第四章 4.1 相似三角形 比例线段(3)
相似三角形知识点梳理
相似三角形知识点梳理知识点1 有关相似形的概念(1) 形状一样的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2) 假如两个边数一样的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数) ．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质〔1〕定义：在四条线段 d c b a , , , 中，假如 ba和的比等于 d c和的比，那么这四条线段 d c b a , , , 叫做成比例线段，简称比例线段．知识点 4 相似三角形的概念〔1〕定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽” 表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数) ．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为 1 的相似三角形．〔2〕三角形相似的断定方法1、平行法：〔图上〕平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、断定定理 1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． AA3、断定定理 2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． SAS4、断定定理 3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似． SSS5、断定定理 4：直角三角形中，“HL”全等与相似的比拟：知识点 5 相似三角形的性质(1) 相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2) 相似三角形周长的比等于相似比．(3) 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(4) 相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点 7 等积式证明题常用方法归纳：(1) 总体思路: “等积” 变“比例”，“比例” 找“相似”(2) 找相似：通过“横找”“竖看” 寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，可以组成三角形，并且有可能是相似的，那么可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3) 找中间比：假设没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上) ，那么需要进展“转移” (或“交换” ) ，常用的“交换” 方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。
三角形的相似比与比例线段
三角形的相似比与比例线段在几何学中，三角形的相似比和比例线段是重要的概念，它们在解决三角形的相似性问题和计算边长比例时起到关键作用。
本文将介绍三角形的相似比和比例线段的概念、性质以及应用。
一、相似三角形的定义和相似比相似三角形指的是具有相同形状但不同大小的三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们被称为相似三角形。
三角形的相似性可以用相似比来描述，相似比是指两个相似三角形对应边长的比值。
设有两个相似三角形ABC和DEF，对应边长的比值可以表示为：AB/DE = BC/EF = AC/DF，其中AB、BC、AC分别表示三角形ABC的三条边长，DE、EF、DF分别表示三角形DEF的三条边长。
相似比可以简记为k（常为正数），即k=AB/DE=BC/EF=AC/DF。
二、相似比的性质1. 相似比的传递性：如果两个三角形ABC和DEF相似，且三角形DEF与另一个三角形XYZ相似，则三角形ABC与三角形XYZ也相似，且它们的相似比相等。
2. 相似比与边长比例关系：若两个三角形相似，对应边的相似比等于对应边长的比例。
3. 相似比与角度比例关系：若两个三角形相似，对应角的角平分线所分割的角度比等于对应边的相似比。
三、比例线段的定义和性质比例线段是指在相似三角形中，各边所对应的线段按相应的比例划分出来的线段。
比例线段在三角形的边上起到了关键作用，它们的比例关系可以帮助我们计算相似三角形的边长。
设有两个相似三角形ABC和DEF，相似比为k，若线段AD和EF 相交于点G，则线段AG和EG、线段GD和FG也满足比例关系：AG/EG = GD/FG = k。
四、应用举例1. 已知两个三角形相似，已知其中一个三角形的两个边长分别为3cm和5cm，求另一个三角形相应边的长度。
解析：如果两个三角形相似，且已知一个三角形的两个边长为3cm 和5cm，设相似比为k，则另一个三角形相应边的长度为3cm*k和5cm*k。
2. 在相似三角形ABC和DEF中，已知AD=6cm，DE=9cm，且AG:GE = 2:3，求GD的长度。
初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段
A
E
F
B
D
C
作业
姓名： 作业等级： . 1.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近 0.618 时，越给人一种美感．如图，某女士 身高 165cm，下半身长 x 与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿 的高跟鞋的高度大约为（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
3.在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是 BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠， 使点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，则△DEF 的周长为（ ） A.9.5 B.10.5 C.11 D.15.5
10.在△ABC 中，D 是 BC 上一点，若 AB=15 cm，AC=10 cm，且 BD∶DC=AB∶AC， BD－DC=2cm，求 BC.
◆----平行线分线段成比例定理 质定理（推论）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线） ，所得的对应线段成比例。 2、三角形一边的平行线的判定定理 1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所 得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 3、三角形一边的平行线的性质定理 2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延 长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 例 、 如 图 5， 在 △ABC 中 ， D 是 BC 上 的 点 ， E 是 AC 上 的 点 ， AD 与 BE 交 于 点 F， 若 AE:EC=3:4， BD:DC=2:3，求 BF:EF 的值。
1 2
a b c ，则 x 的值一定是（ bc ac ab 1 3 B、-1 C、 或-1 D、 2 2
）
2.已知一次函数 y kx 1 中，比例系数 k 满足 k 试求直线 y kx 1 与 x 轴的交点坐标.
九年级数学 第4章 相似三角形 4.1 比例线段 第1课时 比例的基本性质导学 数学
12/6/2021
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4．1 比例(bǐlì)线段
类型二 设比例系数(xìshù)k，解决有关连比问题
例 3 [教材补充例题] 已知a2＝b3＝5c≠0，求3a2＋ a－2bb－ ＋2cc的值．
解：设a2＝b3＝5c＝k(k≠0)，则 a＝2k，b＝3k，c＝5k，所以 3a2＋ a－2bb－ ＋2cc＝3×22×k＋ 2k2－×33kk＋－52k×5k＝62kk＝13.
第4章 相似 三角形 (xiānɡ sì)
4．1 比例 线段 (bǐlì)
12/6/2021
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第4章 相似(xiānɡ sì)三角形
第1课时 比例的基本 性质 (jīběn)
学知识 筑方法
12/6/2021
勤反思
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4．1 比例线段
学知识(zhī shi)
知识点一 比例(bǐlì)
[解析] 根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积，对各选项分 1析2/6/2判021 断即可．
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4．1 比例(bǐlì)线段
筑方法
类型一 根据比例的基本(jīběn)性质求值
例 1 [教材例 1 针对练] 若 3a＝4b，则ba＝____43____；若3a＝b4，则
ba＝____34____；已知
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4．1 比例(bǐlì)线段
【归纳总结】利用比例的基本性质(xìngzhì)进行相关计算时的常用方法 (1)用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后运用代入
法求值；
(2)运用参数法，即根据比例式设出合适的未知数，然后用含此未 知数的代数式表示出相应的字母，再代入求值．
高考数学新一轮总复习 4.1.1 相似三角形的判定及有关性质考点突破课件 理
• 解析： 由 ∠ BEC ＝ ∠ BDC ＝ Rt∠ ， ∠ A＝ ∠ A ， ∴∠ ABD ＝∠ACE，∴△ACE∽△ABD； • 由∠CDF＝∠AEC＝Rt∠，∠ACE＝∠ACE， • ∴△ACE∽△FCD；
• 由 ∠ AEC ＝ ∠ BEF ＝ Rt∠ ， ∠ ABD ＝ ∠ACE， • ∴△ACE∽△FBE. • 答案：△FCD，△FBE，△ABD
• 【归纳提升】 比例线段常由平行线产生， 利用平行线转移比例是常用的证题技巧， 当题中没有平行线条件而又必须转移比例 时，常通过添加辅助平行线达到转移比例 的目的．
针对训练 1．如图，F 为▱ABCD 边 AB 上一点，连 DF 交 AC 于 G，延长 DF 交 CB 的延长线于 E. 求证：DG· DE＝DF· EG.
证明： 在▱ABCD 中， 由 AD∥BC 得∠ADE＝∠E， ∠AGD＝∠CGE， DG AD BC 故△AGD∽△CGE，所以 EG ＝EC ＝EC， BC DF 又由 AB∥DC 得EC＝DE， DG DF 所以 ＝ ，故 DG· DE＝DF· EG. EG DE
• 题型二 相似三角形的判定与性质 • (2013· 陕西 ) 如 图， AB 与 CD 相交 于点 E ，过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线 交于点 P ，已知∠ A ＝∠ C ， PD ＝ 2DA ＝ 2 ， 则PE＝________.
•2．平行线分线段成比例定理 • 定理：三条平行线截两条直线，所得的对 应线 段 成比例 ． • 推论：平行于三角形一边的直线截其他两 边(或两边的延 长线)所得的对应线 成比例 段 ．
对点演练 已知 a∥b∥c，直线 m、n 分别与直线 a、b、c 交于点 A、B、C 和点 A′、B′、C′，如果 AB＝BC＝1， 3 A′B′＝2，则 A′C′＝________. 3 解析：∵a∥b∥c，AB＝BC＝1，∴A′B′＝B′C′＝ . 2 ∴A′C′＝A′B′＋B′C′＝3. 答案：3
比例线段和相似三角形
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3、比例的基本性质
• 其中（3）称为合比性质，（4）称为等比 性质． m 2m n 1 • 例：若 n 3 ，则 n _______
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4、黄金分割
• 如图， • 点P把线段AB分成两段AP和PB.如果，那么 称线段AB被点P黄金分割.点P叫线段AB的 黄金分割点，线段AP与AB的比值叫做黄金 比.经计算可知这一值等于 5 1 0.168 。
2
• 注意，一条线段的黄金分割点有两个。
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• 例：已知C是线段AB的黄金分割点,
•
AC 5 5 5
பைடு நூலகம்
且AC>BC,求线段AB与BC的长。
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二、相似三角形的定义：
• 一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角 形，叫做相似三角形． • 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． • ！注意： • ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个) 三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相 等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形， 即定义中的两个条件，缺一不可； • ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定 相等.
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二、相似三角形的性质：
• 如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成 比例． • （1）相似三角形对应中线之比、对应高之比、对应角平 分线之比都等于相似比； • （2）相似三角形周长之比等于相似比； • （3）相似三角形面积之比等于相似比的平方； • ！注意： • ①全等三角形一定是相似三角形的特例，其相似比k＝ 1．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边 成比例． • ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的 比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅 当它们全等时，才有k＝k′＝1．
相似三角形——比例线段
相似三角形一一比例线段教学过程-、课堂导入1举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。
如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30角的三角尺等。
2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618 这个比值有关。
你知道0.618 这个比值的来历吗？二、复习预习1、什么是两个数的比？2与一3的比；一4与6的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？2、比与比例有什么区别？3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概念吗？2 4 2 2 —4答案：1、2：（—3）=—3 ；—4：6= —6 =—3 ； 3 = 6 ，2，—3，—4，6 四个数成比例。
注意四个数字的书写顺序。
2、比是一个值；比例是一个等式。
a c3、a:b=c:d即b =d ，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。
三、知识讲解考点1比例线段a c一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d比，即b =d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
a _ c注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性•如d是线段a、b、c、d成比例，而不是线段a、c、b、d成比例。
考点2比例的性质1、 比例的基本性质： 比例式化积、积化比例式a c ad =bcb d2、 合比性质：分子加（减）分母，分母不变。
c a kb c kd匚厂— 心、2 3…）3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变a b 4、比例中项：若一二-即b 2 =a G 则b 是a,c 的比例中项。
b c= m （b d f 一一 七n =0）则 n若—-b d考点3AC _ BC在线段AB上，点C把线段分成两条线段AC和BC,如果AB「AC，那么称线段AB 被点C分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金分割比。
(完整版)相似三角形知识点及典型例题,推荐文档
相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
（6）判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： （1）（AD）2=BD·DC， （2）（AB）2=BD·BC ， （3）（AC）2=CD·BC 。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
典型例题：例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE 2＝EF·EG证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2，即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CEEF∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。