数系的扩充和复数的概念课时练习-新人教A版高中数学选修2-2

课时练习（十二）数系的扩充和复数的概念
A 级——学考水平达标
1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2
＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i
D.2＋2i
解析：选A 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 2．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝3＋(a 2
－7)i ，a ∈R ，若z 1＝z 2，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．－3
D ．9
解析：选B 因为z 1＝a ＋2i ，z 2＝3＋(a 2
－7)i ，且z 1＝z 2，所以有⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝3，
a 2
－7＝2，解得
a ＝3.故选B.
3．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，a ＋2 018i ＝2－b i ，则a 2
＋b i ＝( ) A ．2 018＋2i B ．2 018＋4i C ．2＋2 018i
D ．4－2 018i
解析：选D 因为a ＋2 018i ＝2－b i ，所以a ＝2，－b ＝2 018，即a ＝2，b ＝－2 018，所以a 2
＋b i ＝4－2 018i.
4．下列命题中：①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z 1－z 2)2
＋(z 2－z 3)2
＝0，则z 1＝z 2＝z 3；④若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选A ①取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故①错； ②③错；对于④，a ＝0时，a i ＝0，④错，故选A.
5．复数z ＝a 2
－b 2
＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R)为实数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ＜0且a ＝－b C ．a ＞0且a ≠b
D ．a ≤0
解析：选D 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，故a ≤0.
6．若复数z ＝a 2
－3＋2a i 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为________． 解析：由条件知a 2－3＋2a ＝0，解得a ＝1或a ＝－3. 答案：1或－3
7．如果(m 2
－1)＋(m 2－2m )i ＞1，则实数m 的值为______．
解析：由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2
－2m ＝0，
m 2
－1＞1，解得m ＝2.
答案：2
8．已知z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2
－3m －1)＋(n 2
－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，
n ＝________.
解析：由复数相等的充要条件有
⎩⎪⎨⎪
⎧
n 2
－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4
⇒⎩⎪⎨
⎪
⎧
m ＝2，n ＝±2.
答案：2 ±2
9．分别求满足下列条件的实数x ，y 的值． (1)2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ；
(2)x 2－x －6x ＋1
＋(x 2－2x －3)i ＝0.
解：(1)∵x ，y ∈R ，
∴由复数相等的定义得⎩⎪⎨
⎪⎧
2x －1＝x －y ，
y ＋1＝－x －y ，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，
y ＝－2.
(2)∵x ∈R ，
∴由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－x －6x ＋1＝0，
x 2－2x －3＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3或x ＝－2，且x ≠－1，
x ＝3或x ＝－1，∴x ＝3.
10．实数m 取什么值时，复数lg(m 2
－2m －2)＋(m 2
＋3m ＋2)i 分别是(1)纯虚数；(2)实数．
解：(1)复数lg(m 2
－2m －2)＋(m 2
＋3m ＋2)i 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧
m 2
－2m －2＝1，m 2
＋3m ＋2≠0，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝3或m ＝－1，
m ≠－2且m ≠－1，所以m ＝3.
即m ＝3时，lg(m 2
－2m －2)＋(m 2
＋3m ＋2)i 为纯虚数． (2)复数lg(m 2
－2m －2)＋(m 2
＋3m ＋2)i 为实数，
则⎩⎪⎨⎪⎧
m 2
－2m －2>0， ①m 2
＋3m ＋2＝0， ②
解②得m ＝－2或m ＝－1， 代入①检验知满足不等式，
所以当m ＝－2或m ＝－1时，lg(m 2
－2m －2)＋(m 2
＋3m ＋2)i 为实数．
B 级——高考能力达标
1．若复数(a 2
－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1
D ．a ≠2
解析：选C 若复数(a 2
－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数，则有a 2
－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故应选C.
2．已知集合M ＝{1，(m 2
－3m －1)＋(m 2
－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( )
A ．4
B ．－1
C ．4或－1
D ．1或6
解析：选B 由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2－3m －1＝3，
m 2
－5m －6＝0，∴m ＝－1.
3．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R)有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )
A ．3＋i
B ．3－i
C ．－3－i
D ．－3＋i
解析：选B 由题意知n 2
＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
n 2
＋mn ＋2＝0，
2n ＋2＝0.解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝3，
n ＝－1.
∴z ＝3－i ，故应选B.
4．若复数z 1＝sin 2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R)，z 1＝z 2，则θ等于( )
A ．k π(k ∈Z)
B ．2k π＋π
3(k ∈Z)
C ．2k π±π
6
(k ∈Z)
D ．2k π＋π
6
(k ∈Z)
解析：选D 由复数相等的定义可知，⎩⎨
⎧
sin 2θ＝cos θ，
cos θ＝3sin θ.
∴cos θ＝
32，sin θ＝12
. ∴θ＝π
6
＋2k π，k ∈Z ，故选D.
5．已知z 1＝(－4a ＋1)＋(2a 2
＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2
＋a )i ，其中a ∈R.若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________．
解析：∵z 1＞z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧
2a 2
＋3a ＝0，a 2
＋a ＝0，
－4a ＋1＞2a ，
∴a ＝0，故所求a 的取值集合为{0}． 答案：{0}
6．若复数z 1＝m 2
＋1＋(m 3
＋3m 2
＋2m )i ，z 2＝4m －2＋(m 2
－5m )i ，m 为实数，且z 1>z 2，则实数m 的取值集合为________．
解析：∵z 1>z 2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m 3＋3m 2
＋2m ＝0，m 2
－5m ＝0，m 2＋1>4m －2，
解得m ＝0，
∴实数m 的取值集合为{0}． 答案：{0}
7．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪
a c
b d ＝ad －b
c ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
3x ＋2y －y i 1，求实数x ，y 的值．
解：由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪
a c
b d ＝ad －b
c ，
得⎪⎪⎪⎪
⎪⎪3x ＋2y －y i 1＝3x ＋2y ＋y i ， 故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.
因为x ，y 为实数，所以有⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝3x ＋2y ，
x ＋3＝y ，
得⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋y ＝0，
x ＋3＝y ，
得x ＝－1，y ＝2.
8．已知复数z 1＝4－m 2
＋(m －2)i ，z 2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i 是虚数单位，
m ，λ，θ∈R)．
(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值； (2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围． 解：(1)∵z 1为纯虚数，
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
4－m 2
＝0，m －2≠0，
解得m ＝－2.
(2)由z 1＝z 2，得⎩⎪⎨
⎪⎧
4－m 2
＝λ＋2sin θ，m －2＝cos θ－2，
∴λ＝4－cos 2
θ－2sin θ＝sin 2
θ－2sin θ＋3 ＝(sin θ－1)2
＋2. ∵－1≤sin θ≤1，
∴当sin θ＝1时，λmin ＝2， 当sin θ＝－1时，λmax ＝6， ∴实数λ的取值范围是[2,6]．。