[2013高三数学]第90课时-抛物线的标准方程和几何性1
抛物线的简单几何性质课件
生活中的抛物线结构
总结词
在建筑、工程和设计等领域中利用抛物线形状的结构。
详细描述
在现实生活中，抛物线结构被广泛应用于建筑、工程和 设计等领域。例如，在建筑设计中，抛物线形状的屋顶 可以有效地排水并保持适当的角度，以适应当地的气候 条件。在工程领域，抛物线结构可以用于桥梁设计，以 实现最佳的承重能力和稳定性。此外，在艺术和装饰领 域，抛物线结构也被广泛使用，如抛物线形状的雕塑和 装饰品等。
抛物线的简单几何பைடு நூலகம்质课件
目录
• 抛物线的定义 • 抛物线的性质 • 抛物线的应用 • 抛物线的几何性质 • 抛物线的画法
01
抛物线的定义
什么是抛物线
定义1
抛物线是一种二次曲线，它的一 般形式是 y2 = 2px，其中p>0。
定义2
抛物线是指满足y^2=2px(p>0) 形式的曲线。当p>0时，抛物线 开口向右，当p<0时，抛物线开 口向左。
抛物线的标准方程
01
抛物线的标准方程是 y^2 = 2px ，其中 p 是焦准距，x 是自变量 ，y 是因变量。
02
焦准距 p 决定了抛物线的形状和 位置。p 越大，抛物线的开口越 窄，p 越小，抛物线的开口越宽 。
抛物线的焦点与准线
焦点：对于开口向右的抛物线，焦点坐标为 (p, 0)，对于开口向左的抛物 线，焦点坐标为 (-p, 0)。
使用数学软件绘制抛物线
MATLAB
MATLAB 是一种流行的数学软 件，可以轻松地绘制各种图形， 包括抛物线。只需使用 MATLAB 的图形功能，输入抛物线的方程
即可。
GeoGebra
GeoGebra 是一款流行的几何 软件，提供了丰富的几何工具，
抛物线及其标准方程(优秀课件)
抛物线与圆的 焦点与准线： 对于抛物线， 焦点在准线上； 对于圆，焦点
在圆外
抛物线与圆的 离心率：对于 抛物线，离心 率恒为1；对 于圆，离心率
恒为0
抛物线的应用与拓展
第七章
抛物线在几何中的应用
● 定义与性质：抛物线是一种特殊的二次曲线，具有对称性和准线等性质。 ● 方程与标准形式：抛物线的方程有多种形式，其中最常用的是标准方程y^2=4px。 ● 焦点与准线：抛物线的焦点位于其对称轴上，准线则是垂直于对称轴的直线。 ● 离心率：抛物线的离心率始终为1，这是其与椭圆和双曲线的重要区别。 ● 焦半径公式：对于抛物线上的任意一点P，其到焦点F的距离PF等于到准线L的距离PL。 ● 焦点弦长公式：对于抛物线上的任意两点AB，其到焦点的距离之和AF+BF等于到准线的距离之和AL+BL。 ● 切线性质：抛物线上任意一点的切线与该点的射影垂直，且切线斜率等于该点横坐标的平方根。 ● 切线方程：抛物线上任意一点的切线方程可以表示为y=kx^2，其中k为切线斜率。 ● 切线与准线的关系：抛物线上任意一点的切线与准线平行，且切线与准线的距离等于该点到焦点的距离。 ● 切线与直线的交点：抛物线上任意一点的切线与过该点的直线交于一点，该点坐标为(x0,y0)。
抛物线及其标准方 程
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 抛物线的定义与性质 03 抛物线的标准方程 04 抛物线的几何意义与图像特征 05 抛物线与直线的关系
06 抛物线与圆的关系
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第一章
抛物线的定义与性质
《选修11：抛物线的标准方程和几何性质》教案
适用学科高中数学适用年级高二适用区域 苏教版区域课时时长（分钟）2 课时知识点 抛物线的标准方程和几何性质教学目标1.掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程．(重点) 2．掌握抛物线的标准方程和几何性质．(重点)教学重点1．抛物线标准方程与定义的应用．(难点) 2．会用抛物线的几何性质处理简单问题．(难点)教学难点1．抛物线标准方程、准线、焦点的应用．(易错点) 2．直线与抛物线的公共点问题．(易错点)【教学建议】 本节课是在学习了椭圆和双曲线之后，学生在学习方法上已经有了一定的经验，所以教师可 以让学生尝试自主学习，探究抛物线的定义和方程的推导过程。
自己来总结几何性质。
【知识导图】教学过程一、导入1.教材整理 抛物线的标准方程 2.教材整理 1 抛物线的几何性质 阅读教材 P52 表格的部分，完成下列问题. 3. 抛物线标准方程的推导 4. P 的几何意义二、知识讲解考点 1类型抛物线的标y2准＝2方px程(p>和0) 几何性质y2＝－2px(p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py(p>0)第1页考点 图2 象抛物线的焦点弦焦点 准线性范围质对称轴顶点离心率开口方向F p 2,0 x＝－p2x≥0，y∈Rx轴向右F p 2, 0x＝p2x≤0，y∈Ry轴F 0,p 2 y＝－p2x∈R， y≥0O(0,0)e＝1向左向上F 0,p 2 y＝p2x∈R， y≤0向下阅读教材 P52 例 1 上面的部分，完成下列问题．抛物线的焦点弦即为过焦点 F 的直线与抛物线所成的相交弦．弦长公式为 AB x1 x2 p ，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦的弦长最短，A0B0 2 p 称为抛物线的通径．三 、例题精析 类型一 求抛物线的焦点及准线例题 1 (1)抛物线 2 y2 3x 0 的焦点坐标是_______________准线方程是________．(2)若抛物线的方程为 y ax2 a 0 ，则抛物线的焦点坐标为_______，准线方程为______． 【解析】(1)抛物线 2y2－3x＝0 的标准方程是 y2＝32x，∴2p＝32，p＝34，p2＝38，焦点坐标是38，0，准线方程是 x＝－38.(2)抛物线方程 y＝ax2(a≠0)化为标准形式：x2＝1ay，第2页当 a>0 时，则 2p＝1a，解得 p＝21a，p2＝41a，∴焦点坐标是0，41a，准线方程是 y＝－41a.当 a<0 时，则 2p＝－1a，p2＝－41a.∴焦点坐标是0，41a，准线方程是 y＝－41a， 综上，焦点坐标是0，41a，准线方程是 y＝－41a. 【答案】 (1)38，0 x＝－38；(2)0，41a y＝－41a求抛物线的焦点及准线步骤 1．把解析式化为抛物线标准方程形式． 2．明确抛物线开口方向． 3．求出抛物线标准方程中 p 的值． 4．写出抛物线的焦点坐标或准线方程．类型二 ：求抛物线的标准方程例题 2根据下列条件确定抛物线的标准方程． (1)关于 y 轴对称且过点(－1,－3)； (2)过点(4,－8)； (3)焦点在 x－2y－4＝0 上． 【精彩点拨】 (1)用待定系数法求解；(2)因焦点位置不确定，需分类讨论求解；(3)焦 点是直线 x－2y－4＝0 与坐标轴的交点，应先求交点再写方程． 【解析】 (1)法一：设所求抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)，将点(－1，－3)的坐标代入 方程，得(－1)2＝－2p·(－3)，解得 p＝16，所以所求抛物线方程为 x2＝－13y. 法二：由已知，抛物线的焦点在 y 轴上，因此设抛物线的方程为 x2＝my(m≠0)．又抛物( ) 线过点 －1，－3 ，所以 1＝m·(－3)，即 m＝－13，所以所求抛物线方程为 x2＝－13y.(2)法一：设所求抛物线方程为 y2＝2px(p>0)或 x2＝－2p′y(p′>0)，将点(4，－8) 的坐标 代入 y2＝2px，得 p＝8；将点(4，－8)的坐标代入 x2＝－2p′y，得 p′＝1.所以所求抛物线方程第3页为 y2＝16x 或 x2＝－2y. 法二：当焦点在 x 轴上时，设抛物线的方程为 y2＝nx(n≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以 64＝4·n，即 n＝16，抛物线的方程为 y2＝16x；当焦点在 y 轴上时，设抛物线的方程为 x2＝my(m≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以 16＝－8m，即 m＝－2，抛物线的方程为x2＝－2y. 综上，抛物线的标准方程为 y2＝16x 或 x2＝－2y. x＝0， x＝0， y＝0， y＝0，(3)由得由得x－2y－4＝0， y＝－2， x－2y－4＝0， x＝4.所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．当焦点为(0，－2)时，由p2＝2，得 p＝4，所以所求抛物线方程为 x2＝－8y；当焦点为(4,0)时，由p2＝4，得 p＝8，所以所求抛物线方程为 y2＝16x.综上所述，所求抛物线方程为 x2＝－8y 或 y2＝16x.【总结与反思】求抛物线的标准方程求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的 p 值，从而求出方程．(1)定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程．(2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数值．①对于对称轴确定，开口方向也确定的抛物线，根据题设中的条件设出其标准方程：y2 2px p 0, y2 2px p 0, x2 2py p 0, x2 2px p 0 进 行 求解，关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法求出其标准方程．②对于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线：当焦点在 x 轴上时，可将抛物线方程设为 y2 axa 0 ；当焦点在 y 轴上时，可将抛物线方程设为 x2 ay a 0 ，再根据条件求 a .第4页类型三 抛物线的标准方程及定义的应用例题 3(1)设 P 是曲线 y2＝4x 上的一个动点，求点 P 到点 B(－1,1)的距离与点 P 到直线 x＝－1 的距离之和的最小值．(2)已知抛物线 y2＝2x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，求 PA＋PF 的最小值，并求出取得最小值时点 P 的坐标． 【解析】(1)∵抛物线的顶点为 O(0,0)，p＝2，∴准线方程为 x＝－1，焦点 F 坐标为(1,0)，∴点 P 到 点 B(－1,1)的距离与点 P 到准线 x＝－1 的距离之和等于 PB＋PF.如图，PB＋PF≥BF，当 B， P，F 三点共线时取得最小值，此时 BF＝ 5.(2)将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6. ∵ 6>2，∴A 在抛物线内部． 设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－12的距离为 d，由定义知 PA＋PF＝PA＋d.由图可知，当 AP⊥l 时，PA＋d 最小，最小值为72，即 PA＋PF 的最小值为72，此时点 P 的纵坐标为 2，代 入 y2＝2x，得 x＝2，∴点 P 的坐标为(2,2)． 【总结与反思】 (1)把点 P 到准线的距离转化为点 P 到焦点 F 的距离，利用 PB＋PF≥BF 求解．(2)把点 P 到 焦点 F 的距离转化为点 P 到准线的距离，利用垂线段时最短求解．类型四：抛物线的几何性质例题 4x2 (1)已知双曲线 C1 ： a2y2 b2 1 a 0,b 0 的离心率为2.若抛物线 C2: x2 2py p 0的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为________．(2)已知抛物线的焦点 F 在 x 轴正半轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于 A，B第5页两点，O 是坐标原点，若△OAB 的面积等于 4，则此抛物线的标准方程为________．【自主解答】(1)∵双曲线 C1 :x2 a2y2 b2 1 a 0,b 0 的离心率为 2，∴双曲线的渐近线方程为3xy0，∴抛物线 C2：x22 py p0的焦点 0,p 2 到双 曲线的渐近线的距离为3×20±p2＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为 x2 16 y .(2)不妨设抛物线的方程为 y2 2 px ，如图所示，AB 是抛物线的通径，∴AB＝2p，又 OF＝12p，∴SOAB1 2AB OF1 22p1 2p1 2p24p22所以抛物线的方程为 y2 4 2x【答案】 (1) x2 16 y ； (2) y2 4 2x类型五 抛物线的最值问题例题求抛物线 y＝－x2 上的点到直线 4x＋3y－8＝0 的最小距离. 【精彩点拨】 本题的解法有两种：法一，设 P(t，－t2)为抛物线上一点，点 P 到直线 |4t－3t2－8|的距离为 d＝ 5 ，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线 4x＋3y＋m＝0 与直 线 4x＋3y－8＝0 平行且与抛物线相切，求出 m 的值后，再利用两平行线间的距离公式求最 小距离．【解析】 法一：设 P(t，－t2)为抛物线上的点， 它到直线 4x＋3y－8＝0 的距离|4t－3t2－8| |3t2－4t＋8| d＝ 5 ＝ 5 ∴当 t＝23时，d 有最小值43. 法二：如图，设与直线 4x＋3y－8＝0 平行的抛物线的切线方程为 4x＋3y＋m＝0，第6页 y＝－x2， 由4x＋3y＋m＝0，消去 y 得 3x2－4x－m＝0，∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－43.∴最小距离为－85＋43＝2530＝43.类型六 抛物线的焦点弦例题 6已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，且 AB＝52p，求 AB 所在的直线方程．【精彩点拨】 求 AB 所在直线的方程的关键是确定直线的斜率 k，利用直线 AB 过焦 点 F，AB＝x1＋x2＋p＝52p 求解．【解析】 由题意可知，抛物线 y2＝2px(p>0)的准线为 x＝－p2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B 到抛物线准线的距离分别为 dA，dB. 由抛物线的定义，知 AF＝dA＝x1＋p2，BF＝dB＝x2＋p2， 于是 AB＝x1＋x2＋p＝52p，∴x1＋x2＝32p. 当 x1＝x2＝p2时，AB＝2p<52p，故直线 AB 与 x 轴不垂直．设直线AB的方程为yk xp 2 由 yk x y22 pxp 2 ，k 2 x2pk2 2x 1 k2 p2 0 4故直线AB的方程为y2 xp 2 2xp或y2 xp 2 2xp类型七 直线和抛物线的位置关系例题 7第7页求过定点 P(0,1)且与抛物线 y2＝2x 只有一个公共点的直线方程． 【教学点拨】 当直线和抛物线只有一个公共点时，应该有两种情况：一是直线和抛物线相切；二是直线与抛物线的对称轴平行，容易忽略的是第二种情况，还有第一种情况中应考虑斜率不存在的情形． 【解析】 若直线的斜率不存在，则过点 P(0,1)的直线方程为 x＝0. x＝0， x＝0，由得y2＝2x， y＝0，∴直线 x＝0 与抛物线只有一个公共点；若直线的斜率存在，则由题意，设直线的方程为 y＝kx＋1. y＝kx＋1， 由消去 y 得 k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.y2＝2x，当 k＝0 时，有x＝21， y＝1，即直线 y＝1 与抛物线只有一个公共点；当 k≠0 时，有 Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，∴k＝12，即方程为 y＝12x＋1 的直线与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求直线的方程为 x＝0 或 y＝1 或 y＝12x＋1.四 、课堂运用1.设抛基物础线的顶点在原点，准线方程 x＝－2，则抛物线的方程是________．2．抛物线 y＝ax2 的准线方程是 y＝2，则 a 的值是________. 3.过抛物线 y2＝4x 的焦点作直线与抛物线相交于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若 x1＋x2＝8， 则 PQ 的值为________. 4.直线 l：y＝x＋b 与抛物线 C：x2＝4y 相切于点 A，则实数 b 的值为________第8页答案与解析 1.【答案】 y2＝8x 【解析】由准线方程 x＝－2，顶点在原点，可得抛物线焦点为 F(2,0)，p＝4.故所求抛物线 方程为 y2＝8x.2. 【答案】a＝－18. 【解析】抛物线的标准方程为 x2＝1ay.则 a＜0 且 2＝－41a，得 a＝－18.3. 【答案】10 【解析】PQ＝x1＋x2＋2＝10.4. 【答案】-1【解析】 y＝x＋b， 由得 x2－4x－4b＝0，x2＝4y，因为直线 l 与抛物线 C 相切，所以 Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得 b＝－1.巩固1.若抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，动点 P 在曲 线 y2＝－4x(y≥0)上，求△PAB 的面积的最小值． 2.已知抛物线的方程为 y2＝－8x.(1)求它的焦点坐标和准线方程； (2)若该抛物线上一点到 y 轴的距离为 5，求它到抛物线的焦点的距离； (3)该抛物线上的点 M 到焦点的距离为 4，求点 M 的坐标．3.已知抛物线 y＝4x2 上一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的坐标是_______ 4.抛物线 y2＝4x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若 AB＝4 3，则焦点到弦 AB 的距离为________．答案与解析 1.【答案】2 2.【解析】 由题意，得 p＝2，直线 AB 过抛物线的焦点(1,0)，所以直线 AB 的方程为 y＝x y＝x－1， －1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y2＝4x，可得 x2－6x＋1＝0，第9页所以 x1＋x2＝6，x1x2＝1，则 AB x1 x2 2 y1 y2 2 1 k 2 x1 x2 2 4x1 x2 =8设P－y420，y0，则点P到直线AB的距离为y420＋y0＋1d＝，∴△PAB2的面积S＝12AB·d ＝|y20＋4y0＋4|＝ y0 2 2 ≥2 2，即△PAB 的面积的最小值是 2 2.222. 【答案】 【解析】(1)焦点坐标为(－2,0)，准线方程为 x＝2. (2)设 M(x0，y0)是抛物线 y2＝－8x 上一点，F 是它的焦点，由抛物线定义知，|MF|＝x0＋p2＝5＋2＝7.∴它到抛物线焦点的距离为 7. (3)∵M 到焦点的距离为 4，∴M 到准线的距离为 4，即 M 到 y 轴的距离为 2，M 的横坐标为－2.∴M 的坐标为(－2，±4)．3. 【答案】± 815，1156. 【解析】 设 M(x0，y0)，把抛物线 y＝4x2 化为标准方程，得 x2＝14y. 则其准线方程为 y＝－116，由抛物线的定义，可知 y0－－116＝1，得 y0＝1156，代 入抛物线的方程，得 x02＝14×1156＝1654，解得 x0＝± 815，则 M 的坐标为± 815，1156.4. 【答案】2【解析】由题意我们不妨设 A(x,2 3)，则(2 3)2＝4x，∴x＝3，∴直线 AB 的 方程为 x＝3，抛物线的焦点为(1,0)，∴焦点到弦 AB 的距离为 2.拔高1.在抛物线 y2＝16x 内，过点(2,1)且被此点平分的弦 AB 所在直线的方程是________. 2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上，抛物线上的点 M(－3，m)到焦点的距离等于 5， 求抛物线的标准方程和 m 的值． 3.如图 2-4-1 所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成， 为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5 米．第 10 页图2-4-1(1)以抛物线的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？(精确到0.1米) 4.已知抛物线y 2＝2px (p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程． 答案与解析1.【答案】 y ＝8x －15【解析】显然斜率不存在时的直线不符合题意．设直线斜率为k ，则直线方程为()12y k x -=-①，由()21216y k x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩消去x 得()21616120ky y k -+-= 8k ∴=，代入①得815y x =-.2. 【答案】抛物线方程为y 2＝－8x ；m ＝±2 6.【解析】法一：由题意可设抛物线方程为y 2＝－2px(p>0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0， 因为点M 在抛物线上，且MF ＝5，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎫3－p22＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝4，m ＝26或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ，m 的值为±2 6.法二：由题可设抛物线方程为y 2＝－2px(p>0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0，准线方程为x ＝p2， 根据抛物线的定义，点M 到焦点的距离等于5，也就是M 到准线的距离为5， 则3＋p2＝5，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x.又点M(－3，m)在抛物线上， ∴m 2＝24，∴m ＝±2 6. 3. 【答案】4.1米【解析】 如图所示：(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py(p ＞0)， 因为点C(5，－5)在抛物线上，所以p ＝52.所以该抛物线的方程为x 2＝－5y. (2)设车辆高h ，则DB ＝h ＋0.5， 故D(3.5，h －6.5)，代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.1米. 4. 【答案】抛物线方程为y 2＝455x. 【解析】 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0(舍)或x ＝2p k2，∴A 点坐标为⎝⎛⎭⎫2p k 2，2p k ，B 点坐标为(2pk 2，－2pk)， 由|OA|＝1，|OB|＝8，可得()2242221414164k p k p k k ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解方程组得664k =，即24k =.则()22216451p k k ==+，又p>0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x.1. 抛物线的标准方程和几何性质五 、课堂小结2. 抛物线的几何性质的应用3. 焦点弦长公式4. 抛物线中的最值问题1．抛物线x 2＝2y 上的点M 到其焦点F 的距离MF ＝52，则点M 的坐标是________．2．已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．3．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．4．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A(2,1)．若线段OA 的垂直平分线过抛物线 y 2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________． 答案与解析 1.【答案】 (±2,2)【解析】 设点M(x ，y)，抛物线准线为y ＝－12，由抛物线定义， y －⎝⎛⎭⎫－12＝52，y ＝2，所以x 2＝2y ＝4，x ＝±2，所以点M 的坐标为(±2,2)． 2. 【答案】54【解析】 如图，由抛物线的定义知，AM ＋BN ＝AF ＋BF ＝3，CD ＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54，即C 到y 轴的距离为54.3. 【答案】 y 2＝8x【解析】设动圆半径为r ，动圆圆心O′(x ，y)到点(2,0)的距离为r ＋1.O′到直线x ＝－1的距离为r ，∴O′到(2,0)的距离与O′到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知动圆圆心的轨迹方程为y 2＝8x.六 、课后作业 基础4.【答案】 x ＝－54【解析】 由题意可求出线段OA 的垂直平分线交x 轴于点⎝⎛⎭⎫54，0，此点为抛物线的焦点，故准线方程为x ＝－54.1.（苏北三市三模）6．已知点F 为抛物线24y x =的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为 ▲ ．2．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22y px =经过点()42， ，则实数p = ▲ ．3.(南京盐城一模)6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点(1,3)P ，则其焦点到准线的距离为 ▲ .4.（苏北四市期末）7．抛物线24y x =的焦点到双曲线221169x y -=渐近线的距离为 ▲ ．答案与解析1.【答案】43【解析】联立方程求A 点坐标，再求斜率。
抛物线的定义及标准方程
（二）四种抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2 2 px
p 0
p ,0 2
x p 2
y2 2 px
p 0
p ,0 2
x p 2
图
x2 2 py 0, p
p 0 2
y p 2
x2 2 py 0, p
p 0 2
y p 2
（三）区别与联系
1、四种形式标准方程及图像的共同特征
a
其中 2 p 1
a
①当a>0时,
p 2
=
1 4a
,抛物线的开口向上
焦点坐标是（0 ， ）41a ，准线方程是： y=
1 4a
②当a<0时, p
2
=
1 ,抛物线的开口向下
4a
焦点坐标是（0 ，4）1a ，准线方程是： y=
1 4a
作业
P73 A组 ：1,2（必做）
补充：求经过点p（4，-2）的抛物线 的标准方程。
y 2 2 px y2 2 px x2 2 py x2 2 py
p 0 p 0 p 0 p 0
（1）、二次项系数都化成了_______ 1
（2）、四种形式的方程一次项的系数都含2p
（3）、四种抛物线都过____点 O；焦点与准线分别位于此点的两
侧，且离此点的距离均为____
p
2
二、四种形式标准方程及图像的区别
经反射聚集到焦点处。已知接收天线的口径为 4.8m,深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物 线的标准方程和焦点坐标。
小结
1.理解抛物线的定义, 2.掌握抛物线的标准方程的四种形式以及P的 几何意义.
3.注重数形结合、分类讨论思想的应用
3.3.2抛物线的简单几何性质(第1课时)课件(人教版)
关于x轴
对称
( x, y )
O
•
F
(
p
,0)
2
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，
则 (-y)2 = 2px
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
x
3.顶点
定义：抛物线与它的对称轴的交
y
点叫做抛物线的顶点.
y2
= 2px (p>0)中，
叫做抛物线的焦半径.
y
焦半径公式：
p
MF x0
2
H
y2 = 2px
d
M (x0,y0)
O
•
F( p ,0) x
2
方程 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py
图
形
y
l
M
O F
M
x
F
y
y
l
O
F M
x
O
l
焦半
径
y
x
O
F
l
M x
p
p
p
p
MF x0
MF
例4.斜率为1的直线 l 经过抛物线
且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.
解:F(1,0),直线l:y=x-1
y x 1
由 2
消y得：x 2 6 x 1 0
y 4xyA来自oFB
法2：设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
x1 x2 6
x1 x2 1
由 2
y 4x
高中数学抛物线的几何性质总结课件
准线上的点到抛物线焦点的距离相等 。
抛物线的离心率与焦距的关系
01
02
03
04
离心率
抛物线的离心率等于1。
焦距
抛物线的焦距等于2p，其中p 是抛物线的准线到焦点的距离
。
关系
离心率与焦距之间存在直接关 系，离心率越大，焦距越小；
离心率越小，焦距越大。
应用
了解离心率与焦距的关系有助 于解决一些与抛物线相关的几
将直线方程代入抛物线方 程，得到一元二次方程， 利用判别式非负求出交点 。
参数方程法
设定参数表示交点的坐标 ，代入抛物线方程和直线 方程，解出参数。
交点的性质
对称性
抛物线与直线交点的对称 性取决于抛物线的对称性 和直线的斜率。
唯一性
当直线与抛物线相切时， 交点唯一；当直线与抛物 线相交时，交点可能有两 个。
02
抛物线的几何性质
抛物线的对称性
总结词
抛物线具有对称性，其对称轴是 抛物线的准线。
详细描述
抛物线关于其准线对称，这意味着 对于抛物线上的任意一点P，其关 于准线的对称点也在抛物线上。
数学表达
如果点P(x,y)在抛物线上，那么点 P'(-x,-y)也在抛物线上。
抛物线的范围
01
总结词
抛物线在x轴上方的部分是连续且封闭的。
何问题。
THANK YOU
感谢各位观看
02 03
详细描述
对于开口向上的抛物线，其顶点是最低点，对于开口向下的抛物线，其 顶点是最高点。抛物线在x轴上方的部分是连续且封闭的，形成一个完 整的图形。
数学表达
对于标准形式的抛物线y=ax^2+bx+c，当a>0时，顶点为最低点；当 a<0时，顶点为最高点。
《数学课件：抛物线及其标准方程》课件
特点
抛物线具有单一焦点，无端点，无尽头的特点。
抛物线的几何表达式
顶点坐标 (h, k) 焦点坐标 (h, k + 1/4a) 准线方程 y = k - 1/4a
解释 抛物线顶点的坐标为(h, k)。 解释 抛物线焦点的坐标为(h, k + 1/4a)。 解释 抛物线的准线方程为y = k - 1/4a。
抛物线标准方程的推导
1
第一步：焦点定点坐标
利用焦点和定点的坐标求出常数h和k 。
2
第二步：焦距
焦距为常数a。
3
第三步：标准方程
利用焦点、焦距和准线方程推导出标准方程。
抛物线标准方程的分析
h的影响
h值决定了抛物线的顶点在x轴 上的位置。
k的影响
k值决定了抛物线的顶点在y轴 上的位置。
a的影响
a值决定了抛物线的开口方向和 形状。
抛物线的形状被用于设计桥 梁、天桥和汽车跑道，以提拱门和圆顶被 广泛应用于建筑设计中，以 实现优美和均衡的结构。
总结和回顾
抛物线是一个具有许多有趣性质和广泛应用的数学曲线。通过学习抛物线的 定义、性质、几何表达式和标准方程，我们可以更好地理解和应用它。 感谢您的关注和学习！
数学课件：抛物线及其标 准方程
本课件将介绍抛物线的定义和性质，抛物线的几何表达式以及推导抛物线标 准方程，分析其应用场景举例，并总结回顾所学内容。
抛物线的定义和性质
定义
抛物线是由平面上到定点（焦点）和定直线（准线）的距离相等的点构成的曲线。
性质
抛物线对称于准线，且焦点到准线距离的垂线经过焦点。其形状与焦点到准线距离的比例有 关。
抛物线与其他曲线的关系
椭圆
抛物线是椭圆的一种特殊情况，其 离心率为1。
《抛物线及其标准方程一》(课件)
抛物线的形状像一条平滑的曲线 ，它是由所有与焦点和准线等距 的点组成的。
焦点与准线
焦点
抛物线上的一个固定点，通常用大写 字母F表示。所有抛物线上的点到焦 点的距离都等于到准线的距离。
准线
抛物线所在平面内的一条定直线，通 常用小写字母l表示。准线与抛物线的 对称轴平行，且到焦点的距离等于焦 距。
抛物线与对称轴的交点，也称为抛物线的最高点或最低点。顶点的坐标可以通过 抛物线的标准方程求出。
对称轴
抛物线的一条直线，它经过顶点且与抛物线交于两点。对称轴与x轴平行或重合 ，且所有关于对称轴对称的点都在抛物线上。对称轴的方程可以通过抛物线的标 准方程求出。
02
标准方程推导与形式
标准方程推导过程
引入抛物线的定义
顶点位置
抛物线的顶点位置可以由 标准方程直接得出。
借助计算机软件进行可视化展示
使用数学软件
结合动态演示
如Mathematica、MATLAB等数学软 件，可以直接输入抛物线的标准方程， 进行可视化展示。
通过计算机软件，还可以实现抛物线 的动态演示，更直观地展示抛物线的 性质。
使用绘图工具
如GeoGebra、Desmos等在线绘图 工具，也可以方便地绘制出抛物线的 图像。
为：$d=|x+p|$。
对于开口向上或向下的抛物线， 焦点到直线上任意点的距离公式
为：$d=|y+p|$。
注意：这里的距离公式是在标准 方程下的特殊情况，对于一般的 抛物线方程，需要根据具体情况
进行推导。
03
抛物线图像绘制方法
利用描点法绘制图像
01
02
03
确定抛物线的顶点
根据抛物线的标准方程， 可以确定抛物线的顶点坐 标。
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第90课时 抛物线的标准方程和几何性质
[复习巩固]
1、已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
−=>>，以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是___________
2、某圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过
点A （-2，），B （3
,2
，则曲线C 的方程是____________________ 3、已知F 1、F 2是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
−=>>的两焦点，以线段F 1、F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是__________。
4、设M 为双曲线22
1916
x y −=位于第四象限内的一点，F 1，F 2是两个焦点，且有MF 1：MF 2=1：3，则△MF 1F 2的周长等于__________。
5、如图，F 1和F 2分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
−=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，
且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为___________
6、若双曲线x 2-y 2=1右支上一点P （a ，b ）到直线y=x ，则a+b 的值是___________
[知识点梳理]
1、抛物线的定义；
2、抛物线的标准方程的四种形式；
3、抛物线的几何性质：（1）范围（2）对称性（3）顶点（4）离心率（5）焦点弦（焦半径、焦点弦长）
[基础练习]
1、若抛物线y 2
=2px 的焦点与椭圆22
162x y +=的右焦点重合，则p 的值为_________。
2、设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2
=2px(p>0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA uuu r 与x 轴正向的夹角为60°，则||OA uuu r 为_________
3、过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）两点，若
x 1+x 2=3p ，则|PQ|=_________。
4、设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2
=4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若4OA AF ⋅=−uuu r uuu r ，则点A 的坐标为___________。
5、抛物线的焦点在直线x-y+2=0上，则抛物线的标准方程为___________。
6、抛物线y=ax 2(a ≠0)的准线方程为______________。
[例题]
例1：如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P （1，2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）均在抛物线上，（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1+y 2的值及直线AB 的斜率。
例2：已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），|AF|+|BF|=8，线段AB 的垂直平分线恒经过Q （6，0），求此抛物线的方程。
例3：有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m 。
若行车道总宽度AB 为6m ，请计算车辆通过隧道时的限制高度是多少（精确到0.1m ）。