2019年高考数学分类汇编:专题九解析几何

第九篇:解析几何

一、选择题

1.【2018全国一卷8】设抛物线C :y 2

=4x 的焦点为F ,过点(–2,0)且斜率为

23

的直线与

C 交于M ,N 两点,则FM

FN =

A .5

B .6

C .7

D .8

2.【2018全国一卷11】已知双曲线C :

2

2

13

x

y

,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过

F

的直线与C 的两条渐近线的交点分别为

M 、N.若△OMN 为直角三角形,则

|MN |=

A .32

B .3

C .23

D .4

3.【2018全国二卷5】双曲线2

2

2

21(0,0)x y a b

a b

的离心率为

3,则其渐近线方程为

A .2y

x

B .3y

x

C .22

y

x

D .32

y

x

4.【2018全国二卷12】已知1F ,2F 是椭圆2

2

2

21(0)x

y C a b

a

b

:的左、右焦点,A 是C 的

左顶点,点P 在过A 且斜率为36

的直线上,12PF F △为等腰三角形,

12120F F P ,

则C 的离心率为

A .23

B .12

C .

13

D .

14

5.【2018全国三卷

6】直线2

0x y 分别与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆

2

2

2

2x

y

上,则

ABP △面积的取值范围是

A .26,

B .48

,C .

232

,D .2232

,6.【2018全国三卷11】设12F F ,是双曲线2

2

221x y C a b

(00a b ,)的左,右焦点,

O

是坐标原点.过

2F 作C 的一条渐近线的垂线,垂足为

P .若1

6PF OP ,则C 的离

心率为

A .5

B .2

C .3

D .2

7.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线2

0x

my 的

距离,当θ,m 变化时,d 的最大值为

A.1

B.2

C.3

D.4

8.【2018天津卷7】已知双曲线2

2

2

21(0,0)x y a b a

b

的离心率为2,过右焦点且垂直

于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点. 设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为

1

d 和2d ,且

1

2

6d d ,则双曲线的方程为

A

2

2

1

4

12

x

y B 2

2

1

12

4

x y C

2

2

1

39

x y D

2

2

1

9

3

x y 9.【2018浙江卷2】双曲线

2

2

13

=x

y 的焦点坐标是

A .(-

2,0),(2,0)

B .(-2,0),(2,0)

C .(0,-

2),(0,2)

D .(0,-2),(0,2)

10.【2018上海卷13】设P 是椭圆25

x +

23

y =1上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离

之和为(

A.2

B.2

C.2

D.4

二、填空题

1.【2018全国三卷16】已知点11M ,和抛物线2

4C y

x :,过C 的焦点且斜率为k 的直

线与C 交于A ,B 两点.若90AMB

∠,则k

________.

2.【2018北京卷14】已知椭圆2

2

2

21(0)x

y M a b

a

b

:,双曲线2

2

2

21x

y N m

n

:.若双曲线N

的两条渐近线与椭圆

M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,

椭圆M 的离心率为__________;双曲线N 的离心率为__________.

3.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系

xOy 中,若双曲线

2

2

221(0,0)x y a b a

b

的右焦点

(,0)F c 到一条渐近线的距离为32

c ,则其离心率的值是

4.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x 上在第一象限内的点,

(5,0)B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD ,则点A 的横坐标

5.【2018浙江卷17】已知点P(0,1),椭圆2

4

x +y 2

=m(m>1)上两点A ,B 满足AP =2PB ,则

当m=___________时,点B 横坐标的绝对值最大.

6.【2018上海卷2】2.双曲线

2

2

14

x

y

的渐近线方程为

.

7.【2018上海卷12】已知实数x?、x?、y?、y?满足:2

21x y ??,221x y ??,212

x x y y ???

12

x y ∣??∣+

1

2

x y ∣??∣的最大值为__________

三、解答题

1.【2018全国一卷19】设椭圆2

2

:

12

x

C y

的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于,A B 两

点,点M 的坐标为

(2,0).

(1)当l 与

x 轴垂直时,求直线

AM 的方程;

(2)设O 为坐标原点,证明:OMA OMB .

2.【2018全国二卷19】设抛物线2

4C y

x :的焦点为F ,过F 且斜率为(0)k k

的直线l 与

C 交于A ,B 两点,||

8AB .

(1)求l 的方程;

(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.

3.【2018全国三卷20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆2

2

14

3

x

y

C :

交于A ,B 两点,线段AB

的中点为10M m m

,.

(1)证明:12

k

(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP FA FB 0.证明:FA ,FP ,FB

成等差数列,并求该数列的公差.

4.【2018北京卷19】已知抛物线C :2

y =2px 经过点P (1,2).过点Q (0,1)的直线l

与抛物线C 有两个不同的交点

A ,

B ,且直线PA 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N .

(Ⅰ)求直线

l 的斜率的取值范围;

(Ⅱ)设O 为原点,QM QO ,QN QO ,求证:1

1

为定值.

5.【2018天津卷19】设椭圆2

2

2

21x

x a

b

(a>b>0)的左焦点为F ,上顶点为 B. 已知椭圆的离

心率为

53

,点A 的坐标为

(,0)b ,且62FB AB .

(I )求椭圆的方程;

(II )设直线l :

(0)y kx k 与椭圆在第一象限的交点为

P ,且l 与直线AB 交于点Q.

52

sin 4

AQ AOQ PQ

(O 为原点) ,求k 的值. 】

6.【2018江苏卷18】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点1(3,

)2

,焦点

12(

3,0),(3,0)F F ,圆O 的直径为12F F .

(1)求椭圆C 及圆O 的方程;

(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .

①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点

P 的坐标;

②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.若OAB △的面积为267

,求直线l 的方程.

7.【2018浙江卷21】如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线C :y 2

=4x 上存在

不同的两点A ,B 满足PA ,PB 的中点均在C 上.(Ⅰ)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;

(Ⅱ)若P 是半椭圆x 2+2

4

y =1(x<0)上的动点,求△PAB 面积的取值范围.

P

M

B

A

O

y x

8.【2018上海卷20】20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,

第2小题满分6分,第3小题满分6分)

设常数t>2,在平面直角坐标系xOy 中,已知点F (2,0),直线l :x=t ,曲线

28y x 00x t y (≦≦,≧),l 与x 轴交于点A ,与

交于点B ,P 、Q 分别是曲线

与线段

AB 上的动点.

(1)用t 为表示点B 到点F 的距离;

(2)设t=3,2FQ ∣∣,线段OQ 的中点在直线FP 上,求△AQP 的面积;

(3)设t=8,是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在

上?若存在,求

点P 的坐标;若不存在,说明理由

.

参考答案一、选择题1.D

2.B

3.A

4.D

5.A

6.C

7.C

8.C

9.B

10.C

二、填空题

1. 2

2.312

3.2

4.3

5.5

6.x y

2

17.3

2三、解答题

1.解:(1)由已知得(1,0)F ,l 的方程为x=1.

由已知可得,点

A 的坐标为2(1,

)2

或2(1,

)2

.

所以AM 的方程为222

y

x 或222

y

x .

(2)当l 与x 轴重合时,

0OMA OMB .

当l 与x 轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线,所以

OMA

OMB .

当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k

,1221(,),(,)A y x y x B ,

122,2x x ,直线MA ,MB 的斜率之和为2

12

1

2

2

MA MB

x x y y k k .

1122,y k k x y k x k 得:12

121

2

(23()42)(2)

MA

MB

x x x x k k x x k

k k .

将(1)y k x 代入

2

2

12

x

y

得:2

2

22

(21)4220k

x

k x k

.

所以,2

12

2

122

2

422,21

21

x x x k k

k

x k

.

则3

13

13

222

44128423()

4021

k k k

k k

k k k

k

x x x x .

从而

0MA MB

k k ,故MA ,MB 的倾斜角互补,所以

OMA OMB .

综上,

OMA

OMB .

2.解:(1)由题意得(1,0)F ,l 的方程为(1)(0)y k x k

1221(,),(,)A y x y x B ,由

2

(1),4y k x y

x

22

2

2

(24)0k x

k

x k

2

1616

0k

,故1

2

22

24

k

x k

x .

所以12

2

44

||||

||(1)(1)

x k

AB AF BF k

x .

由题设知

2

2

44

8k

k

,解得1k (舍去),1k .

因此l 的方程为1y x .

(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x ,

即5y

x .

设所求圆的圆心坐标为

00(,)x y ,则

002

2

00

5,(1)

(1)

16.

2

y x y x x 解得

00

3,2

x y 或

00

11,6.

x y 因此所求圆的方程为

2

2

(3)(2)

16x y 或2

2

(11)

(6)

144x y .

3.解:(1)设1221(,),(,)A y x y x B ,则

2

2

2

2

1

21

21,

1434

3

y x y x

.

两式相减,并由

1221y x y k x 得:

1

12204

3

y x y k x .

由题设知

1

2

1

2

1,2

2

x y x y m ,于是:3

4k m

.①

由题设得302

m ,故12

k

.

(2)由题意得(1,0)F ,设

33(,)P x y ,则:331122(1,)(1,)(1,)

(0,0)y x x y x y .

由(1)及题设得

33

2121

3()1,()

20y y x x y x m .

又点P 在C 上,所以34

m ,从而3(1,)2

P ,3||

2

FP .

于是:

2

22

1

1

111||

(1)

(1)

3(1

)2

4

2

x x FA x x y

.

同理2||2

2

x FB .

所以121||||4

()

32

FA FB x x .

2||||||FP FA FB ,即||,||,||FA FP FB 成等差数列.

设该数列公差为

d ,则:1122

212112||||||||

||()42

2

FB FA x x x x x x d .②

将34

m

代入①得1k . 所以l 的方程为74

y x

,代入C 的方程,并整理得

2

171404

x

x .

故1212

12,28

x x x x ,代入②解得321||

28

d .

所以该数列的公差为

321

28

或321

28

. 4.解:(Ⅰ)因为抛物线y 2

=2px 经过点P (1,2),

所以4=2p ,解得p=2,所以抛物线的方程为y 2

=4x .

由题意可知直线

l 的斜率存在且不为

0,

设直线l 的方程为y=kx +1(k ≠0).

2

41

y x y

kx

得22

(24)10k x

k x .

依题意

2

2

(24)

410k k

,解得k<0或0

又PA ,PB 与y 轴相交,故直线l 不过点(1,-2).从而k ≠-3.

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