2018年各地高考数学文科分类汇编——解析几何完整
2018各地高考数学文科分类汇编_解析几何
（全国1卷4）答案：（全国1卷15）答案：（全国1卷20）答案：（全国2卷6）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y =D ．y x = 答案：A（全国2卷11）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 1-答案：D（全国2卷20）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．答案：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．（全国3卷8）答案：A（全国3卷10）答案：D（全国3卷20）答案：（北京卷10）已知直线l过点（1,0）且垂直于ε，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.答案：（1,0）（北京卷12）答案：4（北京卷20）已知椭圆的离心率为，焦距2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线PA与椭圆M的另一个交点C，直线PB与椭圆M的另一个交点D.若C,D和点共线，求k.（天津卷7）已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于,A B 两点，设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为12和d d 且12+=6d d ，则双曲线方程为（A ）22139-=x y （B ）22193-=x y （C ）221412-=x y （D ）221124-=x y 答案：A解析：2==ce a，2=c a ， 在梯形ABCD 中，+2=AC BD FE ,FE 为渐焦距=b ，1226∴+==d d b 3∴=b222+=a b c 2229,12=3,∴==a b c∴22139-=x y（天津卷12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为答案：2220x x y -+= 解析：因为圆过（0,0）（2,0）所以圆心在x=1上，设其坐标为（1，b ） 又因为（1,1）在圆上所以10,1r b br =-=?=22(1)1,x y -+=即2220x x y -+=（天津卷19）(19)（本小题满分14分）设椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的右顶点为A ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率|AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:l y kx = (k ∆0)与椭圆交于P,Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P,M 均在第四象限，若BPM 的面积是BPQ 面积的2倍，求k 的值。
2018年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何
《2018年高考文科数学分类汇编》2x —2・y 2 =2上，贝U △ ABP 面积的取值范围是和d 2，且d 1 d 2 =6，则双曲线的方程为2 2x■丄=14 122xD —9、选择题 1.【2018全国一卷 4】已知椭圆C :第九篇：解析几何X 2 V 2評廿1的一个焦点为(2 ,0)，则C 的离心率为1A.- 3 2.【2018全国二卷 6】1 B.- 22x 2双曲线 2-爲=1(a 0,b 0)的离心率为,3，则其渐近线方程为 a bA . y 二 2xB . y = 3xD . y 3x23.【2018全国 11】已知F , F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PR_ PF 2 ,且.乙PF 2F 1 =60，则C 的离心率为 A . J2B . 2-3 C. D . .3-14.【2018全国 三卷 8】直线x y *2=0分别与x 轴，y 轴交于A ,B 两点，点P 在圆A . 2,61B . 4,8〕D .5.【2018全国三卷10】已知双曲线 C :三卷 =1(a 0 , b 0)的离心率为 .2 ，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为B . 2C.2D . 2,22x 6.【2018天津卷7】已知双曲线 —a=1(a 0, b 0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点. 设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 112 4=18.427. 【2018浙江卷2】双曲线「宀的焦点坐标是之和为（）D.4魂二、填空题 【2018全国一卷15】直线y =x • 1与圆x 2 y 22^^0交于A ，B 两点，则A • (- 2 , 0), ( .2 , 0)B • (-2, 0), (2, 0)C . (0, - . 2 ), (0 , ,2)D . (0, -2), (0, 2)8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 呂+以=153上的动点，贝U P 到该椭圆的两个焦点的距离1.2. 【2018北京卷10】已知直线I 过点（1,0）且垂直于 轴，若I 被抛物线 y 2= 4ax 截得的线3. 段长为4,则抛物线的焦点坐标为2 2【2018北京卷12】若双曲线 笃-丿 1（a0）的离心率为a 4-1，则24.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（ 0，0）1），（ 2，0）的圆的方程为 5.2x 【2018江苏卷8】在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线2与=1(a 0,b 0)的右焦点b6. F （c,0）到一条渐近线的距离为乜212】在平面直角坐标系则其离心率的值是 【2018江苏卷xOy 中，A 为直线I: y = 2x 上在第一象限内的点,B(5,0)，以 AB 为直径的圆C 与直线 l 交于另一点D .若AB CD =0，则点A 的横坐标7. 【2018浙江卷17】已知点P （0，1），椭圆^+y 2=m （m>1）上两点A ，B 满足AP =2"P B ，则4当m= 时，点B 横坐标的绝对值最大.1 29.【2018 上海卷 12】已知实数 x?、x?、y?、y?满足：X2 y?2 = 1 , X2 y?2=1 ,X?? y?y 2 则1 x?十f —1 +1 x?+$—1的最大值为 ______________逅42三、解答题1. 【2018全国一卷20】设抛物线C ： y 2=2x ，点A 2 , 0，B -2, 0，过点A 的直线l 与C交于M , N 两点.(1) 当I 与x 轴垂直时，求直线 BM 的方程； (2) 证明：/ ABM =/ ABN .2. 【2018全国二卷20】设抛物线C : y 2 =4x 的焦点为F ,过F 且斜率为k(k ■ 0)的直线I 与 C 交于A , B 两点，| AB | =8 .(1) 求I 的方程；(2) 求过点A , B 且与C 的准线相切的圆的方程.2 23. 【2018全国三卷如已知斜率为k 的直线l 与椭圆i =1交于A ，段AB 的中点为 M (1,m)(m 0).1(1) 证明：k ：：：22 24.【2018北京卷20】已知椭圆M :牛=1(a b 0)的离心率为a b斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点 A , B.(I)求椭圆M 的方程；2设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且 FP ，FA FB 0 .证明：2 |F P | |F A||FB |B 两点•线丄6，焦距为2 2.3(n)若k =1，求|AB |的最大值;(川)设P(20)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个7 1交点为D若CD和点Q(-—,—)共线，求k.4 4x yA,上顶点为B.已知椭圆5. 【2018天津卷19】设椭圆一22 =1(a^0)的右顶点为a b的离心率为—,| AB |=J13 .3(I)求椭圆的方程；(II)设直线I : y二kx(k ::: 0)与椭圆交于P,Q两点，I与直线AB交于点M，且点P,M均在第四象限•若△ BPM的面积是△ BPQ面积的2倍，求k的值._ 16. 【2018江苏卷18】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点(• 3,)，焦点2斤(- .3,0), F2(-.3,0)，圆O 的直径为F1F2 •(1) 求椭圆C及圆0的方程；(2) 设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标;不同的两点A, B满足(I)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴;②直线I与椭圆C交于7.【2018浙江卷21】如图,PA PB的中点均在C上.2(n)若P是半椭圆x2+_L = 1(x<0)上的动点，求△ PAB面积的取值范围.48. 【2018上海卷20】(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2 小题满分6分，第3小题满分6分)设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F (2, 0)，直线I: x=t，曲线•：y2=8x(0三X W t,戶0) , I与x轴交于点A,与已交于点B, P、Q分别是曲线壬与线段AB上的动点.(1 )用t为表示点B到点F的距离；(2)设t=3, I FQ22，线段OQ的中点在直线FP上，求△ AQP的面积；(3)设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在•上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由参考答案一、选择题1.C2.A3.D4.A5.D6.C7.B8.Ci. 2、、2 2.(i,0) 3.4 2 24. x y - 2x = 05.26.37.5c i8. y x9.、2 .. 32三、解答题1.解：(i) 当 1 I与X轴垂直时，I的方程为x=2,可得M的坐标为(2, 2)或(2,-)所以直线iBM的方程为y=2ix i 或y x「i .二、填空题2 2(2)当I与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以/ ABM=Z ABN.当I与x轴不垂直时，设I的方程为y =k(x—2)(k = 0), M (yj, N (x2, y2),则X l>0, X2>0._|_y =k(x —2), 2 2由2得ky —yYk=0,可知y i+y2= , y i y2=V.y =2x k直线BM , BN的斜率之和为k BM ' k BNy2 X2y i +x"2 +2(yi + y?) ①X i 2 X2 2 一 (为2)(x2 2)y i将X t =匕亠2 , x2=上亠2及y计y2, y i y2的表达式代入①式分子，可得kk冷％7 2(力y2)'yiy24k(yiy2)，8所以k BM+k BN=0,可知BM, BN的倾斜角互补, 所以/ ABM+Z ABN.综上，/ ABM=Z ABN.2.解：(i)由题意得F( i, 0), I的方程为y=k (x-i)( k>0) 设 A (x i,y i), B (X2, y2).y =k(x -i) 2 2 2 ,、，2c由2得k x -(2k 4)x k 0.y =4x2. 2 丄4.丄2k +4• =i6k i6 =0 ,故X i X2 —.k2所以 AB |AF |—|BF =(x 1)(冷 1)=4k 424k +4由题设知 —=8，解得k=-（舍去），k因此I 的方程为y=x-1.y _2 - ~(x -3)，即 y - -x 5 .（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3, 2） ，所以AB 的垂直平分线方程为 k 2k=1.设所求圆的圆心坐标为（ x o , y o ），则 y 0 - -X 05,2(y° % 1)(X 01)解得 16. x .二 3 (X o =11,y0 1 -&因此所求圆的方程为2 2 2 2(x —3) (y -2) =16或(X -11) (y 6)=144 .3 .解：(1)设 A(X , 两式相减，并由 X 2 2 y 1 ), B(X 2 , y 2)，则丄4 g^=k 得 X 1 X 2 ■ y1X 1 - X 2 41论比 =1，丁 2 2 2上=1,竺 4=1.34 3 y 2 2k =0 . 3由题设知生一 2 3由题设得0 ：：： m ，故k ::: -一=m ,于是k =… .4m(2)由题意得 F (1 , 0).设 P(x 3 , y s )，则(X3_1, y 3) (X1_1,y 1) (x2- 1, y2)= (0 , 0).由(1)及题设得 x 3 = 3 -(x ■ %) = 1 , y 3 = -(比■ y 2) = -2m ：：: 0 . 又点3 3P 在C 上，所以m =—,从而P(1 ,--),4 2|FA|=J(X 1 —1)2 珂任一1)2+3(1—专)=2—?uir 同理|FB|=2 X 22uir uir 1所以 FA FB =4(X 1 X 2) =3.2 uir uir uir故 2|FP|=|FA|+|FB| .4.解：(I)由题意得 2c =2、. 2，所以C = 2，又 e，所以 a = .、. 3，所以 b?=a -c?=i ,a 32所以椭圆M 的标准方程为—y 2 =1 .3(n)设直线 AB 的方程为y =x ，m ,y 二 x m由 x 22 消去 y可得 4x 2 6mx 3m 3 - 3 = 0 ,y 2=13则.；.=36m 2 -4 4(3m 2 -3) =48 -12m 2 0 ,即卩 m 2 ：： 4 ,23m3m - - 3设 A(x i , y i ) , B(X 2,y 2)，则花 x ?,：2 4则 | AB 1= .1 k 2 | 捲「x 2 |= •、1 k 2 .(为 x 2)2-4x^2 二—64一m，2易得当m 2 = 0时，| AB |max = ■ 6，故丨AB |的最大值为… 6 • (川)设 代为，％) , B(x 2, y 2),, D^y),2 2X 2 ' 3y 2 3 ②，, y i —7 X i —12 又k ^Xi-2，代入①式可得X3二药〒，所以y32 2则 X i 3y i =3①,又P(-2,0)，所以可设y i k i =k pA 二一 -，直线 PA 的方程为 y = k i (x 2)， X 〔 2y 二 k i (x 2)由 X 22 消去y 132 2 2 2y 可得(i 3k i )x I2k i X • i2k i -3 =0，i2k i 2 12k i 2则x 「x 3 一氓，即沧一肯k 厂为，学科*网y i4x i 7，4.解：(I)由题意得 2c =2、. 2，所以C =2，7 X-| -12 y<| 7X 2 _ 12 所以C (石〒汐)，同理可得D( -------------------------------- y iy 2 4X 2 7 '4X 27)-2故 QC = (x 3, y3), QD = (x 4, y4),444 4 7 1 7 1 (X3)( y 4 )〜(X 4 )(y 3 )=0, 4 4 44[2x +3y =6,消去 丫，可得 x 2 二—6— y = kx, 3k 2'2 2£丄69 4 =1,消去y ，可得X 1= j 6. £9k 2+4y= kx,由X2 =5捲，可得-9k 24二5（3k 2），两边平方，整理得18k 2 25k 0，解得8 1k ，或 k =9 2 8 112 当k 时，x^ -9 0 ,不合题意，舍去；当 k 时，X 2 =12 , X 1，符9 25合题意.1 因为Q,C, D 三点共线，所以 将点C, D 的坐标代入化简可得y*i - y?12=1，即 k =1 .5.解：（I ）设椭圆的焦距为 2c ,C 5 2 2 2由已知得— ，又由a 二b c ,可得2a = 3b .a 9由 | AB \ = . a =、13，从而 a = 3,b = 2 .2 2所以，椭圆的方程为 —y 19 4（II ）设点P 的坐标为（捲，yj ，点M 的坐标为（x 2,y 2），由题意，X 2 X 1 0 , 点Q 的坐标为（，-％）.由△BPM 的面积是△ BPQ 面积的2倍，可得\PM\ = 2PQ, \从而 X 2 - X i = 2[x i - (- X i )]，即 X 2 =5X i . 易知直线AB 的方程为2X 3^6 ,由方程组由方程组所以，k的值为-丄.26•解:(1)因为椭圆C的焦点为F"— ..3,0),F2C.3,0),可设椭圆C的方程为2X2a212 =1(a b . o).又点C 3,-)在椭圆C上,3 1 1所以孑‘47 a2 -b2=3, 解得a2=4,b2=1,因此，椭圆C的方程为—y2 =1 .4因为圆0的直径为F1F2，所以其方程为x2y2=3 .,, _____________ 2 2(2)①设直线I与圆0相切于P(x o, y o)(x o o, y o o)，则x o y o =3,所以直线I的方程为y = -丸(x _x0)…y0，即y = -总x ■仝.y o y o y o '2X 2 .十—y 1,由4消去y,得(4冷2• y02)x2 - 24x0x - 36 - 4y02=0 .x o ,3y x ,y o y o (*)因为直线I与椭圆C有且只有一个公共点,所以厶=(-24x o)2 -4(4x o2 y o2)(36 -4y。
2018年全国各地高考数学分类汇编word版含答案10-解析几何
2018年全国各地高考数学分类汇编word版含答案10-解析几何一、选择题（共12小题；共60分）1. 设P是椭圆x25+y23=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )A. 2√2B. 2√3C. 2√5D. 4√22. 已知椭圆C：x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )A. 13B. 12C. √22D. 2√233. 直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x−2)2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是( )A. [2,6]B. [4,8]C. [√2,3√2]D. [2√2,3√2]4. 在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x−my−2=0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60∘，则C的离心率为( )A. 1−√32B. 2−√3 C. √3−12D. √3−16. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3，则其渐近线方程为( )A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±√22x D. y=±√32x7. 已知双曲线C：x23−y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( )A. 32B. 3C. 2√3D. 48. 设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点(−2,0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 5B. 6C. 7D. 89. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )A. √2B. 2C. 3√22D. 2√210. 设F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若∣PF1∣=√6∣OP∣，则C的离心率为( )A. √5B. 2C. √3D. √211. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A ，B 两点．设 A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 d 1 和 d 2，且 d 1+d 2=6，则双曲线的方程为 ( ) A. x 24−y 212=1B. x 212−y 24=1C. x 23−y 29=1D. x 29−y 23=112. 已知 F 1，F 2 是椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左，右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 √36 的直线上，△PF 1F 2 为等腰三角形，∠F 1F 2P =120∘，则 C 的离心率为 ( )A. 23B. 12 C. 13 D. 14二、填空题（共12小题；共60分） 13. 若双曲线x 2a2−y 24=1(a >0) 的离心率为 √52，则 a = ．14. 直线 y =x +1 与圆 x 2+y 2+2y −3=0 交于 A ，B 两点，则 ∣AB∣= ．15. 在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l:y =2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D ．若 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点 A 的横坐标为 ． 16. 在平面直角坐标系中，经过三点 (0,0)，(1,1)，(2,0) 的圆的方程为 ．17. 已知点 M (−1,1) 和抛物线 C ：y 2=4x ，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A ，B 两点．若∠AMB =90∘，则 k = ．18. 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右焦点 F (c,0) 到一条渐近线的距离为 √32c ，则其离心率的值为 ．19. 已知直线 l 过点 (1,0) 且垂直于 x 轴．若 l 被抛物线 y 2=4ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为 ．20. 已知圆 x 2+y 2−2x =0 的圆心为 C ，直线 {x =−1+√22t,y =3−√22t（t 为参数）与该圆相交于 A ，B 两点，则 △ABC 的面积为 ．21. 在极坐标系中，直线 ρcosθ+ρsinθ=a (a >0) 与圆 ρ=2cosθ 相切，则 a = ．22. 已知实数 x 1，x 2，y 1，y 2 满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，则11√2222的最大值为 ．23. 已知点 P (0,1)，椭圆 x 24+y 2=m (m >1) 上两点 A ，B 满足 AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则当 m = 时，点 B 横坐标的绝对值最大．24. 已知椭圆 M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线 N:x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 ．三、解答题（共16小题；共208分）25. 设抛物线 C:y 2=4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k (k >0) 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，∣AB ∣=8．（1）求 l 的方程； （2）求过点 A ，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．26. 设抛物线 C:y 2=4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k (k >0) 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，∣AB∣=8． （1）求 l 的方程； （2）求过点 A ，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．27. 如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C:y 2=4x 上存在不同的两点 A ，B 满足 PA ，PB 的中点均在 C 上．（1）设 AB 中点为 M ，证明：PM 垂直于 y 轴； （2）若 P 是半椭圆 x 2+y 24=1(x <0) 上的动点，求 △PAB 面积的取值范围．28. 在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的参数方程为 {x =cosθ,y =sinθ（θ 为参数），过点 (0,−√2) 且倾斜角为 α 的直线 l 与 ⊙O 交于 A ，B 两点． （1）求 α 的取值范围； （2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．29. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的方程为 y =k∣x∣+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcosθ−3=0． （1）求 C 2 的直角坐标方程；（2）若 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点，求 C 1 的方程．30. 在极坐标系中，直线 l 的方程为 ρsin (π6−θ)=2，曲线 C 的方程为 ρ=4cosθ，求直线 l 被曲线C 截得的弦长．31. 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C:x 24+y 23=1 交于 A ，B 两点．线段 AB 的中点为 M (1,m )(m >0)．（1）证明：k <−12；（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 FP⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ．证明：2∣FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣+∣FB⃗⃗⃗⃗⃗ ∣．32. 设椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的右顶点为 A ，上顶点为 B ．已知椭圆的离心率为 √53，∣AB ∣=√13．（1）求椭圆的方程；（2）设直线 l:y =kx (k <0) 与椭圆交于 P ，Q 两点，l 与直线 AB 交于点 M ，且点 P ，M 均在第四象限．若 △BPM 的面积是 △BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值．33. 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C ：x 24+y 23=1 交于 A ，B 两点，线段 AB 的中点为 M (1,m )(m >0)．（1）证明：k <−12；（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ．证明：∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，∣∣FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 成等差数列，并求该数列的公差．34. 设椭圆 x 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0) 的左焦点为 F ，上顶点为 B ．已知椭圆的离心率为 √53，点 A 的坐标为 (b,0)，且 ∣FB ∣⋅∣AB ∣=6√2． （1）求椭圆的方程；（2）设直线 l ：y =kx (k >0) 与椭圆在第一象限的交点为 P ，且 l 与直线 AB 交于点 Q ．若∣AQ∣∣PQ∣=5√24sin∠AOQ （O 为原点），求 k 的值．35. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点 (√3,12)，焦点为 F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，圆 O 的直径为 F 1F 2．（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P ． ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；②直线 l 与椭圆 C 交于 A ，B 两点．若 △OAB 的面积为2√67，求直线 l 的方程．36. 设常数 t >2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F (2,0)，直线 l:x =t ，曲线 Γ:y 2=8x (0≤x ≤t,y ≥0)．l 与 x 轴交于点 A 、与 Γ 交于点 B ．P ，Q 分别是曲线 Γ 与线段 AB 上的动点．（1）用 t 表示点 B 到点 F 的距离；（2）设 t =3，∣FQ∣∣=2，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求 △AQP 的面积； （3）设 t =8，是否存在以 FP ，FQ 为邻边的矩形 FPEQ ，使得点 E 在 Γ 上?若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由．37. 设椭圆 C:x 22+y 2=1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，点 M 的坐标为 (2,0)．（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （2）设 O 为坐标原点，证明：∠OMA =∠OMB ．38. 设抛物线 C:y 2=2x ，点 A (2,0)，B (−2,0)，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M ，N 两点．（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程； （2）证明：∠ABM =∠ABN ．39. 已知抛物线 C:y 2=2px 经过点 P (1,2)．过点 Q (0,1) 的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A ，B ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y 轴于 N ． （1）求直线 l 的斜率的取值范围；（2）设 O 为原点，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：1λ+1μ为定值．40. 已知椭圆 M:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √63，焦距为 2√2，斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M有两个不同的交点 A ，B ． （1）求椭圆 M 的方程；（2）若 k =1，求 ∣AB∣ 的最大值；（3）设 P (−2,0)，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C ，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为D ．若 C ，D 和点 Q (−74,14) 共线，求 k ．答案第一部分 1. C 2. C 3. A 4. C 5. D 6. A 7. B 8. D 9. D 10. C 11. C 12. D第二部分13. 4 14. 2√2 15. 316. x 2+y 2−2x =0 17. 2 18. 2 19. (1,0) 20. 12 21. 1+√2 22. √3+√2 23. 5 24. √3−1，2 第三部分25. （1） 由题意得 F (1,0)，l 的方程为 y =k (x −1)(k >0)． 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由 {y =k (x −1),y 2=4x 得 k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0．Δ=16k 2+16>0，故 x 1+x 2=2k 2+4k 2．所以 ∣AB ∣=∣AF ∣+∣BF ∣=(x 1+1)+(x 2+1)=4k 2+4k 2．由题设知4k 2+4k 2=8，解得 k =−1（舍去），k =1．因此 l 的方程为 y =x −1．（2） 由（1）得 AB 的中点坐标为 (3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y −2=−(x −3)，即 y =−x +5．设所求圆的圆心坐标为 (x 0,y 0)，则{y 0=−x 0+5,(x 0+1)2=(y 0−x 0+1)22+16.解得 {x 0=3,y 0=2 或 {x 0=11,y 0=−6. 因此所求圆的方程为 (x −3)2+(y −2)2=16 或 (x −11)2+(y +6)2=144． 26. （1） 由题意得 F (1,0)，l 的方程为 y =k (x −1)(k >0)， 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由 {y =k (x −1),y 2=4x 得 k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，Δ=16k 2+16=0，故 x 1+x 2=2k 2+4k 2，所以 ∣AB∣=∣AF∣+∣BF∣=(x 1+1)+(x 2+1)=4k 2+4k 2，由题设知4k 2+4k 2=8，解得 k =−1（舍去），k =1，因此 l 的方程为 y =x −1．（2） 由（1）得 AB 的中点坐标为 (3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y −2=−(x −3)，即 y =−x +5． 设所求圆的圆心坐标为 (x 0,y 0)，则 {y 0=−x 0+5,(x 0+1)2=(y 0−x 0+1)22+16. 解得 {x 0=3,y 0=2 或 {x 0=11,y 0=−6.因此所求圆的方程为 (x −3)2+(y −2)2=16 或 (x −11)2+(y +6)2=144．27. （1） 设 P (x 0,y 0)，A (14y 12,y 1)，B (14y 22,y 2)．因为 PA ，PB 的中点在抛物线上，所以 y 1，y 2 为方程 (y+y 02)2=4⋅14y 2+x 02即 y 2−2y 0y +8x 0−y 02=0的两个不同的实数根． 所以 y 1+y 2=2y 0．因此，PM 垂直于 y 轴．（2） 由（Ⅰ）可知 {y 1+y 2=2y 0,y 1y 2=8x 0−y 02,所以 ∣PM ∣=18(y 12+y 22)−x 0=34y 02−3x 0，∣y 1−y 2∣=2√2(y 02−4x 0)．因此，△PAB 的面积 S △PAB =12∣PM ∣⋅∣y 1−y 2∣=3√24(y 02−4x 0)32．因为 x 02+y 024=1(x 0<0)，所以 y 02−4x 0=−4x 02−4x 0+4∈[4,5]．因此，△PAB 面积的取值范围是 [6√2,15√104]．28. （1） ⊙O 的直角坐标方程为 x 2+y 2=1． 当 α=π2 时，l 与 ⊙O 交于两点．当 α≠π2 时，记 tanα=k ，则 l 的方程为 y =kx −√2．l 与 ⊙O 交于两点当且仅当 ∣∣∣√2√1+k 2∣∣∣<1，解得 k <−1 或 k >1， 即 α∈(π4,π2) 或 α∈(π2,3π4)．综上，α 的取值范围是 (π4,3π4)．（2） l 的参数方程为 {x =tcosα,y =−√2+tsinα（t 为参数，π4<α<3π4）．设 A ，B ，P 对应的参数分别为 t A ，t B ，t P ，则 t P =t A +t B 2，且 t A ，t B 满足 t 2−2√2tsinα+1=0．于是 t A +t B =2√2sinα，t P =√2sinα．又点 P 的坐标 (x,y ) 满足 {x =t P cosα,y =−√2+t P sinα,所以点 P 的轨迹的参数方程是 {x =√22sin2α,y =−√22−√22cos2α（α 为参数，π4<α<3π4）．29. （1） 由 x =ρcosθ，y =ρsinθ 得 C 2 的直角坐标方程为 (x +1)2+y 2=4． （2） 由（1）知 C 2 是圆心为 A (−1,0)，半径为 2 的圆． 由题设知，C 1 是过点 B (0,2) 且关于 y 轴对称的两条射线． 记 y 轴右边的射线为 l 1，y 轴左边的射线为 l 2．由于 B 在圆 C 2 的外面，故 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点等价于 l 1 与 C 2 只有一个公共点且 l 2 与 C 2 有两个公共点，或 l 2 与 C 2 只有一个公共点且 l 1 与 C 2 有两个公共点． 当 l 1 与 C 2 只有一个公共点时，A 到 l 1 所在直线的距离为 2，2=2，故 k =−43 或 k =0，经检验，当 k =0 时，l 1 与 C 2 没有公共点；当 k =−43 时，l 1 与 C 2 只有一个公共点，l 2 与 C 2 有两个公共点，当 l 2 与 C 2 只有一个公共点时，A 到 l 2 所在直线的距离为 2，√k 2+1=2，故 k =0 或 k =43．经检验，当 k =0 时，l 1 与 C 2 没有公共点；当 k =43时，l 2 与 C 2 没有公共点， 综上，所求 C 1 的方程为 y =−43∣x∣+2．30. 因为曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ， 所以曲线 C 是圆心为 (2,0)，直径为 4 的圆．因为直线 l 的极坐标方程为 ρsin (π6−θ)=2，则直线 l 过 A (4,0)，倾斜角为 π6， 所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点． 设另一个交点为 B ，则 ∠OAB =π6． 连接 OB ．因为 OA 为直径，从而 ∠OBA =π2，所以 AB =4cos π6=2√3．因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2√3． 31. （1） 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 x 124+y 123=1，x 224+y 223=1，两式相减，并由 y 1−y 2x 1−x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23⋅k =0．由题设知x 1+x 22=1，y 1+y 22=m ，于是 k =−34m ．由题设得 0<m <32，故 k <−12．（2） 由题意得 F (1,0)．设 P (x 3,y 3)，则 (x 3−1,y 3)+(x 1−1,y 1)+(x 2−1,y 2)=(0,0)． 由（1）及题设得 x 3=3−(x 1+x 2)=1，y 3=−(y 1+y 2)=−2m <0．又点 P 在 C 上，所以 m =34，从而 P (1,−32)，∣FP⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=32． 于是 ∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2−x 12．同理 ∣FB⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=2−x 22． 所以 FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4−12(x 1+x 2)=3． 故 2∣FP⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣+∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣． 32. （1） 设椭圆的焦距为 2c ，由已知得 c 2a 2=59，又由 a 2=b 2+c 2，可得 2a =3b ，由 ∣AB ∣=√a 2+b 2=√13，从而 a =3，b =2， 所以椭圆的方程为x 29+y 24=1．（2） 设点 P 的坐标为 (x 1,y 1)，点 M 的坐标为 (x 2,y 2)， 由题意，x 2>x 1>0， 点 Q 的坐标为 (−x 1,−y 1)，由 △BPM 的面积是 △BPQ 面积的 2 倍，可得 ∣PM ∣=2∣PQ ∣， 从而 x 2−x 1=2[x 1−(−x 1)]，即 x 2=5x 1． 易知直线 AB 的方程为 2x +3y =6，由方程组 {2x +3y =6,y =kx消去 y ，可得 x 2=63k+2．由方程组 {x 29+y 24=1,y =kx消去 y ，可得 x 1=2．由 x 2=5x 1，可得 √9k 2+4=5(3k +2)，两边平方，整理得 18k 2+25k +8=0，解得 k =−89 或 k =−12．当 k =−89 时，x 2=−9<0，不合题意，舍去； 当 k =−12 时，x 2=12，x 1=125，符合题意．所以 k 的值为 −12．33. （1） 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 x 124+y 123=1，x 224+y 223=1．两式相减，并由 y 1−y2x 1−x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23⋅k =0．由题设知x 1+x 22=1，y 1+y 22=m ，于是 k =−34m . ⋯⋯①由题设得 0<m <32，故 k <−12．（2） 由题意得 F (1,0)，设 P (x 3,y 3)，则 (x 3−1,y 3)+(x 1−1,y 1)+(x 2−1,y 2)=(0,0)． 由（1）及题设得 x 3=3−(x 1+x 2)=1，y 3=−(y 1+y 2)=−2m <0，又点 P 在 C 上，所以 m =34，从而 P (1,−32)，∣∣FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=32． 于是 ∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2−x 12．同理 ∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2−x 22．所以 ∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4−12(x 1+x 2)=3．故 2∣∣FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，即 ∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，∣∣FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 成等差数列．设该数列的公差为 d ，则 2∣d ∣=∣∣∣∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣∣=12∣x 1−x 2∣=12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2. ⋯⋯② 将 m =34 代入 ① 得 k =−1．所以 l 的方程为 y =−x +74，代入 C 的方程，并整理得 7x 2−14x +14=0．故 x 1+x 2=2，x 1x 2=128，代入 ② 解得 ∣d ∣=3√2128． 所以该数列的公差为3√2128或 −3√2128． 34. （1） 设椭圆的焦距为 2c ，由已知知 c 2a 2=59，又由 a 2=b 2+c 2，可得 2a =3b ．由已知可得，∣FB ∣=a ，∣AB ∣=√2b ，由 ∣FB ∣⋅∣AB ∣=6√2，可得 ab =6，从而 a =3，b =2． 所以，椭圆的方程为 x 29+y 24=1．（2） 设点 P 的坐标为 (x 1,y 1)，点 Q 的坐标为 (x 2,y 2)． 由已知有 y 1>y 2>0，故 ∣PQ ∣sin∠AOQ =y 1−y 2． 又因为 ∣AQ ∣=y 2sin∠OAB，而 ∠OAB =π4，故 ∣AQ ∣=√2y 2．由∣AQ∣∣PQ∣=5√24sin∠AOQ ，可得 5y 1=9y 2．由方程组 {y =kx,x 29+y 24=1消去 x ，可得 y 1=√9k 2+4．易知直线 AB 的方程为 x +y–2=0，由方程组 {y =kx,x +y −2=0消去 x ，可得 y 2=2k k+1． 由 5y 1=9y 2，可得 5(k +1)=3√9k 2+4，两边平方，整理得 56k 2−50k +11=0，解得 k =12 或 k =1128．所以，k 的值为 12 或 1128．35. （1） 因为椭圆 C 的焦点为 F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，可设椭圆 C 的方程为 x 2a +y 2b =1(a >b >0)．又点 (√3,12) 在椭圆 C 上，所以 {3a 2+14b 2=1,a 2−b 2=3,解得 {a 2=4,b 2=1. 因此，椭圆 C 的方程为 x 24+y 2=1．因为圆 O 的直径为 F 1F 2，所以其方程为 x 2+y 2=3．（2） ①设直线 l 与圆 O 相切于 P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，则 x 02+y 02=3， 所以直线 l 的方程为 y =−x 0y 0(x −x 0)+y 0，即 y =−x 0y 0x +3y 0． 由 {x 24+y 2=1,y =−x 0y 0x +3y 0, 消去 y ，得 (4x 02+y 02)x 2−24x 0x +36−4y 02=0.(∗)因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以 Δ=(−24x 0)2−4(4x 02+y 02)(36−4y 02)=48y 02(x 02−2)=0．因为 x 0,y 0>0，所以 x 0=√2，y 0=1．因此，点 P 的坐标为 (√2,1)．②因为三角形 OAB 的面积为2√67， 所以 12AB ⋅OP =2√67，从而 AB =4√27． 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由 (∗) 得 x 1,2=24x 0±√48y 02(x 02−2)2(4x 02+y 02)， 所以AB 2=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=(1+x 02y 02)⋅48y 02(x 02−2)(4x 02+y 02)2.因为 x 02+y 02=3，所以 AB 2=16(x 02−2)(x 02+1)2=3249，即 2x 04−45x 02+100=0，解得 x 02=52（x 02=20 舍去），则 y 02=12， 因此 P 的坐标为 (√102,√22)． 综上，直线 l 的方程为 y =−√5x +3√2．36. （1） 由题意 B(t,√8t)，∣BF∣=√(t −2)2+8t =t +2．（2） 由 ∣FA∣=1，∣FQ∣∣=2，可得 ∣AQ∣∣=√3， 所以 Q(3,√3)，设线段 OQ 的中点为 M ，则 M (32,√32)， 由题意有 k MF =k PF ，设 P (y 028,y 0)，则 √32−12=y0y 028−2， 解得 y 0=4√33，于是 P (23,4√33)， 所以 S △AQP =12⋅∣AQ∣∣⋅(3−23)=76√3． （3） 设有在 P (y 028,y 0)，Q (8,a )，使得以 FQ ，FP 为邻边的矩形 FPEQ ，中的点 E 在 Γ 上， 则 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(y 028−2,y 0)⋅(6,a )=0， 得 34y 02−12+ay 0=0, ⋯⋯① 由 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得 E (y 028+6,a +y 0)，代入 y 2=8x 得 a 2+2ay 0=48, ⋯⋯② 结合 ①② 得 5y 04+224y 02−768=0，解得 y 02=165，因为 y 0≥0，所以 y 0=4√55，求得 x 0=25， 所以 P (25,4√55)． 37. （1） 由已知得 F (1,0)，l 的方程为 x =1．由已知可得，点 A 的坐标为 (1,√22) 或 (1,−√22)． 所以 AM 的方程为 y =−√22x +√2 或 y =√22x −√2．（2） 当 l 与 x 轴重合时，∠OMA =∠OMB =0∘，当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以 ∠OMA =∠OMB ．当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y =k (x −1)(k ≠0)，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 则 x 1<√2，x 2<√2，直线 MA ，MB 的斜率之和为 k MA +k MB =y 1x1−2+y 2x 2−2， 由 y 1=kx 1−k ，y 2=kx 2−k 得 k MA +k MB =2kx 1x 2−3k (x 1+x 2)+4k (x 1−2)(x 2−2)． 将 y =k (x −1) 代入x 22+y 2=1 得 (2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0， 所以，x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，则 2kx 1x 2−3k (x 1+x 2)+4k =4k 3−4k−12k 3+8k 3+4k 2k 2+1=0． 从而 k MA +k MB =0，故 MA ，MB 的倾斜角互补，所以 ∠OMA =∠OMB ．综上，∠OMA =∠OMB ． 38. （1） 当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x =2，可得 M 的坐标为 (2,2) 或 (2,−2)． 所以直线 BM 的方程为 y =12x +1 或 y =−12x −1． （2） 当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，所以 ∠ABM =∠ABN ．当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y =k (x −2)(k ≠0)，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则 x 1>0，x 2>0．由 {y =k (x −2),y 2=2x,得 ky 2−2y −4k =0， 可知 y 1+y 2=2k ，y 1y 2=−4．直线 BM ，BN 的斜率之和为k BM +k BN =y 1x 1+2+y 2x 2+2=x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2). ⋯⋯① 将 x 1=y 1k +2，x 2=y 2k +2 及 y 1+y 2，y 1y 2 的表达式代入 ① 式分子， 可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=2y 1y 2+4k (y 1+y 2)k =−8+8k =0.所以 k BM +k BN =0，可知 BM ，BN 的倾斜角互补，所以 ∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM =∠ABN ．39. （1） 把点 P (1,2) 代入 y 2=2px ，得 p =2，所以 y 2=4x ，设 l:y =kx +1，显然 k ≠0，联立 {y =kx +1,y 2=4x,ky 2−4y +4=0，由题意有 Δ>0，即 16−4k ⋅4>0，解得 k <1，所以 k 的取值范围是 k <1 且 k ≠0．（2） 设 M (x M ,y M )，N (x N ,y N )， 由 QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有 (x M ,y M −1)=λ(0,−1)， 所以 λ=1−y M ，同理 μ=1−y N ，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由（1）有 {y 1+y 2=4k ,y 1y 2=4k ,直线 PA 的方程为y −2=y 1−2x 1−1(x −1)=y 1−2y 124−1(x −1)=4y 1+2(x −1),令 x =0，得 y M =2y 1y 1+2， 同理有 y N =2y 2y2+2，1λ+1μ=11−y M +11−y N =2+y 12−y 1+2+y 22−y 2=8−2y 1y 24−2(y 1+y 2)+y 1y 2=8−8k 4−8k +4k =2,所以 1λ+1μ为定值 2． 40. （1） 由 {c a =√63,2c =2√2,a 2−b 2=c 2 解得 {a =√3,b =1,c =√2. 则椭圆 M 的方程为 x 23+y 2=1．（2） k =1 时，设 l 方程为 y =x +n ，联立 {y =x +n,x 23+y 2=1 消 y 得 4x 2+6nx +3n 2−3=0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 {x 1+x 2=−3n 2,x 1x 2=3n 2−34.由 Δ>0 得 −2<n <2，∣AB∣=√1+k 2∣x 1−x 2∣=√62⋅√4−n 2. 当 n =0 时，∣AB∣ 最大值为 √6．（3） PA 直线的斜率 k PA =y 1x1+2，PA 直线的方程 y =y 1x 1+2(x +2)，联立 {y =y 1x 1+2(x +2),x 23+y 2=1, 消 y 得 (x 12+4x 1+4+3y 12)x 2+12y 12x +(12y 12−3x 12−12x 1−12)=0， 又 x 123+y 12=1 代入上式得 (4x 1+7)x 2+(12−4x 12)x −(7x 12+12x 1)=0， 设 C (x C ,y C )，由 x 1⋅x C =−(7x 12+12x 1)4x 1+7 得 x C =−(7x 1+12)4x 1+7，y C =y 1x 1+2(x C +2)=y 14x 1+7， 则 C (−(7x 1+12)4x 1+7,y14x 1+7)， 同理 D (−(7x 2+12)4x 2+7,y 24x 2+7)，又 Q (−74,14)，QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14(4x 1+7),4y 1−4x 1−74(4x 1+7))，QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(14(4x 2+7),4y 2−4x 2−74(4x 2+7))， 由 C ，D ，Q 三点共线，知 QC⃗⃗⃗⃗⃗ 与 QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 于是 14(4x 2+7)×4y 1−4x 1−74(4x 1+7)=14(4x 1+7)×4y 2−4x 2−74(4x 2+7)， 整理得 x 1−x 2=y 1−y 2，则 k =y 2−y 1x 2−x 1=1．。
2018年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何
《2018年高考文科数学分类汇编》第九篇：解析几何一、选择题1.【2018全国一卷4】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C D2.【2018全国二卷6】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y =D ．y x = 3.【2018全国二11】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 1-4.【2018全国三卷8】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣5.【2018全国三卷10】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2C ．2D ．6.【2018天津卷7】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A 221412x y -=B221124x y -= C 22139x y -=D 22193x y -= 7.【2018浙江卷2】双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(−2，0)，(2，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，−2)，(0，2)D ．(0，−2)，(0，2)8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）二、填空题1.【2018全国一卷15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．2.【2018北京卷10】已知直线l 过点（1,0）且垂直于x轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.3.【2018北京卷12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>a =_________.4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ，则其离心率的值是 ． 6.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ．7.【2018浙江卷17】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．8.【2018上海卷2】2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 . 9.【2018上海卷12】已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁的最大值为__________三、解答题1.【2018全国一卷20】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．2.【2018全国二卷20】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．3.【2018全国三卷20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．4.【2018北京卷20】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线，求k .5.【2018天津卷19】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为53，||13AB =． （I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．6.【2018江苏卷18】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为26，求直线l 的方程．7.【2018浙江卷21】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．8.【2018上海卷20】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设常数t >2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线τ：²8y x =00x t y （≦≦，≧），l 与x 轴交于点A ，与τ交于点B ，P 、Q 分别是曲线τ与线段AB 上的动点.（1）用t 为表示点B 到点F 的距离；（2）设t =3，2FQ =∣∣，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积； （3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由.参考答案 一、选择题二、填空题1. 222.)0,1( 4.0222=-+x y x8.x y 21±= 9.32+三、解答题1.解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为 1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．2.解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+=，故212224k x x k++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为 2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．3.解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=． 由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，23=．于是11||(22xFA x ==-．同理2||=22x FB -． 所以1214()32FA FB x x +=-+=．故2||=||+||FP FA FB ．4.解：（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||AB x x =-==易得当20m =时，max ||AB ，故||AB． （Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，学科*网 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．5. 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==,从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得1294x k =+． 由215x x =，可得2945(32)k k +=+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．6.解：（1）因为椭圆C 的焦点为12() 3,0,(3,0)F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1(3,)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==．因此，点P 的坐标为(2,1)．②因为三角形OAB 的面积为26， 所以21 26AB OP ⋅=，从而42AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为y =+．7.解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是． 8.解：（1）由抛物线的性质可知，抛物线x y 82=的准线为2-=x ，抛物线上的点B 到焦点)0,2(F 的距离等于点B 到准线2-=x 的距离， 由题意知，点B 的横坐标为t ，则2+=t BF 。
【高三数学试题精选】2018年全国各地高考文科数学平面解析几何试题汇编
2018年全国各地高考文科数学平面解析几何试题汇编
5 c 8=0所截得的弦长等于__________
【答案】
11．（2018年高考东卷（））过点(3,1)作圆的弦,其中最短的弦长为__________
【答案】
三、解答题
12．（2018年高考四川卷（））
已知圆的方程为 ,点是坐标原点直线与圆交于两点
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)设是线段上的点,且请将表示为的函数
【答案】解(Ⅰ)将代入得则 ,(*)由得
所以的取值范围是
(Ⅱ)因为、N在直线l上,可设点、N的坐标分别为 , ,则
, ,又 ,
由得, ,
所以
由(*)知 , ,
所以 ,
因为点Q在直线l上,所以 ,代入可得 ,
由及得 ,即
依题意,点Q在圆c内,则 ,所以 ,
于是, n与的函数关系为 ( )
5 c。
2018年全国各地高考数学分类试题答案及详细解析
2018年全国各地高考数学分类试题答案及详细解析第一节 集合一、选择题：1．（2018北京文）已知集合{}2A x x =<，{}–2,0,1,2B =，则A B =（ ）A ．{}0,1B ．{}–1,0,1C ．{}–2,0,1,2D ．{}–1,0,1,21．【答案】A【解析】2x <，22x ∴-<<，因此{}(){}2,0,1,22,20,1A B =--=，故选A ． 2．（2018北京理）已知集合A ={x ||x |<2}，B ={–2，0，1，2}，则A B =（ ）（A ）{0，1} （B ）{–1，0，1} （C ）{–2，0，1，2} （D ）{–1，0，1，2} 2．【答案】A【解析】2x <，22x ∴-<<，因此{}(){}2,0,1,22,20,1A B =--=，故选A ．3．（2018浙江）已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=U A （ ） A ．∅ B ．{1，3} C ．{2，4，5} D ．{1，2，3，4，5}3.答案：C解答：由题意知U C A ={2,4,5}. 4．（2018天津文）设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-≤<R ，则()A B C =（ ）（A ）{1,1}- （B ）{0,1} （C ）{1,0,1}- （D ）{2,3,4} 4．【答案】C【解析】由并集的定义可得{}1,0,1,2,3,4A B =-，结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C =-．故选C ．5 （2018天津理）设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R A B （ ）(A) {01}x x <≤ (B) {01}x x << (C) {12}x x ≤< (D) {02}x x <<5．【答案】B【解析】由题意可得{}1Bx x =<R ，结合交集的定义可得(){}01A Bx =<<R ，故选B ．6．（2018全国新课标Ⅰ文）已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =（ ）A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 6．答案：A解答：{0,2}A B ⋂=，故选A.7．（2018全国新课标Ⅰ理）已知集合{}220A x x x =-->，则A =R（ ）A ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥7. 答案：B解答：{|2A x x =>或1}x <-，则{|12}R C A x x =-≤≤.8．（2018全国新课标Ⅱ文）已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB =（ ）A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,78．【答案】C【解析】{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，{}3,5A B ∴=，故选C ．9．（2018全国新课标Ⅱ理）已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 （ ）A ．9B ．8C ．5D ．49．【答案】A【解析】223x y +≤，23x ∴≤，x ∈Z ，1x ∴=-，0，1， 当1x =-时，1y =-，0，1；当0x =时，1y =-，0，1； 当1x =-时，1y =-，0，1；所以共有9个，故选A ．10．（2018全国新课标Ⅲ文、理）已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，，10.答案：C解答：∵{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥，{0,1,2}B =，∴{1,2}A B =.故选C.二、填空题：1．（2018江苏）已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B = ▲ ．1．【答案】{}1,8【解析】由题设和交集的定义可知，{}1,8A B =．第二节 常用逻辑用语一.选择题：1．（2018北京文）设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 1．【答案】B【解析】当4a =，1b =，1c =，14d =时，a ，b ，c ，d 不成等比数列，所以不是充分条件；当a ，b ，c ，d 成等比数列时，则ad bc =，所以是必要条件．综上所述，“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要不充分条件．故选B ．2．（2018北京理）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 2．【答案】C【解析】2222223333699+6a b a b a b a b a a b b a a b b -=+⇔-=+⇔-⋅+=⋅+，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0a a b b a a b b a b a b -⋅+=⋅+⇔⋅⇔⊥， 即“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的充分必要条件．故选C ．3．（2018浙江）已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．.答案：A解答：若“//m n ”，平面外一条直线与平面内一条直线平行，可得线面平行，所以“//m α”；当“//m α”时，m 不一定与n 平行，所以“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件.4. （2018上海）已知a R ∈，则“1a ﹥”是“1a1﹤”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件答案：A知识点：一元二次不等式及其解法 考查能力：运算求解能力解析：1a 1﹤→a>1或a<0，由子集推导关系可知选择A 。
2018年全国高考真题分类汇编----解析几何
2018年全国高考真题分类汇编----解析几何一、填空题(1)直线与圆1.（天津文12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．1.2220x y x 2.（全国卷I 文15）直线与圆交于两点，则________．1y x 22230x y y A B ，AB 2.223.（全国卷III 理6改）．直线20x y 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆2222x y 上，则ABP △面积的取值范围是__________．3.26，4.(天津理12)已知圆的圆心为C ，直线(为参数)与该圆相交于A ，B 两点，2220x y x 21,2232x t y t t 则的面积为. ABC △4.125.（北京理7改）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线的距离，当θ，m20x my 变化时，d 的最大值为__________．5.36.（北京文7改）在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P 在其中,,,AB CD EF GH 221x y 一段上，角以OA 为始边，OP 为终边，若，则P 所在的圆弧是__________．tan cos sin 6.EF7.（江苏12）在平面直角坐标系中，A 为直线上在第一象限内的点，，以AB 为直径xOy :2l y x (5,0)B 的圆C 与直线l 交于另一点D ．若，则点A 的横坐标为__________．0AB CD 7.38.（上海12）已知实数、、、满足：，，，则1x 2x 1y 2y 22111x y 22221x y 121212x x y y 的最大值为_________.11221122x y x y 8.32（2）椭圆抛物线双曲线基本量。
2018年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何
2018年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《2018年高考文科数学分类汇编》第九篇：解析几何一、选择题1.【2018全国一卷4】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12CD2.【2018全国二卷6】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>方程为A ．y =B ．y =C ．y =D ．y = 3.【2018全国二11】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 14.【2018全国三卷8】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣ 5.【2018全国三卷10】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2C ．2D ．6.【2018天津卷7】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A 221412x y -=B 221124x y -= C 22139x y -=D 22193x y -= 7.【2018浙江卷2】双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(−2，0)，(2，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，−2)，(0，2)D ．(0，−2)，(0，2)8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A.2B.2C.2D.4二、填空题1.【2018全国一卷15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．2.【2018北京卷10】已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.3.【2018北京卷12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>5a =_________.4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ，则其离心率的值是 ． 6.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ．7.【2018浙江卷17】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．8.【2018上海卷2】2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 .9.【2018上海卷12】已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁的最大值为__________三、解答题1.【2018全国一卷20】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．2.【2018全国二卷20】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．3.【2018全国三卷20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．4.【2018北京卷20】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3，焦距为.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线，求k .5.【2018天津卷19】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3，||AB = （I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．6.【2018江苏卷18】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为26，求直线l 的方程．7.【2018浙江卷21】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围． PMBAOyx8.【2018上海卷20】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设常数t >2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线τ：²8y x =00x t y （≦≦，≧），l 与x 轴交于点A ，与τ交于点B ，P 、Q 分别是曲线τ与线段AB 上的动点.（1）用t 为表示点B 到点F 的距离；（2）设t =3，2FQ =∣∣，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积； （3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由.参考答案 一、选择题1.C2.A3.D4.A5.D6.C7.B8.C二、填空题1. 222.)0,1(3.44.0222=-+x y x 5.2 6.3 7.58.x y 21±= 9.32+三、解答题1.解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ． 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．2.解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1．因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．3.解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y yk +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，23=．于是11||(22xFA x ==-．同理2||=22x FB -． 所以1214()32FA FB x x +=-+=． 故2||=||+||FP FA FB ．4.解：（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||2AB x x =-==，易得当20m =时，max ||AB =，故||AB． （Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②， 又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，学科*网 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．5. 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==,从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x = 由215x x =5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．6.解：（1）因为椭圆C 的焦点为12() 3,0,(3,0)F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1(3,)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==． 因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为26， 所以21 26AB OP ⋅=，从而42AB =．设1122,,()(),A x y B x y ， 由（*）得001,2x ，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为． 综上，直线l的方程为y =+．7.解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -=因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是． 8.解：（1）由抛物线的性质可知，抛物线x y 82=的准线为2-=x ，抛物线上的点B 到焦点)0,2(F 的距离等于点B 到准线2-=x 的距离， 由题意知，点B 的横坐标为t ，则2+=t BF 。
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3k 2
x2 y2 94 y kx
1 消去 y ，可得 x1
6 9k2
, 由 x2 4
5x1 可得
9k 2 当k
4 5(3k 2) ，两边平方，整理得 18k 2 25k 8
8 时， x2 9
9＜ 0 ，不合题意，舍去；当 k
0 ，解得 k 1 时， x2 2
8 ，或 k
1 .
9
2
12, x1 12 ,符合 5
A．1 3 2
答案： D
B． 2 3
C． 3 1 2
D． 3 1
（全国 2 卷 20）设抛物线 C：y 2 4 x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k( k 0) 的直线 l 与 C 交于 A， B 两点， | AB | 8 ．
（ 1）求 l 的方程； （ 2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
答案：
2
x
-
2x+
2
y=
0
解析：因为圆过（ 0,0）（2,0） 所以圆心在 x=1 上，设其坐标为（ 1，b） 又因为（ 1,1）在圆上
所以 r = 1- b = 1+ b2 ? b 0, r = 1
( x - 1)2 + y2 = 1, 即 x2 - 2x + y 2 = 0
（天津卷 19）
(19) （本小题满分 14 分）
据医学文献记载 ,一个健康的青少年学生 30 分钟用脑 ,血糖浓度在 120 毫克 /100 毫升 ,大脑反应快 ,记忆力强； 90 分钟用脑， 血糖浓度降至 80 毫克 /100 毫升， 大脑功能尚正常； 连续 120 分钟用脑， 血糖浓度降至 60 毫克 /100 毫升，大脑反应迟钝，思维能力较 4
答案： A
解析： e c 2， c 2a ， a
在梯形 ABCD 中， AC+BD 2FE , FE 为渐焦距 =b ， d1 d2 2b 6 b 3 Q a 2 b2 c 2 a 2=3, b 2 9, c2 12
x2 y2 1
39
（天津卷 12） 在平面直角坐标系中，经过三点（ 0，0），（ 1， 1），（2， 0）的圆的 方程为
答案：（ 1,0）
（北京卷 12）
截得的线段长
答案： 4
（北京卷 20）已知椭圆 为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A，B. （Ⅰ）求椭圆 M 的方程；
的离心率为
，焦距 2
.斜率
（Ⅱ）若
，求
的最大值；
（Ⅲ）设 点 D .若 C,D 和点
，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点 C，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交 共线，求 k.
（天津卷
7 ）已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b 0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x
轴的直线与双曲线交于 A, B 两点，设 A, B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为
d1和 d2 且 d1 +d2 =6 ，则双曲线方程为
（ A） x2 y2 1 （B） x2 y2 1 （C） x2 y2 1 （D） x2 y2 1
设椭圆
x2 a2
y2 b2
1( a
b
0 ) 的右顶点为 A，上顶点为 B，已知椭圆的离心率
为 5 , AB | 13 . 3
（ I ）求椭圆的方程；
（ II ）设直线 l : y kx ( k 0) 与椭圆交于 P,Q 两点， l 与直线 AB交于点 M，且点
P,M 均在第四象限，若 VBPM 的面积是 VBPQ 面积的 2 倍，求 k 的值。
答案：（ 1）由题意得 F （ 1， 0）， l 的方程为 y=k（ x–1）（ k>0）． 设 A（ x1， y1 ）， B（ x2，y2）．
由
y k(x y2 4x
1) 得
k2 x2
(2 k 2
4) x k 2
0．
16k 2
16 0 ，故 x1
x2
2k2 4 2．
k
所以 AB
AF
4k2 4
BF ( x1 1) (x2 1)
（全国 1 卷 4） 答案： （全国 1 卷 15） 答案：
（全国 1 卷 20） 答案：
（全国 2 卷 6）双曲线 x2 a2
y2 b2
1( a
0, b
0) 的离心率为
3 ，则其渐近线方程为
A． y 2x 答案： A
B ． y 3x
C． y
2x
2
D． y
3x
2
（全国 2 卷 11）已知 F1 ， F2 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点，若 PF1 PF2 ，且 PF2 F1 60 ，则 C 的离心率为
2
x0 1)
解得 x0
16.
y0
3， 或
x0
11，
2
y0 6.
2
因此所求圆的方程为
(x 3)2 ( y 2) 2 16 或 (x 11)2 ( y 6)2 144 ．
（全国 3 卷 8）
答案： A （全国 3 卷 10）
答案： D
（全国 3 卷 20）
答案：
（北京卷 10）已知直线 l 过点（ 1,0）且垂直于 ??轴，若 l 被抛物线 为 4，则抛物线的焦点坐标为 ________.
点 Q的坐标为 ( x1, y1 ) 。由 VBPM 的面积是 VBPQ 面积的 2 倍，可得 |PM | 2 | PQ | ,
从而 x2 x1 2[ x1 ( x1)], 即 x2 5x1 。
2x 3y 6
易知直线 AB 的方程为 2x 3y 6 , 由方程组
消去 y ，可得
y kx
x2
6 , 由方程组
答案：
（I ）解：设椭圆的焦距为
2c，由已知有
c2 a2
5 ，又由 a2 b2 c2 ，可得 2a 3b 。 9
由 AB | a2 b2 13 ，从而 a 3,b 2 。
所以椭圆的方程为 x2 y 2 1. 94
（II ）解：设点 P 的坐标为 ( x1, y1），点 M 的坐标为（ x2, y2 ) , 由题意，x2＞ x1＞0 ,
题意。
所以 k 的值为 1 。 2
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2．
k
2
由题设知
4k k2
4
8 ，解得 k=–1（舍去），k=1 ．
因此 l 的方程为 y=x–1．
（ 2）由（ 1）得 AB 的中点坐标为 （ 3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为 y 2
( x 3) ，
即 y x 5．
设所求圆的圆心坐标为（ x0， y0），则
y0
x0
(x0 1)2
5， ( y0