5.3.2 分段低次插值-三次样条插值
matlab三次样条插值例题解析
文章标题：深度解析Matlab三次样条插值1. 前言在数学和工程领域中，插值是一种常见的数值分析技术，它可以用来估计不连续数据点之间的值。
而三次样条插值作为一种常用的插值方法，在Matlab中有着广泛的应用。
本文将从简单到复杂，由浅入深地解析Matlab中的三次样条插值方法，以便读者更深入地理解这一技术。
2. 三次样条插值概述三次样条插值是一种利用分段三次多项式对数据点进行插值的方法。
在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。
该函数需要输入数据点的x和y坐标，然后可以根据需要进行插值操作。
3. 三次样条插值的基本原理在进行三次样条插值时，首先需要对数据点进行分段处理，然后在每个分段上构造出一个三次多项式函数。
这些多项式函数需要满足一定的插值条件，如在数据点处函数值相等、一阶导数相等等。
通过这些条件，可以得到一个关于数据点的插值函数。
4. Matlab中的三次样条插值实现在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。
通过传入数据点的x和y坐标，可以得到一个关于x的插值函数。
spline函数也支持在已知插值函数上进行插值点的求值，这为用户提供了极大的灵活性。
5. 三次样条插值的适用范围和局限性虽然三次样条插值在许多情况下都能够得到较好的插值效果，但也存在一些局限性。
在数据点分布不均匀或有较大噪音的情况下，三次样条插值可能会出现较大的误差。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。
6. 个人观点和总结通过对Matlab中三次样条插值的深度解析，我深刻地理解了这一插值方法的原理和实现方式。
在实际工程应用中，我会根据数据点的情况选择合适的插值方法，以确保得到准确且可靠的结果。
我也意识到插值方法的局限性，这为我在实际工作中的决策提供了重要的参考。
通过以上深度解析，相信读者已经对Matlab中的三次样条插值有了更加全面、深刻和灵活的理解。
在实际应用中，希望读者能够根据具体情况选择合适的插值方法，以提高工作效率和准确性。
详细讲解三次样条插值法及其实现方法
样条函数的定义 定义4.1 设区间[a,b]上给定一个节点划分
a=x0<x1<……<xn-1<xn=b 如果存在正整数k使得[a,b]上的分段函数s(x)满足 如下两条： (1)在[a,b]上有直到k-1阶连续导数。 (2)在每个小区间[xi,xi+1]上是次数不大于k的多项式。 则称分段函数s(x)是以(2.6)为节点集的k次样条函数。
x xi i i 1 hi
) mi1hi
( ) xi1x
1 hi
x [xi , xi1], hi xi1 xi , i 0,1,, n 1
(x) (2x 1)( x 1)2,1(x) x(x 1)2 13
对Si (x)求二阶导数 ,并整理后得
Si( x)
6( xi
xi 1 hi3
2x)
因为分段三次Hermite插值多项式已经至少是一阶连续 可导了，为了让它成为三次样条函数只需确定节点处 的一阶导数使这些节点处的二阶导数连续即可！
S(xi 0) S(xi 0), i 1,, n 1
S(x)
y ( xxi i 0 hi
)
y ( ) m h ( xi1x i1 0 hi
( yn
yn 1 )
2 hn1
(mn1
2mn )
立即可得下式：
21
其中：
nm1 nmn1 2mn gn
n
h0
h0 hn1
, n
hn1 h0 hn1
1 n
gn
3 n
y1 y0 h0
n
yn
yn1 hn1
联合基本方程得一个广义三对角或周期三对角方程组：
2 1
1
1
2
三次样条插值方法的应用
CENTRAL SOUTH UNIVERSITY数值分析实验报告三次样条插值方法的应用一、问题背景分段低次插值函数往往具有很好的收敛性，计算过程简单，稳定性好，并且易于在在电子计算机上实现，但其光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线船体放样等型值线往往要求具有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（即所谓的样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让他自由弯曲，然后沿木条画下曲线，称为样条曲线。
样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。
下面我们讨论最常用的三次样条函数及其应用。
二、数学模型样条函数可以给出光滑的插值曲线（面），因此在数值逼近、常微分方程和偏微分方程的数值解及科学和工程的计算中起着重要的作用。
设区间[]b ,a 上给定有关划分b x x n =<<<=Λ10x a ，S 为[]b ,a 上满足下面条件的函数。
● )(b a C S ,2∈；● S 在每个子区间[]1,+i i x x 上是三次多项式。
则称S 为关于划分的三次样条函数。
常用的三次样条函数的边界条件有三种类型：● Ⅰ型 ()()n n n f x S f x S ''0'',==。
● Ⅱ型 ()()n n n f x S f x S ''''0'''',==，其特殊情况为()()0''''==n n x S x S 。
● Ⅲ型 ()()Λ3,2,1,0,0==j x S x S n j j ，此条件称为周期样条函数。
鉴于Ⅱ型三次样条插值函数在实际应用中的重要地位，在此主要对它进行详细介绍。
三、算法及流程按照传统的编程方法，可将公式直接转换为MATLAB可是别的语言即可；另一种是运用矩阵运算，发挥MATLAB在矩阵运算上的优势。
三次样条插值
三次样条插值分段线性插值的优点：计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计算机上实现缺点：它只能保证各小段曲线在连接点的连续性，却无法保证整条曲线的光滑性，这就不能满足某些工程技术的要求。
三次Hermit 插值优点：有较好的光滑性，缺点：要求节点的一阶导数已知。
从２０世纪６０年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来所谓样条(Spline)插值方法，既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性。
今天，样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域里得到越来越多广泛应用。
我们介绍应用最广的具二阶连续导数的三次样条插值函数。
一、三次样条插值函数的定义：给定区间],[b a 上的个节点b x x x a n =<<<= 10和这些点上的函数值),,1,0()(n i y x f i i == 若)(x S 满足： （1）),,2,1,0()(n i y x S i i ==；（2）在每个小区间],[b a 上至多是一个三次多项式； （3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续。
则称)(x S 为函数)(x f 关于节点的n x x x ,,,10 三次样条插值函数。
二、边界问题的提出与类型单靠一个函数表是不能完全构造出一个三次样条插值函数。
我们分析一下其条件个数，条件（2）三次样条插值函数)(x S 是一个分段三次多项式，若用)(x S i 表示它在第i 个子区间],[1i i x x -上的表达式，则)(x S i 形如],[,)(1332210i i i i i i i x x x x a x a x a a x S -∈+++=其中有四个待定系数)3,2,1,0(=j a ij ，子区间共有n 个，所以)(x S 共有n 4个待定系数。
由条件（3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续，即它们在各个子区间上的连接点110,,,-n x x x 上连续即可，共有)1(4-n 个条件，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+''=-''-=+'=-'-=+=-),2,1,0()()1,,2,1)(0()0()1,,2,1)(0()0()1,,2,1)(0()0(n i y x S n i x S x S n i x S x S n i x S x S i i i i i i i i 共有241)1(3-=++-n n n 个条件，未知量的个数是n 4个。
第5章-3-三次样条插值PPT课件
(x
a)
m
m次截断多项式
a
.
7
定理5.5 任意s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)均可唯一地表示为
n
s(x)pm(x) cj(xxj)m , x (4-31) j1
其中pm(x)∈Pm，cj(j=1,2,…,n)为实数。
定理5.6 为使s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)，必须且只须存在pm(x)∈Pm
8
例1 验证分片多项式是三次样条函数。
1 2x
x 3
S ( x) 2825x9x2x3 3x1
2619x3x2x3 1x0
2619x3x2
0 x
解 利用上面的定理(光滑因子)验证．
(x 3)3,
2(x 1)3,
x3,
所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数．
例，设
x3x2
0x1
S(x) a3xb2 xc x11x2
信息;
样? ?条?插插值值：:（样条函数—满足一定光滑性的分段多项式）。 局部性好, 满足一定光滑性, 收敛性保证, 只需要函数值
信息。
.
2
样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲 线拟合等方面有着广泛的应用。
定义5.3 对区间(-∞，+∞)的一个分割：
: x 1 x 2 x n ,
n
p n (x )p n 1 (x ) c n (x x n )m p0(x) cj(xxj)m j1
为了便于表示分段信息, 引进截断多项式：
(x a)m
(x a)m , x a,
0, x a,
(5-30)
易见
(x
a)
m
∈Cm-1(-∞,+∞)
样条函数及三次样条插值PPT课件
(x)
lim
x xk
Sk 1( x)
lim
x
x
k
Sk (x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
k 1,2,,n 1
------(4)
lim
x
x
k
Sk( x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
共4n 2个条件
5
Sk (x)是[xk , xk 1 ]上的三次样条插值多项式,应有4个待定的系数 即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件:
例. 使用不同的插值方法于函数
y
1
1 x2
x [5,5]
最后，介绍一个有用的结论
定理 . 设f (x) C 2[a,b], S(x)是以xk (k 0,1,, n)
为节点, 满足任意边界条件的三次样条插值函数，
设hi
xi 1
xi
,
h
max
0in1
hi
,
min
0in1
hi
,
则当 h
c 时
S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x)和f (x)
------(6)
13
由(11)式,可知
S0( x0
)
6( x0
x1 h03
2 x0
) ( y1
y0 )
6 x0
2 x0 h02
4 x1
m0
6 x0
4 x0 h02
2 x1
m1
6 h02
(
三次样条插值
yi1 hi
yi
hi 6
Mi1 Mi
(3.2)
Cubic Spline
由 S(x) 在内结点处一阶导数连续，即
Si( xi 0) Si1( xi 0), i 1, 2,L , n 1
可得关于参数 M j 的方程组，即三弯矩方程的形式为
其中
i Mi1 2Mi i Mi1 i , i 1, 2,L , n 1
f
n
mn .
（II类）
（3）周期边界条件
S k ( x0 ) S k ( xn ), k 0,1, 2.
（III 类）
此时，对函数值有周期条件 f ( x0 ) f ( xn ).
Cubic Spline 由boundary conditions 唯一确定。
定理 三次样条插值问题的解存在且唯一。
hi 1 (i 0,1, 2)
i i
i
i
0
1
6
1 12
12
-3
2 12
12
36
31
-78
得方程组 2 1 0 0 M0 6
1 2
0 0
2 12 0
12 2 1
0 12 2
M1 M2 M3
3 36 78
Cubic Spline
解得
M0
28 3
28 M1 3
106 M2 3
② 计算 Mi (追赶法等) ;
③ 找到 x 所在区间 ( 即找到相应的 i ) ;
④ 由该区间上的 S(x) 算出 f(x) 的近似值。
例 由函数表
Cubic Spline
j
0
1
2
3
xj
0
三次样条插值算法原理
三次样条插值算法原理
三次样条插值算法是一种用于在已知离散数据点上插值的方法。
它使用三次多项式来拟合数据点，并保证拟合的曲线在每个数据点处具有一阶和二阶连续性。
具体原理如下：1.假设有n个已知的数据点(x_i, y_i)，其中i=0,1,...,n-1。
2.在每个相邻的数据点之间插入一个三次多项式p_i(x)，将插值问题转化为求解n个多项式的系数。
3.三次多项式p_i(x)的表达式为
p_i(x)=a_i+b_i(x-x_i)+c_i(x-x_i)^2+d_i(x-x_i)^3，其中a_i, b_i, c_i, d_i为待求系数。
4.要确定这些系数，需要满足以下条件：(1) 在每个数据点处，曲线通过该点：p_i(x_i)=y_i。
(2) 在相邻数据点之间，曲线一阶连续：
p_i(x_i+1)=p_{i+1}(x_i)，即p_i(x_i+1)=p_{i+1}(x_i)，对于1 ≤i ≤n-2。
(3) 在相邻数据点之间，曲线二阶连续：p'_i(x_i+1)=p'_{i+1}(x_i)，即
p'_i(x_i+1)=p'_{i+1}(x_i)，对于1 ≤i ≤n-2。
5.通过求解上述条件，可以得到一系列线性方程组，其中未知数为待求系数。
解出这些系数后，即可得到每个数据段的三次多项式，从而完成插值。
三次样条插值算法的优点是插值曲线的平滑性好，并且对于不符合插值条件的数据点有较好的适应性。
它广泛应用于数据分析、图形绘制等领域。
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f ' (a), f ' (b);
f x 是周期函数，周期为
b a，满足：f a 0 f b 0 , f a 0 f b 0。
定理4
s x 是 f x 设 f x 是 [a, b] 上有四阶连续导函数，
1 3 x 3x 2 14 x 8 , x [1, 2] 8 1 3 s2 x x 3x 2 14 x 8 , x [2, 4] 8 1 s3 x 3x 3 45 x 2 206 x 264 8 s1 x
关于第一或第二种边界条件的三次样条插值函数，则
f s
f s
5 f 4 h 4 , 384 1 4 f h3 , 24
3 4 f 8
f s
h2 ,
其中,
h max xi xi1, f
1in
max f x 。
得到M1 6, M 2 18，代入M 表达式，得
s1 x x3 3x, x [0,1]
s2 x x 3 3x 5 x 1 , x [1, 2]
3
s3 x x 3 3x 5 x 1 6 x 2 , x [2,3]
n 1 个，需要两
个条件才能唯一确定三次样条插值函数，补充的条件称边界条件。
常见的边界条件有如下三种： (1)（第一种边值条件）已知
f '' (a), f '' (b), 特别当
f '' (a) f '' (b) 0 时称为自然边界条件；
(2)（第二种边值条件）已知 (3)（第三种边值条件）已知
则称 s x 为关于分割
的三次样条函数 。
x0 , xn 为外节点。 称 x1 ,, xn1 为内节点，
记 [a,b] 上关于分割
的三次样条函数集合为 D3,
。
易见，对于分割 ，D3, 是一个n+3维函数线性空间。
2 3 1、 1, x, x , x , x x1 , , x xn 1 D3, ; 3 3 2 3 2、 1, x, x , x , x x1 , , x xn 1 在 [a, b] 上线性无关。 3 3
已知a b, f a y0 , f b y1, f a m0 , f b m1, h b a,
满足条件的Hermit插值多项式为：
x b [h 2 x a ] x a [h 2 b x ] H3 x y0 y1 3 3 h h
1 3 2 x 3 x 14 x 8 , x 1, 2 8 1 x 3 3 x 2 14 x 8 , x 2, 4 8 1 3 2 3 x 45 x 206 x 264 , x [4,5] 8
x[ a ,b ]
①、第一种边界条件的三弯矩法
已知a x0 x1 xn1 xn b，yi f xi , i 0,1,, n，
f a ，yn f b，求 y0
s x a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 i 1 bi x xi
i Mi 1 2Mi i Mi 1 di , i 1, 2,, n 1，
hi 其中，i , i 1 i , hi hi 1
6 yi 1 yi yi yi 1 di ， hi hi 1 hi 1 hi
3 3
则s x x 3x 5 x 1 6 x 2 , x [0,3]
3 3 3
或
3 x 3x, x [0,1) 3 3 s x x 3x 5 x 1 , x [1,2) 。 3 3 3 x 3 x 5 x 1 6 x 2 , x [2,3]
n 1
若s x D3,
s x a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 i 1 bi x xi
n 1 3
s1 x a0 a1x a2 x2 a3 x3 , x a, x1
s2 x s1 x b1 x x1 , x x1 , x2
6 y2 y1 y1 y0 6 y3 y2 y2 y1 d1 5, 3, d2 h1 h2 h2 h1 h2 h3 h3 h2
解三弯矩方程
2 1 M 2 M M 2 3 0 1 3 3 2 M 2 M 1 M 5 1 2 3 3 3 3 9 得到M 1 , M 2 ，代入M 表达式，得 4 4
上式为三弯矩方程。
由上推导可得三弯矩法第一种边界条件的步骤为：
⒈计算 hi , i 1, 2,, n，i , i , di , i 1, 2,, n 1；
⒉求解三弯矩方程得到 M1, M 2 ,, M n1； ⒊代入 M 表达式，得到 s1 x , s2 x ,, sn x ； ⒋写出函数
xi x x xi 1 si x M i 1 Mi , hi xi xi 1， hi hi
则si x M i 1
xi x
6hi
3
Mi
x xi 1
6hi
3
C1 x C2，
由si xi1 yi1, si xi yi易得
si x M i 1
xi x
6hi
3
Mi
x xi 1
6hi
3
M M x x x xi 1 yi 1 i 1 hi2 i yi i hi2 6 6 hi hi
称上式为 M 表达式。
再由si xi 0 si 1 xi 0 得到
因此，上面 n+3个函数构成 D3, 的一组基。
D3, span 1, x, x , x , x x1 ,, x xn1
2 3 3 3
3
s x s x a0 a1 x a2 x 2 a3 x3 i 1 bi x xi , x [a, b]
3
s3 x s2 x b2 x x2 , x x2 , x3
3
s3 x s2 x b2 x x2 , x x2 , x3
3 3
sn x sn 1 x bn 1 x xn 1 , x xn 1 , b sn x sn 1 x bn 1 x xn 1 , x xn 1 , b
[a, b]上有二阶连续导函数且满足插值条件。
, Mn yn 。注意到 记s xi Mi , i 0,1,, n，其中，M0 y0
s x 在[ xi 1 , xi ]上是线性函数si x ，且过 xi 1 , M i 1 , xi , M i ，则
3
s1 x , a x x1 si x , xi 1 x xi ， sn x , xn 1 x b
s2 x s1 x b1 x x1 , x x1 , x2
1 3 1 3 2 x 3 x 14 x 8 x 4 , x [4,5] 8 2 1 1 3 3 s x x3 3x 2 14 x 8 0 x 2 x 4 , x [1,5] 8 2
n 1 3
s1 x , a x x1 si 1 x , xi 2 x xi 1 ， xi 1 x xi si x , sn x , xn 1 x b
其中，si x 在 [ xi1, xi ] 为不超过三次多项式，且 s x 在
s1 x , a x x1 si 1 x , x x x i 2 i 1 si x , xi 1 x xi ， s x , x x x i i 1 i 1 sn x , xn 1 x b
3
3、三次样条插值
定义3.对于分割 :a x0 x1 xn b， 已知 yi f xi ,
i 0,1,, n, 若函数 S ( x) D3, ，且满足插值条件：
S ( x i ) yi，i 0,1,2,, n,
则称 S ( x) 为函数 f ( x) 在 a, b 上的三次样条插值函数。 称 x1 ,, xn1 为内插值节点， a , b 为外插值节点。 易见，D3, 是 n 3 维函数空间，而插值条件只有
s x 表达式。
例2.已知
xi yi yi0123 Nhomakorabea0
0
2
3
16
6
求三次样条插值函数。
解. h1 h2 h3 1 , 1 2 1 2
1 , d1 3, d2 36, 2
解三弯矩方程
0.5 0 2M1 0.5M 2 3 0.5M1 2M 2 0.5 6 36
练习1.已知
xi 1 yi 1 yi 0
2
4
5
3
4
2
0
求三次样条插值函数。