高考文科数学试题及答案解析

北京市高考文科数学试卷逐题解析数 学（文）（北京卷）本试卷共5页， 150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效。

考试结束后， 将本试卷的答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题1. 已知全集， 集合或， 则A. ()2,2-B. ()(),22,-∞-+∞UC. []2,2-D. (][),22,-∞-+∞U 【答案】C 【解析】{|2A x x =<-Q 或}()()2=,22,x >-∞+∞U ，[]2,2U C A ∴=-， 故选C .2. 若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限， 则实数a的取值范围是A. (),1-∞B. (),1-∞-C. ()1,+∞D. ()1,+-∞ 【答案】B【解析】(1)()1(1)i a i a a i -+=++-Q 在第二象限.1010a a +<⎧∴⎨->⎩得1a <-.故选B .3. 执行如图所示的程序框图， 输出的s 值为 A. 2B. 32C. 53D .85【答案】C【解析】0,1k S ==. 3k <成立， 1k =，2S =21=.3k <成立， 2k =， 2+13S =22=. 3k <成立， 3k =，3+152S =332=.3k <不成立， 输出5S 3=.故选C .4.若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩， 则2x y +的最大值为 A. 1 B. 3 C. 5 D. 9【答案】D【解析】设2z x y =+， 则122z y x =-+， 当该直线过()3,3时， z 最大. ∴当3,3x y ==时， z 取得最大值9， 故选D .5.已知函数1()3()3xxf x =-， 则()f x A. 是偶函数， 且在上是增函数B. 是奇函数， 且在上是增函数C. 是偶函数， 且在上是减函数D. 是奇函数， 且在上是减函数 【答案】B【解析】11()3()()3()33xx x x f x f x ---=-=-=- 且定义域为R .()f x ∴为奇函数. 3x y =Q 在R 上单调递增， 1()3xy =在R 上单调递减1()3xy ∴=-在R 上单调递增. 1()3()3x xf x ∴=-在R 上单调递增， 故选B .6.某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为 A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如下：S ABC -113541032S ABC V -∴=⨯⨯⨯⨯=， 故选D .7.设,m n u r r 为非零向量， 则“存在负数λ， 使得m n λ=u r r”是“0m n ⋅<u r r”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】Q 存在负数λ， 使得m n λ=u r r， 且,m n u r r 为非零向量.∴m u r 与n r方向相反. ∴||||cos ||||0m n m n m n π⋅=⋅⋅=-⋅<u r r u r r u r r∴“存在负数λ， 使得m n λ=u r r ”是“0m n ⋅<u r r”的充分条件.若0m n ⋅<u r r， 则||||cos 0m n m n θ⋅=⋅⋅<u r r u r r ， 则cos 0θ<.∴(,]2πθπ∈， ∴m u r 与n r不一定反向.∴不一定存在负数λ， 使m n λ=u r r.故选A8.根据有关资料， 围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613， 而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg30.48≈） A. B. C. D.【答案】D【解析】3613M ≈， 8010N ≈， 36180310M N ≈， 两边取对数36136180803lg lg lg3lg10361lg3809310M N ≈=-=⨯-≈9310MN∴≈ 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题， 每小题5分， 共30分。

9.在平面直角坐标系xOy 中， 角α与角β均以Ox 为始边， 它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=， 则sin β= .【答案】13【解析】根据题意得2,k k Z αβππ+=+∈所以1sin sin 3βα==10.若双曲线221y x m-=3 则实数m =.【答案】2【解析】根据题意得221,a b m ==且2223a b c c e a⎧+=⎪⎨==⎪⎩， 解得2m =11.已知0,0x y ≥≥， 且1x y +=， 则22x y +的取值范围是.【答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】0,0,1x y x y ≥≥+=Q[]0,1x ∴∈22222211(1)221222x y x x x x x ⎛⎫∴+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭∴当12x =时， 22x y +取得最小值为12当0x =或1x =时， 22x y +取得最大值为1∴22x y +的取值范围为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知点P 在圆221x y +=上， 点A 的坐标为()2,0-， O 为原点， 则AO AP ⋅u u u r u u u r 的最大值为_______.【答案】 6【解析】Q 点P 在圆221x y +=上设点P 坐标()00,x y ， 满足22001x y +=()2,0AO =u u u r ， ()002,AP x y =+u u u r ， ()002224AO AP x x ⋅=+=+u u u r u u u r011x -≤≤Q ， 26AO AP ≤⋅≤u u u r u u u rAO AP ∴⋅u u u r u u u r的最大值为613.能够说明“设,,a b c 是任意实数.若a b c >>， 则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为_______. 【答案】 1,2,3---【解析】取,,a b c 分别为1,2,3---不满足a b c +>， 故此命题为假命题 （此题答案不唯一）14.某学习小组由学生和教师组成， 人员构成同时满足以下三个条件：( i ) 男学生人数多于女学生人数； (ii ) 女学生人数多于教师人数；(iii) 教师人数的两倍多于男学生人数.① 若教师人数为4， 则女学生人数的最大值为_______； ② 该小组人数的最小值为_______. 【答案】 6,12【解析】 ①若教师人数为4人， 则男生人数小于8人， 则男生人数最多为7人， 女生最多为6人。

②若教师人数为1人， 则男生人数少于2人， 与已知矛盾 若教师人数为2人， 则男生人数少于4人， 与已知矛盾若教师人数为3人， 则男生人数少于6人， 则男生为5 人， 女生4人。

所以小组人数最小值为34512++=人三、解答题共6小题， 共80分。

解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程。

15.（本小题13分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==， 2410a a +=， 245b b a =.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++L .【解析】（Ⅰ）设{}n a 公差为d ， {}n b 公比为q .则243210a a a +==， 即35a =. 故312514a a d -==-=， 即2d =. ()*1212(1)n n N a n n ∴=+-=∈-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知59a =， 即249b b =， 则2419b q =， 23q =. {}n b Q 为公比为q 的等比数列.13521,,n b b b b -∴,,L 构成首项为1， 公比为23q =的等比数列.()1352111331132n n n b b b b -⨯--∴++++==-L *()n N ∈.16.（本小题13分）已知函数()322sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， ()12f x ≥-. 【解析】（Ⅰ）()322sin cos 3133cos 2sin 2sin 222312sin 222sin 23f x x x xx x xx x x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=⋅+⋅-⎭=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以最小正周期222T πππω===. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ,4452,366x x πππππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦Q当236x ππ+=-， 即4x π=-时， ()f x 取得最小值12-.()12f x ∴≥-得证.17．（本小题13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评， 根据男女学生人数比例， 使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生， 记录他们的分数， 将数据分成7组：[)20,30， [)30,40， …， []80,90， 并整理得到如下频率分布直方图：（I ）从总体的400名学生中随机抽取一人， 估计其分数小于70的概率；（II ）已知样本中分数小于40的学生有5人， 试估计总体中分数在区间[)40,50内的人数；（III ）已知样本中有一半男生的分数不小于70， 且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例. 【解析】（I ）由频率分布直方图得：分数大于等于70的频率为分数在[)70,80和[]80,90的频率之和， 即0.40.20.6+=， 由频率估计概率 ∴分数小于70的概率为10.60.4-=（II ）设样本中分数在区间[)40,50内的人数为x ， 则由频率和为1得 50.10.20.40.21100100x +++++= 解之得5x =∴总体中分数在区间[)40,50内的人数为540020100⨯=（人） （III ）设样本中男生人数为a ， 女生人数为bQ 样本中分数不小于70的人数共有()0.40.210060+⨯=（人） ∴分数不小于70的人中男生， 女生各占30人 ∴样本中男生人数为303060a =+=（人）女生人数为（人）∴总体中男生和女生的比例为32a b=18．（本小题14分）如图， 在三棱锥P ABC -中， PA AB ⊥， PA BC ⊥， AB BC ⊥，2PA AB BC ===， D 为线段AC 的中点， E 为线段PC 上一点.（I ）求证：PA BD ⊥；（II ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（III ）当//PA 平面BDE 时， 求三棱锥E BCD -的体积.【解析】（I ）PA AB ⊥Q ， PA BC ⊥， AB BC B =I又AB ⊂平面ABC ， BC ⊂平面ABCPA ∴⊥平面ABC又BD ⊂平面ABCPA BD ∴⊥（II ）在ABC ∆中， D 为AC 中点又AB BC =BD AC ∴⊥ 由（I ）知PA BD ⊥， 而AC PA A =I ， PA ， AC ⊂平面PAC BD ∴⊥平面PAC又BD ⊥Q 平面PAC 且BD ⊂平面BDE∴平面BDE ⊥平面PAC（III ）由题知//PA 平面BDEPA ⊂Q 平面PAC ， 平面PAC I 平面BDE DE =//PA DE ∴ PA ⊥Q 平面ABC DE ∴⊥平面ABC又D Q 为AC 中点 E ∴为PC 中点112DE PA ∴==， 2222AC AB BC +=在ABC ∆中， 122DC AC == BC BA =Q 且90ABC ∠=o45ACB ∴∠=o 2DB DC ∴== 112BCD S DB DC ∆∴=⨯⨯= 1133E BCD BCD V S DE -∆∴=⨯⨯=20．（本小题13分）已知函数()cos x f x e x x =-．（I ）求曲线在点处的切线方程；（II ）求函数在区间上的最大值和最小值.【解析】（I ）又在点处的切线方程为（II ）令，Q 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴sin 0x ≥而0x e >∴'()0g x ≤∴()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ∴()(0)0g x g ≤=∴'()0f x ≤∴()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ∴当2x π=时， ()f x 有最小值2()cos 2222f e πππππ=-=- 当0x =时， ()f x 有最大值0(0)cos 001f e =-=19．（本小题14分）已知椭圆C 的两个顶点分别为()2,0A -， ()2,0B ， 焦点在x 轴上， 离心率为32. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点， 过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ， N ， 过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：BDE ∆与BDN∆的面积之比为4:5.【解析】（Ⅰ）Q 焦点在x 轴上且顶点为()2,0±2a ∴= 3c e a ==Q 3c ∴=222a b c =+Q2221b a c ∴=-=∴椭圆的方程为：2214x y +=（Ⅱ）设()0,0D x 且022x -<<， 0M y y =， 则 ()()0000,,M x y N x y -，002AM y k x ∴=+ AM DE ⊥Q1AM DE k k ∴⋅=-002DE x k y +∴=- ∴直线DE :0002()x y x x y +=-- 002BN y k x =--Q ∴直线BN :()0022y y x x =--- 由0000022002()(2)214x y x x y y y x x x y +⎧=--⎪⎪⎪=--⎨-⎪⎪⎪+=⎩ 得0000424,5551||21212124455BDE E BDN N E BDE BDN N E x y S BD y S BD y BD y S S BD y y y ∆∆∆∆⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅=⋅⋅∴=⋅-==-Q ∴得证。