相似三角形——比例线段

教学过程
一、课堂导入
1、举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。

如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。

2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。

你知道0.618这个比值的来历吗？
二、复习预习
1、什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？
2、比与比例有什么区别？
3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概念吗？
答案：1、2：（—3）=—2
3；—4：6=—4
6=—
2
3；
2
—3=
—4
6，2，—3，—4，6四个数
成比例。

注意四个数字的书写顺序。

2、比是一个值；比例是一个等式。

3、a:b=c:d 即a
b=
c
d，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。

三、知识讲解
考点 1
比例线段
一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c
d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。

注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如d c b a ＝
是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例。

a c a k
b
c k
d b d b d
++=⇒=考点2
比例的性质
1、比例的基本性质： 比例式化积、积化比例式。

bc ad d
c
b a =⇔= 2、合比性质：分子加（减）分母,分母不变。

(k=1、2、3…)
3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变。

若)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b n m f e d c b a 则
b
a
n f d b m e c a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++。

4、比例中项：若
c a b c a b c
b
b a ,,2是则即⋅==的比例中项。

考点3
在线段AB 上，点C 把线段分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC
AB AC =
，那么称线段AB
被点C 分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫黄金分割比。

其中
618.01:215:≈-=
AC AB 即618.0≈AB AC
B
C
四、例题精析
【例题1】
【题干】已知线段a=10mm，b=6cm，c=2cm，d=3cm。

问：这四条线段是否成比例？为什么?
【答案】这四条线段成比例
∵a=10mm=1cm
∴a c ＝12 ，d b ＝36 ＝12 ∴a c ＝d
b ，即线段a 、
c 、
d 、b 是成比例线段。

【解析】直接利用比例线段的概念解答。

【例题2】
【题干】已知d
c c b a a
d c b a +=+=:,求证
【答案】证明:∵
d
c b a = ∴
c
d a b = ∴c d c a b a +=
+ ∴d
c c b a a +=
+ 【解析】利用比例的合比性质证明。

【例题3】
【题干】根据下列条件，求a:b的值。

（1）2a＝3b；（2）a
5=b 4。

【答案】解：（1）23=b a ；（2）4
5=b a 。

【解析】比例的基本性质直接运用，其中第2小题两次运用了性质，初学时易差错，要求学生重视对变形结果的检验，即变形后是否仍然满足“两内项之积等于两外项之积”。

【例题4】
【题干】已知a
b=c
d，判断下列比例式是否成立，并说明理由。

（1）a＋b
b=
c＋d
d；（2）
a
b=
a＋c
b＋d。

【答案】解：（1）成立，理由如下：
d c b a = 11+=+∴d c b a 即d
d
d c b b b a +=+
d
d
c b b a +=+∴
（2）成立，理由如下：
设k d c
b a ==，则dk
c bk a ==, k
d b d b k d b ck bk d b c a =++=++=++∴
)( d
b c
a b a ++=∴ 【解析】（1）比较条件和结论的形式得到解题思路，利用等式的基本性质；
（2）采用设比值较为简单，其实质就是等比性质。

【例题5】
【题干】如图，设AB是已知的线段，在AB上作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，
延长DA至F，使EF=EB，以线段AF为边作正方形AFGH，请说明点H就是AB的
黄金分割点。

【答案】证明：设AB=2a ，那么在a a a AE AB BE BAE Rt 5)2(,2
222=+=+=∆中
a AH AB BH a AE BE AF AH a BE EF )53(,)15(,5-=-=-=-==== ，
,2152)15(-=-=∴
a a AB AH ,2
1
5)15()53(-=--=a a AH BH 因此
,AH
BH
AB AH =点H 是AB 的黄金分割点。

【解析】利用黄金分割点的定义证明。

五、课堂运用【基础】
1、（1）已知线段a＝30mm，b＝2cm，c＝4
5cm，d＝12mm，试判断a、b、c、d是否成
比例线段。

（2）已知a、b、c、d是比例线段，其中a＝6cm，b＝8cm，c＝24cm,则线段d的长度是多少？
【答案】解：（1）a 、b 、c 、d 不是成比例线段，理由如下： ∵ b ＝2cm=20mm, c ＝4
5 cm=8mm
∴3
2128,232030====d c b a ∴d c b a ≠
∴a 、b 、c 、d 不是成比例线段，但是a 、b 、d 、c 成比例线段。

（2）∵a 、b 、c 、d 是比例线段 ∴4
3
86==b a
∴4386==b a ∴4
324==d b a ∴cm d 32= 即线段d 的长度是32cm 。

【解析】利用成比例线段的概念解答。

2、若2x-3y x+y =12 ，求y x 。

【答案】 解：∵2x-3y x+y =1
2
∴ x+y=2(2x-3y)
∴x+y=4x-6y ∴3x=7y ∴7
3
x y
【解析】根据比例的基本性质，利用方程思想解答。

【巩固】
1、若x2-3xy+2y2=0，求y
x= 。

【答案】
2
1或1 【解析】：∵x 2
-3xy+2y 2
=0 ∴（x-y ）（x-2y ）=0 ∴x=y 或x=2y ∴2
1
x y 或1。

根据比例
的基本性质，利用方程思想解答。

2、如图，是我国台湾省的几个城市的位置图，问基隆市在高雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距离是多少km？
【答案】解：从图上量出高雄市到基隆市的距离约35mm,设实际距离为s ，则
3519000000s =
359000000s ∴=⨯=315000000(mm)
即s ＝315(km)
量得图中28α∠=︒,我们还能确定基隆市在高雄市的北偏东28︒的315km 处。

答：基隆市在高雄市的北偏东28︒的315km 处。

【解析】利用比例尺的概念及比例线段的定义解答，要注意设实际距离为s ，求角度时要注意方位。

()a b b c c a
k a b c c a b
+++===、、都是实数 1、
，则k=（ ）
A 、2
B 、-1
C 、2或-1
D 、无法确定
【解析】当a+b+c=0时，a+b=-c ，b+c=-a,c+a=-b ，故1-=+=+=+b
c
a a c
b
c b a ；当 a+b+c ≠0时，利用等比性质
2)
(2=++++=+=+=+c
b a
c b a b c a a c b c b a ，所以k=-1或2。

2、（1）x:y:z＝2:3:4，求
x－y＋z
2x＋3y－z
的值。

（2）已知a:b:c＝3:4:5，且2a＋3b－4c＝－1，求2a－3b＋4c的值。

【答案】解：（1）设x=2k,y=3k,z=4k ，则
x －y ＋z 2x ＋3y －z
=
3
1
9343322432==-⨯+⨯+-k k k k k k k k ；
（2）设a=3k,b=4k,c=5k ，则2a ＋3b －4c ＝2×3k+3×4k-4×5k=-2k=-1,所以k 2
1=
故2a －3b ＋4c=2×3k-3×4k+4×5k=14k=7。

【解析】利用设比的方法进行解答。

课程小结
1、理解并掌握比例线段的概念以及比例的性质；
2、比例式变形的常用方法：(1)利用等式性质；(2)设比值。

3、比例线段在实际问题中的应用，体会数学在生活中广泛的应用价值。