应用泛函分析复习题解答
泛函分析习题标准答案
第二章 度量空间作业题答案提示 1、试问在R 上，()()2,x y x y ρ=-能定义度量吗？答：不能，因为三角不等式不成立。
如取则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、试证明：（1）()12,x y x y ρ=-;(2)(),1x y x y x yρ-=+-在R 上都定义了度量。
证：（1）仅证明三角不等式。
注意到21122x y x z z y x z z y ⎛⎫-≤-+-≤-+- ⎪⎝⎭故有111222x yx z z y-≤-+-（2）仅证明三角不等式 易证函数()1xx xϕ=+在R +上是单调增加的， 所以有()()a b a b ϕϕ+≤+,从而有1111a b a b a ba b a b a b++≤≤+++++++令,,x y z R ∀∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y zy x z x y z---≤++-+-+-4.试证明在[]b a C ,1上，)12.3.2()()(),(⎰-=ba dt t y t x y x ρ定义了度量。
证：（1）0)()(0),(≡-⇔=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。
[]),(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dtt y t z dt t z t x dtt y t z dt t z t x dtt y t x y x bab ab aba ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=⎰⎰⎰⎰5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明∑∑==≤⎪⎭⎫⎝⎛ni in i i x n x 1221证：∑∑∑∑=====⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni in i n i i n i i x n x x 1212122118.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积21R R R ⨯=上定义了度量{}212/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三角不等式。
应用泛函分析习题解答
|| xn − xm ||≥||| xn || − || xm ||| 可知道， {|| xn ||} 是一个 Cauchy 数列，令 lim || xn ||= λ 。若
λ = 0 ，取 x = θ ，就有 lim x n = x 。当 λ ≠ 0 ，任取 x ' ∈ X ， x ' ≠ θ ，令 x =
第一部分 预备知识
1. 证明 有理数集 Q 是可数的。 2. 设 A = aij 是一个实的 n × n 矩阵, 证明
( )
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ min ⎨max aij ⎬ ≥ max ⎨min aij ⎬ , 1≤ j ≤ n ⎩ 1≤i ≤ n ⎭ 1≤i ≤ n ⎩ 1≤ j ≤ n ⎭
何时上面的等号成立? 3. 求 f ( x ) = ⎨ 4. 求 lim 5. 试从
k →∞
, n 。 这 样 就 当 k > N 时 ， 有 d ∞ ( xk , x0 ) < ε ， 即 有
lim d ∞ ( xk , x0 ) = 0 。所以 ( X , d ∞ ) 是完备的。
3.证明：对任意的 α1 = ( x1 , y1 ) 与 α 2 = ( x2 , y2 ) ∈ X × Y ，令
这样 d ( x, y ) ≥| d ( x, z ) − d ( z , y ) | 。 2.证明：任取 X 的一个 Cauchy 序列 xk = (ξ1 , ξ 2 ,
(k ) (k )
k , l →∞
{
, ξ n( k ) )}
∞ k =1
，由
(0)
lim d ∞ ( xk − xl ) = 0 及知道 {ξi( k ) }
m∈M
个凸集。
10.解：令 f ( x) =
泛函分析考试题型及答案
泛函分析考试题型及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数空间E为所有连续函数的集合，定义泛函F(u)=∫₀¹u(x)dx，则F(u)是线性的。
A. 正确B. 错误答案：A2. 每一个线性泛函都可以表示为一个内积。
A. 正确B. 错误答案：B3. 泛函分析中的“泛函”一词指的是函数的函数。
A. 正确B. 错误答案：A4. 弱收敛和强收敛是等价的。
A. 正确B. 错误答案：B5. 紧算子总是有界算子。
A. 正确B. 错误答案：A6. 每一个闭算子都是有界的。
A. 正确B. 错误答案：B7. 每一个有界线性算子都是紧算子。
A. 正确B. 错误答案：B8. 每一个线性泛函都可以用Riesz表示定理表示。
A. 正确B. 错误答案：A9. 每一个线性算子都可以分解为一个紧算子和一个有界算子的和。
A. 正确B. 错误答案：B10. 每一个线性算子都可以分解为一个有界算子和一个紧算子的和。
A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设X是赋范线性空间，如果对于X中的每一个序列{x_n}，都有‖x_n‖→0当且仅当x_n→0，则称X是______空间。
答案：完备2. 设T是线性算子，如果T(X)是X的闭子空间，则称T是______算子。
答案：闭3. 设E是Hilbert空间，如果对于每一个x∈E，都有∥Tx∥≥∥x∥，则称T是______算子。
答案：正4. 设E是Banach空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑‖x_n‖<∞当且仅当∑x_n收敛，则称E是______空间。
答案：自反5. 设E是线性空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑x_n收敛当且仅当∑‖x_n‖<∞，则称E是______空间。
答案：序列完备三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述Hahn-Banach定理的内容。
答案：Hahn-Banach定理指出，如果X是一个赋范线性空间，p是X 的一个线性子空间，f是p上的一个线性泛函，并且存在一个常数M使得对于所有x∈p，有|f(x)|≤M‖x‖，则存在X上的一个线性泛函F，使得F|p=f，并且对于所有x∈X，有|F(x)|≤M‖x‖。
泛函分析期末试题及答案
泛函分析期末试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是泛函分析的主要研究对象？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 点集答案：D2. 泛函是指将一个向量空间的元素映射到一个标量的函数。
以下哪个选项是泛函的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 函数空间的对偶空间答案：C3. 在泛函分析中，范数是一种度量向量空间中向量大小的方法。
以下哪个选项是范数的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 函数空间的对偶范数答案：B4. 下列哪个不是泛函分析中的基本定理？A. 嵌入定理B. 开铃定理C. Hahn-Banach定理D. Banach-Steinhaus定理答案：B5. 泛函分析中的内积是指满足一定条件的映射。
以下哪个选项是内积的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 内积空间答案：D二、填空题1. 完成下列范数的定义：范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
2. 填写完整的Hahn-Banach定理的表述：设X是一个实或复数的线性空间，Y是X的一个线性子空间，f是定义在Y上的线性泛函，对于所有的y∈Y，有f(y) ≤ p(y)，其中p是X上的一个次线性泛函，且满足p(y) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，则存在一个定义在整个X上的线性泛函F，满足F(x) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，并且在Y上，F和f的限制是相等的。
三、计算题1. 对于给定的函数空间C[0,1]，计算函数f(x) = x^2在C[0,1]上的范数。
解答：根据范数的定义，范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
《应用泛函分析》习题解答
1泛函分析与应用-国防科技大学第 一 章第 一 节3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞<N∈k k x sup 。
证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。
取0N m =，则有0 ,0N n x x N n >+<ε，令},,,,m a x {0021ε+=N N x x x x c ，则1 ,≥<n c x n 。
6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足∞<∑∞=1k kx（此时称级数∑∞=1k k x 绝对收敛），证明存在E ∈x ，使∑∞=∞→=1lim k kn xx （此时记x 为∑∞=1k kx，即∑∞==1k kxx ）.证明：令∑==nk kn xy 1，则∑∑++=++=+≤=-pn n k kpn n k kn p n xxy y 11。
由于∞<∑∞=1k kx绝对收敛，则它的一般项0→k x 。
因此0>∀ε，总0N ∃，当0,N p n ≥时，有ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必存在E ∈x ，使得∑∑∞==∞→==11limk k nk kn x xx 。
9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。
若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。
此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。
通常用E dim 表示E 的维数，并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。
泛函分析试题及答案
泛函分析试题及答案一、选择题1. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数对于输入变量的敏感程度？A. 泛函B. 导数C. 凸函数D. 可测函数答案：B. 导数2. 设X和Y是两个Banach空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是可逆的B. f是连续的C. f是紧致的D. f是自共轭的答案：B. f是连续的3. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数在每个点上的局部模式与全局模式之间的一致性？A. 可微性B. 凸性C. 全纯性D. 一致连续性答案：B. 凸性4. 设X和Y是两个赋范空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤C||x||B. 对于每个有界集A ⊂ X，f(A)是有界集C. f是连续的D. f是满射答案：A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤ C||x||二、填空题1. 在Hilbert空间中，内积运算满足线性性和_____________性。
答案：共轭对称性2. 设X是一个有界完备度量空间，那么X是一个____________空间。
答案：Banach空间3. 在泛函分析中，将一个函数的导数定义为其_____________。
答案：弱导数4. 设X是一个线性空间，D是X上的一个有界线性算子。
如果对于所有x和y都有⟨Dx, y⟩ = ⟨x, Dy⟩，那么D被称为______________。
答案：自伴算子三、解答题1. 请简要说明什么是范数，并给出一些范数的例子。
范数是定义在一个线性空间上的一种函数，用于衡量该空间中的向量的大小。
它满足以下三个性质：- 非负性：对于任意向量x，其范数必须大于等于0，即||x|| ≥ 0，并且当且仅当x为零向量时，范数等于0。
- 齐次性：对于任意向量x和任意实数α，有||αx|| = |α| ||x||，其中|α|表示α的绝对值。
《应用泛函分析》习题解答
《应⽤泛函分析》习题解答以下所有题⽬来⾃科学出版社许天周的《应⽤泛函分析》。
1. 设1≤p≤q≤+∞，证明l p⊂l q。
证明：∀x=(x1,x2,…)∈l p，∀ε>0，恒存在⾃然数N，使得∑+∞k=N||x k||p<εp，那么可得||x k||p<εp⇒||x k||<ε，p≥1，进⽽∑+∞k=N||x k||q≤εq−p∑+∞k=N||x k||p<+∞所以x∈l q2. 设[a,b]是有界闭区间，证明L2([a,b])⊂L1([a,b])。
证明：∀x∈L2([a,b])，有[∫b a|f(t)|2dt]12<+∞，那么∫b a|f|dt≤[∫b a|f(t)|2dt]12[∫ba1dt]12<+∞因此，x∈L1([a,b])3. 设(X,d)是⼀个距离空间，中⼼在x0，半径为r的开球定义为B(x0,r)={x∈X:d(x,x0)<r}集合A⊂X是开集是指对于任意的x0∈A，恒存在以x0为中⼼的开球包含在A中。
（1）证明开球是开集；（2）开集全体构成的集合是X上的⼀个拓扑。
证明：（1）对于任意开球B(x0,r)={x∈X:d(x,x0)<r}，存在B(x0,r/2)⊂B(x0,r)，所以开球是开集。
（2）显然，开集全体构成的集合满⾜拓扑的定义。
4. 证明d(x,y)=|arctanx−arctany|是R上的距离。
证明：(1)⾮负性：d(x,y)=|arctanx−arctany|≥0，d(x,y)=|arctanx−arctany|=0⇔x=y因为arctanx是⼀个单调函数；(2)交换性：显然d(x,y)=d(y,x)；(3)三⾓不等式：∀x,y,z∈R,d(x,y)=|arctanx−arctany|=|arctanx−arctanz+arctanz−arctany|≤|arctanx−arctanz|+|arctanz−arctany|=d(x,z)+d(y,z)5. 设(X,d)是距离空间，对于任意的x∈X，定义f(x)=inf y∈A d(x,y)，证明f(x)是连续函数。
《应用泛函分析》习题解答
1泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章第 一 节3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞<N∈k k x sup 。
证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。
取0N m =，则有0 ,0N n x x N n >+<ε，令},,,,max{0021ε+=N N x x x x c ，则1 ,≥<n c x n 。
6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足∞<∑∞=1k kx（此时称级数∑∞=1k k x 绝对收敛），证明存在E ∈x ，使∑∞=∞→=1lim k kn xx （此时记x 为∑∞=1k kx，即∑∞==1k kxx ）.证明：令∑==nk kn xy 1，则∑∑++=++=+≤=-pn n k kpn n k kn p n xxy y 11。
由于∞<∑∞=1k kx绝对收敛，则它的一般项0→k x 。
因此0>∀ε，总0N ∃，当0,N p n ≥时，有ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必存在E ∈x ，使得∑∑∞==∞→==11limk k nk kn x xx 。
9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。
若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。
此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。
通常用E dim 表示E 的维数，并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。
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泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章第 一 节3．设}{k x 是赋空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x有界，即∞<N∈k k x sup 。
证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。
取0N m =，则有0 ,0N n x x N n >+<ε，令},,,,max{0021ε+=N N x x x x c Λ，则1 ,≥<n c x n 。
6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足∞<∑∞=1k kx（此时称级数∑∞=1k k x 绝对收敛），证明存在E ∈x ，使∑∞=∞→=1lim k k n x x （此时记x 为∑∞=1k k x ，即∑∞==1k k x x ）.证明：令∑==n k kn xy 1，则∑∑++=++=+≤=-pn n k kpn n k kn p n xxy y 11。
由于∞<∑∞=1k kx绝对收敛，则它的一般项0→k x 。
因此0>∀ε，总0N ∃，当0,N p n ≥时，有ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必存在E ∈x ，使得∑∑∞==∞→==11limk k nk kn x xx 。
9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。
若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。
此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。
通常用E dim 表示E 的维数，并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel基。
证明酉空间n C 的维数为n ，并问当视nC 为实线性空间时，其维数是多少？ 证明：设n y x C ∈,，C ∈βα,，则有ny x C ∈+βα。
令)0,0,1,0,0(4434421ΛΛ项共项第n k k =e ，则对任意的),,(21n x x x x Λ=，必有∑==nk kk x x 1e，因此},,,{21n e e e Λ是空间nC的基，则n n=C dim 。
当视nC 为实线性空间时，可令基为},,,,,{11n n i i e e e e ΛΛ，则对任意的),,(21n x x x x Λ=，有∑∑==+=nk k k n k k k i x g x x 11))((Im )Re(e e ，所以n n 2dim =C 。
10．证明∞=],[dim b a C ，这里b a <。
证明：取],[,0,)(b a t k t t x kk ∈≥=，只需证},,{10Λx x 线性无关。
为此对0≥∀n ，令01=∑=n k k k x c 。
则00!01=⇒=⇒=∑=n n n nk k k c c n x c 次求导。
因此必有011=∑-=n k k kx c，求该式求1-n 导后有00)!1(11=⇒=---n n c c n 。
依次类推，有001====-c c c n n Λ，所以对任意的0≥n ，都有},,{10n x x x Λ线性无关，即∞=],[dim b a C 。
第 二 节2.（点到集合的距离）设A 是E 的非空子集，E ∈x 。
定义x 到A 的距离为：}|inf{),(A A ∈-=y x y x d证明：1) x 是A 的点⇔0),(>cx d A ；2) x 是A 的孤立点⇔A ∈x ，且0}){\,(>x x d A ；3) x 是A 的外点⇔0),(>A x d 。
解：1）必要性：x是A的点内点的定义⇒ε∃，使得A⊂B ),(εx ⇒Φ=B c x A I ),(ε⇒c y A ∈∀，都有x y ≠⇒0}|inf{>∈-c y x y A ⇒0),(>c x d A 。
充分性：0),(>cx d A 距离的定义⇒ε∃，使得Φ=B cx A I ),(ε⇒ε∃，使得A⊂B ),(εx 内点的定义⇒x 是A 的点。
2）必要性：x 是A 的孤立点孤立点的定义⇒A ∈x ，且ε∃，使得}{),(x x =B A I ε⇒A∈x ，且ε∃，使得Φ=B }}/{{),(x x A I ε距离的定义⇒A ∈x ，且0}){\,(>x x d A 。
充分性：A ∈x ，且0}){\,(>x x d A 距离的定义⇒ε∃，使得Φ=B }}/{{),(x x A I ε⇒ε∃，使得}{),(x x =B A I ε孤立点的定义⇒x 是A 的孤立点。
3）必要性：x 是A 的外点外点的定义⇒ε∃，使得Φ=B A I ),(εx ⇒A ∈∀y ，都有x y ≠⇒0}|inf{>∈-A y x y 距离的定义⇒0),(>A x d 。
充分性：0),(>A x d 距离的定义⇒ε∃，使得Φ=B A I ),(εx 外点的定义⇒x 是A 的外点。
3．设A 是E 中的非空闭集，证明：A ∈x ⇔0),(=A x d 。
解：必要性：A∈x ⇒A∈∃y ，使得x y =⇒0}|inf{=∈-A y x y 距离的定义⇒0),(=A x d 。
充分性：0),(=A x d 距离的定义⇒0}|inf{=∈-A y x y ⇒A ⊂∃}{k x ，使得x x k →是闭集A ⇒A ∈x 。
7．举例说明无穷多个闭集之并不一定是闭集。
解：Y ∞==-1)1,0[]11,0[k k 。
8．证明A A A '=Y 。
证明：设A ∈x ⇒A ⊂∃}{k x ，使得x x k →。
若}{k x ∃中有无穷项互异，则A '∈x ；否则有无穷多相取同一个值，则A ∈x ，由此可知：A A Y '∈x ，则A A A '⊂Y 。
另一方面，由于A A ⊂且A A ⊂'，所以A A A ⊂'Y 。
综上所述，有A A A '=Y 。
9．证明：1）A 的部是含于A 的最大开集，即}|{int A B B B A ⊂=是开集，且Y；2）A 的闭包是包含A 的最小闭集，即}|{A B B B A ⊃=是闭集，且I。
证明：1）设G 是含于A 的最大开集，则A A ⊂int ⇒G A ⊂int 。
设G∈x 是开集G ⇒ε∃，使得G⊂B ),(εx AG ⊂⇒ε∃，使得A ⊂B ),(εx 内点的定义⇒A int ∈x 。
所以A G int ⊂。
综上所述，A G int =，则表明A 的部是含于A 的最大开集。
2）设G 是包含A 的最小闭集，且A A ⊂⇒A G ⊂。
设A ∈x ⇒A ⊂∃}{k x ，使得x x k →GA ⊂⇒G ⊂∃}{k x ，使得xx k →是闭集G ⇒G ∈x ，所以G A ⊂。
综上所述，A G =，则表明A 的闭包是包含A 的最小闭集。
10．利用习题9的结论证明：1）)int()(ccA A =，2）)()(int c c A A =。
证明：1）A A ⊂⇒c c A A ⊂)(。
c)(A 是开集，而由习题9的结论可知，)int(c A 是含于cA 的最大开集，所以)int()(ccA A ⊂。
此外，设)int(c x A ∈，而c x )(A ∉。
由)int(cx A ∈是开集)int(c A ⇒ε∃，使得cc x A A ⊂⊂B int ),(ε⇒ε∃，使得ΦB ＝A I ),(εx 。
（1）而由cx )(A ∉⇒A ∈x ⇒ε∀，都有Φ≠B A I ),(εx ，此与（1）式矛盾，故c x )(A ∈，所以c c )()int(A A ⊂。
综上所述，有)int()(c c A A =。
2）A A ⊂int ⇒)int(ccA A ⊂。
这表明)int(cA 是包含c A 的闭集，而由习题9的结论可知，)(c A 是包含c A 的最小闭集，所以c c )(int )(A A ⊂。
此外，设cx )(int A ∈。
由cx )(int A ∈⇒Aint ∉x 是开集A int ⇒ε∀，都有A ⊄B ),(εx ⇒ε∀，都有Φ≠B cx A I ),(ε。
特别有N ∈Φ≠B k kx c,)1,(A I ，因此取N ∈B =k k x x c k ,)1,(A I ，所以有c k x A ⊂}{且x x k →，故)(cx A ∈，所以)()(int c c A A ⊂。
综上所述，有)()(int c c A A =。
12．设)}2,0{(}sin 0),2,0(|),{(Y x y x y x <≤∈=πA 。
试写出)int(A ，A 及A的孤立点的全体。
解：}sin 0),2,0(|),{()int(x y x y x <<∈=πA ；)}2,0{(}sin 0],2,0[|),{(Y x y x y x ≤≤∈=πA ；A 的孤立点)}2,0{(=。
13．设A 、B 、C 均是E 的子集，且C B ⊂，证明： 1）若A 在C 中稠密，则A 在B 中稠密 ； 2）若A 不B 中稠密，则A 不在C 中稠密。
证明：1）A 在C 中稠密⇒C ∈∀x ，存在A ⊂}{k x ，使得x x k →CB ⊂⇒B ∈∀x ，存在A ⊂}{k x ，使得x x k →⇒A 在B 中稠密。
2）A 不在B 中稠密⇒B ∈∃x 和ε，使得Φ=B A I ),(εx CB ⊂⇒C ∈∃x 和ε，使得Φ=B A I ),(εx ⇒A 不在C 中稠密。
第 三 节2．设B A →:T ，C B →:G ，且C D ⊂，证明：))(()()(111D D ---=G T T G ο。
证明：设)()(1D -∈T G x ο⇒D ∈)(Tx G ⇒)()(1D -∈G x T ⇒)(11D --∈G T x ⇒))(()()(111D D ---⊂G T T G ο； 另一方面，设))((11D --∈G T x ⇒)(1D -∈G Tx ⇒D ∈))((x T G ο⇒)()(1D -∈T G x ο⇒ )()())((111D D ---⊂T G G T ο。
综上所述，))(()()(111D D ---=G T T G ο。
4．设1:E E T →，E x ∈0，证明：1）T 在0x 处连续⇔只要E x k ⊂}{满足0x x k →，则0Tx Tx k →；2）T 在0x 处连续⇔对于任意0>ε，存在0>δ，使),()),((00εδTx B x B T ⊂。