广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试数学(理)试题
广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试(月考)数学(文) Word版含答案
广东实验中学2015届高三阶段考试（一）文 科 数 学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1. 从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是 A ．5，10，15，20，25 B.3，13，23，33，43 C ．1，2，3，4，5 D.2，4，6，16，322．如图，设全集为U=R ，{|(2)0},{|1(1)}A x x x B x y n x =-<==-，则图中阴影部分表示的集合为 A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{}|01x x <≤D ．{}|1x x ≤3.已知复数12,z z 在复平面上对应的点分别为()()211,2,1,3,z A B z -=则A.1i +B.iC.1i -D.i -4．如图是2013年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为A ．84，85B ．84，84C ．85，84D ．85，855.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面” 表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面， 那么这个正方体的前面是 A.定B.有C.收D.获6.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于 A.1 B.53C.2D.37.在ABC ∆中，若sin sin cos cos sin A A C A C -=，则ABC ∆的形状是A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角形7 8 9 94 56 47 3 第4题图8.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则“m l //”是“αβ⊥”的 A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分又不必要条件9.已知m 是两个正数2和8的等比中项,则圆锥曲线122=+my x 的离心率是 A ．23或25 B ．23C ．5D ．23或5 10.各项互不相等的有限正项数列{}n a ,集合{},,2,1,...n a aa A =,集合{(,)i j B a a =},,,1,i j i j a A a A a a A i j n ∈∈-∈≤≤,则集合B 中的元素至多有( )个.A ．2)1(-n n B ．121--nC ．2)1)(2(-+n n D ．1-n二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11.各项都是正数的等比数列{}23111,,2n a q a a a ≠的公比，且成等差数列，则3445a aa a ++的值为_________.12. 在ABC ∆中，1=AB ，2=AC ，21=∆ABC S ，则=BC .13.已知点()()1212,,x x A x aB x a 、是函数xy a=的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论121222x x x x a a a ++＞成立.运用类比思想方法可知，若点()()()1122,sin ,sin sin 0,A x x B x x y x x π=∈⎡⎤⎣⎦、是函数图象上的不同两点，则类似地有________________成立.（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） (二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图,点A 、B 、C 都在⊙O 上,过点C 的切线交A B 的延长线于点D ,若AB = 5, BC = 3,CD = 6,则线段AC 的长为_______。
2015届高考数学一轮总复习 阶段性测试题2(函 数)
阶段性测试题二(函 数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x＋1)的定义域是( )A ．(－13，＋∞)B ．(－13，1)C ．(－13，13)D ．(－∞，－13)[答案] B[解析] 为使f (x )＝3x 21－x＋lg(3x ＋1)有意义，须⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0，解得－13<x <1，故选B.(理)(2014·山东省德州市期中)已知函数f (x )的定义域为(0,1)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B ．(－12，0)C ．(－1,0)D ．(12，1)[答案] B[解析] 要有f (2x ＋1)有意义，应有0<2x ＋1<1， ∴－12<x <0，故选B.2．(2014·营口三中期中)函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)[答案] C[解析] ∵f (0)·f (1)＝(e 0－2)·(e －1)<0，∴选C.3．(文)(2014·枣庄市期中)函数y ＝16－3x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)[答案] C[解析] 要使函数有意义，应有16－3x ≥0，∴3x ≤16， 又3x >0，∴0<3x ≤16，∴0≤16－3x <16，∴0≤y <4，故选C.(理)(2014·北京海淀期中)下列函数中，值域为(0，＋∞)的函数是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝ln x C ．f (x )＝2x D ．f (x )＝tan x[答案] C[解析] ∵x ≥0，ln x ∈R,2x >0，tan x ∈R ，∴选C.4．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)设a ＝0.32，b ＝20.3，c ＝log 0.34，则( ) A ．b <a <c B ．c <b <a C ．b <c <a D ．c <a <b[答案] D[解析] ∵0<0.32<1,20.3>20＝1，log 0.34<log 0.31＝0，∴c <a <b . (理)(2014·北京朝阳区期中)若0<m <1，则( ) A ．log m (1＋m )>log m (1－m ) B ．log m (1＋m )>0 C ．1－m >(1＋m )2 D ．(1－m )13>(1－m )12[答案] D[解析] ∵0<m <1，∴1<m ＋1<2,0<1－m <1，∴y ＝log m x 为减函数，y ＝(1－m )x 为减函数，∴log m (1＋m )<log m 1<log m (1－m )，A 、B 错；(1＋m )2>1>1－m ，C 错；(1－m )13>(1－m )12，故正确答案为D.5．(2014·山东省菏泽市期中)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝3，则f (8)－f (4)的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] C[解析] ∵f (1)＝1，f (2)＝3，f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－1，f (－2)＝－3，∵f (x )周期为5， ∴f (8)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－2.6．(文)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x ，x >03x ，x ≤0，则f [f (116)]＝( )A ．9B ．－19C.19D ．－9[答案] C[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x ，x >03x ，x ≤0∴f (116)＝log 4116＝－2，f [f (116)]＝f (－2)＝3－2＝19，故选C.(理)(2014·江西临川十中期中)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x(x ≥3)，f (x ＋3) (x <3)，则f (－4)等于( )A ．2 B.12 C ．32 D.132[答案] D[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x(x ≥3)，f (x ＋3) (x <3)，∴f (－4)＝f (－1)＝f (2)＝f (5)＝2－5＝132.7．(文)(2014·河南省实验中学期中)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x B ．y ＝log 2|x | C ．y ＝e x －e －x 2D ．y ＝x 3＋1[答案] B[解析] y ＝x 3＋1是非奇非偶函数；y ＝e x －e －x2为奇函数；y ＝cos2x 在(1,2)内不是单调增函数，故选B.(理)(2014·广东梅县东山中学期中)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是单调递增的是( )A ．y ＝2|x ＋1|B ．y ＝x 2＋2|x |＋3C ．y ＝cos xD ．y ＝log 0.5|x |[答案] B[解析] y ＝2|x ＋1|是非奇非偶函数；y ＝cos x 在(0，＋∞)上不是单调增函数，y ＝log 0.5|x |在(0，＋∞)上单调递减，故选B.8．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋3)＝－f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2013)＝( )A ．338B ．337C ．1678D ．2013[答案] B[解析] ∵定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋3)＝－f (x )，∴f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－f (x ＋3)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数．又当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0,2013＝6×335＋3，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2013)＝335(1＋2－1＋0－1＋0)＋1＋2－1＝337，选B.9．(文)(2014·枣庄市期中)如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y 与行走时间x 之间函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )[答案] D[解析] 由图象知，张大爷散步时，离家的距离y 随散步行走时间x 的变化规律是，先均速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小，故选D.(理)(2014·泸州市一诊)函数f (x )＝(1－1x2)sin x 的图象大致为( )[答案] A[解析] 首先y ＝1－1x 2为偶函数，y ＝sin x 为奇函数，从而f (x )为奇函数，故排除C 、D ；其次，当x ＝0时，f (x )无意义，故排除B ，选A.10．(2014·安徽程集中学期中)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －a (x <1)，log a x (x ≥1).是(－∞，＋∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[32，3)D ．(1,3)[答案] C[解析] ∵f (x )在R 上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，3－2a ≤0，∴32≤a <3，故选C. 11．(文)(2014·银川九中一模)如果不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，那么函数y＝f (－x )的大致图象是( )[答案] C[解析] 由于不等式ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，∴a <0，且－2和1是方程ax 2－x －c ＝0的两根，∴a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2，∴y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，故选C.(理)(2014·抚顺市六校联合体期中)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图象大致为( )[答案] C[解析] f (x )＝(1－cos x )sin x ＝4sin 3x 2cos x 2，∵f (π2)＝1，∴排除D ；∵f (x )为奇函数，∴排除B ；∵0<x <π时，f (x )>0，排除A ，故选C. 12.(2014·山西曲沃中学期中)如图，直角坐标平面内的正六边形ABCDEF ，中心在原点，边长为a ，AB 平行于x 轴，直线l ：y ＝kx ＋t (k 为常数)与正六边形交于M 、N 两点，记△OMN 的面积为S ，则关于函数S ＝f (t )的奇偶性的判断正确的是( )A ．一定是奇函数B ．一定是偶函数C ．既不是奇函数，也不是偶函数D ．奇偶性与k 有关 [答案] B[解析] 设直线OM 、ON 与正六边形的另一个交点分别为M ′、N ′，由于正六边形关于点O 成中心对称，∴OM ′＝OM ，ON ′＝ON ，从而△OM ′N ′与△OMN 成中心对称，设直线l 交y 轴于T ，直线M ′N ′交y 轴于T ′，则|OT |＝|OT ′|，且S △OM ′N ′＝S △OMN ，即当t <0时，有S ＝f (t )＝f (－t )，∴S ＝f (t )为偶函数．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2014·营口三中期中)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (1－x )．若当0≤x ＜1时，f (x )＝2x ，则f (log 26)＝________.[答案] 32[解析] ∵f (x ＋1)＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期为2的周期函数，∴f (log 26)＝f (log 26－2)＝f (log 232)，∵0<log 232<1，14．(文)(2014·河南省实验中学期中)方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________．[答案] x ＝log 23[解析] 令2x ＝t ，则t >0，∴原方程化为t 2－2t －3＝0，∴t ＝3. 即2x ＝3，∴x ＝log 23.(理)(2014·长安一中质检)方程33x－1＋13＝3x －1的实数解为________． [答案] x ＝log 34[解析] 令3x ＝t ，则t >0，∴原方程化为3t －1＋13＝t3，∴t ＝4，即3x ＝4，∴x ＝log 34.15．(2014·北京海淀期中)已知a ＝log 25,2b ＝3，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为________． [答案] a >b >c[解析] 因为，a ＝log 25>log 24＝2，c ＝log 32<log 33＝1，由2b ＝3得，b ＝log 23,1＝log 22<log 23<log 24＝2，所以a >b >c .16．(文)(2014·北京朝阳区期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ， x ≥0，x 2－2x ， x <0.若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．[答案] －3<a <1[解析] 根据所给分段函数，画图象如下：可知函数f (x )在整个定义域上是单调递减的， 由f (3－a 2)<f (2a )可知，3－a 2>2a ，解得－3<a <1. (理)(2014·湖南省五市十校联考)下列命题： ①函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数；②点A (1,1)，B (2,7)在直线3x －y ＝0两侧；③数列{a n }为递减的等差数列，a 1＋a 5＝0，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则当n ＝4时，S n 取得最大值；④定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1a 2b 1b 2＝a 1b 2－a 2b 1，则函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x 1x 13x 的图象在点(1，13)处的切线方程是6x －3y －5＝0.其中正确命题的序号是________(把所有正确命题的序号都写上)．[答案] ②④[解析] y ＝sin(x －π2)＝－cos x 在[0，π]上为增函数，∴①错；∵(3×1－1)(3×2－7)<0，∴②正确；∵{a n }为递减等差数列，∴d <0，∵a 1＋a 5＝0，∴a 1>0，a 5<0，且a 3＝0，∴当n ＝2或3时，S n 取得最大值，故③错；由新定义知f (x )＝13x 3＋x 2－x ，∴f ′(x )＝x 2＋2x －1，∴f ′(1)＝2，故f (x )在(1，13)处的切线方程为y －13＝2(x －1)，即6x －3y －5＝0，∴④正确，故填②④.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f (x )＝2ax 2＋4x －3－a ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最大值；(2)如果函数f (x )在R 上有两个不同的零点，求a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝2x 2＋4x －4 ＝2(x 2＋2x )－4＝2(x ＋1)2－6.因为x ∈[－1,1]，所以x ＝1时，f (x )取最大值f (1)＝2.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，a ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a ＋2>0，a ≠0，∴a <－2或－1<a <0或a >0，∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0，＋∞)．(理)(2014·北京朝阳区期中)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3，a ∈R . (1)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； (2)若函数y ＝f (x )在[－1,1]上存在零点，求a 的取值范围；(3)设函数g (x )＝bx ＋5－2b ，b ∈R .当a ＝0时，若对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使得f (x 1)＝g (x 2)，求b 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )的图象与x 轴无交点，∴Δ＝16－4(a ＋3)<0，∴a >1.(2)∵f (x )的对称轴为x ＝2，∴f (x )在[－1,1]上单调递减，欲使f (x )在[－1,1]上存在零点，应有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (－1)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，8＋a ≥0，∴－8≤a ≤0. (3)若对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使f (x 1)＝g (x 2)，只需函数y ＝f (x )的值域为函数y ＝g (x )值域的子集即可．∵函数y ＝f (x )在区间[1,4]上的值域是[－1,3]，当b >0时，g (x )在[1,4]上的值域为[5－b,2b ＋5]，只需⎩⎪⎨⎪⎧5－b ≤－1，2b ＋5≥3，∴b ≥6；当b ＝0时，g (x )＝5不合题意，当b <0时，g (x )在[1,4]上的值域为[2b ＋5,5－b ]，只需⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋5≤－1，5－b ≥3，∴b ≤－3.综上知b 的取值范围是b ≥6或b ≤－3.18．(本小题满分12分)(文)(2014·韶关市曲江一中月考)已知二次函数f (x )满足条件：①在x ＝1处导数为0；②图象过点P (0，－3)；③在点P 处的切线与直线2x ＋y ＝0平行． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求在点Q (2，f (2))处的切线方程．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (0)＝－3，f ′(0)＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，c ＝－3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.∴f (x )＝x 2－2x －3.(2)由(1)知f (x )＝x 2－2x －3，f ′(x )＝2x －2，∴切点Q (2，－3)，在Q 点处切线斜率k ＝f ′(2)＝2， 因此切线方程为y ＋3＝2(x －2)，即2x －y －7＝0.(理)(2014·河南淇县一中模拟)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)证明当m ≤2时，f (x )>0. [解析] (1)f ′(x )＝e x －1x ＋m，由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1.于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝e x －1x ＋1.函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，且f ′(0)＝0，因此，当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)， 故只需要证明当m ＝2时，f (x )>0.当m ＝2时，函数f ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f ′(－1)<0，f ′(0)>0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)． 当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0， 从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值． 由f ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，所以ln(x 0＋2)＝－x 0，故f (x )≥f (x 0)>0， 综上，当m ≤2时，f (x )>0.19．(本小题满分12分)(文)(2014·枣庄市期中)已知函数f (x )＝a －22x －1(a ∈R )．(1)用单调函数的定义探索函数f (x )的单调性； (2)求实数a 使函数f (x )为奇函数．[解析] (1)f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．任取非零实数x 1，x 2，且x 1<x 2，从而f (x 1)－f (x 2)<0，所以f (x 1)<f (x 2)． 所以f (x )在(－∞，0)上单调递增． 同理可证，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)解法一：对∀x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有－x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． f (x )＋f (－x )＝a －22x －1＋a －22－x －1＝2a －22x －1－2·2x1－2x ＝2a ＋2·2x －22x －1＝2a ＋2.若函数f (x )为奇函数，则有2a ＋2＝0，解得a ＝－1， 此时f (－x )＝－f (x )． 所以a ＝－1为所求．解法二：若函数f (x )为奇函数，则f (－1)＝－f (1)，即a －22－1－1＝－(a －221－1)．解得a ＝－1.当a ＝－1时，对∀x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有－x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． f (x )＋f (－x )＝－1－22x －1－1－22－x －1＝－2－22x －1－2·2x1－2x ＝0，所以f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数． 所以a ＝－1为所求．(理)(2014·泉州实验中学期中)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)已知f (x )是减函数，若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )是奇函数，定义域为R ， ∴f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1，∴f (x )＝1－2x a ＋2x ＋1，又由f (1)＝－f (－1)知，1－2a ＋4＝－1－12a ＋1，∴a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x＋1，易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，∵f (x )是奇函数，∴不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<f (k －2t 2)，∵f (x )为减函数，∴t 2－2t >k －2t 2.即对一切t ∈R 有：3t 2－2t －k >0，∴判别式Δ＝4＋12k <0，∴k <－13.20．(本小题满分12分)(文)(2014·福州市八县联考)函数f (x )＝2ax －x 2＋ln x ，a 为常数． (1)当a ＝12时，求f (x )的最大值；(2)若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝12时，f (x )＝x －x 2＋ln x ，则f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝1－2x ＋1x ＝－(2x ＋1)(x －1)x .由f ′(x )>0，得0<x <1；由f ′(x )<0，得x >1； ∴f (x )在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数． ∴f (x )的最大值为f (1)＝0. (2)∵f ′(x )＝2a －2x ＋1x.若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，则f ′(x )≥0，或f ′(x )≤0在区间[1,2]上恒成立． ∴2a －2x ＋1x ≥0，或2a －2x ＋1x ≤0在区间[1,2]上恒成立．即2a ≥2x －1x ，或2a ≤2x －1x 在区间[1,2]上恒成立．设h (x )＝2x －1x ，∵h ′(x )＝2＋1x 2>0，∴h (x )＝2x －1x 在区间[1,2]上为增函数．∴h (x )max ＝h (2)＝72，h (x )min ＝h (1)＝1，∴只需2a ≥72，或2a ≤1，∴a ≥74，或a ≤12.(理)(2014·韶关市曲江一中月考)如图是函数f (x )＝a3x 3－2x 2＋3a 2x 的导函数y ＝f ′(x )的简图，它与x轴的交点是(1,0)和(3,0)．(1)求函数f (x )的极小值点和单调递减区间； (2)求实数a 的值．[解析] (1)由图象可知：当x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，1)上为增函数； 当1<x <3时，f ′(x )<0，f (x )在(1,3)上为减函数； 当x >3时，f ′(x )>0，f (x )在(3，＋∞)为增函数；∴x ＝3是函数f (x )的极小值点，函数f (x )的单调减区间是(1,3)．(2)f ′(x )＝ax 2－4x ＋3a 2，由图知a >0且⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f ′(3)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －4＋3a 2＝0，9a －12＋3a 2＝0.∴a ＝1. 21．(本小题满分12分)(文)(2014·湖南省五市十校联考)已知A ，B ，C 是直线l 上的不同三点，O 是l 外一点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →＝(32x 2＋1)OB →＋(ln x －y )OC →，记y ＝f (x )．(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．[解析] (1)∵OA →＝(32x 2＋1)OB →＋(ln x －y )OC →，且A ，B ，C 是直线l 上的不同三点，∴(32x 2＋1)＋(ln x －y )＝1，∴y ＝32x 2＋ln x . (2)∵f (x )＝32x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝3x ＋1x ＝3x 2＋1x，∵f (x )＝32x 2＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝3x 2＋1x 在(0，＋∞)上恒正，∴y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 即y ＝f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．(理)(2014·河北冀州中学期中)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋a 2(a ＞0)的单调递减区间是(1,2)且满足f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)对任意m ∈(0,2]，关于x 的不等式f (x )<12m 3－m ln m －mt ＋3在x ∈[2，＋∞)上有解，求实数t的取值范围．[解析] (1)由f (0)＝a 2＝1，且a ＞0，可得a ＝1. 由已知，得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3x 2＋2bx ＋c ， ∵函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋a 2的单调递减区是(1,2)， ∴f ′(x )＜0的解是1＜x ＜2.所以方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根分别是1和2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋2b ＋c ＝0，12＋4b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－92，c ＝6.∴f (x )＝x 3－92x 2＋6x ＋1.(2)由(1)，得f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)，∵当x ＞2时，f ′(x )＞0，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递增，x ∈[2，＋∞)时，f (x )min ＝f (2)＝3， 要使f (x )<12m 3－m ln m －mt ＋3在x ∈[2，＋∞)上有解，应有12m 3－m ln m －mt ＋3>f (x )min ，∴12m 3－m ln m －mt ＋3>3， mt <12m 3－m ln m 对任意m ∈(0,2]恒成立，即t <12m 2－ln m 对任意m ∈(0,2]恒成立．设h (m )＝12m 2－ln m ，m ∈(0,2]，则t ＜h (m )min ，h ′(m )＝m －1m ＝m 2－1m ＝(m －1)(m ＋1)m，令h ′(m )＝0得m ＝1或m ＝－1， 由m ∈(0,2]，列表如下：∴当m ＝1时，h (m )min ＝h (m )极小值＝12，∴t <12.22．(本小题满分14分)(文)(2013·泗阳县模拟)某生产旅游纪念品的工厂，拟在2013年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2013年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．(利润＝收入－生产成本－促销费用)(1)求出x 与t 所满足的关系式；(2)请把该工厂2013年的年利润y 万元表示成促销费t 万元的函数； (3)试问：当2013年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？ [解析] (1)设比例系数为k (k ≠0)．由题意知，3－x ＝kt ＋1.又t ＝0时，x ＝1.∴3－1＝k 0＋1.∴k ＝2，∴x 与t 的关系是x ＝3－2t ＋1(t ≥0)．(2)依据题意，可知工厂生产x 万件纪念品的生产成本为(3＋32x )万元，促销费用为t 万元，则每件纪念品的定价为：(3＋32x x ·150%＋t2x)元/件．于是，y ＝x ·(3＋32x x ·150%＋t2x )－(3＋32x )－t ，化简得，y ＝992－32t ＋1－t2(t ≥0)．因此，工厂2013年的年利润y ＝992－32t ＋1－t2(t ≥0)万元．(3)由(2)知，y ＝992－32t ＋1－t2(t ≥0)＝50－(32t ＋1＋t ＋12)≤50－232t ＋1·t ＋12＝42(当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立)．所以，当2013年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元． (理)(2014·安徽屯溪一中质检)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求，使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋1；③f (x )＝x (x －q )2＋p .(以上三式中p ，q 均为常数，且q >1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)；(2)若f (0)＝4，f (2)＝6，求出所选函数f (x )的解析式(注：函数定义域是[0,5]．其中x ＝0表示8月1日，x ＝1表示9月1日，…，以此类推)；(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．[分析] (1)利用价格呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势，故可从三个函数的单调上考虑，前面两个函数没有出现两个递增区间和一个递减区间，应选f (x )＝x (x －q )2－p 为其模拟函数；(2)由题中条件：f (0)＝4，f (2)＝6，得方程组，求出p ，q 即可得到f (x )的解析式；(3)确定函数解析式，利用导数小于0，即可预测该海鲜产品在哪几个月份内价格下跌．[解析] (1)根据题意，应选模拟函数f (x )＝x (x －q )2＋p .(2)∵f (0)＝4，f (2)＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝4，(2－q )2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，q ＝3，所以f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)．(3)f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9， 令f ′(x )<0得，1<x <3，又∵x ∈[0,5]，∴f (x )在(0,1)，(3,5)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 所以可以预测这种海鲜将在9月，10月两个月内价格下跌．。
广东省实验中学2015届高三数学第一次阶段考试试题 理(含解析)新人教A版
广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习 方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移. 一．选择题(5*8=40分)1．设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【知识点】交集及其运算；子集与真子集．A1【答案解析】A 解析：∵集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，∴x 24＋y 216＝1为椭圆和指数函数y ＝3x 图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A 1、A 2，则A∩B 的子集应为∅，{A 1}，{A 2}，{A 1，A 2}共四种，故选A ．【思路点拨】由题意集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，画出A ，B 集合所表示的图象，看图象的交点，判断A∩B 的子集的个数． 【题文】2． 22log sinlog cos1212ππ+的值为（ ）A .-2B .–l C.12D .1 【知识点】对数的运算性质．B7 【答案解析】A 解析：====﹣2．故选A ．【思路点拨】利用对数的运算法则进行计算即可．先结合对数运算法则：log a （MN ）=log a M+log a N ，利用二倍角的正弦公式将两个对数式的和化成一个以2为底的对数的形式，再计算即得.【题文】3．已知x ，y ∈R ，则“1x y +=”是“14xy ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 【答案解析】A 解析：∵x，y ∈R ，当1x y +=时，y=1﹣x ，∴xy=x（1﹣x ）=x ﹣x 2=2111424x ，∴充分性成立； 当xy≤时，如x=y=0，x+y=0≠1，∴必要性不成立；∴“1x y +=”是“14xy ≤”的充分不必要条件．故选：A ． 【思路点拨】由1x y +=，推出14xy ≤，判定充分性成立；由14xy ≤，不能得出1x y +=，判定必要性不成立即可． 【题文】4．已知函数cos21()sin 2x f x x-=，则有（ ）A ．函数()f x 的图像关于直线2x π=对称 B ．函数()f x 的图像关关于点(,0)2π对称C ．函数()f x 的最小正周期为2πD ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递减【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4【答案解析】B 解析：∵cos21()sin 2x f x x-==∴函数f （x ）不是轴对称图形，∴A 不正确； ∵函数f （x ）的最小正周期为π，∴C 不正确； ∵函数在区间(0,)π不单调，∴D 不正确； ∵函数f （x ）的对称中心为（）k ∈Z ，∴函数f （x ）的图象关关于点(,0)2π对称正确，故选B ．【思路点拨】分析函数cos21()sin 2x f x x-=性质，要先利用公式化成正弦型、余弦型或正切型函数的标准形式，然后再研究性质． 【题文】5．已知0<a<b<l ．则（ ） A.11b a > B. 11()()22a b < C. 22(lg )(lg )a b < D.11lg lg a b > 【知识点】不等式的基本性质．E1【答案解析】D 解析：∵0＜a ＜b ＜1，∴，可得； ；（lga ）2＞（lgb ）2；lga ＜lgb ＜0，可得．综上可知：只有D 正确．故选：D ．【思路点拨】利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性即可得出．【题文】6．已知函数 2()2cos f x x x =+，若 '()f x 是 ()f x 的导函数，则函数 '()f x 在原点附近的图象大致是（ ）A B C D【知识点】函数的图象．B8【答案解析】A 解析：函数f （x ）=x 2+2cosx ，∴f′（x ）=2x ﹣2sinx=2（x ﹣sinx ）， f′（﹣x ）=﹣2x+2sinx=﹣（2x ﹣2sinx ）=﹣f′（x ），导函数是奇函数， ∵x∈（0，），x ＞sinx ＞0，∴B、C 、D 不正确．故选：A ．【思路点拨】由题可得f′（x ）=2x ﹣2sinx ，判断导函数的奇偶性，利用特殊值的函数值推出结果即可．【题文】7.已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m≤-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） 111.(,].(,][1,).[1,).[,1]444A B C D -∞--∞-+∞+∞-【知识点】分段函数的应用．B1【答案解析】B 解析：对于函数f （x ）=，当x≤1时，f （x ）=﹣（x ﹣）2+；当x ＞1时，f （x ）=＜0．则函数f （x ）的最大值为．则要使不等式f （x ）≤m 2﹣m 恒成立， 则m 2﹣m 恒成立，即m 或m≥1．故选B ．【思路点拨】求出分段函数的最大值，把不等式f （x ）≤m 2﹣m 恒成立转化为m 2﹣m 大于等于f （x ）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m 的取值范围． 【题文】8．已知关于x 的方程cos xk x=在(0,)+∞有且仅有两根，记为,()αβαβ<，则下列的四个命题正确的是（ ） A ．2sin 22cosααα= B ．2cos 22sin ααα= C ．2sin 22sin βββ=- D ．2cos 22sin βββ=-【知识点】余弦函数的图象．C3【答案解析】C 解析：∵cos xk x=，∴|cosx|=kx， ∴要使方程cos xk x=（k ＞0）在（0，+∞）上有两个不同的解，则y=|cosx|的图象与直线y=kx （k ＞0）在（0，+∞）上 有且仅有两个公共点，所以直线y=kx 与y=|cosx|在（，π）内相切，且切于点（β，﹣cosβ），此时y=|cosx|=﹣cosx ．∴切线的斜率为sinβ=，∴βsinβ=﹣cosβ，∴2βsinβsinβ=2sinβcosβ，∴sin 2β=﹣2βsin 2β，故选：C ．【思路点拨】将方程cos xk x=转化为|cosx|=kx ，作出两个函数的图象，利用数形结合，以及导数的几何意义即可得到结论．二．填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。
广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试理综
广东实验中学2015届高三阶段考试（一）理科综合一、单项选择题：本大题共16小题，每小题4分，共64分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。
1.下列有关生物体内化合物的叙述，正确的是A．纤维素是植物细胞壁的主要成分，其基本组成单位是葡萄糖B．动物细胞间的物质主要是蛋白质，可用胃蛋白酶处理动物组织C．RNA只分布在真核细胞的细胞质中，其组成元素有C、H、O、N、PD．磷脂是线粒体、中心体和叶绿体等结构的生物膜的主要成分2.下列关于生物体内水的叙述，错误的是A．在细胞中自由水和结合水可相互转化B．结合水是细胞的重要组成成分C．细胞代谢过程中，线粒体、核糖体和中心体中都有水生成D．细胞中自由水含量降低是细胞衰老的特征之一3．下列关于生物膜系统的叙述中，错误的是A．突触前膜乙酰胆碱的释放体现膜的流动性B．相对于骨骼肌细胞，胰岛细胞中高尔基体膜成分的更新速度更快C．龙胆紫溶液能将洋葱根尖细胞内的染色体染色，体现了细胞膜的选择透过性D．构成动物细胞膜的脂质有磷脂和固醇4. 下图甲表示四种不同的物质在一个动物细胞内外的相对浓度差异。
其中通过图乙所示的过程来维持细胞内外浓度差异的物质是A．Na＋ B．CO2 C．胰岛素 D．K＋5．ATP是细胞的能量“通货”，有关说法正确的是（）A．代谢旺盛的细胞需要储备大量的ATPB．ATP的合成总是伴随有机物的氧化分解C．ATP与ADP相互转化的能量供应机制是生物界的共性D．黑暗条件下，只有线粒体可以产生ATP6. 将某种大小相同的绿色植物叶片在不同温度下分别暗处理1 h，测其重量变化，立即光照1 h，再测其重量变化。
结果如下表，分析表中数据可判定( )A．光照的1 h时间内，第4组合成葡萄糖总量为2 mgB．光照的1 h时间内，第1,2,3组释放的氧气量相等C．光照的1 h时间内，四组光合作用强度均大于呼吸作用强度D．呼吸作用酶的最适温度是29 ℃7．能在水溶液中大量共存的一组离子是A．Al3+、Mg2+、SO-24、CO-23B．NH+4 、OH－、Cl－、HCO-3C．K+、SO2-4 、Cu2+、NO-3D．H+、I－、NO-3、SiO2-38．设n A为阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是A．铁与足量稀硝酸反应，1 mol Fe失去电子数为2n AB．常温常压下，22.4L 乙烯中含极性共价键数目为5n A C．1 L 1 mol·L-1的NH4Cl中有n A个NH4+D．46 g NO2和N2O4混合气体中含有原子数为3N A9．下列有关物质性质的应用正确的是A．液氨汽化时要吸收大量的热，可用作制冷剂B．二氧化硅不与强酸反应，可用石英器皿盛放氢氟酸C．生石灰能与水反应，可用来干燥氯气D．氯化铝是一种电解质，可用于电解法制铝10．下列有关化学实验的叙述正确的是A．用待测液润洗滴定用的锥形瓶B ．配制FeCl 3溶液时，向溶液中加入少量Fe 和稀盐酸C ．用稀硝酸洗涤做过银镜反应的试管D ．液溴保存时液面覆盖一层水，装在带橡胶塞的试剂瓶中11．下列各项叙述Ⅰ，Ⅱ都正确且二者的原理最相似的是12．同主族常见的三种元素X 、Y 、Z ，它们最高价氧化物对应水化物的酸性强弱顺序为：HXO 4＜HYO 4＜HZO 4，下列判断不正确．．．的是A ．Y 单质可以在海水中提取B ．单质氧化性: Y ＞ZC ．气态氢化物稳定性:HX<HZD ．离子半径: X －＞Y －13．如图，一足球用网兜悬挂于O 点，A 点为网兜上对称分布的网绳的结点，OA 为一段竖直绳，设网绳的长短和足球重力不变，若足球体积越大，则 A ．网绳的拉力越大B ．网绳的拉力越小C ．网绳的拉力不变D ．竖直绳OA 的拉力越大14．电视台体育频道讲解棋局节目中棋盘竖直放置，棋盘由磁石做成，棋子都可视为被磁石吸引的小磁体，若某棋子静止，则 A ．棋盘面可选足够光滑的材料B ．棋盘对棋子作用力比棋子对棋盘作用力大C ．棋盘对棋子的作用力比棋子的重力大D ．若棋盘对棋子的磁力越大，则对其摩擦力也越大15．有一质点从x 轴的坐标原点开始沿x 轴做直线运动，其速度随时间变化图象如图，下列选项中a 表示质点加速度，x 表示位移，其中正确的是A O16．如图（甲），足够长的长木板在水平地面上运动，在某时刻（t=0）将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，己知物块与木板的质量相等，物块与木板、木板与地面之间动摩擦因数相同，物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中考试数学(理)Word版含答案
2014-2015学年度第一学期高三级理科数学科期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合}0|{≥=x x A ，且B B A = ，则集合B 可能是（ ） A ．}2,1{ B ．}1|{≤x x C ．}1,0,1{- D ． R2．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．命题“∀x ≥0，x 2＋x －1＜0”的否定是“∃x 0＜0，x 20＋x 0－1＜0” C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为假命题 D ．若“q p ∨”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题3．已知数列{n a }为等差数列，公差2-=d ，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A ．18 B ．20 C ．22 D ．244．将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）D.C.B.A.5．在ABC ∆中，已知 30,4,34=∠==B AC AB ,则ABC ∆的面积是（ ） A ．34 B ．38 C ．34或38 D ．3FAEDBC6．设曲线11-+=x x y 在点)2,3(处的切线与直线01=++y ax 垂直，则=a （ ） A ．2 B ．21 C ．21- D ．2-7．在ABC △中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点，若()4,3PA =，()1,5PQ =，则BC =（ ）A ．()2,7-B ．()6,21-C ．()2,7-D ．()6,21-8．已知函数=)(x f ⎩⎨⎧>+-≤-)0(,1)1()0(,12x x f x x ,把函数x x f x g -=)()(的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（ ） A ．2)1(-=n n a nB ．1-=n a nC ．)1(-=n n a nD ．22-=n n a第二部分非选择题(共 110分)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （一）必做题（9 ～ 13题）9．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为 10．若920=⎰dx x T，则常数T 的值为________．11．设,x y 满足约束条件0201x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的最大值是 ．12．已知2nx ⎫+⎪⎭的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3， 则=n ．13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点A 为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点，B 、C 在椭圆上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于 ．（二）选做题（14 ～ 15题，考生只能从中选做一题）14．在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________15．如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ,E 是AB 延长线上一点,且DF CF ==,1:2:4::=BE FB AF ,若CE 与圆相切,则线段CE 的长为 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分13分）已知函数1()cos )cos 2f x x x x =+-． （Ⅰ）用五点作图法列表，作出函数)(x f 在],0[π∈x 上的图象简图． （Ⅱ）若3()265f απ+=，02πα-<<，求sin(2)4πα-的值．17．（本小题满分14分）在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知51===AA AC AB ，4=BC ，1A 在底面ABC 的射影是线段BC 的中点O ．（Ⅰ）证明：在侧棱1AA 上存在一点E ， 使得OE ⊥平面C C BB 11，并求出AE 的长； （II ）求二面角111C C B A --的余弦值．18．（本小题满分14分）袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （Ⅱ）随机变量ξ的概率分布和数学期望；19．（本小题满分12分）已知21=a ，点()1,+n n a a 在函数x x x f 2)(2+=的图像上，其中*N n ∈（Ⅰ）证明：数列{})1lg(n a +是等比数列； （Ⅱ）设)1()1)(1(21n n a a a T +++= ，求n T （Ⅲ）记211++=n n n a a b ，求数列{}n b 的前项和n S1A••••••••••••••••••••O20．（本小题满分13分）已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e =，过1C 的左焦点1F 的直线:20l x y -+=被圆2222:(3)(3)(0)C x y r r -+-=>截得的弦长为.（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设1C 的右焦点为2F ，在圆2C 上是否存在点P ，满足2122a PF PF b=,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）设函数()()ln ln 0,0f x x a x a a =->>且为常数. （Ⅰ）当1k =时，判断函数()f x 的单调性，并加以证明； （Ⅱ）当0k =时，求证：()0f x >对一切0x >恒成立；（Ⅲ）若0k <，且k 为常数，求证：()f x 的极小值是一个与a 无关的常数. 2014-2015学年度第一学期高三级理科数学期中考试答卷注意事项：1、本答卷为第二部分非选择题答题区。
广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：统计与概率(含答案)
3、（ 2015 届湛江市） 某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x ， y ，10 ，11 ， 9 ．已知这组数据的平均值为 10 ，方差为 2 ，则 x y 的值为
4、（ 2015 届佛山市）某市有 40% 的家庭订阅了《南方都市报》 , 从该城市中任取 4 个家庭 , 则这 4 个家庭中恰好有 3 个家庭订阅了《南方都市报》的概率为 _________
6 个城市， 省环保部门再从中随机选取 3 个城市组织专家进行调研， 记省环保部门 “选到空气
质量“良好”的城市个数为
”，求 的分布列和数学期望．
8、（ 2015 届湛江市） 广东省第十四届运动会将在湛江举行，组委会招募了 12 名男志 愿者和 18 名女志愿者，将这 30 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图 （单位：cm ）， 身高在 175 cm 以上（包括 175 cm ）定义为“高个子”身高在 175 cm以下（不包括 175 cm ）定义为“非高个子”． 1 如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人，再从这 5 人中 选 2 人，求至少有一人是“高个子”的概率；
球的概率为 1 ，每个球被取到的机会均等 . 现从袋子中每次取 7
再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为
X.
1个球，如果取出的是白球则不
（ 1）求袋子中白球的个数；
（ 2）求 X 的分布列和数学期望 .
2、（ 2015 届江门市） 某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了
100 株树苗，分别测出它们的高度（单位： cm ），并将所得数据分组，画出频率分布表
广东省各市 2015 年高考一模数学理试题分类汇编
统计与概率
一、选择题
2015年广州一模数学(理科)试题及参考答案
图17432109878侧视图正视图试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为 A ．MN B ．()U M N ð C ．()U MN ð D ．()()U U M N 痧 2．已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为A ．15 B ．1 C ．15± D ．1± 3. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是 A. 91, 91.5 B. 91, 92 C. 91.5, 91.5 D. 91.5, 924. 直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定5. 若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++>⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m 的取值范围是A. ()1,-+∞B. [)1,-+∞C. (),1-∞-D. (],1-∞-6. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为，则该锥体的俯视图可以是图A. B. D. 7. 已知a 为实数，则1a ≥是关于x 的绝对值不等式1x x a +-≤有解的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 8. 已知i 是虚数单位，C 是全体复数构成的集合，若映射:f C →R 满足: 对任意12,z z C ∈，以及任意λ∈R , 都有()()()()()121211f z z f z f z λλλλ+-=+-, 则称映射f 具有性质P . 给出如下映射:① 1:f C →R , ()1f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R ); ② 2:f C →R , ()22f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R ); ③ 3:f C →R , ()32f z x y =+, z x y =+i (,x y ∈R );其中, 具有性质P 的映射的序号为 A. ① ② B. ① ③ C. ② ③ D. ① ② ③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 已知tan 2α=，则tan 2α的值为 .10. 已知e 为自然对数的底数，若曲线y x =e x在点()1,e 处的切线斜率为 .11. 已知随机变量X 服从正态分布()2,1N . 若()130.6826P X ≤≤=，则()3P X > 等于 .12. 已知幂函数()223(mm f x xm --+=∈Z )为偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数，则()2f 的值为 .13．已知,n k ∈N *，且k n ≤，k C k n n =C 11k n --，则可推出C 12n +C 23n +C 3n k ++C k n n ++C (n n n =C 01n -+C 11n -++C 11k n --++C 11)n n --12n n -=⋅， 由此，可推出C 122n +C 223n +C 32n k ++C 2k n n ++C n n = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,(cos sin x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)和2,(x t t y t=-⎧⎨=⎩为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 .图3图4OF ED C B A 图5FE PODB A15. （几何证明选讲选做题）如图3，BC 是圆O 的一条弦，延长BC 至点E ， 使得22BC CE ==，过E 作圆O 的切线，A 为 切点，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，则DE 的长为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和022x ,π⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求0sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.17. （本小题满分12分）袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为17，每个球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X . （1）求袋子中白球的个数； （2）求X 的分布列和数学期望.18. （本小题满分14分）如图4，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的 中点，ACEF O =，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图5的五棱锥PABFED -，且PB =（1）求证：BD ⊥平面POA ；（2）求二面角--B AP O 的正切值.19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足111,1n a a +==，n ∈N *.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值； 若不存在, 请说明理由.20. （本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.(1) 求椭圆1C 的方程； (2) 求点Q 的轨迹方程；(3) 求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.21. （本小题满分14分） 已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围；（2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 43-10. 2e 11. 0.1587 12. 16 13. ()212n n n -+⋅14. 4π⎫⎪⎭15. 说明: 第14题答案可以是2,4k k ππ⎫+∈⎪⎭Z . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角两角和公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由题意可得2,A =， …………………………1分00222T x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， …………………………3分 ∴.T π= …………………………4分 由,2πωπ=得2=ω， …………………………5分∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. …………………………6分（2）解： ∵ 点()0,2x 是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在y 轴右侧的第一个最高点, ∴ 0262x ππ+=. …………………………7分∴ 06x π=. …………………………8分 ∴0sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭sin 64ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………………9分 sincoscossin6464ππππ=+ …………………………10分12222=⨯+ …………………………11分4=. …………………………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：设袋子中有n (n ∈N *)个白球，依题意得，22717n C C =，………………………1分即()1127672n n -=⨯， 化简得，260n n --=， …………………………2分解得，3n =或2n =-（舍去）. …………………………3分 ∴袋子中有3个白球. …………………………4分 （2）解：由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球. …………………………5分X 的可能取值为0,1,2,3， …………………………6分()407P X ==， ()3421767P X ==⨯=， ()3244276535P X ==⨯⨯=，()321413765435P X ==⨯⨯⨯=. ………………10分∴X 的分布列为：…………………………11分GH F EPODBA∴4241301237735355EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF . …………………………1分 ∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥. ∴EF AC ⊥. ∴EF AO ⊥，EF PO ⊥. …………………………2分 ∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO PO O =， ∴EF ⊥平面POA . …………………………3分∴BD ⊥平面POA . …………………………4分 （2）解法1：设AO BD H =，连接BO ， ∵60DAB ︒∠=， ∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，HA =HO PO ==……5分 在R t △BHO中，BO在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分 过H 作⊥HG AP ，垂足为G ，连接BG ，由（1）知⊥BH 平面POA ，且⊂AP 平面POA ， ∴⊥BH AP .∵=HG BH H ，⊂HG 平面BHG ，⊂BH 平面BHG ，∴⊥AP 平面BHG . …………………………8分 ∵⊂BG 平面BHG ，∴⊥AP BG . …………………………9分 ∴∠BGH 为二面角--B AP O 的平面角. …………………………10分 在Rt △POA中，AP在Rt △POA 和Rt △HGA 中，90,︒∠=∠=∠=∠POA HGA PAO HAG ， ∴Rt △POA ～Rt △HGA . …………………………11分 ∴=PO PAHG HA.∴⋅===PO HA HG PA …………………………12分A在Rt △BHG中，tan ∠===BH BGH HG . ……………………13分 ∴二面角--B AP O…………………………14分 解法2：设AOBD H =，连接BO ，∵60DAB ︒∠=， ∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，HA =HO PO ==………………………5分 在R t △BHO中，BO在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分 以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，AO 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系-O xyz ，则()0,-A，()2,B，(P，()0,H .…………8分∴(=AP，()=AB . 设平面PAB 的法向量为=n (),,x y z ，由⊥n AP ，⊥n AB ，得0,20.⎧+=⎪⎨+=⎪⎩x 令1=y ，得3=-z，=x ∴平面PAB 的一个法向量为=n ()3-. 由（1）知平面PAO 的一个法向量为()2,0,0=-BH ， ……………………11分 设二面角--B AP O 的平面角为θ， 则cos θ=cos ,n BH⋅=n BH nBH==………………………12分∴sin 13θ==sin tan cos 3θθθ==.………………………13分∴二面角--B AP O 的正切值为3…………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、数列的前n 项和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）（1）解：∵111,1n a a +==，∴2113a ===. …………………………1分（2）解法1：由11n a +=，得11n n S S +-=， …………………………2分故)211n S +=. …………………………3分∵0n a >，∴0n S >.1=. …………………………4分∴数列1=，公差为1的等差数列.()11n n =+-=. …………………………5分 ∴2n S n =. …………………………6分当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， …………………………8分又11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………9分解法2：由11n a +=，得()2114n n a S +-=， …………………………2分 当2n ≥时，()2114n n a S --=， …………………………3分 ∴()()()22111144n n n n n a a S S a +----=-=. …………………………４分∴2211220n n n n a a a a ++---=.∴()()1120n n n n a a a a +++--=. …………………………５分 ∵ 0n a >，∴12n n a a +-=. …………………………６分 ∴数列{}n a 从第2项开始是以23a =为首项，公差为2的等差数列．……………７分 ∴()()322212n a n n n =+-=-≥． …………………………８分 ∵11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………9分 解法3：由已知及（1）得11a =，23a =，猜想21n a n =-. …………………………2分 下面用数学归纳法证明.① 当1n =，2时，由已知11211a ==⨯-，23a ==221⨯-，猜想成立. ………3分 ② 假设n k =()2k ≥时，猜想成立，即21k a k =-， …………………………4分由已知11k a +=，得()2114k k a S +-=， 故()2114k k a S --=.∴()()()22111144k k k k k a a S S a +----=-=. …………………………5分∴22211220k k k k a a a a ++---=.∴()()1120k kk k a a aa +++--=. …………………………6分∵10,0k k a a +>>，∴120k k a a +--=. …………………………7分 ∴()12212211k k a a k k +=+=-+=+-. …………………………8分 故当1n k =+时，猜想也成立.由①②知，猜想成立，即21n a n =-. …………………………9分 （3）解：由(2)知21n a n =-, ()21212n n n S n +-==.假设存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列,则2214k k k S a a -=⋅. …………………………10分即()()()4212181k k k -=-⋅-. …………………………11分 ∵ k 为正整数， ∴ 210k -≠. ∴ ()32181k k -=-.∴ 328126181k k k k -+-=-.化简得 32460k k k --=. …………………………12分 ∵ 0k ≠,∴ 24610k k --=.解得6384k ±==, 与k 为正整数矛盾. ……………………13分 ∴ 不存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列. …………………………14分20.（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1： ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , …………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)，∴ 1224a AF AF =+=，得2a =. ………………………2分∴ 2222b a =-=. ………………………3分∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分解法2: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , ……………………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)， ∴22211a b +=. ① ………………………2分 . ∵ 222a b =+, ② ………………………3分 由①②解得24a =, 22b =.∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分 （2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，∴(1)AQ x y =-，11(1)AP x y =-，(1)BQ x y =+，11(1)BP x y =+.由 0AQ AP ⋅=, 得 11((1)(1)0x x y y +--=， ……………………5分即 11((1)(1)x x y y =---. ①同理, 由0BQ BP ⋅=, 得 11((1)(1)x x y y =-++. ② ……………6分①⨯②得 222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时，有2225x y +=，当2110y -=，则点(1)P -或P ,此时点Q 对应的坐标分别为或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得 3y -，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或2⎫-⎪⎪⎝⎭. 同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (), 22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-， ∵0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=， ∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥.1=-(1x ≠，① ……………………5分1=-(1x ≠. ② ……………………6分①⨯② 得 12222111122y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分 ∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得221122x y =-, 代入(*)式得2212211112122x y x x --⨯=--，即2211122y x --⨯=-, 化简得 2225x y +=.若点(1)P -或P , 此时点Q对应的坐标分别为或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y -，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或2⎫-⎪⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或2⎛⎫⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 (3) 解法１：点Q (),x y 到直线:AB 0x =.△ABQ的面积为S =10分x ==………………………11分而222(2)42y x x =⨯⨯≤+（当且仅当2x =∴S =≤=2=. ……12分当且仅当2x =, 等号成立.由22225,x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得,22,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或22.x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩………………………13分 ∴△ABQ的面积最大值为2, 此时,点Q的坐标为2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.…14分 解法２：由于AB =，故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大． (1)０分 设与直线AB 平行的直线为0x m +=，由220,25,x m x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得225250y c ++-=， 由()223220250m m ∆=--=，解得m =． ………………………1１分若2m =，则2y =-，2x =-；若2m =-，则2y =，2x =．…1２分 故当点Q的坐标为22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，△ABQ 的面积最大，其值为122S AB ==． ………………………1４分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） （1）解：∵()()2ln 12a f x x x x =++-，其定义域为()1,-+∞, ∴()()11111x ax a f x ax x x+-'=+-=++. …………………………1分 ① 当0a =时，()1xf x x'=-+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '<， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …2分 ② 当01a <<时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=>， 当x ∈10a ,a -⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在区间10a ,a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …………………………3分③ 当1a =时，()21x f x x'=+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>，则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……4分 ④ 当1a >时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=<，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……5分 综上所述，a 的取值范围为[)1,+∞. …………………………6分 （2）证明：由（1）可知，当0a =时，()0f x <对()0,x ∈+∞都成立，即()ln 1x x +<对()0,x ∈+∞都成立. …………………………7分∴2222221212ln 1ln 1ln 1n nn n n n nn⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.………………8分 即ln 2222121211112n n n n n n n n ⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 由于n ∈N *，则111111222221n n n +=+≤+=⨯. …………………………9分 ∴ln 222121111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∴ 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <. …………………………10分 由（1）可知，当1a =时，()0f x >对()0,x ∈+∞都成立， 即()21ln 12x x x -<+对()0,x ∈+∞都成立. …………………………11分 ∴2222224442221211212ln 1ln 1ln 12n n n n nn n nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++<++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.…………………………12分即()()()2422212111126ln 11122n n n n n n n n n n n ++⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<+++⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 得323222643112ln 11112n n n n n n n n +--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦由于n ∈N *，则()()32232333363316431611212122n n n n n n n n n n n+-+-+--=≥=. …………………………13分∴12<ln 22212111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.∴22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. …………………………14分 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.。
广东省广州市2015届高三毕业班综合测试数学(理)(一)试题Word版含解析
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为（ ） A ．M N B ．()U M N ð C ．()U MN ð D ．()()U U M N 痧 【答案】B考点：集合的交集、补集运算． 2.已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为（ ）A ．15 B ．1 C ．15± D ．1± 【答案】D考点：1、向量的数乘运算；2、向量的模．3.若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）A ．91, 91.5B ．91, 92C ．91.5, 91.5D ．91.5, 92图17432109878【答案】C 【解析】试题分析：由茎叶图知：这组数据的中位数是919291.52+=，平均数是()1888791979492909391.58x =+++++++=，故选C ． 考点：1、茎叶图；2、样本的数字特征．4.直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定 【答案】A考点：直线与圆的位置关系．5.若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++>⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,-+∞B ．[)1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(],1-∞- 【答案】A考点：线性规划．6.已知某锥体的正视图和侧视图如图2，则该锥体的俯视图可以是（ ）侧视图正视图222222A ．B ．C ．D ． 【答案】C考点：1、三视图；2、锥体的体积．7.已知a 为实数，则1a ≥是关于x 的绝对值不等式1x x a +-≤有解的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B考点：1、绝对值不等式；2、充分与必要条件．8.已知i 是虚数单位，C 是全体复数构成的集合，若映射:f C →R 满足: 对任意12,z z C ∈，以及任意λ∈R , 都有()()()()()121211f z z f z f z λλλλ+-=+-, 则称映射f 具有性质P . 给出如下映射:① 1:f C →R , ()1f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R ); ② 2:f C →R , ()22f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R ); ③ 3:f C →R , ()32f z x y =+, z x y =+i (,x y ∈R ); 其中, 具有性质P 的映射的序号为（ ）A ．① ② B．① ③ C．② ③ D．① ② ③ 【答案】B考点：1、映射；2、复数的运算；3、新定义．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9～13题）9.已知tan 2α=，则tan 2α的值为 ． 【答案】43-考点：倍角的正切．10.已知e 为自然对数的底数，若曲线y x =e x 在点()1,e 处的切线斜率为 ． 【答案】2e 【解析】试题分析：()1x y x e '=+，所以曲线xy xe =在点()1,e 处的切线斜率为12x k y e ='==．考点：1、导数的几何意义；2、导数的运算法则．11.已知随机变量X 服从正态分布()2,1N . 若()130.6826P X ≤≤=，则()3P X >等于 ． 【答案】0.1587考点：正态分布． 12.已知幂函数()223(m m f x xm --+=∈Z )为偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数，则()2f 的值为 ．【答案】16考点：1、幂函数的性质；2、函数值．13.已知,n k ∈N *，且k n ≤，k C k n n =C 11k n --，则可推出C 12n +C 23n +C 3n k ++C k n n ++C (n n n =C 01n -+C 11n -++C 11k n --++C 11)n n --12n n -=⋅，由此，可推出C 122n +C 223n +C 32n k ++C 2k n n ++C n n = ．【答案】()212n n n -+⋅ 【解析】 试题分析：()122232201111111C 2C 3C C C C 2C C C k n k n n n n n n n n n n k n n k n ------+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ()()()()0111121111111111C C C C C 2C 1C 1C k n k n n n n n n n n n n k n ------------⎡⎤=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦ ()()()()10122122222221C C C C 21212n k n n n n n n n n n n n n n n ----------⎡⎤⎡⎤=+-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=+-⋅=+⋅⎣⎦⎣⎦．考点：推理与证明．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,(cos sin x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)和2,(x t t y t=-⎧⎨=⎩为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 ．【答案】4π⎫⎪⎭考点：1、参数方程与普通方程互化；2、直角坐标与极坐标互化．15.（几何证明选讲选做题）如图3，BC 是圆O 的一条弦，延长BC 至点E ，使得22BC CE ==，过E 作圆O 的切线，A 为切点，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，则DE 的长为 ． 图3所以D C D ∠BA =∠A ，因为AE 是圆O 的切线，所以C C ∠EA =∠BA ，因为DC D C ∠A =∠BA +∠BA ，所以DC C D C D ∠A =∠A +∠EA=∠EA ，所以D E =AE =考点：1、切割线定理；2、弦切角定理．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和022x ,π⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求0sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）4．考点：1、三角函数的图象与性质；2、两角和的正弦公式．17.（本小题满分12分）袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为17，每个球被取到的机会均等．现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X．（1）求袋子中白球的个数；（2）求X的分布列和数学期望．【答案】（1）3；（2）分布列见解析，35．…………………………11分 ∴4241301237735355EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………12分 考点：1、古典概型；2、解方程；3、离散型随机变量的分布列与数学期望. 18.（本小题满分14分）如图4，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，ACEF O =，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图5的五棱锥P ABFED -，且PB =（1）求证：BD ⊥平面POA ； （2）求二面角--B AP O 的正切值.图4OFEDCB A图5【答案】（1）证明见解析；（2）3. AA考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间向量及坐标运算；4、同角三角函数的基本关系. 19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足111,1n a a +==，n ∈N *. （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值； 若不存在, 请说明理由.【答案】（1）3；（2）21n a n =-；（3）不存在正整数k ，使k a ，21k S -，4k a 成等比数列．考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列的性质；3、等差数列的前n 项和. 20.（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0+=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.（1）求椭圆1C 的方程； （2）求点Q 的轨迹方程；（3）求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.【答案】（1）22142x y +=；（2）2225x y +=，除去四个点)1-，,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()，22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；（3）2，点Q 的坐标为22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.考点：1、椭圆的方程；2、双曲线的方程；3、直线与圆锥曲线；4、基本不等式；5、三角形的面积；6、动点的轨迹方程. 21.（本小题满分14分）已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围；（2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <. 【答案】（1）[)1,+∞；（2）证明见解析.考点：1、用导数判断函数的单调性；2、参数的取值范围；3、用导数证明不等式；4、放缩法.。
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广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试数学（理）试题一、选择题 本大题共2道小题。
1.已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围是（） 111.(,.(,[1,).[1,).[,1]444A B C D -∞--∞-+∞+∞-2.已知关于x 的方程cos xk x=在(0,)+∞有且仅有两根，记为,()αβαβ<，则下列的四个命题正确的是（ ）A ．2sin 22cos ααα=B ．2cos 22sin ααα= C ．2sin 22sin βββ=- D ．2cos22sin βββ=-一、填空题 本大题共7道小题。
3.已知423,log ,23xy x y ==+则的值为______________. 4.如图是函数5cos(2)6y x π=-在一个周期内的图象，则阴影 部分的面积是__________.本卷由【智能组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
答案第2页，总9页5.若(0,2πα∈，则22sin 2sin 4cos ααα+的最大值为 ． 6.已知函数()sin ()f x x x x R =+∈，且22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤，则当y l ≥时，1yx +的取值范围是_______________.7.已知52x ⎛ ⎝的展开式中的常数项为T ，()f x 是以T 为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是 ． 8.在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩：，（α为参数）交于A 、B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________. 9.（几何证明选讲选做题）已知⊙O 1和⊙O 2交于点C 和D ，⊙O 1上的点P 处的切线交⊙O 2于A 、B 点，交直线CD 于点E ，M 是⊙O 2上的一点，若PE=2，EA=1，45AMB ∠=，那么⊙O 2的半径为 .二、解答题 本大题共6道小题。
10.已知函数21()cos cos ,2f x x x x x R =--∈． (Ⅰ) 求函数)(x f 的最小值和最小正周期；(Ⅱ) 已知ABC ∆内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==，若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a b 、的值．11.一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。
(Ⅰ)从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；(Ⅱ)一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”(每次操作完成后将球放回)，某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。
ABC DP MEO 1O 2本卷由【智能组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
12.如图1，AD 是直角△ABC 斜边上的高，沿AD 把△ABC 的两部分折成直二面角 （如图2），DF A C ⊥于F .（Ⅰ）证明：BF AC ⊥；（Ⅱ）设DCF θ∠=，AB 与平面BDF 所成的角为α，二面角BFA D --的大小为β，试用tan ,cos θβ表示tan α；（Ⅲ）设AB AC =，E 为AB 的中点，在线段DC 上是否存在一点P ，使得DE ∥平面PBF ? 若存在，求DPPC的值；若不存在，请说明理由．13.如图，点P (0，−1)是椭圆C 1：(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2+y 2=4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D ． （Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．14.如图,实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成,圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地.D图1AC B图2BCAD F EP本卷由【智能组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
答案第4页，总9页（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求活动场地的最大面积； （2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求活动场地的最大面积；15.已知R λ∈，函数(1)()ln 1x f x x x λλ-=-+-，其中[1,)x ∈+∞．（Ⅰ）当2λ=时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）在函数ln y x =的图像上取点(,ln )n P n n ()n N *∈，记线段P n P n +1的斜率为k n ，12111n nS k k k =+++．对任意正整数n ，试证明： （ⅰ）(2)2n n n S +<； （ⅱ）(35)6n n n S +>．试卷答案1.B 略2.C 略3.3 略4.54略 5.12略 6.[14，34]本卷由【智能组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
略 7.10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦略8.(cos sin )1ρθθ-= 略 9.略10.（Ⅰ）最小值为2-，最小正周期为π；（Ⅱ） ,a b ==解析：(Ⅰ)211()cos cos 2cos 2122f x x x x x x =--=-- sin(216x π=-- (3)∴ ()f x 的最小值为2-，最小正周期为π. ………………5 （Ⅱ）∵ ()sin(2106f C C π=--=， 即sin(2)16C π-= …………6 ∵ 0C π<<，112666C πππ-<-<，∴ 262C ππ-=，∴ 3C π=． (8)∵ m n 与共线，∴ sin 2sin 0B A -=． ……………9 由正弦定理sin sin a b A B=， 得2,b a = …………………10 ∵ 3c =，由余弦定理，得2292cos 3a b ab π=+-， 故a b == (12)略 11.（Ⅰ）130；（Ⅱ）2=ξE 解析：（Ⅰ）设从袋子中任意摸出3个球, 摸出的球均为白球的概率是P .301=C C =P 31034 …4分 （Ⅱ）由一次”摸球成功”的概率32=C C C +C =P 310142636. …8分本卷由【智能组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
答案第6页，总9页随机变量ξ服从二项分布)32,3(B ,分布列如下 …12分ξ0 1 2 3P271 276 2712 278 2=ξE …13分略12.（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）tan cos tan q b a =；（Ⅲ）12DP PC = 解析：（Ⅰ）∵,AD DB AD DC ⊥⊥，∴B D C ∠是二面角B DA C --的平面角.又∵二面角B DA C --是直二面角，∴BD DC ⊥,∴BD ⊥平面A D C ，∴B D A C ⊥，又D F A C ⊥，∴AC ⊥平面BDF ，∴B F A C ⊥.…………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）tan AF ABF BF αα∠=⇒=,cos DFBFD BFββ∠=⇒=. 又tan AFADF DCF DFθθ∠=∠=⇒=，∴t a n c o stanAFBFθβα==.…………………8分 (Ⅲ)连接CE 交BF 于点M ，连接PM ,则PM ∥DE .∵AB AC =,∴AD DC =,∴F 为AC 的中点，而E 为AB 的中点，∴M 为ABC ∆的重心, ∴12EM MC =,∴12DP PC =.即在线段DC 上是否存在一点P ，使得DE ∥PBF ， 此时12DP PC =.…………………………………………13分(也可建系完成) 略13.（Ⅰ）x 24+y 2=1（Ⅱ）y =±102x −1 解析：（Ⅰ）由题意得：⎩⎨⎧b =1，a =2．……………..2 椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1． (4)（Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方BADF EPM本卷由【智能组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
程为y =kx −1． (5)又圆C 2：x 2+y 2=4，故点O 到直线l 1的距离d =1k 2+1， …………………6 所以|AB |=24−d 2=24k 2+3k 2+1 ． (7)又l 1⊥l 2，故直线l 2的方程为x +ky +k =0．由⎩⎪⎨⎪⎧x +ky +k =0， x 24+y 2=1． 消去y ，整理得(4+k 2)x 2+8kx =0故x 0=−8k 4+k 2．所以|PD |=8k 2+14+k 2． (10)设△ABD 的面积为S ，则S =12|AB |⋅|PD |=84k 2+34+k 2， 所以S =324k 2+3+134k 2+3≤3224k 2+3 ⋅134k 2+3=161313， (12)当且仅当k =±102时取等号 ………………..13 所以所求直线l 1的方程为y =±102x −1 ……………………………..14 略14.（Ⅰ）4(km 2)（Ⅱ）场地面积取得最大值为（km 2）．解析：（Ⅰ）过S 作SH RT ⊥于H ，1.2RST S SH RT ∆=⋅ 由题意，RST ∆在月牙形公园里，RT 与圆Q 只能相切或相离；本卷由【智能组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
答案第8页，总9页RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有4,2RT SH≤≤，当且仅当RT切圆Q于P时，上面两个不等式中等号同时成立。
（4分）此时，场地面积的最大值为14242RSTS∆=⨯⨯=(km2) …（5分）（Ⅱ）AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，以AD为直径向左边作半圆，此半圆包含弓形，半圆的内接等腰梯形的面积的最大值不小于弓形内接等腰梯形的面积的最大值，要求场地面积的最大值，只需考虑AD切圆Q于P时的情形，……（7分）设BPAθ∠=，则有1122sin222sin(2)22ABCDSθπθ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-四边形=4(sin sin cos)(0).2πθθθθ=+<<……（10分）令y=sinθ+sinθcosθ，则y'=cosθ+cosθcosθ+sinθ（﹣sinθ）=2cos2θ+cosθ﹣1．（11分）若y'=0，，又时，y'＞0，时，y'＜0，（14分）函数y=sinθ+sinθcosθ在处取到极大值也是最大值，故时，场地面积取得最大值为（km2）．略15.（Ⅰ）0；（Ⅱ）见解析解析：（Ⅰ）=2λ时，2(1)()ln(1)1xf x x xx-=-≥+，求导可得22212(1)2(1)(1)()0(1)(1)x x xf xx x x x+---'=-=≥++……………3分所以，()f x在(1,)+∞单调递增，故()f x的最小值是(1)0f=．…………5分MNP QRSMNP QABCD本卷由【智能组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。