【名师一号】2015高考数学(人教版A版)一轮配套题库：7-5直线、平面垂直的判定及其性质

第五节 直线、平面垂直的判定及其性质时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B2．若m ，n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α ② ⎭⎪⎬⎪⎫n ⊥αm ⊥α⇒m ∥n ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n ④ ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ①②③正确，④错误．答案 C 3．(2013·广东卷)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β解析A选项中，m，n可能平行或异面．B中m，n可能异面．C 中α，β不一定垂直，故选D.答案 D4．(理)5.(文)(2014·长沙模拟)如下图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD，则在三棱锥A—BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，故AB⊥平面ADC.∴平面ABC⊥平面ADC.答案 D4．(文)(2013·广东汕头一模)如图，P是正方形ABCD外一点，且P A ⊥平面ABCD ，则平面P AB 与平面PBC 、平面P AD 的位置关系是( )A ．平面P AB 与平面PBC 、平面P AD 都垂直B ．它们两两垂直C ．平面P AB 与平面PBC 垂直，与平面P AD 不垂直D ．平面P AB 与平面PBC 、平面P AD 都不垂直解析 ∵DA ⊥AB ，DA ⊥P A ，AB ∩P A ＝A ，∴DA ⊥平面P AB ，又DA ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB ，同理可证平面P AB ⊥平面PBC .把四棱锥P —ABCD 放在长方体中，并把平面PBC 补全为平面PBCD 1，把平面P AD 补全为平面P ADD 1，易知∠CD 1D 即为两个平面所成二面角的平面角，∠CD 1D ＝∠APB ，∴∠CD 1D <90°，故平面P AD 与平面PBC 不垂直．答案 A5．(理)(2013·山东卷)已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析 如图所示，由已知94＝S △A 1B 1C 1·AA 1＝12×3×3sin60°·AA 1，∴AA 1＝3，A 1P ＝AP ′＝23A 1D 1 ＝23A 1B 21－B 1D 21 ＝23(3)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1. ∵P ，P ′分别为正三角形A 1B 1C 1与三角形ABC 的中心，则PP ′⊥平面ABC ，∠P ′AP 即为P A 与平面ABC 所成的角，tan ∠P ′AP＝PP ′AP ′＝A 1A AP ′＝31＝3，∴∠P ′AP ＝π3. 答案 B6．(理)(2014·菱湖中学月考)已知E ，F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是( )A.23B.23C.53D.223解析 过点D 作DG ⊥AE 于点G ，由三垂线定理知，D 1G ⊥AE ，∠DGD 1即为所求二面角的平面角，设正方体的棱长是1，易求得DG ＝255，∴D 1G ＝DG 2＋DD 21＝355，∴sin ∠DGD 1＝DD 1D 1G ＝53. 答案 C6．(文)在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，则点C 到平面A 1DM 的距离为( )A.63aB.66aC.22aD.12a解析 设点C 到平面A 1DM 的距离为h ，则由已知得DM ＝A 1M ＝a 2＋(a 2)2＝52a ，A 1D ＝2a ，S △A 1DM ＝12×2a ×(52a )2－(22a )2＝64a 2，连接CM ，S △CDM ＝12a 2，由VC —A 1DM＝VA 1—CDM ，得13S △A 1DM ·h ＝13S △CDM ·a ，即64a 2·h ＝12a 2·a .所以h ＝63a ，即点C 到平面A 1DM 的距离为63a ，选A.答案 A二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．解析∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC.∴AB⊥AP.与AP垂直的直线是AB.答案AB，BC，AC AB8．如图所示，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析由P A⊥平面ABC，得P A⊥AB，P A⊥AC.故△P AB、△P AC都是直角三角形．由BC⊥AC，得BC⊥PC，故△BPC是直角三角形．又△ABC显然是直角三角形，故直角三角形的个数为4.答案 49．(2014·连云港模拟)已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，点E，F分别是棱PC，PD的中点，则①棱AB与PD所在的直线垂直；②平面PBC与平面ABCD垂直；③△PCD的面积大于△P AB的面积；④直线AE与直线BF是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)解析由条件可得AB⊥平面P AD，∴AB⊥PD，故①正确；∵P A⊥平面ABCD，∴平面P AB，平面P AD都与平面ABCD垂直，故平面PBC不可能与平面ABCD垂直，故②错；∵S△PCD＝12CD·PD，S△P AB＝12AB·P A，由AB＝CD，PD>P A，可知③正确；由E，F分别是棱PC，PD的中点可得EF∥CD，又AB∥CD，∴EF∥AB，故AE与BF共面，故④错．答案①③三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．如图，四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)∵P A⊥底面ABCD，∴CD⊥P A.又CD⊥AC，P A∩AC＝A，故CD⊥平面P AC，AE⊂平面P AC.故CD⊥AE.(2)∵P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，故P A＝AC.∵E是PC的中点，故AE⊥PC.由(1)知CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD，故AE⊥PD.易知BA⊥PD，故PD⊥平面ABE.11．(2013·北京卷)如下图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(Ⅰ)P A⊥底面ABCD；(Ⅱ)BE∥平面P AD；(Ⅲ)平面BEF⊥平面PCD.证明(Ⅰ)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A⊥底面ABCD.(Ⅱ)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD.(Ⅲ)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形．所以BE⊥CD，AD⊥CD，由(Ⅰ)知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD.所以CD⊥平面P AD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF，又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.12．(理)(2014·黑龙江一模)如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，△P AD 为等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，且∠DAB ＝60°，AB ＝2，E 为AD 的中点．(1)求证：AD ⊥PB ；(2)在棱AB 上是否存在点F ，使EF 与平面PDC 所成角的正弦值为155？若存在，确定线段AF 的长度；若不存在，请说明理由． 解 (1)证明：连接PE ，EB ，因为平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为等边三角形，E 为AD 的中点，所以PE ⊥平面ABCD ，PE ⊥AD .因为四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，E 为AD 的中点，所以BE ⊥AD .又PE ∩BE ＝E ，所以AD ⊥面PBE ，所以AD ⊥PB .(2)假设这样的点F 存在．以E 为原点，分别以EA ，EB ，EP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－2，3，0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)．因为点F 在棱AB 上，设F (x ，3(1－x )，0)，面PDC 的法向量为u ＝(a ，b ，c )，则u ·DP →＝a ＋3c ＝0，u ·DC →＝－a ＋3b ＝0，令b ＝1，则u ＝(3，1，－1)，故|cos 〈u ，EF →〉|＝35x 2＋3(1－x )2＝155，解得x ＝12，所以存在点F 满足条件，AF ＝1.12．(文)(2013·浙江卷)如下图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，P A ＝3，∠ABC ＝120°.G 为线段PC 上的点．(Ⅰ)证明：BD ⊥平面APC ；(Ⅱ)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值；(Ⅲ)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PG GC 的值．解 (Ⅰ)证明：设点O 为AC ，BD 的交点．由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线．所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD .所以BD ⊥平面APC .(Ⅱ)连接OG .由(Ⅰ)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成的角．由题意得OG ＝12P A ＝32.在△ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝23，所以OC ＝12AC ＝ 3.在直角△OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝2.在直角△OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝433.所以DG 与平面APC 所成的角的正切值为433.(Ⅲ)连接OG .因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG .在直角△P AC 中，得PC ＝15.所以GC ＝AC ·OC PC ＝2155.从而PG ＝3155，所以PG GC ＝32.。