Zakharov系统的雅可比椭圆函数的周期波和孤立波

6ηa2 a1 a0 = 0 ,
6ηa3 a1 a0 = 0 ,
ηa13 + 3ηa1 a02 + αa1 m 2 + 3ηa22 a1 + γa1 = 0 ,
- ηa23 + 3ηa32 a2 - 3ηa2 a12 m 2 - 2αa2 m 2 = 0 ,
6ηa3 a2 a0 = 0 ,
(12)
3ηa2 a02 + αa2 + 3ηa2 a12 + ηa23 + γa2 = 0 ,
图 1 ( a) 为方程 (7) 的解 (13) 式中 <1 的参数取 cg = 1 、cs = 1 、β = 4 、δ = 4 、γ = 1 、m = 0 时的波形图 ,等价于 (20) 式 的 <″1 的参数取 cg = 1 、cs = 1 、β = 4 、δ = 4 、γ = 1 时的波形图 。从 t = 0 时刻的二维平面波动图图 1 ( b) 看出 ,波形满足 单周期余弦函数关系 。图 1 ( c) 为方程 (7) 的解 (13) 式中 <1 的参数取 cg = 1 、cs = 1 、β = 4 、δ = 4 、γ = 1 、m = 0. 3 时的波 形图 ,从 t = 0 时刻的二维平面波动图图 1 ( d) 看出 ,波形变为了双周期的三角波 。
(2)
将 (2) 代入 (1) 得 :
( c2g -
c2s )
d2 n dζ2
=
β
d2 <2 dζ2
,
(3)
α
d2 < dζ2
+
i (2αk
-
cg)
d< dζ
+
(ω -
αk2 )
<-
δn<
=
0,
对 (3) 式的第一个方程直接积分 ,令积分常量为零 ,得
( c2g - c2s) n = β<2 ,
(4)
-
βδ)
m (isn ( x
-
cgt)
±dn ( x -
cgt) ) ,
m
<
2 2
,
c2gc2s
> βδ或 m
>
2 2
,
c2gc2s
< βδ
。
(18) 3 Zakharov 方程的实场量解的分析
用 <′、<″分别表示 < 的双曲函数解和三角函数解 ,则分别令 ( 13) 式 m = 1 和 m = 0 得
<′1 ,2 = ±
2γc2g ( c2gc2s - βδ)
sech ( x
-
cgt) , (α = γ, c2gc2s
> βδ) 。
(19)
<″1 ,2 = ±
2γc2g (βδ - c2gc2s)
cos
(
x
-
cgt) , (α = - γ, c2gc2s
< βδ) 。
(20)
<′3～6 = ±
2γc2g ( c2gc2s - βδ)
92 n 9t2
-
c2s
92 n 9x2
=
β 92
|E 9x2
|
2
,
(α,β
>
0)
。
(1)
i
9E 9t
+
α
92 9x
E
2
-
δn E
=
0,
在等离子物理中 , E 代表电场强度的快变振幅 ,一般用包洛波解表示 。n 为粒子数密度振动 ,一般用行波解表示 ,即
n = n (ζ) , E = <(ζ) eiφ,ζ = x - cgt ,φ = kx - ωt 。
>
2 2
,
c2gc2s
< βδ 。
(15)
(4)
当α =
1
2γ + m2
时,
<9～12 = ±
(1
+
γc2g m 2) ( c2gc2s
-
βδ)
im (cn( x
-
cgt) ±dn ( x -
cgt) ) , ( c2gc2s
< βδ) 。
(16)
(5) 当α =
-
2γ 2 + m2
时
,
<15～18 = ±
Zakharov 方程[1 ] :
Ξ 收稿日期 :2004 - 09 - 03 基金项目 :丽水学院重点课题资助项目 ( KZ03005) 作者简介 :留 庆 (1964 - ) ,男 ,浙江丽水人 ,高级实验师 ,硕士生 。
34
丽 水 学 院 学 报 2005 年
留 庆
(丽水学院 数理学院 ,浙江 丽水 323000)
摘要 :利用行波约化的方法把 Zakharov 方程组变换成非线性常微分方程 ,用雅可比椭圆函数展 开法对其求解 ,得到了 Zakharov 方程的一些新的精确周期波解和孤波解 。
关键词 : Zakharov 方程 ;雅可比椭圆函数 ;行波约化法 中图分类号 :O175. 29 文献标识码 :A 文章编号 : 1008 - 6749 (2005) 05 - 0033 - 05
γa0 + 3ηa22 a0 + 3ηa12 a0 + ηa03 = 0 。
解方程 (12) ,求得 a0 、a1 、a2 、a3 和α。将 a0 、a1 、a2 、a3 、α和 (8) 式代入 (10) ,得到方程 (7) 的下列一系列雅可比椭圆函数
双周期解 。
( a) 实场量解 。
第 5 期 留 庆 : Zakharov 系统的雅可比椭圆函数的周期波和孤立波
1 引言 1972 年 Zakharov 等人与研究了非磁化等离子体中 Langmuir 波与离子声波的非线性藕合 , 导出了著名的 Zakharov 方
程[1 ] 。Zakharov 方程是等离子体物理的控制方程[2～4 ] ,它在激光聚变 、空间等离子体相干结构以及等离子体湍流过程的研 究中占有非常重要的地位 。人们已经知道非线性 Zakharov 方程存在多种孤波解 。近年来孤子理论不断发展 , 尤其是非线性 物理方程新的求解方法的不断涌现 , 如齐次平衡法 ( t he homogeneous balance met hod) [5～6 ] 、双曲函数展开法 (t he hyperbolic function expansion met hod) [7～8 ] 、正弦 - 余弦法 (t he sine - cosine met hod) [9 ] 、函数试探法 (t he trial function met hod) [10～11 ] 和 非线性变换法 (t he nonlinear transformation met hod) [12～13 ] , 雅 可 比 椭 圆 函 数 展 开 法 (t he J acobi elliptic function expansion met hod) [14～15 ] 等 ,为寻找 Zakharov 方程的解提供了许多新的方法和新的手段 。本文引入雅可比椭圆函数展开法来解 Zakharov 方程 ,不但能求得用双曲函数展开法 、正弦 - 余弦法求得的周期解 ,还包含许多新的精确的周期波解和孤波解 。 2 Zakharov 方程的周期解
Abstract :By using a t raveling wave reduction met hod , Zakharov equations are changed into a nonlinear ordi2 nary differential equation. By means of J acobi elliptic f unction expansion met hod , some new exact solutions of periodic waves and solitary waves to Zakharove system are obtained. Key words :Zakharov equations ; J acobi elliptic f unction ; t raveling wave reduction met hod
<3
= 0。
(7)
令
η
=
βδ c2gc2s
,
(8)
则方程 (7) 可表示为
-
α
d2 < dζ2
+ γ<
-
η<3
= 0。
(9)
平衡方程 (9) 的最高次非线性项和最高次线性项的阶数 ,求得 < 的阶数 n = 1 。则设方程 (9) 解的形式为
< = a3 sn (ζ) + a2cn (ζ) + a1 dn (ζ) + a0 。
(2 -
γc2g m 2) ( c2gc2s
-
βδ)
m (sn ( x
-
cgt) ±icn ( x -
cgt) ) , ( c2gc2s > βδ) 。
(17)
<19～22 = ±
(2 -
- γc2g m 2) ( c2gc2s
-
βδ)
m (isn ( x
-
cgt) ±cn ( x -
cgt) ) , ( c2gc2s < βδ) 。
第 27 卷第 5 期 丽水学院学报 2005 年 10 月 Vol. 27 No. 5 J OU RNAL OF L ISHU I UN IV ERSIT Y Oct . 2005
Zakharov 系统的雅可比椭圆函数的周期波和孤立波 Ξ
(10)
雅可比椭圆函数之间存在下列关系