12_三__角__形___法则
运算律
a－b＝
__□1_3_a_＋__(_－__b_) _
7
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
1
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
第1讲 平面向量的概 念及线性运算
2
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
考试要求
1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两
个 向 量 相 等 的 含 义 .3. 理 解 向 量 的 几 何 表 示 .4. 掌 握 向 量 加 法 、 减 法 的 运
ABCD 中，M 为 BC 的中点，AC 与 MD 相交于点 P.若A→P＝xA→B＋yA→D，则
x＋y＝( B )
A．1
B．43
C．53
D．2
25
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
B 因为在平行四边形 ABCD 中，M 为 BC 的中点，AC 与 MD 相交于 点 P，所以CAMD＝PACP＝2，所以A→P＝23A→C＝23(A→B＋A→D)．又A→P＝xA→B＋yA→D， 所以 x＝y＝23，x＋y＝43.故选 B．
高．若A→D＝λA→B＋μA→C，则 λ－μ＝________．
如图，∵AD 为 BC 边上的高， ∴AD⊥BC. ∵AB＝2，∠ABC＝30°， ∴BD＝ 3＝13BC，
29
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
7.1平面向量的概念及其线性运算
1．下列说法正确的是(
)
→ → → → A.AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线 B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量长度等于 0 D．共线向量是在同一条直线上的向量
→ → → → → 2． 在△ABC 中， ＝c， ＝b.若点 D 满足BD＝2DC， AB AC 则AD＝(
)
2 1 A. b＋ c 3 3 2 1 C. b－ c 3 3
8．如图，向量 a－b 等于( A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2
)
→ → → 9．已知向量 a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝ 7a－2b，则一定共线的三点是 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D → → → 解析 BD＝BC＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b) (
其方向是任意的记作0单位向量长度等于向量非零向量a的单位向平行向量方向零向量共线向量共线相等向量长度且方向向量两向量只有相等或不等不能比较大小相反向量长度且方向相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反1个单位2
第七章 平面向量
7.1 平面向量的概念及其线性运算
考纲要求：
1. 了解向量的概念,掌握向量的表示方法. 2. 理解零向量、单位向量、平行向量、相等向 量、相反向量. 3. 掌握向量的加法、减法、数乘及其运算法则. 4. 掌握向量共线定理.
→ → DE∥BC 2→ 2 ⇒AE＝ AC＝ b， 解 3 3 → ＝2AB → AD 3 → → → BC＝AC－AB＝b－a. → ＝2BC＝2(b－a)． → 由△ADE∽△ABC，得DE 3 3
又 AM 是△ABC 的中线，DE∥BC， → ＝1DE＝1(b－a)． → ∴DN 2 3 → ＝1(a＋b)， 又AM 2 △ADN∽△ABM → 2→ 1 ⇒AN＝ AM＝ (a＋b)． → ＝2AB → 3 3 AD 3
平面向量的概念及其线性运算
基础知识
一、向量的有关概念
名称 向量 定义
既有 大小
又有 方向 的量叫作向量，向量的大小叫
作向量的 长度 (或称 模 )．
基础知识
名称 零向量 单位向量 长度为零 定义 的向量叫作零向量，其方向是
任意
的，零向量记作0.
与向量a 同方向 ，且长度
为单位1
的向
量，叫作a方向上的单位向量，记作a0. 如果表示两个向量的有向线段所在的直线 平行或重合 ，则称这两个向量平行或共线，规
解题反思
1．当两向量共线时，只有非零向量才能表示与之
共线的其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数法
和方程思想的运用． 2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但 应注意向量共线与三点共线的区别与联系．
实战演练
3．已知a， b不共线， OA ＝ a， OB ＝ b， OC ＝c， OD ＝ d， OE ＝ e，设 t∈ R，如果 3a＝ c,2b＝ d， e＝ t(a＋
b＝λa，即a∥b(a≠0)⇒
b＝λa .
典型例题
1．下列命题正确的是 A．不平行的向量一定不相等 B．平面内的单位向量有且仅有一个 ( )
C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向
相同的向量 D．若a与b平行，则b与a方向相同或相反
解析：对于B，单位向量不是仅有一个，故B错；对于
C，a与c的方向也可能相反，故C错；对于D，若b＝0， 则b的方向是任意的，故D错，综上可知选A. 答案：A
表示λa的有向线段就是表 示向量a的有向线段伸长或 压缩．当|λ|>1时，表示 向量a的有向线段在原方向 (λ>0)或反方向(λ<0) 上伸长为原来的|λ|倍 ； 当|λ|<1时，表示向量a的 有向线段在原方向(λ>0) 或反方向(λ<0)上 缩短为原来的|λ|倍
平面向量的概念与运算
平面向量的概念与运算一、概念平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，常用箭头表示。
平面向量可以表示物体在平面上的位移或运动，是数学中重要的研究对象。
二、向量的表示方法1. 线段表示法：将向量表示为连接两点的线段，线段的方向和长度表示向量的方向和大小。
2. 坐标表示法：以坐标系为基础，用有序数对表示向量在坐标系中的位置。
三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量首尾相连形成一个闭合的四边形，对角线所代表的向量即为两个向量的和。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指向量乘以一个实数，结果是一个新的向量，它的方向与原向量相同或相反，大小为原向量的绝对值与实数的乘积。
3. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数量乘法来进行计算，即将减数取负后与被减数相加。
4. 向量的数量积向量的数量积又称为点积或内积，表示为A·B，是两个向量的长度之积与它们夹角的余弦值的乘积。
数量积的结果是一个实数。
5. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积或外积，表示为A×B，是两个向量的长度之积与它们夹角的正弦值的乘积。
向量积的结果是一个向量。
四、向量的性质1. 交换律向量的加法满足交换律，即A+B=B+A。
2. 结合律向量的加法满足结合律，即(A+B)+C=A+(B+C)。
3. 数量乘法的分配律向量的数量乘法对加法满足分配律，即k(A+B)=kA+kB，(k+m)A=kA+mA。
4. 内积的性质a) A·B=B·A，内积满足交换律。
b) A·(kB)=(kA)·B=k(A·B)，内积满足数量乘法的结合律。
c) A·A=|A|^2，即向量的内积等于向量的模长的平方。
5. 外积的性质a) A×B=-B×A，外积满足反交换律。
b) (kA)×B=A×(kB)=k(A×B)，外积满足数量乘法的结合律。
平面向量线性运算汇总
[解析]
①不正确．|a |＝ |b |但 a、b 的方向不确定，故 a，
b 不一定相等； → → ②不正确．因为 AB＝DC，A、B、C、D 可能在同一直线 上，所以 ABCD 不一定是四边形． ③不正确．两向量不能比较大小． ④不正确．当 λ＝μ＝0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 λa＝μb，但 a 与 b 不一定共线．
[答案] D
【变式训练 1】 给出下列四个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ③若 a∥b，b∥c，则 a∥c； ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b. 其中假命题的个数为( A．1 B．2 ) C．3 D．4
[解析] ①不正确．两个向量起点相同，终点相同，则两 向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点． ②正确．根据向量相等的定义知． ③不正确．若 b＝0 时，b 与 a、c 都平行，但 a、c 不一 定平行． ④不正确．a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a，b 同向．
)
1 [解析] (1)因为 B，D，C 三点共线，所以有 ＋λ＝1，解 4 3 得 λ＝ ，如图，过点 D 分别作 AC，AB 的平行线交 AB，AC 4 1 → → 3→ → 于点 M，N，则AN＝ AC，AM＝ AB，经计算得 AN＝AM＝3， 4 4 AD＝3 3.
→ ＋AC → ＝2AD →. (2)取 BC 的中点 D，连接 AD，则AB → ＝2AD → ，又∵AD 为 BC 的中线， 由题意得 3AO ∴O 为△ABC 的重心． 又 O 为外心，∴△ABC 为正三角形，∴∠BAC＝60° ，故 选 C.
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限时规范检测(二十六) 平面向量的概念及其线性运算
(时间：45分钟 分值：69分)
一、选择题(共5个小题，每题5分)
1．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A ．EF ＝OF
＋OE
B ．EF ＝OF
－OE
C ．EF
＝－OF ＋OE
D ．EF
＝－OF －OE
2．(2012·潍坊模拟)在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且|AB
|＝|BC |，那么四边形
ABCD 为( )
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．长方形
D ．正方形
3．在四边形ABCD 中，AB
＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，则四边形ABCD
的形状是( )
A ．矩形
B ．平行四边形
C ．梯形
D ．以上都不对
4．已知向量p ＝a |a |＋b
|b |，其中a 、b 均为非零向量，则|p |的取值范围是( )
A ．[0， 2 ]
B ．[0,1]
C ．(0,2]
D ．[0,2]
5．已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC
＝m AM
成立，则m ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题(共2个小题，每题4分)
6．(2011·北京高考)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.
7．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 三、解答题(共3个小题，每题12分)
8．设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－2OB
，求△AOB 与△AOC 的面积之比．
9．设i 、j 分别是平面直角坐标系Ox 、Oy 正方向上的单位向量，且OA
＝－2i ＋m j ，OB OB ＝n i ＋j ，OC
＝5i －j ，若点A 、B 、C 在同一条直线上，且m ＝2n ，求实数m 、n
的值．
10.如图，在△ABC 中，P ，Q ，R ，分别为BQ ，CR ，AP 的中点，
设CA ＝a ，CB ＝b ，用a ，b 表示AP .
答 案
限时规范检测(二十六)
1．解析：选B
2. 解析：选B 由AB ＝DC ，且|AB
|＝|BC |知四边形ABCD 为平行四边形且邻边
相等，所以四边形ABCD 为菱形．
3. 解析：选C AD ＝AB ＋BC
＋CD ＝－8a －2b ＝2BC ，
∴AD ∥BC ，且AD ≠BC ，即四边形ABCD 为梯形．
4. 解析：选D 由已知向量p 是两个单位向量的和，当这两个单位向量同向时，|p |max
＝2，当这两个单位向量反向时，|p |min ＝0.
5. 解析：选B 设D 为BC 中点，由MA ＋MB ＋MC ＝0，得MA ＋2MD ＝0，则D 、M 、
A 三点共线且M 为AD 的靠近D 的三等分点，故AM ＝23AD ＝23×12(A
B ＋A
C )＝13
(AB
＋AC
)，所以m ＝3.
6. 解析：a －2b ＝(3，3)，根据a －2b 与c 共线，得方程3k ＝3·3，解得k ＝1. 答案：1
7. 解析：由题意知存在实数k ，使a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝－k ，1＝3k ，
∴⎩⎨⎧
k ＝13
，λ＝－13.
答案：－1
3
8. 解：设D 为AC 的中点，如图，连接OD ，则OA ＋OC ＝2OD
.
又因为OA ＋OC ＝－2OB ，
所以OD ＝－OB
，即O 为BD 的中点，
所以S △AOB ＝S △AOD ＝1
2
S △AOC ，
即△AOB 与△AOC 的面积之比为1∶2.
9. 解：AB ＝OB
－OA ＝(n ＋2)i ＋(1－m )j ， BC ＝OC －OB
＝(5－n )i －2j .
∵点A 、B 、C 在同一条直线上，
∴AB ∥BC ，即AB
＝λBC .
∴(n ＋2)i ＋(1－m )j ＝λ[(5－n )i －2j ]．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
n ＋2＝λ(5－n )，1－m ＝－2λ，m ＝2n ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝6，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3，n ＝32.
10.解：∵AP ＝AB ＋BP ＝b －a ＋12
BQ
＝b －a ＋12⎝⎛⎭⎫12 CR －CB ＝b －a ＋14CR －12b ＝12b －a ＋14⎝⎛⎭⎫CA ＋12 AP ＝12b －34a ＋18
AP
则78AP
＝12b －34a ，即AP ＝47b －67
a .。