16-非惯性系中的质点动力学
合集下载
第二章 非惯性系中的质点动力学
M1-28
积分可得
mgR(cos jmax 1 1) m 2 R 2 sin 2 jmax 0 2
因 sin 2 jmax 1 cos2 jmax 上式变为
mgR(cos jmax 1) 1 m 2 R 2 (1 cos 2 jmax ) 0 2
z
或
2 R cos2 jmax 2 g cos jmax 2 g 2 R 0
2. 当加速度 ae 2 g tan 时，牵连惯性力 FIe 2mg tan ，应用 相对运动动能定理，有
m v 2 0 ( F cos )l (mg sin )l Ie 2 r
整理后得
y' m
FN FIe
mg θ ae x'
m 2 vr (mg sin )l 2
力大小为 FIe m 2 R sin j ，方向如图。 经过微小角度dj 时，此惯性力作功为
z
W FIe R cos jdj m 2 R sin j cos jRdj
相对运动的动能定理，得
R
0 0 mgR(1 cos j max )
jmax
0
Байду номын сангаас
j
mg
FIe
m 2 R 2 sin j cos j dj
vr 质点相对动参考系速度
M1-20
上式两端点乘相对位移
dr
dvr m dr F dr FIe dr FIC dr dt
dr 注意到vr , 且科氏惯性力垂直于vr , 有FIC dr 0, 则 dt mvr dvr F dr FIe dr
第九章质点在惯性与非惯性参考系中的动力学复习课程
方向相同。即
maF
第三定律——作用反作用定律：两物体之间的作用力和反 作用力大小相等，方向相反，并沿同一条直线分别作用在两 个物体上。
? 质点在惯性系中的运动微分方程
当物体受几个力作用时，右端应为这几个力的合力。
即
maF
或
m
d2r dt2
F
? 质点在惯性系中的运动微分方程
● 矢量形式 m r Fi(t,rr, )
求球的运动和杆对球的约束力。
解：本题先由已知的主动力mg求质点的运动规律，再根据 求得的运动求未知约束力，故同时包含第一类问题和第二类 问题。
质点运动轨迹是圆弧，故用自然轴系研究
sl, vdsl
dt 建立小球的运动微分方程：
m mg cos
讨论：（1）微幅摆动
i
m x F ix
i
●直角坐标形式
m y F iy
i
m z F iz
i
● 弧坐标形式
m s F iτ
i
m s2
F in
i
0 F i b
i
? 质点动力学两类问题应用举例
第一类问题：已知质点的运动, 求作用于质点的力；
第二类问题：已知作用于质点的力, 求质点的运动。
? 质点动力学两类问题应用举例
x
st
O
x
W
l0
x
m
W＝mgi
讨 论：
x
F＝－k( x+ st）
1）、物块垂直悬挂时，运动规律如何？
2）、物块垂直悬挂时，坐标原点选择 不同，对运动微分方程的影响。
? 质点动力学两类问题应用举例
例 题2
图示一单摆。设球的质量为m， 杆的质量不计，杆长为l。当杆 在铅垂位置时，球因受冲击，具
《理论力学 动力学》 第五讲 非惯性系中质点的动能定理
4、非惯性系中质点的动能定理惯性参考系中的动能定理只适用于惯性系。
在非惯性参考系中，由于质点的运动微分方程中含有惯性力，因此需要重新推导动能定理。
质点的相对运动动力学基本方程为r d d m t=++Ie IC v F F F 式中e C r2m m m =-=-=-´Ie IC F a F a ωv ，r d d tv 是对时间t 的相对导数r v 上式两端点乘相对位移d ¢r r d d d d d d m t¢¢¢¢×=×+×+×Ie IC v r F r F r F r 注意到，并且科氏惯性力垂直于相对速度，所以IC F r v d 0¢×=IC F r d d r t¢=r v 上式变为：r r d d d m ¢¢×=×+×Ie v v F r F r δW ¢Ie—表示牵连惯性力F Ie 在质点的相对位移上的元功。
δF W ¢—表示力F 在质点的相对位移上的元功。
则有：2r 1d()δδ2F mv W W ¢¢=+Ie 质点在非惯性系中相对动能的增量等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相对运动中所作的元功之和。
——质点相对运动动能定理（微分形式）4、非惯性系中质点的动能定理积分上式得22r r01122F mv mv W W ¢¢-=+Ie ——质点相对运动动能定理（积分形式）质点在非惯性系中相对动能的变化等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作功的和。
注意：因为在非惯性系中科式惯性力始终垂直于相对速度，因此在相对运动中科式惯性力始终不做功。
例4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，如图所示，若不计摩擦等阻力。
求: (1)平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止?(2)若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿板向上运动。
第四章非惯性系中的质点力学
小结：选用不同的 s 系，其 加速度变换公式的具体分 析结果不同。
§4.3 非惯性系内质点动力学
当计入惯性力，就可在非惯性系中得到形式上和惯性 系一样的动力学规律（如三个定理，三个守恒定律）.
(x 0为势能零点 s系中 2. 当非惯性系以匀角速度 绕固定轴转动时, 2 1 2 2 F m ( r ) m e ( m ) Ic 2
牵连惯性 力 非惯性系中的 质点的动力学 方程
m a F
§4.2 非惯性系内质点的动力学方程
科氏 力
对惯性力作几点说明:
1.惯性力不是相互作用力,不遵从牛顿第三定律，它不 存在反作用力。 2.惯性力仅存在于非惯性系之中。 3.在非惯性系中惯性力真实存在，不是假想的力。 4.惯性离心力
m ( r )
三.落体偏东
以自由落体运动为例，研究科氏力对质点竖直运动的影响
在地面参照系oxyz中，其单位 矢量为i、j 、k.，且 i 水平向 南, j 水平向东, k 竖直向上. 质 点在z轴上 z h 处自由下落， 不计空气阻力，且不受其它物 体的作用， F 0
这里惯性离心力是保守力, 1 对应的势能为 V m 2r2 2
1 2 1 22 1 22 m m v r 0 m r 0 2 2 2
§4.4 地球自转的动力学效应
本节应用非惯性系内动力学理论解决实际问题的范例.
一. 质点相对地球的运动微分方程
1.有关地球运动的几个量. 2.地球为非惯性系时质点在地球表面附近运动微分方程. 地球既有自转又有公转,是非惯性参照系,以日心系为S系.
3. 通过前面分析,我们可利用运动系把质点的复杂运动 分解成为几个比较简单的运动的合成.
非惯性系内质点的动力学方程
y Ae t Be t
t0 时 y a, y 0
y a et et ach t 2
A B a/2
0 FRx 2my
FRx 2my 2m 2ash t
0 FRz mg
FRz mg
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
FR 2m 2ash ti mgk
例题4 解法一
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
ma F
ma ma mat mac F
F
m
m a F mat mac
d2R dt 2
m
r
m
r
2m
v
牵连惯性力 Ft mat
科里奥利惯性力 Fc mac
惯性力合力 FI Ft Fc
ma F FI
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
FN FNnen
受惯性力
md2R / dt 2 0(R 0)
m r 0( 0)
m
r
2ma
2
2m
v
2ma
en
coFsc2(veraFtet
)
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
沿圆圈切向的运动微分方程为
mat
ma
2ma
2
cos
2
sin
2
2 sin 0
可见，与大幅角单摆运动的微分方程完全相同.
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
例题3
m
受惯性力
r m 2
yj
m
d2R dt 2
0
2m
v
2my
i
m r 0
mx 0 FRx 2my my m 2 y
mz 0 FRz mg
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
t0 时 y a, y 0
y a et et ach t 2
A B a/2
0 FRx 2my
FRx 2my 2m 2ash t
0 FRz mg
FRz mg
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
FR 2m 2ash ti mgk
例题4 解法一
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
ma F
ma ma mat mac F
F
m
m a F mat mac
d2R dt 2
m
r
m
r
2m
v
牵连惯性力 Ft mat
科里奥利惯性力 Fc mac
惯性力合力 FI Ft Fc
ma F FI
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
FN FNnen
受惯性力
md2R / dt 2 0(R 0)
m r 0( 0)
m
r
2ma
2
2m
v
2ma
en
coFsc2(veraFtet
)
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
沿圆圈切向的运动微分方程为
mat
ma
2ma
2
cos
2
sin
2
2 sin 0
可见，与大幅角单摆运动的微分方程完全相同.
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
例题3
m
受惯性力
r m 2
yj
m
d2R dt 2
0
2m
v
2my
i
m r 0
mx 0 FRx 2my my m 2 y
mz 0 FRz mg
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结1. 引言质点动力学是物理学中研究质点运动规律的分支，它是经典力学的基础。
本文档旨在总结质点动力学的核心知识点，包括牛顿运动定律、动量、动能、势能、功以及守恒定律等。
2. 牛顿运动定律2.1 牛顿第一定律（惯性定律）一个质点若未受外力，将保持静止状态或匀速直线运动。
2.2 牛顿第二定律（动力定律）质点的加速度与作用在其上的合外力成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。
2.3 牛顿第三定律（作用与反作用定律）两个相互作用的质点之间的作用力和反作用力大小相等、方向相反。
3. 动量3.1 定义动量是质点的质量与其速度的乘积，是矢量量，表示为\( \vec{p} = m\vec{v} \)。
3.2 动量守恒定律在一个封闭系统中，若没有外力作用，系统内所有质点的动量之和保持不变。
4. 动能4.1 定义动能是质点由于运动而具有的能量，计算公式为\( K =\frac{1}{2}mv^2 \)。
4.2 动能定理合外力对质点所做的功等于质点动能的变化量。
5. 势能5.1 定义势能是质点由于位置或状态而具有的能量，与参考点的选择有关。
5.2 重力势能在重力场中，质点的重力势能计算公式为\( U = mgh \)，其中\( h \)是质点相对于参考点的高度。
6. 功6.1 定义功是力在物体上作用时，由于物体的位移而对物体所做的工作，计算公式为\( W = \vec{F} \cdot \vec{d} \)，其中\( \vec{F} \)是力，\( \vec{d} \)是在力的方向上的位移。
6.2 功的守恒在一个封闭系统中，若没有非保守力做功，系统内所有质点的机械能（动能与势能之和）保持不变。
7. 守恒定律7.1 机械能守恒定律在没有非保守力作用的封闭系统中，机械能守恒。
7.2 角动量守恒定律在一个封闭系统中，若没有外力矩作用，系统内所有质点的角动量之和保持不变。
8. 结论质点动力学是理解和描述宏观物体运动的基础。
《理论力学》第九章质点动力学
《理论力学》第九章质点动力 学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
非惯性系中的动力学
在圆盘上O`系内的观测者看来,这个力是离心的,因此称之为
惯性离心力。它是为了让牛顿运动定律在匀角速转动的非惯
性系中成立而引人的一个假想的力。它同样不存在反作用力。
flash\03.3离心 力.exe
对于观察者2：
其中:
F*
m 2FrT
F
*
m
2
r
F*
——离心惯性力(离心力)
北半球的科里奥利力；
vt
FK*
FK*
vt
FK*
vt
FK*
v
北半球FK*
落体偏东
旋风
低压气 区
这是质点在O´系中的加速度 中的加速度 关系
和质点a在相O系
a绝
x
绝对速度 v v 相对速度
牵连速度 vBiblioteka 对于O系，牛顿运动定律适用
F ma绝
F m(a相 a)
所以
F ma ma相
即
F
F*
ma相
令
F
*
ma
叫做惯性力
真实力
FK*
vt
比较以上两式，得
aK 2vt
aK
2
vt
——科里奥利加速度
质点相对转盘走的是直线
FK* maK 2mvt
考虑到方向
FK*
2mvt
——科里奥利力
3.科里奥利力的应用
傅科摆直接证明了地球的自转
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
其转动角速度ω=2π
rad,在杆
AO 上有一质量为 m=0.1 kg 的
套筒B。设开始运动时套筒在
杆的中心点处于相对静止。
x'
忽略摩擦，求套筒运动到端
点A所需要的时间及此时对杆
的水平压力。
31
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
32
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
解：
研究套筒B相对于杆AO的运动。选取和杆AO一起转动的 坐标系Ox'y'z'为动参考系。
2
dx l 2 vr x dt 4
l2 l 3l 可得 vr x 4 2
2
代入式 F2 FIC 2mx ，得 z' ω F1 O B vr mg
36
y' F2 A x'
F2 3 2lm 3.419 N
对于惯性参考系，套筒运动的基本 方程为
F FIe FIC 0
上式称为质点的相对平衡方程。可见在非惯性参考系中，质 点相对静止和作等速直线运动时，其平衡条件是不同的。
18
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
[例1]
图示一测振仪。仪器的机架内
有一质量为m的振子，当机架随 着外界运动时，振子相对与机 架产生相对运动，振子上的笔 将在机架的滚筒上记录下振子
2
y'
Fe*
d 2 ml 2 m( g a0 ) dt
29
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
d 2 ml 2 m( g a0 ) dt
令：02 g a0 ，则上式可写为自由
a0 O x '
l
振动微分方程的标准式
F et m P
d 2 2 0 0 2 dt
约束力
y
(l0 vt) mg cos FT m
2
v
C
x
x
25
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
[例3]
如图所示单摆，摆长为l，小球质量为m，其悬挂点O
以加速度a0向上运动，求此时单摆作微振动的周期。
a0 O
m
26
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
27
动力学 解：
y
l0 ) F1 k ( xC
质心相对运动定理
F2 F 1 P O
xC
y
O
2
mg k ( xC l0 ) cx mb sin t C C m x
质心相对运动方程
xC 0
振子的重 力与弹簧 力平衡
21
C cx C kxC ma sin t m x
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
（3）当质点相对动参考系静止时，有ar=0,vr=0,又FIC=0,则
F FIe 0
上式称为质点相对静止的平衡方程，即当质点在非惯性参考 系中保持相对静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性 力相互平衡。 （4）当质点相对于动参考系作等速直线运动时，有ar=0，则
F
t Ie
FIC
F
t Ie
24
aC
F
n Ie
F
n Ie
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
2 (l0 vt) x : 0 mg cos FT m
(l0 vt) 2m v y : 0 mg sin m
摆的的动力学方程
y
O
2v g sin 0 (l0 vt)
maa F
考虑 aa ar ae aC aC为科氏加速度
则 或 mar mae maC F mar F mae maC
令 FIe mae , FIC maC
mar F FIe FIC
4
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
mar F FIe FIC
2
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
第十六章
非惯性系中的质点动力学
§16–1 非惯性系中质点动力学的基本方程 §16–2 非惯性系中质点动力学的动能定理
3
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
§16-1 非惯性系中质点动力学的基本方程
在非惯性系中，质点动力的基本方程不同于惯性系 如图,设质点M相对O’x’y’z’运动,选取一惯 性参考系Oxyz作为定参考系.则有
FIC
maa mg F1 F2
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
[例4]
设车厢以均加速度a沿水平直线轨道向右行驶。求 由车厢棚顶 M0 处自由落下的质点 M 的相对运动。
z1 M0
M h O1 a y1
x1
37
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
38
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
F
ma t F P FIe
28
y'
Fe*
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
ma t F P FIe
将上式投影到切向轴et上，得 a0 O x '
F et m P
d s m ( P FIe ) sin dt m( g a0 ) sin
当摆作微振动时 ，φ 角很小，有 sin ， 且 s l ，上式成为
FIC
上式再分离变量并积分，即
l
dx l 2 x 4
2
l 2
dt
0
34
l
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
求得套筒到达端点A的时间t为
2 l l l2 1 1 4 t ln ln( 2 3 ) 1 2
z' ω F1 O B vr mg F2 A x' y'
解: 取动坐标系 O x y z 固连车厢。 因为动坐标系作直线平动,有 1 1 1 1 mar = P + FIe (1)
h FIe M P x1 O1 z1 M0 a y1
FIe= mae,方向与车厢加速度 a 相反
把式(1)向动坐标系各轴上投影,得
相对运动微分方程
1 0, m x
y
y
O
v
FIC 2mv
0 yC
小球相对非惯性系的运动已知
l0 vt xC
0 C C x y
C
2 x : 0 mg cos FT m (l0 vt)
x
FT
x
FIC
P
(l0 vt) 2m v y : 0 mg sin m
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
15
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
16
动力学 *几种特殊情况
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
（1）当动参考系相对定参考系做平动，aC=0,FIC=0,则
mar F FIe
（2）当动参考系相对定参考系做匀速直线运动，FIe=FIC=0,则
的相对运动。令振子上的弹簧
刚度为k，粘性阻尼系数为c。 当机架在作简谐振动 b sin t 时， 建立振子的相对运动方程。
b sin t
19
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
[解]
惯性系
Oxy
Oxy
x
x
FIe
C
非惯性系：机架
O'为振子的平衡位置
0 振子的重力与弹簧力平衡 xC
y
C
22
v
x
x
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
小球C牵连加速度
其中
t e
t n ae ae ae
y
y
a (l0 vt)
n 2 ae (l0 小球C牵连惯性力
C
FIe mae m(a a ) F F
33
动力学
dt
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
注意 dx vr ，上式分离变量并积分，即
z' ω F1 O B vr mg F2 A x'
vr
0
vr dvr l xdx
2 2
x
得
y'
或
1 2 1 2 2 l2 vr ( x ) 2 2 4
2 dx l vr x2 dt 4
其解的形式为 A sin (0t ) ，而 振动周期为
y'
Fe*
l T 2π 0 g a0
30
2π
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
[例4]
z'
一直杆AO，长l=0.5 m， 可绕过端点 O 的 z' 轴在水平面 内作匀速转动，如图所示。
O B A vr y'
1
动力学
第十六章 非惯性力系中的质点动力学
牛顿第一定律和牛顿第二定律只适用
于惯性参考系，对于非惯性参考系是不适
用的。本章将建立非惯性系中的质点动力
学基本方程及动能定理。但这里的时间、
质量及空间尺度的度量都是绝对的，速度
也远小于光速，研究对象仍为宏观物体的
机械运动，因此仍属于古典力学（或称经
典力学）范畴。
上式称为非惯性系中的质点动力学基本方程, 或称为质点相对