Exercise8

(即 d
2
1 6
( x y 2 z 2) ) 最 小 ．
2
满 足 z x y 0且 使 d
2 2 2
1
6 1 2 2 2 令 F ( x , y , z , ) ( x y 2 z 2) ( z x y ), 得 6 1 (1) F x 3 ( x y 2 z 2) 2 x 0, F 1 ( x y 2 z 2) 2 y 0, (2) y 3 1 (3) F z ( x y 2 z 2)( 2) 0, 3 F z x 2 y 2 0, (4)
1 2 2 2 2 ( x y ) sin 2 , x y 0 2 x y 5．设 f ( x , y ) 0, x 2 y 2 0 则在原点 ( 0 , 0 ) 处 f ( x , y ) ( ).
(A)偏导数不存在； (B)不可微； (C)偏导数存在且连续； (D)可微 . 6．设 z f ( x , v ), v v ( x , y ) 其中 f , v 具有二阶连续偏 导数.则 (A)
3 4
y
ⅱ ⅱ + x [ f 21 y + f 22 (2
3 4
y x
x
2
)] + 2 xf 2
¢
2
)]
4 x f 1 2 x f 2 x y f 11 y f 22 .
例3 设 u f ( x , y , z ), ( x 2 , e y , z ) 0, y sin x ,

1 4

1 4
2
7 4 6
.
测 验 题
一、选择题: 1. 二元函数 z
ln 4 x y
2 2
arcsin
1 x y
2 2
的定义
域满足( ). （A）1 x 2 y 2 4 ； （B）1 x 2 y 2 4 ； （C）1 x 2 y 2 4 ； （D）1 x 2 y 2 4 . 2．设 f ( xy , ) ( x y ) 2 ,则 f ( x , y ) ( （A） x ( y
(sin cos ) cos 2 ,
故 lim
x 0 y 0
( y x) x x y
2 2
0.
例2 设 z x f ( xy , ), ( f 具有二阶连续偏导数)，
3
y
x
z z z 求 , 2, . y y xy
2 2
解:
x ( f 1x f 2 ) x 4 f 1 x 2 f 2, y x
ln y
5. D；
二、1. z x (ln y ) x ln y 1 , z y
；
y 2. u x f 1 yf 2 ( yz xyz x ) f 3 ,
u y xf 2 ( xz xyz y ) f 3 .
2 xy 3 , 2 2 2 3. f x ( x , y ) ( x y ) 0,
dy dx

g z hx g y hz
.

gx gy
,
代 入 (1)得
fx
f y g z hx g y hz
例5 求旋转抛物面 z x y 与平面 x y 2 z 2
2 2
之间的最短距离．
解: 设 P ( x , y , z ) 为抛物面 z x y 上任一点 , 则
( f , 具有一阶连续偏导数)， 且 z 0, 求 du dx .
解:
du dx
x y dx z dx dx dz 为求 , 对 ( x 2 , e y , z ) 0 两边求 x 的导数 , 得 dx dz y dy 1 2 x 2 e 3 0, dx dx dz 1 e sin x cos x 2 ), (2 x 1 dx 3
z
dy .
四、 xe 2 y f uu e y f uy xe y f xu f xy e y f u .
五、
x y 4 3 35 ( , , ). 六、 5 5 12 a b c 3 , ), V min abc . 七、切点 ( , 2 3 3 3
解: 将方程组的变元
u 以及 y , z 都看成是 x 的函数．
方程组各方程两边对
x 求导 , 得
(1) (2) (3)
dy du fx fy , dx dx dy dz gz 0, gx gy dx dx dz h x hz d x 0.
z
2
xy
.
z z 五 、 设 x e cos v , y e sin v , z uv ,试 求 和 . x y x y z 2 2 六 、 求 平面 1和 柱 面 x y 1的 交 线 上与 3 4 5 xoy 平 面 距 离 最 短 的 点 .
u u
f
2 2
z
2
y
2
( v
2 2 2
). ； (B)
f
2
v y y

v
f
v y
v y

v
2 2
；
2
f v 2 f v f v f v (C) 2 ( ) 2 ； (D) 2 2. v y y v y v y v
x y z

2
( x 0 , y 0 , z 0 ) 的1 ； 1 ； 6
(B) (D)
0
1 8
； .
二、求下列函数的一阶偏导数: 1． z x ln y ； 2． u f ( x , xy , xyz ), z ( x , y ) ；
dy du dx f x f y dx , dy dz gz 0, gx gy dx dx dz h x hz d x 0.
(1) (2) (3)
由 (3)得
dz dx

du dx
hx hz
,代 入 (2)得
f y gx gy
七、在第一卦限内作椭球面
x
2 2

y
2 2

z
2 2
1的 切 平 面 ,
a b c 使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最 小 ,求 这 切 平 面 的 切 点 ,并 求 此 最 小 体 积 .
测验题答案
一、1．A； 6. C； 2. B； 7. A； 3. B； 8. A；
ln x x
4. B； 9. D.
7．曲面 xyz a 3 ( a 0 ) 的切平面与三个坐标面所围 成的四面体的体积 V=( ). (A) 3 a 3 ； (B) 3a 3 ； 2 (C) 9 a 3 ； (D) 6a 3 . 2 8．二元函数 z 3 ( x y ) x 3 y 3 的极值点是( ). (A) (1,2)； (B) (1.-2 )； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 9．函数 u sin x sin y sin z 满足
二、典型例题
例1 求极限 lim
x 0 y 0
( y x) x x y
2 2
.
( 0)
解: 令
x cos , y sin ,
则 ( x , y ) ( 0 , 0 ) 等价于 0 .
0
( y x)x x y
2 2

2 (sin cos ) cos

f

f

dy

f dz
, 其中
dy
cos x ,
du dx
dz dx 故 du dx

f x

f
y dx

dy

f dz z dx
sin x
, 其中
dy dx
cos x ,

1 3
(2 x 1 e f y
cos x 2 ), (2 x 1 e
x2( x2 y2 ) , 2 2 2 f y ( x, y) ( x y ) 0,
x y 0
2 2
,
x y 0
2 2
x y 0
2 2
x y 0
2 2
三、 ( f 1
z
f2 y ( z ) 1
)d x
f 2 ( z ) y ( z ) 1
sin x
f x
cos x
1
1 3
cos x 2 )
f z
f 1 cos xf 2
3
sin x (2 x 1 e cos x 2 ) f 3.
u f ( x , y ), 例4 设函数 u( x ) 由方程组 g ( x , y , z ) 0, h( x , z ) 0. 所确定, 且 g y 0, h z 0, 试求 du dx .
( x y 2 z 2) 最 小 的 x , y , z ．
2
解此方程组得
x
1 4
, y
1 4
,z
1 8
.
即得唯一驻点
1 1 1 ( , , ), 4 4 8
一定存在，且有唯一
根据题意距离的最小值 驻点，故必在
1 1 1 ( , , ) 处取得最小值． 4 4 8
d min