高考文科数学试题及答案解析

北京市高考文科数学试卷逐题解析

数 学（文）（北京卷）

本试卷共5页， 150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效。考试结束后， 将本试卷的答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题

1. 已知全集， 集合或， 则

A. ()2,2-

B. ()(),22,-∞-+∞U

C. []2,2-

D. (][),22,-∞-+∞U 【答案】C 【解析】

{|2

A x x =<-Q 或

}()()

2=,22,x >-∞+∞U ，

[]

2,2U C A ∴=-， 故选C .

2. 若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限， 则实数a

的取值范围是

A. (),1-∞

B. (),1-∞-

C. ()1,+∞

D. ()1,+-∞ 【答案】B

【解析】(1)()1(1)i a i a a i -+=++-Q 在第二象限.

1010a a +

->?得1a <-.故选B .

3. 执行如图所示的程序框图， 输出的s 值为 A. 2

B. 32

C. 53

D .85

【答案】C

【解析】0,1k S ==. 3k <成立， 1k =，

2S =21=

.

3k <成立， 2k =， 2+13

S =

22=. 3k <成立， 3k =，

3

+152S =

332=.

3k <不成立， 输出5S 3=

.故选C .

4.若,x y 满足3

2x x y y x ≤??

+≥??≤?

， 则2x y +的最大值为 A. 1 B. 3 C. 5 D. 9

【答案】D

【解析】设2z x y =+， 则

122z y x =-+

， 当该直线过()3,3时， z 最大. ∴当3,3x y ==时， z 取得最大值9， 故选D .

5.已知函数

1()3()

3x

x

f x =-， 则()f x A. 是偶函数， 且在上是增函数

B. 是奇函数， 且在上是增函数

C. 是偶函数， 且在上是减函数

D. 是奇函数， 且在上是减函数 【答案】B

【解析】11()3()()3()

33x

x x x f x f x ---=-=-=- 且定义域为R .

()f x ∴为奇函数. 3x y =Q 在R 上单调递增， 1()

3x

y =在R 上单调递

减

1

()3x

y ∴=-在R 上单调递增. 1

()3()3x x

f x ∴=-在R 上单调递增， 故选B .

6.某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为 A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如下：

S ABC -11

35410

32S ABC V -∴=????=， 故选D .

7.设,m n u r r 为非零向量， 则“存在负数λ， 使得m n λ=u r r

”是

“0m n ?

”的

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】Q 存在负数λ， 使得m n λ=u r r

， 且,m n u r r 为非零向量.

∴m u r 与n r

方向相反. ∴||||cos ||||0m n m n m n π?=??=-?

∴“存在负数λ， 使得m n λ=u r r ”是“0m n ?

”的充分条件.

若0m n ?

， 则||||cos 0m n m n θ?=??

∴(,]

2πθπ∈， ∴m u r 与n r

不一定反向.

∴不一定存在负数λ， 使m n λ=u r r

.故选A

8.根据有关资料， 围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613， 而可观

测宇宙中普通物质的原子总数N 约为80

10.则下列各数中与M

N

最接近

的是

（参考数据：lg30.48≈） A. B. C. D.

【答案】D

【解析】3613M ≈， 8010N ≈， 361

803

10

M N ≈， 两边取对数

36136180803lg lg lg3lg10361lg3809310

M N ≈=-=?-≈

9310M

N

∴

≈ 第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题， 每小题5分， 共30分。

9.在平面直角坐标系xOy 中， 角α与角β均以Ox 为始边， 它们的

终边关于y 轴对称.若1sin 3

α=， 则sin β= .

【答案】13

【解析】根据题意得2,k k Z αβππ+=+∈

所以1

sin sin 3

βα==

10.若双曲线2

2

1y x m

-=3 则实数m =

.

【答案】2

【解析】根据题意得221,a b m ==

且2223a b c c e a

?+=??==??， 解得2m =

11.已知0,0x y ≥≥， 且1x y +=， 则22x y +的取值范围是

.

【答案】1,12??

????

【解析】0,0,1x y x y ≥≥+=Q

[]0,1x ∴∈

2

2222211(1)221222x y x x x x x ?

?∴+=+-=-+=-+ ??

?

∴当12x =

时， 22x y +取得最小值为1

2

当0x =或1x =时， 22x y +取得最大值为1

∴22x y +的取值范围为1,12??

????

12.已知点P 在圆

221x y +=上， 点A 的坐标为()2,0-， O 为原点， 则AO AP ?u u u r u u u r 的最大值为_______.

【答案】 6

【解析】Q 点P 在圆2

2

1x y +=上

设点P 坐标()00,x y ， 满足22001x y +=

()2,0AO =u u u r ， ()002,AP x y =+u u u r ， ()002224AO AP x x ?=+=+u u u r u u u r

011

x -≤≤Q ， 26AO AP ≤?≤u u u r u u u r

AO AP ∴?u u u r u u u r

的最大值为6

13.能够说明“设,,a b c 是任意实数.若a b c >>， 则a b c +>”是假命

题的一组整数,,a b c 的值依次为_______. 【答案】 1,2,3---

【解析】取,,a b c 分别为1,2,3---不满足a b c +>， 故此命题为假命题 （此题答案不唯一）

14.某学习小组由学生和教师组成， 人员构成同时满足以下三个条件：

( i ) 男学生人数多于女学生人数； (ii ) 女学生人数多于教师人数；

(iii) 教师人数的两倍多于男学生人数.

① 若教师人数为4， 则女学生人数的最大值为_______； ② 该小组人数的最小值为_______. 【答案】 6,12

【解析】 ①若教师人数为4人， 则男生人数小于8人， 则男生人

数最多为7人， 女生最多为6人。

②若教师人数为1人， 则男生人数少于2人， 与已知矛盾 若教师人数为2人， 则男生人数少于4人， 与已知矛

盾

若教师人数为3人， 则男生人数少于6人， 则男生为5 人， 女生4人。

所以小组人数最小值为34512++=人

三、解答题共6小题， 共80分。解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程。

15.（本小题13分）

已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==， 2410a a +=， 245b b a =.

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++L .

【解析】（Ⅰ）设{}n a 公差为d ， {}n b 公比为q .

则243210a a a +==， 即35a =. 故312514a a d -==-=， 即2d =. ()*1212(1)n n N a n n ∴=+-=∈-.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知59a =， 即249b b =， 则24

19b q =， 23q =. {}n b Q 为公比为q 的等比数列.

13521,,n b b b b -∴,,L 构成首项为1， 公比为23q =的等比数列.

()135211133113

2

n n n b b b b -?--∴++++=

=

-L *()

n N ∈.

16.（本小题13分）

已知函数()322sin cos 3f x x x x π?

?=-- ??

?. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）求证：当,44x ππ??∈-????

时， ()1

2

f x ≥-. 【解析】（Ⅰ）

()322sin cos 3133cos 2sin 2sin 22231

2sin 222

sin 23f x x x x

x x x

x x x ππ?

?=-- ??

?=?+?-?=

+?

?=+ ?

??

所以最小正周期222

T π

π

πω

==

=. （Ⅱ）证明：

由（Ⅰ）知()sin 23f x x π?

?=+ ??

?. ,4452,366x x πππππ??∈-??

??

??∴+∈-??

??

Q

当236x π

π

+

=-

， 即4x π

=-

时， ()f x 取得最小值1

2

-.

()1

2

f x ∴≥-得证.

17．（本小题13分）

某大学艺术专业400名学生参加某次测评， 根据男女学生人数比例， 使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生， 记录他们的分数， 将数据分成7组：[)20,30， [)30,40， …， []80,90， 并整理得到如下频率分布直方图：

（I ）从总体的400名学生中随机抽取一人， 估计其分数小于70的概率；

（II ）已知样本中分数小于40的学生有5人， 试估计总体中分数在区间[)40,50内的人数；

（III ）已知样本中有一半男生的分数不小于70， 且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例. 【解析】

（I ）由频率分布直方图得：

分数大于等于70的频率为分数在[)70,80和[]80,90的频率之和， 即0.40.20.6+=， 由频率估计概率 ∴分数小于70的概率为10.60.4-=

（II ）设样本中分数在区间[)40,50内的人数为x ， 则由频率和为1得 50.10.20.40.21100100

x +++++= 解之得5x =

∴总体中分数在区间[)40,50内的人数为5

40020100

?

=（人） （III ）设样本中男生人数为a ， 女生人数为b

Q 样本中分数不小于70的人数共有()0.40.210060+?=（人） ∴分数不小于70的人中男生， 女生各占30人 ∴样本中男生人数为303060a =+=（人）

女生人数为（人）

∴总体中男生和女生的比例为32

a b

=

18．（本小题14分）

如图， 在三棱锥P ABC -中， PA AB ⊥， PA BC ⊥， AB BC ⊥，

2PA AB BC ===， D 为线段AC 的中点， E 为线段PC 上一点.

（I ）求证：PA BD ⊥；

（II ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；

（III ）当//PA 平面BDE 时， 求三棱锥E BCD -的体积. 【解析】

（I ）PA AB ⊥Q ， PA BC ⊥， AB BC B =I 又AB ?平面ABC ， BC ?平面ABC PA ∴⊥平面ABC 又BD ?平面ABC PA BD ∴⊥

（II ）在ABC ?中， D 为AC 中点 又AB BC = BD AC ∴⊥

由（I ）知PA BD ⊥， 而AC PA A =I ， PA ， AC ?平面PAC BD ∴⊥平面PAC

又BD ⊥Q 平面PAC 且BD ?平面BDE ∴平面BDE ⊥平面PAC （III ）由题知//PA 平面BDE

PA ?Q 平面PAC ， 平面PAC I 平面BDE DE = //PA DE ∴

PA ⊥Q 平面ABC DE ∴⊥平面ABC 又D Q 为AC 中点 E ∴为PC 中点 1

12

DE PA ∴=

=， 2222AC AB BC +=

在ABC ?中， 122

DC AC == BC BA =Q 且90ABC ∠=o 45ACB ∴∠=o 2DB DC ∴== 1

12BCD

S DB DC ?∴=??= 11

33

E BCD BCD V S DE -?∴=??=

20．（本小题13分）

已知函数()cos x f x e x x =-． （I ）求曲线在点处的切线方程；

（II ）求函数在区间上的最大值和最小值. 【解析】 （I ） 又

在点处的切线方程为 （II ）令，

Q 0,2x π??∈????

∴sin 0x ≥ 而0x e > ∴'()0g x ≤

∴()g x 在区间0,2π??

????

上单调递减

∴()(0)0g x g ≤= ∴'()0f x ≤

∴()f x 在区间0,2π??

????

上单调递减

∴当2x π=时， ()f x 有最小值2()cos 2222f e π

ππππ=-=- 当0x =时， ()f x 有最大值0(0)cos 001f e =-=

19．（本小题14分）

已知椭圆C 的两个顶点分别为()2,0A -， ()2,0B ， 焦点在x 轴上， 离心率为

32

. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）点D 为x 轴上一点， 过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ， N ， 过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：BDE ?与BDN

?

的面积之比为4:5.

【解析】（Ⅰ）Q 焦点在x 轴上且顶点为()2,0±

2a ∴=

3c e a ==

Q 3c ∴=

222a b c =+Q 2221b a c ∴=-=

∴椭圆的方程为：2

214

x y +=

（Ⅱ）设()0,0D x 且022x -<<， 0M y y =， 则 ()()0000,,M x y N x y -，

02

AM y k x ∴=

+ AM DE ⊥Q 1AM DE k k ∴?=-

2DE x k y +∴=-

∴直线DE :0

00

2()x y x x y +=-

- 0

02

BN y k x =-

-Q ∴直线BN :()0

022

y y x x =-

-- 由000002

2

002()(2)214

x y x x y y y x x x y +?=--???=--?

-???+=? 得

000

04

24,5

551

||

21

2

1

212445

5

BDE E BDN N

E

BDE BDN N

E x y S BD y S BD y BD y S S BD y

y y ??????+- ?

??=?=??∴=

?-==-Q ∴得证