1-2第一节《1.1回归分析的基本思想及其初步应用》1ppt课件9
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新课标人教A版高中数学选修1-2 《1.1 回归分析的基本思想及其初步应用》(共45张PPT)
在本例中，根据上面的公式，可以得到 ˆ = 0.849，a ˆ = -85.712. b ˆ = 0.849 x - 85.712. 于是得到线性回归方程y
n
n
ˆ = 0.849是回归直线的斜率的估计值,说明身高x b 每增加1个单位,体重y就增加0.849个单位,这表明体重 与身高具有正的线性相关关系.
图1.1 1
ˆ 和a ˆ， 未知参数 b 和 a 的最小二乘估计分别为 b 其计算公式如下：
ˆ b
x
i 1 n
n
i
x yi y
i
x
i 1
x
,
2
ˆ x, ˆ = y-b a
1 1 其中 x = xi ,y = yi . x,y 称为样本点 的 中心 . n i=1 n i=1
思考：如何发现数据中的错误？如何衡量模型的拟 合效果？ 可以通过残差发现原始数据中的可疑数据，判 断所建立模型的拟合效果.下表列出了女大学生身 高和体重的原始数据以及相应的残差数据.
编号 1 2 3 4 170 5 6 7 155 8 170
身 高 / cm 165
165 157
175 165
体 重 / kg 48 57Fra bibliotek50 54 64 61 43 59 ˆ 6 .373 2 .627 2 .419 4 .618 1 .137 6 .627 2 .883 0 .382 残 差e
我们可以利用图形来分析残差特性.作图时纵 坐标为残差, 横坐标可以选为样本编号, 或身高数据, 或 体重估计值等, 这样作出的图形为残差图.下图 是以 样本编号为横坐标的残差图.
所以 ,对身高为 172 cm的女大学生 , 由回归方程可以 预报其体重为 ˆ = 0.849 172 - 85.712 = 60.316 （ kg） . y
n
n
ˆ = 0.849是回归直线的斜率的估计值,说明身高x b 每增加1个单位,体重y就增加0.849个单位,这表明体重 与身高具有正的线性相关关系.
图1.1 1
ˆ 和a ˆ， 未知参数 b 和 a 的最小二乘估计分别为 b 其计算公式如下：
ˆ b
x
i 1 n
n
i
x yi y
i
x
i 1
x
,
2
ˆ x, ˆ = y-b a
1 1 其中 x = xi ,y = yi . x,y 称为样本点 的 中心 . n i=1 n i=1
思考：如何发现数据中的错误？如何衡量模型的拟 合效果？ 可以通过残差发现原始数据中的可疑数据，判 断所建立模型的拟合效果.下表列出了女大学生身 高和体重的原始数据以及相应的残差数据.
编号 1 2 3 4 170 5 6 7 155 8 170
身 高 / cm 165
165 157
175 165
体 重 / kg 48 57Fra bibliotek50 54 64 61 43 59 ˆ 6 .373 2 .627 2 .419 4 .618 1 .137 6 .627 2 .883 0 .382 残 差e
我们可以利用图形来分析残差特性.作图时纵 坐标为残差, 横坐标可以选为样本编号, 或身高数据, 或 体重估计值等, 这样作出的图形为残差图.下图 是以 样本编号为横坐标的残差图.
所以 ,对身高为 172 cm的女大学生 , 由回归方程可以 预报其体重为 ˆ = 0.849 172 - 85.712 = 60.316 （ kg） . y
《1.1 回归分析的基本思想及其初步应用》PPT课件(河北省县级优课)
人教A版高中数学选修1－2
非线性相关问题
建立回归方程的一般步骤：
1.确定变量 2.制作散点图，观察是否相关 3.确定回归方程的类型(线性回归、指数回归、对数回归等) 4.利用公式确定回归参数 5.利用残差分析回归是否合理或模型是否合适
例1 一只红蛉虫的产卵数y与温度x有关，现收集了7组数据，请建立y 与x的回归方程
为什么这样说？
4.残差分析：
X
21
23
25
27
29
32
35 合计(残差 R2
Y
7
平方和)
11
21
24
66
115
329
e(1) 0.518 -0.167 1.760 -9.149 8.889
- 32.928 1450.673
14.153
e(2) 47.693 19.397 -5.835
-
-
- 77.965 15448.43
y=c e 函数模型:
1 c2x其中c1、c2为参数或二次函数y=c3x2+c4模型,
根据对数知识我们知道:令z=lny将其变换到直线z=a+bx
x 21 23 25 27 29 32 35
产卵数的对数
z
7 6 5 4 3 2 1 0
20 22
1.9 2.39 3.0 46 8 45
24 26 28 30 32 34 36 温度
年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （un vn）,其回归 直线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
感受真题
回归 分基本思想Fra bibliotek回归分析
非线性相关问题
建立回归方程的一般步骤：
1.确定变量 2.制作散点图，观察是否相关 3.确定回归方程的类型(线性回归、指数回归、对数回归等) 4.利用公式确定回归参数 5.利用残差分析回归是否合理或模型是否合适
例1 一只红蛉虫的产卵数y与温度x有关，现收集了7组数据，请建立y 与x的回归方程
为什么这样说？
4.残差分析：
X
21
23
25
27
29
32
35 合计(残差 R2
Y
7
平方和)
11
21
24
66
115
329
e(1) 0.518 -0.167 1.760 -9.149 8.889
- 32.928 1450.673
14.153
e(2) 47.693 19.397 -5.835
-
-
- 77.965 15448.43
y=c e 函数模型:
1 c2x其中c1、c2为参数或二次函数y=c3x2+c4模型,
根据对数知识我们知道:令z=lny将其变换到直线z=a+bx
x 21 23 25 27 29 32 35
产卵数的对数
z
7 6 5 4 3 2 1 0
20 22
1.9 2.39 3.0 46 8 45
24 26 28 30 32 34 36 温度
年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （un vn）,其回归 直线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
感受真题
回归 分基本思想Fra bibliotek回归分析
《回归分析的基本思想及其初步应用》PPT精品课件人教版1
所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为
y 0 .8 4 9 7 2 8 5 .7 1 2 6 0 .3 1 6 (k g )
高 中 数 学 人 教版选 修1-2： 1.1 《 回 归分 析的基 本思想 及其初 步应用 》共3 1张PP
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在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量。
高 中 数 学 人 教版选 修1-2： 1.1 《 回 归分 析的基 本思想 及其初 步应用 》共3 1张PP
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案例1：女大学生的身高与体重
n
( yi y ) 2 表示总的效应，称为总偏差平方和。
i1
在例1中，总偏差平方和为354。
高 中 数 学 人 教版选 修1-2： 1.1 《 回 归分 析的基 本思想 及其初 步应用 》共3 1张PP
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求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。 解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
2、由散点图知道身高和体重有比较好的
线性相关关系，因此思可考以用P线4性回归方程
刻 3直、画 线从它 的散们 附点之 近图间 ，还的 而产看的关 不生到原系是，随因。在样机一是本条误什点直差散么线项布？上在e，某所一以条
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y 0 .8 4 9 7 2 8 5 .7 1 2 6 0 .3 1 6 (k g )
高 中 数 学 人 教版选 修1-2： 1.1 《 回 归分 析的基 本思想 及其初 步应用 》共3 1张PP
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在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量。
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案例1：女大学生的身高与体重
n
( yi y ) 2 表示总的效应，称为总偏差平方和。
i1
在例1中，总偏差平方和为354。
高 中 数 学 人 教版选 修1-2： 1.1 《 回 归分 析的基 本思想 及其初 步应用 》共3 1张PP
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求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。 解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
2、由散点图知道身高和体重有比较好的
线性相关关系，因此思可考以用P线4性回归方程
刻 3直、画 线从它 的散们 附点之 近图间 ，还的 而产看的关 不生到原系是，随因。在样机一是本条误什点直差散么线项布？上在e，某所一以条
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高中数学选修1-2-回归分析第一节.ppt
＝
，a^ ＝ y －b^ x ，
n
xi－ x 2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
其中 x ＝1ni＝n1xi， y ＝1ni＝n1yi，( x ， y )称为样本点的中心．
课前探究学习
课堂讲练互动
(3)解释变量和预报变量 线性回归模型与一次函数模型的不同之处是增加了随机误差项e， 因变量y由 自变量x 和 随机误差e 共同确定，即自变量x只解 释部分y的变化，在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变 量y称为预报变量．
课前探究学习
课堂讲练互动
【变式1】 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x 的数据：
房屋面积/m2 115 110 80 135 105 销售价格/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(1)画出数据对应的散点图； (2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格．
1．1 回归分析的基本思想及其初步应用
课前探究学习
课堂讲练互动
【课标要求】 1．了解随机误差、残差、残差分析的概念； 2．会用残差分析判断线性回归模型的拟合效果； 3．掌握建立回归模型的步骤； 4．通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想方法
和初步应用．
课前探究学习
课堂讲练互动
【核心扫描】 1．利用散点图分析两个变量是否存在相关关系，求线性回归方
6
所以
(yi－y^ i)2≈0.013
6
18，
(yi－ y )2＝14.678 4.
i＝1
i＝1
所以，R2＝1－01.40.16378184≈0.999 1， 回归模型的拟合效果较好．
，a^ ＝ y －b^ x ，
n
xi－ x 2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
其中 x ＝1ni＝n1xi， y ＝1ni＝n1yi，( x ， y )称为样本点的中心．
课前探究学习
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(3)解释变量和预报变量 线性回归模型与一次函数模型的不同之处是增加了随机误差项e， 因变量y由 自变量x 和 随机误差e 共同确定，即自变量x只解 释部分y的变化，在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变 量y称为预报变量．
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【变式1】 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x 的数据：
房屋面积/m2 115 110 80 135 105 销售价格/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(1)画出数据对应的散点图； (2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格．
1．1 回归分析的基本思想及其初步应用
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【课标要求】 1．了解随机误差、残差、残差分析的概念； 2．会用残差分析判断线性回归模型的拟合效果； 3．掌握建立回归模型的步骤； 4．通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想方法
和初步应用．
课前探究学习
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【核心扫描】 1．利用散点图分析两个变量是否存在相关关系，求线性回归方
6
所以
(yi－y^ i)2≈0.013
6
18，
(yi－ y )2＝14.678 4.
i＝1
i＝1
所以，R2＝1－01.40.16378184≈0.999 1， 回归模型的拟合效果较好．
人教A版选修1-2----1.1-回归分析的基本思想及其初步应用----课件(49张)
方法技巧 求线性回归方程的基本步骤 (1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系；
n
n
n
(2)计算： x ， y ，x2i ，y2i ，xiyi；
i＝1
i＝1
i＝1
(3)代入公式求出^y ＝^b x＋^a 中参数^b ，^a 的值； (4)写出线性回归方程并对实际问题作出估计．
提醒：只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归 方程毫无意义．
相应的散点图如图 2.
z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25
从图 2 可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来
拟合．
6
xi－ x zi－ z
i＝1
由^b＝
≈0.69，
6
xi－ x 2
i＝1
^a＝ z －^b x ＝1.115，得^z ＝0.69x＋1.115； 则有^y ＝e0.69x＋1.115.
其中 x ＝
n1i＝n1xi ， y n1i＝n1yi ，( x ， y )称为样本点的 中心 .
知识点二 线性回归分析 预习教材P3－8，思考并完成以下问题 (1)利用什么方法判断所建立的线性模型的拟合效果？ 提示：利用残差．
(2)由散点图知，残差有正、负，如何更好地判断拟合效果？
n
提示：利用残差平方和，即 (yi－^yi)2 越小，R2 越大，拟合效果越好．
5
xiyi＝1 380.
i＝1
5
xiyi－5 x y
i＝1
于是可得^b＝
5
xi2－5 x 2
i＝1
＝1 318405－－55××55×2 50＝6.5，
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2 2 2 2 2 ＝ 88 ＋ 76 ＋ 73 ＋ 66 ＋ 63 ＝27 174. x2 i 5
5
i＝1
所以b＝
^
i＝1
xiyi－5 x y
2 2 x － 5 x i 5
5
25 054－5×73.2×67.8 ＝ 27 174－5×73.22
i＝1
≈0.625.
a＝ y －b x ≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 所以 y 对 x 的回归直线方程是 y＝0.625x＋22.05. (3)x＝96，则y＝0.625×96＋22.05≈82， 即可以预测他的物理成绩是 82.
n ^ 2 (yi－yi) 称为残差平方和 ^ ^ ^ ^
i＝1
利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为 残差 ，横 残差图 坐标可以选为 样本编号 ，或 身高数据 ，或体重估计值 等，这样作出的图形称为残差图
残差 图法
残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选 用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄， 说明模型拟合精度越高
注 1）：相关关系是一种不确定性关系； 2）：对具有相关关系的两个变量进行
统计分析的方法叫回归分析。
课前探究学习
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活页规范训练
2、现实生活中存在着大量的相关关系。
如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量；
商品的销售额与广告费；
家庭的支出与收入。等等
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活页规范训练
2、回归直线方程： ˆ +a 1、所求直线方程 y ˆ 叫做回归直 ˆ = bx ---线方程；其中
[思路探索] 先利用散点图分析物理成绩与数学成绩是否线性相关，
若相关再利用线性回归模型求解．
解
(1)散点图如图．
1 (2) x ＝5×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2， 1 y ＝ ×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8. 5
i＝1
xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.
必修3(第二章 统计)知识结构
收集数据
(随机抽样)
整理、分析数据 估计、推断 用样本估计总体 变量间的相关关系
简 单 随 机 抽 样
分 层 抽 样
系 统 抽 样
用样本 的频率 分布估 计总体 分布
用样本 数字特 征估计 总体数 字特征
线 性 回 归 分 析
相关系数
1.计算公式
r=
(x
i=1 n i=1
6
275， xiyi＝1 076.2
i＝1
^ ^
6
计算得，b≈0.183，a≈6.285， 所求回归直线方程为y＝0.183x＋6.285.
^
(2)列表如下：
yi－yi
^
0.05
①y＝axn(其中a，x，y均为正值)(幂函数型函数)
lg y＝lg a＋n lg x，令u＝lg y，v＝lg x，b＝lg a， 则u＝nv＋b，图象为一直线． ②y＝cax(a＞0，c＞0)(指数型函数) lg y＝x lg a＋lg c，令u＝lg y，b＝lg c，d＝lg a，
则u＝dx＋b，图象为一直线．
e为
(2)对参数 a 和 b 的估计，由《数学必修 3》可知：最小二乘法估 计a和b就是未知参数 a、b 的最好估计，其计算公式为
^ ^
b＝
^
i＝1
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
i＝1
n
n
＝
i＝1
xi－ x
n
2
i＝1
2 － n x x2 i
n
，a＝ y －b x ，
3．建立回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报 变量． (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间 的关系(如是否存在线性关系等)．
(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，
则选用线性回归方程)． (4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数． (5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大 或残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检查数据是否
1．1 回归分析的基本思想及其初步应用
【课标要求】
1．了解随机误差、残差、残差分析的概念； 2．会用残差分析判断线性回归模型的拟合效果； 3．掌握建立回归模型的步骤； 4．通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想方法
和初步应用．
重点：利用散点图分析两个变量是否存在相关关系，求线性回 归方程． 难点、易错点：回归模型的选择，特别是非线性回归模型．
残差平 残差平方和为 (yi－y) ，残差平方和 越小 ，模型
i＝1
n
^ 2
方和 拟合效果越好
i＝1
n
n
^ 2 yi－yi
相关指 R2＝1－ 数R
2
Байду номын сангаас
， R2 表示 解释 变量对 预报 变量变
i＝1
2 y － y i
化的贡献率，R2 越接近于 1，表示回归的效果越好
想一想：回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实 值吗？为什么？ 提示 不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是
【变式1】 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x
的数据：
房屋面积/m2
115 110
80
135 105
销售价格/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)画出数据对应的散点图；
(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格．
解 (1)数据对应的散点图如下图所示：
5 15 (2) x ＝ xi＝109， (xi－ x )2＝1 570， 5i＝1 i＝1
y ＝23.2， (xi－ x )(yi－ y )＝308.
i＝1
5
设所求回归直线方程为y＝bx＋a，
^
^
^
则b＝
^
i＝1
xi－ x yi－ y xi－ x 2
个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除
了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜欢运动 等．
4．非线性回归分析
(1)非线性相关关系：样本点分布在某一条曲线的周围，而不是 一条直线附近．我们就称这两个变量之间不具有线性相关关系 而是非线性相关关系． (2)非线性回归方程线性化
ˆ= b
(x
i=1
n
i
- x)(yi - y) = - x)
2 i
x y - nxy
i i=1 n i
n
(x
i=1
n
x
i=1
2 i
- nx
2
,
ˆ ˆ = y - bx a
2.相应的直线叫做回归直线。 3、对两个变量进行的线性分析叫做线性 回归分析。
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
^ ^
题型二 线性回归分析 【例2】 为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，
对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：
x 5 10 15 20 25 30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散点图并求线性回归方程；
(2)求出R2； (3)进行残差分析．
名师点睛 1．线性回归方程 (1)在分析两个变量的相关关系时， 可根据样本数据散点图确定 两个变量之间是否存在相关关系， 然后利用最小二乘法求出回 归直线方程． ^ x＋ a ^的关键是求未知参数a ^ 和b ^ ，其中b ^ (2)求线性回归方程^ y ＝b ^ ＝ y －b ^ x ，即 y ＝b ^ x ＋a ^，所以点 可借助于计算器求出，因为a ( x ， y )一定满足线性回归方程，即回归直线一定过点( x ， y )．
自学导引 1．回归分析
回归分析是对具有 相关关系 的两个变量进行统计分析的一种常
用方法． 2．线性回归模型 (1)由散点图易发现，样本点散布在某一条直线附近，而不是一 条直线上，不能用一次函数y＝bx＋a描述它们之间的关系，因 随机误差 ．
此用线性回归模型 y ＝bx ＋a ＋e 来表示，其中 a、 b 为未知参数，
试一试：下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必
过(
).
x 1 2 3 4
y 1 3 5 7
A．点(2,3)
C．点(2.5,4)
提示
B．点(1.5,4)
D．点(2.5,5)
选 C.线性回归方程必过样本点的中心( x ， y )，即(2.5,4)．
3．刻画回归效果的方式
数据点和它在回归直线上相应位置的差异(yi－yi)是随机 残差 误差．称ei＝yi－yi 为残差，ei 称为相应于点(xi，yi)的残 差.
n
i
- x)(yi - y)
n
2 2 (x x) (y y) i i
2．相关系数的性质 (1)|r|≤1．
i=1
(2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度
越小．
问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它们的相关程度怎
样呢？
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n (xi -x)(yi -y) i=1 r= n n 2× (y -y)2 (x -x) i i i=1 i=1 ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常，
有误，或模型是否合适等．
题型一 求线性回归方程
【例1】 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：
5
i＝1
所以b＝
^
i＝1
xiyi－5 x y
2 2 x － 5 x i 5
5
25 054－5×73.2×67.8 ＝ 27 174－5×73.22
i＝1
≈0.625.
a＝ y －b x ≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 所以 y 对 x 的回归直线方程是 y＝0.625x＋22.05. (3)x＝96，则y＝0.625×96＋22.05≈82， 即可以预测他的物理成绩是 82.
n ^ 2 (yi－yi) 称为残差平方和 ^ ^ ^ ^
i＝1
利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为 残差 ，横 残差图 坐标可以选为 样本编号 ，或 身高数据 ，或体重估计值 等，这样作出的图形称为残差图
残差 图法
残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选 用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄， 说明模型拟合精度越高
注 1）：相关关系是一种不确定性关系； 2）：对具有相关关系的两个变量进行
统计分析的方法叫回归分析。
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2、现实生活中存在着大量的相关关系。
如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量；
商品的销售额与广告费；
家庭的支出与收入。等等
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2、回归直线方程： ˆ +a 1、所求直线方程 y ˆ 叫做回归直 ˆ = bx ---线方程；其中
[思路探索] 先利用散点图分析物理成绩与数学成绩是否线性相关，
若相关再利用线性回归模型求解．
解
(1)散点图如图．
1 (2) x ＝5×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2， 1 y ＝ ×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8. 5
i＝1
xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.
必修3(第二章 统计)知识结构
收集数据
(随机抽样)
整理、分析数据 估计、推断 用样本估计总体 变量间的相关关系
简 单 随 机 抽 样
分 层 抽 样
系 统 抽 样
用样本 的频率 分布估 计总体 分布
用样本 数字特 征估计 总体数 字特征
线 性 回 归 分 析
相关系数
1.计算公式
r=
(x
i=1 n i=1
6
275， xiyi＝1 076.2
i＝1
^ ^
6
计算得，b≈0.183，a≈6.285， 所求回归直线方程为y＝0.183x＋6.285.
^
(2)列表如下：
yi－yi
^
0.05
①y＝axn(其中a，x，y均为正值)(幂函数型函数)
lg y＝lg a＋n lg x，令u＝lg y，v＝lg x，b＝lg a， 则u＝nv＋b，图象为一直线． ②y＝cax(a＞0，c＞0)(指数型函数) lg y＝x lg a＋lg c，令u＝lg y，b＝lg c，d＝lg a，
则u＝dx＋b，图象为一直线．
e为
(2)对参数 a 和 b 的估计，由《数学必修 3》可知：最小二乘法估 计a和b就是未知参数 a、b 的最好估计，其计算公式为
^ ^
b＝
^
i＝1
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
i＝1
n
n
＝
i＝1
xi－ x
n
2
i＝1
2 － n x x2 i
n
，a＝ y －b x ，
3．建立回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报 变量． (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间 的关系(如是否存在线性关系等)．
(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，
则选用线性回归方程)． (4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数． (5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大 或残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检查数据是否
1．1 回归分析的基本思想及其初步应用
【课标要求】
1．了解随机误差、残差、残差分析的概念； 2．会用残差分析判断线性回归模型的拟合效果； 3．掌握建立回归模型的步骤； 4．通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想方法
和初步应用．
重点：利用散点图分析两个变量是否存在相关关系，求线性回 归方程． 难点、易错点：回归模型的选择，特别是非线性回归模型．
残差平 残差平方和为 (yi－y) ，残差平方和 越小 ，模型
i＝1
n
^ 2
方和 拟合效果越好
i＝1
n
n
^ 2 yi－yi
相关指 R2＝1－ 数R
2
Байду номын сангаас
， R2 表示 解释 变量对 预报 变量变
i＝1
2 y － y i
化的贡献率，R2 越接近于 1，表示回归的效果越好
想一想：回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实 值吗？为什么？ 提示 不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是
【变式1】 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x
的数据：
房屋面积/m2
115 110
80
135 105
销售价格/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)画出数据对应的散点图；
(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格．
解 (1)数据对应的散点图如下图所示：
5 15 (2) x ＝ xi＝109， (xi－ x )2＝1 570， 5i＝1 i＝1
y ＝23.2， (xi－ x )(yi－ y )＝308.
i＝1
5
设所求回归直线方程为y＝bx＋a，
^
^
^
则b＝
^
i＝1
xi－ x yi－ y xi－ x 2
个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除
了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜欢运动 等．
4．非线性回归分析
(1)非线性相关关系：样本点分布在某一条曲线的周围，而不是 一条直线附近．我们就称这两个变量之间不具有线性相关关系 而是非线性相关关系． (2)非线性回归方程线性化
ˆ= b
(x
i=1
n
i
- x)(yi - y) = - x)
2 i
x y - nxy
i i=1 n i
n
(x
i=1
n
x
i=1
2 i
- nx
2
,
ˆ ˆ = y - bx a
2.相应的直线叫做回归直线。 3、对两个变量进行的线性分析叫做线性 回归分析。
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^ ^
题型二 线性回归分析 【例2】 为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，
对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：
x 5 10 15 20 25 30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散点图并求线性回归方程；
(2)求出R2； (3)进行残差分析．
名师点睛 1．线性回归方程 (1)在分析两个变量的相关关系时， 可根据样本数据散点图确定 两个变量之间是否存在相关关系， 然后利用最小二乘法求出回 归直线方程． ^ x＋ a ^的关键是求未知参数a ^ 和b ^ ，其中b ^ (2)求线性回归方程^ y ＝b ^ ＝ y －b ^ x ，即 y ＝b ^ x ＋a ^，所以点 可借助于计算器求出，因为a ( x ， y )一定满足线性回归方程，即回归直线一定过点( x ， y )．
自学导引 1．回归分析
回归分析是对具有 相关关系 的两个变量进行统计分析的一种常
用方法． 2．线性回归模型 (1)由散点图易发现，样本点散布在某一条直线附近，而不是一 条直线上，不能用一次函数y＝bx＋a描述它们之间的关系，因 随机误差 ．
此用线性回归模型 y ＝bx ＋a ＋e 来表示，其中 a、 b 为未知参数，
试一试：下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必
过(
).
x 1 2 3 4
y 1 3 5 7
A．点(2,3)
C．点(2.5,4)
提示
B．点(1.5,4)
D．点(2.5,5)
选 C.线性回归方程必过样本点的中心( x ， y )，即(2.5,4)．
3．刻画回归效果的方式
数据点和它在回归直线上相应位置的差异(yi－yi)是随机 残差 误差．称ei＝yi－yi 为残差，ei 称为相应于点(xi，yi)的残 差.
n
i
- x)(yi - y)
n
2 2 (x x) (y y) i i
2．相关系数的性质 (1)|r|≤1．
i=1
(2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度
越小．
问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它们的相关程度怎
样呢？
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
n (xi -x)(yi -y) i=1 r= n n 2× (y -y)2 (x -x) i i i=1 i=1 ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常，
有误，或模型是否合适等．
题型一 求线性回归方程
【例1】 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：