广西桂平市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题
2019-2020学年广西贵港市桂平市高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年广西贵港市桂平市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{|15},{|22}A x x B x x =∈-<<=-≤Z …，则A B =I ( ) A ．{0,1,2} B ．{0,1}C ．{|12}x x -<≤D ．|25x x 〈-≤<〉【答案】A【解析】先确定集合A 中元素，然后根据交集定义求解． 【详解】由题意{0,1,2,3,4}A =，∴{0,1,2}A B ⋂=． 故选：A ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题． 2．若1sin 4θ=，则cos2θ= （ ） A ．1516-B ．1516C ．78D ．78-【答案】C【解析】根据二倍角余弦公式计算可得. 【详解】 解：41sin θ=Q ， 217cos 212sin 188θθ∴=-=-=，故选：C. 【点睛】本题考查二倍角余弦公式的应用，属于基础题. 3．函数3()9f x x =-的零点所在的区间是( ) A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】C【解析】根据零点存在定理判断．(0)9f =-，(1)8f =-，(2)1f =-，(3)18f =，(2)(3)0<f f ，零点在区间(2,3)上． 故选：C ． 【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题．4．已知向量(),6a m =-r ，()4,3b =-r ，若//a b r r，则a =r （ ）A ．152B ．132C ．9D ．10【答案】D【解析】根据平面向量共线定理求出参数m 的值，再根据坐标法求模. 【详解】解：因为//a b r r ，(),6a m =-r，()4,3b =-r ，所以()()346m =-⨯-，即8m =， ()8,6a ∴=-r.所以643610a =+=r.故选：D. 【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，向量的模的计算，属于基础题.5．已知0a >且1a ≠，则函数22()2log f x x x a =-和()x g x a =在同一个平面直角坐标系的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】按1a >和01a <<分类，确定()g x 的单调性，()f x 的对称轴．1a >时，()x g x a =是增函数，只有C 、D 满足，此时()f x 的对称轴是2log 0x a =>，C 、D 都不满足，不合题意；01a <<时，()x g x a =是减函数，只有A 、B 满足，此时()f x 的对称轴是2log 0x a =<，其中只有B 满足． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的图象，根据1a >和01a <<分类讨论指数函数的单调性和二次函数的对称轴从而得出结论．6．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．14B ．12或2 C ．1 D ．14或1 【答案】D【解析】根据弧长公式及扇形的面积公式得到方程组，计算可得. 【详解】解：由题意得212,18,2l r lr =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得8,2,r l =⎧⎨=⎩或4,4,r l =⎧⎨=⎩故14l r α==或1l r α==.故选：D 【点睛】本题考查弧长公式及扇形的面积公式的应用，属于基础题. 7．为了得到函数sin3y x =的图象，只需把函数sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【答案】C【解析】根据三角函数的平移变换规则计算可得. 【详解】 解：因为sin 3sin 3412x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需把函数sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度，就可以得到函数sin3y x =的图象.【点睛】本题考查三角函数的相位变换，属于基础题.8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式()0f x >的解集为( ) A ．33,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】先研究0x >时，()f x 的正负，然后根据奇函数性质得出0x <时函数值的正负，从而可得不等式()0f x >的解集． 【详解】0x >时， ()32f x x =-，∴302x <<时，()0f x >，32x >时，()0f x <， 又()f x 是奇函数，∴302x -<<时，()0f x <，32x <-时，()0f x >，又(0)0f =，∴()0f x >的解集为33(,)(0,)22-∞-U ．故选：C ． 【点睛】本题考查奇函数的性质．利用奇函数在关于原点对称的区间上函数值相反，可以通过只讨论0x >时()0f x >和()0f x <的解得出0x <时相应的解，从而得出在整个定义域上原不等式的解集．9．设向量153,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，2,3b x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，若a r 与b r的夹角为锐角，则实数x 的取值范围是（ ） A ．5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．4,15⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．544,,31515⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UD ．45 ,,153⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【答案】Cr r r r r r解：因为a r 与b r 的夹角为锐角，所以0a b ⋅>r r，即350x +>，解得53x >-.当a r 与b r 同向时，设λa b =r r （0λ>），则1523,,23x λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3,152,23x λλ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得415x =，从而53x >-且415x ≠. 故选：C 【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标表示，及平面向量共线定理的应用，属于基础题.10．已知0,41.3311,,log 882a b c --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则( )A ．b a c <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】B【解析】把,a b 化为同底数的幂比较大小，再借助于数2与c 比较． 【详解】0.4 1.211()()82a --==，又 1.2 1.3->-，∴1 1.2 1.31112()()()222---=<<．而33log 8log 92<=，∴c a b <<． 故选：B ． 【点睛】本题考查比较大小，比较幂的大小尽量化为同底数的幂或化为同指数的幂，同样比较对数大小也尽量化为同底数的对数，如果不能化为同底数（或同指数）或不同类型的数则要借助于中间值比较，如0,1,2等等． 11．知函数()2sin 3sin 2x f x x -=-，则()f x 的最大值是（ ）A ．53 B ．2C ．32D ．1【答案】A【解析】由()12sin 2f x x =+-，令sin x t =，则[]1,1t ∈-，则()122g t t =+-根据函数的单调性求出最值. 【详解】 解：()2sin 312sin 2sin 2x f x x x -==+--，令sin x t =，则[]1,1t ∈-，令()122g t t =+-，易知()122g t t =+-，在区间[]1,1-上单调递减.所以()f x 的最大值是()513g -=. 故选：A 【点睛】本题考查函数单调性的应用，换元法的应用，属于基础题.12．已知函数()()21,2,2,2,xx f x f x x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩…()132g x x =-，则方程()()f x g x =的解的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【解析】画出函数图象，数形结合即可得解. 【详解】解：因为()()21,2,2,2,xx f x f x x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩…当2x <时，()21xf x =-是增函数，且()3f x <，()132g x x =-是R 上的减函数，经过点()0,3和()6,0.又因为当2x …时，()()2f x f x =-，所以()f x 在[)2,4、[)4,6、[)6,8……上的图象与[)0,2上的图象相同，()f x 与()g x 的图象如图所示，共有4个交点，所以方程()()f x g x =共有4个解. 故选：B本题考查分数函数的性质的应用，数形结合思想的应用，属于中档题.二、填空题13．已知函数()1,0,3,0,x x x f x x ⎧+<=⎨⎩…则21log 8f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________.【答案】9【解析】直接根据分段函数解析式代入求值. 【详解】 解：因为21log 38=-，所以()21log 33128f f ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭，()221log 2398f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：9 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题. 14．若1tan 2α=，1tan 3β=-，则()tan αβ+=_________.【答案】17【解析】直接利用两角和的正切公式计算可得. 【详解】 解：1tan 2α=Q ，1tan 3β=-， ()11tan tan 123tan 111tan tan 7123αβαβαβ-+∴+===-⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭.故答案为：17【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用，属于基础题.15．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，满足4BE EA =u u u r u u u r，连接DE 交AC 于点M ，若DM AC AD λ=-u u u u r u u u r u u u r，则λ=_________. 【答案】1【解析】依题意画出草图，可得AME CMD ∆∆∽，即15AM AE MC CD ==，再根据向量的减法法则计算可得. 【详解】解：因为4BE EA =u u u r u u u r，四边形ABCD 为平行四边形，AME CMD ∴∆∆∽，15AM AE MC CD ∴==，所以16AM AC =u u u u r u u u r . 因为16DM AM AD AC AD =-=-u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以16λ=.故答案为：16【点睛】本题考查平面向量的减法运算，属于基础题.16．函数()113934x x f x --⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在[)1,-+∞上的值域为_________. 【答案】3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】令13x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，原函数的值域等价于函数()22333342g t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭（03t <…）的值域，根据二次函数的性质计算可得. 【详解】解：()12131139334334x x x xf x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-+⨯+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为[)1,x ∈-+∞，所以(]03t ∈,， 原函数的值域等价于函数()22333342g t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭（03t <…）的值域，所以()f x 在30,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，332f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()3034f f ==所以()3,34f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查二次函数的性质及换元法求函数的值域，属于基础题.三、解答题17．已知角α的终边上有一点()P . （1）求与角α终边相同的角的集合；（2）求()()3sin sin 2cos cos 2ππααππαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫----- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）22,3k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）2-【解析】（1）根据三角函数的定义可得tan yxα==出α，最后根据终边相同的角的表示方法得解.（2）根据诱导公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代值计算可得. 【详解】解：（1）因为角α的终边上有一点()P ，所以tan yxα==α的终边在第二象限.因为2tan3π=， 所以与角α终边相同的角的集合为22,3k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. （2）由（1）知tan α= 所以()()3sin sin 2cos cos 2ππααππαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫----- ⎪⎝⎭sin cos sin cos cos sin cos sin αααααααα--+==-+- tan 11tan αα+=-=2=-+.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用，属于基础题.18．（1）计算：()0.51lg2411log 2109--⎛⎫--++ ⎪⎝⎭；（2）已知集合1393x A x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}|121B x a x a =-<<+，且B A ⊆，求a 的取值范围. 【答案】（1）72；（2）(]1,20,2⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦U 【解析】（1）根据指数幂的运算及对数的性质计算可得.（2）首先求出集合A ，再根据集合的包含关系得到不等式组解得. 【详解】解：（1）原式12lg 2lg 210192lg 210=-++11352=-++72=. （2）{}139|123x A xx x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭， ①当集合B =∅时，只要121a a -+…，解得2a -…；②当集合B ≠∅时，必须满足121,11,212,a a a a -<+⎧⎪--⎨⎪+⎩……解得102a 剟. 综上可知，a 的取值范围是(]1,20,2⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦U .【点睛】本题考查指数幂的运算，集合的包含关系求参数的值，属于基础题. 19．已知函数()2ln xf x a b x =⋅+，且()12f =，()24ln 2f =+.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）1a =⎧⎨；（2）ln 2,162ln 2⎤+⎦【解析】（1）由()12f =，()24ln 2f =+.代入得到方程组，解得. （2）由（1）知()2ln xf x x =+，根据函数的单调性即可得解.【详解】解：（1）因为()12f =，()24ln 2f =+，所以22,4ln 24ln 2,a a b =⎧⎨+⋅=+⎩ 解得1,1.a b =⎧⎨=⎩（2）由（1）知()2ln xf x x =+.因为2xy =，ln y x =都是()0,∞+上的增函数，所以()2ln xf x x =+在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上也是增函数，又1ln 22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()4162ln 2f =+，所以()f x 在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为ln 2,162ln 2⎤+⎦. 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，指数、对数函数的单调性的应用，属于基础题. 20．已知函数()cos cos 4444x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）设函数()f x 在[]0,2π上的图象的最高点和最低点分别为A ，B ，O 为坐标原点，(),0M π-，求()OA OB MB +⋅u u u r u u u r u u u r的值.【答案】（1）[]4,42k k πππ+（k Z ∈）；（2）26π 【解析】（1）由诱导公式及二倍角公式化简可得()1cos 22xf x =，再根据余弦函数的性质解答即可.（2）由（1）可求A ，B 的坐标，再根据向量数量积的坐标运算计算可得. 【详解】 （1）因为2cos cos cos sin 44444444x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以()11cos cos cos sin sin cos4444444422222x x x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅-=+⋅+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令222xk k πππ+剟（k Z ∈）， 得442k x k πππ+剟（k Z ∈），所以函数()f x 的单调递减区间为[]4,42k k πππ+（k Z ∈）. （2）由（1）知函数()f x 在[]0,2π上单调递减，()1010cos 222f ==，()1212cos 222f ππ==-所以10,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,2B π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()110,2,2,022OA OB ππ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，又()112,,03,22MB πππ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r ，所以()2236OA OB MB πππ+⋅=⨯=u u u r u u u r u u u r .【点睛】本题考查余弦函数的性质及平面向量的数量积的计算，属于基础题.21．电子芯片是“中国智造”的灵魂，是所有整机设备的“心脏”.某国产电子芯片公司，通过大数据分析，得到如下规律：生产一种高端芯片x （010x 剟）万片，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万片的生产成本为200万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()F x （单位：万元）满足()24004200,06,8001000,610.x x x F x x x ⎧-+=⎨-<⎩剟…假定生产的芯片都能卖掉.（1）将利润()f x （单位：万元）表示为产量x （单位：万片）的函数；（2）当产量x （单位：万片）为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？【答案】（1）()()()24004000800,066001800,610x x x f x F x G x x x ⎧-+-=-=⎨-<⎩剟…；（2）产量为5万片时，公司所获利润最大，最大利润为9200万元.【解析】（1）首先求出总成本函数()G x ，再由()()()f x F x G x =-计算可得； （2）由（1）利用分段函数的性质及二次函数的性质计算可得.【详解】（1）当产量为x 万片时，由题意得()800200G x x =+.因为()()()24004000800,06,6001800,610.x x x f x F x G x x x ⎧-+-=-=⎨-<⎩剟… 所以()()()24004000800,06,6001800,610.x x x f x F x G x x x ⎧-+-=-=⎨-<⎩剟… （2）由（1）可得，当06x 剟时，()()240059200f x x =--+. 所以当5x =时，()max 9200f x =（万元）.当610x <…时，()6001800f x x =-，()f x 单调递增，所以()()104200f x f =…（万元）综上，当5x =时，()max 9200f x =（万元），即当产量为5万片时，公司所获利润最大，最大利润为9200万元. 【点睛】本题考查分段函数模型的应用，二次函数的性质的应用，属于基础题. 22．已知函数()sin 2coscos 2sin33f x x x ππ=+.（1）若对任意,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有4f x m π⎛⎫- ⎪⎝⎭…成立，求实数m 的取值范围；（2）设函数()1226g x f x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭求()g x 在区间[],3ππ-内的所有零点之和. 【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）2π【解析】（1）首先根据两角和的正弦公式得到()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，从而得到4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的解析式，根据正弦函数的性质求出其值域，从而得到参数的取值范围；（2）首先求出()g x 的解析式，根据正弦函数的对称性即可解答. 【详解】解：（1）因为()sin 2coscos 2sin33f x x x ππ=+()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， 所以sin 2sin 24436f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.又,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,662x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 故1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即min 142f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，12m …，所以实数m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）由（1）得()1122sin 22sin 26226322g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令()0g x =，得sin x =，由正弦函数图象可知，sin x =[],3ππ-上有4个零点这4个零点从小到大不妨设为1x ，2x ，3x ，4x ，则由对称性得1222x x π+=-，34322x x π+=， 从而所有零点和为12342x x x x π+++=. 【点睛】本题考查两角和的正弦公式的应用，三角函数的性质的应用，属于基础题.。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题(附解析版)
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题（附解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：集合，，．故选：D．先分别求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.函数的定义域为A. B.C. D. ，【答案】C【解析】解：要使函数有意义则解得且函数的定义域为故选：C．根据分式的分母不为0，对数的真数大于0，建立关系式，解之即可．本题考查函数定义域的求解，属基础题，做这类题目的关键是找对自变量的限制条件．3.运行如图所示的程序，若输出y的值为2，则可输入实数x值的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】解：模拟程序运行，可得程序的功能是求的值，故时，，解得：舍去；时，，解得：舍，或，综上，可得可输入x的个数为1．故选：B．模拟程序运行，可得程序的功能是求的值，分类讨论即可得可输入x的个数．本题的考点是函数零点几何意义和用导函数来画出函数的图象，考查了数学结合思想和计算能力，属于基础题．4.一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设20个数分别为，，，，求出的平均数为，实际平均数，求出的平均数与实际平均数的差：．故选：B．求出的平均数与实际平均数的差：，由此能求出结果．本题考查求出的平均数与实际平均数的差的求法，考查平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.已知函数，那么的值为A. 9B.C.D.【答案】B【解析】解：，，而，．．故选：B．首先判断自变量是属于哪个区间，再代入相应的解析式，进而求出答案．正确理解分段函数在定义域的不同区间的解析式不同是解题的关键．6.某单位有职工160人，其中业务员104人，管理人员32人，其余为后勤服务人员，现用分层抽样方法从中抽取一容量为20的样本，则抽取后勤服务人员A. 3人B. 4人C. 7人D. 12人【答案】A【解析】解：根据分层抽样原理知，应抽取后勤服务人员的人数为：．故选：A．根据分层抽样原理求出应抽取的后勤服务人数．本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．7.已知函数，若对任意实数，且都有成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，满足对任意实数，且都有成立，则函数为减函数，又由，则有，解可得，即a的取值范围为；故选：A．根据题意，分析可得函数为减函数，结合函数的解析式可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性的判定以及应用，涉及分段函数的应用，关键是掌握函数单调性的定义．8.函数的部分图象大致是如图所示的四个图象中的一个，根据你的判断，a可能的取值是A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】解：函数为偶函数，图象关于原点对称，排除，又指数型函数的函数值都为正值，排除，故函数的图象只能是，当时，函数为减函数，则，得，故只有4满足故选：D．根据函数奇偶性和单调性的性质先确定对应的图象，然后结合指数函数的图象特点确定底数的大小即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数值的符号确定对应的图象是解决本题的关键．9.一直以来，由于长江污染加剧以及滥捕滥捞，长江刀鱼产量逐年下降为了了解刀鱼数量，进行有效保护，某科研机构从长江中捕捉a条刀鱼，标记后放回，过了一段时间，再从同地点捕捉b条，发现其中有c条带有标记，据此估计长江中刀鱼的数量为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设长江中刀鱼的数量为x条，根据随机抽样的等可能性，得：，解得．故选：D．设长江中刀鱼的数量为x条，根据随机抽样的等可能性，列出方程能求出结果．本题考查长江中刀鱼的数量的估计，考查随机抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.已知偶函数在区间上是单调递增函数，若，则实数m的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：偶函数在区间上是单调递增函数，则在上为减函数，若，则，即，求得，故选：C．由题意利用函数的奇偶性和单调性可得，由此求得实数m的取值范围．本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．11.如图程序框图是为了求出满足的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】D【解析】解：因为要求时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．通过要求时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“”，进而通过偶数的特征确定．本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．12.已知函数，，若方程有且只有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：当时，方程可化为，解得：或，又，所以当时，此时方程有一个实数根，当时，方程可化为，由题意有此方程必有两不等实数根，设，由二次方程区间根问题有：，解得：或，综合可得：实数a的取值范围为：，故选：C．含参、含绝对值的二次函数的解的个数问题先通过讨论：当时，当时去绝对值符号，再结合区间根问题求解二次方程的根的个数即可．本题考查了含参、含绝对值的二次函数的解的个数问题及区间根问题，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，那么______．【答案】3【解析】解：由得，，即，故答案为：3由，求出，直接代入即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数解析式直接转化是解决本题的关键．14.《少年中国说》是清朝末年梁启超所作的散文，写于戊戌变法失败后的1900年，文中极力歌颂少年的朝气蓬勃，其中“少年智则国智，少年富则国富；少年强则国强，少年独立则国独立”等优秀文句激励一代又一代国人强身健体、积极竞技年，甲、乙、丙、丁四人参加运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表：则参加运动会的最佳人选应为______．【答案】丙【解析】解：从表格中可以看出乙和丙的平均成绩优于甲和丁的平均成绩，但是两的成绩发挥的最稳定，故最佳人选应该是丙．故答案为：丙．从表格中可以看出乙和丙的平均成绩优于甲和丁的平均成绩，但是两的成绩发挥的最稳定．本题考查最佳人选的判断，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.某汽车4S店销售甲品牌A型汽车，在2019年元旦期间，进行了降价促销活动，根据以往数据统计，该型汽车的价格与月销售量之间有如下关系：已知A型汽车的销售量y与价格x符合线性回归方程：，若A型汽车价格降到19万元，预测它的销售量大约是______辆【答案】42【解析】解：由图表可得，，．代入线性回归方程，得．，当时，．预测它的销售量大约是42辆．故答案为：42．由已知求得，代入线性回归方程求得b，得到线性回归方程，取求得y值得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．16.已知函数有唯一零点，则______．【答案】【解析】解：与的图象均关于直线对称，的图象关于直线对称，的唯一零点必为，，，．故答案为：．判断函数与的图象的对称性，结合函数的对称性进行判断即可．本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件判断函数的对称性是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，．Ⅰ当时，求；Ⅱ若，求实数k的取值范围．【答案】解：Ⅰ当时，，则，分Ⅱ，则分当时，，解得；分当时，由得，即，解得分综上，分【解析】Ⅰ直接根据并集的定义即可求出由，得，由此能求出实数k的取值范围．本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.计算下列各式的值：；．【答案】解：原式；原式．【解析】进行分数指数幂的运算即可；进行对数的运算即可．考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的运算性质．19.已知是奇函数．求a的值并判断的单调性，无需证明；若对任意，不等式恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】解：是奇函数，定义域为R，，解得，验证：，，即为奇函数，，在R上为增函数，对任意，不等式恒成立，，在R上为增函数，，，即对任意，恒成立，令，，，，对于，当时取最大值，最大值为3，，，故实数k的取值范围为．【解析】由奇函数的性质可得，在判断函数的单调性；利用的奇偶性和单调性，将不等式转化为：在上恒成立，然后转化为最值，最后构造函数求出最大值即可．本题考查了奇偶函数定义、函数的单调性、恒成立问题转化为最值、二次函数求最值属中档题．20.张先生和妻子李女士二人准备将家庭财产100万元全部投资兴办甲、乙两家微型企业，计划给每家微型企业投资50万元，张先生和妻子李女士分别担任甲、乙微型企业的法人根据该地区以往的大数据统计，在10000家微型企业中，若干年后，盈利的有5000家，盈利的有2x家，持平的有2x家，亏损的有x家．求x的值，并用样本估计总体的原理计算：若干年后甲微型企业至少盈利的可能性用百分数示；张先生加强了对企业的管理，预计若干年后甲企业一定会盈利，李女士由于操持家务，预计若干年后盈利情况与该地区以往的大数据统计吻合求若干年后李女士拥有的家庭财产数量的期望值婚姻期间财产各占一半．【答案】解：，，用样本估计总体计算得：若干年后甲微型企业至少盈利的可能性为：．由题意得若干年后，两人家庭财产的总数量为：万元．由于婚姻期间家庭财产为共同财产，若干年后李女士拥有的家庭财产数量的期望值婚姻期间财产各占一半为：万元．【解析】由，求出，用样本估计总体，能求出若干年后甲微型企业至少盈利的可能性．由题意求出若干年后，两人家庭财产的总数量，由此能求出若干年后李女士拥有的家庭财产数量的期望值．本题考查实数值、至少盈利的可能性、期望值的求法，考查用样本特征估计总体特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.当今的学校教育非常关注学生身体健康成长，某地安顺小学的教育行政主管部门为了了解小学生的体能情况，抽取该校二年级的部分学生进行两分钟跳绳次数测试，测试成绩分成，，，四个部分，并画出频率分布直方图如图所示，图中从左到右前三个小组的频率分别为，，，且第一小组从左向右数的人数为5人．求第四小组的频率；求参加两分钟跳绳测试的学生人数；若两分钟跳绳次数不低于100次的学生体能为达标，试估计该校二年级学生体能的达标率用百分数表示【答案】解：第四小组的频率为：．设参加两分钟跳绳测试的学生有x人，则，解得，参加两分钟跳绳测试的学生人数为50人．由题意及频率分布直方图知：样本数据参加两分钟跳绳次数测试体体能达标率为：，估计该校二年级学生体能的达标率为．【解析】由频率分布直方图能求出第四小组的频率．设参加两分钟跳绳测试的学生有x人，则，由此能求出参加两分钟跳绳测试的学生人数．由题意及频率分布直方图知样本数据参加两分钟跳绳次数测试体体能达标率为，由此能估计该校二年级学生体能的达标率．本题考查频率、频数、达标率的求法，考查频率分布直图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22.已知函数，其最小值为．求的表达式；当时，是否存在，使关于t的不等式有且仅有一个正整数解，若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：函数的对称轴为，当时，区间为增区间，可得；当，可得；当时，区间为减区间，可得．则；当时，即，可得，令，，可得在递减，在递增，在的图象如右图：，，由图可得，即，关于t的不等式有且仅有一个正整数解2，所以k的范围是【解析】求得的对称轴，讨论对称轴和区间的关系，结合单调性可得最小值；由题意可得，令，求得单调性，画出图象，可得整数解2，即可得到所求范围．本题考查二次函数的最值求法，注意运用对称轴和区间的关系，考查不等式有解的条件，注意运用参数分离和对勾函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
广西桂林市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
广西桂林市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={0,1,2}，则( )A. 0∈AB. 1∉AC. 2=AD. 3∈A2. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的棱所在的直线中，与直线BC 1异面的直线的条数为( )A. 1B. 2C. 3D. 43. 函数f(x)=√3−2x x+2的定义域为( ) A. (−∞ ,32]B. (−∞ , 32) C. (−∞ ,−2)⋃(−2,32] D. (−∞ ,−2)⋃(−2,32) 4. 过A(√3,1),B(3,√3)两点的直线的倾斜角为( )A. π6B. π4C. π3D. 5π12 5. 对于集合A ={x|0≤x ≤2}，B ={y|0≤y ≤3}，则由下列图形给出的对应f 中，能构成从A到B 的函数的是( )A. B.C. D.6. 函数f(x)=x 3+x 的奇偶性是( )A. 偶函数B. 奇函数C. 非奇非偶D. 无法判断7. 如图三棱锥，则该三棱锥的俯视图是( )A. B. C. D.8. 已知函数f(x)=lnx +2x −6的零点位于区间(m −1,m ),m ∈Z 内，则271m +log 9m =( ) A. 103 B. 5 C. 11 D. 729. 设a =(34)0.5，b =(43)0.4，c =log 34(log 34)，则( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. c <b <a10. 为了得到函数y =sin(x +14)的图象，只需把y =sinx 图象上所有的点( )A. 向左平移14个单位 B. 向右平移14个单位C. 向左平移π4个单位 D. 向右平移π4个单位11. 设m ，n 为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的是( )A. 若m ⊂α，n ⊂α，且m//β，n//β，则α//βB. 若m//α，m//n ，则n//αC. 若m//α，n//α，则m//nD. 若m ，n 为两条异面直线，且m//α，n//α，m//β，n//β，则α//β12. 设函数f(x)=lg |x |−1x 2+1，则使得f(log 5m)≥0成立的m 的取值范围是( )．A. [15,5] B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若f(x)={x 2+1 (x ≤0)f(x −1) (x >0)，则f (52)=__________． 14. 直线x −2y +1=0与2x −4y +7=0之间的距离为______ ．15. 已知lg 9=a ，10b =5，则用a ，b 表示log 3645为_________．16. 边长为2的等边△ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在以O 为球心的球面上，若球O 的表面积为148π3，则三棱锥O −ABC 的体积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 求经过两条直线2x −3y +10=0和3x +4y −2=0的交点，且垂直于直线3x −2y +4=0的直线方程．18. 已知集合A ={x|−1<x <2}，B ={x|k <x <2−k}．(Ⅰ)当k =−1时，求A ∪B ；(Ⅱ)若A ∩B =B ，求实数k 的取值范围．19. 已知函数f(x)=x 2−1，证明函数f(x)在(−∞,0)的单调性．20.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知点D为棱BC中点．(1)如果AB=AC，求证：平面ADC1⊥平面BB1C1C；(2)求证：A1B//平面平面AC1D．21.因发生交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一池塘中，为了治理污染，根据环保部门的建议，现决定在池塘中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放a(1≤a≤4)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(天)变化的函数关系近似为y=a·f(x)，其中f(x)={168−x−1(0≤x≤4)5−12x(4<x≤10).若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？(2)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值．22.已知函数f(x)=1．4x+1(1)若函数g(x)=f(x)+a是奇函数，求实数a的值；(2)若关于x的方程f(2x2−2tx)+f(−x2−3+2t)=1在区间(0,2)上有解，求实数t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了元素与集合的关系，由集合A ={0,1,2}，故可得答案．解：因为A ={0,1,2}，故可得0∈A 是正确的，故选A ．2.答案：C解析：本题考查异面直线的判断，属于基础题．在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的棱所在的直线中，与直线BC 1异面的直线有：A 1B 1，AC ，AA 1． 解：在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的棱所在的直线中，与直线BC 1异面的直线有：A 1B 1，AC ，AA 1，共3条．故选C ．3.答案：C解析：本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．解：由{3−2x ≥0x +2≠0，解得x ≤32且x ≠−2． ∴函数f(x)=√3−2x x+2的定义域是(−∞ ,−2)⋃(−2,32]． 故选C ． 4.答案：A解析：本题考查由两点坐标求直线的斜率，考查直线斜率与倾斜角的关系，是基础题．由两点坐标求直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求解．解：过A(√3,1),B(3,√3)两点的直线的斜率k =√3−13−√3=√33， 设过A(√3,1),B(3,√3)两点的直线的倾斜角为θ(0≤θ<π)， 则tanθ=√33，∴θ=π6． 故选：A ．5.答案：D解析：本题考查函数的基本概念及函数图象，属于基础题．直接根据函数的定义，逐个分析各选项便可得出结果．解：根据函数的定义，逐个分析各选项：对于A ：不能构成，因为集合A 中有一部分元素(靠近x =2)并没有函数值，所以不符合函数定义； 对于B ：不能构成，因为集合A 中的存在元素(如x =1)与集合B 中的两个元素对应，不符合函数定义；对于C ：不能构成，因为集合A 中的存在元素(如x =1)与集合B 中的两个元素对应，不符合函数定义；对于D ：能够构成，因为集合A 中的每个元素都只与集合B 中某一个元素对应，符合函数定义． 故选D ．6.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性，属于基础题．根据函数奇偶性的定义进行判断，注意定义域是否关于原点对称．解：f(x)=x 3+x 的定义域为R ，关于原点对称．又f(−x)=(−x)3+(−x)=−x 3−x =−(x 3+x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数．故选B ．7.答案：D解析：解：点A 在底面的投影为点A 正下方的正方体的顶点A′．故棱锥的俯视图为等腰直角三角形A′BC ，其中棱BD 被侧面ABC 挡住，故需画成虚线． 故选：D ．找出A 在底面的投影，得出俯视图形状．本题考查了简单几何体的三视图的定义，属于基础题．8.答案：D解析：本题考查了函数零点与方程的根的关系，以及指数式和对数式的运算．解：∵f (2)=ln2−2<0,f (3)=ln3>0，∴f(x)=lnx +2x −6存在零点x 0∈(2,3)，∵f(x)=lnx +2x −6在定义域(0,+∞)上单调递增，∴f (x )的存在唯一的零点在2，3)内，依题意，则整数m =3，∴271m +log 9m =2713+log 93=3+12=72．故选D ．9.答案：C解析：解：∵a =(34)0.5∈(0,1)，b =(43)0.4>1，c =log 34(log 34)<0， ∴c <a <b ．故选：C ．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：A解析：本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．把函数y =sinx 的图象向左平移14个单位长度，可得结果．解：由三角函数图像变换的规则可知：把函数y =sinx 的图象向左平移14个单位长度，可得y =sin(x +14)的图象，，故选A ．11.答案：D解析：本题考查了空间线面位置关系的判定与性质，属于中档题．根据空间线面位置关系的定义、性质和判定定理进行判断．解：对于A ，如m//n ，则α与β可能相交，可能平行，故A 错误；对于B ，若n ⊂α，显然结论错误，故B 错误．对于C ，若m//α，n//α，则m ，n 可能平行，可能相交，也可能是异面直线，故C 错误; 对于D ，假设α与β相交，交线为l ，∵m//α，m//β，则m//l ，同理可得n//l ，∴m//n ，与m ，n 为异面直线矛盾，故假设错误，∴α//β，故D 正确；故答案为D ．12.答案：B解析：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．解：易知函数f(x)=lg |x |−1x 2+1为偶函数，当x ≥0时，， 可知f(x)=lg |x |−1x 2+1在[0,+∞)单调递增，f(log 5m)≥0，即，等价为|log 5m|≥1，即log 5m ≥1，或log 5m ≤−1 解得：m ≥5，或0<m ≤15， 所求x 的取值范围是． 故选B ． 13.答案：54解析：此题考查分段函数求函数值，属于基础题目．关键是由已知得出f (52)=f (−12)，代入x ≤0时解析式可得．解：f(x)={x 2+1 (x ≤0)f(x −1) (x >0)， 则f (52)=f (32)=f (12)=f (−12)=(−12)2+1=54． 故答案为54．14.答案：√52解析：解：∵2×2−1×4=0，∴已知两直线平行，化直线x −2y +1=0为2x −4y +2=0，由距离公式可得d =22=√52．故答案为：√52． 先判断两直线平行，然后代入平行线间的距离公式计算可得．本题考查两平行线间的距离公式，涉及直线平行的判定，属中档题．15.答案：b+a 2−2b+a解析：本题考查了对数式与指数式的互化、对数的换底公式、lg2+lg5=1，考查了计算能力，属于基础题．利用对数式与指数式的互化、对数的换底公式、lg2+lg5=1即可得出．解：∵lg9=a ，10b =5，∴b =lg5，∴log 3645=lg5+lg92lg2+lg9=b+a 2(1−b)+a ，故答案为b+a 2−2b+a ．16.答案：√333解析：本题考查球的内接体，三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题． 求出球的半径，然后求解三棱锥的高，即可求三棱锥的体积．解：球O 的表面积为148π3，可得：4πR 2=148π3，球的半径为：R =√373.三棱锥的高为：h ，则ℎ2=R 2−(23×2×√32)2=11． 则三棱锥O −ABC 的体积为：V O−ABC =13×√34×22×√11=√333． 故答案为：√333． 17.答案：解：联立{2x −3y +10=03x +4y −2=0，解得{x =−2y =2，即所求直线过点(−2,2)，又直线3x −2y +4=0的斜率为32，故所求直线的斜率k =−23，由点斜式可得y −2=−23(x +2)，化为一般式可得：2x +3y −2=0，故所求直线的方程为：2x+3y−2=0．解析：联立方程可得交点，由垂直关系可得直线的斜率，由点斜式可写方程，化为一般式即可．本题考查直线交点的求解，以及互相垂直的直线的斜率的关系，属基础题．18.答案：解：(Ⅰ)当k=−1时，B={x|−1<x<3}，则A∪B={x|−1<x<3}，.……………………(4分)(Ⅱ)∵A∩B=B，则B⊆A.………………………………………………………………(5分)(1)当B=⌀时，k≥2−k，解得k≥1；……………………………………………(8分)(2)当B≠⌀时，由B⊆A得{k<2−kk≥−12−k≤2，即{k<1k≥−1k≥0，解得0≤k≤1.………(11分)综上，k≥0.……………………………………………………………………………(12分)解析：(Ⅰ)直接根据并集的定义即可求出(2)由A∩B=B，得B⊆A，由此能求出实数k的取值范围．本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.答案：证明：设x1<x2<0，则f(x1)−f(x2)=x12−1−x22+1=x12−x22=(x1+x2)(x1−x2)，∵x1<x2<0，∴x1+x2<0，x1−x2<0，即f(x1)−f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)在(−∞,0)的单调递减．解析：根据函数单调性的定义即可得到结论．本题主要考查函数单调性的判断和证明，利用单调性的定义是解决本题的关键．20.答案：证明：(1)因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD，因为AB=AC，D为BC中点，所以BC⊥AD，因为CC1∩BC=C，CC1⊂平面B1BCC1，BC⊂平面B1BCC1，所以AD⊥平面B1BCC1．因为AD⊂平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BB1C1C；(2)连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC−A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．又D为BC中点，所以OD为ΔA1BC的中位线，所以A1B//OD，因为A1B⊄平面AC1D，OD⊂平面AC1D，所以A1B//平面AC1D.解析：本题考查面面垂直的判定，考查线面平行的判定，掌握面面垂直、线面平行的判定定理是关键，属于中档题．(1)利用线面垂直的判定，证明CC1⊥AD，BC⊥AD，即可证明AD⊥平面BB1C1C，又AD⊂平面ADC1，则可证明平面ADC1⊥平面BB1C1C；(2)连接A1C，交AC1于点O，连接OD，利用OD为ΔA1BC的中位线，可得A1B//OD，利用线面平行的判定，可证A1B//平面平面AC1D．21.答案：解：(1)因为a=4，所以y={648−x −4(0≤x≤4)20−2x(4<x≤10)；则当0≤x≤4时，由648−x−4≥4，解得x≥0，所以此时0≤x≤4，当4<x≤10时，由20−2x≥4，解得x≤8，所以此时4<x≤8；综合，得0≤x≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天．(2)当6≤x≤10时，y=2×(5−12x)+a(168−(x−6)−1)=10−x+16a14−x−a=(14−x)+16a14−x−a−4，因为，14−x∈[4,8]，而1≤a≤4，所以，4√a∈[4,8]，由基本不等式得，当且仅当14−x=4√a时，y有最小值为8√a−a−4；令8√a−a−4≥4，解得24−16√2≤a≤4，所以a的最小值为24−16√2≈1.37．解析：本题考查了分段函数模型的应用以及基本不等式的应用问题，解题时应分区间考虑函数的解析式，属于中档题．(1)由a=4，得y=a⋅f(x)，即y={648−x −4(0≤x≤4)20−2x(4<x≤10)；令y≥4，解得x的取值范围．(2)要使接下来的4天中能够持续有效治污，即当6≤x≤10时，y=2×(5−12x)+a(168−(x−6)−1)≥4恒成立，求y的最小值，令其8√a−a−4≥4，解出a的最小值．22.答案：解：(1)g(x)=f(x)+a=14x+1+a，函数y=g(x)的定义域为R，由于函数y=g(x)是奇函数，则g(−x)+g(x)=0，即14−x+1+14x+1+2a=0，∴−2a=14+1+14+1=114x+1+14+1=4x4+1+14+1=1，因此，a=−12；(2)∵g(x)=f(x)−12是奇函数，则方程f(2x2−2tx)+f(−x2−3+2t)=1等价为f(2x2−2tx)−12+f(−x2−3+2t)−12=0，即g(2x2−2tx)+g(−x2−3+2t)=0，则g(2x2−2tx)=−g(−x2−3+2t)=g(x2+3−2t)，∵函数y=g(x)在定义域上是单调函数，∴2x2−2tx=x2+3−2t在区间(0,2)上有解，即x 2−2tx +2t −3=0在区间(0,2)上有解．构造函数k(x)=x 2−2tx +2t −3，x ∈(0,2)．①若函数y =k(x)在区间(0,2)上有且只有一个零点， 则或k(0)k(2)=(2t −3)(1−2t)⩽0，解得t ⩽12或t ⩾32． 当t =12时，k(x)=x 2−x −2，令k(x)=0，得x 1=−1，x 2=2，不合题意；当t =32时，k(x)=x 2−3x ，令k(x)=0，得x 1=0，x 2=3，不合题意；②若函数y =k(x)在区间(0,2)有两个零点， 则，此时t ∈⌀．综上所述，实数t 的取值范围是．解析：本题考查函数的奇偶性，函数的单调性及方程有解等知识，属于较难题．(1)由g(−x)+g(x)=0恒成立即可求解，(2)根据g(x)的单调性及奇偶性，可得x 2−2tx +2t −3=0在区间(0,2)上有解，构造函数分类讨论即可求解．。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷附答案
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.点（1，-1）到直线y=x+1的距离是（）A. B. C. D.2.已知圆的方程为x2+y2-2x+6y+8=0，那么通过圆心的一条直线方程是（）A. B. C. D.3.已知两条平行直线l1：3x+4y+5=0，l2：6x+by+c=0间的距离为3，则b+c=（）A. B. 48 C. 36 D. 或484.下列命题中正确的个数是（）①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑤平行于同一平面的两直线可以相交．A. 1B. 2C. 3D. 45.如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（）A. B. C. D.7.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A.B.C.D.8.一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、侧视图（又称左视图）如右图所示，则其俯视图为（）A. B. C.D.9.已知a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点（）A. B. C. D.10.过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A. B. C. D.11.如果一个正四面体的体积为9dm3，则其表面积S的值为（）A. B. C. D.12.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A. 2：1B. 3：1C. 3：2D. 4：3二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．14.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是______．15.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则侧面与底面所成的二面角为______．16.已知两点A（-3，2），B（2，1），点P（x，y）为线段AB上的动点，假设m=，则m的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）17.求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．18.△ABC中，已知C（2，5），角A的平分线所在的直线方程是y=x，BC边上高线所在的直线方程是y=2x-1，试求顶点B的坐标．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．20.当0＜a＜2时，直线l1：ax-2y=2a-4与l2：2x+a2y=2a2+4和两坐标轴围成一个四边形，问a取何值时，这个四边形面积最小，并求这个最小值．21.如图所示，正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由.答案和解析1.【答案】D【解析】解：点（1，-1）到直线y=x+1的距离：d==．故选：D．利用点到直线的距离公式直接求解．本题考查点到直线方程的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．2.【答案】C【解析】解：因为圆的方程为x2+y2-2x+6y+8=0，所以圆心坐标（1，-3），代入选项可知C正确．故选：C．求出圆的圆心坐标，验证选项即可．本题考查圆的一般方程，点的坐标适合直线方程；也可认为直线系问题，是基础题．3.【答案】D【解析】解：将l1：3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0，因为两条直线平行，所以b=8．由=3，解得c=-20或c=40．所以b+c=-12或48故选D．将l1：3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0，利用两条直线平行及距离为3，即可求得结论．本题考查两条平行线间距离的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：①若直线a不在α内，则a可能和α相交，所以①错误．②a和α相交时，直线l上有无数个点不在平面α内，但此时l∥α不成立，所以②错误．③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都没有公共点，所以直线可能平行或异面，所以③错误．④根据线面平行的定义可知，若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点，以④正确．⑤根据线面平行的性质可知平行于同一个平面的两两条直线可能相交，可能平行，也可能是异面直线，所以⑤正确．故正确的是：④⑤．故选B．①根据直线和平面的位置关系判断．②利用直线和平面的位置关系判．③利用线面平行的定义判断．④利用线面平行的性质判断．⑤根据线面平行的性质判断．本题主要考查空间直线和平面平行判定和性质，要求熟练掌握线面平行的定义和性质．5.【答案】B【解析】解：由题意可知B≠0，故直线的方程可化为，由AB＞0，BC＞0可得＞0，＜0，由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第二象限，故选：B．化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案．本题考查直线的斜率和截距的几何意义，属基础题．6.【答案】A【解析】解：B是经过正方体对角面的截面；C是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．故选：A．对选项进行分析，即可得出结论．本题考查用过球心的平面去截这个组合体的截面图，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．本小题主要考查直三棱柱ABC-A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：根据主视图和左视图可知正方体截取的两个角是在同一个面上的两个相对的角，∴它的俯视图是一个正方形，正方形的右下角是以实线画出的三角形，左上角是一个实线画出的三角形，依题意可知该几何体的直观图如图，其俯视图应选C．故选C．正方体截取的两个角是在同一个面上的两个相对的角，它的正视图外围是一个正方形，正方形的左上角是以虚线画出的三角形，右上角是一个实线画出的三角形，看出结果．本题考查简单空间图形的三视图，本题解题的关键是通过两个视图，想象出正方体的形状和位置，注意虚线和实线的区别．解：因为a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0化为（1-2b）x+3y+b=0，即x+3y+b（-2x+1）=0恒成立，，解得，所以直线经过定点（）．故选：B．利用已知条件，消去a，得到直线系方程，然后求出直线系经过的定点坐标．本题考查直线系方程的应用，考查直线系过定点的求法，考查计算能力．10.【答案】A【解析】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于-，由点斜式求得所求直线的方程为y-2=-（x-1），化简可得x+2y-5=0，故选A．先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式．本题考查用点斜式求直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．11.【答案】B【解析】解：设正四面体P-ABC，棱长为a，高为PO，O为底面正三角形外心（重心），∴底面正三角形高为AD=，S△ABC=，∵AO=，∴PO=，∴V===9，解得a=3（dm），∴表面积S=4×=18（dm2）．故选：B．先由正四面体的体积为9dm3，计算正四面体的棱长，即可计算表面积S的值．本题考查正四面体的体积、表面积，考查学生的计算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选：A．设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．本题主要考查直线与平面所成的角以及线面的垂直关系，要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系．有一定的难度13.【答案】6【解析】解：如下图示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线有：DE、DG、DF、EG、EF、FG共有6条．故答案为：6本题考查的知识点为空间中直线与平面之间的位置关系，要判断过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线，我们可以利用数型结合的思想，画出满足条件的三棱柱ABC-A1B1C1，结合图象分析即可得到答案．要判断空间中直线与平面的位置关系，有良好的空间想像能力，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理，并能利用教室、三棱锥、长方体等实例举出满足条件的例子或反例是解决问题的重要条件．14.【答案】160【解析】解：设直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C=9，BD1=15，∵A1A⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴A1A⊥AC，Rt△A1AC中，A1A=5，可得AC==，同理可得BD===10，∵四边形ABCD为菱形，可得AC、BD互相垂直平分，∴AB===8，即菱形ABCD的边长等于8．因此，这个棱柱的侧面积S侧=（AB+BC+CD+DA）×A1A=4×8×5=160．故答案为：160根据线面垂直的定义，利用勾股定理结合题中数据算出底面菱形的对角线长分别为和10，再由菱形的性质算出底面的边长为8，根据直棱柱的侧面积公式加以计算，可得该棱柱的侧面积．本题给出直棱柱满足的条件，求它的侧面积．着重考查了线面垂直的定义、菱形的性质和直棱柱的侧面积公式等知识，属于中档题．15.【答案】60°【解析】解：过S作SO⊥平面ABCD，垂足为O，则O为ABCD的中心，取CD中点E，连接OE，则OE⊥CD，由三垂线定理知CD⊥SE，所以∠SEO为侧面与底面所成二面角的平面角，在Rt△SOE中，SE===2，OE=1，所以cos∠SEO=，则∠SEO=60°，故答案为：60°．过S作SO⊥平面ABCD，垂足为O，则O为ABCD的中心，取CD中点E，连接OE，则OE⊥CD，易证∠SEO为侧面与底面所成二面角的平面角，通过解直角三角形可得答案．本题考查二面角的平面角及其求法，考查学生推理论证能力，属中档题．16.【答案】（-∞，-1]∪[1，+∞），【解析】解：设C（0，-1），则m==k PC，表示PC的斜率观察图形，直线PA的倾斜角总是钝角，由此可得当P与A重合时，k PC==-1达到最大值；当P与B重合时，k PC==1达到最小值∴k PC∈（-∞，-1]∪[1，+∞），即m∈（-∞，-1]∪[1，+∞），故答案为：（-∞，-1]∪[1，+∞），根据直线的倾斜公式，设C（0，-1）得m=，表示PC的斜率．由此作出图形并观察PC倾斜角的变化，即可得到m=，的取值范围．本题给出线段AB，求直线斜率的范围并求距离和的最小值．着重考查了直线的基本量与基本形式、点关于直线对称和两点的距离公式等知识，属于基础题．17.【答案】解：设直线方程为：y=x+b．可得此直线与坐标轴的交点（0，b），（-b，0）．由=6，化为：b2=9，解得b=±3．∴要求的直线方程为：y=x±3．【解析】设直线方程为：y=x+b．可得此直线与坐标轴的交点（0，b），（-b，0）．由=6，解得b即可得出．本题考查了直线方程、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：依条件，由解得A（1，1）．因为角A的平分线所在的直线方程是y=x，所以点C（2，5）关于y=x的对称点C'（5，2）在AB边所在的直线上．AB边所在的直线方程为y-1=（x-1），整理得x-4y+3=0．又BC边上高线所在的直线方程是y=2x-1，所以BC边所在的直线的斜率为-．BC边所在的直线的方程是y=-（x-2）+5，整理得x+2y-12=0．联立x-4y+3=0与x+2y-12=0，解得B（7，）．【解析】首先求出A点的坐标，进而求出AB边所在的直线方程，然后根据两直线垂直求出BC边所在的直线的斜率和方程，最后联立方程即可求出B得的坐标．考查了直线的一般方程和直线的截距方程、直线的位置关系等知识，属于基础题．19.【答案】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．由∠BCD=90°，得CD⊥BC，又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD．因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1．由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积△ ．因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．又PD=DC=1，所以．由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积△ ．由V A-PBC=V P-ABC，△ ，得，故点A到平面PBC的距离等于．【解析】（1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证；（2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC 的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求；方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥P-ACB与三棱锥A-PBC体积相等，而三棱锥P-ACB体积易求，三棱锥A-PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求．本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．20.【答案】解：如图，由已知l1：a（x-2）-2（y-2）=0，l2：2（x-2）+a2（y-2）=0．∴l1、l2都过定点（2，2），且l1的纵截距为2-a，l2的横截距为a2+2．∴四边形面积S=×2×（2-a）+×2×（2+a2）=a2-a+4=（a-）2+，又0＜a＜2，故当a=时，S min=．【解析】=S△BCE-S△OAB即可得出S=（a-）2+，结合二次函数最值根据S四边形OCEA的求法解答．本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P-AD-O的平面角．∵PO⊥面ABCD，∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．∴tan∠PAO=，设AB=a，AO=a，∴PO=AO•tan∠POA=a，tan∠PMO==．∴∠PMO=60°．（2）连接AE，OE，∵OE∥PD，∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．又OE⊂平面PBD，∴AO⊥OE．∵OE=PD==a，∴tan∠AEO==；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN∴平面PMN⊥平面PBC．又PM=PN，∠PMN=60°，∴△PMN为正三角形．∴MG⊥PN．又平面PMN∩平面PBC=PN，∴MG⊥平面PBC．∴F是AD的4等分点，靠近A点的位置．【解析】（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P-AD-O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，则tan∠PAO=，设AB=a，则AO=a，PO=AO•tan∠POA=a，MO=a，tan∠PMO=，∠PMO=60°；（2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB，故△AOE为直角三角形，OE=PD==a，所以tan∠AEO==；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA 的中点F，连EF，则四边形MFEG为平行四边形，从而MG∥FE，EF⊥平面PBC，F是AD的4等分点，靠近A点的位置．本题考查二面角及平面角的求法，异面直线所成角的正切值的求法，难度较大，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题附标准答案
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则等于A. B. C. D.【答案】A【解析】解：集合，，则．故选：A．化简集合A、B，根据交集的定义写出．本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2.若一个圆锥的表面积为，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，则，又，由解得，，高．故选：C．设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，列方程组求得r、l和h的值．本题考查了圆锥的侧面展开图应用问题，是基础题．3.函数的定义域为A. B.C. D. ，【答案】B【解析】解：由，解得．函数的定义域为．故选：B．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．4.已知直线与直线垂直，则a的值为A. 0B.C. 1D.【答案】C【解析】解：时，两条直线不垂直．，由，解得：．综上可得：．故选：C．对a分类讨论L利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．本题考查了直线垂直的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.若幂函数的图象过点，则函数的零点为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：设幂函数为常数．幂函数的图象过点，，解得．，令，即，解得：，，故选：D．求出幂函数的解析式，解方程求出函数的零点即可．本题考查了求幂函数的解析式问题，考查方程问题，是一道常规题．6.设，表示两个不同平面，m表示一条直线，下列命题正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】解：A中缺少的情况；B中，也可能相交；C中缺少的情况；故选：D．前三个选项都漏掉了一种情况，最后一项有定理作保证，故选D．此题考查了直线，平面之间的位置关系，难度不大．7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】解：由题意可知几何体是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，所以几何体的体积为：．故选：C．判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积．本题考查空间几何体的体积的求法，三视图的应用，考查计算能力．8.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，；．故选：A．容易得出，，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数和指数函数的单调性，增函数的定义，以及对数的换底公式．9.已知直线l：与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则A. B. 4 C. D. 6【答案】B【解析】解：圆心到直线l的距离，圆的半径，，设直线l的倾斜角为，则，，过C作l的平行线交BD于E，则，，．故选：B．利用垂径定理计算弦长，计算直线l的倾斜角，利用三角函数的定义计算CD．本题考查了直线与圆的位置关系，直线方程，属于中档题．10.关于x的方程的所有实数解的和为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】解：方程，可得或，即有或，可得或，则关于x的方程的所有实数解的和为4．故选：B．由绝对值的意义和对数的运算性质解方程即可得到所求和．本题考查方程的解的和的求法，注意绝对值的定义和对数的运算性质，考查运算能力，属于基础题．11.在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，点E是PB的中点，异面直线PC与AE所成的角为，则该四棱锥的体积为A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】解：在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，点E是PB的中点，异面直线PC与AE所成的角为，作，垂足为F，连结AF，则F是BC的中点，平面ABCD，，，，设，则，解得，该四棱锥的体积．故选：A．作，垂足为F，连结AF，则F是BC的中点，平面ABCD，，，，设，则，解得，由此能求出该四棱锥的体积．本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.已知函数且，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数且，当时，当时，有，而二次函数开口向下，此时函数的值域不可能为R；当时，当时，，当时，，若的值域为R，只需，可得．综上可得a的取值范围是故选：B．对a讨论，分和，结合指数函数的单调性和值域，以及二次函数的值域求法，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的运用，考查函数的值域的求法，注意运用指数函数的单调性和值域，考查分类讨论思想方法和运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知点2，，点4，，线段AB中点为M，O为坐标原点，则______．【答案】【解析】解：点2，，点4，，线段AB中点为M，O为坐标原点，3，，．故答案为：．利用线段中点坐标公式求出3，，再由两点间距离公式能求出的值．本题考查线段长的求法，考查中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．14.若，则______．【答案】【解析】解：，则，，，，故答案为：．先求出，即可求出答案．本题考查了指数幂和对数的运算，属于基础题．15.一等腰直角三角形，绕其斜边旋转一周所成几何体体积为，绕其一直角边旋转一周所成几何体体积为，则______．【答案】【解析】解：一等腰直角三角形，绕其斜边旋转一周所成几何体体积为，绕其一直角边旋转一周所成几何体体积为，设斜边长为2，则直角边长为，，，．答案为：．设斜边长为2，则直角边长为，从而，，由此能求出．本题考查两个旋转体的体积的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.定义域为的减函数是奇函数，若，则对所有的，及都成立的实数a的取值范围为______．【答案】【解析】解：根据题意，为定义域为的奇函数，则，则有，当时，即恒成立，令，必有，解可得：，则a的取值范围为；故答案为：．根据题意，由函数的奇偶性与单调性可得，进而可得当时，即恒成立，令，分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，属于综合题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数，，．求函数的解析式；求函数在上的值域．【答案】解：，；；解得，；；在上单调递增；；在上的值域为．【解析】根据，即可求出，，从而得出；容易判断在上是增函数，从而求出即可得出在上的值域．考查函数值域的概念及求法，一次函数和反比例函数的单调性，增函数的定义．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，，，垂足为E．证明：平面ABE；若，，M是BC中点，点N在PD上，平面ABE，求线段PN的长．【答案】证明：底面ABCD，，，，平面PAC，平面PAC，，，，平面ABE．解：平面ABE，设过MN与平面ABE平行的平面与PC交于点F，与AD交于点G，则，，又ABCD是平行四边形，，，平面MFNG，，是BC中点，是CE中点，，，．【解析】推导出，，从而平面PAC，由此能证明平面ABE．设过MN与平面ABM平行的平面与PC交于点F，与AD交于点G，则，，，，从而平面MFNG，进而，由此能求出PN．本题考查线面垂直的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.已知函数且，在上的最大值为1．求a的值；当函数在定义域内是增函数时，令，判断函数的奇偶性，并求函数的值域．【答案】解：根据题意，函数且，在上的最大值为1，若，则为增函数，则有，解可得；若，则为减函数，则有，解可得；故a的值为2或；根据题意，若函数为增函数，则，；有，解可得，即函数的定义域为；又由，则函数为偶函数；又由，设，，则，又由，则，则，故的值域为．【解析】根据题意，结合对数函数的最大值，分与两种情况讨论，求出a的值，即可得答案；根据题意，求出的解析式，分析可得与的关系，可得为偶函数，设，，则，分析t的取值范围，由对数函数的性质分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与值域，中注意结合函数的单调性分析a的值．20.如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，，D是线段AB的中点．证明：平面；求三棱锥的体积．【答案】解：证明：在中，，D为中点，，平面，平面，平面；为中点，，易得：，在等腰三角形CAB中，，平面，且，，．故三棱锥的体积为：12．【解析】利用中位线易得线线平行，进而得线面平行；利用底或高的关系，把所求体积转化为三棱锥体积的一半，得解．此题考查了线面平行，转化法求体积等，难度适中．21.已知．判断的单调性，并用定义法加以证明；若实数t满足不等式，求t的取值范围．【答案】解：令x，，则，，任取，，且，，，，即，在R上是增函数不等式化为在R上是增函数，，的取值范围是【解析】先用换元法求出函数的解析式，再用复合函数单调性判断方法得到单调性，最后用定义证明即可；根据函数的单调性可解得．本题考查了奇偶性与单调性的综合，属中档题．22.已知圆M过点且与圆N：为同圆心，圆N与y轴负半轴交于点C．若直线被圆M截得的弦长为，求m的值；设直线：与圆M交于点A，B，记，，若，求k的值．【答案】解：圆N的圆心为，故可设圆M的方程为，则，圆M的标准方程为，直线被圆M截得的弦长为，到直线的距离，或联立方程，消y可得，设，，则，，，，，解得或，但不满足，【解析】根据圆的标准方程，弦心距，点到直线的距离，即可求出，联立方程，消y可得，设，，整理后代入根与系数关系求解实数k的值．本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，是中档题．。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_10
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.设全集，集合，则集合=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：.故选C.考点：集合的基本运算.2. =（）A. -1B. 1C.D.【答案】D【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式可得.【详解】 =.故选:D【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，熟练掌握二倍角的余弦公式是关键，属于基础题.3.已知是第一象限角，那么是（）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第一或第二象限角D. 第一或第三象限角【答案】D【解析】【分析】根据象限角写出的取值范围，讨论即可知在第一或第三象限角【详解】依题意得，则，当时，是第一象限角当时，是第三象限角【点睛】本题主要考查象限角，属于基础题．4.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式，，即可得出该函数的定义域.【详解】解不等式，，得，，因此，函数的定义域为，故选A.【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解，解题时要根据正切函数的定义域来列不等式求解，考查计算能力，属于基础题.5.的值等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，即可求解，得到答案．【详解】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，可得，故选B．公式的应用，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6.已知扇形的半径为，面积为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】甴扇形的面积公式及弧长公式直接计算即可.【详解】由扇形的面积公式可得，，再由弧长公式可得圆心角的弧度数为.故选：B.【点睛】本题主要考查扇形的面积公式及弧长公式，属常规考题.7.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质分别比较a，b，c与0和1的大小得答案．【详解】∵a=21.2，=20.6＞20=1，且21.2＞20.6，而c=2log52=log54＜1，∴c＜b＜a．故选A．【点睛】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．8.函数的最大值是（）A. 2B. 1C.D. 0【答案】A【解析】【分析】由函数即可得解.【详解】函数.当，即时，函数有最大值2.故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的“辅助角公式”，属于基础题.9.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由诱导公式可得，则立马可以用两角和差余弦公式.【详解】由诱导公式，所以选择A【点睛】利用诱导公式，将式子化成两个角后，只需要简单的利用和差公式.10.由函数的图象，经过怎么样的变换可以得到函数的图象（）A. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度B. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度C. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度D. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】根据周期变换和平移变换的结论可得答案.【详解】将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),可得函数的图像，再将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像.故选:D【点睛】本题考查了三角函数图像的周期变换和平移变换，掌握周期变换和平移变换的结论是解题关键，属于基础题.11.函数f(x)=lg(1+2cosx)的定义域为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据真数大于零，再解三角不等式得结果.【详解】由题意得，所以，即得故选：B【点睛】本题考查对数定义域以及解三角函数不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.12.已知函数若函数有四个零点,零点从小到大依次为则的值为( )A. 2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】函数有四个零点，即与的图象有4个不同交点，可设四个交点横坐标满足，由图象，结合对数函数的性质，进一步求得，利用对称性得到，从而可得结果.作出函数的图象如图,函数有四个零点，即与的图象有4个不同交点，不妨设四个交点横坐标满足，则，，,可得,由，得，则，可得，即，，故选C.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分）13.函数的振幅是________；初相是________.【答案】 (1). 2 (2).【解析】【分析】根据振幅和初相的定义可得答案.【详解】振幅，令则初相.故答案为:(1)2,(2)【点睛】本题考查了振幅与初相的定义，牢固掌握振幅与初相的定义是解题关键，属于基础题.14.已知，则的值是______.【答案】【解析】【分析】根据两角差的正切公式即可求解【详解】故答案为：【点睛】本题考查两角差正切公式的用法，属于基础题15.定义在上的奇函数满足：当，则__________．【答案】【解析】为上的奇函数，，故答案为.16.关于函数有下列命题，其中正确的是_______.（填序号）①是以为最小正周期的周期函数；②的图象关于直线对称；③的图象关于点对称；④的表达式可改写为.【答案】③④【解析】【分析】根据周期公式可得①不正确.【详解】是以为最小正周期的周期函数,故①不正确；因为,所以②不正确；因,所以③正确；因为,所以④正确.故答案为:③④【点睛】本题考查了三角函数的周期，考查了三角函数的对称轴，考查了三角函数的对称中心，考查了诱导公式，属于基础题.三、解答题（共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.已知角是第二象限角,其终边上一点.（1）写出三角函数的值；（2）求的值.【答案】(1) ， (2)【解析】【分析】(1)先求出，再根据三角函数的定义可得；(2)利用诱导公式化简后，代入和值计算可得.【详解】(1) 角是第二象限角，其终边上一点，所以，，所以，所以，.(2)原式.【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了利用诱导公式化简求值，属于基础题.18.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据使函数的解析式有意义的原则，构造关于x的不等式组，解不等式组可得答案；(2) 结合对数函数的单调性及函数的定义域，将原不等式转化为相应的不等式组，即可得解．【详解】：（1）要使F（x）=f（x）-g（x）的解析式有意义必须有：解得：∴函数F（x）的定义域为(2) 若，即，解得所以使F（x）＞0的x的取值范围为【点睛】本题考查函数定义域、对数运算，对数不等式，易忽略真数大于0，是中档题．19.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递减区间．【答案】(1) ，(2)【解析】【分析】(1)根据最大值可得，根据周期可得，根据最高点的横坐标可得；(2) 由，,可得单调递减区间.【详解】（1）由图可知，，所以，所以，由五点作图法中的第二个关键可知，所以，所以.(2)由，，得，，所以函数的单调递减区间为.【点睛】本题考查了由函数图像求解析式，考查了根据正弦函数递减区间求减区间，属于中档题.20.（1）已知，，且，，求的值；（2）已知且，求的值.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)利用角的范围，求出和后，再利用两角和的正弦公式可得；(2)根据角的范围求出的范围，求出和的值，再根据两角差的余弦公式可得，然后根据角的范围求出.【详解】(1)因为，，所以，所以，，所以.(2)因为，所以，所以，，所以，因为，所以.【点睛】本题考查了同角公式，考查了两角和的正弦公式，考查了两角差的余弦公式，考查了已知值求角，属于中档题。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_6
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，只将答题卡交回.注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑.第Ⅰ卷共12小题.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合并集运算规则即可得解.【详解】由题：集合，，则.故选：C【点睛】此题考查集合的并集运算，根据给定集合直接写出并集，属于简单题.2.（）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】D【解析】【分析】根据同底对数减法法则求解.【详解】根据同底对数减法法则：.故选：D【点睛】此题考查对数的基本运算，同底对数相减，根据公式直接求解.3.（）A. 1B. -1C.D.【答案】A【解析】【分析】处理即可得解.【详解】由题：.故选：A【点睛】此题考查求已知角的正切值，根据正切函数的周期直接写出正切值，或根据诱导公式求解，属于简单题.4.若函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式直接代入得解.【详解】由题：函数，则.故选：B【点睛】此题考查根据函数解析式求函数值，代入解析式计算即可.5.若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据角的终边上的点的坐标表示三角函数的公式即可得解.【详解】由题：角的终边经过点，则.故选：A【点睛】此题考查根据角的终边上的点的坐标求正弦值，关键在于熟练掌握相关公式，直接计算.6.若函数，则的最小正周期是（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据函数最小正周期的求法，即可得解.详解】函数，则的最小正周期.故选：C【点睛】此题考查正切型函数最小正周期的求法，此题易错点在于混淆正弦型与正切型函数最小正周期的公式，导致出错.7.已知是偶函数,且在区间上单调递减,则满足的实数x的取值范围是( )A. B. C. D.【解析】【分析】根据题意可得在上单调递增,从而可得，解不等式即可.【详解】解析:由是偶函数且在上单调递减,知在上单调递增,则满足的实数x的取值范围为解得.故选：B【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解抽象函数不等式，属于基础题.8.为了得到函数，的图象，只需把函数，的图象上所有的点（）A. 向右平行移动个单位长度B. 向左平行移动个单位长度C. 向右平行移动个单位长度D. 向左平行移动个单位长度【答案】D【分析】根据同名函数之间的平移规则，将平移后的函数变形为即可得解.【详解】由题：把函数平移得到即，只需将函数图象上的所有点向左平行移动个单位长度.故选：D【点睛】此题考查函数的平移，熟练掌握平移规则和口诀，对函数解析式进行适当变形.9.若，则的值为（）A. 0B. 1C.D. 2【答案】B【解析】【分析】对所求代数式变形，分子分母同时除以即可得解.【详解】由题：，故选：B【点睛】此题考查三角函数给值求值，涉及同角三角函数的基本关系，常用构造齐次式分子分母同时除以求解.10.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性得的大小关系和取值范围，构造函数，即可进行比较.【详解】指数函数单调递减，，即，所以，所以指数函数是减函数，，，考虑幂函数在单调递增，，即，综上所述：.故选：C【点睛】此题考查比较指数幂的大小关系，关键在于构造恰当的指数函数或幂函数，结合单调性比较大小.11.若，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，因为，所以，则，当时，；故选D.点睛：求形如或的值域或最值时，要利用换元思想，将问题转化为三角函数的有界性和一元二次函数的值域问题，即令或，则，但要注意的取值范围.12.已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函数图象，根据图象关系，得出，，即可求解的取值范围.【详解】作出函数的图象，如图所示：方程有四个不同的实根，，，，满足，则，即：，所以，，所以，根据二次函数的对称性可得：，，考虑函数单调递增，，所以时的取值范围为.故选：A【点睛】此题考查函数零点的综合应用，涉及分段函数，关键在于根据对数函数和二次函数的图象性质找出零点的等量关系，构造函数关系求解取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.幂函数的图像经过，则= ________．【答案】【解析】试题分析：设，则有，所以，=9考点：幂函数点评：简单题，待定系数法确定幂函数，进一步求函数值．14.若，则______.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数关系变形即可得解.【详解】因为，所以，由题：，即，所以.故答案为：【点睛】此题考查根据同角三角函数关系求值，关键在于准确找出其中隐含的平方关系，构造出的等价形式求解.15.若偶函数对任意都有，且当时，，则______.【答案】【解析】【分析】由得函数周期为6，结合周期性和奇偶性计算.【详解】由题：任意都有，所以，所以周期为6，且为偶函数，当时，，，，所以，根据函数为偶函数，所以，即.故答案为：【点睛】此题考查根据函数的奇偶性和周期性求函数值，关键在于准确识别函数关系，将自变量的取值转化到给定解析式的区间.16.下面有四个命题：①若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则当时，；②终边落在坐标轴上的角的集合是；③若函数，则对于任意恒成立；④函数在区间上是减函数.其中真命题的编号是______.（写出所有真命题的编号）【答案】①②【解析】【分析】①当时，，根据奇偶性和单调性即可判定；②根据终边相同的角的表示方法即可得解；③举出反例；④函数在区间上是增函数.【详解】①若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，所以在单调递增，则当时，所以，所以①正确；②终边落在坐标轴上的角的集合是，所以②正确；③若函数，可得，不相等，所以③说法错误；④函数在单调递增，函数向右平移得到在区间上增函数，所以④错误.故答案为：①②【点睛】此题考查三角函数及相关概念辨析，涉及单调性与奇偶性及函数平移的综合应用，终边相同的角的表示方式和周期性的辨析，综合性强.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若，求值.【答案】（1）（2）或55【解析】【分析】（1）解不等式，其解集就是定义域；（2）解方程即可得解.【详解】（1）函数的自变量应满足：，即，所以函数的定义域是.（2）因为，所以，化简得，，所以或55.【点睛】此题考查求函数定义域和根据函数值求自变量的取值，关键在于求解不等式和解方程，需要注意定义域要写成集合或区间的形式.18.（1）计算：.（2）化简：.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂及对数的运算法则求解；（2）结合诱导公式即可化简.【详解】（1）原式.（2）原式.【点睛】此题考查指数对数基本运算以及根据诱导公式进行化简，考查通式通法和对基本公式的掌握.19.已知是定义在上的奇函数，当时，.（1）求函数的解析式；（2）求函数的零点.【答案】（1）（2）零点是-1，0，1【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，则，，即可得到解析式；（2）分段解方程即可得到函数的零点.【详解】解：（1）设，则，所以，因为为奇函数，所以，所以，故的解析式为.（2）由，得或，解得或或，所以的零点是-1，0，1.【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，根据函数解析式求函数的零点，关键在于准确求解方程.20.已知函数的图象的对称中心到对称轴的最小距离为.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最小值和最大值.【答案】（1）（2）最大值为，最小值为-1【解析】【分析】（1）根据对称中心和对称轴的距离得出周期，根据即可求解；（2）求出函数的单调增区间，即可得到函数在的单调性，即可得到最值.【详解】解：（1）设的周期为，图象的对称中心到对称轴的最小距离为，则，所以，所以，所以.所以函数的解析式是.（2）因为，讨论函数的增区间：令，得，所以函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.因为，，，故函数在区间上的最大值为，最小值为-1.【点睛】此题考查根据函数图象特征求参数得函数解析式，解决三角函数在某一区间的最值问题，可以利用单调性讨论，也可利用换元法求值域.21.已知变量，满足关系式（且，，且），变量，满足关系式.（1）求关于的函数表达式；（2）若（1）中确定的函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据，结合，利用对数的运算法则，变形得到；（2）根据复合函数单调性的讨论方法分类讨论实数的取值范围.【详解】解：（1）由得，由知，代入上式得，所以，所以.（2）令，则.因为函数在上是增函数，则或，解得或，故实数的取值范围是.【点睛】此题考查根据对数型复合函数关系求解函数解析式，根据指数型复合函数单调性求参数的取值范围，涉及分类讨论思想.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.求证：函数在上是减函数.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用定义法证明函数单调性.【详解】证明：任取，且，则.因为，，所以，即，所以在上是减函数.【点睛】此题考查利用定义法证明函数的单调性，关键在于任取，且，通过作差法比较函数值的大小.23.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）求解，，得出解集即函数定义域；（2）由，，即可得到函数的单调增区间，没有减区间.【详解】解：（1）函数的自变量应满足，，即，.所以，函数的定义域是.（2）由，，解得，.因此，函数的单调递增区间是，，没有减区间.【点睛】此题考查求正切型函数的定义域和单调区间，考查通式通法，关键在于准确求解不等式的解集.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，只将答题卡交回.注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑.第Ⅰ卷共12小题.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合并集运算规则即可得解.【详解】由题：集合，，则.故选：C【点睛】此题考查集合的并集运算，根据给定集合直接写出并集，属于简单题.2.（）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】D【解析】【分析】根据同底对数减法法则求解.【详解】根据同底对数减法法则：.故选：D【点睛】此题考查对数的基本运算，同底对数相减，根据公式直接求解.3.（）A. 1B. -1C.D.【答案】A【解析】【分析】处理即可得解.【详解】由题：.故选：A【点睛】此题考查求已知角的正切值，根据正切函数的周期直接写出正切值，或根据诱导公式求解，属于简单题.4.若函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式直接代入得解.【详解】由题：函数，则.故选：B【点睛】此题考查根据函数解析式求函数值，代入解析式计算即可.5.若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据角的终边上的点的坐标表示三角函数的公式即可得解.【详解】由题：角的终边经过点，则.故选：A【点睛】此题考查根据角的终边上的点的坐标求正弦值，关键在于熟练掌握相关公式，直接计算.6.若函数，则的最小正周期是（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据函数最小正周期的求法，即可得解.详解】函数，则的最小正周期.故选：C【点睛】此题考查正切型函数最小正周期的求法，此题易错点在于混淆正弦型与正切型函数最小正周期的公式，导致出错.7.已知是偶函数,且在区间上单调递减,则满足的实数x的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可得在上单调递增,从而可得，解不等式即可.【详解】解析:由是偶函数且在上单调递减,知在上单调递增,则满足的实数x的取值范围为解得.故选：B【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解抽象函数不等式，属于基础题.8.为了得到函数，的图象，只需把函数，的图象上所有的点（）A. 向右平行移动个单位长度B. 向左平行移动个单位长度C. 向右平行移动个单位长度D. 向左平行移动个单位长度【答案】D【解析】【分析】根据同名函数之间的平移规则，将平移后的函数变形为即可得解.【详解】由题：把函数平移得到即，只需将函数图象上的所有点向左平行移动个单位长度.故选：D【点睛】此题考查函数的平移，熟练掌握平移规则和口诀，对函数解析式进行适当变形.9.若，则的值为（）A. 0B. 1C.D. 2【答案】B【解析】【分析】对所求代数式变形，分子分母同时除以即可得解.【详解】由题：，故选：B【点睛】此题考查三角函数给值求值，涉及同角三角函数的基本关系，常用构造齐次式分子分母同时除以求解.10.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性得的大小关系和取值范围，构造函数，即可进行比较.【详解】指数函数单调递减，，即，所以，所以指数函数是减函数，，，考虑幂函数在单调递增，，即，综上所述：.故选：C【点睛】此题考查比较指数幂的大小关系，关键在于构造恰当的指数函数或幂函数，结合单调性比较大小.11.若，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，因为，所以，则，当时，；故选D.点睛：求形如或的值域或最值时，要利用换元思想，将问题转化为三角函数的有界性和一元二次函数的值域问题，即令或，则，但要注意的取值范围.12.已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函数图象，根据图象关系，得出，，即可求解的取值范围.【详解】作出函数的图象，如图所示：方程有四个不同的实根，，，，满足，则，即：，所以，，所以，根据二次函数的对称性可得：，，考虑函数单调递增，，所以时的取值范围为.故选：A【点睛】此题考查函数零点的综合应用，涉及分段函数，关键在于根据对数函数和二次函数的图象性质找出零点的等量关系，构造函数关系求解取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.幂函数的图像经过，则= ________．【答案】【解析】试题分析：设，则有，所以，=9考点：幂函数点评：简单题，待定系数法确定幂函数，进一步求函数值．14.若，则______.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数关系变形即可得解.【详解】因为，所以，由题：，即，所以.故答案为：【点睛】此题考查根据同角三角函数关系求值，关键在于准确找出其中隐含的平方关系，构造出的等价形式求解.15.若偶函数对任意都有，且当时，，则______.【答案】【解析】【分析】由得函数周期为6，结合周期性和奇偶性计算.【详解】由题：任意都有，所以，所以周期为6，且为偶函数，当时，，，，所以，根据函数为偶函数，所以，即.故答案为：【点睛】此题考查根据函数的奇偶性和周期性求函数值，关键在于准确识别函数关系，将自变量的取值转化到给定解析式的区间.16.下面有四个命题：①若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则当时，；②终边落在坐标轴上的角的集合是；③若函数，则对于任意恒成立；④函数在区间上是减函数.其中真命题的编号是______.（写出所有真命题的编号）【答案】①②【解析】【分析】①当时，，根据奇偶性和单调性即可判定；②根据终边相同的角的表示方法即可得解；③举出反例；④函数在区间上是增函数.【详解】①若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，所以在单调递增，则当时，所以，所以①正确；②终边落在坐标轴上的角的集合是，所以②正确；③若函数，可得，不相等，所以③说法错误；④函数在单调递增，函数向右平移得到在区间上增函数，所以④错误.故答案为：①②【点睛】此题考查三角函数及相关概念辨析，涉及单调性与奇偶性及函数平移的综合应用，终边相同的角的表示方式和周期性的辨析，综合性强.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若，求值.【答案】（1）（2）或55【解析】【分析】（1）解不等式，其解集就是定义域；（2）解方程即可得解.【详解】（1）函数的自变量应满足：，即，所以函数的定义域是.（2）因为，所以，化简得，，所以或55.【点睛】此题考查求函数定义域和根据函数值求自变量的取值，关键在于求解不等式和解方程，需要注意定义域要写成集合或区间的形式.18.（1）计算：.（2）化简：.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂及对数的运算法则求解；（2）结合诱导公式即可化简.【详解】（1）原式.（2）原式.【点睛】此题考查指数对数基本运算以及根据诱导公式进行化简，考查通式通法和对基本公式的掌握.19.已知是定义在上的奇函数，当时，.（1）求函数的解析式；（2）求函数的零点.【答案】（1）（2）零点是-1，0，1【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，则，，即可得到解析式；（2）分段解方程即可得到函数的零点.【详解】解：（1）设，则，所以，因为为奇函数，所以，所以，故的解析式为.（2）由，得或，解得或或，所以的零点是-1，0，1.【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，根据函数解析式求函数的零点，关键在于准确求解方程.20.已知函数的图象的对称中心到对称轴的最小距离为.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最小值和最大值.【答案】（1）（2）最大值为，最小值为-1【解析】【分析】（1）根据对称中心和对称轴的距离得出周期，根据即可求解；（2）求出函数的单调增区间，即可得到函数在的单调性，即可得到最值.【详解】解：（1）设的周期为，图象的对称中心到对称轴的最小距离为，则，所以，所以，所以.所以函数的解析式是.（2）因为，讨论函数的增区间：令，得，所以函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.因为，，，故函数在区间上的最大值为，最小值为-1.【点睛】此题考查根据函数图象特征求参数得函数解析式，解决三角函数在某一区间的最值问题，可以利用单调性讨论，也可利用换元法求值域.21.已知变量，满足关系式（且，，且），变量，满足关系式.（1）求关于的函数表达式；（2）若（1）中确定的函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据，结合，利用对数的运算法则，变形得到；（2）根据复合函数单调性的讨论方法分类讨论实数的取值范围.【详解】解：（1）由得，由知，代入上式得，所以，所以.（2）令，则.因为函数在上是增函数，则或，解得或，故实数的取值范围是.【点睛】此题考查根据对数型复合函数关系求解函数解析式，根据指数型复合函数单调性求参数的取值范围，涉及分类讨论思想.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.求证：函数在上是减函数.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用定义法证明函数单调性.【详解】证明：任取，且，则.因为，，所以，即，所以在上是减函数.【点睛】此题考查利用定义法证明函数的单调性，关键在于任取，且，通过作差法比较函数值的大小.23.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）求解，，得出解集即函数定义域；（2）由，，即可得到函数的单调增区间，没有减区间.【详解】解：（1）函数的自变量应满足，，即，.所以，函数的定义域是.（2）由，，解得，.因此，函数的单调递增区间是，，没有减区间.【点睛】此题考查求正切型函数的定义域和单调区间，考查通式通法，关键在于准确求解不等式的解集.。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试联考试题(含解析)
2019-2020学年高一数学上学期期末考试联考试题（含解析）第Ⅰ卷一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】确定集合，由集合运算的定义求解．【详解】因为集合，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题．2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】使解析式有意义，因此必须有且．【详解】由，得，即，所以.故选：A.【点睛】本题考查求函数定义域，即求使函数式有意义的自变量的取值范围．3.若直线与平行，则的值为（）A. 1B. -1C.D.【答案】B【解析】【分析】由两直线平行的充要条件计算．【详解】因为直线与平行，所以，解得.故选：B.【点睛】本题考查两直线平行的充要条件．两直线平行，是必要条件，不是充要条件，仅由求出参数值，一般要代入直线方程检验是否平行．4.函数的零点所在的区间是( )A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数单调递增和,得到答案.【详解】是单调递增函数,且,,所以的零点所在的区间为故选：【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.5.已知,,,则的边上的中线所在的直线方程为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】计算得到，，再计算直线方程得到答案.【详解】的中点为,,∴边上的中线所在的直线方程为,即.故选：【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.6.若直线被圆截得的弦长为,则( )A. B. 5 C. 10 D. 25【答案】B【解析】【分析】圆的圆心坐标为,半径，根据弦长得到，计算得到答案.【详解】圆的圆心坐标为,半径,直线被圆截得的弦长为,可得圆心到直线的距离为,则.故选：【点睛】本题考查了根据弦长求参数，意在考查学生的计算能力.7.若实数，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】与中间值 0和1比较后可得．【详解】因为对数函数是单调递减的，所以，同理，，所以，而，所以.故选：B.【点睛】本题考查比较对数的大小，对于同底数的对数，可以利用对数函数的单调性比较，不同底数的对数可以与中间值0，1等比较后得出结论．8.已知圆柱的底面圆的面积为，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】圆柱轴截面的对角线是球的直径，由此可求得球半径．【详解】因为圆柱的底面圆的面积为，所以圆柱的底面圆的半径为，又因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，所以该球的半径，则该球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查球与内接圆柱的关系，可通过作圆柱的轴截面与球联系，圆柱的轴截面矩形的外接圆是球的大圆．9.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式，判断函数的奇偶性，排除A、B，再根据函数值的正负情况，即可判断.【详解】由题意，，即是定义在上的奇函数，所以排除A，B；当时，；当时，，排除D故选：C.【点睛】本题考查由函数解析式判断性质进而识别图像，属于中等题型.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图，得到原几何体，结合三视图中的线段长度，计算出每部分的表面积，从而得到答案.【详解】由三视图可知,该几何体由一个半球与一个圆锥拼接而成，且球的半径和圆锥底面圆半径相同，如图所示由三视图可知，半球半径为，所以半球的表面积为，圆锥的底面圆半径为，母线长为，所以圆锥的侧面积为，所以该几何体的表面积.故选：A.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，求球的表面积和圆锥侧面积，属于简单题.11.已知,,点是圆:上的动点,则的最小值为( )A. 9B. 14C. 18D. 26【答案】D【解析】【分析】设为坐标原点，，化简得到，再计算得到答案.【详解】设为坐标原点,,则,又,所以.故选：【点睛】本题考查了圆相关的最值问题，变换是解题的关键.12.设,,分别是方程,,的实根,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项【详解】由题,对于,由与的图像,如图所示,可得；对于,由与的图像,如图所示,可得；对于,由与的图像,如图所示,可得或故【点睛】本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想第Ⅱ卷二､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为______.【答案】【解析】【分析】求出圆心坐标和半径可得．【详解】因为圆心的坐标为，，所以该圆的标准方程为.故答案为：．【点睛】本题考查求圆的标准方程，属于基础题．14.已知函数是幂函数，则______.【答案】27【解析】【分析】根据幂函数定义求出参数．【详解】因为是幂函数，所以，解得，即，所以.故答案为：27.【点睛】本题考查幂函数的概念，属于基础题．15.已知圆：与圆：，则两圆的公共弦所在的直线方程为______.【答案】【解析】分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程．【详解】将圆：化为，联立两圆方程两圆方程相减，得两圆公共弦所在直线的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查两圆相交，求公共弦所在直线方程．不需要求出交点坐标，只要两圆方程相减即得．16.如图，在中，，，分别为，边上的中点，且，.现将沿折起，使得到达的位置，且，则______.【答案】【解析】【分析】由于折叠过程中与和的垂直关系保持不变，因此可得平面，结合平行的性质可得，然后在直角三角形中可求得.【详解】易知，，，所以平面，因为，，所以.又，所以平面，所以，从而.故答案为：．【点睛】本题考查空间图形折叠问题，考查线面垂直的判定定理和性质定理．属于中档题．三､解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知集合或,.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】（1）计算，或，再计算得到答案.（2）根据得到，故或，计算得到答案.【详解】(1)因为,所以,即,当时,或,所以或.(2)因为,所以, ,则或,即或,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.18.已知直线的方程为，与垂直且过点.（1）求直线的方程；（2）若直线经过与的交点，且垂直于轴，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由垂直求出直线斜率，写出点斜式方程后化简即可．（2）求出直线与的交点坐标可得方程．【详解】解：（1）由与垂直，则可设：，∵过，∴，解得，∴：.（2）联立与，可得与的交点坐标为，又垂直于轴，则直线的方程为.【点睛】本题考查求直线方程，考查两直线垂直的条件．属于基础题．19.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）若是上的单调函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即时要是增函数，且端点处函数值不小于0.【详解】解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，当时，，则，所以，所以.（2）若是上的单调函数，且，则实数满足，解得，故实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．20.已知圆的圆心在轴正半轴上，且圆与轴相切，点在圆上.（1）求圆的方程；（2）若直线：与圆交于，两点，且，求的值.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）设出圆心坐标为，得圆标准方程，利用在圆上求出参数；（2）求出圆心到直线的距离，然后通过勾股定理列式求得．【详解】解：（1）设圆心，则圆的方程可设为.因为点在圆上，所以，解得.故圆的方程为.（2）由（1）可知圆的圆心，半径.因为，所以圆心到直线的距离，即，解得或.【点睛】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题．圆的弦长可通过圆心到直线的距离，圆的半径由勾股定理求得：弦长（为弦心距）．21.如图，在三棱锥中，，，，，平面，过作于，过作于，连接.（1）证明：.（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由平面，得，从而得平面，即得，于是有平面，从而，得出平面.最后得证线线垂直；（2）由（1）得是三棱锥的高，求出高和底面面积即可得体积．【详解】（1）证明：因为平面，所以.又，，所以平面，所以，又，，所以平面，从而.又，，所以平面.因为平面，所以.（2）解：由（1）知是三棱锥的高，所以.由已知，又，，由（1）知平面，则，所以，所以，所以.【点睛】本题考查证明线线垂直，考查求三棱锥体积．在证线线垂直时用的是线面垂直的性质定理，而要证线面垂直就要证线线垂直，本题利用线面垂直判定定理和性质定理进行线线垂直与线面垂直的多次转换，务必注意．22.已知函数，其中为自然对数的底数.(1)证明:在上单调递增；(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．【详解】（1）设，则，∵，∴，，∴，即，∴上单调递增；（2）总存，对任意都成立，即，的最大值为，是偶函数，在是增函数，∴当时，，∴，整理得，，∵，∴，即，∴，∴．即的取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于，如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于.（的范围均由题设确定）．2019-2020学年高一数学上学期期末考试联考试题（含解析）第Ⅰ卷一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】确定集合，由集合运算的定义求解．【详解】因为集合，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题．2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】使解析式有意义，因此必须有且．【详解】由，得，即，所以.故选：A.【点睛】本题考查求函数定义域，即求使函数式有意义的自变量的取值范围．3.若直线与平行，则的值为（）A. 1B. -1C.D.【答案】B【解析】【分析】由两直线平行的充要条件计算．【详解】因为直线与平行，所以，解得.故选：B.【点睛】本题考查两直线平行的充要条件．两直线平行，是必要条件，不是充要条件，仅由求出参数值，一般要代入直线方程检验是否平行．4.函数的零点所在的区间是( )A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数单调递增和,得到答案.【详解】是单调递增函数,且,,所以的零点所在的区间为故选：【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.5.已知,,,则的边上的中线所在的直线方程为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】计算得到，，再计算直线方程得到答案.【详解】的中点为,,∴边上的中线所在的直线方程为,即.故选：【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.6.若直线被圆截得的弦长为,则( )A. B. 5 C. 10 D. 25【答案】B【解析】【分析】圆的圆心坐标为,半径，根据弦长得到，计算得到答案.【详解】圆的圆心坐标为,半径,直线被圆截得的弦长为,可得圆心到直线的距离为,则.故选：【点睛】本题考查了根据弦长求参数，意在考查学生的计算能力.7.若实数，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】与中间值 0和1比较后可得．【详解】因为对数函数是单调递减的，所以，同理，，所以，而，所以.故选：B.【点睛】本题考查比较对数的大小，对于同底数的对数，可以利用对数函数的单调性比较，不同底数的对数可以与中间值0，1等比较后得出结论．8.已知圆柱的底面圆的面积为，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】圆柱轴截面的对角线是球的直径，由此可求得球半径．【详解】因为圆柱的底面圆的面积为，所以圆柱的底面圆的半径为，又因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，所以该球的半径，则该球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查球与内接圆柱的关系，可通过作圆柱的轴截面与球联系，圆柱的轴截面矩形的外接圆是球的大圆．9.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式，判断函数的奇偶性，排除A、B，再根据函数值的正负情况，即可判断.【详解】由题意，，即是定义在上的奇函数，所以排除A，B；当时，；当时，，排除D故选：C.【点睛】本题考查由函数解析式判断性质进而识别图像，属于中等题型.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图，得到原几何体，结合三视图中的线段长度，计算出每部分的表面积，从而得到答案.【详解】由三视图可知,该几何体由一个半球与一个圆锥拼接而成，且球的半径和圆锥底面圆半径相同，如图所示由三视图可知，半球半径为，所以半球的表面积为，圆锥的底面圆半径为，母线长为，所以圆锥的侧面积为，所以该几何体的表面积.故选：A.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，求球的表面积和圆锥侧面积，属于简单题.11.已知,,点是圆:上的动点,则的最小值为( )A. 9B. 14C. 18D. 26【答案】D【解析】【分析】设为坐标原点，，化简得到，再计算得到答案.【详解】设为坐标原点,,则,又,所以.故选：【点睛】本题考查了圆相关的最值问题，变换是解题的关键.12.设,,分别是方程,,的实根,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项【详解】由题,对于,由与的图像,如图所示,可得；对于,由与的图像,如图所示,可得；对于,由与的图像,如图所示,可得或故【点睛】本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想第Ⅱ卷二､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为______.【答案】【解析】【分析】求出圆心坐标和半径可得．【详解】因为圆心的坐标为，，所以该圆的标准方程为.故答案为：．【点睛】本题考查求圆的标准方程，属于基础题．14.已知函数是幂函数，则______.【答案】27【解析】【分析】根据幂函数定义求出参数．【详解】因为是幂函数，所以，解得，即，所以.故答案为：27.【点睛】本题考查幂函数的概念，属于基础题．15.已知圆：与圆：，则两圆的公共弦所在的直线方程为______.【答案】【解析】分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程．【详解】将圆：化为，联立两圆方程两圆方程相减，得两圆公共弦所在直线的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查两圆相交，求公共弦所在直线方程．不需要求出交点坐标，只要两圆方程相减即得．16.如图，在中，，，分别为，边上的中点，且，.现将沿折起，使得到达的位置，且，则______.【答案】【解析】【分析】由于折叠过程中与和的垂直关系保持不变，因此可得平面，结合平行的性质可得，然后在直角三角形中可求得.【详解】易知，，，所以平面，因为，，所以.又，所以平面，所以，从而.故答案为：．【点睛】本题考查空间图形折叠问题，考查线面垂直的判定定理和性质定理．属于中档题．三､解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知集合或,.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】（1）计算，或，再计算得到答案.（2）根据得到，故或，计算得到答案.【详解】(1)因为,所以,即,当时,或,所以或.(2)因为,所以, ,则或,即或,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.18.已知直线的方程为，与垂直且过点.（1）求直线的方程；（2）若直线经过与的交点，且垂直于轴，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由垂直求出直线斜率，写出点斜式方程后化简即可．（2）求出直线与的交点坐标可得方程．【详解】解：（1）由与垂直，则可设：，∵过，∴，解得，∴：.（2）联立与，可得与的交点坐标为，又垂直于轴，则直线的方程为.【点睛】本题考查求直线方程，考查两直线垂直的条件．属于基础题．19.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）若是上的单调函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即时要是增函数，且端点处函数值不小于0.【详解】解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，当时，，则，所以，所以.（2）若是上的单调函数，且，则实数满足，解得，故实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．20.已知圆的圆心在轴正半轴上，且圆与轴相切，点在圆上.（1）求圆的方程；（2）若直线：与圆交于，两点，且，求的值.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）设出圆心坐标为，得圆标准方程，利用在圆上求出参数；（2）求出圆心到直线的距离，然后通过勾股定理列式求得．【详解】解：（1）设圆心，则圆的方程可设为.因为点在圆上，所以，解得.故圆的方程为.（2）由（1）可知圆的圆心，半径.因为，所以圆心到直线的距离，即，解得或.【点睛】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题．圆的弦长可通过圆心到直线的距离，圆的半径由勾股定理求得：弦长（为弦心距）．21.如图，在三棱锥中，，，，，平面，过作于，过作于，连接.（1）证明：.（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由平面，得，从而得平面，即得，于是有平面，从而，得出平面.最后得证线线垂直；（2）由（1）得是三棱锥的高，求出高和底面面积即可得体积．【详解】（1）证明：因为平面，所以.又，，所以平面，所以，又，，所以平面，从而.又，，所以平面.因为平面，所以.（2）解：由（1）知是三棱锥的高，所以.由已知，又，，由（1）知平面，则，所以，所以，所以.【点睛】本题考查证明线线垂直，考查求三棱锥体积．在证线线垂直时用的是线面垂直的性质定理，而要证线面垂直就要证线线垂直，本题利用线面垂直判定定理和性质定理进行线线垂直与线面垂直的多次转换，务必注意．22.已知函数，其中为自然对数的底数.(1)证明:在上单调递增；(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．【详解】（1）设，则，∵，∴，，∴，即，∴上单调递增；（2）总存，对任意都成立，即，的最大值为，是偶函数，在是增函数，∴当时，，∴，整理得，，∵，∴，即，∴，∴．即的取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于，如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于.（的范围均由题设确定）．。