北师大版数学 七年级下册 第二章 相交线与平行线 2 探索直线平行的条件 第1课时 导学课件
七年级数学下册第二章相交线与平行线2.2.2探索直线平行的条件教学设计新版北师大版
七年级数学下册第二章相交线与平行线2.2.2探索直线平行的条件教学设计新版北师大版一. 教材分析《北师大版七年级数学下册》第二章“相交线与平行线”的2.2.2节“探索直线平行的条件”是本节课的重要内容。
这部分内容是在学生已经掌握了相交线的基础知识上进行的，是学习平行线性质和判定定理的基础。
本节课通过引导学生观察、操作、探究，让学生发现并证明平行线的性质，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，对于相交线的基本概念和性质有一定的了解。
但学生在学习过程中可能会对平行线的判定定理和性质定理的理解和运用存在困难，需要教师在教学中给予引导和帮助。
三. 教学目标1.让学生了解平行线的性质，能运用平行线的性质定理进行证明和判断。
2.培养学生观察、操作、探究的能力，提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.培养学生合作交流的意识，提高学生表达、倾听、评价的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：平行线的性质定理及其证明。
2.教学难点：平行线性质定理的理解和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、操作、探究，发现并证明平行线的性质。
2.采用合作交流的教学方法，让学生在小组内讨论、分享，培养学生的合作意识和表达能力。
3.采用启发式的教学方法，教师提问、学生回答，引导学生思考，提高学生的逻辑思维能力。
六. 教学准备1.准备教学课件，展示平行线的性质定理和证明过程。
2.准备练习题，巩固学生对平行线性质的理解和运用。
3.准备小组讨论的问题，引导学生进行合作交流。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示实际生活中的平行线例子，如教室的地面、黑板、书桌等，引导学生观察并说出平行线的特征。
2.呈现（10分钟）教师利用课件呈现平行线的性质定理，让学生初步了解平行线的性质。
3.操练（10分钟）教师提出问题，让学生在小组内讨论，如何用直尺和圆规证明平行线的性质定理。
北师大版七年级下册数学 第二章 相交线与平行线 探索直线平行的条件(第2课时)
D
A
∠3与∠4呢？
内错角
F
∠ 2与∠4呢？
B
C
同旁内角
探究新知
知识点 3 内错角相等两直线平行
D
如图1，三个相同的三角尺拼
C
成一个图形，请找出图中的一组 B
平行线，并说明你的理由.
A
AC与DE是平行的.
因为∠EDC与∠ACB
是同位角而且又相等.
E
图1
我是这样想的： ∠BCA=∠EAC，
你看得懂她的意思吗？ 她选的第三线是谁？
8 7
5 6
43
12
图中的内错角除∠3和 ∠5外，还有……
探究新知
素养考点 1内错角的识别
例 如图，与∠1是内错角的是（ B )
1 23
45
A. ∠2 C. ∠4
B. ∠3 D. ∠5
巩固练习
变式训练
如图，（1）∠1和∠4是直线__A_B__与直线_C_D__被直线__B__D__所截 形成的__________.
探究新知
变式图形：图中的∠1与∠2都是同旁内角.
1
1
2
2
12
12
图形特征：在形如“U”的图形中有同旁内角.
探究新知
素养考点 2同旁内角的识别
例 下列图形中，∠1和∠2是同旁内角的有（ A ）
1
1
1
21
2
2
2
A.
B.
C.
D.
巩固练习
变式训练
如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么∠1与
∠2是一对什么角？ 同位角
探究新知
A
知识点 1 内错角
∠2与∠4 相等
七年级数学下册 2.2 探索直线平行的条件课件2 (新版)北师大版
量一量： ∠2与∠4 的大小
34
B
90
180
G R E A T 。PROTRACTOR
0
A
定义：两条直线被第三条直
∠2与∠4 线所截，位于截线两侧，被 4 相等 截线之间的两个角，叫做～
B
分解出∠2与∠4，
内错角像Z！
“内”的涵义：两直线的内部( 两直线之间);
4
“错”的涵义：第三直线
我们称∠2和∠4为内错角。
同位角相等，两直线平行. 内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
做一做 再找一组平行线，说明你的理由。
如图2—8，三个相 B
C
D
同的三角尺拼成一个图
形，请找出图中的一组
平行线，并说明你的理由。
AC与DE是平行的
A
图2—8
E
。因为∠EDC与 ∠ACB
是同位角，而且又相等。
你看得懂她的意识吗？
1
在三线八角中
75
D
① 同位角有4对： ∠1和∠2, ∠3和∠4, ∠5和∠6, ∠7和∠8.
42
A 86
B
② 内错角有2对：∠7和∠2, ∠5和∠4. F
③ 同旁内角有2对：∠7和∠4, ∠5和∠2
说明(证明)二直线平行, 要根据已知条件, 选定 同位角相等、内错角相等及同旁内角互补之一， 来进行。 练习中要注意书写格式的规范的训练。
义务教育教科书（北师）七年级数学下册
第二章 相交线与平行线
2.2.2探索直线平行的条件（2）
2
两直线相交形成 4 个角，从数量关系上讲 ，∠1与∠2形成 互补的 角，
3
1 4
从位置关系上讲， ∠2与∠4形成 对顶角
七年级数学下册第二章相交线与平行线2.2.1探索直线平行的条件教学设计新版北师大版
七年级数学下册第二章相交线与平行线2.2.1探索直线平行的条件教学设计新版北师大版一. 教材分析本节课的内容是北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线的第一节——探索直线平行的条件。
通过本节课的学习，学生能够理解直线平行的概念，掌握判断直线平行的条件，并能运用这些知识解决一些实际问题。
教材通过生活中的实例引入直线平行的概念，接着引导学生探究直线平行的条件，最后通过练习题巩固所学知识。
二. 学情分析七年级的学生已经学习了平面几何的基本概念，对图形的认识有一定的基础。
但是，对于直线平行的概念和判断条件，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动的实例和具体的操作，帮助学生理解和掌握直线平行的概念和判断条件。
三. 教学目标1.知识与技能：理解直线平行的概念，掌握判断直线平行的条件，能运用这些知识解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气。
四. 教学重难点1.重点：直线平行的概念，判断直线平行的条件。
2.难点：直线平行的判断条件的灵活运用。
五. 教学方法本节课采用情境教学法、启发式教学法和小组合作学习法。
通过生活中的实例引入直线平行的概念，引导学生主动探究直线平行的条件，鼓励学生相互讨论、交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备一些生活中的实例图片，用于导入新课。
2.准备一些直线和平行线的模型，用于让学生直观地感受直线平行的特点。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师出示一些生活中的实例图片，如铁轨、梯子等，引导学生观察这些图片，并提出问题：“你们能找出这些图片中的平行线吗？”学生回答后，教师总结并引入直线平行的概念。
2.呈现（10分钟）教师出示一些直线和平行线的模型，让学生直观地感受直线平行的特点。
同时，教师引导学生思考：“如何判断两条直线是否平行？”学生讨论后，教师给出判断直线平行的条件。
七年级数学下册第二章相交线与平行线2探索直线平行的条件平行线的证明与性质讲义(新版)北师大版
平行线的证明与性质一、平行线的判定方法1.平行：如果两条直线a与b不相交，那么这两条直线a与b互相平行，记作a//b．2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．3.平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即如果a//b，b//c，那么a//c．4.判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线互相平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．5.在同一平面内，两条不同的直线的位置关系只有2种，就是相交和平行．例1.（1）在同一平面内，下列说法正确的有（）①过两点有且只有一条直线；②两条不同的直线有且只有一个交点；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个（2）下列各种说法，正确的是（）①在平面内的两条线段，如果没有公共点，那么这两条线段平行；②如果两条射线平行，那么这两条射线没有公共点；③如果两条直线没有公共点，那么这两条直线平行；④在平面内的两条直线，不相交则一定平行A．②③④B．②③C．①②D．②④答案：（1）B （2）D例2.（1）如图，若∠1=∠2，则_________//_________；若∠2=∠3，则____∥_____；若∠3=_________，则l3//l4；若∠4=_________，则l1//l2．（2）已知l1.l2.l3被l4所截，若要使l1//l3，则添加的一个条件是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3C．∠1=∠3 D．∠1=∠4（3）如图，直线MN分别交AB.CD于E.F，∠MFD=50°，EG平分∠MEB，则当∠MEG=_________时，AB//CD．答案：（1）l3 l4；l1 l2；∠4；∠1（2）C（3）25°提示：当∠MEB＝∠MFD时，AB∥CD即∠1＝∠2＋∠3又EG平分∠MEB，∴∠2＝∠3∴2∠2＝∠1＝50°，∴∠2＝25°例3.（1）如图，∠2=3∠1，且∠1＋∠3=90°，试说明AB//CD．∵∠1＋∠2=180°，且∠2=3∠1，∴∠1＋3∠1=180°，∴∠1＝45°又∠1＋∠3=90°，∴∠3=45°∴∠1＝∠3，∴AB//CD．（2）如图，已知∠1=∠2，AF平分∠EAQ，BC平分∠ABN，怎样说明PQ//MN．解：∵AF平分∠EAQ，BC平分∠ABN，∴∠EAQ＝2∠1，∠EBN＝2∠2，又∠1＝∠2，∴∠EAQ＝∠EBN∴PQ∥MN（3）如图，已知直线A.B.c被直线D.e所截，∠1=∠2，∠3=∠4，那么直线a与直线c平行吗？为什么？解：直线a与直线c平行．理由如下：∵∠1＝∠2，∴a∥b又∠3＝∠4，∴b∥c∴a∥c(平行公理推论)二、平行线的判定方法1.判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.2.判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行.例1.（1）如图，要使得AB//CD，必须具备的条件是________或________或__________.（2）如图，下列条件中，不能判断直线l1//l2的是（）A．∠1=∠3 B．∠2=∠3C．∠4=∠5 D．∠2＋∠4=180°（3）如图，下列判断错误的是（）A．∵∠1=∠2，∴l3//l4B．∵∠3=∠4，∴l3//l4C．∵∠1=∠3，∴l3//l4D．∵∠2=∠3，∴l1//l2（4）如图，已知∠1=∠2，则在结论：①∠3=∠4 ②AB//CD ③AD//BC中（）A．三个都正确B．只有一个正确C．三个都不正确D．只有一个不正确（5）如图，①如果∠1=________，那么DE//AC；②如果∠1=________，那么EF//BC；③如果∠AED＋_________=180°，那么AC//ED；④如果∠2＋_______=180°，那么AB//DF.答案：（1）∠1=∠2，∠3=∠2，∠2＋∠4=180°（2）B （3）C （4）B（5）①∠C ②∠FED ③∠A ④∠AED例2.如图，已知∠B=∠C，∠B＋∠D=180°，试说明为什么BC//DG？解：因为∠B=∠C，∠B＋∠D=180°，所以∠C＋∠D=180°，所以BC//DG.例3.如图，已知∠B=∠C，∠1=∠D，试问OM//AB吗？为什么？解：OM//AB．理由如下：因为∠B=∠C，所以AB∥CD又∠1=∠D，所以OM//CD所以 AB∥OM.例4.如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1＋∠2=90°，AB//CD吗？为什么？解：AB//CD．理由如下：因为BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，所以∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2所以∠ABD＋∠BDC＝2（∠1＋∠2）又∠1＋∠2＝90°，所以∠ABD＋∠BDC＝180°所以AB∥CD.例5.如图，AC是∠BAD的平分线，∠1=∠3，∠2=∠4，试说明下列结论为什么成立？（1）AB//CD （2）AC//DE解：（1）因为AC平分∠BAD，所以∠1＝∠2.又∠1＝∠3，所以∠2＝∠3.所以AB∥CD.（2）因为∠2＝∠3，∠2＝∠4.所以∠3＝∠4，所以AC∥DE.三、平行线的性质性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.例1.（1）如图，AB//CD，直线EF与AB.CD分别相交于G、H，∠AGE=60°，则∠EHD的度数是（）A．30°B．60°C．120°D．150°（2）如图，直线l1//l2，AB⊥CD，∠1=34°，那么∠2的度数是________.（3）如图，已知∠1=∠2，∠3=80°，则∠4等于（）A．80°B．70°C．60°D．50°（4）如图，是明明养的小乌龟上的一块花纹，DE//FG，BC//DE，EF//DC，DC//AB，则∠B 与∠F的关系是_____________.答案：（1）C （2）56°（3）A （4）∠B=∠F例2.（1）如图，已知AB//EF//CD，EG//DB，图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（）A．6个B．5个C．4个D．3个（2）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB//DE，测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C 的度数为（）A．120°B．100°C．140°D．90°（3）在同一平面内有两个角，它们有一条边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是（）A．相等B．互补C．相等且互补D．相等或互补答案：（1）B （2）B （3）D例3.如图，已知AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，且∠E=∠3，试说明AD平分∠BAC的理由.解：∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴AD∥EG，∴∠E＝∠2，∠3＝∠1又∠E=∠3，∴∠1＝∠2∴AD平分∠BAC例4.已知，如图，∠1=∠2，∠A=∠F，试说明为什么∠C=∠D？解：∵∠A＝∠F，∴DF∥AC，∴∠C＝∠4∵∠1=∠2，∠1=∠3，∴∠2＝∠3，∴DB∥EC，∴∠D＝∠4又∠C＝∠4∴∠C＝∠D例5.如图，已知∠1＋∠2=180°，∠B=∠3，试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明理由.解：∠AED＝∠C．理由如下：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠5＝180°∴∠2＝∠5，∴AB∥EF∴∠4＝∠3又∠B＝∠3，∴∠4＝∠B∴DE∥BC，∴∠AED＝∠C例6.如图，已知AD⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1＋∠2=90°，那么BC⊥AB，说明理由.解：∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD∴∠1＝∠3，∠2＝∠4又∠1＋∠2＝90°∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°即∠ADC＋∠BCD＝180°∴ AD∥BC又 AD⊥AB∴ BC⊥AB一、选择题1.下列说法正确的是（）A．不相交的两条直线是平行线B．互相平行的两条直线在同一平面内C．同一平面内，不相交的两条线段是平行线D．若线段AB和线段CD无交点，则它们一定平行2.已知直线l外点A，过点A作直线与l平行，那么这样的直线（）A．有两条B．不存在C．有且只有一条D．有一条或不存在3.下列推理正确的是（）A．因为a∥d，b∥c，所以c//dB．因为a∥c，b//d，所以c∥dC．因为a∥b，a∥c，所以b//cD．因为a∥b，c//d，所以a∥c4.在同一平面内，直线a与b相交，直线c与b相交，则a，c的位置关系是（）A．一定相交B．一定平行C．也可能平行，也可能相交D．上述都不对5.在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6.如图所示立方体，下列说法正确的有（）①AA1∥BB1；②AA1∥CC1；③AA1∥DD1；④AA1∥A1B1．A．0个 B．1个C．2个 D．3个7.在同一平面内有三条直线，若其中两条平行但与第三条直线不平行，则它们的交点的个数为（）A．0个 B．1个C．2个 D．3个8.如图所示，如果∠D=∠EFC，那么（）A．AD//BC B．EF//BCC．AB//DC D．AD//EF9.如图所示，P是直线l外一点，直线l1，l2都过点P，如果l1//l，那么l2与l__________，根据____________．10.如图所示，在∠AOB的内部有一点P，已知∠AOB=60°．(1)过点P作PC∥OA，PD∥OB；(2)量出∠CPD的度数，说出它与∠AOB的关系．11.若直线a∥b，b∥c，c∥d，那么a∥d吗?为什么?对于n条直线l1，l2，l3，…，ln，若l1∥l2，l2∥l3，…，ln－1∥ln，则又可得出什么结论?BCCCCDCD（1）略（2）∠CPD=60°，∠CPD与∠AOB相等或互补．10.解：∵a∥b，b∥c，∴a∥c，又c∥d，∴a∥d．同理l1∥l2∥l3∥…∥ln－1∥ln．作业1一、选择题1.如图所示，下列条件中，能判断AB//CD的是（）A．∠BAD=∠BCD B．∠1=∠2C．∠3=∠4 D．∠BAC=∠ACD2.如图所示，在下列给出的条件中，不能判断AB//DF的是（）A．∠A＋∠2=180° B．∠A=∠3C．∠1=∠4 D．∠1=∠A3.如图所示，已知∠1=∠2，∠A=∠D，则下列推理正确的是（）A．因为∠1=∠2，所以AB//CDB．因为∠1=∠2，所以BE//CFC．因为∠A=∠D，所以AB//CDD．因为∠1=∠2，所以∠1=∠2=∠3=∠4二、填空题4.如图所示.（1）如图∠1=∠3，可推出_______//________，其理由是________________；（2）如果∠2=∠4，可推出_______//__________，其理由是________________；（3）如果∠B＋∠BAD=180°，那么可推出_______//__________，其理由是________________.5.如图所示，请你填写一个适当的条件：___________，使AD//BC.6.在同一平面内，若直线a1⊥a2，a2//a3，a3⊥a4，a4//a5，…，a9⊥a10，则a1与a10的位置关系为___________（a1与a10不重合）.三、综合题7.如图所示，已知∠A=∠ACE，∠B=∠BDF，且∠A=∠B，那么CE//DF吗？8.如图所示，已知点B在直线DE上，AB⊥CB，∠A=50°，∠CBD=40°，那么AC与BD是否平行？为什么？9.如图所示，直线EF交直线AB，CD于点M，N，∠EMB=∠END，MG平分∠EMB，NH平分∠END．试探究MG与NH的位置关系，并说明理由.4.（1）AD//BC，内错角相等，两直线平行. （2）AB∥CD，内错角相等，两直线平行. （3）AD∥BC，同旁内角互补，两直线平行.5.∠ADB＝∠DBC或∠DAB＋∠ABC＝180°.6.a1⊥a107.解：CE//DF．理由如下：因为∠A=∠ACE，∠B=∠BDF，且∠A=∠B，所以∠ACE＝∠BDF.因为∠ACE＋∠ECD＝∠BDF＋∠CDF＝180°，所以∠ECD＝∠CDF，所以CE//DF.8.解：平行，理由如下：∵AB⊥CB∴∠ABC=90°∵∠CBD=40°∴∠ABE=180°－∠ABC－∠CBD=180°－90°－40°=50°∵∠A=50°∴∠A=∠ABE∴AC//BD9.解：∵MG平分∠EMB∴∠EMG=∠EMB∵NH平分∠END∴∠ENH=∠END又∠EMB=∠END∴∠EMG=∠ENH∴MG//NH作业2一、填空题1.如图，直线a//b，∠1=70°，则∠2=_______.2.在第1题中，若a//b，则∠1与∠3的关系是_________________.3.如图，l1//l2，则∠1=________.4.如图，已知DE//BC，∠D=2∠DBC，∠1=2∠2，则∠DEB=________.二、选择题5.如图，若AD∥BC，则有：①∠A＋∠B＝180°，②∠B＋∠C＝180°，③∠C＋∠D＝180°．以上结论正确的是（）A．①B．②C．③D．①③6.如图，已知CD//AB，OE平分∠DOB，若∠D=50°，则∠AOE为（）A．145°B．155°C．165°D．175°7.若两条直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线（）A．互相平行B．互相垂直C．重合D．相交三、综合题8.如图，已知AB//CD，∠B=∠D，试判定AD与BC的位置关系，并证明.9.有一条直的的等宽纸带，按图折叠时，纸带重叠部分中∠α是多少？10.如图，直线AC//BD，连结AB，直线AC.BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连结PA.PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角.（提示：有公共端点的两条重合的折射所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC＋∠PBD；（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC＋∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.1.70°2.∠1＋∠3=180°3.60°4.40°DBD8.平行．理由如下：∵AB//CD，∴∠B+∠C＝180°∵∠B＝∠D∴∠D+∠C＝180°∴AD∥BC9.75°10.（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E∵ AC∥BD, ∴∠PEA = ∠PBD.∵∠APB = ∠PAE ＋∠PEA,∴∠APB = ∠PAC ＋∠PBD.解法二：如图2过点P作FP∥AC,∴∠PAC = ∠APF.∵ AC∥BD，∴FP∥BD.∴∠FPB =∠PBD.∴∠APB =∠APF ＋∠FPB =∠PAC＋∠PBD.解法三：如图3，∵ AC∥BD，∴∠CAB ＋∠ABD = 180°即∠PAC ＋∠PAB ＋∠PBA ＋∠PBD = 180°.又∠APB ＋∠PBA ＋∠PAB = 180°,∴∠APB =∠PAC ＋∠PBD.（2）不成立.（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC＋∠APB.(b)当动点P在射线BA上，结论是∠PBD =∠PAC ＋∠APB.或∠PAC =∠PBD ＋∠APB 或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD（任写一个即可）.(c) 当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC =∠APB ＋∠PBD.选择(a) 证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于M∵ AC∥BD,∴∠PMC =∠PBD.又∵∠PMC =∠PAM ＋∠APM,∴∠PBD =∠PAC ＋∠APB.选择(b) 证明：如图5∵点P在射线BA上，∴∠APB = 0°.∵ AC∥BD ,∴∠PBD =∠PAC.∴∠PBD =∠PAC ＋∠APB或∠PAC =∠PBD＋∠APB或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD.选择(c) 证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于F∵ AC∥BD ,∴∠PFA =∠PBD.∵∠PAC =∠APF ＋∠PFA,∴∠PAC =∠APB ＋∠PBD.21。
数学北师大版七年级下册第二章 平行线与相交线 2探索直线平行的条件(第1课时).3探索直线平行的条件(一)
第二章平行线与相交线2探索直线平行的条件（第1课时）课时安排说明:平行线与相交线构成了同一平面内两条直线的基本位置关系。
在七年级上册学生已经直观认识了角、平行与垂直，积累了初步的数学活动经验的基础上，本章将进一步探索平行线、相交线的有关事实。
教材通过设置观察、操作等探索活动，按照“先探索直线平行的条件、再探索平行线的特征”的顺序呈现有关内容，在带领学生探索性质和解决问题的过程中，以直观认识为基础训练学生进行简单的说理，以加深对平行的理解，并学会借助平行解决一些简单的实际问题，进一步发展学生的空间观念。
所以，本章及本节内容无论是在知识、数学思想方法还是对学生能力的培养方面都是非常重要的。
本节“探索直线平行的条件”共分两课时完成，第一课时探索得出判别直线平行的条件一，并初步认识“三线八角”中的同位角，第二课时在进一步认识“三线八角”中的内错角和同旁内角的同时，探索得出判别直线平行的条件二、三。
本单元教学设计时将遵循教科书编写思路，在探索直线平行条件的过程中自然引入“三线八角”，使一、教学任务：1．经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等判别直线平行的结论，并能解决一些问题。
2．会识别由“三线八角”构成的同位角，会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
3．经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力。
4．使学生在积极参与探索、交流的数学活动中，体验数学与实际生活的密切联系，激发学生的求知欲，感受与他人合作的重要性。
二、 教学设计：本节课共设计了六个环节：巧妙设疑，复习引入；联系实际，积极探索；变式训练，熟练技能；学以致用，步步提高；拓展延伸，迁移运用；总结反思，布置作业。
第一环节：巧妙设疑，复习引入活动内容：教师通过设置问题串，层层设疑，在引导学生思考、层层释疑的基础上，既复习旧知，做好新知学习的铺垫，同时也不断激活学生思维、生成新问题，引起认知冲突，从而自然引入新课。
七年级数学 第2章 相交线与平行线 2.2 探索直线平行的条件
12/6/2021
解析 直线AB与CE一定平行.理由如下: 因为∠AOD+∠BOD=180°,而∠AOD+∠C=180°, 所以∠BOD=∠C. 所以AB∥CE.
图2-2-11 点拨 对于实际问题,先转化为数学问题,再根据已知条件解决.
12/6/2021
题型二 构造辅助线解决问题 例2 如图2-2-12,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°.试说 明:AB∥EF.
图2-2-12 分析 从本题中无法找出能直接判定AB∥EF的角,我们可以从辅助线 入手,找到能判定直线平行的角,把问题转化到“三线八角”中解答.
知识点三 利用内错角、同旁内角判定两直线平行 5.(2016江西新余四中期中)如图2-2-4,下列推理中正确的是 ( )
图2-2-4 A.∵∠2=∠4,∴AD∥BC B.∵∠4+∠D=180°,∴AD∥BC C.∵∠1=∠3,∴AD∥BC D.∵∠4+∠B=180°,∴AB∥CD
12/6/2021
.
理由如下:如图2-2-9,
∵b⊥a,c⊥a(a,b,c位于同一平面内),
∴∠1=∠2=90°,
∴b∥c(
).
图2-2-9
答案 平行;同位角相等,两直线平行
12/6/2021
3.如图2-2-10,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,则AB与CD平行吗? 说明理由.
12/6/2021
所以∠EMD=180°-∠EDM-∠E=20°. 所以∠CNB=∠EMD. 所以AB∥EF(内错角相等,两直线平行). 点拨 有些探究性问题直接证明很难,我们可以根据平行线的判定定 理,添加辅助线,把问题转化到“三线八角”中解决.
北师大版七年级下册数学教案-第2章 相交线与平行线-2 探索直线平行的条件
2探索直线平行的条件第1课时利用同位角判断两直线平行教学目标一、基本目标1．掌握直线平行的条件，会认由三线八角所成的同位角，并能解决一些问题．2．经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达的能力．二、重难点目标【教学重点】会认各种图形下的同位角，并掌握直线平行的条件是“同位角相等，两直线平行”．【教学难点】判断两直线平行的说理过程．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P44～P45的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，装修工人正在向墙上钉木条．如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a与木条b平行？解：当木条a与墙壁边缘所夹角是90°时，木条a与木条b平行．2．如图，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条b、c，转动木条a.①当∠1＞∠2时，直线a和b不平行；②当∠1＝∠2时，直线a和b平行；③当∠1＜∠2时，直线a和b不平行.3．认识“三线八角”：两条直线被第三条直线所截，形成“三线八角”，具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角．①∠1和∠2是同位角；②∠3和∠4是同位角；③∠5和∠6是同位角；④∠7和∠8是同位角．教师点拨：同位角在被截直线的同一侧，在截线的同一方．4．判定两条直线平行的方法：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称：同位角相等，两直线平行．两直线平行，用符号“∥”表示．例如：直线a与直线b平行，记作a∥b.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？∠1和∠3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？【互动探索】(引发学生思考)识别同位角要弄清哪两条直线被哪一条直线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．【解答】∠1和∠2是直线EF、DC被直线AB所截形成的同位角，∠1和∠3是直线AB、CD被直线EF所截形成的同位角．【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)同位角中的“同”字有两层含义：一是指两角在截线的同旁，二是指它们在被截两直线同方向；(2)在表述“三线八角”中某种位置关系的角时，可用以下方法：“∠×和∠×是直线×和直线×被直线×所截形成的×角”．【例2】有下列四种说法：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；②同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直；③直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；④平行于同一条直线的两条直线平行．其中正确的个数是() A．1B．2C．3D．4【互动探索】(引发学生思考)根据平行公理、垂线的性质进行判断．①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；②同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直，正确；③直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短，正确；④平行于同一条直线的两条直线平行，正确．【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评)平行线公理和垂线的性质两者比较相近，特别注意，对于平行公理中，必须是过直线外一点可以作已知直线的平行线，过直线上一点不能做已知直线的平行线．但垂线的性质中，无论点在平面内何处都能作出已知直线的唯一垂线．活动2巩固练习(学生独学)1．下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是(C)2．如图，直线l1、l2被l3所截，则同位角共有(D)A．1对B．2对C．3对D．4对3．四条直线a、b、c、d互不重合，如果a∥b、b∥c、c∥d，那么直线a、d的位置关系为a∥d.4．如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：AB∥CD．证明：因为∠2＝∠EHD(对顶角相等)，且∠2＝70°，所以∠EHD＝70°.因为∠1＝70°，所以∠EHD＝∠1，所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．同位角：“F”型．2．同位角相等，两直线平行．3．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．4．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．练习设计请完成本课时对应练习！第2课时利用内错角、同旁内角判断两直线平行教学目标一、基本目标1．理解并掌握内错角和同旁内角的概念．2．能够识别内错角和同旁内角．二、重难点目标【教学重点】弄清内错角和同旁内角的意义．【教学难点】能够运用内错角、同旁内角判定两条直线平行．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P47～P48的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(1)如图，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角；(2)如图，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角．2．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简称为：内错角相等，两直线平行.3．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简称为：同旁内角互补，两直线平行.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图所示，直线DE与∠O的两边相交，则∠O的内错角是______，∠8的同旁内角是______.【互动探索】(引发学生思考)直线DE与∠O的两边相交，则∠O的内错角是∠4和∠7，∠8的同旁内角是∠1和∠O.【答案】∠4和∠7∠1和∠O【互动总结】(学生总结，老师点评)找某角的内错角、同旁内角时，应从各个方位观察，避免漏解．【例2】如图，已知点E在AB上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，且∠DEC＝90°，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．【互动探索】(引发学生思考)在三角形DEC中，得∠EDC＋∠ECD＝90°，结合CE平分∠BCD，DE平分∠ADC→∠ADC＋∠BCD＝180°→AD∥BC．【解答】AD∥BC．理由如下：因为∠EDC＋∠ECD＋∠DEC＝180°，∠DEC＝90°，所以∠EDC＋∠ECD＝90°.因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，所以∠ADC＋∠BCD＝2(∠EDC＋∠ECD)＝180°，所以AD∥BC．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是平行线的判定，熟知“同旁内角互补，两直线平行”是解答此题的关键．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，下列说法错误的是(D)A．∠A与∠B是同旁内角B．∠3与∠1是同旁内角C．∠2与∠3是内错角D．∠1与∠2是同位角2．如图，有以下四个条件：①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B ＝5.其中能判定AB∥CD的条件有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个3．一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为(D)A．第一次右拐60°，第二次右拐120°B．第一次右拐60°，第二次右拐60°C．第一次右拐60°，第二次左拐120°D．第一次右拐60°，第二次左拐60°4．如图所示，若∠ACE＝∠BDF，那么CE∥DF吗？解：CE∥DF.理由：因为∠ACE＝∠BDF，∠ACE＋∠ECB＝180°，∠BDF＋∠FDA＝180°，所以∠ECB＝∠FDA(等角的补角相等)，所以CE∥DF(内错角相等，两直线平行)．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．内错角：“Z”型；同旁内角：“U”型．2．利用内错角、同旁内角判定两直线平行：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．练习设计请完成本课时对应练习！。
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数学·北师大版·七年级下册
知识点2 利用同位角来判定直线平行 例2 (2020年武汉东西湖区期末)如图，GM，HN分别平分∠BGE 和∠DHF，且∠1＋∠2＝90°.求证：AB∥CD.
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证明：∵GM，HN分别平分∠BGE和∠DHF， ∴∠BGE＝2∠1，∠DHF＝2∠2．
(B )
A．1个B．2个C源自3个D．4个数学·北师大版·七年级下册
方法点拨：过直线外一点画已知直线的平行线，与画直线的垂线的 方法类似，也需要“定点”( 即过哪一点画平行线)与“定线”(即画哪一 条直线的平行线)．
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【第一关】
1．(2020年嘉兴期末)如图，下列四个角中，与∠1构成一对同位角
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2．利用同位角判定两直线平行 定理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角___相__等___，那么这 两条直线___平__行___.简称：__同__位__角____相等，两直线平行． 该定理用符号表示如下：如图，直线AB，CD分别与直线EF相交于 点E，F，如果∠1＝___∠__2__，那么AB∥CD.
∵∠1＋∠2＝90°， ∴∠BGE＋∠DHF＝180°. ∵∠BGE＋∠BGF＝180°，
∴∠BGF＝∠DHF. ∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
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5．如图，已知∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC 的平分线，且∠1＝∠3．求证：BE∥FD.
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6．如图，已知∠AOB，P是平面内任意一点，过点P画一条直线与 OA平行，请问能画出几条符合题意的直线？
解：分两种情况： 如果点P射线在OA上，不能画出与OA平行的直线； 如果点P不在OA上，过点P有且只有一条直线与OA平行． 综上所述，符合题意的直线最多有一条．
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解：(1)画出的直线MP如图所示． (2)画出的直线NQ如图所示.
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6．已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题：①如果a∥b，
b∥c，那么a∥c；②如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c；③如果a⊥b，b⊥c，
那么a∥c；④如果a⊥b，a∥c，那么b∥c.其中真命题有
____A_B__∥__C_D______.
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【第二关】
4．(2020年温州期末)如图，直线AB，CD被射线CE所截，与∠3构
成同位角的是 A．∠2
(B )
B．∠6
C．∠4
D．∠5
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5．(2020年南京鼓楼区期末)如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝ 40°，要使a∥b，则∠2的度数应为__1_4_0___°.
的是
(B )
A．∠2
B．∠3
C．∠4
D．∠5
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2．下列说法中正确的是
(C )
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．过一点最少有一条直线与已知直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．过一点有无数条直线与已知直线平行
3 ． 平 行 用 符 号 ____∥______ 表 示 ， 直 线 AB 与 CD 平 行 ， 可 以 记 作
(A )
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知识点1 在图形中识别同位角
例1 (2020年杭州期末)在下列图形中，∠1与∠2是同位角的是
()
C
A
B
C
D
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4．(2020年瑞安期末)如图，∠B的同位角是 A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
(A )
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方法点拨：在识别同位角时，要注意同位角的两个特点：从形成同 位角的角度看，同位角一定有公共边，没有公共边的两个角一定不是同 位角；从同位角的分布位置的角度看，同位角具有“同位”的特点，每 对同位角都呈“F”型分布．
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3．平行公理及其推论 平行公理：过直线__外____一点有且只有___一___条直线与这条直线平 行． 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条 直线__平__行____.简称：平行于___同__一__条___直线的两条直线平行．
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1．如图，直线a，b被直线l所截，一共形成8个角，根据同位角的 定义，图中有几对同位角？分别是哪些？
答：有四对同位角，分别是∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4 与∠8．
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2．利用“同位角相等，两直线平行”判定两条直线平行的基本方 法是什么？说说看．
答：利用“同位角相等，两直线平行”判定两条直线平行，基本思
第二章 相交线与平行线
2 探索直线平行的条件
第1课时 利用同位角判定两条直线平行及平行公理
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1．同位角 如图，直线a，b被直线c所截形成的角中，∠1，∠2分别位于直线 a，b的___同__一___方向，并且∠1，∠2都在截线的c的__同__一____侧，具有 ∠1与∠2这种位置关系的角叫做同位角．
【第三关】 7．如图，在方格纸中，有两条线段AB， BC.利用方格纸完成下列画图： (1)过点A画BC的平行线AE； (2)过点C画AB的平行线CD，与直线AE交 于点D； (3)过点B画AB的垂线BF，与直线AE交于 点F，与直线CD交于点G.
证明：∵BE，DF 分别是∠ABC 和∠ADC 的平分线， ∴∠1＝12∠ABC，∠2＝21∠ADC. ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠1＝∠2． ∵∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3．
∴BE∥FD(同位角相等，两直线平行)．
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知识点3 平行公理及其推论 例3 已知∠ABC, M，N分别是AB，BC上的点，请你根据下列要 求画直线： (1)过点M画直线MP∥BC； (2)过点N画直线NQ∥AB，与直线MP相交于点Q.
路是根据两角之间的数量关系(两角的度数相等)得到两条直线的位置关 系(两条直线平行)，大体方法为先找到截这两条直线的截线，以截线为 线索找到有关的同位角，通过判定这对同位角相等，得到两直线平行．
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3．已知直线l1∥l2，l1∥l3，则l2与l3的位置关系是 A．l2∥l3 B．l2⊥l3 C．l2与l3相交 D．l2与l3的位置关系无法确定