2018年高考数学模拟试卷(衡水中学理科)

2018 年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . ）21．（5 分）（2018? 衡中模拟）已知集合 A={x|x 2< 1} ， B={y|y=|x|} ，则A∩B=（）A．? B．（0，1） C． [0 ， 1） D．[0 ，1]22．（ 5分）（ 2018? 衡中模拟）设随机变量ξ～ N（ 3，σ 2），若 P（ξ> 4）=0.2 ，则 P（3< ξ≤ 4） =（）A．0.8 B． 0.4 C．0.3 D．0.23．（5 分）（2018? 衡中模拟）已知复数 z= （i 为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣ 1 C．D．4．（5 分）（2018? 衡中模拟）过双曲线﹣ =1（a>0，b>0）的一个焦点 F 作两渐近线的垂线，垂足分别为 P、 Q，若∠ PFQ= π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=± x B．y=± x C ．y=±x D．y=±x5．（ 5分）（ 2018? 衡中模拟）将半径为 1的圆分割成面积之比为 1：2：3 的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为 r1，r2，r3，那么 r 1+r 2+r 3的值为（）A．B． 2 C．D．1的前 8 项和为）A．B．C． D ．．8．（5 分）（2018? 衡中模拟）已知（ x﹣3）则a8=（）A45 B． 180 C．﹣D．720 10 2 10=a0+a1（ x+1 ）+a2（ x+1） +⋯ +a106．（5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）7．（5 分）（2018? 衡中模拟）等差数列{a n}中，则数列 {b}a5=11，若b=9．（5 分）（2018? 衡中模拟）如图为三棱锥 S ﹣ABC 的三视图，其表面积为（A ．16B ． 8 +6C ． 16D ．16+6有一个零点，则 k 的取值范围为（ ）A ．k ≤0B ．k ≤0或 k ≥1C ．k ≤0或 k ≥eD ．k ≤0或k ≥12．（5分）（2018? 衡中模拟）已知数列 {a n }的通项公式为 a n =﹣2n+p ，数列 {b n }的通项公式*，若在数列 {c n }中 c 6<c n （n ∈N *，n ≠6），则 p 的取值范围（）A ．（ 11，25）B ．（12，22）C ．（12，17）D ．（14，20）10．（5 分）（2018? 衡中模拟）已知椭圆 E ： =1（a> b> 0）的左焦点 F （﹣ 3，0），P 为椭圆上一动点，椭圆内部点 M （﹣ 1，3）满足 PF+PM 的最大值为 （）A ．B ．C ．D ．17，则椭圆的离心率为 11．（5 分）（ 2018? 衡中模拟）已知 x ） ，若函数 y=f （x ）﹣ kx 恒第2卷二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（ 2018? 衡中模拟）若平面向量、满足| |=2| |=2，| ﹣ |= ，则在上的投影为．14．（5分）（2018? 衡中模拟）若数列 {a n}满足a1=a2=1，a n+2= 则数列 {a n}前 2n项和 S2n= ．15．（5 分）（2018? 衡中模拟）若直线 ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为．16．（5 分）（2018? 衡中模拟）已知函数 f （x）=（a+1）lnx+ x2（ a<﹣ 1）对任意的 x1、x2>0，恒有|f （ x 1）﹣ f （x 2） | ≥ 4|x 1﹣x2| ，则 a的取值范围为．三、解答题（本大题共 5小题，共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（ 12分）（2018? 衡中模拟）在△ ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，满足 c=1，且 cosBsinC+ （a﹣sinB ） cos（ A+B） =0（1）求 C的大小；（2）求 a2+b2的最大值，并求取得最大值时角 A， B 的值．18．（12 分）（2018? 衡中模拟）如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，侧棱 PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°， PA=AB=BC=，2 AD=1， M是棱 PB中点．（Ⅰ）求证：平面 PBC⊥平面 PCD；（Ⅱ）设点 N 是线段 CD上一动点，且=λ ，当直线 MN与平面 PAB所成的角最大时，求λ 的值．19．（12 分）（2018? 衡中模拟）如图是两个独立的转盘（ A ）、（B ），在两个图中三个扇形区 域的圆心角分别为 60°、120°、 180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个 转盘待指针停下 （当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时， 则这次转动无效， 重新开直线 AP 平行于 x 轴时，对应的 λ= ． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程；始），记转盘（ A ）指针所对的区域为 x ，转盘 设 x+y 的值为 ξ． （Ⅰ）求 x< 2 且 y> 1 的概率；B ）指针所对的区域为 y ，x 、y ∈{1 ，2，3} ， 20．（12 分）（ 2018? 衡中模拟）已知椭圆 =1（a> b>0），倾斜角为 45°的直线与椭圆相交于 M 、 N 两点，且线段 MN 的中点为（﹣ 1， ）．过椭圆 E 内一点 P （1， ）的 两条直线分别与椭圆交于点 A 、C 和 B 、D ，且满足 =λ ， =λ ，其中 λ为实数． 当 Ⅱ）求随机变量E ：若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．221．（12 分）（2018? 衡中模拟）已知函数 f（x）= ，曲线 y=f （x）在点 x=e2处的切线与直线 x ﹣2y+e=0 平行．（Ⅰ）若函数 g（x）= f（x）﹣ax 在（ 1， +∞）上是减函数，求实数 a的最小值；[ 选修 4-1 ：几何证明选讲 ]22．（10 分）（2018? 衡中模拟）如图所示， AC为⊙ O的直径， D为的中点， E为 BC的中点．（Ⅰ）求证： DE∥ AB；（Ⅱ）求证： AC? BC=2AD? CD．[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ]23．（ 2018? 衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A ，B 两点，求△ AOB 的面积．[ 选修 4-5 ：不等式选讲 ]24．（2018? 衡中模拟）已知函数 f （ x ） =|x ﹣ l|+|x ﹣3|． （I ）解不等式 f （x ）≤ 6；（Ⅱ）若不等式 f （x ）≥ ax ﹣1 对任意 x ∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围．在以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 . ）21．（5 分）（2018? 衡中模拟）已知集合 A={x|x 2< 1} ， B={y|y=|x|} ，则 A ∩B=（ ） A ．? B ．（0，1） C ． [0 ， 1） D ．[0 ，1]2【解答】 解： A={x|x 2< 1}={x| ﹣1< x< 1} ，B={y|y=|x| ≥0}， 则 A ∩B=[0 ，1）， 故选： C ．22．（ 5分）（ 2018? 衡中模拟）设随机变量 ξ～ N （ 3，σ 2），若 P （ξ> 4）=0.2 ，则 P （3< ξ≤ 4） =（ ）A ．0.8B ． 0.4C ．0.3D ．0.2 【解答】 解：∵随机变量 X 服从正态分布 N （3，σ 2），∴μ =3，得对称轴是 x=3． ∵P （ξ> 4） =0.2 ∴P （3<ξ≤ 4）=0.5 ﹣ 0.2=0.3 ． 故选： C3．（5 分）（2018? 衡中模拟）已知复数 z= （i 为虚数单位） ，则 3=（ ）A ．1B ．﹣ 1C ．D ．【解答】 解： 复数 z= ， ，可得 =﹣=cos +isin ． ．3则 +isin4 =1．故选： A ．4．（5 分）（2018? 衡中模拟）过双曲线 ﹣ =1（a>0，b>0）的一个焦点 F 作两渐近线的垂线，垂足分别为 P 、Q ，若∠ PFQ= π，则双曲线的渐近线方程为（解答】 解：如图若∠ PFQ= π，则∠ QOx= ，A ． D ．y=± x则由对称性得∠QFO= y=± xB ．y=±x即 OQ 的斜率 k= =tan = ， 则双曲线渐近线的方程为 y=± x ， 故选： B5．（ 5分）（ 2018? 衡中模拟）将半径为 1的圆分割成面积之比为 1：2：3 的三个扇形作为三个圆锥的侧面， 设这三个圆锥底面半径依次为 r 1，r ， r 3 ，那么 r 1+r 2+r 3 的值为（ ） A ． B ．2 C ． D ． 1【解答】 解：∵ 2πr 1= ，∴r 1= ，同理 ， ，∴ r 1+r 2+r 3=1， 故选： D ．5 >sin0 ，即 1>0 成立， a=1，T=1，k=2，k<6 成立， 即 0>1 不成立， a=0，T=1， k=3， k < 6 成立， 即﹣ 1>0 不成立， a=0， T=1， k=4， k< 6 成立， ，即 0>﹣ 1成立， a=1， T=1+1=2， k=5， k< 6成立，A ． 2B 3C ． 4D ．【解答】 解： 第一 次循 环，sin 第二次循环，sinπ > sin，，第三次循环，si n>si n π第四次循环，sin 2 π> si n6．（5分）（2018?衡中模拟） 如图是某算法的程序框图， 则程序运行后输出的结果是 （ ）第五次循环， sin >sin2 π，即 1>0 成立， a=1， T=2+1=3， k=6，k<6 不成立，输出 T=3， 故选： B的前 8 项和为（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】 解：设等差数列 {a n } 的公差为 d ， a 3=7，a 5=11，解得 a 1=3， d=2， ∴a n =3+2（ n ﹣ 1） =2n+1， ∴，∴b 8= （1﹣ + ﹣ +⋯ + ﹣ ）= （1﹣ ）= 8故选 B ．10 2 108．（5 分）（2018? 衡中模拟）已知（ x ﹣3）10=a 0+a 1（x+1）+a 2（x+1）2+⋯+a 10（x+1）10， 则 a 8=（ ）A ．45B ．180C ．﹣ 180D ．720【解答】 解：（x ﹣ 3） 10=[ （x+1）﹣ 4] 10， ∴， 故选： D ．9．（5 分）（2018? 衡中模拟）如图为三棱锥 S ﹣ABC 的三视图，其表面积为（ ）A ．16B ． 8 +6C ． 16D ． 16+6【解答】 解：由三视图可知该三棱锥为边长为 2，4，4 的长方体切去四个小棱锥得到的几何 体．，7．（5 分）（2018? 衡中模拟）等差数列 {a n }中， a 3=7， a 5=11，若 b n =， 则数列 {b n}三棱锥的三条边长分别为E ： + =1（a> b> 0）的左焦点F （﹣3，0），E ： + =1（a>b>0）的左焦点F （﹣ 3，0）， P 为椭圆上一动点，椭圆内部点 M （﹣ 1，3）满足 PF+PM 的最大值为 17，则椭圆的离心率为 （）A ．B ．C ．D ．【解答】 解： 设右焦点 为 Q ， 由 F 30），可Q （3，0）， 由椭圆的定义可得 |PF|+|PQ|=2a ，即|PF|=2a ﹣|PQ| ， 则|PM|+|PF|=2a+ （ |PM| ﹣ |PQ| ）≤ 2a+|MQ|， 当 P ， M ，Q 共线时，取得等号，即最大值 2a+|MQ|， 由|MQ|==5，可得 2a+5=17， 所以 a=6， 则 e= = = ， 故选： A ．11．（5分）（2018? 衡中模拟）已知 f （x ）= ，若函数 y=f （x ）﹣ kx恒有一个零点，则 k 的取值范围为（ ）A ．k ≤0B ．k ≤0或 k ≥1C ．k ≤0或 k ≥eD ．k ≤0或k ≥ 【解答】 解：由 y=f （x ）﹣ kx=0 得 f （x ）=kx ， 作出函数 f （ x ）和 y=kx 的图象如图，由图象知当 k ≤0时，函数 f （x ）和 y=kx 恒有一个交点，当 x ≥0 时，函数 f （x ）=ln （x+1）的导数 f ′（x ）= ，则 f ′（0）=1， 当 x<0 时，函数 f （x ） =e x ﹣ 1 的导数 f ′（ x ）=e x ，则 f ′（ 0） =e 0=1， 即当 k=1 时， y=x 是函数 f （ x ）的切线，则当 0< k<1时，函数 f （x ）和 y=kx 有 3个交点，不满足条件． 当 k ≥1时，函数 f （x ）和 y=kx 有 1个交点，满足条件．∴表面积为 4×=16 ．10．（5 分）（2018? 衡中模拟）已知椭圆综上 k 的取值范围为 k≤0或 k≥1，故选： B．12．（5分）（2018? 衡中模拟）已知数列 {a n}的通项公式为 a n=﹣2n+p，数列 {b n}的通项公式为 b n=2n﹣4，设 c n= ，若在数列 {c n}中 c6<c n（n∈N*，n≠6），则 p 的取值范围（）A．（ 11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）【解答】解：∵ a n﹣ b n=﹣2n+p﹣ 2n﹣4，∴a n﹣ b n随着 n 变大而变小，又∵ a n=﹣ 2n+p 随着 n 变大而变小，b n=2n﹣4随着 n 变大而变大，∴，（ 2）当，综上 p∈（ 14，20），故选 D．二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（ 2018? 衡中模拟）若平面向量、满足| |=2| |=2，| ﹣ |= ，则在上的投影为﹣ 1 ．【解答】解：根据条件，==7； ∴；∴ 在 上的投影为 ． 故答案为：﹣ 1．则数列 {a n }前 2n 项和 S 2n = 2n +n 2﹣1∴n=2k ﹣1 时， a 2k+1﹣ a 2k ﹣1=2，为等差数列； n=2k 时， a 2k+2=2a 2k ，为等比数列． ∴．故答案为： 2n +n 2﹣ 1．15．（5 分）（2018? 衡中模拟）若直线 ax+（a ﹣2）y+4﹣a=0把区域 分成面积相等的两部分，则 的最大值为 2 ．【解答】 解：由 ax+（ a ﹣ 2）y+4 ﹣ a=0 得 a （ x+y ﹣ 1） +4﹣ 2y=0， 则 得 ，即直线恒过 C （﹣ 1， 2），若将区域分成面积相等的两部分，则直线过 AB 的中点 D ， 由 得 ，即 A （1， 6），∵B （3，0），∴中点 D （ 2，3），代入 a （x+y ﹣1） +4﹣2y=0，得 4a ﹣ 2=0，则 ，则 的几何意义是区域内的点到点（﹣ 2， 0）的斜率， 由图象过 AC 的斜率最大，此时最大值为 2． 故答案为： 2．14．（5分）（2018? 衡中模拟） 解答】 解：∵数列 {a n } 满足 a 1=a 2=1， 若数列 {a n }满足216．（5 分）（2018? 衡中模拟）已知函数 f （x）=（a+1）lnx+ x2（ a<﹣ 1）对任意的 x1、x2>0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则 a的取值范围为（﹣∞，﹣2] 【解答】解：由 f ′（x）= + x，得 f ′（ 1） =3a+1，所以 f（x）=（a+1）lnx+ax 2，（a<﹣1）在（ 0， +∞）单调递减，不妨设0<x1<x2，则 f （ x1）﹣ f （x2）≥ 4x2﹣4x1，即 f （x1）+4x1≥f （x2） +4x2，令 F（x）=f （ x ） +4x，F′（ x）=f ′（ x）+4= +2ax+4，等价于 F（x）在（ 0， +∞）上单调递减，故 F' （x）≤0 恒成立，即+2ax+4≤0，所以恒成立，得 a≤﹣ 2．故答案为：（﹣∞，﹣ 2] ．三、解答题（本大题共 5小题，共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（ 12分）（2018? 衡中模拟）在△ ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，满足 c=1，且 cosBsinC+ （a﹣sinB ） cos（ A+B） =0（1）求 C的大小；（2）求 a2+b2的最大值，并求取得最大值时角 A， B 的值．【解答】解：（ 1） cosBsinC+ （ a﹣ sinB ） cos （A+B） =0可得： cosBsinC ﹣（ a﹣ sinB ） cosC=0即： sinA ﹣ acosC=0．由正弦定理可知：，∴， c=1，∴asinC ﹣ acosC=0，sinC ﹣ cosC=0，可得sin （C﹣）=0，C 是三角形内角，∴C= ．2 2 2（2）由余弦定理可知： c2=a2+b2﹣ 2abcosC，得 1=a2+b2﹣ ab又，∴，即：．当时，a2+b2取到最大值为2+ ．18．（12 分）（2018? 衡中模拟）如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，侧棱 PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°， PA=AB=BC=，2 AD=1， M是棱 PB中点．（Ⅰ）求证：平面 PBC⊥平面 PCD；Ⅱ）设点 N 是线段 CD上一动点，且=λ ，当直线 MN与平面 PAB所成的角最大时，【解答】证明：（ 1）取 PC的中点 E，则连接 DE，∵ME是△ PBC的中位线，∴ME ，又 AD ，∴ME AD，∴四边形 AMED是平行四边形，∴ AM∥DE．∵PA=AB， M是 PB的中点，∴AM⊥ PB，∵PA⊥平面 ABCD， BC? 平面 ABCD，∴PA⊥ BC，又 BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面 PAB，∵ AM? 平面 PAB，∴BC⊥ AM，又 PB? 平面 PBC， BC? 平面 PBC， PB∩ BC=B，∴AM⊥平面 PBC，∵ AM∥ DE，∴DE ⊥平面 PBC ，又 DE? 平面 PCD ， ∴平面 PBC ⊥平面 PCD ．（2）以 A 为原点，以 AD ， AB ，AP 为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则 A （0，0，0），B （0，2，0），M （0，1，1），P （0，0，2），C （2，2，0），D （ 1，0，0）．=λ =（λ， 2λ， 0）， =（λ +1，2λ， 0），∴cos < > ====∴当 即 时，sin θ 取得最大值，∴MN 与平面 PAB 所成的角最大时 ．19．（12 分）（2018? 衡中模拟）如图是两个独立的转盘（ A ）、（B ），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为 60°、120°、 180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个 转盘待指针停下 （当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时， 则这次转动无效， 重新开 始），记转盘（ A ）指针所对的区域为 x ，转盘（ B ）指针所对的区域为 y ，x 、y ∈{1 ，2，3} ， 设 x+y 的值为 ξ． （Ⅰ）求 x< 2 且 y> 1 的概率；（Ⅱ）求随机变量 ξ 的分布列与数学期望．=（1，2，0）， =（ 0， 1，1）， =（ 1，0，0）， ==（λ +1， 2λ﹣ 1，﹣ 1）．∵AD ⊥平面 PAB ，∴ 为平面 P AB 的一个法向量，设 MN 与平面 PAB 所成的角为θ，则 sinθ=【解答】 解：（1）记转盘 A 指针指向 1，2，3 区域的事件为 A 1，A 2，A 3， 同理转盘 B 指针指向 1，2，3 区域的事件为 B 1，B 2，B 3， ∴P （ A 1） = ，P （ A 2） = ， P （ A 3） = ， P （B 1）= ，P （ B 2）= ，P （B 3）= ， P=P （A 1）P （1﹣P （B 1）） = ×（ 1﹣ ） == ．⋯（ 5 分）（2）由已知得 ξ 的可能取值为 2，3，4，5， 6， P （ ξ=2） =P （A 1）P （B 1）= = = ， P （ξ=3） =P （A 1）P （B 2）+P （A 2）P （B 1）= = ，P （ξ=4）=P （A 1）P （B 3）+P （ A 2）P （B 2）+P （A 3）P （B 1）P （ξ =6） =P （A 3）P （ B 3）20．（12 分）（2018? 衡中模拟）已知椭圆 E ： + =1（a> b>0），倾斜角为 45°的直线与椭圆相交于 M 、N 两点，且线段 MN 的中点为（﹣ 1， ）．过椭圆 E 内一点 P （1， ）的A 、C 和B 、D ，且满足 =λ ， =λ ，其中 λ 为实数．Ⅰ）求椭圆 E 的方程；ξ23456P∴ξ 的分布列为： E ξ== =12分）P （ ξ=5） =P （A 2）P （B 3）+P （A 3） =， =，两条直线分别与椭圆交于点直线 AP 平行于 x 轴时，对应的 λ=P （B 2）=Ⅱ）当λ 变化时， k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．解答】解：（Ⅰ）设 M（ m1，n1）、 N（ m2，n2），则两式相减22故 a2=3b2⋯（2 分）当直线 AP平行于 x 轴时，设 |AC|=2d ，∵故点 A（或C），则，则的坐标为．代入椭圆方程，得⋯4分22 a =3， b=1 ，所以方程为⋯（6 分）（Ⅱ）设 A（x1，y1）、 B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）由于，可得 A（x1，y1）、B（x2， y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），同理可得由①②得：⋯①⋯①⋯②⋯（ 8分）⋯③将点 A 、 B 的坐标代入椭圆方程得 ，两式相减得（ x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+3（ y 1+y 2）（ y 1﹣ y 2） =0， 于是 3（ y 1+y 2）k AB =﹣（ x 1+x 2）⋯④同理可得： 3（ y 3+y 4）k CD =﹣（ x 3+x 4），⋯（ 10 分） 于是 3（ y 3+y 4）k AB =﹣（ x 3+x 4）（∵ AB ∥ CD ，∴ k AB =k CD ） 所以 3λ（ y 3+y 4） k AB =﹣λ（ x 3+x 4）⋯⑤由④⑤两式相加得到： 3[y y 3+y 4） ]k AB =﹣[ （x 1+x 2）+λ把③代入上式得 3（1+λ） k AB =﹣2 （1+λ）， 解得：，，当 λ 变化时，k AB 为定值，．⋯（ 12 分），即右边的最大值为21．（12 分）（ 2018? 衡中模拟）已知函数 f x ） ，曲线 y=f （x ）在点 x=e 2 处的切线 与直线 x ﹣2y+e=0 平行． = f （x ）﹣ ax 在（ 1， Ⅰ）若函数g （x ） +∞） 上是减函数，求实数 a 的最小值； Ⅱ）若函数 F （x ） =f （x ）﹣ 无零点，求 k 的取值范围． 解答】 解：，得 ，解得 m=2， ，则 ， 函数 g （ x ）的定义域为（ 0，1）∪（ 1， +∞）， 而 ，又函数 g x ）在（ 1， +∞）上是减函数，∴ 在（ 1， +∞）上恒成立， ∴当 x ∈（ 1，+∞）时，的最大值．Ⅱ） 由题可得，且定义域为 （ 0，1） ∪（1，+∞），a 的最小值 ；要使函数 F（ x）无零点，即在（ 0， 1）∪（ 1， +∞）内无解，亦即在（ 0，1）∪（ 1， +∞）内无解．构造函数，则，（1）当 k≤0时， h' （x）< 0在（ 0，1）∪（ 1，+∞）内恒成立，∴函数 h（x）在（ 0， 1）内单调递减，在（ 1，+∞）内也单调递减．又 h（1）=0，∴当 x∈（ 0，1）时， h（x）> 0，即函数 h（x）在（ 0，1）内无零点，同理，当 x∈（ 1，+∞）时， h（ x）< 0，即函数 h（x）在（ 1，+∞）内无零点，故 k≤0 满足条件；2）当 k>0 时，①若 0< k< 2，则函数 h（ x）在（ 0，1）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又 h（ 1） =0，∴ h（x）在（ 0， 1）内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴0<k<2 不满足条件；②若 k=2，则函数 h（ x ）在（ 0，1）内单调递减，在（ 1， +∞）内单调递增．又 h（1）=0，∴当 x∈（ 0，1）∪（ 1，+∞）时， h（x）>0 恒成立，故无零点．∴ k=2满足条件；③若 k> 2，则函数 h（x）在内单调递减，在内单调递增，在（ 1，+∞）内也单调递增．又 h（ 1） =0，∴在及（ 1， +∞）内均无零点．易知，又 h（ e﹣k） =k×（﹣ k）﹣ 2+2e k=2e k﹣ k2﹣ 2=? （k），k2则 ? ' （ k） =2（ e ﹣ k）> 0，则 ? （k）在 k>2为增函数，∴ ? （k）>? （2）=2e﹣6> 0．故函数 h（x）在内有一零点， k>2 不满足．综上： k≤0 或 k=2 ．[ 选修 4-1 ：几何证明选讲 ] 22．（10 分）（2018? 衡中模拟）如图所示， AC为⊙ O的直径， D为的中点， E为 BC的中点．因为 E 为 BC 的中点，所以 DE ⊥BC ． 因为 AC 为圆的直径，所以∠ ABC=90°， 所以 AB ∥DE ．⋯（ 5 分）（Ⅱ）因为 D 为 的中点，所以∠ BAD=∠ DAC ， 又∠ BAD=∠DCB ，则∠ DAC=∠DCB ． 又因为 AD ⊥ DC ， DE ⊥ CE ，所以△ DAC ∽△ ECD ． 所以 = ， AD? CD=AC? CE ， 2AD? CD=AC? 2CE ， 因此 2AD? CD=AC? BC ．⋯（ 10 分）[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ]23．（ 2018? 衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），在以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程 为 ρ=C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；l 与曲线 C 相交于 A ，B 两点，求△ AOB 的面积． （1）由曲线 C 的极坐标方程为 ρ=22得 ρ sin θ=2ρcos θ．2∴由曲线 C 的直角坐标方程是： y 2=2x ． 由直线 l 的参数方程为 （t 为参数），得 t=3+y 代入 x=1+t 中消去 t 得：x ﹣y ﹣ 4=0，所以直线 l 的普通方程为： x ﹣y ﹣4=0⋯（ 5 分）（2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程 y 2=2x ，得 t 2﹣ 8t+7=0 ， 设因为 D 为 的中点，所以 BD=DC ．1）求曲线 2）若直线 解答】Ⅰ）求证： DE ∥ AB ；A， B两点对应的参数分别为 t 1，t 2，所以 |AB|= =因为原点到直线 x ﹣y ﹣ 4=0 的距离 d=所以△ AOB 的面积是 |AB|d= =12．⋯（ 10 分） [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ]24．（2018? 衡中模拟）已知函数 f （ x ） =|x ﹣ l|+|x ﹣3|． （I ）解不等式 f （x ）≤ 6；（Ⅱ）若不等式 f （x ）≥ ax ﹣1 对任意 x ∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围．解答】 解：函数 f （x ）=|x ﹣ l|+|x ﹣3|=的图象如图所示，解①求得x ∈? ，解②求得 3<x ≤ 5，解③求得﹣ 1≤x ≤3． 综上可得，原不等式的解集为 [﹣1，5] ．（Ⅱ）若不等式 f （x ）≥ax ﹣1对任意 x ∈R 恒成立，则函数 f （x ）的图象 不能在 y=ax ﹣ 1 的图象的下方．如图所示： 由于图中两题射线的斜率分别为﹣ 2， 2，点 B （ 3， 2）， ∴3a ﹣1≤2，且 a ≥﹣ 2，求得﹣ 2≤a ≤1．I ）不等式 f （ x ）≤ 6，即 ①或 ③． =，， ，。