2019-2020高考数学试题分类汇编

2019---2020年真题分类汇编

一、 集合(2019)

1,(全国1理1)已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N =

A .}{43x x -<<

B .}42{x x -<<-

C .}{22x x -<<

D .}{23x x <<

2,(全国1文2)已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===,,,则U

B A =

A .{}1,6

B .{}1,7

C .{}6,7

D .{}1,6,7 3,(全国2理1)设集合A ={x |x 2–5x +6>0},B ={x |x –1<0},则A ∩B =

A .(–∞,1)

B .(–2,1)

C .(–3,–1)

D .(3,+∞) 4,(全国2文1)已知集合={|1}A x x >-,{|2}B x x =<,则A ∩B = A .(-1,+∞) B .(-∞,2) C .(-1,2) D .? 5,(全国3文、理1)已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤,,则A B =

A .{}1,0,1-

B .{}0,1

C .{}1,1-

D .{}0,1,2 6,(北京文,1)已知集合A ={x |–11},则A ∪B = (A )(–1,1) (B )(1,2) (C )(–1,+∞) (D )(1,+∞) 7,(天津文、理,1)设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤

B .{}2,3

C .{}1,2,3-

D .{}1,2,3,4

8(浙江1).已知全集{}1,0,1,2,3U =-,集合{}0,1,2A =,{}1,0,1B =-,则()U A B = A .{}1- B .{}0,1 C .{}1,2,3- D .{}1,0,1,3- 9,(江苏1).已知集合{1,0,1,6}A =-,{|0,}B x x x =>∈R ,则A B = . 10,(上海1)已知集合{1A =,2,3,4,5},{3B =,5,6},则A B = .

一、 集合(2020)

1.(2020?北京卷)已知集合{1,0,1,2}A =-,{|03}B x x =<<,则A B =( ). A. {1,0,1}-

B. {0,1}

C. {1,1,2}-

D. {1,2}

2.(2020?全国1卷)设集合A ={x |x 2–4≤0},B ={x |2x +a ≤0},且A ∩B ={x |–2≤x ≤1},则

a =( ) A. –4

B. –2

C. 2

D. 4

3.(2020?全国2卷)已知集合U ={?2,?1,0,1,2,3},A ={?1,0,1},B ={1,2},则()U A B ?=( )

A. {?2,3}

B. {?2,2,3}

C. {?2,?1,0,3}

D. {?2,?1,0,2,3} 4.(2020?全国3卷)已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ,{(,)|8}B x y x y =+=,则A B 中元素的个数为( ) A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

5.(2020?江苏卷)已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=,则A B =_____.

6.(2020?新全国1山东)设集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2

7.(2020?天津卷)设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---,集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-,则

(

)U

A

B =( )

A. {3,3}-

B. {0,2}

C. {1,1}-

D. {3,2,1,1,3}---

8.(2020?浙江卷)已知集合P ={|14}<

x

∈S ; 下列命题正确的是( )

A. 若S 有4个元素,则S ∪T 有7个元素

B. 若S 有4个元素,则S ∪T 有6个元素

C. 若S 有3个元素,则S ∪T 有4个元素

D. 若S 有3个元素,则S ∪T 有5个元素 10.(2020?上海卷)已知集合{}1,2,4A =,{}2,3,4B =,求A B =_______

二、复数(2019)

1,(全国1理,2)设复数z 满足=1i z -,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则

A .22+11()x y +=

B .221(1)x y +=-

C .22(1)1y x +-=

D .22(+1)1y x +=

2,(全国1文,1)设3i 12i

z -=+,则z =

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A .2

B

C

D .1 3,(全国2理2)设z =–3+2i ,则在复平面内z 对应的点位于 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 4,(全国2文,2)设z =i(2+i),则z = A .1+2i B .-1+2i C .1-2i D .-1-2i 5,(全国3理、文,2)若(1i)2i z +=,则z = A .1i -- B .1+i - C .1i - D .1+i 6,(北京,理、文2)已知复数z =2+i ,则z z ?=

(A (B (C )3 (D )5

7,(天津理、文9)i 是虚数单位,则5i

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i

1-+的值为_____________.

8,(浙江11)复数1

1i

z =+(i 为虚数单位),则||z =___________.

9,(江苏2)已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是 . 10,(上海5)设i 为虚数单位,365z i i -=+,则||z 的值为

二、复数(2020)

1.(2020?北京卷)在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(1,2),则i z ?=( ). A. 12i +

B. 2i -+

C. 12i -

D. 2i --

2.(2020?全国1卷)若z=1+i ,则|z 2–2z |=( ) A. 0

B. 1

C. 2

D. 2

3.(2020?全国2卷)设复数1z ,2z 满足12||=||=2z z ,123i z z +=+,则12||z z -=__________.

4.(2020?全国3卷)复数1

13i

-的虚部是( ) A. 3

10

-

B. 110

-

C.

110

D.

310

5.(2020?江苏卷)已知i 是虚数单位,则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.

6.(2020?新全国1山东)

2i

12i

-=+( ) A. 1 B. ?1 C. I D. ?i 7.(2020?天津卷)i 是虚数单位,复数

82i

i

-=+_________. 8.(2020?浙江卷)已知a ∈R ,若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数,则a =( ) A. 1

B. –1

C. 2

D. –2

9.(2020?上海卷)已知复数z 满足12z i =-(i 为虚数单位),则z =_______

三、函数(2019)

1,(全国1理、文,3)已知0.20.32

log 0.220.2a b c ===,,,则 A .a b c <<

B .a c b <<

C .c a b <<

D .b c a <<

2(全国1理、文,5).函数f (x )=2sin cos ++x x

x x

在[,]-ππ的图像大致为

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A .

B .

C .

D .

3,(全国1理、文13)曲线23()e x y x x =+在点(0)0,处的切线方程为____________.

4,(全国2理,4)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行.2L 点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M 1,月球质量为M 2,地月距离为R ,2L 点到月球的距离为r ,根据牛顿运动定律

和万有引力定律,r 满足方程:121

223

()()M M M R r R r r R +=++.

设r

R

α=,由于α的值很小,因此在近似计算中34532

333(1)ααααα++≈+,则r 的近似值为 A .

2

1

M R M B .

2

1

2M R M

C .

2

3

1

3M R M D .

2

3

1

3M R M 5,(全国2理,12).设函数()f x 的定义域为R ,满足(1) 2 ()f x f x +=,且当(0,1]x ∈时,

()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞,都有8

()9

f x ≥-,则m 的取值范围是

A .9,4??-∞ ???

B .7,3??-∞ ???

C .5,2??-∞ ???

D .8,3?

?-∞ ??

?

6,(全国2理14)已知()f x 是奇函数,且当0x <时,()e ax f x =-.若(ln 2)8f =,则

a =__________.

7,(全国2文,6)设f (x )为奇函数,且当x ≥0时,f (x )=e 1x -,则当x <0时,f (x )= A .e 1x -- B .e 1x -+ C .e 1x --- D .e 1x --+ 8,(全国2文,10)曲线y =2sin x +cos x 在点(π,-1)处的切线方程为

A .10x y --π-=

B .2210x y --π-=

C .2210x y +-π+=

D .10x y +-π+=

9,(全国3理6、文7).已知曲线e ln x y a x x =+在点(1,a e )处的切线方程为y =2x +b ,则

A .e 1a b ==-,

B .a=e ,b =1

C .1e 1a b -==,

D .1e a -=,1b =-

10,(全国3理11)设()f x 是定义域为R 的偶函数,且在()0,+∞单调递减,则

A .f (log 314)>f (322-)>f (232-)

B .f (log 314

)>f (232-)>f (322-)

C .f (322-)>f (232-)>f (log 314)

D .f (232-)>f (3

22-)>f (log 314

11,(全国3理7)函数3

222x x

x y -=+在[]6,6-的图像大致为

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A .

B .

C .

D .

12,(北京理8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C :221||x y x y +=+就是

其中之一(如图).给出下列三个结论:

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①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点); ②曲线C 2; ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是 (A )① (B )② (C )①② (D )①②③

13,(北京理13)设函数f (x )=e x +a e ?x (a 为常数).若f (x )为奇函数,则a =________;

若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是___________.

14,(北京理、文14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白

梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.

①当x =10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;

②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x 的最大值为__________.

15,(北京文3)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是

(A )12y x = (B )y =2x - (C )12log y x

= (D )1y x

=

16,(北京文7)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与

亮度满足212

1

52–lg E m m E =,其中星等为k m 的星的亮度为k E (k =1,2).已知太阳的星等

是–26.7,天狼星的星等是–1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 (A )1010.1 (B )10.1 (C )lg10.1 (D )10.110-

17,(天津理6).已知5log 2a =,0.5og 2.l 0b =,0.20.5c =,则,,a b c 的大小关系为 A .a c b <<

B .a b c <<

C .b c a <<

D .c a b <<

18,(天津文5)已知0.2

23log 7,log 8,0.3a b c ===,则a ,b ,c 的大小关系为

(A )c b a << (B )a b c << (c )b c a << (D )c a b <<

19,(天津理8).已知a ∈R ,设函数222,1,

()ln ,

1.x ax a x f x x a x x ?-+≤=?->?若关于x 的不等式()0

f x ≥在R 上恒成立,则a 的取值范围为 A .[]0,1 B .[]0,2 C .[]0,e D .[]1,e

20,(天津文8)已知函数2,01,

()1

,

1.x x f x x x

?≤≤?

=?>??若关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解,则a 的取值范围为

(A)

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59

,

44

??

??

??

(B)

59

,

44

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??

?

??

(C)

59

,{1}

44

??

?

??

(D)

59

,{1}

44

??

??

??

21,(天津文11)曲线cos

2

x

y x

=-在点(0,1)处的切线方程为__________.

22.(浙江11)已知,a b∈R,函数

32

,0

()11

(1),0

32

x x

f x

x a x ax x

<

?

?

=?

-++≥

??

若函数()

y f x ax b

=--恰有3个零点,则

A.a<–1,b<0 B.a<–1,b>0

C.a>–1,b<0 D.a>–1,b>0

23,(浙江6).在同一直角坐标系中,函数y =1

x

a

,y=log a(x+1

2

)(a>0,且a≠1)的图象可能是

24,(浙江16)已知a∈R,函数3

()

f x ax x

=-,若存在t∈R,使得

2

|(2)()|

3

f t f t

+-≤,则实数a的最大值是____.

25.(江苏4)函数2

76

y x x

=+-的定义域是 .

26,(江苏10).在平面直角坐标系xOy中,P是曲线

4

(0)

y x x

x

=+>上的一个动点,

则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .

27,(江苏14).设(),()

f x

g x是定义在R上的两个周期函数,()

f x的周期为4,()

g x的周

期为2,且()

f x是奇函数.当2

(]

0,

x∈时,2

()1(1)

f x x

=--,

(2),01

()1

,12

2

k x x

g x

x

+<≤

?

?

=?

-<≤

??

,其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程()()

f x

g x

=有8个不同的实数根,则k的取值范围是▲ .

28.(上海13)(5分)下列函数中,值域为[0,)

+∞的是()

A.2x

y=B.

1

2

y x

=C.tan

y x

=D.cos

y x

=

29,(上海10).(5分)如图,已知正方形OABC,其中(1)

OA a a

=>,函数2

3

y x

=交BC于点P,函数

1

2

y x-

=交AB于点Q,当||||

AQ CP

+最小时,则a的值为.

30,(全国1理,20)已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明:

(1)()f x '在区间(1,)2

π

-存在唯一极大值点;

(2)()f x 有且仅有2个零点.

31,(全国1文,20)已知函数f (x )=2sin x -x cos x -x ,f ′(x )为f (x )的导数.

(1)证明:f ′(x )在区间(0,π)存在唯一零点; (2)若x ∈[0,π]时,f (x )≥ax ,求a 的取值范围.

32,(全国2理,20)已知函数()1

1

ln x f x x x -=-+.

(1)讨论f (x )的单调性,并证明f (x )有且仅有两个零点;

(2)设x 0是f (x )的一个零点,证明曲线y =ln x 在点A (x 0,ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线.

33(全国2文21)已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明:

(1)()f x 存在唯一的极值点;

(2)()=0f x 有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.

34(全国3理,20)已知函数32()2f x x ax b =-+.

(1)讨论()f x 的单调性; (2)是否存在,a b ,使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1?若存在,求出,a b 的所有值;若不存在,说明理由.

35(全国3文,20)已知函数32()22f x x ax =-+.

(1)讨论()f x 的单调性;

(2)当0

36(北京理19,文科20)已知函数32

1()4

f x x x x =-+.

(Ⅰ)求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程; (Ⅱ)当[2,4]x ∈-时,求证:6()x f x x -≤≤;

37(天津理20)设函数()e cos ,()x f x x g x =为()f x 的导函数.

(Ⅰ)求()f x 的单调区间;

(Ⅱ)当,42x ππ??

∈????

时,证明()()02f x g x x π??+-≥ ???;

38(天津文20)设函数()ln (1)e x f x x a x =--,其中a ∈R .

(Ⅰ)若a ≤0,讨论()f x 的单调性;

(Ⅱ)若1

0e

a <<,

(i )证明()f x 恰有两个零点;

(ii )设0x 为()f x 的极值点,1x 为()f x 的零点,且10x x >,证明0132x x ->.

三、函数(2020) 1.(2020?北京卷)已知函数()21x f x x =--,则不等式()0f x >的解集是( ). A. (1,1)- B. (,1)(1,)-∞-+∞ C. (0,1) D. (,0)(1,)-∞?+∞ 2.(2020?北京卷)函数1

()ln 1

f x x x =

++的定义域是____________. 3.(2020?北京卷)已知函数2()12f x x =-. (Ⅰ)求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程;

(Ⅱ)设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ,求()S t 的最小值.

4.(2020?全国1卷)函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ,处的切线方程为( ) A. 21y x =-- B. 21y x =-+ C. 23y x =- D. 21y x =+

5.(2020?全国1卷)若242log 42log a b

a b +=+,则( )

A. 2a b >

B. 2a b <

C. 2a b >

D. 2a b <

6.(2020?全国1卷)已知函数2()e x f x ax x =+-. (1)当a =1时,讨论f (x )的单调性; (2)当x ≥0时,f (x )≥

12

x 3

+1,求a 的取值范围. 7.(2020?全国2卷)设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--,则f (x )( )

A. 是偶函数,且在1

(,)2

+∞单调递增

B. 是奇函数,且在11

(,)22

-单调递减

C. 是偶函数,且在1(,)2

-∞-单调递增

D. 是奇函数,且在1(,)2

-∞-单调递减

8.(2020?全国2卷)若2233x y x y ---<-,则( ) A. ln(1)0y x -+>

B. ln(1)0y x -+<

C. ln ||0x y ->

D. ln ||0x y -<

9.(2020?全国2卷)已知函数f (x )=sin 2x sin2x . (1)讨论f (x )在区间(0,π)的单调性;

(2)证明:()f x ≤

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(3)设n ∈N *,证明:sin 2

x sin 2

2x sin 2

4x …sin 2

2n

x ≤34

n

n .

10.(2020?全国3卷)Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位:天)的Logistic 模型:

0.23(53)

()=

1e

t I K t --+,其中K 为最大确诊病例数.当I (*t )=0.95K 时,标志着已初步遏制疫情,则

*t 约为( )(ln19≈3) A. 60

B. 63

C. 66

D. 69

11.(2020?全国3卷)若直线l 与曲线y x 2+y 2=1

5

都相切,则l 的方程为( )

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A. y =2x +1

B. y =2x +

12

C. y =

1

2

x +1 D. y =

12x +12

12.(2020?全国3卷)已知55<84,134<85.设a =log 53,b =log 85,c =log 138,则( ) A. a

B. b

C. b

D. c

13.(2020?全国3卷)设函数3()f x x bx c =++,曲线()y f x =在点(12,f (1

2

))处的切线与y 轴垂直. (1)求b .

(2)若()f x 有一个绝对值不大于1的零点,证明:()f x 所有零点的绝对值都不大于1. 14.(2020?江苏卷)已知y =f (x )是奇函数,当x ≥0时,()2

3 f x x = ,则f (-8)的值是____. 15.(2020?江苏卷)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底

O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行,OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量,左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式2

1140

h a =

;右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3

216800

h b b =-

+.已知点B 到OO '的距离为40米.

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(1)求桥AB 的长度;

(2)计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ,且CE 为80米,其中C ,E 在AB 上(不

包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价3

2

k (万元)(k >0).问O E '为多少米时,

桥墩CD 与EF 的总造价最低?

16.(2020?江苏卷)已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥.

(1)若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+,,,

,求h (x )的表达式; (2)若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞,,,

,求k 的取值范围;

(3)若()422242

() 2() (48 () 4 3 0)2 2f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<,,≤,[] , 2,2D m n =?-????

,求证:7n m -≤.

17.(2020?新全国1山东)基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律,指数增长率r 与R 0,T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28,

T =6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) ( )

A. 1.2天

B. 1.8天

C. 2.5天

D. 3.5天

18.(2020?新全国1山东)若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减,且f (2)=0,则满足

(10)xf x -≥的x 的取值范围是( )

A. [)1,1][3,-+∞

B. 3,1][,[01]--

C. [1,0][1,)-?+∞

D. [1,0][1,3]-? 19.(2020?新全国1山东)已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+.

(1)当a e =时,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若f (x )≥1,求a 的取值范围. 20.(2020?天津卷)函数241

x

y x =

+的图象大致为( ) A .

B.

C.

D.

21.(2020?天津卷)设0.8

0.70.713,,log 0.83a b c -??

=== ?

??,则,,a b c 的大小关系为( )

A. a b c <<

B. b a c <<

C. b c a <<

D. c a b <<

22.(2020?天津卷)已知函数3,0,(),0.x x f x x x ?=?-

()()2()g x f x kx x

k =--∈R 恰有4

个零点,则k 的取值范围是( )

A. 1,(22,)2?

?-∞-+∞ ???

B. 1,(0,22)2?

?-∞- ???

C. (,0)(0,22)-∞

D. (,0)(22,)-∞+∞

23.(2020?天津卷)已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈,()f x '为()f x 的导函数. (Ⅰ)当6k =时,

(i )求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;

(ii )求函数9()()()g x f x f x x

'

=-+的单调区间和极值;

(Ⅱ)当3k -时,求证:对任意的12,[1,)x x ∈+∞,且12x x >,有

()()()()

121212

2f x f x f x f x x x ''+->-.

24.(2020?浙江卷)函数y =x cos x +sin x 在区间[–π,+π]的图象大致为( )

A. B. C. D.

25.(2020?浙江卷)已知a ,b ∈R 且ab ≠0,若(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0在x ≥0上恒成立,则( ) A. a <0

B. a >0

C. b <0

D. b >0

26.(2020?浙江卷)已知12a <≤,函数()e x

f x x a =--,其中e =2.71828…为自然对数的底

数.

(Ⅰ)证明:函数()y f x =在(0)+∞,

上有唯一零点; (Ⅱ)记x 0为函数()y f x =在(0)+∞,

上的零点,证明:

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(ⅰ)0x ≤; (ⅱ)00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--.

27.(2020?上海卷)设a R ∈,若存在定义域R 的函数()f x 既满足“对于任意0x R ∈,()

0f x 的值为20

x 或0

x ”又满足“关于x 的方程

()f x a =无实数解”

,则α的取值范围为____.

28.(2020?上海卷)若存在a R ∈≠且a 0,对任意的x R ∈,均有()()()f x a f x f a ++<恒成立,则称函数()f x 具有性质P ,已知:()1:q f x 单调递减,且()0f x >恒成立;()2q f x :单调递增,存在00x <使得()00f x =,则是()f x 具有性质P 的充分条件是( ) A 、只有1q B 、只有2q C 、12q q 和 D 、12q q 和都不是

29.(2020?上海卷)已知:=x q ν,x (0,80]∈,且80

1100-135(),(0,40)

=(0)3

(40)85,[40,80]

x x k k x x ν?∈?>??--+∈?, (1)若v>95,求x 的取值范围;

(2)已知x=80时,v=50,求x 为多少时,q 可以取得最大值,并求出该最大值。

四、三角函数(2019)

1,(全国1理11).关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论:

①f (x )是偶函数

②f (x )在区间(

2

π,π)单调递增

③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2

其中所有正确结论的编号是 A .①②④ B .②④ C .①④ D .①③ 2,(全国1文7)tan255°= A .

B .

C .

D .

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3,(全国1文11)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 已知a sin A -b sin B =4c sin C ,cos A =-1

4

,则b

c

=

A .6

B .5

C .4

D .3 4,(全国2理9).下列函数中,以2

π为周期且在区间(

4

π,

2

π)单调递增的是

A .f (x )=│cos2x │

B .f (x )=│sin2x │

C .f (x )=cos │x │

D .f (x )=sin │x │

5,(全国2理10、文11).已知α∈(0,

2

π),2sin2α=cos2α+1,则sin α=

A .1

5

B

5

3

D

5

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6,(全国2文,8)若x 1=

4π,x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点,则ω= A .2 B .32 C .1 D .1

2

7(全国3理,12)设函数()f x =sin (5

x ωπ

+)(ω>0),已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个

零点,下述四个结论:

①()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2π)有且仅有2个极小值

③()f x 在(0,

10π)单调递增 ④ω的取值范围是[1229

510

,) 其中所有正确结论的编号是

A .①④

B .②③

C .①②③

D .①③④ 8(全国3文5).函数()2sin sin2f x x x =-在[0,2π]的零点个数为 A .2 B .3 C .4 D .5

9,(北京文6)设函数f (x )=cos x +b sin x (b 为常数),则“b =0”是“f (x )为偶函数”的

(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 10,(天津理7、文7)已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?=+>><π是奇函数,将()

y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为

()g x .若()g x 的最小正周期为2π

,且4g π??= ???38f π??

= ???

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A .2-

B

C

D .2 11,(全国1文15).函数3π

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()sin(2)3cos 2

f x x x =+-的最小值为___________.

12,(全国2,理15)ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π

6,2,3

b a

c B ===,则ABC

△的面积为_________.

13,(全国2文.15).ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知b sin A +a cos B =0,则B =__ 14,(北京理9)函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________. 15,(浙江14)在ABC △中,90ABC ∠=?,4AB =,3BC =,点D 在线段AC 上, 若45BDC ∠=?,则BD =____,cos ABD ∠=___________.

16,(江苏13)已知tan 2π3tan 4αα=-??+ ???,则πsin 24α?

?+ ???的值是 .

17,(上海8).(5分)在ABC ?中,3AC =,3sin 2sin A B =,且1cos 4

C =,则AB = . 18,(全国1理17)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设

22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.

(1)求A ;

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(22b c +=,求sin C .

19,(全国3理、文18)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin

sin 2

A C

a b A +=. (1)求B ;

(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围.

20,(北京理15)在△ABC 中,a =3,b ?c =2,cos B =1

2

-.

(Ⅰ)求b ,c 的值;

(Ⅱ)求sin (B –C )的值.

21,(北京文15)在△ABC 中,a =3,–2b c =,cos B =12

-. (Ⅰ)求b ,c 的值;

(Ⅱ)求sin (B +C )的值. 22,(天津理15、文16题)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=,3sin 4sin c B a C =.

(Ⅰ)求cos B 的值;

(Ⅱ)求sin 26B π?

?+ ??

?的值.

23,(浙江18)设函数()sin ,f x x x =∈R .

(1)已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数,求θ的值;

(2)求函数22

[()][()]124

y f x f x ππ=+++的值域.

24,(江苏15)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .

(1)若a =3c ,b ,cos B =2

3

,求c 的值;

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(2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2

B π

+的值.

四、三角函数(2020)

1.(2020?北京卷)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day ).历史上,求圆周率π的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n 充分大时,计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形(各边均与圆相切的正6n 边形)的周长,将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法,π的近似值的表达式是( ).

A. 30303sin tan n n n ????

+ ??? B. 30306sin tan n n n ????

+ ??? C. 60603sin tan n n n ????+ ???

D. 60606sin tan n n n ????+ ???

2.(2020?北京卷)若函数()sin()cos f x x x ?=++的最大值为2,则常数?的一个取值为_______.

3.(2020?北京卷)在ABC 中,11a b +=,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知,求: (Ⅰ)a 的值:

(Ⅱ)sin C 和ABC 的面积.

条件①:1

7,cos 7

c A ==-;

条件②:19

cos ,cos 816

A B ==.

注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.

4.(2020?全国1卷)设函数()cos π

()6

f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图,则f (x )的最小正

周期为( )

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A.

10π9 B. 7π6 C. 4π

3

D. 3π2

5.(2020?全国1卷)已知 π()0,α∈

,且3cos28cos 5αα-=,则sin α=( ) A.

53

B. 23

C. 13

D. 5

96.(2020?全国2卷)若α为第四象限角,则( ) A. cos2α>0

B. cos2α<0

C. sin2α>0

D. sin2α<0

7.(2020?全国2卷)ABC 中,sin 2A -sin 2B -sin 2C =sin B sin C. (1)求A ;

(2)若BC =3,求ABC 周长的最大值.

8.(2020?全国3卷)在△ABC 中,cos C =

2

3

,AC =4,BC =3,则cos B =( ) A. 19 B. 13

C. 1

2 D. 23

9.(2020?全国3卷)已知2tan θ–tan(θ+π

4

)=7,则tan θ=( )

A. –2

B. –1

C. 1

D. 2

10.(2020?全国3卷)关于函数f (x )=1

sin sin x x

+有如下四个命题: ①f (x )的图像关于y 轴对称. ②f (x )的图像关于原点对称.

③f (x )的图像关于直线x =2

π

对称.

④f (x )的最小值为2.

其中所有真命题的序号是__________.

11.(2020?江苏卷)已知2sin ()4

πα+ =23,则sin 2α的值是____.

12.(2020?江苏卷)将函数y =πsin(2)4

3x

﹢的图象向右平移π

6

个单位长度,则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.

13.(2020?江苏卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3,2,45a c B ===?.

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(1)求sin C 的值;

(2)在边BC 上取一点D ,使得4

cos 5

ADC ∠=-,求tan DAC ∠的值.

14.(2020?新全国1山东)下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像,则sin(ωx +φ)= ( )

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A. π

sin(3

x +)

B. πsin(2)3

x -

C. π

cos(26

x +)

D. 5π

cos(

2)6

x - 15.(2020?新全国1山东)在①3ac =sin 3c A =,③3=c b 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由. 问题:是否存在ABC ,它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin 3sin A B ,6

C π

=

________?

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

16.(2020?天津卷)已知函数()sin 3f x x π?

?=+ ???.给出下列结论:

①()f x 的最小正周期为2π;

②2f π??

???

是()f x 的最大值;

③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3

π个单位长度,可得到函数()y f x =的图象. 其中所有正确结论的序号是

A. ①

B. ①③

C. ②③

D. ①②③

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17.(2020?天津卷)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知5,a b c === (Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)求sin A 的值;

(Ⅲ)求sin 24A π?

?+ ??

?的值.

17.(2020?浙江卷).已知tan 2θ=,则cos2θ=________;π

tan()4

θ-=______.

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18.(2020?浙江卷)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2sin b A =. (I )求角B ;

(II )求cos A +cos B +cos C 的取值范围. 10.(2020?上海卷)已知f(x)=sin (0)x ωω>. (1)若f(x)的周期是4π,求ω,并求此时1

f ()2

x =

的解集;

(2)已知=1ω,2g()()()()2x f x x f x π=--,x 0,4π??

∈????

,求g(x)的值域.

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五、平面向量(2019)

1,(全国1理7、文8).已知非零向量a ,b 满足||2||=a b ,且()-a b ⊥b ,则a 与b 的夹角为

A .π6

B .π3

C .2π3

D .5π6

2,(全国2理7).已知非零向量a ,b 满足||2||=a b ,且()-a b ⊥b ,则a 与b 的夹角为

A .π6

B .π3

C .2π3

D .5π6

3,(全国2文3).已知向量a =(2,3),b =(3,2),则|a -b |=

A B .2 C . D .50

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4,(全国3理13).已知a ,b 为单位向量,且a ·b =0,若2=c a ,则cos ,=a c ___________. 5,(全国3文13).已知向量(2,2),(8,6)==-a b ,则cos ,<>=a b ___________.

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6,(北京理7)设点A ,B ,C 不共线,则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”

(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件

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