必修2 立几初步

必修2 第一章 立体几何初步
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解析： (1)由三视图知该几何体是由一个圆 柱与一个等底圆锥拼接而成的组合体，其直 观图如图所示．
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(2)由三视图中的尺寸知， 组合体下部是底面直径为 8 cm， 高为 20 cm 的圆柱， 上部为底面直径为 8 cm， 母线长为 5 cm 的圆锥． 易求得圆锥高 h＝ 52－42＝3(cm)， 1 2 2 ∴体积 V＝π·4 · 20＋ π·4 · 3＝336π(cm3)， 3 表面积 S＝π·42＋2π·4·20＋π·4·5 2 ＝196π(cm )． ∴该几何体的体积为 336π cm3， 表面积为 196π cm2.
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(3)判定面面垂直的方法： ①根据定义(作两平面构成二面角的平面角， 计 算其为 90° )； ②面面垂直的判定定理(α⊥β，aα⇒α⊥β)． 4．垂直关系的转化：
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如图所示，在四棱锥 P－ ABCD 中， 侧面 PAD 是正三 角形， 且与底面 ABCD 垂直， 底面 ABCD 是边长为 2 的菱 形，∠BAD＝60° ，N 是 PB 的中点，过 A，D，N 的平 面交 PC 于 M，E 为 AD 的中点．求证： (1)EN∥平面 PDC； (2)BC⊥平面 PEB； (3)平面 PBC⊥平面 ADMN.
该部分要求能灵活地解决与空间图形 的表面积与体积相关的计算问题，尤 其要重视球内接棱柱、棱锥的相关的 计算问题.
点、直线、平面之间的位置关系主要 包括空间线线、线面、面面的基本关 点、线、 系与基本定理，它是解决立体几何中 面的位 推理和计算问题的基础，主要涉及转 置关系 化与化归、数形结合等思想，突出考 查学生的空间想象力、逻辑思维能力.
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共点、共线、共面问题
1．证明共面问题 证明共面问题，一般有两种证法．一是由 某些元素确定一个平面，再证明其余元素 在这个平面内；二是分别由不同元素确定 若干个平面，再证明这些平面重合．
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2．证明三点共线问题 证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在 两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个 平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的 公共点，当然必在两个平面的交线上． 3．证明三线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一 点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化 为证明点在直线上的问题．
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2．三视图画法：它包括主视图、左视图、 俯视图三种．画图时要遵循“高平齐、长对 正、宽相等”的原则，同时还要注意被挡住 的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出．
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一几何体的三视图如图所示．
(1)说出该几何体的结构特征并画出直观图； (2)计算该几何体的体积与表面积．
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(2)判定线面垂直的方法： ①线面垂直定义(一般不易验证任意性)； ②线面垂直的判定定理(a⊥b， a⊥c， bα， cα， b∩c＝M⇒a⊥α)； ③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥ α)； ④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，aβ，a⊥l ⇒a⊥α)； ⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)； ⑥面面垂直的性质(α∩β＝l， α⊥γ， β⊥γ⇒l⊥γ)．
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如图，已知直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面是 菱形，且∠DAB＝60° ，AD＝AA1，F 为棱 BB1 的中点，M 为线段 AC1 的中点． (1)求证：直线 MF∥平面 ABCD； (2)求证：平面 AFC1⊥平面 AC1A1.
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柱、锥、台、球及其简单组合体的结 构特征以及直观图、三视图等内容是 立体几何的基础，也是研究空间问题 的载体，其中三视图是新课标增加的 内容，这些都是高考重点考查的内容， 考生要能根据三视图判断空间图形， 又能根据空间图形画出三视图，并能 掌握三视图之间的规律.
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空间几 何体的 表面积 与体积
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空间几何体的三视图与直观图
1．斜二测画法：主要用于水平放置的平面图 画法或立体图形的画法．它的主要步骤：①画 轴；②画平行于x，y，z轴的线段分别为平行 于x′，y′，z′轴的线段；③截线段；平行于x，z 轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长 度变为原来的一半．
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平行与 垂直关 系的判 定与性 质
该部分主要以线面平行(垂直)为核心，以 多面体为载体，结合平面几何知识，考 查空间中的平行(垂直)的判定与性质定理、 定义等内容，同时考查图形辨别、元素 的位置关系、逻辑推理、三种数学语言 的转化等能力和空间想象的能力.
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如右图，空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，AD 的中点，G，H 分别在 BC， CD 上，且 BG∶GC＝ DH∶HC＝1∶2. 求证：(1)E，F，G，H 四点 共面； (2)GE 与 HF 的交点在直线 AC 上．
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(2)因为 ABCD 是边长为 2 的菱形， 且∠BAD＝60° ， 所以 BE⊥AD.又因为 PE⊥AD，PE∩BE＝E， 所以 AD⊥平面 PEB. 因为 AD∥BC，所以 BC⊥平面 PEB. (3)由(2)知 AD⊥PB， 又因为 PA＝AB 且 N 为 PB 的中点， 所以 AN⊥PB，又 AD∩AN＝A， 所以 PB⊥平面 ADMN. 又 PB平面 PBC， 所以平面 PBC⊥平面 ADMN.
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证明： 如图， 延长 C1F 交 的延长线于点 N， 连结 AN. ∵F 是 BB1 的中点， 为 CN 的中点， 为 C1N ∴B F 的中点． 又∵M 是线段 AC1 的中点， ∴MF∥AN， 又∵M 平面 ABCD， AN平面 ABCD， ∴MF∥平面 ABCD.
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证明： (1)∵BG∶GC＝DH∶HC， ∴GH∥BD.又 EF∥BD， ∴EF∥GH， ∴E，F，G，H 四点共面． (2)∵G，H 不是 BC，CD 的中点， ∴EF≠GH. 又 EF∥GH， ∴EG 与 FH 不平行，则必相交，设交点为 M. EG面ABC ⇒M∈面 ABC 且 M∈面 ACD⇒M HF面ACD 在面 ABC 与面 ACD 的交线上⇒M∈AC.
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证明： (1)因为 AD∥BC，BC平面 PBC， A 平面 PBC，所以 AD∥平面 PBC， 又平面 ADMN∩平面 PBC＝MN， 所以 AD∥MN，所以 MN∥BC. 因为 N 为 PB 的中点，所以 M 为 PC 的中点， 1 所以 MN∥BC，且 MN＝ BC. 2 又 E 为 AD 的中点， 所以四边形 DENM 为平行四边形． 所以 EN∥DM. 又 E 平面 PDC，DM平面 PDC， 所以 EN∥平面 PDC.
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(2)连结 BD， 由直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 可知，A1A⊥平面 ABCD， 又∵BD平面 ABCD， ∴A1A⊥BD. ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AC⊥BD. 又∵AC∩A1A＝A， AC、A1A平面 ACC1A1， ∴BD⊥平面 ACC1A1. ∵在四边形 DANB 中，DA∥BN，且 DA＝BN， ∴四边形 DANB 为平行四边形，∴NA∥BD. ∴NA⊥平面 ACC1A1.又∵NA平面 AFC1， ∴平面 AFC1⊥平面 ACC1A1.即平面 AFC1⊥平面 AC1A1.
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空间几何体的面积和体积问题
求简单几何体的表面积和体积是一类基本 而又重要的题型，熟记这些公式并能灵活 应用，能求由这些简单几何体组成的组合 体的面积和体积．
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1．降维转化 在线、面、体几个元素中，体是最复杂的，而 线是最简单的．如果我们能将几何体问题转换 为平面问题，或者将平面问题转化为直线问题 去解决，便可达到化难为易的目的．
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平行问题与垂直问题 1．空间平行关系的判定方法： (1)判定线线平行的方法． ①利用线线平行的定义证共面而且无公共点(结合 反证法)； ②利用平行公理； ③利用线面平行性质定理； ④利用线面垂直的性质定理(若a⊥α，b⊥α，则 a∥b)； ⑤利用面面平行性质定理(若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ ＝b，则a∥b)．
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2．等积变换 三棱锥是最简单的几何体，它的每一个顶点均 可作为棱锥的顶点．每个面均可作为棱锥的底 面．因此多角度观察图形，适当进行换底的等 积变换，便可简化求解过程．
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△ABC 中，∠C＝90° ，∠B＝30° ，AC＝2，M 是 AB 中点，将△ACM 沿 CM 折起，使 A、B 间距离为 2 2，求三棱锥 A－BCM 的体积．
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3.会用平行投影与中心投影两种 方法画出简单空间图形的三视图 空间几何 与直观图，了解空间图形的不同 体的结构 表示形式. 及三视图 4.会画某些建筑物的视图与直观 图(在不影响图形特征的基础上， 尺寸、线条等不作严格要求).
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已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R，在它的 所有内接圆柱中，全面积的最大值是( ) 9 2 2 A．2πR B. πR 4 8 2 3 2 C. πR D. πR 3 2