乘法公式的灵活运用上课讲义
乘法公式的灵活运用
专题课堂(一) 乘法公式的灵活运用
类型 (1)(a＋b)2(a－b)2型； (2)(a＋b)(a－b)(a2－b2)型． 例1 计算：(1)(x＋3)2(x－3)2； (2)(m＋2n)(m－2n)(m2－4n2)． 分析：(1)不要先将(x＋3)2和(x－3)2分别展开，再相乘，如果这样做 ，那么计算很麻烦，先逆用积的乘方变形为[(x＋3)(x－3)]2＝(x2－9)2， 然后再展开； (2)先用平方差公式，再用完全平方公式． 解：(1)原式＝[(x＋3)(x－3)]2＝(x2－9)2＝x4－18x2＋81 (2)原式＝(m2－4n2)2＝m4－8m2n2＋16n4
【对应训练】 1．计算： (1)(2m＋3n)2(2m－3n)2； 解：16m4－72m2n2＋81n4
(2)(3x－y)(9x2－y2)(3x＋y)． 解：81x4－18x2y2＋y4
பைடு நூலகம்
【对应训练】 1．计算： (1)(2m＋3n)2(2m－3n)2； 解：16m4－72m2n2＋81n4
(2)(3x－y)(9x2－y2)(3x＋y)． 解：81x4－18x2y2＋y4
知识影响格局，格局决定命运！ 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
【对应训练】
2．若 m－n＝3，mn＝10，则 2m2＋2n2＝__5_8_，m＋n＝___±_．7 3．若 a－b＝4，a2＋b2＝10，则 ab＝___－_，3 a＋b＝ ±2 ． 4．若 x－1x＝3，则 x2＋x12＝_1_1__，x＋1x＝ ± 13 ，x4＋x14＝_1_1_9_．
【对应训练】
例 2 (1)若 x＋y＝3，x－y＝ 5，则 x2＋y2＝ 7 ，xy＝__1__； (2)若 x2＋y2＝26，xy＝5，则 x＋y＝±__6__，x－y＝_±__4_． 分析：(1)(x＋y)2＝9，(x－y)2＝5，分别展开，再相加、减可求 x2＋y2， xy 的值； (2)先求出(x＋y)2 和(x－y)2 的值，再开平方求 x＋y 和 x－y 的值．
乘法公式综合复习讲义
乘法公式综合复习讲义乘法公式是数学中常用的运算法则，它可以用于进行乘法运算。
下面将按知识点进行综合复习乘法公式。
1.乘法的交换律：乘法运算中，两个数的乘积不受它们的顺序影响，即a×b=b×a。
例如，2×3=3×2=62.乘法的结合律：乘法运算中，三个或更多个数相乘，可以任意改变它们的顺序，结果保持不变，即(a×b)×c=a×(b×c)。
例如，(2×3)×4=2×(3×4)=243.乘法的分配律：乘法运算中，一个数乘以两个数的和，等于这个数分别乘以这两个数，再将结果相加，即a×(b+c)=a×b+a×c。
例如，2×(3+4)=2×3+2×4=144.平方公式：将一个数平方，等于这个数乘以它本身，记作a^2=a×a。
例如，5^2=5×5=255.平方差公式：两个数的乘积等于它们的平方和减去它们的平方差，记作a×b=(a+b)×(a-b)。
例如，6×4=(6+4)×(6-4)=60。
6. 二次方差公式：两个数的平方和等于它们的平方差加上它们的乘积的两倍，记作 a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab。
例如，3^2 + 4^2 = (3 + 4)^2 - 2 × 3 × 4 = 49 - 24 = 257.乘法的倒数公式：一个非零数的倒数等于它的倒数乘以它自己，等于1，记作a×(1/a)=1、例如，2×(1/2)=18.乘法的零律：任何数与0相乘，结果都为0，即a×0=0。
例如，7×0=0。
9.乘法的单位元素：任何数与1相乘，结果都等于它自己，即a×1=a。
例如，6×1=610.乘法的负数规律：一个数与它的相反数相乘，结果为负数，即a×(-b)=-(a×b)。
人教版小学数学四年级下册 《乘法运算的灵活运用》教案.doc
第三单元运算定律第二节乘法运算定律第3课时《乘法运算的灵活运用》教学设计•设计说明教学内容：人教版小学数学四年级下册第三单元运算定律第二节《乘法运算定律》屮的《乘法运算的灵活运用》例9 (1),练习八的内容。
教学目标：知识与技能探究和归纳乘法交换律、结合律；理解乘法交换律、结合律的作用；了解运用运算定律可以进行一些简便运算。
培养根据具体情况，选择适当算法的意识与能力,发展思维的灵活性。
过稈与方法：通过情景创设,在解决实际问题的过稈屮充分调用学生已有的知识经验，进行知识迁移。
学生在老师的引导下感受数学与现实生活的联系，能用所学知识解决简单的实际问题。
情感态度与价值观：鼓励学生大胆猜想，并从屮感悟科学验证的方法。
通过教学情境的创设和体育川具的市场价格，向学生渗透体育健康教冇。
教学重难点：重点：灵活应用乘法交换律、结合律和分配律进行简便计算。
难点：将一个因数拆分成两个适当数的和。
•教学安排1课时•教学方法乘法运算定律是四年级数学教学屮的垂点,也是难点Z—。
通过合作、探究的教学方法, 来完成木节的学习。
运用与操作却有着太多的不可估计的问题，尤其对于定律的综合运用。
重在知识的归纳、整理、巩同以及知识的应用上，从而使所学知识系统化、网络化，并利用这些知识解决一些实际问题。
•教具准备多媒体课件•教学过程一、创设情境，提出问题1.复习提问：谁知道我们学习了那些乘法运算定律？你能用语言叙述吗？用字母又怎样表示呢？2.谈话导入：同学们你最喜欢什么体育活动？为了增强同学们的体质，学校派王老师到体育用品商店购买了一些体冇器材，同学们，你们想不想知道壬老师到底买了什么？壬老师买了羽毛球和羽毛球拍。
(出示课件)“我买了5副羽毛球拍花了330元，还买了25筒羽毛球，每筒32元。
”(1 )王老师一共买了呂少个羽毛球?二、探索交流，解决问题(一)学习例9 (1)1.通过看图，你获得了哪些信息?2.我们要解决的问题是什么？打装是12枝）那么你们获得了这么多信息, 那么现在怎样解决问题呢?解决“王老师一共买了多少个羽毛球。
乘法公式优质讲义
乘法公式①平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2②完全平方公式：(a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2 （a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2【基础演练】 一.填空：1. (a +2b ） (a －2b ） = （) 2－(） 2=2。
=---)1x 31)(1x 31(( ） 2－(） 2=3。
（2x +y ) 2=(3a －4）2=4。
（－5x +2y ) 2=(－a －3b ) 2=5。
(3a －1） （ ） =9a 2－1 6. X 2－6xy + () = () 27。
(mn －） （－21） =22n m 41- 8. （3x +） 2=+12xy +9.102×98= ( ） ( ) = ( ) 2－（ ） 2=10.已知：(x －3y ）2=x 2－6xy +(ky ）2, 则k =二。
选择：1。
在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A 、(x +3）（3+x ）B 、(a +b 21)(a b 21-）C 、(－x +y ）(x －y )D 、 (a 2－b )（a +b 2）2。
下列计算正确的是（ ）A 、(a +3b ）(a －3b )=a 2－3b 2B 、（－a +3b )(a －3b )=－a 2－9b 2C 、（a －3b )（a －3b )=a 2－9b 2D 、(－a －3b )(－a +3b ）=a 2－9b 2三.计算： （1）（2x +7y )2（2)(－3x +1）2（3）(1.0a 21-）2（4）)b 51a 5(- 2（5）（31x 2+-)（31x 2--) （6）(ab －c 41）（ab +c 41)(7) (2a 2－3b )（－2a 2－3b ）(8)（22y x 51+)（22y x 51-）(9)（－ 3+2a 2)（－3－2a 2）（10）（－3x +4y )(3x －4y ）(11)（2m －5n ）（4m +10n ) （12）（a +b )（a －b )（a 2+b 2）（13)204×196（14) 7597210⨯-（15)1032(16)9982四。
高一乘法公式运用讲解教案
高一乘法公式运用讲解教案一、教学目标。
1. 知识目标。
（1）掌握乘法的基本概念和运算方法；（2）掌握乘法的运算规则和乘法公式；（3）能够灵活运用乘法公式解决实际问题。
2. 能力目标。
（1）培养学生的逻辑思维能力和数学计算能力；（2）培养学生的实际问题解决能力；（3）激发学生对数学学科的兴趣和热爱。
3. 情感目标。
（1）培养学生的合作意识和团队精神；（2）培养学生的自信心和自学能力；（3）培养学生的探究精神和创新意识。
二、教学重点与难点。
1. 教学重点。
（1）乘法的基本概念和运算方法；（2）乘法的运算规则和乘法公式；（3）乘法公式的灵活运用。
2. 教学难点。
（1）乘法公式的运用；（2）实际问题的解决。
三、教学过程。
1. 导入新课。
通过一个简单的例子引入乘法公式的概念，让学生了解乘法的基本概念和运算方法。
2. 概念讲解。
通过教师讲解和示范，让学生掌握乘法的运算规则和乘法公式，并进行相关练习。
3. 拓展练习。
让学生进行一些拓展练习，提高他们的运算能力和解决问题的能力。
4. 实际问题解决。
通过一些实际问题的解决，让学生灵活运用乘法公式，培养他们的实际问题解决能力。
5. 总结归纳。
让学生总结归纳乘法公式的运用方法，加深他们对乘法公式的理解和掌握。
四、教学方法。
1. 示范教学法。
通过教师的示范和讲解，让学生掌握乘法的基本概念和运算方法。
2. 合作学习法。
让学生进行合作学习，提高他们的合作意识和团队精神。
3. 情景教学法。
通过一些实际问题的解决，让学生在情景中灵活运用乘法公式，培养他们的实际问题解决能力。
五、教学工具。
1. 教学课件。
通过教学课件展示乘法公式的相关知识点和运用方法，提高教学效果。
2. 教学实物。
通过一些教学实物，让学生在实际中感受乘法的运算规则和乘法公式的运用。
3. 教学练习册。
通过一些教学练习册，让学生进行相关练习，提高他们的运算能力和解决问题的能力。
六、教学反思。
通过本节课的教学，学生对乘法公式的理解和掌握程度有了明显提高，学生的运算能力和解决问题的能力也得到了提高。
冀教版数学七下课件乘法公式的灵活运用
完全平方和公式：
(a＋b)2＝a2＋b2+2ab
完全平方差公式：
(a－b)2＝a2＋b2+2ab
以上公式表达了完全平方和(差)与平方和、乘积之间的关系，如果知道其 中的部分量，可以运用公式求出剩下的量.
灿若寒星
措施为将其化为整十、整百与另一个数的平方差，再用公式计算.
灿若寒星
a＋b 和
a－b 差
a2＋b2 平方和
a2－b2 平方差
(a＋b)2
(a－b)2
完全平方和 完全平方差
平方差公式： 完全平方和公式： 完全平方差公式：
(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)2＝a2＋b2+2ab (a－b)2＝a2＋b2+2ab
⑵19.7×20.3 ＝(20－0.3) (20＋0.3) ＝202－0.32 ＝400－0.09 ＝399.91
灿若寒星
(1)2013²－2012×2014＋1 (2)9×11×101×10001．
解：⑴2013²－2012×2014＋1 ＝20132－(2013－1)(2013＋1)＋1 ＝20132－(20132－12)＋1 ＝20132－20132＋1＋1 ＝2
⑵9×11×101×10001 ＝(10－1)(10＋1) (100＋1) (10000＋1) ＝(102－12) (102＋1) (104＋1) ＝(104－1) (104＋1) ＝108－1 ＝99999999
灿若寒星
方法总结 求一个复杂数的平方时，可以考虑用完全平方公式简化计算，具体措施为
将其化为整十、整百与另一个数的完全平方和或完全平方差，再用公式计算； 而求两个比较接近的数的乘积时，可以考虑用平方差公式简便运算，具体
乘法公式的综合应用课件
• 乘法公式基础 • 乘法公式在数学中的应用 • 乘法公式在实际生活中的应用 • 乘法公式的扩展应用 • 乘法公式的注意事项与陷阱
01
乘法公式基础
乘法交换律
总结词
乘法交换律是指两个数的乘积不改变，只改变它们的排列顺 序。
详细描述
乘法交换律是基本的数学定理之一，表示乘法满足交换律， 即无论两个数的排列顺序如何，它们的乘积都是相同的。例 如，a × b = b × a。
概率问题
概率的基本性质
在概率论中，乘法公式可以用来计算两个事件同时发生的概率。例如，A和B同时发生的概率是$P(A cap B) = P(A) times P(B | A)$。
贝叶斯定理
在贝叶斯定理中，乘法公式是一个重要的工具，它可以用来计算条件概率。例如，在给定事件A发生的条件下， 事件B发生的概率是$P(B | A) = frac{P(A cap B)}{P(A)}$。
矩阵乘法的本定义
矩阵乘法是线性代数中的一种基本运算，它按照一定的规则将两个矩阵
相乘，得到一个新的矩阵。
02
矩阵乘法的规则
矩阵乘法需要满足结合律、交换律和分配律，并且要求第一个矩阵的列
数等于第二个矩阵的行数。
03
矩阵乘法的计算方法
矩阵乘法需要按照一定的顺序逐步计算，首先计算前两行第一列的元素
，然后计算前两行第二列的元素，以此类推，直到得到整个结果矩阵。
乘法公式在资源分配中也有着重要的应用， 它可以用来计算每个项目或部门所需的资源 量，从而实现资源的合理分配。
详细描述
在资源分配中，需要将有限的资源合理地分 配给各个项目或部门。利用乘法公式，可以 更准确地计算出每个项目或部门所需的资源 量，从而实现资源的合理分配。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
乘法公式的灵活运用一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。
〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。
解：a 2+b 2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
〖解析〗此题若想根据现有条件求出x 、y 、z 的值，比较麻烦，考虑到x 2-z 2是由x+z 和x-z 的积得来的，所以只要求出x-z 的值即可。
解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x 2-z 2=（x+z ）(x-z)=14×4=56。
例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。
观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。
解：（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1 =（2-1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1=24096=161024 因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。
例7．运用公式简便计算（1）1032（2）1982解：（1）1032=(100+3)2 =1002+2⨯100⨯3+32=10000+600+9 =10609 （2）1982=(200-2)2=2002-2⨯200⨯2+22=40000-800+4 =39204例8．计算（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2)解：（1）原式=[(a -3c )+4b ][(a -3c )-4b ]=(a -3c )2-(4b )2=a 2-6ac +9c 2-16b 2（2）原式=[3x +(y -2)][3x -(y -2)]=9x 2-( y 2-4y +4)=9x 2-y 2+4y -4例9．解下列各式（1）已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。
（2）已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。
（3）已知a (a -1)-(a 2-b )=2，求222a b ab +-的值。
（4）已知13x x -=，求441x x+的值。
分析：在公式(a +b )2=a 2+b 2+2ab 中，如果把a +b ，a 2+b 2和ab 分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。
解：（1）∵a 2+b 2=13，ab =6∴(a +b )2=a 2+b 2+2ab =13+2⨯6=25 (a -b )2=a 2+b 2-2ab =13-2⨯6=1 （2）∵(a +b )2=7，(a -b )2=4∴ a 2+2ab +b 2=7 ① a 2-2ab +b 2=4 ② ①+②得 2(a 2+b 2)=11，即22112a b +=①-②得 4ab =3，即34ab =（3）由a (a -1)-(a 2-b )=2 得a -b =-2()22221222a b ab a b ab +∴-=+-()()22112222a b =-=⨯-=（4）由13x x -=，得19x x 2⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 即22129x x +-= 22111x x ∴+=221121x x 2⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ 即4412121x x ++= 441119x x +=例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？ 分析：由于1⨯2⨯3⨯4+1=25=522⨯3⨯4⨯5+1=121=1123⨯4⨯5⨯6+1=361=192…… 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。
解：设n ，n +1，n +2，n +3是四个连续自然数则n (n +1)(n +2)(n +3)+1 =[n (n +3)][(n +1)(n +2)]+1 =(n 2+3n )2+2(n 2+3n )+1=(n 2+3n )(n 2+3n +2)+1 =(n 2+3n +1)2∵n 是整数，∴ n 2，3n 都是整数 ∴ n 2+3n +1一定是整数∴(n 2+3n +1)是一个平方数 ∴四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。
例11．计算 （1）(x 2-x +1)2（2）(3m +n -p )2解：（1）(x 2-x +1)2=(x 2)2+(-x )2+12+2⋅ x 2⋅(-x )+2⋅x 2⋅1+2⋅(-x )⋅1=x 4+x 2+1-2x 3+2x 2-2x=x 4-2x 3+3x 2-2x +1（2）(3m +n -p )2=(3m )2+n 2+(-p )2+2⋅3m ⋅n +2⋅3m ⋅(-p )+2⋅n ⋅(-p )=9m 2+n 2+p 2+6mn -6mp -2np 分析：两数和的平方的推广(a +b +c )2=[(a +b )+c ]2=(a +b )2+2(a +b )⋅c +c 2=a 2+2ab +b 2+2ac +2bc +c 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac 即(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。
二、乘法公式的用法(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。
例1. 计算：()()53532222xyxy+- 解：原式()()=-=-53259222244x y x y(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例2. 计算：()()()()111124-+++a a a a解：原式()()()=-++111224a a a()()=-+=-111448a a a例3. 计算：()()32513251x y z x y z +-+-+--解：原式()()[]()()[]=-++--+25312531y z x y z x()()=--+=-+---25314925206122222y z x y x z yz x三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。
例4. 计算：()()57857822a b c a b c +---+解：原式()()[]()()[]=+-+-++---+578578578578a b c a b c a b c a b c()=-=-101416140160a b c ab ac四、变用: 题目变形后运用公式解题。
例5. 计算：()()x y z x y z +-++26解：原式()[]()[]=++-+++x y z z x y z z 2424()()=++-=+-+++x y z z x y z xy xz yz241224422222五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a ba b a b ab+-=+-+=+++-=++--=灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例6. 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
解：()a b a b ab 2222242526+=-+=+⨯=例7. 计算：()()a b c d b c d a ++-+++-22解：原式()()[]()()[]=++-++--b c a d b c a d 22()()[]=++-=++++-2222244222222b c a d a b c d bc ad例8. 已知实数x 、y 、z 满足xy z xy y +==+-592，，那么x y z ++=23（ ）解：由两个完全平方公式得：()()[]aba b a b =+--1422从而 ()[]zx y y 2221459=--+- ()()()=--+-=-+-=--+=--25414529696932222y y y y y y y ()∴∴，∴∴z y z y x x y z 22300322322308+-====++=+⨯+=三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”． 例1 计算(-2x 2-5)(2x 2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2”符号相反，因而“-5”是公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2中的a ，而“2x 2”则是公式中的b ．解：原式=(-5-2x 2)(-5+2x 2)=(-5)2-(2x 2)2=25-4x 4．例2 计算(-a 2+4b )2分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时，“-a 2”就是公式中的a ，“4b ”就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则“4b ”是公式中的a ，而“a 2”就是公式中的b ．（解略）（二）、注意为使用公式创造条件 例3 计算(2x +y -z +5)(2x -y +z +5)．分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x ”、“5”两项同号，“y ”、“z ”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式． 解：原式=〔(2x +5)+(y -z )〕〔(2x +5)-(y -z )〕 =(2x +5)2-(y -z )2=4x 2+20x +25-y +2yz -z 2．例4 计算(a -1)2(a 2+a +1)2(a 6+a 3+1)2分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便． 解：原式=[(a -1)(a 2+a +1)(a 6+a 3+1)]2=[(a 3-1)(a 6+a 3+1)]2=(a 9-1)2=a 18-2a 9+1例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简． 解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=（28-1）（28+1）=216-1（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．例6 计算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例7 (1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；(2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-(x-y)2=4xy，问题则十分简单．解：(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，将已知条件代入得100=103-3xy·10，∴xy=30 故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40．(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1．例8 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2．分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而问题容易解决．解：原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2=2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2]=2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2=4a2+4b2+4c2（五）、注意乘法公式的逆运用例9 计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．解：原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]=2a(-4b+6c)=-8ab+12ac．例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2=[(2a+3b)+(4a-5b)]2=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2．四、怎样熟练运用公式：（一）、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．（二）、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母a 、b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x +2y －3z ）2，若视x +2y 为公式中的a ，3z 为b ，则就可用（a －b ）2=a 2－2ab +b 2来解了。