全国高考理科数学历年试题分类汇编
高考新课标全国卷理科数学分类汇编
2011—2017年新课标全国卷理科数学【2018年】数学（2011—2017）真题分类汇编班级：姓名：砚山县第二高级中学王永富目录1、集合与常用逻辑用语 (1)2、函数及其性质 (2)3、导数及其应用 (4)4、三角函数、解三角形 (11)5、平面向量 (16)6、数列 (17)7、不等式、线性规划、推理与证明 (20)8、立体几何 (22)9、解析几何 (30)10、统计、概率分布、计数原理 (40)11、复数及其运算 (55)12、程序框图 (57)13、坐标系与参数方程 (60)14、不等式选讲 (66)1．集合与常用逻辑用语一、选择题【2017，1】已知集合{}1A x x =<，{}31xB x =<，则（ ）A ．{|0}AB x x =<I B ．A B =R UC ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I 【2016，1】设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则A B =I （ ）A ．)23,3(--B ．)23,3(-C ．)23,1(D ．)3,23(【2015，3】设命题p ：n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（ ）A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n ≤C ．n ∀∈N ，22n n ≤D ．n ∃∈N ，22n n =【2014，1】已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=( )A ．[-2,-1]B ．[-1,2）C ．[-1,1]D ．[1,2）【2013，1】已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B【2012，1】已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x A ∈，y A ∈，x y A -∈}，则B 中包含元素的个数为（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．10（2017·2）设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =I ，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5（2016·2）已知集合A ={1，2，3}，B ={x |(x +1)(x -2)<0，x ∈Z }，则A B =U （ ）A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{-1，0，1，2，3}（2015·1）已知集合A ={-2，-1，0，2}，B ={x |(x -1)(x +2)<0}，则A ∩B =（ ）A ．{-1，0}B ．{0，1}C ．{-1，0，1}D ．{0，1，2}（2014·1）设集合M ={0, 1, 2}，N ={}2|320x x x -+≤，则M N I =（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{0，1}D ．{1，2}（2013·1）已知集合M ={x|(x -1)2 < 4, x ∈R }，N ={-1，0，1，2，3}，则M ∩ N =（ ）A .{0, 1, 2}B .{-1, 0, 1, 2}C .{-1, 0, 2, 3}D .{0, 1, 2, 3}（2012·1）已知集合A ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={(x ,y )| x ∈A , y ∈A , x -y ∈A }，则B 中所含元素的个数为（ ）A. 3B. 6C. 8D. 10（2011·10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题中真命题是（ ）12:+10,3P πθ⎡⎫>⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 22:1,3P πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦a b3:10,3P πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 4:1,3P πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦a bA ． P 1，P 4B ．P 1，P 3C ．P 2，P 3D ．P 2，P 42．函数及其性质一、选择题【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]【2017，11】设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z 【2016，7】函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【2016，8】若1>>b a ，10<<c ，则（ ）A ．c c b a <B ．cc ba ab < C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <【2014，3】设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x ()g x 是偶函数B ．|()f x |()g x 是奇函数C ．()f x |()g x |是奇函数D ．|()f x ()g x |是奇函数【2013，11】已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 【2012，10】已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为（ ）【2011，12】函数11yx =-的图像与函数2sin (24)yx x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【2011，2】下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ） A ．3y x = B ．1y x =+ C ．21y x =-+ D ．2xy -=【2015，13】若函数f (x )=x ln （x a = （2016·12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1()mi i i x y =+=∑ （ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m（2013·8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）A .c b a >>B .b c a >>C .a c b >>D .a b c >>（2013·10）已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）A .00,()0x f x ∃∈=RA ．B ．D ．B .函数()y f x =的图像是中心对称图形C .若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D .若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=（2011·2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ） A ．3y x = B ．||1y x =+ C ．21y x =-+ D ．||2x y -=（2014·15）已知偶函数f (x )在[0, +∞)单调递减，f (2)=0. 若f (x -1)>0，则x 的取值范围是_________.3．导数及其应用一、选择题【2014，11】已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A ．（2，+∞） B ．（-∞，-2） C ．（1，+∞） D ．（-∞，-1） 【2012，12】设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（ ） A ．1ln2-B 2(1ln 2)-C ．1ln2+D 2(1ln 2)+【2011，9】由曲线y x =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103 B ．4 C ．163D ．6 二、填空题【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ， CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC ．的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______．【2013，16】若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________．（2017·11）若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e -- C.35e - D.1（2016·12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1()mi i i x y =+=∑ （ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m（2015·5）设函数211log (2)(1)()2(1)x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(l og 12)f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12（2015·10）如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP =x. 将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．（2015·12）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当x >0时，()()0xf x f x '-<，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(1,0)(1,)-+∞UC ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)+∞U（2014·8）设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ，则a =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3（2014·12）设函数()3x f x m π=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是（ ） A ．(,6)(6,+)-∞-∞UB ．(,4)(4,+)-∞-∞UC ．(,2)(2,+)-∞-∞UD ．(,1)(4,+)-∞-∞U （2013·8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）A .c b a >>B .b c a >>C .a c b >>D .a b c >>（2012·12）设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为（ ） A. 2ln 1-B.)2ln 1(2-C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+（2011·2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ） A ．3y x = B ．||1y x =+ C ．21y x =-+ D ．||2x y -=（2011·9）由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103B ．4C ．163D ．6（2011·12）函数11y x =-的图像与函数2sin ,(24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8（2014·15）已知偶函数f (x )在[0, +∞)单调递减，f (2)=0. 若f (x -1)>0，则x 的取值范围是_________.（2016·16）若直线y = kx +b 是曲线y = ln x +2的切线，也是曲线y = ln(x +1)的切线，则b = .三、解答题【2017，12】已知函数()()22xx f x aea e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【2016，12】已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．【2015，12】已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数min{),()(}()h x f x g x =（0x >），讨论()h x 零点的个数．【2014，21】设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >．【2013，21】设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2．(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．【2012，21】已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-． （1）求)(x f 的解析式及单调区间；（2）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值．【2011，21】已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．三、解答题（2017·21）已知函数2()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2ef x --<<.（2016·21）（Ⅰ）讨论函数2()2xx f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，(2)20x x e x -++>； （Ⅱ）证明：当[0,1)a ∈时，函数2()=(0)x e ax ag x x x -->有最小值.设g (x )的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.14．（2015·21）设函数2()mx f x e x mx =+-.（Ⅰ）证明：f (x )在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）若对于任意x 1,，x 2∈[-1，1]，都有｜f (x 1)- f (x 2)｜≤ e -1，求m 的取值范围．15．（2014·21）已知函数()2x x f x e e x -=--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()(2)4()g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<，估计ln2的近似值（精确到0.001）.16．（2013·21）已知函数()ln()x f x e x m =-+.（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >.17.（2012·21）已知函数121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+. （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值.18．（2011·21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围.6．二项式定理一、选择题（2013·5）已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（ ）A .4-B .3-C .2-D .1-（2011·8）51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）A ．- 40B ．- 20C ．20D ．40（2015·15）4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =_______． （2014·13）10()x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.4．三角函数、解三角形一、选择题【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【2016，12】已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【2015，8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z B ．13(2,2),44k k k ππ-+∈Z C ．13(,),44k k k -+∈Z D ．13(2,2),44k k k -+∈Z【2015，2】sin 20cos10cos160sin10-=o o o o （ ）A ．32-B ．32C ．12-D ．12【2014，6】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（ ）【2014，8】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=【2012，9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在（2π，π）上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．[12，54] B ．[12，34] C ．（0，12] D ．（0，2]【2011，5】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．45【2011，11】设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 （2016·7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．()26k x k Z ππ=-∈B ．()26k x k Z ππ=+∈C ．()212k x k Z ππ=-∈D ．()212k x k Z ππ=+∈ （2016·9）若3cos()45πα-=，则sin 2α =（ ） A ．725B ．15C ．15-D ．725-（2014·4）钝角三角形ABC 的面积是12，AB =1，BC AC =（ ）A ．5BC ．2D ．1二、填空题【2015，16】在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=o ，2BC =，则AB 的取值范围是 ．【2014，16】已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 ． 【2013，15】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________．【2011，16】在ABC V 中，60,B AC ==o2AB BC +的最大值为 ．（2017·14）函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． （2016·13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 45A =，1cos 53C =，a = 1，则b = .（2014·14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.（2013·15）设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=_________.三、解答题【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长【2016，17】ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长．【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°．(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC ，求b ，c ．（2017·17）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=． （1）求cosB ；（2）若6a c += , ABC ∆面积为2，求.b ．（2015·17）在∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍．（Ⅰ）求 sin sin BC∠∠；（Ⅱ） 若AD =1，DC ，求BD 和AC 的长．（2013·17）在△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.（2012·17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a .（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为3，求b，c.5．平面向量一、选择题【2015，7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r B ．1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u rC ．4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r D ．4133AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r【2011，10】已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（ ）A ．14,P PB ．13,P PC ．23,P PD ．24,P P【2017，13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2， | b |=1，则| a +2 b |= ．【2016，13】设向量a )1,(m =，b )2,1(=，且|a +b ||2=a ||2+b 2|，则=m ．【2014，15】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为 ．【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝__________．【2012，13】已知向量a r ，b r 夹角为45°，且||1a =r ，|2|a b -=r r ||b =r_________．（2017·12）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1- （2016·3）已知向量(1)(32)，，=，m =-a b ，且()⊥a +b b ，则m =（ ）A ．-8B ．-6C ．6D ．8（2014·3）设向量a ,b rr 满足|a b |+r r ，|a b |-=r r a b ⋅r r =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5（2015·13）设向量a ，b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ____________．（2013·13）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=u u u r u u u r_______. （2012·13）已知向量a ，b 夹角为45º，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .6．数列一、选择题【2017，4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．8【2017，12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110【2016，3】已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a （ ）A ．100B ．99C ．98D ．97【2013，7】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【2013，12】设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( )． A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【2013，14】若数列{a n }的前n 项和2133n n S a =+，则{a n }的通项公式是a n ＝__________．【2012，5】已知{n a }为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ） A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 （2017·3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 （2015·4）已知等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 =（ ）A ．21B ．42C ．63D ．84（2013·3）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ）A .13B .13-C .19D .19-（2012·5）已知{a n }为等比数列，a 4 + a 7 = 2，a 5 a 6 = 8，则a 1 + a 10 =（ ）A. 7B. 5C. -5D. -7（2017·15）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． （2015·16）设S n 是数列{a n }的前项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则S n =________________． （2013·16）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为____.（2012·16）数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n nn ，则}{n a 的前60项和为 .二、填空题【2016，15】设等比数列}{n a 满足1031=+a a ，542=+a a ，则12n a a a L 的最大值为 ．【2012，16】数列{n a }满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为__________．三、解答题【2015，17】n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知n a ＞0，2243nn n a a S +=+．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．【2014，17】已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由．【2011，17】等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．（2016·17）（满分12分）S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S 7=28. 记b n =[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1. （Ⅰ）求b 1，b 11，b 101；（Ⅱ）求数列{b n }的前1 000项和.（2014·17）已知数列{a n }满足a 1 =1，a n +1 =3 a n +1. （Ⅰ）证明1{}2n a +是等比数列，并求{a n }的通项公式；（Ⅱ）证明：123111…2n a a a +++<.（2011·17）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设31323log log log n n b a a a =+++L L ，求数列1{}nb 的前n 项和.7．不等式、线性规划、推理与证明一、选择题【2014，9）】不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D ．有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-；2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥； 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤； 4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-．其中真命题是（ ）A ．2p ，3PB ．1p ，4pC ．1p ，2pD ．1p ，3P【2017，14】设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 ．【2016，16】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5kg ，乙材料0．3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．【2015，15】若x ,y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则yx 的最大值为 ．【2014，14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为 ．【2012，14】设x ，y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的取值范围为___________．【2011，13】若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 ．（2017·5）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9（2014·9）设x ，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．3D ．2（2013·9）已知0a >，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ）A .14B .12C .1D .2二、填空题（2015·14）若x ，y 满足约束条件1020+220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为_______．（2014·14）设x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x ，则2z x y =-的取值范围为 . （2011·13）若变量x， y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为 .8．立体几何（含解析）一、选择题【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16【2016，11】平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ，αI 平面ABCD m =，I α平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为A ．23 B ．22 C ．33 D ．31 【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的表面积是（ ） A ．π17 B ．π18 C ．π20 D ．π28【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示． 若该几何体的表面积为1620π+，则r =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【2015年，11题】【2014年，12题】【2013年，6题】【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）A．62B．42C．6 D．4【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A．500π3cm3B．866π3cm3 C．1372π3cm3D．2048π3cm3【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π【2013年，8】【2012年，7】【2011年，6】【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．15【2012，11】已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．2B．3C．2D．2【2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）【2011，15】已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 ．（2017·4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π （2017·10）已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =o ，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A ．3 B ．15 C ．10D ．3 （2016·6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π（2015·6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） A ．81B ．71 C ．61 D ．51 （2015·9）已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90º，C 为该球面上的动点，若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π（2014·6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）4423· 2016，62015，62014，6A．1727B．59C．1027D．13（2014·11）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90º，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（）A．110B．25C．30D．22（2013·4）已知,m n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l m⊥，l n⊥，lα⊄，lβ⊄，则（）A.α // β且l // αB.αβ⊥且lβ⊥C.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l （2013·7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz-中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）（2012·7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 18（2012·11）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A.62 B.63 C.32 D.22（2011·6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）A. B. C. D.（2016·14）α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.（3）如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有. (填写所有正确命题的编号.)（2011·15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23AB BC==B. C. D.则棱锥O-ABCD的体积为 .三、解答题【2017，18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90BAP CDP∠=∠=o（1）证明：平面P AB⊥平面P AD；（2）若P A=PD=AB=DC,90APD∠=o,求二面角A-PB-C的余弦值．【2016，18】如图，在以FEDCBA,,,,,为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，︒=∠=90,2AFDFDAF，且二面角EAFD--与二面角FBEC--都是︒60．（Ⅰ）证明：平面⊥ABEF平面EFDC；（Ⅱ）求二面角ABCE--的余弦值．【2015，18】如图，四边形ABCD为菱形，120ABC∠=o，,E F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，2BE DF=，AE EC⊥．（I）证明：平面AEC⊥平面AFC；（II）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．A BCD EF【2014，19】如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥． (Ⅰ) 证明：1AC AB =；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o160CBB ∠=，AB=BC ，求二面角111A A B C --的余弦值．【2013，18】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°．(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．【2012，19】如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC=BC=21AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD ．（1）证明：DC 1⊥BC ；（2）求二面角A 1－BD －C 1的大小．【2011，18】如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD ,PD ⊥底面ABCD ．(Ⅰ)证明：P A ⊥BD ；(Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值．（2017·19）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，o 90BAD ABC ∠=∠=， E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为o45 ，求二面角M -AB -D的余弦值A 1（2016·19）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB =5，AC =6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE =CF =54，EF 交BD 于点H . 将△DEF 沿EF 折到△D ´EF 的位置，10OD '=.（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值.（2015·19）如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中AB =16，BC =10，AA 1=8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E =D 1F =4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值.（2014·18）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB // 平面AEC ； （Ⅱ）设二面角D -AE -C 为60º，AP =1，AD =3，求三棱锥E -ACD 的体积.（2013·18）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，OBACFDH E D '1A 1B 1C1BB 的中点，122AA AC CB AB ===. （Ⅰ）证明：1BC //平面1ACD ； （Ⅱ）求二面角1D ACE --的正弦值.（2012·19）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，121AA BC AC ==，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . （Ⅰ）证明：DC 1⊥BC ；（Ⅱ）求二面角A 1-BD -C 1的大小.（2011·18）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60°，AB =2AD ，PD ⊥底面ABCD . （Ⅰ）证明：P A ⊥BD ；（Ⅱ）若PD =AD ，求二面角A -PB -C 的余弦值.9．解析几何一、选择题【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【2016，5】已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）C BAD CA 1B 1A ．)3,1(-B ．)3,1(-C ．)3,0(D ．)3,0(【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<u u u u r u u u u r ，则0y 的取值范围是（ ）A ．(33-B ．(66-C ．(33-D ．()33- 【2014，4】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B ．3 C D ．3m【2014，10】已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF与C 的一个交点，若4FP FQ =u u u r u u u r，则||QF =（ ）A ．72 B ．52C ．3D ．2【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x 【2013，10】已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + 【2012，4】设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【2012，8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =，则C 的实轴长为（ ）AB ．C ．4D ．8【2011，7】设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．3（2017·9）若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2BCD （2016·4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34-C D ．2（2016·11）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）A B ．32C D ．2（2015·7）过三点A (1, 3)，B (4, 2)，C (1, -7)的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（ ）A ．B ．8C ．D ．10（2015·11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）AB ．2CD （2014·10）设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30º的直线交C 于A , B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A BC ．6332D ．94（2013·11）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的园过点(0,2)，则C 的方程为（ ）A .24y x =或28y x =B .22y x =或28y x =C .24y x =或216y x =D .22y x =或216y x =（2013·12）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A .(0,1)B .1(1)22-C .1(1]3D .11[,)32（2012·4）设F 1，F 2是椭圆E : 12222=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23ax =上的一点，12PF F △是底角为30º的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A.21B.32 C.43 D.54 （2012·8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |=34，则C 的实轴长为（ ）A.2B. 22C. 4D. 8（2011·7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A , B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．3二、填空题【2017，15】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________．【2015，14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ．【2011，14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2．过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为 ． （2017·16）已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．（2014·6）设点M (0x ,1)，若在圆O :221x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45º，则0x 的取值范围是________.（2011·14）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为 .三、解答题【2017，20】已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．【2016，20】设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【2015，20】在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线l ：y kx a =+（0a >）交于,M N 两点．。
历年高考理科数学真题汇编+答案解析(1)：集合、复数、框图、简单逻辑、推理、平面向量、不等式与线性规划
7．（2017 全国 I 卷理 3）设有下面四个命题
p1
：若复数
z
满足
1 z
R
，则
z
R
；
C． 3 i
D． 3 i
-4-
p2 ：若复数 z 满足 z2 R ，则 z R ； p3 ：若复数 z1, z2 满足 z1z2 R ，则 z1 z2 ； p4 ：若复数 z R ，则 z R .
|
c
|2
4a
2
4
5a
b
5b 2
9
，∴ |
c
|
3
.
∵ a c 2a2
5a
b=2
，∴
cos
a , c
|aa||cc|
=
2 3
.
2
【答案】
3
4．（2018 全国 I 卷理 6）在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB
A．
3 4
AB
1 4
AC
B．
1 4
3)2 3 ，
22
∴当 x=0，y=
3
时，
PA
(PB
PC )
取得最小值
3
.
2
2
【答案】B
9．（2017 全国 III 卷理 12）在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆
9. （2017 全国 III 卷理 1）已知集合 A＝ (x, y│) x2 y2 1 ，B＝ (x, y│) y x ，则 A B 中元素的个数
为 A．3
B．2
C．1
D．0
【解析】方法一：联立方程组
近5年全国高考卷理科数学分类汇编-概率统计
近5年全国高考卷理科数学分类汇编-概率统计班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． (2016理II)从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ） （A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn2． (2016理II)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）93． (2016理I)某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）344． (2012理)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A .12种 B .10种 C .9种D .8种5． (2013理II)已知（1+a x ）（1+x ）5的展开式中x 2的系数为5，则a =( )（A ）-4（B ）-3（C ）-2（D ）-16． (2013理I)设m 为正整数，（x ＋y ）2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，（x ＋y ）2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝（ ） A 、5B 、6C 、7D 、87． (2013理I)为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样 C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样8． (2014理II)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A .0.8 B .0.75 C .0.6 D .0.459． (2014理I)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A ．81 B ．83 C ．85 D ．87 10．(2015理II)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
全国高考理科数学历年试题分类汇编
全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ⋂B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1}2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ⋂B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9}3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }，N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ）（A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i2. （2015卷2）若a 实数，且 iai++12=3+i,则a=（ ） A.-4 B. -3 C. 3 D. 43. （2010卷1）已知复数()2313i iz -+=，其中=•z z z z 的共轭复数，则是（ ） A=41B=21C=1 D=2 向量1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC =(-4,-3)，则向量BC = ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4)2. （2015卷2）已知向量a =(0,-1),b b =(-1,2),则()a b a •+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 23. （2013卷3）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60度，()0,1=•-+=c b b t a t c 且，那么t= 程序框图（2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
新课标全国卷理科数学试题分类汇编(章节含解析)
2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编1．集合与简易逻辑一、选择题（2017·2）设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5（2016·2）已知集合A ={1，2，3}，B ={x |(x +1)(x -2)<0，x ∈Z }，则A B =（ ）A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{-1，0，1，2，3}（2015·1）已知集合A ={-2，-1，0，2}，B ={x |(x -1)(x +2)<0}，则A ∩B =（ ）A ．{-1，0}B ．{0，1}C ．{-1，0，1}D ．{0，1，2}（2014·1）设集合M ={0, 1, 2}，N ={}2|320x x x -+≤，则MN =（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{0，1}D ．{1，2}（2013·1）已知集合M ={x|(x -1)2 < 4, x ∈R }，N ={-1，0，1，2，3}，则M ∩ N =（ ）A .{0, 1, 2}B .{-1, 0, 1, 2}C .{-1, 0, 2, 3}D .{0, 1, 2, 3}（2012·1）已知集合A ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={(x ,y )| x ∈A , y ∈A , x -y ∈A }，则B 中所含元素的个数为（ ）A. 3B. 6C. 8D. 10（2011·10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题中真命题是（ ）12:+10,3P πθ⎡⎫>⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 22:1,3P πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦a b3:10,3P πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 4:1,3P πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦a bA ． P 1，P 4B ．P 1，P 3C ．P 2，P 3D ．P 2，P 42011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编1．集合与简易逻辑（逐题解析）（2017·2）C 【解析】∵ {}1AB =，∴ 1是方程240x x m -+=的一个根，即3m =，∴{}2430B x x x =-+=，故{}1,3B =，选C.（2016·2）C 解析：()(){}120Z B x x x x =+-<∈，，∴{}01B =，，∴{}0123A B =，，，，故选C ．（2015·1）A 解析：由已知得{}21B x x =-<<，故，故选A.（2014·1）D 解析：∵2={|320}{|12}N x x x x x -+≤=≤≤，∴{1,2}M N =.（2013·1）A 解析：解不等式(x -1)2<4，得-1<x <3，即M ＝{x |-1<x <3}．而N ＝{-1, 0, 1, 2, 3}，所以M ∩N ＝{0, 1, 2}，故选A.（2012·1）D 解析：要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x ，小的是y ，共2510C =种选法.（2011·10）A解析：由||1+==>a b 得1cos 2θ>-2[0,)3πθ⇒∈.由||1-=a b 得1cos 2θ<(,]3πθπ⇒∈，故选A.2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编2．复数一、选择题 （2017·1）31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -（2016·1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（-3，1）B ．（-1，3）C ．（1，+∞）D ．（-∞，-3）（2015·2）若a 为实数且(2+ai )(a -2i ) = -4i ，则a =（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2（2014·2）设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ）A ．- 5B ．5C ．- 4 + iD ．- 4 - i（2013·2）设复数z 满足(1i)2i z -=，则z =（ ）A .1i -+B .1i --C .1i +D .1i -（2012·3）下面是关于复数iz +-=12的四个命题中，真命题为（ ）P 1: |z |=2， P 2: z 2=2i ，P 3: z 的共轭复数为1+i ，P 4: z 的虚部为-1 . A. P 2，P 3B. P 1，P 2C. P 2，P 4D. P 3，P 4（2011·1）复数212ii +-的共轭复数是（ ） A ．35i - B ．35i C ．i -D ．i2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编2．复数（逐题解析）（2017·1）D 【解析】()()()()3134221112i i i ii i i i +-+-===-++-． （2016·1）A 解析：∴30m +>，10m -<，∴31m -<<，故选A ．（2015·2）B 解析：由已知得4a + (a 2 -4)i = -4i ，所以4a = 0，a 2 -4 = -4，解得a = 0，故选B.（2014·2）A 解析：∵12i z =+，复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴22z i =-+，∴2212(2)(2)2145z z i i i =+-+=-=--=-.（2013·2）A 解析：由(1-i )·z =2i ，得221=111i i i z i i i (+)=-(-)(+)＝222i-+＝－1＋i . （2012·3）C 解析：经计算2221,||2(1)21z i z z i i i==--∴==---+ =，，复数z 的共轭复数为1i -+，z 的虚部为1-，综上可知P 2，P 4正确. （2011·1）C 解析：212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C.2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编3．程序框图（2017·8）执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5开始,x n输入00k s ==，a输入s s x a=⋅+1k k =+k n>s输出结束否是结束输出S 1M =，3S =开始输入x ，t1k =k t ≤M M x k=S M S =+1k k =+是否（2017·8） （2016·8） （2015·8） （2014·7）（2016·8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（ ） A ．7B ．12C ．17D ．34（2015·8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”. 执行该程序框图，若输入a ，b 分别为14，18，则输出的a =（ ） A ．0B ．2C ．4D ．14（2014·7）执行右面程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S = （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7（2013·6）（2012·6）（2011·3）（2013·6）执行右面的程序框图，如果输入的10N=，那么输出的S=（）A.11112310++++B.11112!3!10!++++C.11112311++++D.11112!3!11!++++（2012·6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a N，输入A、B，则（）A. A+B为a1，a2，…，a N的和B.2BA+为a1，a2，…，a N的算术平均数C. A和B分别是a1，a2，…，a N中最大的数和最小的数D. A和B分别是a1，a2，…，a N中最小的数和最大的数（2011·3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120 B．720 C．1440 D．50402011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编3．程序框图（2017·8）【解析】解法一：常规解法∵ 00S =，01K =，01a =-，S S a K =+⋅，a a =-，∴ 执行第一次循环：11S =-﹑11a =﹑ 12K =；执行第二次循环：21S =﹑21a =-﹑23K =；执行第三次循环：32S =-﹑31a =﹑ 34K =；执行第四次循环：42S =﹑41a =-﹑45K =；执行第五次循环：53S =-﹑51a =﹑ 56K =；执行第五次循环：63S =﹑61a =﹑67K =；当676K =>时，终止循环，输出63S =，故输出值为3. 解法二：数列法()11nn n S S n -=+-⋅，1n K n =+，裂项相消可得()121nin i S S i =-=-⋅∑；执行第一次循环：11S =-﹑11a =﹑12K =，当6n K >时，6n =即可终止，61234564S +=-+-+=，即63S =，故输出值为3.（2016·8）C 解析：第一次运算：0222s =⨯+=，第二次运算：2226s =⨯+=，第三次运算：62517s =⨯+=，故选C ．（2015·8）B 解析：程序在执行过程中，a ，b 的值依次为a =14，b =18，b =4，a =10，a =6，a =2，b =2，此时a =b =2程序结束，输出a 的值为2，故选B ．（2014·7）D 解析：输入的x ，t 均为2．判断12≤？是，1221M =⋅=，235S =+=，112k =+=；判断22≤？是，2222M =⋅=，257S =+=，213k =+=，判断32≤？否，输出7S =.（2013·6）B 解析：由程序框图知，当k ＝1，S ＝0，T ＝1时，T ＝1，S ＝1；当k ＝2时，12T =，1=1+2S ； 当k ＝3时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当k ＝4时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；… … … … ； 当k ＝10时，123410T =⨯⨯⨯⨯，1111+2!3!10!S =+++，k 增加1变为11，满足k ＞N ，输出S ，故选B ．（2012·6）C 解析：由程序框图判断x >A 得A 应为a 1，a 2，…，a N 中最大的数，由x <B 得B 应为a 1，a 2，…，a N 中最小的数.（2011·3）B 解析：框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720，故选B.【题目7】(2017·新课标全国Ⅱ卷理7)7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 【命题意图】本题考查推理与证明的有关知识，考查考生推理论证能力. 【解析】解法一：假设法甲看乙﹑丙成绩，甲不知道自己的成绩，那么乙﹑丙成绩中有一人为优，一人为良；乙已经知道 自己的成绩要么良，要么优，丙同样也是，当乙看到丙的成绩，一定知道自己的成绩，但是丙一 定不知道自己的成绩；而丁同学也知道自己的成绩要么良，要么优，只有看到甲的成绩，才能判 断自己的成绩，丁同学也一定知道自己的成绩，故只有乙﹑丁两位同学知道自己的成绩. 解法二：选项代入法当我们不知道如何下手,则从选项入手，一一假定成立，来验证我们的假设是否成立，略2012年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编4．平面向量一、选择题（2017·12）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1- （2016·3）已知向量(1)(32)，，=，m =-a b ，且()⊥a +b b ，则m =（ ）A ．-8B ．-6C ．6D ．8（2014·3）设向量a ,b 满足10|a b |+=，6|a b |-=，则a b ⋅=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5二、填空题（2015·13）设向量a ，b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ____________． （2013·13）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=_______.（2012·13）已知向量a ，b 夹角为45º，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .2012年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编4．平面向量（逐题解析版）一、选择题（2017·12）【解析】解法一：建系法，连接OP ，()0,3OA =，()1,0OB =-，()1,0OC =. 2PC PB PO +=，∴()(),,3PO PA x y x y⋅=--⋅-- ，∴22223334PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭∴34PO PA ⋅≥-，∴ ()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-，∴最小值为32-解法二：均值法：∵2PC PB PO +=，∴ ()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅ 由上图可知：OA PA PO =-；两边平方可得()()2232PA PO PA PO =+-⋅∵ ()()222PA PO PA PO +≥-⋅，∴ 322PO PA ⋅≥-，∴ ()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-，∴最小值为32-.（2016·3）D 【解析】(42)a b m +=-，，∵()a b b +⊥，∴()122(2)0a b b m +⋅=--=，解得8m =，选D ．（2014·3）A解析：2222||10||6210,26,a b a b a b a b a b a b +=-=∴++⋅=+-⋅=，两式相减得：1a b ⋅=. 二、填空题（2015·13）12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以(2)a b k a b λ+=+，则12k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=． （2013·13）2解析：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,2)，点E 的坐标为(1,2)，则AE ＝(1,2)，BD ＝(-2, 2)，所以=2AE BD ⋅. （2012·13）32解析：由已知得222222|2|(2)444||4||||cos45||a b a b a a b b a a b b -=-=-⨯+=-⋅+ 24|||10b b =-+=，解得||32b =.2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编5．线性规划一、选择题（2017·5）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9（2014·9）设x ，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．3D ．2（2013·9）已知0a >，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ）A .14B .12C .1D .2二、填空题（2015·14）若x ，y 满足约束条件1020+220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为_______．（2014·14）设x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x ，则2z x y =-的取值范围为 . （2011·13）若变量x ， y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为 .2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编5．线性规划一、选择题（2017·5）A 【解析】根据约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩画出可行域（图中阴影部分）, 作直线:20l x y +=，平移直线l ，将直线平移到点A 处Z 最小，点A 的坐标为()6,3--，将点A 的坐标代到目标函数2Z x y =+， 可得15Z =-，即min 15Z =-.解法二：直接求法对于封闭的可行域，我们可以直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种选其最小的 为最小值即可，点A 的坐标为()6,3--，点B 的坐标为()6,3-，点C 的坐标为()0,1，所求值分 别为15-﹑9﹑1，故min 15Z =-，max 9Z =.（2014·9）B 解析：作出x ，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩所表示的平面区域为如图阴影部分，做出目标函数l 0：y =2x ，∵y =2x -z ，∴当y =2x -z 的截距最小时，z 取最大值.当y =2x -z 经过C 点时，z 取最大值.由31070x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得C (5,2)，此时z 取最大值为2×5-2=8.（2013·9）B 解析：由题意作出13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩所表示的区域如图阴影部l 0l 1 3x-y-5=0yxo 12 x-3y+1=0l 2x+y-7=052CA BA (1, -2a )lAy = -32x +3y -3=02x -3y +3=0xOyCB分所示，当目标函数表示的直线经过点A 时，取得最小值，而点A 的坐标为（1, -2a ），所以2-2a =1，解得12a =. 故选B. 二、填空题 （2015·14）32解析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y =-x +z ，当z 取到最大时，直线y = -x + z 的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D ，则z =x +y 的最大值为32.（2014·14）[3,3]-解析：画出可行域，易知当直线2Z x y =-经过点(1,2)时，Z 取最小值-3；当直线2Z x y =-经过点(3,0)时，Z 取最大值3. 故2Z x y =-的取值范围为[3,3]-.（2011·13）-6】解析：画出可行域如图，当直线2z x y =+过239x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点(4,-5)时，min 6z =-.2012年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编6．二项式定理一、选择题（2013·5）已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（ ）A .4-B .3-C .2-D .1-（2011·8）51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）A ．- 40B ．- 20C ．20D ．40二、填空题（2015·15）4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =_______． （2014·13）10()x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.2012年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编6．二项式定理（逐题解析）一、选择题（2013·5）D 解析：因为(1＋x )5的二项展开式的通项为5C r rx (0≤r ≤5，r ∈Z )，则含x 2的项为225C x ＋ax ·15C x ＝(10＋5a )x 2，所以10＋5a ＝5，a ＝－1. 故选D.（2011·8）D 解析：由51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，得a =1（令x =1）. 故原式=511()(2)x x x x+-，所以通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r =1得r =2，对应的常数项=80，由5-2r =-1得r =3，对应的常数项=-40，故所求的常数项为40，故选D .二、填空题（2015·15）3解析：由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．（2014·13）12解析：∵10110r r r r T C x a -+=，∴107r -=，即3r =，∴373741015T C x a x ==，解得12a =.2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编7．函数与导数一、填空题（2017·11）若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e -D.1 （2016·12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1()mi i i x y =+=∑ （ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m（2015·5）设函数211log (2)(1)()2(1)x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(l og 12)f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12（2015·10）如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP =x. 将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．（2015·12）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当x >0时，()()0xf x f x '-<，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞（2014·8）设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ，则a =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3（2014·12）设函数()3x f x m π=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是（ ） A ．(,6)(6,+)-∞-∞ B ．(,4)(4,+)-∞-∞C ．(,2)(2,+)-∞-∞D ．(,1)(4,+)-∞-∞（2013·8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）A .c b a >>B .b c a >>C .a c b >>D .a b c >>（2013·10）已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）A .00,()0x f x ∃∈=RB .函数()y f x =的图像是中心对称图形C .若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D .若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '= （2012·10）已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为（ ）1 1y xo 1 1y x o 11y x o 1 1y x oA. B. C. D.（2012·12）设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为（ ） A. 2ln 1-B.)2ln 1(2-C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+（2011·2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ） A ．3y x = B ．||1y x =+ C ．21y x =-+ D ．||2x y -=（2011·9）由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103B ．4C ．163D ．6（2011·12）函数11y x =-的图像与函数2sin ,(24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（2014·15）已知偶函数f (x )在[0, +∞)单调递减，f (2)=0. 若f (x -1)>0，则x 的取值范围是_________.（2016·16）若直线y = kx +b 是曲线y = ln x +2的切线，也是曲线y = ln(x +1)的切线，则b = . 三、解答题（2017·21）已知函数2()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<.（2016·21）（Ⅰ）讨论函数2()2xx f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，(2)20x x e x -++>； （Ⅱ）证明：当[0,1)a ∈时，函数2()=(0)x e ax ag x x x-->有最小值.设g (x )的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.14．（2015·21）设函数2()mx f x e x mx =+-.（Ⅰ）证明：f (x )在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）若对于任意x 1,，x 2∈[-1，1]，都有｜f (x 1)- f (x 2)｜≤ e -1，求m 的取值范围．15．（2014·21）已知函数()2x x f x e e x -=--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()(2)4()g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<，估计ln2的近似值（精确到0.001）.16．（2013·21）已知函数()ln()x f x e x m =-+.（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >.17.（2012·21）已知函数121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+.（Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值.18．（2011·21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围.2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编7．函数与导数（解析版）（2017·11）A 【解析】∵ ()()211x f x x ax e -=+- ∴ 导函数()()2121x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⎣⎦， ∵ ()20f '-=，∴ 1a =-，∴ 导函数()()212x f x x x e -'=+-，令()0f x '=，∴ 12x =-，11x =， 当x 变化时，()f x ，()f x '随变化情况如下表：从上表可知：极小值为()11f =-.故选A（2016·12）B 解析：由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点'0i i x x +=， '=2i i y y +，∴()111022m mmi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．（2016·12）B 解析：由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点'0i i x x +=， '=2i i y y +，∴()111022m mmi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．（2015·5）C解析：由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=．（2015·10）B 解析：由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，tan PA PB x +；当点P 在CD 边上运动时，即344x ππ≤≤，2x π≠时，PA PB +=2x π=时，PA PB +=；当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，PA PB +=tan x -，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ． （2015·12）A 解析：记函数()()f x g x x =，则2()()()x f x f x g x x '-'=，因为当x >0时，xf´(x )-f (x )<0，故当x >0时，g ´ (x )<0，所以g (x )在(0, +∞)单调递减；又因为函数f (x )(x ∈R )是奇函数，故函数g (x )是偶函数，所以g (x )在(-∞, 0)单调递增，且g (-1)=g (1)=0．当0<x <1时，g (x )>0，则f (x )>0；当x <-1时，g (x )<0，则f (x )>0，综上所述，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(-∞, -1)∪(0, 1)，故选A ． （2014·8）D 解析：∵1'1y a x =-+，且在点(0,0)处的切线的斜率为2，∴01'|201x y a ==-=+，即3a =.（2014·12）C 解析：∵()xf x mπ'=，令()0xf x mπ'==得1(),2x m k k Z =+∈，∴01(),2x m k k Z =+∈，即01|||||()|22m x m k =+≥，mxx f πsin 3)(= 的极值为3±， ∴3)]([20=x f ，，34)]([22020+≥+∴m x f x 22200[()]x f x m +<， 2234∴m m <+， 即：24m >，故：2m <-或2m >. （2013·8）D 解析：根据公式变形，lg 6lg 21lg 3lg 3a ==+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+， 因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg 5lg 3<<，即c ＜b ＜a . 故选D. （2013·10）C 解析：∵f ´(x )=3x 2+2ax +b ，∴y ＝f (x )的图像大致如右图所示，若x 0是f (x )的极小值点，则则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．（2012·10）B 解析：易知ln(1)0y x x =+-≤对(1,0)(0,)x ∈-+∞恒成立，当且仅当0x =时，取等号，故的值域是(-∞, 0). 所以其图像为B.（2012·12）B 解析：因为12x y e =与ln(2)y x =互为反函数，所以曲线12x y e =与曲线ln(2)y x =关于直线y =x 对称，故要求|PQ |的最小值转化为求与直线y =x 平行且与曲线相切的直线间的距离，设切点为A ，则A 点到直线y =x 距离的最小值的2倍就是|PQ |的最小值. 则11()122xxy e e ''===，2x e ∴=，即ln 2x =，故切点A 的坐标为(ln 2,1)，因此，切点A 点到直线y =x 距离为d ==，所以||2ln 2)PQ d ==-.（2011·2）B 解析：由各函数的图像知，故选B.（2011·9）C 】解析：用定积分求解342420021162)(2)|323S x dx x x x =+=-+=⎰，故选C.（2011·12）D 解析：11y x =-的对称中心是（1,0）也是2sin (24)y x x π=-≤≤的中心，24x -≤≤他们的图像在x =1的左侧有4个交点，则x =1右侧必有4个交点. 不妨把他们的横坐标由小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=，故选D .二、填空题（2014·15）(1,3)- 解析：∵()f x 是偶函数，∴(1)0(|1|)0(2)f x f x f ->⇔->=，又∵()f x 在[0,)+∞单调递减，∴|1|2x -<，解得：13x -<< （2016·16）1ln2-解析：ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++（设切点横坐标为1x ），()ln 1y x =+的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++，∴()122122111ln 1ln 11xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x = 212x =-，∴1ln 11ln 2b x =+=-．三、解答题（2017·21）已知函数2()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2ef x --<<.（2017·21）解析：(1)法一：由题知：()()ln f x x ax a x =--()0x >，且()0f x ≥ ， 所以()1ln 0a x x --≥， 即当()0,1x ∈时，ln 1x a x ≤-；当()1,x ∈+∞时，ln 1xa x ≥-；当1x =时，()1ln 0a x x --≥成立.令()1ln g x x x =--，()11'1x g x x x-=-=， 当()0,1x ∈时，()'0g x <，()g x 递减，()()10g x g <=，所以：1ln x x ->，即：ln 11xx >-，所以1a ≤；当()1,x ∈+∞时，()'0g x >，()g x 递增，()()10g x g >=，所以：1ln x x ->，即：ln 11xx <-. 所以，1a ≥. 综上，1a =.法二：洛必达法则：由题知：()()ln f x x ax a x =--()0x >，且()0f x ≥ ，所以：()1ln 0a x x --≥.即当()0,1x ∈时，ln 1x a x ≤-；当()1,x ∈+∞时，ln 1xa x ≥-； 当1x =时，()1ln 0a x x --≥成立.令()ln 1x g x x =-，()()()()22111ln 1ln '11x x x x x g x x x ----==--. 令()11ln h x x x =--，()22111'xh x x x x-=-=. 当()0,1x ∈时，()'0h x >,()h x 递增，()()10h x h <=； 所以()'0g x <，()g x 递减，()()()111ln 'ln 1limlimlim 111'x x x x xg x x x x→→→>===--，所以：1a ≤； 当()1,x ∈+∞时，()'0h x <,()h x 递减，()()10h x h <=； 所以()'0g x <，()g x 递减，()()()111ln 'ln 1limlimlim 111'x x x x xg x x x x→→→<===--，所以：1a ≥. 故1a =.（2）由(1)知：()()1ln f x x x x =--，()'22ln f x x x =--，设()22ln x x x ϕ=--，则()1'2x x ϕ=-.当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0x ϕ<；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0x ϕ>. 所以()x ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增.又()20e ϕ->，102ϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()10ϕ=，所以()x ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一零点0x ，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点1，且当()00,x x ∈时，()0x ϕ>；当()0,1x x ∈时，()0x ϕ<； 当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ>.又()()'f x x ϕ=，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点. 由()0'0f x =得()00ln 21x x =-，故()()0001f x x x =-. 由()00,1x ∈得()014f x <.因为0x x =是()f x 在()0,1的唯一极大值点，由()10,1e -∈，()10f e -≠得()()120f x f e e -->=所以220()2ef x --<<.（2016·21）（Ⅰ）讨论函数2()2xx f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，(2)20x x e x -++>； （Ⅱ）证明：当[0,1)a ∈时，函数2()=(0)x e ax a g x x x-->有最小值.设g (x )的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域. （2016·21）证明：⑴()()()22224e e 222xxx x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭，∵当x ∈()()22,-∞--+∞，时，()0f x '>，∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增，∴0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+，∴()2e 20x x x -++>. ⑵ ()()()24e2e xxa x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2xxx x ax a x -++=32(2)(e )2xx x a x x -+⋅++=，[)01a ∈，，由(1)知，当0x >时，()2e 2xx f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解．使得2e 2tt a t -⋅=-+，(]02t ∈，，当(0,)x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增，()()()222e 1e e 1e 22tt t t t t a t t h a t t t -++⋅-++===+，记()e 2t k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增，∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，． （2015·21）设函数2()mx f x e x mx =+-.（Ⅰ）证明：f (x )在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）若对于任意x 1,，x 2∈[-1，1]，都有｜f (x 1)- f (x 2)｜≤ e -1，求m 的取值范围．（2015·21）解析：（Ⅰ）()(1)2mxf x m e x '=-+，若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10,()0mx e f x '-≤<；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -≥，()0f x '>. 若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10,()0mx e f x '-><；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -<，()0f x '>，所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m ，()f x 在[-1，0]单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值，所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12|()()|1f x f x e -≤-的充要条件是(1)(0)1(1)(0)1f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩，即11m m e m e e m e -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①. 设函数()1tg t e t e =--+，则()1t g t e '=-，当0t <时，()0g t '<；当0t >时，()0g t '>，故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.又(1)0g =，1(1)20g e e --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤.当[1,1]m ∈-时，()0,()0g m g m ≤-≤，即①式成立；当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即1me m e ->-；当1m <-时，()0g m ->，即1me m e -+>-，综上，m 的取值范围是[-1,1].（2014·21）已知函数()2x x f x e e x -=--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()(2)4()g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<，估计ln2的近似值（精确到0.001）. （2014·21）解析：（Ⅰ）1()2()2=220.x x x x x x f x e e x x R f x e e e e --'=--∈∴=+-+-≥=，， ∴当且仅当x =0时等号成立，所以函数()f x 在R 上单调递增． （Ⅱ）22()(2)4()44(2),x x x x g x f x bf x e e x b e e x --=-=-----∴当x >0时，2244(2)0,x x x x e e x b e e x ------->22()2[2()(42)]x x x x g x e e b e e b --'∴=+-++- 2(2)[(22)]x x x x e e e e b --=+-+--，2x x e e -+≥，2(2)0x x e e -∴+-≥，(1) 当2b ≤时，()0g x '≥，当且仅当x =0时等号成立. 所以此时g (x )在R 上单调递增，而g (0)=0，所以对任意x >0，有g (x )>0.(2) 当2b >时，若x 满足222x x e e b -<+<-时，即0ln(1x b <<-时，()0g x '<，而g (0)=0，因此当0ln(1x b <<-时，g (x )<0.综上可知，当2b ≤时，才对任意的x >0，有g (x )>0，因此b 的最大值为2. （Ⅲ）由(Ⅱ)知，32(21)ln 22g b =-+-， 当b =2时，36ln 202g =->，3ln 20.692812>>；当14b =+时，ln(1b -=32)ln 202g =--<，18ln 20.693428+<<，所以ln2的近似值为0.693.（2013·21）已知函数()ln()x f x e x m =-+.（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >. （2013·21）解析：（Ⅰ）f ′(x )＝1xe x m-+. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x -ln(x +1)，定义域为(-1，+∞)，f ′(x )＝11x e x -+.函数f ′(x )＝11xe x -+在(-1，+∞)单调递增，且f ′(0)＝0.因此当x ∈(-1,0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(-1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．（Ⅱ）当m ≤2，x ∈(-m ，+∞)时，ln(x +m )≤ln(x +2)，故只需证明当m =2时，f (x )＞0.当m =2时，函数f ′(x )=12xe x -+在(-2，+∞)单调递增．又f ′(-1)＜0，f ′(0)＞0，故f ′(x )=0在(-2，+∞)有唯一实根x 0，且x 0∈(-1,0)．当x ∈(-2，x 0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 0，+∞)时，f ′(x )＞0，从而当x =x 0时，f (x )取得最小值．由f ′(x 0)=0得0xe =012x +，ln(x 0+2)=-x 0，故f (x ) ≥ f (x 0)=012x ++x 0=20012x x (+)+＞0. 综上，当m ≤2时，f (x )＞0.（2012·21）已知函数121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+.（Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值. （2012·21）解析：（Ⅰ） 1()(1)(0)x f x f e f x -''=-+，令x =1得，f (x )=1，再由121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+，令0x =得(1)f e '=. 所以)(x f 的解析式为21()2x f x e x x =-+，∴()1x f x e x '=-+，易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数，且(0)0f '=.所以()00f x x '>⇔>，()00f x x '<⇔<，所以函数)(x f 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞.（Ⅱ） 若b ax x x f ++≥221)(恒成立，即21()()(1)02x h x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立，()(1)x h x e a '=-+.(1)当10a +<时，()0h x '>恒成立，()h x 为R 上的增函数，且当x →-∞时，()h x →-∞，不合题意；(2)当10a +=时，()0h x >恒成立，则0b ≤，(1)0a b +=；(3)当10a +>时，()(1)xh x e a '=-+为增函数，由()0h x '=得ln(1)x a =+，故()0ln(1)f x x a '>⇔>+，()0ln(1)f x x a '<⇔<+，当ln(1)x a =+时，()h x 取最小值(ln(1))1(1)ln(1)h a a a a b +=+-++-. 依题意有(ln(1))1(1)ln(1)0h a a a a b +=+-++-≥，即1(1)ln(1)b a a a ≤+-++，10a +>，22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a ∴+≤+-++，令22()ln 0u x x x x x =-> ()，则()22ln (12ln )u x x x x x x x '=--=-，()00()0u x x u x ''>⇔<<x ⇔>x =()u x取最大值2eu =.故当1a b +==(1)a b +取最大值2e. 综上，若b ax x x f ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e .（2011·21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围. 解析：（Ⅰ）221(ln )()(1)x x b x f x x x α+-'=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)11(1)2f f =⎧⎪⎨'=-⎪⎩，即1122b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得1a =，1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1()1x f x x x =++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x ---+=+--.考虑函数2(1)(1)()2ln k x h x x x --=+(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=. (i)设0k ≤，由222(1)(1)()k x x h x x +--'=知，当1x ≠时，()0h x '<. 而(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x >-；当x ∈(1，+∞)时，h (x )<0，可得21()01h x x>-，从而当x >0，且x ≠1时，ln ()01x k f x x x -+>-，即ln ()1x kf x x x >+-. （ii ）设0<k <1. 由于当x ∈(1，k-11)时，(k -1)(x 2 +1)+2x >0，故h ´(x )>0，而h (1)=0，故当x ∈(1，k -11)时，h (x )>0，可得211x- h (x )<0，与题设矛盾.（iii ）设k ≥1. 此时h ´(x )>0，而h (1)=0，故当x ∈(1，+∞)时，h (x)>0，可得211x -h (x )<0，与题设矛盾.综上可得，k 的取值范围为（-∞，0].2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编8．函数及其性质一、填空题（2016·12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1()mi i i x y =+=∑ （ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m（2015·5）设函数211log (2)(1)()2(1)x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(l og 12)f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12（2015·10）如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP =x. 将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．（2013·8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）A .c b a >>B .b c a >>C .a c b >>D .a b c >>（2013·10）已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）A .00,()0x f x ∃∈=RB .函数()y f x =的图像是中心对称图形C .若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D .若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=（2012·10）已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为（ ）A. B. C. D.（2011·2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ） A ．3y x = B ．||1y x =+ C ．21y x =-+ D ．||2x y -=（2011·12）函数11y x =-的图像与函数2sin ,(24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（2014·15）已知偶函数f (x )在[0, +∞)单调递减，f (2)=0. 若f (x -1)>0，则x 的取值范围是_________.xxxx2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编8．函数及其性质（逐题解析版）（2016·12）B 解析：由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点'0i i x x +=， '=2i i y y +，∴()111022m m miiiii i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．（2016·12）B 解析：由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点'0i i x x +=， '=2i i y y +，∴()111022mmmi iiii i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．（2015·5）C解析：由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=．（2015·10）B 解析：由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，tan PA PB x +；当点P 在CD 边上运动时，即344x ππ≤≤，2x π≠时，PA PB +=2x π=时，PA PB +=；当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，PA PB +=tan x -，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ． （2013·8）D 解析：根据公式变形，lg 6lg 21lg 3lg 3a ==+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+， 因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg 5lg 3<<，即c ＜b ＜a . 故选D. （2012·10）B 解析：易知ln(1)0y x x =+-≤对(1,0)(0,)x ∈-+∞恒成立，当且仅当0x =时，取等号，故的值域是(-∞, 0). 所以其图像为B. （2011·2）B 解析：由各函数的图像知，故选B. （2011·12）D 解析：11y x =-的对称中心是（1,0）也是2sin (24)y x x π=-≤≤的中心，24x -≤≤他们的图像在x =1的左侧有4个交点，则x =1右侧必有4个交点. 不妨把他们的横坐标由小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=，故选D . 二、填空题。
集合-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(解析版)
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第2题
6．(2021年新高考Ⅰ卷·第1题)设集合 ， ，则 ()
A． B． C． D．
【答案】B
解析:由题设有 ，故选B．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第1题
7．(2020年新高考I卷(山东卷)·第1题)设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=()
【解析】 或 ， ，
故 ，故选A．
【点评】本题主要考查一元二次不等式，一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题．
本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第1题
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第1题
11．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第2题)设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=()
A．–4B．–2C．2D．4
【答案】B
【解析】求解二次不等式 可得： ，
求解一次不等式 可得： ．
A．{−2，3}B．{−2，2，3}C．{−2，−1，0，3}D．{−2，−1，0，2，3}
【答案】A
解析：由题意可得： ，则 ．
故选：A
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第1题
13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第1题)已知集合 ， ，则 中元素的个数为()
高考新课标全国卷理科数学分类汇编
新课标全国卷理科数学【2020年】数学真题分类汇编目录1、集合与常用逻辑用语 (1)2、函数及其性质 (2)3、导数及其应用 (4)4、三角函数、解三角形 (11)5、平面向量 (16)6、数列 (17)7、不等式、线性规划、推理与证明 (20)8、立体几何 (22)9、解析几何 (30)10、统计、概率分布、计数原理 (40)11、复数及其运算 (55)12、程序框图 (57)13、坐标系与参数方程 (60)14、不等式选讲 (66)1．集合与常用逻辑用语一、选择题【2019， 1】已知集合{}1A x x =<， {}31x B x =<， 则（ ）A ．{|0}AB x x =<I B ．A B =R UC ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I【2019， 1】设集合}034{2<+-=x x x A ， }032{>-=x x B ， 则A B =I （ ）A ．)23,3(--B ．)23,3(- C ．)23,1( D ．)3,23(【2019， 3】设命题p ：n ∃∈N ， 22n n >， 则p ⌝为（ ）A ．n ∀∈N ， 22n n >B ．n ∃∈N ， 22n n ≤C ．n ∀∈N ， 22n n ≤D ．n ∃∈N ， 22n n =【2019， 1】已知集合A={x |2230x x --≥}， B={}22x x -≤<， 则A B ⋂=( )A ．[-2,-1]B ．[-1,2）C ．[-1,1]D ．[1,2）【2019， 1】已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}， B ＝{x |5x 5， 则( )A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B【2019， 1】已知集合A={1， 2， 3， 4， 5}， B={（x ， y ）|x A ∈， y A ∈，x y A -∈}， 则B 中包含元素的个数为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．10（2019·2）设集合{}1,2,4A =， {}240x x x m B =-+=．若{}1A B =I ， 则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5（2019·2）已知集合A ={1， 2， 3}， B ={x |(x +1)(x -2)<0， x ∈Z }， 则A B =U （ ）A ．{1}B ．{1， 2}C ．{0， 1， 2， 3}D ．{-1， 0， 1， 2， 3} （2019·1）已知集合A ={-2， -1， 0， 2}， B ={x |(x -1)(x +2)<0}， 则A ∩B =（ ）A ．{-1， 0}B ．{0， 1}C ．{-1， 0， 1}D ．{0， 1， 2}（2019·1）设集合M ={0, 1, 2}， N ={}2|320x x x -+≤， 则M N I =（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{0， 1}D ．{1， 2}（2019·1）已知集合M ={x|(x -1)2 < 4, x ∈R }， N ={-1， 0， 1， 2， 3}， 则M ∩ N =（ ）A .{0, 1, 2}B .{-1, 0, 1, 2}C .{-1, 0, 2, 3}D .{0, 1, 2, 3}（2019·1）已知集合A ={1, 2, 3, 4, 5}， B ={(x ,y )| x ∈A , y ∈A , x -y ∈A }， 则B 中所含元素的个数为（ ）A. 3B. 6C. 8D. 10（2019·10）已知a 与b 均为单位向量， 其夹角为θ， 有下列四个命题中真命题是（ ）12:+10,3P πθ⎡⎫>⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 22:1,3P πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦a b3:10,3P πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ab 4:1,3P πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦a bA ． P 1， P 4B ．P 1， P 3C ．P 2， P 3D ．P 2， P 42．函数及其性质一、选择题【2019， 5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减， 且为奇函数．若(11)f =-， 则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]【2019， 11】设,,x y z 为正数， 且235x y z ==， 则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【2019， 7】函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【2019， 8】若1>>b a ， 10<<c ， 则（ ）A ．c c b a <B ．c c ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <【2019， 3】设函数()f x ， ()g x 的定义域都为R ， 且()f x 是奇函数， ()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x ()g x 是偶函数B ．|()f x |()g x 是奇函数C ．()f x |()g x |是奇函数D ．|()f x ()g x |是奇函数【2019， 11】已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ， 则a 的取值范围是( )A ．(－∞， 0]B ．(－∞， 1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]【2019， 10】已知函数1()ln(1)f x x x =+-， 则()y f x =的图像大致为（ ）【2019， 12】函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【2019， 2】下列函数中， 既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ．1y x =+C ．21y x =-+D ．2xy -=【2019， 13】若函数f (x )=x ln （x 2a x + 则a =（2019·12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-， 若函数1x y x +=与()y f x =图像的交点为11(,)x y ， 22(,)x y ， …， (,)m m x y ， 则1()mi i i x y =+=∑ （ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m（2019·8）设3log 6a =， 5log 10b =， 7log 14c =， 则（ ）A .c b a >>B .b c a >>C .a c b >>D .a b c >>xy O 1 1 A ． 1yx O 1x yO 1 11x y 1 O B ．C ．D ．（2019·10）已知函数32()f x x ax bx c =+++， 下列结论中错误的是（ ）A .00,()0x f x ∃∈=RB .函数()y f x =的图像是中心对称图形C .若0x 是()f x 的极小值点， 则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D .若0x 是()f x 的极值点， 则0()0f x '=（2019·2）下列函数中， 既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+D ．||2x y -=（2019·15）已知偶函数f (x )在[0, +∞)单调递减， f (2)=0. 若f (x -1)>0， 则x 的取值范围是_________.3．导数及其应用一、选择题【2019， 11】已知函数()f x =3231ax x -+， 若()f x 存在唯一的零点0x ， 且0x ＞0， 则a 的取值范围为A ．（2， +∞）B ．（-∞， -2）C ．（1， +∞）D ．（-∞， -1）【2019， 12】设点P 在曲线12x y e =上， 点Q 在曲线ln(2)y x =上， 则||PQ 的最小值为（ ）A ．1ln2-B ．2(1ln 2)-C ．1ln2+D ．2(1ln 2)+【2019， 9】由曲线y x =， 直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103B ．4C ．163 D ．6二、填空题【2019， 16】如图， 圆形纸片的圆心为O ， 半径为5 cm ， 该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点， △DBC ， △ECA ， △FAB 分别是以BC ， CA ， AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后， 分别以BC ， CA ， AB 为折痕折起△DBC ， △ECA ， △FAB ， 使得D ， E ， F 重合， 得到三棱锥．当△ABC ．的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______．【2019， 16】若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________．（2019·11）若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点， 则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e -D.1（2019·12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-， 若函数1x y x +=与()y f x =图像的交点为11(,)x y ， 22(,)x y ， …， (,)m m x y ， 则1()mi i i x y =+=∑ （ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m（2019·5）设函数211log (2)(1)()2(1)x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩， 则2(2)(l og 12)f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12（2019·10）如图， 长方形ABCD 的边AB =2， BC =1， O 是AB 的中点， 点P 沿着边BC ， CD 与DA 运动， 记∠BOP =x. 将动点P 到A ， B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ）， 则f （x ）的图像大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．（2019·12）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数， (1)0f -=， 当x >0时，()()0xf x f x '-<， 则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(1,0)(1,)-+∞UC ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)+∞U（2019·8）设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ， 则a =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3（2019·12）设函数()3xf x m π=， 若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是（ ）A ．(,6)(6,+)-∞-∞UB ．(,4)(4,+)-∞-∞UC ．(,2)(2,+)-∞-∞UD ．(,1)(4,+)-∞-∞U（2019·8）设3log 6a =， 5log 10b =， 7log 14c =， 则（ ）A .c b a >>B .b c a >>C .a c b >>D .a b c >>（2019·12）设点P 在曲线xe y 21=上， 点Q 在曲线)2ln(x y =上， 则||PQ 的最小值为（ ）A. 2ln 1-B. )2ln 1(2-C. 2ln 1+D. )2ln 1(2+（2019·2）下列函数中， 既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+D ．||2x y -=（2019·9）由曲线y x = 直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103B ．4C ．163 D ．6（2019·12）函数11y x =-的图像与函数2sin ,(24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8（2019·15）已知偶函数f (x )在[0, +∞)单调递减， f (2)=0. 若f (x -1)>0， 则x 的取值范围是_________.（2019·16）若直线y = kx +b 是曲线y = ln x +2的切线， 也是曲线y = ln(x +1)的切线， 则b = .三、解答题【2019， 12】已知函数()()22x x f x ae a e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点， 求a 的取值范围．【2019， 12】已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点， 证明：221<+x x ．【2019， 12】已知函数31()4f x x ax =++， ()ln g x x =-．（Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值， 设函数min{),()(}()h x f x g x =（0x >）， 讨论()h x 零点的个数．【2019， 21】设函数1(0ln x x be f xae x x -=+， 曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为(1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >．【2019， 21】设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2．(1)求a ， b ， c ， d 的值；(2)若x ≥－2时， f (x )≤kg (x )， 求k 的取值范围．【2019， 21】已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-．（1）求)(x f 的解析式及单调区间；（2）若bax x xf ++≥221)(， 求ba )1(+的最大值．【2019， 21】已知函数ln ()1a x bf x x x =++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >， 且1x ≠时， ln ()1x kf x x x >+-， 求k的取值范围．三、解答题（2019·21）已知函数2()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ， 且220()2e f x --<<.（2019·21）（Ⅰ）讨论函数2()2xx f x e x -=+ 的单调性， 并证明当x >0时，(2)20x x e x -++>；（Ⅱ）证明：当[0,1)a ∈时， 函数2()=(0)x e ax a g x x x -->有最小值.设g (x )的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.14．（2019·21）设函数2()mx f x e x mx =+-. （Ⅰ）证明：f (x )在（-∞， 0）单调递减， 在（0， +∞）单调递增；（Ⅱ）若对于任意x 1,， x 2∈[-1， 1]， 都有｜f (x 1)- f (x 2)｜≤ e -1， 求m 的取值范围．15．（2019·21）已知函数()2x xf x e e x -=--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()(2)4()g x f x bf x =-， 当0x >时， ()0g x >， 求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.41422 1.4143<， 估计ln2的近似值（精确到0.001）.16．（2019·21）已知函数()ln()xf x e x m =-+. （Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点， 求m ， 并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时， 证明()0f x >.17.（2019·21）已知函数121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+. （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若b ax x x f ++≥221)(， 求b a )1(+的最大值.18．（2019·21）已知函数ln ()1a x bf x x x =++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >， 且1x ≠时，ln ()1x kf x x x >+-， 求k 的取值范围.6．二项式定理一、选择题（2019·5）已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5， 则a =（ ）A .4-B .3-C .2-D .1-（2019·8）51()(2)a x x x x +-的展开式中各项系数的和为2， 则该展开式中常数项为（ ） A ．- 40B ．- 20C ．20D ．40（2019·15）4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32， 则a =_______．（2019·13）10()x a +的展开式中， 7x 的系数为15， 则a =________.4．三角函数、解三角形一、选择题【2019， 9】已知曲线C 1：y =cos x ， C 2：y =sin (2x +2π3)， 则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍， 纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移π6个单位长度， 得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍， 纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移π12个单位长度， 得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍， 纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移π6个单位长度， 得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍， 纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移π12个单位长度， 得到曲线C 2 【2019， 12】已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴， 且)(x f 在)365,18(ππ单调， 则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【2019， 8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示， 则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k ππ-+∈ZB ．13(2,2),44k k k ππ-+∈ZC ．13(,),44k k k -+∈ZD ．13(2,2),44k k k -+∈Z【2019， 2】sin 20cos10cos160sin10-=o o o o（ ）A ．3-B ．3C ．12-D ．12【2019， 6】如图， 圆O 的半径为1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点， 角x 的始边为射线OA ， 终边为射线OP ， 过点P 作直线OA 的垂线， 垂足为M ， 将点到直线的距离表示为的函数， 则=在[0,]上的图像大致为（ ）【2019， 8】设， ， 且， 则（ ） ． ． ． ．M OP x ()f x y ()f x π(0,)2πα∈(0,)2πβ∈1sin tan cos βαβ+=A 32παβ-=B 22παβ-=C 32παβ+=D 22παβ+=【2019， 9】已知， 函数在（， ）上单调递减， 则的取值范围是（ ）A ．[， ] B ．[， ] C ．（0，] D ．（0， 2]【2019， 5】已知角的顶点与原点重合， 始边与轴的正半轴重合， 终边在直线上， 则=A ．B ．C ．D ． 【2019， 11】设函数的最小正周期为，且， 则（ ） A ．在单调递减 B ．在单调递减 C ．在单调递增D ．在单调递增 （2019·7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度， 则平移后图象的对称轴为（ ） A ．()26k x k Z ππ=-∈B ．()26k x k Z ππ=+∈C ．()212k x k Z ππ=-∈D ．()212k x k Z ππ=+∈（2019·9）若3cos()45πα-=， 则sin 2α =（ ） A ．725B ．15C ．15-D ．725-（2019·4）钝角三角形ABC 的面积是12， AB =1， BC 2 则AC =（ ）A ．5B 5C ．2D ．1二、填空题【2019， 16】在平面四边形中， ， ， 则的取值范围是 ．0ω>()sin()4f x x πω=+2ππω1254123412θx 2y x =cos2θ45-35-3545()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><π()()f x f x -=()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭()f x 3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭()f x 3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭ABCD 75A B C ∠=∠=∠=o 2BC =AB【2019， 16】已知分别为的三个内角的对边， =2，且， 则面积的最大值为 ． 【2019， 15】设当x ＝θ时， 函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值， 则cos θ＝__________．【2019， 16】在中， 则的最大值为 ．（2019·14）函数()23sin 34f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． （2019·13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 若cos 45A =， 1cos 53C =，a = 1， 则b = .（2019·14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.（2019·15）设为第二象限角， 若， 则_________.三、解答题【2019， 17】△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ， 已知△ABC 的面积为（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长【2019，17】的内角的对边分别为， 已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若， 的面积为， 求的周长．【2019， 17】如图， 在△ABC 中， ∠ABC ＝90°， AB BC ＝1， P 为△ABC 内一点， ∠BPC ＝90°．(1)若PB ＝， 求PA ；(2)若∠APB ＝150°， 求tan ∠PBA ． ,,a b c ABC ∆,,A B C a (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-ABC ∆ABC V 60,3B AC ==o2AB BC +θ1tan()42πθ+=sin cos θθ+=23sin a AABC∆CB A ,,cb a ,,c A b B a C =+)cos cos (cos 2C 7=c ABC ∆233ABC ∆312【2019， 17】已知，， 分别为△ABC 三个内角A ， B ， C 的对边，．（1）求A ；（2）若， △ABC ， 求， ．ab c cos 3sin 0a C a C b c --=2a =3b c（2019·17）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2B A C +=．（1）求cos B ；（2）若6a c += , ABC ∆面积为2， 求.b ．（2019·17）在∆ABC 中， D 是BC 上的点， AD 平分∠BAC ， ∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍．（Ⅰ）求 sin sin BC ∠∠；（Ⅱ） 若AD =1， DC =2， 求BD 和AC 的长．（2019·17）在△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ， b ， c ， 已知a=bcosC+csinB . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2， 求△ABC 面积的最大值.（2019·17）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，bCCa.a+csin-3cos=-（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为3，求b，c.5．平面向量一、选择题【2019， 7】设为所在平面内一点， 则（ ）A ．B ．C ．D ．【2019， 10】已知a 与b 均为单位向量， 其夹角为， 有下列四个命题其中的真命题是（ ）A ．B ．C ．D ．【2019， 13】已知向量a ， b 的夹角为60°， |a |=2， | b |=1， 则| a +2 b |= ．【2019， 13】设向量a ， b ， 且a b a b ， 则 ．【2019， 15】已知A ， B ， C 是圆O 上的三点， 若， 则与的夹角为 ．【2019， 13】已知两个单位向量a ， b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝__________．【2019， 13】已知向量a r ， b r夹角为45°， 且||1a =r ， |2|10a b -=r r ， 则||b =r _________．（2019·12）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形， P 为平面ABC 内一点， 则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A.2-B.32-C. 43-D.1-（2019·3）已知向量(1)(32)，，=，m =-a b ， 且()⊥a +b b ， 则m =（ ） A ．-8 B ．-6 C ．6 D ．8（2019·3）设向量a ,b r r 满足10|a b |+r r ， 6|a b |-=r r 则a b ⋅rr =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5D ABC ∆3BC CD =u u u r u u u r1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r 1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r 4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r 4133AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r θ12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦14,P P 13,P P 23,P P 24,P P )1,(m =)2,1(=|+||2=||2+2|=m 1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u rAB u u u r ACu u u r（2019·13）设向量a ， b 不平行， 向量λ+a b 与2+a b 平行， 则实数λ= ____________． （2019·13）已知正方形的边长为2， 为的中点， 则_______. （2019·13）已知向量a ， b 夹角为45º， 且1=||a ， 102=-||b a ， 则=||b .6．数列一、选择题【2019， 4】记为等差数列的前项和．若， ， 则的公差为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．8【2019，12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1， 1， 2， 1， 2， 4， 1， 2， 4， 8， 1， 2， 4， 8， 16 ， …， 其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110【2019， 3】已知等差数列前项的和为， ， 则（ ）A ．B ．C ．D ．【2019， 7】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 若S m －1＝－2， S m ＝0， S m ＋1＝3， 则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【2019， 12】设△A n B n C n 的三边长分别为a n ， b n ， c n ， △A n B n C n 的面积为S n ， n ＝1,2,3， ….若b 1＞c 1， b 1＋c 1＝2a 1， a n ＋1＝a n ， b n ＋1＝， c n ＋1＝， 则( )．A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列， {S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列， {S 2n }为递增数列【2019， 14】若数列{a n }的前n 项和， 则{a n }的通项公式是a n ＝__________． 【2019， 5】已知{}为等比数列， ， ， 则（ ） A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7（2019·3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增， 共灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯， 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍， 则塔的顶层共有灯（ ）ABCD E CD AE BD ⋅=u u u r u u u rn S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a }{n a 927810=a =100a 1009998972n n c a +2n nb a +2133n n S a =+n a 472a a +=568a a =-110a a +=A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 （2019·4）已知等比数列{a n }满足a 1=3， a 1+ a 3+ a 5=21， 则a 3+ a 5+ a 7 =（ ）A ．21B ．42C ．63D ．84 （2019·3）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 已知32110S a a =+， 59a =， 则1a =（ ）A .13B .13-C .19D .19-（2019·5）已知{a n }为等比数列， a 4 + a 7 = 2， a 5 a 6 = 8， 则a 1 + a 10 =（ ）A. 7B. 5C. -5D. -7（2019·15）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =， 410S =， 则11nk kS ==∑ ．（2019·16）设S n 是数列{a n }的前项和， 且11a =-，11n n n a S S ++=， 则S n =________________．（2019·16）等差数列的前项和为， 已知， ， 则的最小值为____. （2019·16）数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ， 则}{n a 的前60项和为 .二、填空题【2019， 15】设等比数列满足， ， 则的最大值为 ． 【2019， 16】数列{na }满足1(1)21n n n a a n ++-=-， 则{na }的前60项和为__________．三、解答题【2019， 17】为数列的前项和．已知＞0，2243n n n a a S +=+． （Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设， 求数列的前项和．{}n a n n S 100S =1525S =n nS }{n a 1031=+a a 542=+a a 12n a a a L n S {}n a n n a {}n a 11n n n b a a +={}n b n【2019， 17】已知数列{}的前项和为， =1， ， ， 其中为常数．(Ⅰ)证明：；（Ⅱ）是否存在， 使得{}为等差数列？并说明理由．【2019， 17】等比数列的各项均为正数， 且（Ⅰ)求数列的通项公式；（Ⅱ）设 求数列的前n 项和．（2019·17）（满分12分）S n 为等差数列{a n }的前n 项和， 且a 1=1， S 7=28. 记b n =[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数， 如[0.9]=0， [lg99]=1. （Ⅰ）求b 1， b 11， b 101；（Ⅱ）求数列{b n }的前1 000项和.（2019·17）已知数列{a n }满足a 1 =1， a n +1 =3 a n +1.（Ⅰ）证明1{}2n a +是等比数列， 并求{a n }的通项公式； n a n n S 1a 0n a ≠11n n n a a S λ+=-λ2n n a a λ+-=λn a {}n a 212326231,9.a a a a a +=={}n a 31323log log ......log ,n n b a a a =+++1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）证明：123111…2n a a a +++<.（2019·17）等比数列{}n a 的各项均为正数， 且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设31323log log log n nb a a a =+++L L ， 求数列1{}n b 的前n 项和.7．不等式、线性规划、推理与证明一、选择题【2019， 9）】不等式组的解集记为．有下面四个命题：：；：； ：；4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-．其中真命题是（ ）A ．2p ， 3PB ．1p ， 4pC ．1p ， 2pD ．1p ，【2019， 14】设x ， y 满足约束条件， 则的最小值为 ．【2019，16】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5kg ， 乙材料1kg ， 用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5kg ， 乙材料0．3kg ，124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩D 1p (,),22x y D x y ∀∈+≥-2p (,),22x y D x y ∃∈+≥3P (,),23x y D x y ∀∈+≤3P 21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩32z x y =-用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ， 乙材料90kg ， 则在不超过600个工时的条件下， 生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．【2019， 15】若x ,y 满足约束条件， 则的最大值为 ．【2019， 14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ， B ， C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多， 但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为 ．【2019， 14】设x ， y满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩， 则2z x y=-的取值范围为___________．【2019， 13】若变量满足约束条件则的最小值为 ．（2019·5）设x ， y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩， 则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9（2019·9）设x ， y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩， 则2z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．3D ．2（2019·9）已知0a >， x ， y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩， 若2z x y =+的最小值为1， 则a =（ ）A .14B .12C .1D .2二、填空题10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩yx ,x y 329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩2z x y =+（2019·14）若x ， y 满足约束条件1020+220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩， 则z x y =+的最大值为_______．（2019·14）设x ， y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x ， 则2z x y =-的取值范围为 . （2019·13）若变量x ， y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩， 则2z x y =+的最小值为 .8．立体几何（含解析）一、选择题 【2019，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成， 正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形， 该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16【2019， 11】平面过正方体的顶点， 平面，平面 ， 平面， 则所成角的正弦值为A ．B ．C ．D ． 【2019， 6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是， 则它的表面积是（ ） A ． B ． C ． D ．【2019， 6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题：“今有委米依垣内角， 下周八尺， 高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图， 米堆为一个圆锥的四分之一）， 米堆底部的弧长为8尺， 米堆的高为5尺， 问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺， 圆周率约为3， 估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛 【2019， 11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体， 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示． 若该几何体的表面积为α1111D C B A ABCD -A //α11D CB αI ABCD m =I αn A ABB =11n m ,23223331328ππ17π18π20π28r， 则（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【2019年， 11题】 【2019年， 12题】 【2019年， 6题】 【2019， 12】如图， 网格纸上小正方形的边长为1， 粗实线画出的是某多面体的三视图， 则该多面体的个条棱中， 最长的棱的长度为（ ）．． ．6 ．4【2019， 6】如图， 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器， 容器高8 cm ， 将一个球放在容器口， 再向容器内注水， 当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ， 如果不计容器的厚度， 则球的体积为( )A ．cm 3 B ．cm 3 C ．cm 3 D ．cm 3【2019， 8】某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π1620π+r =A 62B 42C D 500π3866π31372π32048π3【2019年， 8】 【2019年， 7】 【2019年， 6】【2019， 7】如图， 网格纸上小正方形的边长为1， 粗线画出的是某几何体的三视图， 则此几何体的体积为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．15 【2019，11】已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形， SC 为球O 的直径， 且SC =2， 则此棱锥的体积为（ ） A． B ．C ．D ．【2019，6】在一个几何体的三视图中， 正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ）【2019，15】已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上， 且,则棱锥的体积为 ．（2019·4）如图， 网格纸上小正方形的边长为1， 学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图， 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得， 则该几何体的体积为（ ）A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π （2019·10）已知直三棱柱111C C AB -A B 中， C 120∠AB =o， 2AB =，1C CC 1B ==， 则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）26362322ABCDO6,23AB BC ==O ABCD -A ．32B ．15C ．10D ．33（2019·6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图， 则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π（2019·6）一个正方体被一个平面截去一部分后， 剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．81B ．71C ．61D ．51（2019·9）已知A ， B 是球O 的球面上两点， ∠AOB =90º， C 为该球面上的动点， 若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36， 则球O 的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π（2019·6）如图， 网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）， 图中粗线画出的是某零件的三视图， 该零件由一个底面半径为3cm ， 高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A ．1727B ．59C ．1027D ．13（2019·11）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， ∠BCA =90º， M ， N 分别是A 1B 1， A 1C 1的中点， BC =CA =CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A ．110B ．25C 30D 2（2019·4）已知,m n 为异面直线， m ⊥平面α， n ⊥平面β.直线l 满足l m ⊥， l n ⊥，l α⊄， l β⊄， 则（ ）A .α // β且l // αB .αβ⊥且l β⊥C .α与β相交， 且交线垂直于lD .α与β相交， 且交线平行于l（2019·7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)， (1,1,0)， (0,1,1)， (0,0,0)， 画该四面体三视图中的正视图时， 以zOx 平面为投影面， 则得到正视图可以为（ ）4423· 2019，62019， 62019， 6（2019·7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 18（2019·11）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A.62B. 63C. 32D. 22（2019·6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）A. B. C. D.（2019·14）α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.（3）如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有. (填写所有正确命题的编号.)（2019·15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23AB BC==，则棱锥O-ABCD的体积为 .三、解答题【2019， 18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC,,求二面角A-PB-C的余弦值．90BAP CDP∠=∠=o90APD∠=oB. C. D.【2019， 18】 如图， 在以为顶点的五面体中， 面为正方形，， 且二面角与二面角都是．（Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值．【2019， 18】如图， 四边形为菱形， ，是平面同一侧的两点， ⊥平面，⊥平面， ， ．（I ）证明：平面⊥平面；（II ）求直线与直线所成角的余弦值．【2019， 19】如图三棱柱中， 侧面为菱形， ． (Ⅰ) 证明：；（Ⅱ）若， ， AB=BC ， 求二面角的余弦值．F E D C B A ,,,,,ABEF ︒=∠=90,2AFD FD AF E AF D --F BE C --︒60⊥ABEF EFDC A BC E --ABCD 120ABC ∠=o ,E F ABCD BE ABCD DF ABCD 2BE DF =AE EC ⊥AEC AFC AE CF 111ABC A B C -11BB C C 1AB B C ⊥1AC AB =1AC AB ⊥o160CBB ∠=111A A B C --ABCDE F【2019， 18】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【2019， 19】如图， 直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC=BC=AA 1， D 是棱AA 1的中点， DC 1⊥BD ．（1）证明：DC 1⊥BC ；（2）求二面角A 1－BD －C 1的大小． 【2019，18】如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD ,PD ⊥底面ABCD ．(Ⅰ)证明：PA⊥BD ；(Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值．（2019·19）如图， 四棱锥P -ABCD 中， 侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==， o 90BAD ABC ∠=∠=， E 是PD 的中点.（1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上， 且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为o45 ， 求二面角M -AB -D 的余弦值21DA 11CC 1ADP分别在AD ， CD 上， AE =CF =54， EF 交BD 于点H . 将△DEF 沿EF 折到△D ´EF 的位置，10OD '=.（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值.（2019·19）如图， 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中AB =16， BC =10， AA 1=8， 点E ， F 分别在A 1B 1， D 1C 1上， A 1E =D 1F =4， 过点E ， F 的平面α与此长方体的面相交， 交线围成一个正方形.（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值.（2019·18）如图， 四棱锥P -ABCD 中， 底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB // 平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D -AE -C 为60º， AP =1， AD =3， 求三棱锥E -ACD 的体积.（2019·18）如图， 直三棱柱中， D ， E 分别是AB ，1BB 的中点，122AA AC CB AB ===.（Ⅰ）证明：//平面1ACD ；（Ⅱ）求二面角1D ACE --的正弦值.（2019·19）如图， 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，121AA BC AC ==， D 是棱AA 1的中点， DC 1⊥BD .（Ⅰ）证明：DC 1⊥BC ；（Ⅱ）求二面角A 1-BD -C 1的大小.（2019·18）如图， 四棱锥P -ABCD 中， 底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60°， AB =2AD ， PD ⊥底面ABCD . （Ⅰ）证明：PA ⊥BD ；（Ⅱ）若PD =AD ， 求二面角A -PB -C 的余弦值.111ABC A B C -1BC C B AD CA 1B 11A D1B 1C ACEB9．解析几何一、选择题 【2019，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点， 直线l 2与C 交于D 、E 两点， 则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10【2019， 10】以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点， 交的准线于两点， 已知,， 则的焦点到准线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【2019， 5】已知方程表示双曲线， 且该双曲线两焦点间的距离为， 则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【2019， 5】已知是双曲线：上的一点， 是的两个焦点， 若， 则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 【2019， 4】已知是双曲线：的一个焦点， 则点到的一条渐近线的距离为．3 ．【2019， 10】已知抛物线：的焦点为， 准线为， P 是l 上一点， Q是直线PF 与C 的一个交点， 若4FP FQ =u u u r u u u r， 则||QF =（ ）A ．72B ．52 C ．3 D ．2【2019， 4】已知双曲线C ：(a ＞0， b ＞0)的离心率为， 则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝B ．y ＝C ．y ＝D ．y ＝±x C C B A ,C E D ,24=AB 52=DE C 132222=--+nm y n m x 4n )3,1(-)3,1(-)3,0()3,0(00(,)M x y C 2212x y -=12,F F C 120MF MF ⋅<u u u u r u u u u r 0y 33(33-33(66-2222(33-33()33-F C 223(0)x my m m -=>F C A 3B C 3m D 3m C 28y x =F l 2222=1x y a b-5214x ±13x ±12x ±【2019， 10】已知椭圆E ：(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)， 过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1， －1)， 则E 的方程为( )A ．B ．C ．D ． 【2019， 4】设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y ab +（0a b >>）的左、右焦点， P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形， 则E 的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45【2019， 8】等轴双曲线C 的中心在原点， 焦点在轴上， C 与抛物线的准线交于A ， B 两点， ， 则C 的实轴长为（ ）A B ．C ．4D ．8【2019，7】设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点， 为C 的实轴长的2倍， 则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．3（2019·9）若双曲线C:22221x y a b -=（0a >， 0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2， 则C 的离心率为（ ）A ．2B 3C 2D ．23（2019·4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1， 则a =（ ） A ．43-B ．34-C 3D ．2（2019·11）已知F 1， F 2是双曲线E ：22221x y a b -=的左， 右焦点， 点M 在E 上， M F 1与x 轴垂直， 211sin 3MF F ∠=， 则E 的离心率为（ ）A 2B ．32C 3D ．2（2019·7）过三点A (1, 3)， B (4, 2)， C (1, -7)的圆交于y 轴于M 、N 两点， 则MN=（ ）2222=1x y a b+22=14536x y +22=13627x y +22=12718x y +22=1189x y +x 216y x=||3AB =222AB 23A ．26B ．8C ．6D ．10（2019·11）已知A ， B 为双曲线E 的左， 右顶点， 点M 在E 上， ∆ABM 为等腰三角形， 且顶角为120°， 则E 的离心率为（ ）A 5B ．2C 3D 2（2019·10）设F 为抛物线C :23y x =的焦点， 过F 且倾斜角为30º的直线交C 于A , B 两点， O 为坐标原点， 则△OAB 的面积为（ ）A ．33B ．93C ．6332D ．94（2019·11）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ， 点M 在C 上， ||5MF =， 若以MF为直径的园过点(0,2)， 则C 的方程为（ ）A .24y x =或28y x =B .22y x =或28y x =C .24y x =或216y x =D .22y x =或216y x =（2019·12）已知点(1,0)A -， ， (0,1)C ， 直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分， 则b 的取值范围是（ ） A .(0,1)B .21(1)22-C .D .（2019·4）设F 1， F 2是椭圆E : 12222=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点， P 为直线23a x =上的一点， 12PF F △是底角为30º的等腰三角形， 则E 的离心率为（ ）A.21B.32C.43D.54（2019·8）等轴双曲线C 的中心在原点， 焦点在x 轴上， C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ， B 两点， |AB |=34， 则C 的实轴长为（ ）A.2B. 22C. 4D. 8（2019·7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点， 且与C 的一条对称轴垂直， l 与C 交于A , B 两点， |AB |为C 的实轴长的2倍， 则C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2D ．3二、填空题【2019， 15】已知双曲线C ：（a >0， b >0）的右顶点为A ， 以A 为圆心，b 为半径作圆A ， 圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________．(1,0)B 21(1]311[,)3222221x y a b-=。
高考新课标全国卷理科数学分类汇编
）
10 A． 3
B．4
16 C． 3
D ．6
二、填空题
【2019 ，
16】如图，
圆形纸片的圆心为 O，
半径为 5
cm ，
该纸片上的等边三角形 ABC的中心为 O． D、 E、 F为圆 O上的点， △DBC， △ECA，
△FAB 分别是以 BC， CA， AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，
分别以 BC，
D． log a c log b c
【2019 ， 3】设函数 f ( x) ， g (x) 的定义域都为 R， 且 f (x) 是奇函数， g (x) 是偶函数，
则下列结论正确的是（
）
A ． f ( x) g( x) 是偶函数
B ． | f (x) | g (x) 是奇函数
C ． f ( x) | g( x) |是奇函数
1．集合与常用逻辑用语
一、选择题
【2019 ， 1】已知集合 A
xx 1 ， B
x 3x 1 ， 则（ ）
A． A I B { x | x 0}
B． AU B R
C． A U B { x | x 1}
D． AI B 【2019 ， 1】设集合 A { x x2 4x 3 0} ， B { x 2x 3 0} ， 则 A I B （ ）
x 与y
m
交点为 ( x1 , y1) ，
( x2 , y2) ，
…，
( xm, ym ) ，
则
( xi
i1
yi )
（
）
A．0
B．m
C． 2m
D ．4m
f ( x) 图像的
1 log 2(2 x) ( x 1)
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全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ⋂B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）21. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1}2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ⋂B=A ．{3，5}B ．{3，6}C ．{3，7}D ．{3，9}3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }，N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ）（A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i2. （2015卷2）若a 实数，且iai++12=3+i,则a=（ ） B. -3 C. 3 D. 43. （2010卷1）已知复数()2313i iz -+=，其中=•z z z z 的共轭复数，则是（ ） A=41B=21C=1 D=2 向量1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC =(-4,-3)，则向量BC = ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4)2. （2015卷2）已知向量a =(0,-1),b b =(-1,2),则()a b a •+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 23. （2013卷3）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60度，()0,1=•-+=c b b t a t c 且，那么t= 程序框图（2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 函数（2011卷1）在下列区间中，函数()34-+=x e x f x的零点所在区间为A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,41 B .⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41 D.⎪⎭⎫⎝⎛43,21（2010卷1）已知函数()⎩⎨⎧=≤<>+-100,lg 10,621x x x x x f ，若啊a,b,c,互不相等，且()()()c f b f a f ==，则abc 的取值范围是（ ）A.（1,10）B.（5,6）C.（10,12）D.（20,24） 导数（2015卷2）已知曲线y=x+lnx 在点（1,1）处的切线与曲线()122+++=x a ax y 相切，则=a（2014卷1）若函数()x kx x f ln -=在区间（1，∞+）单调递增，则k 的取值范围（ ） A. (]2,-∞- B.(]1,-∞- C.[)+∞,2 D. [)+∞,1（2012卷1）设函数()()1sin 122+++=x xx x f 的最大值M ，最小值N ，则M+N=三角函数与解三角形在锐角ABC ∆中，若2C B =，则cb的范围 （ ）（A ） （B ）)2 （C ） ()0,2 （D ）)2（2015卷1）函数()()ϕ+=wx x f cos 的部分图像如图所示，则()x f 的递减区间为（ ） 不等式概率统计（2015卷1）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）A.103 B.51 C.101 D.201（2012卷2）6位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则不同的演讲次序共有 （A ）240种 （B ）360种 （C ）480种 （D ）720种 （2010卷1）设y ＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分()dx x f ⎰1.先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN 和y1，y2，…，yN ，由此得到N 个点(xi ，yi)(i ＝1,2，…，N)．再数出其中满足yi ≤f(xi)(i ＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分()dx x f ⎰1的近似值为________．立体几何（2015卷2）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°,C 为该球面上动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为 A. 36π B. 64π C. 144π π（2014卷2）正三棱柱ABC -111C B A 的底面边长为2，侧棱长为3，则三棱锥A-111C B A 的体积为 （A ）3 （B ）23（C ）1 （D ）23平面几何与圆锥曲线数列 大题分类 三角函数1、9、如图，2AO =，B 是半个单位圆上的动点，ABC 是等边三角形，求当AOB ∠等于多少时，四边形OACB 的面积最大，并求四边形面积的最大值．2、（2017卷三）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A cos A =0，a ,b =2.（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积.3、在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.（1）求函数()f α的值域；（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()f C =，且a =1c =，求b .1. 4、在锐角△ABC 中，c b a 、、分别为∠A 、∠B 、∠C 所对的边，且A c a sin 23= （1）确定∠C 的大小；（2）若c ABC 周长的取值范围．空间几何体1、如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB 90BAP CDP ∠=∠=90APD ∠=2、如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面三角形BCD ，01,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点 （1）证明：学|科网直线//CE 平面PAB（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为045 ，求二面角M-AB-D 的余弦值3、如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABD ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C数列、2017年没有考大题1、设数列{a n }（n=1，2，3，…）的前n 项和S n 满足S n =2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）记数列{n a 1}的前n 项和为T n ，求使得|T n ﹣1|10001 成立的n 的最小值．2. 2、已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2，b 1=1，a n+1=2a n （n ∈N *），b 1+b 2+b 3+…+b n =b n+1﹣1（n∈N *） （Ⅰ）求a n 与b n ；（Ⅱ）记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n ．概率分布1、淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到）2、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2)．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；学科&网（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ===，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i =1,2, (16)用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到）．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ,σ2)，则P (μ–3σ<Z <μ+3σ)= 4， 416≈ 2，0.09≈．圆锥曲线1、设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.(1) 求点P 的轨迹方程；(2) 设点Q 在直线x=-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.2、已知椭圆C：2222=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–13），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.3.如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线上的射影依次为点D、E。
（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；（2）（理）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。