2016年度《创新设计》数学一轮(文科)北师大版配套作业任务阶段回扣练2函数概念与基本初等函数Ⅰ
2016届《创新设计》数学一轮(文科)北师大版课时作业第三章导数及其应用3-1
第1讲变化率与导数、导数的运算基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2015·新余模拟)曲线y＝x3在原点处的切线() A．不存在B．有1条，其方程为y＝0C．有1条，其方程为x＝0D．有2条，它们的方程分别为y＝0，x＝0＝0，∴曲线y＝x3在原点处的切线方程为y＝0.解析∵y′＝3x2，∴k＝y′|x＝0答案 B2．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为() A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0解析切线l的斜率k＝4，设y＝x4的切点的坐标为(x0，y0)，则k＝4x30＝4，∴x0＝1，∴切点为(1，1)，即y－1＝4(x－1)，整理得l的方程为4x－y－3＝0.答案 A3．(2014·长春模拟)曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为() A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1解析根据导数运算法则可得y′＝e x＋x e x＋2＝(x＋1)e x＋2，则曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1)处的切线斜率为y ′|x ＝0＝1＋2＝3.故曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1. 答案 A4．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2 015(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A. 答案 A5．(2014·陕西卷)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x 解析 设三次函数的解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则y ′＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知得y ＝－x 是函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在点(0，0)处的切线，则y ′|x ＝0＝－1⇒c ＝－1，排除B 、D.又∵y ＝3x －6是该函数在点(2，0)处的切线，则 y ′|x ＝2＝3⇒12a ＋4b ＋c ＝3⇒12a ＋4b －1＝3⇒3a ＋b ＝1.只有A 项的函数符合，故选A. 答案 A二、填空题6．(2015·珠海一模)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________．解析 y ′＝2ax －1x ，∴y ′|x ＝1＝2a －1＝0，∴a ＝12. 答案 127．(2014·广东卷)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为__________________．解析 由y ＝－5e x ＋3得，y ′＝－5e x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0. 答案 5x ＋y ＋2＝08．(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.答案 －3 三、解答题9．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2，4)的切线方程．解 (1)∵P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2， ∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 2·x －23x 30＋43.∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1，或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0，或4x －y －4＝0.10．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3， 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝ 12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最大值时的直线方程为 ( ) A ．x ＋4y －2＝0 B ．x －4y ＋2＝0 C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0解析 y ′＝－e x（e x ＋1）2＝－1e x ＋1e x ＋2，因为e x ＞0，所以e x ＋1e x ≥2e x×1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x ＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1e x ＋2≤－14(当x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A.答案 A12．(2014·开封二模)过点A (2，1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有 ( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条解析 由题意得，f ′(x )＝3x 2－3，设切点为(x 0，x 30－3x 0)，那么切线的斜率为k＝3x 20－3，利用点斜式方程可知切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，将点A (2，1)代入可得关于x 0的一元三次方程2x 30－6x 20＋7＝0.令y ＝2x 30－6x 20＋7，则y ′＝6x 20－12x 0.由y ′＝0得x 0＝0或x 0＝2.当x 0＝0时，y ＝7＞0；x 0＝2时，y ＝－1＜0.结合函数y ＝2x 30－6x 20＋7的单调性可得方程2x 30－6x 20＋7＝0有3个解．故过点A (2，1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有3条，故选A. 答案 A13．(2014·武汉中学月考)已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N ＋)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则＋…＋的值为________． 解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1， 点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1， ∴x 1·x 2·…·＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016，则＋ ＝－1.答案 －114．设抛物线C: y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，②①代入②得x 21＋⎝⎛⎭⎪⎫k －92x 1＋4＝0.∵P 为切点，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －922－16＝0得k ＝172或k ＝12.当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1. ∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9， ∴x 2＝92，y 2＝－4.∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.。
2016届《创新设计》数学一轮(文科)北师大版课时作业4-5函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用
第5讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及应用基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2 B ．π C ．2πD ．4π解析 最小正周期为T ＝2π12＝4π.答案 D2．(2015·宝鸡模拟)将函数y ＝cos 2x ＋1的图像向右平移π4个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图像对应的表达式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝sin 2x ＋2C ．y ＝cos 2xD ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4解析 将函数y ＝cos 2x ＋1的图像向右平移π4个单位得到y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1＝sin 2x ＋1，再向下平移1个单位得到y ＝sin 2x ，故选A. 答案 A3．(2014·浙江卷)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位解析 ∵y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，将y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位即可得到y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图像，故选A.答案 A4．(2014·成都诊断)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是 ( ) A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6D ．4，π3解析 由图像知f (x )的周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，又T ＝2πω，ω>0，∴ω＝2.由于f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的一个最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，故有2×5π12＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－π3，又－π2<φ<π2，∴φ＝－π3，选A. 答案 A5．(2014·福建卷)将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称解析 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则y ＝f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ．此函数为偶函数，周期为2π.由于 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝cos π2＝0，所以y ＝f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称，故选D. 答案 D二、填空题6．(2014·重庆卷)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x的图像，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________．解析――――――――――――→纵坐标不变横坐标变为原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝sin π4＝22.答案 227．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图像关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为________．解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0知⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是f (x )图像的一个对称中心，又x ＝π3是一条对称轴，所以应有⎩⎨⎧ω>0，2πω≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12，解得ω≥2，即ω的最小值为2. 答案 28．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________． 解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋（1＋1）2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ，又函数图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12， 又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6.答案 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6三、解答题9．(2015·景德镇测试)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a 的最大值为2.(1)求a 的值及f (x )的最小正周期；(2)在坐标系上作出f (x )在[0，π]上的图像．解 (1)f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a ＝4cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a 的最大值为2，∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π. (2)列表：画图如下：10．(2014·湖北卷)某实验室一天的温度(单位：°C)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)． (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．解 (1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 °C ，最低温度为8 °C ，最大温差为4 °C.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．(2014·辽宁卷)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增解析 将y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度后得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图像，当π12≤x ≤7π12时，－π2≤2x －2π3≤π2，∴y ＝3sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增，故选B. 答案 B12．(2014·东北三省三校联考)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为 ( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32解析 函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后得到函数为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，因为此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x－π3＝－π3时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3有最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32.答案 A13．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝______________________________.解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )．∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143. 答案 14314．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得到的图像向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数 y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域．解 (1)因为f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1 ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴函数f (x )的最小正周期为T ＝π， 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， ∴－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z . (2)函数y ＝f (x )的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6；再把所得到的图像向左平移π6个单位长度，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝2cos 4x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12时，4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，所以当x ＝0时，g (x )max ＝2，当x ＝－π6时，g (x )min ＝－1.∴y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域为[－1，2].。
2016届《创新设计》数学一轮(文科)人教A版配套作业第2章第4讲二次函数与幂函数
第4讲 二次函数与幂函数基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t 的值是 ( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2解析 二次函数图象的顶点在x 轴上，所以Δ＝42－4×(－1)×t ＝0，解得t ＝－4. 答案 A2．(2014·郑州检测)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f (x )( )A ．在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增B ．在(－∞，3)上递增C ．在[1,3]上递增D ．单调性不能确定解析 由已知可得该函数的图象的对称轴为x ＝2，又二次项系数为1＞0，所以f (x )在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的． 答案 A3．若a ＜0，则0.5a,5a,5－a 的大小关系是 ( )A ．5－a ＜5a ＜0.5aB ．5a ＜0.5a ＜5－aC ．0.5a ＜5－a ＜5aD ．5a ＜5－a ＜0.5a解析 5－a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15a ，因为a ＜0时，函数y ＝x a单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a＜0.5a ＜5－a . 答案 B4．(2015·蚌埠模拟)若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于 ( )A ．－b 2aB ．－b aC ．cD ．4ac －b 24a解析 ∵f (x 1)＝f (x 2)且f (x )的图象关于x ＝－b 2a 对称，∴x 1＋x 2＝－ba . ∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝a ·b 2a 2－b ·b a ＋c ＝c . 答案 C5．(2014·山东师大附中期中)“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析 函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－－4a2＝2a ≤2，即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件． 答案 B 二、填空题6．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是________．答案 y ＝12(x －2)2－17．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．解析 当α＝－1、1、3时，y ＝x α的图象经过第一、三象限；当α＝12时，y ＝x α的图象经过第一象限． 答案 二、四8．(2014·江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．解析 作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则有⎩⎨⎧f (m )＜0，f (m ＋1)＜0，即⎩⎨⎧m 2＋m 2－1＜0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1＜0， 解得－22＜m ＜0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1， 又f (－4)＝35，f (6)＝15， 故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.10．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值． 解 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 对称轴方程为x ＝a .(1)当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， ∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1，∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，∴a＝1±52(舍)．(3)当a＞1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是()A．(0,1) B．(0,1]C．(－∞，1) D．(－∞，1]解析用特殊值法．令m＝0，由f(x)＝0得x＝13适合，排除A，B.令m＝1，由f(x)＝0得x＝1适合，排除C.答案 D12．(2014·武汉模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋b(1＜a＜3)，且x1＜x2，x1＋x2＝1－a，则下列说法正确的是() A．f(x1)＜f(x2)B．f(x1)＞f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定解析f(x)的对称轴为x＝－1，因为1＜a＜3，则－2＜1－a＜0，若x1＜x2≤－1，则x1＋x2＜－2，不满足x1＋x2＝1－a且－2＜1－a＜0；若x1＜－1，x2≥－1时，|x2＋1|－|－1－x1|＝x2＋1＋1＋x1＝x1＋x2＋2＝3－a＞0(1＜a＜3)，此时x2到对称轴的距离大，所以f(x2)＞f(x1)；若－1≤x1＜x2，则此时x1＋x2＞－2，又因为f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，所以f(x1)＜f(x2)．答案 A13．(2015·江门、佛山模拟)已知幂函数f(x)＝xα，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则α的取值范围是________．解析 当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，即当x ＞1时，函数f (x )＝x α的图象在y ＝x 的图象的下方，作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图象，由图象可知α＜1时满足题意．答案 (－∞，1)14．(2014·辽宁五校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值． 解 (1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x (x ＞0)，x 2＋2x (x ≤0).(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值； 当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值． 综上，g (x )min ＝⎩⎨⎧1－2a (a ≤0)，－a 2－2a ＋1 (0＜a ≤1)，2－4a (a ＞1).。
2016届《创新设计》数学一轮(文科)北师大版配套作业阶段回扣练1集合与常用逻辑用语
阶段回扣练1集合与常用逻辑用语(建议用时：45分钟)一、选择题1．(2014·南昌模拟)已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，若A⊆B，则a＝() A．1 B．0 C．－2 D．－3解析由题意知a＋3＝1，a＝－2.答案 C2．命题“存在x∈∁R Q，x3∈Q”的否定是() A．存在x∉∁R Q，x3∈Q B．存在x∈∁R Q，x3∉QC．任意x∉∁R Q，x3∈Q D．任意x∈∁R Q，x3∉Q解析根据特称命题的否定为全称命题知，选D.答案 D3.已知集合M＝{x|x2－2x－3＜0}和N＝{x|x＞1}的关系如图所示，则阴影部分所表示的集合为()A．{x|x＞1}B．{x|x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|－1＜x＜1}解析依题意得M＝{x|－1＜x＜3}，题中的阴影部分所表示的集合为M∩N＝{x|1＜x＜3}．答案 C4．“p或q是真命题”是“綈p为假命题”的() A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析綈p为假命题，p为真命题，可得p或q是真命题；p或q是真命题，p 可以为假命题，q为真命题，从而綈p为真命题．故选A.答案 A5．(2015·咸阳模拟)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＝0，x ∈R ，则满足A ∪B ＝{－1，0，1}的集合B 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析 解方程x －1x ＝0，得x ＝1或x ＝－1，所以A ＝{1，－1}，又A ∪B ＝ {－1，0，1}，所以B ＝{0}或{0，1}或{0，－1}或{0，1，－1}，集合B 共有4个． 答案 C6．(2014·长沙模拟)已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，1) B ．(0，2] C ．(1，2)D ．(1，2]解析 ∵A ＝{x |1＜x ＜4}，∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}． 答案 D7．(2015·杭州质量检测)设直线l 1：2x －my ＝1，l 2：(m －1)x －y ＝1，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 因为当l 1∥l 2时，－2＋m (m －1)＝0，解得m ＝2或m ＝－1，所以“m ＝2”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件，故选A. 答案 A8．命题p ：若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析 当a ·b ＞0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，综上可知，“p或q”是假命题，选B.答案 B9．(2014·合肥质量检测)若全集U＝{0，1，2，3，4，5}且∁U A＝{x∈N＋|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有()A．3个B．4个C．7个D．8个解析求出集合后求解真子集．由题意可得A＝{0，4，5}，所以集合A的真子集有23－1＝7个，故选C.答案 C10．(2014·成都诊断)已知α，β是两个不同的平面，则“平面α∥平面β”成立的一个充分条件是()A．存在一条直线l，lα，l∥βB．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βC．存在一条直线l，l⊥α，l⊥βD．存在一个平面γ，γ∥α，γ⊥β解析满足A，B，D项的条件，α与β可能相交．若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故选C.答案 C11．已知两个非空集合A＝{x|x(x－3)＜4}，B＝{x|x≤a}，若A∩B＝B，则实数a 的取值范围是() A．(－1，1) B．(－2，2)C．[0，2) D．(－∞，2)解析解不等式x(x－3)＜4，得－1＜x＜4，所以A＝{x|－1＜x＜4}；又B是非空集合，所以a≥0，B＝{x|0≤x≤a2}．而A∩B＝B⇔B⊆A，借助数轴可知a2＜4，解得0≤a＜2，故选C.答案 C12．(2015·南昌模拟)下列说法正确的是() A．命题“存在x∈R，x2＋x＋2 015＞0”的否定是“任意x∈R，x2＋x＋2 015＜0”B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C．命题“函数f(x)＝1x在其定义域上是减函数”是真命题D．给定命题p，q，若“p且q”是真命题，则綈p是假命题解析对于A，命题“存在x∈R，x2＋x＋2 015＞0”的否定是“任意x∈R，x2＋x＋2 015≤0”，因此选项A不正确；对于B，由两个三角形的面积相等不能得知这两个三角形全等，因此选项B不正确；对于C，注意到函数f(x)＝1 x在其定义域上不是减函数，因此选项C不正确；对于D，由“p且q”是真命题得p为真命题，故綈p是假命题，因此选项D正确．综上所述，故选D.答案 D二、填空题13．命题p：存在x∈R，使得f(x)＝x，则綈p为________．答案任意x∈R，都有f(x)≠x14．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x≤2}，则A∩(∁R B)＝________．解析依题意得∁R B＝{x|x＞2}，A∩(∁R B)＝{x|2＜x＜3}．答案{x|2＜x＜3}15．(2014·天津十二区县重点中学联考)若集合A＝{x||x－2|≤3，x∈R}，B＝{y|y＝1－x2，x∈R}，则A∩B＝________．解析解不等式|x－2|≤3，得－1≤x≤5，所以A＝[－1，5]．又B＝{y|y＝1－x2，x∈R}＝(－∞，1]，所以A∩B＝[－1，1]．答案[－1，1]16．若命题“存在x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析∵“存在x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，∴a－1＞2或a－1＜－2，∴a＞3或a＜－1.答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)17．设命题p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；命题q：方程x2＋2(m－2)x －3m ＋10＝0无实根．则使p 或q 为真，p 且q 为假的实数m 的取值范围是________．解析 设方程x 2＋2mx ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，由⎩⎨⎧Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0，得m ＜－1，所以命题p 为真时：m ＜－1.由方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，可知Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0，得－2＜m ＜3，所以命题q 为真时：－2＜m ＜3. 由p 或q 为真，p 且q 为假，可知命题p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，⎩⎨⎧m ＜－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2；当p 假q 真时，⎩⎨⎧m ≥－1，－2＜m ＜3，此时－1≤m ＜3，所以所求实数m 的取值范围是m ≤－2或－1≤m ＜3. 答案 (－∞，－2]∪[－1，3)。
创新设计 数学一轮文科 北师大 课时作业 阶段回扣练 含答案
阶段回扣练7 不等式(建议用时：45分钟)一、选择题1．“|x |＜2”是“x 2－x －6＜0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 不等式|x |＜2的解集是(－2，2)，而不等式x 2－x －6＜0的解集是(－2，3)，于是当x ∈(－2，2)时，可得x ∈(－2，3)，反之则不成立，故选A. 答案 A2．(2015·宜春调研)若实数a ，b 满足a ＞b ，则下列不等式成立的是 ( )A ．|a |＞|b |B ．a 3＞b 3 C.1a ＜1bD ．ab 2＞b 3解析 在选项A ，C 中，当a ＝2，b ＝－3时，不等式不成立；D 中当a ＝2，b ＝0时，不等式不成立，故选B. 答案 B3．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞12，则f (10x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞－lg 2}B ．{x |－1＜x ＜－lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}解析 由已知条件，得0＜10x ＜12，解得x ＜lg 12＝－lg 2. 答案 D4．(2014·武汉调研)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3，0]B ．[－3，0)C ．[－3，0]D ．(－3，0)解析由题意可得⎩⎨⎧k ＜0，Δ＝k 2－8k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0， 解得－3＜k ＜0，故选D. 答案 D5．(2014·甘肃诊断)设x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y( )A ．有最小值2，无最大值B ．有最小值2，最大值3C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值解析 由不等式组画出可行域如图阴影部分所示，将z ＝x ＋y 变成截距式y ＝－x ＋z ，所以直线在y 轴上的截距的最大值即为z 的最大值，直线在y 轴上的截距的最小值即为z 的最小值，由图可知，当直线过A (2，0)时，截距最小，即z min ＝0＋2＝2，z 无最大值，故选A. 答案 A6．若a ＞0，b ＞0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是( )A.14 B ．1 C ．4D ．8解析由a ＞0，b ＞0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝4，当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”． 答案 C7．(2015·金丽衢十二校联考)已知任意非零实数x ，y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)恒成立，则实数λ的最小值为( )A ．4B ．5C.115D.72解析 依题意，得3x 2＋4xy ≤3x 2＋[x 2＋(2y )2]＝4(x 2＋y 2)，因此有3x 2＋4xyx 2＋y 2≤4，当且仅当x ＝2y 时取等号，即3x 2＋4xy x 2＋y 2的最大值是4，结合题意得λ≥3x 2＋4xyx 2＋y 2，故λ≥4，即λ的最小值是4. 答案 A8．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 解析 设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x8≥2800x ·x8＝20，当且仅当800x ＝x8(x ＞0)， 即x ＝80时“＝”成立，故选B. 答案 B9．(2015·西安质量检测)已知x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( )A ．1B.13C.14D.18解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(1，1)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时z ＝2x ＋y 取得最大值3；当平移到经过该平面区域内的点(a ，a )时，相应直线在y 轴上的截距最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值3a ，于是有8×3a ＝3，a ＝18，故选D. 答案 D10．(2015·银川质量检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －c ≤0.若目标函数z ＝2x＋3y 取得最小值1，则c 的值为( )A ．10B ．7C ．5D ．3解析 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋3y ＝1，结合图形可知，要满足题意，直线2x －y －c ＝0需经过直线2x ＋3y ＝1与直线x ＝2的交点，即点(2，－1)，于是有2×2＋1－c ＝0，c ＝5(经检验，符合题意)，故选C. 答案 C11．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2，4)D ．(－4，2)解析 ∵x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋2 4y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝xy ， 即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.答案 D12．(2014·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为 ( )A ．5B ．4C. 5D ．2解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0表示的平面区域为图中的阴影部分．由于a ＞0，b ＞0，所以目标函数z ＝ax ＋by 在点A (2，1)处取得最小值，即2a ＋b ＝2 5.法一 a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝5a 2－85a ＋20＝(5a －4)2＋4≥4，即a 2＋b 2的最小值为4. 法二a 2＋b 2表示坐标原点与直线2a ＋b ＝25上的点之间的距离，故a 2＋b 2的最小值为2522＋12＝2，即a 2＋b 2的最小值为4.答案 B 二、填空题13．(2014·重庆模拟)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________． 解析依题意得⎩⎨⎧a ＜0，b a ＝15，即a ＝5b ＜0，不等式ax 2＋bx －45a ＞0，即5bx 2＋bx－4b ＞0(b ＜0)，5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45.因此，不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，4514．(2014·南昌模拟)若不等式x 2＋2x ＋2＞|a －2|对于一切实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．解析 依题意，函数y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1的最小值是1，于是有|a －2|＜1，即－1＜a －2＜1，1＜a ＜3， 即实数a 的取值范围是(1，3)． 答案 (1，3)15．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N ＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析 每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x ＞0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 答案 5 816．(2015·广州综合测试)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0.若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则ab 的最大值为________．解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线ax ＋by ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(1，4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝ax ＋by 取得最大值，于是有a ＋4b ＝8，8＝a ＋4b ≥24ab ＝4ab ，ab ≤4，当且仅当a ＝4b ＝4时取等号，因此ab 的最大值为4. 答案 417．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________． 解析 f (x )＝－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14(x ≤1)，故当x ＝12时，f (x )在(－∞，1)上的最大值为14； 函数f (x )＝log 13x ，x ∈(1，＋∞)为单调递减函数，故x ∈(1，＋∞)时，f (x )＜f (1)＝0，综上，f (x )在R 上的最大值为14.由m 2－34m ≥14解得m ≤－14或m ≥1.答案 (－∞，－14]∪[1，＋∞)。
创新设计数学一轮文科北师大配套作业 探究课一 基本初等函数与函数应用中的热点题型
(建议用时：45分钟)一、选择题1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A ．y ＝lg1－x1＋xB ．y ＝x ＋1x C ．y ＝tan xD ．y ＝1x解析 对于选项B ，C ，D ，函数在定义域内是奇函数，但不是减函数． 答案 A2．函数f (x )＝1lg x ＋2－x 的定义域为( )A ．(0，2]B ．(0，2)C ．(0，1)∪(1，2]D ．(－∞，2]解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≠0，2－x ≥0，又x ＞0，解得0＜x ≤2且x ≠1.答案 C3．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 因为f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以f (－1)＝f (1)，g (－1)＝－g (1)．因为f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，所以f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋ (－1)2＋1＝1，即f (1)＋g (1)＝1. 答案 C4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ＜0，若f (a )＋f (－1)＝3，则a ＝( )A ．eB.1eC ．1D ．e 或1e解析 因为f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，所以f (a )＝3－2＝1.当a ＞0时，|ln a |＝1，解得a ＝e 或1e ；当a ＜0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＝1，无解．答案 D 5．若0＜m ＜1，则( )A ．log m (1＋m )＞log m (1－m )B ．log m (1＋m )＞0C ．1－m ＞(1＋m )2D ．解析 若0＜m ＜1，则f (x )＝log m x 在定义域内单调递减，所以log m (1＋m )＜log m (1－m )，log m (1＋m )＜log m 1＝0，选项A ，B 错误；(1＋m )2＞1＞1－m ，选项C 错误；0＜1－m ＜1，所以f (x )＝(1－m )x 在定义域内单调递减，所以，选项D 正确．答案 D6．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为( )A ．RB.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析 指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在定义域内单调递减，而2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12.所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.答案 B7．函数f (x )＝2x 2e x 的图像大致是( )解析 f ′(x )＝4x e x －2x 2e x （e x ）2＝4x －2x 2e x ＝2x （2－x ）e x，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，所以f (x )＝2x 2e x 在(－∞，0]，[2，＋∞)上单调递减，在[0，2]上单调递增．故选A. 答案 A8．函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x （x ＞0），x 2－2x －3（x ≤0）的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 (1)当x ≤0时，f (x )＝x 2－2x －3，由f (x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.因为x ≤0，所以x ＝－1. 此时函数f (x )只有一个零点．(2)当x ＞0时，f (x )＝ln x －x 2＋2x ，令f (x )＝0，得 ln x ＝x 2－2x ，如图，分别作出函数y ＝ln x 与y ＝x 2－2x (x ＞0)的图像，由图可知两个函数图像有两个交点，所以此时函数f (x )有两个零点． 综上，函数f (x )的零点有三个．故选D. 答案 D9．偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2)D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3)解析 ∵偶函数f (x )的定义域为R ，在[0，＋∞)上单调递增，∴在区间(－∞，0]上，f (x )是减函数，f (－π)＝f (π)，∴f (π)＞f (－3)＞f (－2)． 答案 A10．已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析 设F (x )＝f (x )－1＝ln(1＋9x 2－3x )，该函数的定义域为R . 而F (－x )＝f (－x )－1＝ln(1＋9x 2＋3x )， 所以F (x )＋F (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋ln(1＋9x 2＋3x )＝ln[(1＋9x 2－3x )(1＋9x 2＋3x )]＝ln 1＝0，所以函数F (x )为奇函数．又lg 12＝－lg 2，所以F (lg 2)＋F ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝F (lg 2)＋F (－lg 2)＝0，即[f (lg 2)－1]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12－1＝0，整理，得f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2.故选D.答案 D11．方程2x ＋ln 1x －1＝0的解为x 0，则x 0所在的大致区间是( )A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(1，2)与(2，3)解析设f(x)＝2x＋ln1x－1＝2x－ln(x－1)，函数f(x)的定义域为(1，＋∞)．当1＜x＜2时，ln(x－1)＜0，2x＞0，所以f(x)＞0，故函数在(1，2)内没有零点．因为f(2)＝22－ln 1＝1＞0，f(3)＝23－ln 2＝2－3ln 23，又8＝22≈2.828，所以8＞e，故ln e＜ln 8，即1＜12ln 8＝32ln 2，所以2＜3ln 2，即f(3)＜0.又f(4)＝24－ln 3＝12－ln 3＜0，根据零点存在性定理，可知函数f(x)在(2，3)上必存在一个零点x0，即方程2x ＋ln1x－1＝0的解x0∈(2，3)．故选B.答案 B12．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且函数f(x)为奇函数．给出下列结论：①函数f(x)的最小正周期为4；②函数f(x)的图像关于点(0，0)对称；③函数f(x)的图像关于x＝2对称；④函数f(x)的最大值为f(2)．其中一定正确的命题序号是() A．①②B．②③C．③④D．①④解析由f(x＋2)＋f(x)＝0，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴其最小正周期是4；由函数f(x)为奇函数，可知函数f(x)的图像关于点(0，0)对称；函数的轴对称性、最值无法作出判断．答案 A二、填空题13．设函数f(x)＝x2＋(a－2)x－1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的最大值为________．解析 函数f (x )图像的对称轴x ＝－a －22，则函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－a －22上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a －22，＋∞上单调递增，所以2≤－a －22，解得a ≤－2. 答案 －214．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝1，则不等式f (x 2－x )＜f (0)的解集为________．解析 ∵y ＝f (x )是R 上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝1， ∴f (0)＝0，当x ＜0时，f (x )＝－1.当x 2－x ＞0时，可得f (x 2－x )＝1＞f (0)＝0，不满足条件； 当x 2－x ＝0时，可得f (x 2－x )＝f (0)，不满足条件；当x 2－x ＜0，即0＜x ＜1时，f (x 2－x )＝－1＜f (0)＝0，满足条件．综上，可得0＜x ＜1. 答案 (0，1)15.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析 当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ， 由图像得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1， ∵图像过点(4，0)，∴0＝a (4－2)2－1，解得a ＝14.综上，函数f (x )在[－1，＋∞)上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14（x －2）2－1，x ＞0.答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤014（x －2）2－1，x ＞0 16．已知a ＞0且a ≠1，若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[3，4]上是增函数，则a 的取值范围是________．解析 当a ＞1时，要使y ＝ax 2－x 在[3，4]上单调递增，且y ＝ax 2－x ＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，12a ≤3，9a －3＞0，解得a ＞1.当0＜a ＜1时，要使y ＝ax 2－x 在[3，4]上单调递减，且y ＝ax 2－x ＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，12a ≥4，16a －4＞0，此时无解． 综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)． 答案 (1，＋∞)17．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ＝________，n ＝________． 解析 由题意得－log 2m ＝log 2n ，1m ＝n ，0＜m ＜1，n ＞1.∵函数f (x )＝|log 2x |在区间(0，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，0＜m 2＜1，n ＞1，∴f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值在端点处取得，∴|log 2m 2|＝2或log 2n ＝2.当|log2m2|＝2时，1m2＝4，结合n＝1m，解得n＝2，m＝12，满足条件；当log2n＝2时，n＝4，则m＝14，此时，f(x)在区间[m2，n]上的最大值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪log2116＝4，不满足条件．综上，m＝12，n＝2.答案12 2。
2016届《创新设计》数学一轮(文科)人教B版配套作业 第2章 第9讲 函数模型及其应用
第9讲函数模型及其应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()A．一次函数模型B．幂函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型解析根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．答案 A2．(2015·合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.答案 A3．(2014·北京东城期末)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为()A．10 B．11 C．13 D．21解析 设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y ，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)，所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x （x ＋1）x ＝x ＋100x ＋1.5，由均值不等式得y ＝x ＋100x ＋1.5≥2 x ·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时取等号，所以选A.答案 A4．(2014·孝感模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )解析 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B.答案 B5. 某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案 A6.(2014·辽宁六校联考)A 、B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出．A 从甲地自东向西行驶．B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 kmh ，B 的速度是 16 kmh ，经过________小时，AB间的距离最短．解析 设经过x h ，A ，B 相距为y km ，则y ＝（145－40x ）2＋（16x ）2(0≤x ≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258.答案 2587．(2015·长春模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y ＝a e －bt (cm 3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ，∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.答案 168.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y 40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400.答案 209．(2014·郑州模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解(1)每吨平均成本为yx(万元)．则yx＝x5＋8 000x－48≥2x5·8 000x－48＝32，当且仅当x5＝8 000x，即x＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R(x)万元．则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8 000＝－x25＋88x－8 000＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．10.在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解 设该店月利润余额为L 元，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50 （14≤P ≤20），－32P ＋40 （20＜P ≤26）， 代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2P ＋50）（P －14）×100－5 600 （14≤P ≤20），⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40（P －14）×100－5 600（20＜P ≤26）， (1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元；当20＜P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元．故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫．能力提升题组(建议用时：25分钟)11．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种为加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为 y＝kx 3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“1256”，则解密后得到的明文是( ) A.12 B.14 C ．2D.18 解析 由题目可知加密密钥y ＝kx 3是一个幂函数型，由已知可得，当x ＝4时，y ＝2，即2＝k ×43，解得k ＝243＝132.故y ＝132x 3，显然令y ＝1256，则1256＝132x 3，即x 3＝18，解得x ＝12.答案 A12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( ) A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20.得x ＝54(24－y )， ∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.答案 A13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤ 20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．解析 当0＜x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎨⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)． 当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润．答案 y ＝⎩⎨⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *) 16 14．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律：θ＝m ·2t ＋21－t (t ≥0，并且m ＞0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．解 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立．亦m ·2t＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立． 令12t ＝x ，则0＜x ≤1，∴m ≥2(x －x 2)，由于x －x 2≤14，∴m ≥12. 因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。
2016届《创新设计》数学一轮课时作业(文科)北师大版第四章三角函数、解三角形4-6
第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·北京西城区模拟)在△ABC中，若a＝4，b＝3，cos A＝13，则B＝()A.π4 B.π3 C.π6 D.2π3解析因为cos A＝13，所以sin A＝1－19＝223，由正弦定理，得4sin A＝3sin B，所以sin B＝22，又因为b＜a，所以B＜π2，B＝π4，故选A.答案 A2．(2015·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为()A.32 B.3 C．2 3 D．2解析因为S＝12×AB×AC sin A＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°＝3，所以BC＝ 3.答案 B3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝π6，C＝π4，则△ABC的面积为() A．23＋2 B.3＋1C．23－2 D.3－1解析由正弦定理bsin B＝csin C及已知条件，得c＝22，又sin A＝sin(B＋C)＝12×22＋32×22＝2＋64.从而S△ABC ＝12bc sin A＝12×2×22×2＋64＝3＋1.答案 B4．(2014·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＝2b cos C”是“△ABC是等腰三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析依题意，由a＝2b cos C及正弦定理，得sin A＝2sin B cos C，sin(B＋C)－2sin B cos C＝sin B cos C＋cos B sin C－2sin B cos C＝sin(C－B)＝0，C＝B，△ABC是等腰三角形；反过来，由△ABC是等腰三角形不能得知C＝B，a＝2b cos C．因此，“a＝2b cos C”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要条件，故选A.答案 A5．(2014·四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A．240(3－1)m B．180(2－1)mC．120(3－1)m D．30(3＋1)m解析如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，在Rt△ACD中，CD＝ADtan ∠ACD ＝60tan 30°＝603(m)，在Rt△ABD中，BD＝ADtan ∠ABD＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)(m)，∴BC＝CD－BD＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m)．答案 C二、填空题6．(2014·新余模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则角B的值为________．解析由余弦定理，得a2＋c2－b22ac＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3.答案 π3或2π37．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝________．解析 由正弦定理b sin B ＝csin C ，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得bsin B ＝85b sin 2B ，化简得1sin B ＝852sin B cos B ，则cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.答案 7258．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________．解析 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2.由cos C ＝14得sin C ＝154.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝22×154＝154(或者因为c ＝2，所以b ＝c ＝2，即三角形为等腰三角形，所以sin B ＝sin C ＝154)．答案 154 三、解答题9．(2015·广州测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝5，c ＝7. (1)求角C 的大小； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3的值．解 (1)由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋52－722×3×5＝－12.∵0＜C ＜π，∴C ＝2π3. (2)由正弦定理b sin B ＝csin C ，得 sin B ＝b sin C c ＝5sin 2π37＝5314，∵C ＝2π3，∴B 为锐角， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫53142＝1114. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝5314×12＋1114×32＝437.10．(2014·杭州检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，S △ABC ＝334. (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 的周长．解 (1)因为S △ABC ＝12ac sin B ，所以12×3sin B ＝334，即sin B ＝32.又因为0＜B ＜π，所以B ＝π3或2π3.(2)由(1)可知，B ＝π3或2π3，当B ＝π3时，因为a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ＝2，ac ＝3， 所以a ＋c ＝11；当B ＝2π3时，因为a 2＋c 2＋ac ＝2，ac ＝3， 所以a 2＋c 2＝－1(舍去)，所以△ABC 的周长为a ＋c ＋b ＝11＋ 2.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．(2014·东北三省四市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，满足b a ＋c ＋c a ＋b ≥1，则角A 的范围是 ( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π解析 由b a ＋c ＋ca ＋b ≥1，得b (a ＋b )＋c (a ＋c )≥(a ＋c )(a ＋b )，化简得b 2＋c 2－a 2≥bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ≥12，即cos A ≥12(0＜A ＜π)，所以0＜A ≤π3，故选A. 答案 A12．(2015·咸阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1B. 2C. 3D ．3解析 由c sin A ＝3a cos C ，得sin C sin A ＝3sin A cos C ，又在△ABC 中sin A ≠0，所以sin C ＝3cos C ，tan C ＝3，C ∈(0，π)，所以C ＝π3.所以sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以当A ＝π3时，sin A ＋sin B 取得最大值3，故选C. 答案 C13．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A ，∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C ) ＝2(2sin C ＋3cos C ) ＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角，由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.答案 2714．已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12. (1)求f (x )的最小正周期及对称轴方程；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝12，bc ＝6，求a的最小值．解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12 ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，故最小正周期T ＝2π2＝π.令2x －π6＝k π＋π2，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．故图像的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12可知A －π6＝π6或A －π6＝5π6，即A ＝π3或A ＝π，又0＜A ＜π，故A ＝π3.∵bc ＝6，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝6， 当且仅当b ＝c 时等号成立，故a 的最小值为 6.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
阶段回扣练2 函数概念与基本初等函数Ⅰ(建议用时：90分钟)一、选择题1．(2014·江西六校联考)函数y ＝1x＋x ＋4的定义域为 ( )A ．[－4，＋∞)B ．(－4，0)∪(0，＋∞)C ．(－4，＋∞)D ．[－4，0)∪(0，＋∞)解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ＋4≥0，得x ≥－4且x ≠0.答案 D2．(2014·湖南卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A ．f (x )＝1x2B ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x解析 A 中f (x )＝1x2是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A 满足题意．B中f (x )＝x 2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C 中f (x )＝x 3是奇函数．D 中f (x )＝2－x 是非奇非偶函数．故B ，C ，D 都不满足题意． 答案 A3．已知幂函数f (x )的图像经过(9，3)，则f (2)－f (1)＝( )A ．3B ．1－2C.2－1D ．1解析 设幂函数为f (x )＝x α，则f (9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝12，即f(x)＝＝x，所以f(2)－f(1)＝2－1，选C.答案 C4．(2014·唐山统一考试)f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝( )A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)解析当x＜0时，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)＝－x3＋ln(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x3－ln(1－x)．答案 C5．(2014·西安检测)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则 ( )A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．c＞a＞b解析依题意得，a＝log43.62＞log43.6＝c＞log43.2＝b.答案 B6．(2015·辽宁五校协作体联考)设函数f(x)＝log a|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a ＋1)与f(2)的大小关系是( )A．f(a＋1)＞f(2) B．f(a＋1)＜f(2)C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定解析 由已知得0＜a ＜1，所以1＜a ＋1＜2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)＞f (2)． 答案 A7.(2014·烟台模拟)如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图像，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在区间是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，12B ．(1，2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1 D ．(2，3)解析 由f (x )的图像知0＜b ＜1，f (1)＝0，从而－2＜a ＜－1，g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，g (x )在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝ln 12＋1＋a ＜0，g (1)＝2＋a ＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12·g (1)＜0，故选C. 答案 C8．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析 由题意得，y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，其中x ＞0，当x ＝10时，代入两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，可得k 1＝20，k 2＝45，y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号，故选A. 答案 A9．(2014·济南四校联考)已知函数f (x )＝x 2＋cos xx2，则y ＝f (x )的图像大致为( )解析 首先确定函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，由f (－x )＝(－x )2＋cos （－x ）（－x ）2＝f (x )可知f (x )＝x 2＋cos xx2为偶函数，故其图像关于y 轴对称，可以排除A ，然后结合x →＋∞时，f (x )→＋∞可以排除C ，D. 答案 B10．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b ＜1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图像与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )A ．(－2，1)B ．[0，1]C ．[－2，0)D ．[－2，1)解析 当x 2－1≥4＋x ＋1，即x ≤－2或x ≥3时，f (x )＝4＋x ，当x 2－1＜4＋x ＋1，即－2＜x ＜3时，f (x )＝x 2－1，如图所示，作出f (x )的图像，由图像可知，要使－k ＝f (x )有三个根，需满足－1＜－k ≤2，即－2≤k ＜1. 答案 D 二、填空题11．(2015·潍坊模拟)函数f (x )＝2a x ＋1－3(a ＞0且a ≠1)的图像经过的定点坐标是________．解析 令x ＋1＝0，得x ＝－1，f (－1)＝2－3＝－1. 答案 (－1，－1)12．(2014·西安监测)若函数f (x )＝x 2－2kx ＋1在[1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是________．解析 依题意，函数f (x )＝(x －k )2＋1－k 2在[1，＋∞)上是单调递增函数，于是有k ≤1，即实数k 的取值范围是(－∞，1]． 答案 (－∞，1]13．(2014·日照模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3e x －1，x ＜3，log 3（x 2－6），x ≥3，则f (f (3))的值为________．解析 因为f (3)＝log 3(32－6)＝log 33＝1， 所以f (f (3))＝f (1)＝3e 0＝3，故填3. 答案 314．(2014·南通模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋1，x ≥1，ax 2＋x ＋1，x ＜1在R 上是单调增函数，则实数a 的取值范围________．解析f (x )在R 上是单调增函数，需满足a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧－a2≤1.a ＜0，－12a ≥1，解得－12≤a ≤0.答案 [－12，0]15．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R . 若f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．解析 因为f (x )的周期为2， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43.整理，得a ＝－23(b ＋1)．①又因为f (－1)＝f (1)， 所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4. 所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10. 答案 －10 三、解答题16．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图像过点(8，2)和(1，－1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值． 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f （8）＝2，f （1）＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x . (2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1)．∵x2x－1＝（x－1）2＋2（x－1）＋1x－1＝(x－1)＋1x－1＋2≥2 （x－1）·1x－1＋2＝4.当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，等号成立．而函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，则log2x2x－1－1≥log24－1＝1，故当x＝2时，函数g(x)取得最小值1.17．对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．解(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，由题意可知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3.故当a＝1，b＝－2时，f(x)的不动点是－1，3.(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)恒有两个相异的不动点，∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1，即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两相异实根，∴Δ＝b2－4ab＋4a＞0(b∈R)恒成立．于是Δ′＝(4a)2－16a＜0解得0＜a＜1，故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时的a的范围是(0，1)．18．已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)，当x∈(－3，2)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0.(1)求f (x )在[0，1]内的值域；(2)c 为何值时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1，4]上恒成立？ 解 由题意得x ＝－3和x ＝2是函数f (x )的零点且a ≠0，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0＝a ·（－3）2＋（b －8）·（－3）－a －ab ，0＝a ·22＋（b －8）·2－a －ab ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(1)由图像知，函数在[0，1]内单调递减， ∴当x ＝0时，f (x )＝18；当x ＝1时，f (x )＝12， ∴f (x )在[0，1]内的值域为[12，18]． (2)法一 令g (x )＝－3x 2＋5x ＋c . ∵g (x )在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫56，＋∞上单调递减，要使g (x )≤0在[1，4]上恒成立， 则需要g (x )max ＝g (1)≤0， 即－3＋5＋c ≤0，解得c ≤－2.∴当c ≤－2时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1，4]上恒成立． 法二 不等式－3x 2＋5x ＋c ≤0在[1，4]上恒成立， 即c ≤3x 2－5x 在[1，4]上恒成立． 令g (x )＝3x 2－5x ，∵x ∈[1，4]，且g (x )在[1，4]上单调递增， ∴g (x )min ＝g (1)＝3×12－5×1＝－2，∴c ≤－2.即c ≤－2时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1，4]上恒成立．19．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元．在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)；在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)；(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元．依题意得，当0＜x ＜8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋100x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0＜x ＜8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0＜x ＜8时，_L (x )＝－13(x －6)2＋9， 此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9(万元)．当x ≥8时；L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15(万元)． 此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元． ∵9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．。