天津市十二区县重点学校2013届高三毕业班联考(一)文科数学试题

2013年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（一）数 学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。

一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一 个是正确的） 1.i 是虚数单位，复数31i i--=A.i 21+B.12i -C.2i +D.2i -2.实数x ，y 满足条件24250,,x x y x y ⎧≥⎪+≤⎨⎪-++≥⎩，则目标函数y x z +=3的最大值为A ．7B ．8C ．10D ．113.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.阅读右面的程序框图，则输出的S =A ．14B ．30C ．20D ．55 5.设2log 3a =，4log 3b =， 1.21()2c =，则它们的大小关系是A. b a c <<C.c a b <<D. a b c <<6.将函数y=cos(x 2倍（纵坐标不变），再将所得A.cos()24x y π=-B. cos(2)6y x π=-C. sin 2y x =D.2cos()23x y π=-7.已知函数120()()f x x x =>，若对于任意02(,)πα∈，都有PC第11题图1402(tan )(cos ()tan f f αββπα+≥≤≤成立，则β的取值范围是Ａ．5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦Ｂ．11,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦Ｃ．50,,233πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ Ｄ. 110,,266πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦8.已知函数5(44(6),()2(6)x a x x f x a x -⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩(0,1)a a >≠.若数列{}n a 满足()n a f n =且1n n a a +>*,n N ∈，则实数a 的取值范围是Ａ．()7,8 Ｂ．[)7,8 Ｃ．()4,8 Ｄ．()1,8第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.已知集合{||2|3}M x x =-≤，集合3=<02x N x Rx ⎧-⎫∈⎨⎬+⎩⎭，则集合=M N . 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .11.如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A为切点，AP 与CB 的延长线交于点P ．若10=PA ，5=PB ，则AB 的长为 .12.已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的离心率e =，它的一条渐近线与抛物线22(0)y p x p =>的准线交点的纵坐标为6 ，则正数p 的值为 . 13.已知函数2()2||1f x x x =-++，若2(log )(3)f m f >，则实数m 的取值范围是 .14.已知点M 为等边三角形ABC 的中心,=2A B ,直线l 过点M 交边A B 于点P ，交边A C 于点Q ，则BQ C P ⋅ 的最大值为 .频率a三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数； (Ⅲ)若从样本中数学成绩在[)40,50与[]90,100两个 分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举 法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大 于10的概率. 16．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+ （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在A B C ∆中，若()22A f =,1b =，2c =，求a 的值.17.(本小题满分13分）已知在四棱锥P A B C D -中，//AD BC ,A D C D ⊥,22PA PD AD BC C D ====，,E F 分别是,AD PC 的中点. (Ⅰ)求证AD PBE ⊥平面； (Ⅱ)求证//PA BEF 平面；(Ⅲ)若P B A D =，求二面角F B E C --的大小. 18．（本小题满分13分）已知数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1.（Ⅰ） 若1n b n =+，(i)求3a 的值和数列}{n a 的通项公式； (ii)求数列1{na 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若12()n n n b b b n N *++=∈，且122,3b b ==，求数列{}n b 的前3n 项的和.19．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x =，2()(3)x g x x ax e =-+-⋅（其中a 实数,e 是自然对数的底数）． （Ⅰ）当5a =时，求函数()y g x =在点(1,)e 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[,2](0)t t t +>上的最小值；(Ⅲ) 若存在．．11212,[,]()x x e e x x -∈≠，使方程()2()x g x e f x =成立，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P ，且它的离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足OC ON OM λ=+，求实数λ的取值范围.2013年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（一）数学试卷（文科） 评分标准一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CCABDDAC频率a二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．{}-1<3x x ≤ ；10．π3108+； 11． 12．4；13．1(,8)8；14．229-三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a 的值； （Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数．(Ⅲ)若从样本中数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率； 15．解：（Ⅰ）由005010210025011.....a +++++= 可得003.a = …………2分 （Ⅱ）数学成绩不低于60分的概率为:020*********.....+++=……4分数学成绩不低于60分的人数为 500085425.⨯=人 ……5分 (Ⅲ)数学成绩在[)40,50的学生人数：400052.⨯=人 ……6分数学成绩在[)40,50的学生人数：40014.⨯=人 ……7分设数学成绩在[)40,50的学生为12,A A ，数学成绩在[]90,100的学生为3456,,,A A A A …………8分 两名学生的结果为：1213141516{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，23242526343536{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A A A454656{,},{,},{,}A A A A A A …………10分共15种； …………11分其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有{}12,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}36,A A ，{}45,AA ，{}46,A A ，{}56,A A 共7种， …………12分因此，抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为715…………13分16．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在A B C ∆中，若()22A f =,1b =，2c =，求a 的值.16．解：（Ⅰ）22()sin cos f x x x =- …………2分226sin()x π=-…………4分2T ππω== ………………5分由222262k x k πππππ-≤-≤+得，63k x k ππππ-≤≤+(Z k ∈).，……7分故)(x f 的单调递增区间为63,k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z k ∈). ………………8分（Ⅱ）22A f =(),则2sin()26A π-=⇒sin()16A π-= …………9分22,2,623A k A k k Z πππππ∴-=+=+∈ …………10分又20,3A A ππ<<∴=………………………11分2222cos 7a b c bc A =+-=…………12分a ∴= … ……………………13分17．(本小题满分13分）已知在四棱锥P -A B C D 中，//AD BC ,A D C D ⊥,PA=PD =AD =2BC =2C D ，E,F 分别是AD,PC 的中点，(Ⅰ)求证D BE A P ⊥平面； (Ⅱ) 证明PA//BEF 平面；(Ⅲ)若PB=AD ，求二面角F-B E -C 的大小.17．(Ⅰ) 证明:由已知得//E D B C E D B C =，，故B C D E 是平行四边形，所以//BE C D BE C D =，，---------1分 因为A D C D ⊥，所以BE AD ⊥, ---------2分 由PA=PD 及E 是A D 的中点，得PE AD ⊥, ---------3分 又因为BE PE E = ,所以D BE A P ⊥平面. ---------4分 (Ⅱ) 证明:连接A C 交E B 于G ,再连接F G ,由E 是A D 的中点及//B E C D ，知G 是BF 的中点， 又F 是P C 的中点，故//F G P A ， ---------5分 又因为,FG BEF PA BEF ⊂⊄平面平面， 所以PA//BEF 平面. ---------7分(Ⅲ)解：设PA =PD =A D =2BC =2C D 2a =,则PF =，又2P B A D a ==，E B C D a ==，故222PB PE BE =+即PE BE ⊥， ---------8分 又因为BE AD ⊥，AD PE E = ，所以BE PAD ⊥平面，得B E P A ⊥，故BE FG ⊥， ---------10分 取C D 中点H ，连接,FH GH ,可知//G H AD ,因此G H B E ⊥, ---------11分 综上可知F G H ∠为二面角F-B E -C 的平面角. ---------12分 可知111=,,222F G P A a F H P D a G H A D a =====，故=60FGH ∠,所以二面角F-B E -C 等于60. ---------13分18．（本小题满分13分）已知数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1.（Ⅰ） 若1n b n =+，(i)求3a 的值和数列}{n a 的通项公式； (ii)求数列1{}na 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若12()n n n b b b n N *++=∈，且122,3b b ==，求数列{}n b 的前3n 项的和.18．(Ⅰ) 解：(i)11a =,211123a a b =+=+=,322336a a b =+=+= ………………2分.由11n n a a n +-=+得当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-1121n a b b b -=++++ =(1)2n n +………4分而11a =适合上式，所以(1)()2n n n a n N *+=∈.………………5分(ii)由(i)得：12112()(1)1n a n n nn ==-++ ……………6分1231111n nS a a a a =++++ 11111112(1)2()2()2()223231n n =-+-+-++-+ ……………7分122(1)11nn n =-=++ …………8分 (Ⅱ)解：因为对任意的n ∈*N 有54643431n n n n n n n n b b b b b b b b +++++++====，所以数列{}n b 各项的值重复出现，周期为6. …………9分又数列}{n b 的前6项分别为3112232233,,,,,，且这六个数的和为8. ……………10分设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则，当2()n k k =∈*N 时，36123456()8n k S S k b b b b b b k ==+++++=， ……………11分当21()n k k =+∈*N 时，363123456616263()n k k k k S S k b b b b b b b b b ++++==++++++++12313882k b b b k =+++=+ ， …………12分当1n =时3132S =所以，当n 为偶数时，34n S n =；当n 为奇数时，3542n S n =+. ……………13分19．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x =，2()(3)xg x x ax e =-+-⋅（其中a 是实常数,e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）当5a =时，求函数()y g x =在点(1,)e 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[,2](0)t t t +>上的最小值；(Ⅲ) 若存在．．11212,[,]()x x e e x x -∈≠，使方程()2()x g x e f x =成立，求实数a 的取值范围.19．解：（Ⅰ）当5a =时2()(53)x g x x x e =-+-⋅，2()(32)x g x x x e '=-++⋅┈┈1分故切线的斜率为(1)4g e '=， ┈┈┈┈ 2分所以切线方程为：4(1)y e e x -=-，即430ex y e --=. ┈┈┈┈ 3分（Ⅱ）()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，得1x e= ┈┈┈┈ 4分①当et 1≥时，在区间(,2)t t +上，()0f x '>，()f x 为增函数，所以m in ()()ln f x f t t t == ┈┈┈┈ 5分 ②当10t e<<时，在区间1(,)t e上()0f x '<，()f x 为减函数，┈┈┈┈ 6分在区间1(,)e e上()0f x '>，()f x 为增函数，┈┈┈┈ 7分所以m in 11()()f x f ee==-┈┈┈┈ 8分(Ⅲ) 由()2()x g x e f x =可得223ln x x xax =-+-32ln a x x x=++， ┈┈┈┈ 9分令32()ln h x x x x=++，22)1)(3(321)(xx x xxx h -+=-+=' ┈┈┈┈ 10分x11(,)e11(,)e)(x h ' -0 +()h x 单调递减极小值（最小值）单调递增┈┈┈┈ 12分1132()h e e e =+-，14()h =，32()h e e e=++ 12420()()h e h e e e-=-+< ┈┈┈┈ 13分∴实数a 的取值范围为342(,]e e++┈┈┈┈ 14分20．（本小题满分14的椭圆过点P ，且它的离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，C 满足OC ON OM λ=+，求实数λ20．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ┈┈┈┈┈┈┈ 1分由已知得：2222243112a b cac a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩解得2286a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 所以椭圆的标准方程为：22186xy+= ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 5分(Ⅱ) 因为直线l ：y kx t =+与圆22(1)1x y -+=相切2112(0)t k t t-=⇒=≠ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分把t kx y +=代入22186xy+=并整理得： 222(34)8(424)0k x ktx t +++-=┈7分设),(,),(2211y x N y x M ，则有 221438kkt x x +-=+22121214362)(ktt x x k t kx t kx y y +=++=+++=+ ┈┈┈┈┈┈┈┈ 8分因为，),(2121y y x x OC ++=λ， 所以，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k tk ktC ┈┈ 9分 又因为点C 在椭圆上， 所以，222222222861(34)(34)k ttk k λλ+=++ ┈┈┈┈┈ 10分222222221134()()1t k t t λ⇒==+++ ┈┈┈┈┈ 12分 因为 02>t 所以 11)1()1(222>++t t ┈┈┈┈┈ 13分所以 202λ<<，所以 λ的取值范围为(0)(0,┈┈┈┈ 14分。