等差数列及其性质

等差数列及其性质1.等差数列的定义如果一个数列______________________________________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母______表示. 2.等差数列的判定(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. 3.等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是________________. 4.等差中项如果________，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 5.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋________，(n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则__________________. (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为________. (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列.(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为________的等差数列.(6)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (7)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.练习1 已知等差数列前10项的和为30，前20项的和为70，求前30项的和(8) 等差数列{}n a 中，当项数是偶数2n 时，,S S nd -=奇偶1n n S a S a +=奇偶当项数是奇数12-n 时，-S S a =奇中偶， 1S n S n =-奇偶6 .等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝__________或S n ＝____________. 7. 等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数).8 .等差数列的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最____值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最_____值.练习2 等差数列{}n a ，1791,25S S a ==问前多少项的和最大？练习3 等差数列{}n a ，前项和为0,0,12,13123<>=S S a S n ， (1)，求公差d 的取值范围，(2)，问前多少项的和最大练习 4 {}n a 是等差数列，首项0,0,020042003200420031<>+>a a a a a ，求使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 的值9 等差数列{}{}n n b a ,的前项和分别为n n B A ,，则1212)12()12(--=--=n n nn nn B A b n a n b a练习5 设{}{}n n b a ,是两等差数列，其前n 项好为n n T S ,若3413-+=n n T S nn ，求nn b a ,同类型题 1 设等差数列{}{},n n a b 的前项和为,n n S T ，若对任意的正整数n,都有n nS T =2343n n --,则935748a ab b b b +=++____________同类型题2已知两等差数列{}{}315+2n n n n n n nnA a n a bB n b +和的前n 项和分别为A ,B 且=,则使得为整数的n 个数为 ( )A 0B 1C 2D 3练习6 项数是奇数项的等差数列，奇数项的和为44，偶数项的和为33，求该数列的中间项。

10 题型题型一等差数列的判定或证明例1已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1 (n ∈N *).(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由.总结:证明或判断一个数列为等差数列，通常有两种方法：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d ；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.就本例而言，所用方法为定义法.(1)证明∵a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1.∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝⎛⎭⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.∴数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列.(2)解由(1)知，b n ＝n －72， 则a n ＝1＋1b n 1＋22n －7， 设函数f (x )＝1＋22x －7，易知f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞内为减函数. ∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.练习1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)，a 1＝2.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求a n 的表达式.(1)证明由S n ＝S n －12S n －1＋1，得1S n ＝2S n －1＋1S n －1＝1S n －1＋2，∴1S n －1S n －1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1即12为首项，以2为公差的等差数列.(2)解由(1)知1S n ＝12＋(n －1)×2＝2n －32， ∴S n ＝12n －32，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －32－12n －72＝－2⎝⎛2n －32⎝⎛⎭⎫2n －72；当n ＝1时，a 1＝2不适合a n ， 故a n＝⎩⎨⎧2(n ＝1)－2⎝⎛⎭⎫2n －32⎝⎛⎭⎫2n －72 (n ≥2).题型二 等差数列的基本量的计算例2设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围.总结: (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.解(1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8. 所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)方法一∵S 5S 6＋15＝0， ∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0. 因为关于a 1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d 2－8(10d 2＋1)＝d 2－8≥0， 解得d ≤－22或d ≥2 2.方法二∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0. 故(4a 1＋9d )2＝d 2－8.所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2. 练习2 已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值.解(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3， 解得d ＝－2.从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7. 题型三 等差数列的前n 项和及综合应用例3 (1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和.总结: 求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值.解(1)方法一∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653. ∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n <0，∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.方法二同方法一求得d ＝－53. ∴S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53＝－562＋1256＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三同方法一得d ＝－53. 又由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0.∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值.且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25，∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21. 所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列. 令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4(n ＋1)－25≥0， ②由①得n <614；由②得n ≥514，所以n ＝6.即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ，则 T n＝⎩⎨⎧21n ＋n (n －1)2×(－4) (n ≤6)66＋3(n －6)＋(n －6)(n －7)2×4 (n ≥7)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2＋23n (n ≤6)，2n 2－23n ＋132 (n ≥7). 练习3 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 009＝0. (1)求S n 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使a n ≥S n .解方法一(1)设公差为d ，则由S 2 009＝0⇒2 009a 1＋2 009×2 0082d ＝0⇒a 1＋1 004d ＝0，d ＝－11 004a 1，a 1＋a n ＝2 009－n 1 004a 1，∴S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·2 009－n 1 004a 1＝a12 008(2 009n －n 2) ∵a 1<0，n ∈N *，∴当n ＝1 004或1 005时，S n 取最小值1 0052a 1.(2)a n ＝1 005－n 1 004a 1. S n ≤a n ⇔a12 008(2 009n －n 2)≤1 005－n 1 004a 1.∵a 1<0，∴n 2－2 011n ＋2 010≤0，即(n －1)(n －2 010)≤0，解得：1≤n ≤2 010. 故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 010，n ∈N *}. 练习4 设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n (m ≠n )， 求它的前m ＋n 项的和S m ＋n .解 方法一设{a n }的公差为d ， 则由S n ＝m ，S m ＝n ， 得⎩⎨⎧S n＝na 1＋n (n －1)2d ＝m ， ①S m＝ma 1＋m (m －1)2d ＝n . ②②－①得(m －n )a 1＋(m －n )(m ＋n －1)2·d ＝n －m ，∵m ≠n ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1. ∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋(m ＋n )(m ＋n －1)2d ＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n ).方法二设S n ＝An 2＋Bn (n ∈N *)，则⎩⎪⎨⎪⎧Am 2＋Bm ＝n ， ③An 2＋Bn ＝m . ④③－④得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m. ∵m≠n，∴A(m＋n)＋B＝－1，＝－(m＋n).∴A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)，∴S m＋n。