2019年高考数学分类汇编：专题九解析几何
第九篇：解析几何
一、选择题
1.【2018全国一卷8】设抛物线C ：y 2
=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为
23
的直线与
C 交于M ，N 两点，则FM
FN =
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
2.【2018全国一卷11】已知双曲线C ：
2
2
13
x
y
，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过
F
的直线与C 的两条渐近线的交点分别为
M 、N.若△OMN 为直角三角形，则
|MN |=
A ．32
B ．3
C ．23
D ．4
3.【2018全国二卷5】双曲线2
2
2
21(0,0)x y a b
a b
的离心率为
3，则其渐近线方程为
A ．2y
x
B ．3y
x
C ．22
y
x
D ．32
y
x
4.【2018全国二卷12】已知1F ，2F 是椭圆2
2
2
21(0)x
y C a b
a
b
：的左、右焦点，A 是C 的
左顶点，点P 在过A 且斜率为36
的直线上，12PF F △为等腰三角形，
12120F F P ，
则C 的离心率为
A ．23
B ．12
C ．
13
D ．
14
5.【2018全国三卷
6】直线2
0x y 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆
2
2
2
2x
y
上，则
ABP △面积的取值范围是
A ．26，
B ．48
，C ．
232
，D ．2232
，6.【2018全国三卷11】设12F F ，是双曲线2
2
221x y C a b
：
（00a b ，）的左，右焦点，
O
是坐标原点．过
2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为
P ．若1
6PF OP ，则C 的离
心率为
A ．5
B ．2
C ．3
D ．2
7.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线2
0x
my 的
距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为
A.1
B.2
C.3
D.4
8.【2018天津卷7】已知双曲线2
2
2
21(0,0)x y a b a
b
的离心率为2，过右焦点且垂直
于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为
1
d 和2d ，且
1
2
6d d ，则双曲线的方程为
A
2
2
1
4
12
x
y B 2
2
1
12
4
x y C
2
2
1
39
x y D
2
2
1
9
3
x y 9.【2018浙江卷2】双曲线
2
2
13
=x
y 的焦点坐标是
A ．(-
2，0)，(2，0)
B ．(-2，0)，(2，0)
C ．(0，-
2)，(0，2)
D ．(0，-2)，(0，2)
10.【2018上海卷13】设P 是椭圆25
x +
23
y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离
之和为（
）
A.2
B.2
C.2
D.4
二、填空题
1.【2018全国三卷16】已知点11M ，和抛物线2
4C y
x ：，过C 的焦点且斜率为k 的直
线与C 交于A ，B 两点．若90AMB
∠，则k
________．
2.【2018北京卷14】已知椭圆2
2
2
21(0)x
y M a b
a
b
：，双曲线2
2
2
21x
y N m
n
：．若双曲线N
的两条渐近线与椭圆
M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，
则
椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．
3.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系
xOy 中，若双曲线
2
2
221(0,0)x y a b a
b
的右焦点
(,0)F c 到一条渐近线的距离为32
c ，则其离心率的值是
．
4.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x 上在第一象限内的点，
(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ，则点A 的横坐标
为
．
5.【2018浙江卷17】已知点P(0，1)，椭圆2
4
x +y 2
=m(m>1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则
当m=___________时，点B 横坐标的绝对值最大．
6.【2018上海卷2】2.双曲线
2
2
14
x
y
的渐近线方程为
.
7.【2018上海卷12】已知实数x?、x?、y?、y?满足：2
21x y ??，221x y ??，212
x x y y ???
，
则
12
x y ∣??∣+
1
2
x y ∣??∣的最大值为__________
三、解答题
1.【2018全国一卷19】设椭圆2
2
:
12
x
C y
的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两
点，点M 的坐标为
(2,0).
（1）当l 与
x 轴垂直时，求直线
AM 的方程；
（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB .
2.【2018全国二卷19】设抛物线2
4C y
x ：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k
的直线l 与
C 交于A ，B 两点，||
8AB ．
（1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
3.【2018全国三卷20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆2
2
14
3
x
y
C ：
交于A ，B 两点，线段AB
的中点为10M m m
，．
（1）证明：12
k
；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB 0．证明：FA ，FP ，FB
成等差数列，并求该数列的公差．
4.【2018北京卷19】已知抛物线C ：2
y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l
与抛物线C 有两个不同的交点
A ，
B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．
（Ⅰ）求直线
l 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O 为原点，QM QO ，QN QO ，求证：1
1
为定值．
5.【2018天津卷19】设椭圆2
2
2
21x
x a
b
(a>b>0)的左焦点为F ，上顶点为 B. 已知椭圆的离
心率为
53
，点A 的坐标为
(,0)b ，且62FB AB .
（I ）求椭圆的方程；
（II ）设直线l ：
(0)y kx k 与椭圆在第一象限的交点为
P ，且l 与直线AB 交于点Q.
若
52
sin 4
AQ AOQ PQ
(O 为原点) ，求k 的值. 】
6.【2018江苏卷18】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,
)2
，焦点
12(
3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．
（1）求椭圆C 及圆O 的方程；
（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点
P 的坐标；
②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为267
，求直线l 的方程．
7.【2018浙江卷21】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2
=4x 上存在
不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；
（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+2
4
y =1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．
P
M
B
A
O
y x
8.【2018上海卷20】20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，
第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设常数t>2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线
：
28y x 00x t y （≦≦，≧），l 与x 轴交于点A ，与
交于点B ，P 、Q 分别是曲线
与线段
AB 上的动点.
（1）用t 为表示点B 到点F 的距离；
（2）设t=3，2FQ ∣∣，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在
上？若存在，求
点P 的坐标；若不存在，说明理由
.
参考答案一、选择题1.D
2.B
3.A
4.D
5.A
6.C
7.C
8.C
9.B
10.C
二、填空题
1. 2
2.312
3.2
4.3
5.5
6.x y
2
17.3
2三、解答题
1.解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x=1.
由已知可得，点
A 的坐标为2(1,
)2
或2(1,
)2
.
所以AM 的方程为222
y
x 或222
y
x .
（2）当l 与x 轴重合时，
0OMA OMB .
当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以
OMA
OMB .
当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k
，1221(,),(,)A y x y x B ，
则
122,2x x ，直线MA ，MB 的斜率之和为2
12
1
2
2
MA MB
x x y y k k .
由
1122,y k k x y k x k 得：12
121
2
(23()42)(2)
MA
MB
x x x x k k x x k
k k .
将(1)y k x 代入
2
2
12
x
y
得：2
2
22
(21)4220k
x
k x k
.
所以，2
12
2
122
2
422,21
21
x x x k k
k
x k
.
则3
13
13
222
44128423()
4021
k k k
k k
k k k
k
x x x x .
从而
0MA MB
k k ，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以
OMA OMB .
综上，
OMA
OMB .
2.解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k
．
设
1221(,),(,)A y x y x B ，由
2
(1),4y k x y
x
得
22
2
2
(24)0k x
k
x k
．
2
1616
0k
，故1
2
22
24
k
x k
x ．
所以12
2
44
||||
||(1)(1)
x k
AB AF BF k
x ．
由题设知
2
2
44
8k
k
，解得1k （舍去），1k ．
因此l 的方程为1y x ．
（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x ，
即5y
x ．
设所求圆的圆心坐标为
00(,)x y ，则
002
2
00
5,(1)
(1)
16.
2
y x y x x 解得
00
3,2
x y 或
00
11,6.
x y 因此所求圆的方程为
2
2
(3)(2)
16x y 或2
2
(11)
(6)
144x y ．
3.解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则
2
2
2
2
1
21
21,
1434
3
y x y x
.
两式相减，并由
1221y x y k x 得：
1
12204
3
y x y k x .
由题设知
1
2
1
2
1,2
2
x y x y m ，于是：3
4k m
.①
由题设得302
m ，故12
k
.
（2）由题意得(1,0)F ，设
33(,)P x y ，则：331122(1,)(1,)(1,)
(0,0)y x x y x y .
由（1）及题设得
33
2121
3()1,()
20y y x x y x m .
又点P 在C 上，所以34
m ，从而3(1,)2
P ，3||
2
FP .
于是：
2
22
1
1
111||
(1)
(1)
3(1
)2
4
2
x x FA x x y
.
同理2||2
2
x FB .
所以121||||4
()
32
FA FB x x .
故
2||||||FP FA FB ，即||,||,||FA FP FB 成等差数列.
设该数列公差为
d ，则：1122
212112||||||||
||()42
2
FB FA x x x x x x d .②
将34
m
代入①得1k . 所以l 的方程为74
y x
，代入C 的方程，并整理得
2
171404
x
x .
故1212
12,28
x x x x ，代入②解得321||
28
d .
所以该数列的公差为
321
28
或321
28
. 4.解：（Ⅰ）因为抛物线y 2
=2px 经过点P （1，2），
所以4=2p ，解得p=2，所以抛物线的方程为y 2
=4x ．
由题意可知直线
l 的斜率存在且不为
0，
设直线l 的方程为y=kx +1（k ≠0）．
由
2
41
y x y
kx
得22
(24)10k x
k x ．
依题意
2
2
(24)
410k k
，解得k<0或0 又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3．