历年高考数学试题分类汇编

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历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编(附答案)

历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编(附答案)

历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编【2023年真题】1.(2023·新课标I 卷 第1题) 已知集合{2,1,0,1,2}M =--,2{|60}N x x x =--…,则M N ⋂=( ) A. {2,1,0,1}--B. {0,1,2}C. {2}-D. {2}2. (2023·新课标I 卷 第7题) 记n S 为数列{}n a 的前n 项和,设甲:{}n a 为等差数列:乙:{}n sn为等差数列,则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3.(2023·新课标II 卷 第2题)设集合{0,}A a =-,{1,2,22}B a a =--,若A B ⊆,则a =( ) A. 2B. 1C.23D. 1-【2022年真题】4.(2022·新高考I 卷 第1题)若集合{4}M x =<,{|31}N x x =…,则M N ⋂=( ) A. {|02}x x <…B. 1{|2}3x x <…C. {|316}x x <…D. 1{|16}3x x <…5.(2022·新高考II 卷 第1题)已知集合{1,1,2,4}A =-,{||1|1}B x x =-…,则A B ⋂=( ) A. {1,2}-B. {1,2}C. {1,4}D. {1,4}-【2021年真题】6.(2021·新高考I 卷 第1题)设集合{|24}A x x =-<<,{2,3,4,5}B =,则A B ⋂=( ) A. {2}B. {2,3}C. {3,4}D. {2,3,4}7.(2021·新高考II 卷 第2题)设集合{1,2,3,4,5,6},U = {1,3,6},{2,3,4}A B ==,则()U A B ⋂=ð( ) A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}【2020年真题】8.(2020·新高考I 卷 第1题)设集合{|13}A x x =剟,{|24}B x x =<<,则A B ⋃=( ) A. {|23}x x <…B. {|23}x x 剟C. {|14}x x <…D. {|14}x x <<9.(2020·新高考II 卷 第2题)设集合{2,3,5,7}A =,{1,2,3,5,8}B =,则A B ⋂=( ) A. {1,3,5,7} B. {2,3} C. {2,3,5} D. {1,2,3,5,7,8}参考答案1.(2023·新课标I 卷 第1题)解:(,2][3,)N =-∞-⋃+∞,所以{2};M N ⋂=-故选.C 2. (2023·新课标I 卷 第7题) 解:方法1:为等差数列,设其首项为1a ,公差为d ,则1(1)2n n n S na d -=+,111222n S n d da d n a n -=+=+-,112n n S S dn n +-=+, 故{}nS n为等差数列,则甲是乙的充分条件,, 反之,{}nS n为等差数列,即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数,设为t 即1(1)n nna S t n n +-=+,故1(1)n n S na t n n +=-⋅+故1(1)(1)n n S n a t n n -=--⋅-,2n …两式相减有:11(1)22n n n n n a na n a tn a a t ++=---⇒-=,对1n =也成立,故{}n a 为等差数列, 则甲是乙的必要条件, 故甲是乙的充要条件,故选.C 方法2:因为甲:{}n a 为等差数列,设数列{}n a 的首项1a ,公差为.d 即1(1)2n n n S na d -=+, 则11(1)222n S n d d a d n a n -=+=+-,故{}n S n为等差数列,即甲是乙的充分条件. 反之,乙:{}n S n为等差数列.即11n n S S D n n +-=+,1(1).n SS n D n =+-即1(1).n S nS n n D =+-当2n …时,11(1)(1)(2).n S n S n n D -=-+-- 上两式相减得:112(1)n n n a S S S n D -=-=+-, 所以12(1).n a a n D =+-当1n =时,上式成立.又1112(2(1))2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数.所以{}n a 为等差数列. 则甲是乙的必要条件, 故甲是乙的充要条件,故选C3.(2023·新课标II 卷 第2题)解:A B ⊆,则220a -=,1a =,{0,1}A =-,{1,1,0}B =-,满足,选.B 4.(2022·新高考I 卷 第1题)解:因为{|016}M x x =<…,1{|}3N x x =…, 故1{|16}.3M N x x ⋂=<… 5.(2022·新高考II 卷 第1题)解:方法一:通过解不等式可得集合{|02}B x x =剟,则{1,2}A B ⋂=,故B 正确. 法二:代入排除法.1x =-代入集合{||1|1}B x x =-…,可得|1||11|21x -=--=>,1x =-,不满足,排除A 、;4D x =代入集合{||1|1}B x x =-…,可得|1||41|31x -=-=>,4x =,不满足,排除 C ,故B 正确.6.(2021·新高考I 卷 第1题)解:因为集合{}{}24,2,3,4,5A x x B =-<<=,所以{2,3}.A B ⋂= 故选.B7.(2021·新高考II 卷 第2题) 解:由题设可得U {1,5,6}B =ð, 故U (){1,6}.A B ⋂=ð 故选.B8.(2020·新高考I 卷 第1题)解:因为集合{|13}A x x =剟,{|24}B x x =<<, ={|14}.A B x x ⋃<…故选.C9.(2020·新高考II 卷 第2题)解:因为集合A ,B 的公共元素为:2,3,5 故{2,3,5}.A B ⋂= 故选:.C。

历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编(附答案)

历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编(附答案)

历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编【2023年真题】1. (2023ꞏ新课标I 卷 第8题)已知1sin()3αβ-=,1cos sin 6αβ=,则cos(22)αβ+=( ) A.79B.19C. 19-D. 79-2. (2023ꞏ新课标II 卷 第7题) 已知α为锐角,1cos 4α+=,则sin 2α=( )A. 38B. 18-C. 34D. 14-+3. (2023ꞏ新课标I 卷 第15题)已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点,则ω的取值范围是__________.4. (2023ꞏ新课标II 卷 第16题)已知函数()sin()f x x ωϕ=+,如图,A ,B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点,若||6AB π=,则()f π= .【2022年真题】5.(2022·新高考I 卷 第6题)记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<,且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称,则(2f π=( ) A. 1B.32C.52D. 36.(2022·新高考II 卷 第6题)若sin()cos()4παβαβαβ+++=+,则( )A. tan()1αβ+=-B. tan()1αβ+=C. tan()1αβ-=-D. tan()1αβ-=7.(2022·新高考II 卷 第9题)(多选)已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称,则( ) A. ()f x 在5(0,)12π单调递减 B. ()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点 C. 直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D. 直线2y x =-是曲线()y f x =的一条切线【2021年真题】8.(2021·新高考I 卷 第4题)下列区间中,函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是( )A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9.(2021·新高考I 卷 第6题)若tan 2θ=-,则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+( )A. 65-B. 25-C.25 D.65【2020年真题】10.(2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题)(多选)如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象,则()sin x ωϕ+( )A. sin ()3x π+B. sin (2)3x π- C. cos (2)6x π+D. 5cos (2)6x π- 11.(2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题))某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示,O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心,A 是圆弧AB 与直线AG 的切点,B 是圆弧AB 与直线BC的切点,四边形DEFG 为矩形,BC DG ⊥,垂足为C ,3tan 5ODC ∠=,//BH DG ,12EF cm =,2DE cm =,A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ,圆孔半径为1cm ,则图中阴影部分的面积为__________2.cm参考答案1. (2023ꞏ新课标I 卷 第8题)解:因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=,1cos sin 6αβ=,则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+= 即2221cos(22)12sin ()12().39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2. (2023ꞏ新课标II 卷 第7题)解:22111cos 36114sin ()sin 222816424ααα+-----=====⇒=故选:.D3. (2023ꞏ新课标I 卷 第15题)解:令()cos 10f x x ω=-=,得cos 1x ω=,又[0,2]x π∈,则[0,2]x ωωπ∈,所以426πωππ<…,得2 3.ω<… 故答案为:[2,3).4. (2023ꞏ新课标II 卷 第16题)解: 设相邻的两个交点A ,B 的横坐标为1 t ,2 t ,则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=,522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时 16t πωϕ+=,256t πωϕ+=,212( - )3t t πω=,故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π,8sin ()03πϕ+=,故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈ 2k =时满足图片条件,故2.3πϕ=-2()sin(4.32f πππ=-=- 5.(2022·新高考I 卷 第6题)解:由题可知:22(,)3T πππω=∈,所以(2,3).ω∈ 又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称,所以2b =,且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++= 所以21(34k ω=-,k Z ∈,所以5.2ω=所以5()sin() 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.(2022·新高考II 卷 第6题)解:解法一:设0β=则sin cos 0αα+=,取34απ=,排除B ,D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=,取4πβ=,排除;A 选.C解法二:由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos 44ππαβαβ=++,cos )sin 44ππαβαβ+=+ 故sin()cos cos(044ππαβαβ+-+=,即sin()04παβ+-=,故sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=, 故sin()cos()αβαβ-=--,故tan() 1.αβ-=- 7.(2022·新高考II 卷 第9题)(多选) 解:由题意得:24(sin()033f ππϕ=+=, 所以43k πϕπ+=,即43k πϕπ=-+,k Z ∈, 又0ϕπ<<,所以2k =时,23πϕ=,故2()sin(2).3f x x π=+ 选项5:(0,)12A x π∈时,2232(,)332x πππ+∈,由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减; 选项11:(,1212B x ππ∈-时,252(,)322x πππ+∈,由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点; 选项:C 由于,故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令,得21cos(232x π+=-, 解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+,k Z ∈,从而得x k π=或3x k ππ=+,k Z ∈,令0k =,则是斜率为1-的直线与曲线的切点,从而切线方程为(0)2y x -=--,即.2y x =- 8.(2021·新高考I 卷 第4题) 解:由22262k x k πππππ-+-+剟,得222,33k x k k Z ππππ-++∈剟, 所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦, 当0k =时,一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 故选:.A9.(2021·新高考I 卷 第6题)解:原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+ 22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++, 故选:.C10.(2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题)(多选) 解:由图象可知222()||36T ππππω==-=,故A 错误; 解得2ω=±, 点5(,1)12π-在函数图象上, 当2ω=时,522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈, 解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈,故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,当2ω=-时,522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈ 解得2,k Z 3k πϕπ=+∈,故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,故选.BC11.(2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题) 解:设上面的大圆弧的半径为x ,连接OA ,过A 作AI BH ⊥交BH 于J ,交DG 于K ,交EF 于I ,过O 作OL DG ⊥于L ,记扇形OAB 的面积为S 扇形,由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=,所以45AHO ︒∠=, 又90OAH ︒∠=,可得AOH 为等腰直角三角形,可得2OJ AJ x ==,52OL JK x ==-, 72DL DK LK DK OJ x=-=-=-,3tan 5OL ODC DL ∠==, 5352x-=,解得x =,12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+,故答案为54.2π+。

函数-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版)

 函数-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题02函数
一、选择题
1.(2022年全国乙卷理科·第12题)已知函数 的定义域均为R,且 .若 的图像关于直线 对称, ,则 ()
A. B. C. D.
2.(2022新高考全国II卷·第8题)已知函数 的定义域为R,且 ,则 ()
A. B. C.0D.1
A. B. C. D.
12.(2021年高考全国甲卷理科·第4题)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为()( )
A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6
27.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第3题)函数 的图象大致为()
A. B. C. D.
24.(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第5题)函数 在 的图象大致为()
25.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第7题)函数 的图象大致为()
26.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第11题)已知 是定义域为 的奇函数,满足 .若 ,则 ()
A. B.0C.2D.50
13.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第12题)若 ,则()
A. B. C. D.
14.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第5题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:°C)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据 得到下面的散点图:
由此散点图,在10°C至40°C之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()
3.(2021年新高考全国Ⅱ卷·第8题)已知函数 的定义域为 , 为偶函数, 为奇函数,则()

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编(附答案)

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编(附答案)

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编解不等式1.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣,则A B = ( ) A .{1,0}- B .{2,3} C .{3,1,0}-- D .{1,0,2}-2.(2024∙上海∙高考真题)已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 .3.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=( )A .{}2,1,0,1--B .{}0,1,2C .{}2-D .{}24.(2020∙全国∙高考真题)已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-,则A B = ( ) A .{4,1}- B .{1,5} C .{3,5}D .{1,3}基本不等式1.(2024∙北京∙高考真题)已知()11,x y ,()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点,则( ) A .12122log 22y y x x ++< B .12122log 22y y x x ++> C .12212log 2y y x x +<+ D .12212log 2y y x x +>+ 2.(2021∙全国乙卷∙高考真题)下列函数中最小值为4的是( ) A .224y x x =++ B .4sin sin y x x=+ C .2y 22x x -=+D .4ln ln y x x=+3.(2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知1F ,2F 是椭圆C :22194x y +=的两个焦点,点M 在C 上,则12MF MF ⋅的最大值为( ) A .13B .12C .9D .64.(2020∙全国∙高考真题)设O 为坐标原点,直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点,若ODE 的面积为8,则C 的焦距的最小值为( ) A .4B .8C .16D .32参考答案解不等式1.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣,则A B = ( ) A .{1,0}- B .{2,3}C .{3,1,0}--D .{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ,由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--,且注意到12<<,从而A B = {}1,0-. 故选:A.2.(2024∙上海∙高考真题)已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 . 【答案】{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =, 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<, 故答案为:{}|13x x -<<.3.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=( )A .{}2,1,0,1--B .{}0,1,2C .{}2-D .{}2【答案】C【详细分析】方法一:由一元二次不等式的解法求出集合N ,即可根据交集的运算解出. 方法二:将集合M 中的元素逐个代入不等式验证,即可解出.【答案详解】方法一:因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+,而{}2,1,0,1,2M =--,所以M N ⋂={}2-. 故选:C .方法二:因为{}2,1,0,1,2M =--,将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥,只有2-使不等式成立,所以M N ⋂={}2-.故选:C .4.(2020∙全国∙高考真题)已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-,则A B = ( ) A .{4,1}- B .{1,5} C .{3,5} D .{1,3}【答案】D【详细分析】首先解一元二次不等式求得集合A ,之后利用交集中元素的特征求得A B ⋂,得到结果. 【答案详解】由2340x x --<解得14x -<<, 所以{}|14A x x =-<<,又因为{}4,1,3,5B =-,所以{}1,3A B = , 故选:D.【名师点评】本题考查的是有关集合的问题,涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合,集合的交运算,属于基础题目.基本不等式1.(2024∙北京∙高考真题)已知()11,x y ,()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点,则( ) A .12122log 22y y x x ++< B .12122log 22y y x x ++> C .12212log 2y y x x +<+ D .12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ;举例判断CD 即可. 【答案详解】由题意不妨设12x x <,因为函数2x y =是增函数,所以12022x x <<,即120y y <<,对于选项AB :可得121222222x xx x ++>=,即12122202x x y y ++>>, 根据函数2log y x =是增函数,所以121212222log log 222x x y y x x+++>=,故B 正确,A 错误;对于选项D :例如120,1x x ==,则121,2y y ==, 可得()12223log log 0,122y y +=∈,即12212log 12y y x x +<=+,故D 错误; 对于选项C :例如121,2x x =-=-,则1211,24y y ==, 可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--,即12212log 32y y x x +>-=+,故C 错误, 故选:B.2.(2021∙全国乙卷∙高考真题)下列函数中最小值为4的是( ) A .224y x x =++ B .4sin sin y x x=+ C .2y 22x x -=+ D .4ln ln y x x=+【答案】C【详细分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意,再根据基本不等式“一正二定三相等”,即可得出,B D 不符合题意,C 符合题意.【答案详解】对于A ,()2224133y x x x =++=++≥,当且仅当=1x -时取等号,所以其最小值为3,A 不符合题意;对于B ,因为0sin 1x <≤,4sin 4sin y x x=+≥=,当且仅当sin 2x =时取等号,等号取不到,所以其最小值不为4,B 不符合题意;对于C ,因为函数定义域为R ,而20x >,2422242x x xx y -=+=+≥=,当且仅当22x =,即1x =时取等号,所以其最小值为4,C 符合题意; 对于D ,4ln ln y x x=+,函数定义域为()()0,11,+∞ ,而ln x R ∈且ln 0x ≠,如当ln 1x =-,5y =-,D 不符合题意. 故选:C .【名师点评】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件,明确“一正二定三相等”的意义,再结合有关函数的性质即可解出.3.(2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知1F ,2F 是椭圆C :22194x y +=的两个焦点,点M 在C 上,则12MF MF ⋅的最大值为( ) A .13 B .12C .9D .6【答案】C【详细分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==,借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案.【答案详解】由题,229,4a b ==,则1226MF MF a +==,所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭(当且仅当123MF MF ==时,等号成立). 故选:C . 【名师点评】4.(2020∙全国∙高考真题)设O 为坐标原点,直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点,若ODE 的面积为8,则C 的焦距的最小值为( ) A .4 B .8 C .16 D .32【答案】B【详细分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>,可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±,与直线x a =联立方程求得D ,E 两点坐标,即可求得||ED ,根据ODE 的面积为8,可得ab值,根据2c =等式,即可求得答案. 【答案详解】 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ,E 两点 不妨设D 为在第一象限,E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩,解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩,解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为:1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值:8故选:B.【名师点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题,解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法,在使用均值不等式求最值时,要检验等号是否成立,考查了详细分析能力和计算能力,属于中档题.。

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编(附答案)

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编(附答案)

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编考点01 集合间的基本关系1.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)设集合{}0,A a =-,{}1,2,22B a a =--,若A B ⊆,则=a ( ). A .2 B .1 C .23 D .1-2.(2020全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知a ∈R ,若集合{}1,M a =,{}1,0,1N =-,则“0a =”是“M N ⊆”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件考点02 交集1.(2024∙全国新Ⅰ卷高考真题)已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣,则A B = ( ) A .{1,0}- B .{2,3} C .{3,1,0}-- D .{1,0,2}-2.(2024年全国甲卷高考真题)若集合{}1,2,3,4,5,9A =,{}1B x x A =+∈,则A B = ( ) A .{}1,3,4 B .{}2,3,4 C .{}1,2,3,4 D .{}0,1,2,3,4,93.(2023∙北京∙高考真题)已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣,则M N ⋂=( ) A .{21}x x -≤<∣ B .{21}xx -<≤∣ C .{2}xx ≥-∣ D .{1}x x <∣ 4.(2023全国新Ⅰ卷高考真题)已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=( ) A .{}2,1,0,1-- B .{}0,1,2 C .{}2- D .{}25.(2022∙全国新Ⅱ卷高考真题)已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤,则A B = ( ) A .{1,2}- B .{1,2} C .{1,4} D .{1,4}- 6.(2022年全国乙卷∙高考真题)集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<,则M N ⋂=( ) A .{2,4} B .{2,4,6} C .{2,4,6,8} D .{2,4,6,8,10}7.(2022年全国甲卷∙高考真题)设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣,则A B = ( ) A .{}0,1,2 B .{2,1,0}-- C .{0,1} D .{1,2}8.(2022全国新Ⅰ卷∙高考真题)若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣,则M N ⋂=( ) A .{}02x x ≤< B .123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C .{}316x x ≤< D .1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭9.(2021年全国乙卷∙高考真题)已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ,{}41,T t t n n ==+∈Z ,则S T?( )A .∅B .SC .TD .Z10.(2021年全国甲卷∙高考真题)设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>,则M N ⋂=( )A .{}7,9B .{}5,7,9C .{}3,5,7,9D .{}1,3,5,7,911.(2021年全国甲卷∙高考真题)设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭,则M N ⋂=( )A .103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B .143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C .{}45x x ≤<D .{}05x x <≤12.(2021全国新Ⅰ卷∙高考真题)设集合{}24A x x =-<<,{}2,3,4,5B =,则A B = ( )A .{}2B .{}2,3C .{}3,4D .{}2,3,4考点03 并集1.(2024∙北京∙高考真题)已知集合{|31}M x x =-<<,{|14}N x x =-≤<,则M N ⋃=( ) A .{}11x x -≤< B .{}3x x >-C .{}|34x x -<<D .{}4x x <2.(2022∙浙江∙高考真题)设集合{1,2},{2,4,6}A B ==,则A B ⋃=( )A .{2}B .{1,2}C .{2,4,6}D .{1,2,4,6}3.(2021∙北京∙高考真题)已知集合{}|11A x x =-<<,{}|02B x x =≤≤,则A B ⋃=( )A .{}|12x x -<<B .{}|12x x -<≤C .{}|01x x ≤<D .{}|02x x ≤≤4.(2020∙山东∙高考真题)设集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2<x <4},则A ∪B =( )A .{x |2<x ≤3}B .{x |2≤x ≤3}C .{x |1≤x <4}D .{x |1<x <4}考点04 补集1.(2024年全国甲卷∙高考真题)已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==,则()A A B ⋂=ð( ) A .{}1,4,9 B .{}3,4,9 C .{}1,2,3 D .{}2,3,52.(2023年全国乙卷∙高考真题)设全集{}0,1,2,4,6,8U =,集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==,则U M N ⋃=ð( ) A .{}0,2,4,6,8 B .{}0,1,4,6,8 C .{}1,2,4,6,8 D .U3.(2023年全国乙卷∙高考真题)设集合U =R ,集合{}1M x x =<,{}12N x x =-<<,则{}2x x ≥=( )A .()U M N ðB .U N M ðC .()U M N ðD .U M N ⋃ð4.(2022∙全国乙卷∙高考真题)设全集{1,2,3,4,5}U =,集合M 满足{1,3}U M =ð,则( )A .2M ∈B .3M ∈C .4M ∉D .5M ∉5.(2022∙北京∙高考真题)已知全集{33}U x x =-<<,集合{21}A x x =-<≤,则U A =ð( ) A .(2,1]- B .(3,2)[1,3)-- C .[2,1)- D .(3,2](1,3)--6.(2021全国新Ⅱ卷∙高考真题)设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===,则()U A B = ð( )A .{3}B .{1,6}C .{5,6}D .{1,3}7.(2020全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知全集{},,,U a b c d =,集合{},M a c =,则U M ð等于( ) A .∅ B .{},a c C .{},b d D .{},,,a b c d考点05 充分条件与必要条件1.(2024∙全国甲卷∙高考真题)设向量()()1,,,2a x x b x =+= ,则( )A .“3x =-”是“a b ⊥ ”的必要条件B .“3x =-”是“//a b ”的必要条件C .“0x =”是“a b ⊥ ”的充分条件D .“1x =-”是“//a b ”的充分条件2.(2024∙天津∙高考真题)设,a b ∈R ,则“33a b =”是“33a b =”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.(2024∙北京∙高考真题)设 a ,b 是向量,则“()()ꞏ0a b a b +-= ”是“a b =- 或a b = ”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.(2023∙北京∙高考真题)若0xy ≠,则“0x y +=”是“2yxx y +=-”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.(2023∙全国甲卷∙高考真题)设甲:22sin sin 1αβ+=,乙:sin cos 0αβ+=,则( )A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6.(2023∙天津∙高考真题)已知,R a b ∈,“22a b =”是“222a b ab +=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件7.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,设甲:{}n a 为等差数列;乙:{}n S n为等差数列,则( )A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.(2022∙浙江∙高考真题)设x ∈R ,则“sin 1x =”是“cos 0x =”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件9.(2022∙北京∙高考真题)设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列,则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件10.(2021∙全国甲卷∙高考真题)等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,设甲:0q >,乙:{}n S 是递增数列,则( )A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件考点06 全称量词与存在量词1.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知命题p :x ∀∈R ,|1|1x +>;命题q :0x ∃>,3x x =,则( ) A .p 和q 都是真命题B .p ⌝和q 都是真命题C .p 和q ⌝都是真命题D .p ⌝和q ⌝都是真命题2.(2020∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)下列命题为真命题的是( )A .10>且34>B .12>或45>C .x R ∃∈,cos 1x >D .x ∀∈R ,20x ≥参考答案考点01 集合间的基本关系1.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)设集合{}0,A a =-,{}1,2,22B a a =--,若A B ⊆,则=a ( ). A .2 B .1 C .23 D .1-【答案】B【详细分析】根据包含关系分20a -=和220a -=两种情况讨论,运算求解即可.【答案详解】因为A B ⊆,则有:若20a -=,解得2a =,此时{}0,2A =-,{}1,0,2B =,不符合题意;若220a -=,解得1a =,此时{}0,1A =-,{}1,1,0B =-,符合题意;综上所述:1a =.故选:B.2.(2020全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知a ∈R ,若集合{}1,M a =,{}1,0,1N =-,则“0a =”是“M N ⊆”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【详细分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【答案详解】当0a =时,集合{}1,0M =,{}1,0,1N =-,可得M N ⊆,满足充分性,若M N ⊆,则0a =或1a =-,不满足必要性,所以“0a =”是“M N ⊆”的充分不必要条件,故选:A.考点02 交集1.(2024∙全国新Ⅰ卷高考真题)已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x x B =-<<=--∣,则A B = ( ) A .{1,0}- B .{2,3} C .{3,1,0}-- D .{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ,由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--,且注意到12<<,从而A B = {}1,0-.故选:A.2.(2024年全国甲卷高考真题)若集合{}1,2,3,4,5,9A =,{}1B x x A =+∈,则A B = ( )A .{}1,3,4B .{}2,3,4C .{}1,2,3,4D .{}0,1,2,3,4,9【答案】C 【详细分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素,然后根据交集的定义计算.【答案详解】依题意得,对于集合B 中的元素x ,满足11,2,3,4,5,9x +=,则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8,即{0,1,2,3,4,8}B =,于是{1,2,3,4}A B ⋂=.故选:C3.(2023∙北京∙高考真题)已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣,则M N ⋂=( ) A .{21}x x -≤<∣ B .{21}xx -<≤∣ C .{2}xx ≥-∣ D .{1}x x <∣ 【答案】A【详细分析】先化简集合,M N ,然后根据交集的定义计算.【答案详解】由题意,{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣,{10}{|1}N x x x x =-<=<∣, 根据交集的运算可知,{|21}M N x x =-≤< .故选:A4.(2023全国新Ⅰ卷高考真题)已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=( ) A .{}2,1,0,1--B .{}0,1,2C .{}2-D .{}2【答案】C 【详细分析】方法一:由一元二次不等式的解法求出集合N ,即可根据交集的运算解出.方法二:将集合M 中的元素逐个代入不等式验证,即可解出. 【答案详解】方法一:因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+,而{}2,1,0,1,2M =--, 所以M N ⋂={}2-.故选:C .方法二:因为{}2,1,0,1,2M =--,将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥,只有2-使不等式成立,所以M N ⋂={}2-.故选:C .5.(2022∙全国新Ⅱ卷高考真题)已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤,则A B = ( )A .{1,2}-B .{1,2}C .{1,4}D .{1,4}- 【答案】B【详细分析】方法一:求出集合B 后可求A B ⋂.【答案详解】[方法一]:直接法因为{}|02B x x =≤≤,故{}1,2A B = ,故选:B.[方法二]:【最优解】代入排除法=1x -代入集合{}11B x x =-≤,可得21≤,不满足,排除A 、D ;4x =代入集合{}11B x x =-≤,可得31≤,不满足,排除C.故选:B.【整体点评】方法一:直接解不等式,利用交集运算求出,是通性通法;方法二:根据选择题特征,利用特殊值代入验证,是该题的最优解.6.(2022年全国乙卷∙高考真题)集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<,则M N ⋂=( ) A .{2,4} B .{2,4,6} C .{2,4,6,8} D .{2,4,6,8,10}【答案】A【详细分析】根据集合的交集运算即可解出.【答案详解】因为{}2,4,6,8,10M =,{}|16N x x =-<<,所以{}2,4M N = .故选:A.7.(2022年全国甲卷∙高考真题)设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣,则A B = ( )A .{}0,1,2B .{2,1,0}--C .{0,1}D .{1,2}【答案】A【详细分析】根据集合的交集运算即可解出.【答案详解】因为{}2,1,0,1,2A =--,502B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣,所以{}0,1,2A B = .故选:A.8.(2022全国新Ⅰ卷∙高考真题)若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣,则M N ⋂=( )A .{}02x x ≤<B .123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C .{}316x x ≤< D .1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【详细分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂. 【答案详解】1{16},{}3M x x N x x =≤<=≥∣0∣,故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选:D9.(2021年全国乙卷∙高考真题)已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ,{}41,T t t n n ==+∈Z ,则S T ?( )A .∅B .SC .TD .Z【答案】C【详细分析】详细分析可得T S ⊆,由此可得出结论.【答案详解】任取t T ∈,则()41221t n n =+=⋅+,其中Z n ∈,所以,t S ∈,故T S ⊆,因此,S T T = .故选:C.10.(2021年全国甲卷∙高考真题)设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>,则M N ⋂=( )A .{}7,9B .{}5,7,9C .{}3,5,7,9D .{}1,3,5,7,9【答案】B【详细分析】求出集合N 后可求M N ⋂. 【答案详解】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭,故{}5,7,9M N ⋂=, 故选:B.11.(2021年全国甲卷∙高考真题)设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭,则M N ⋂=( ) A .103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B .143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C .{}45x x ≤<D .{}05x x <≤【答案】B【详细分析】根据交集定义运算即可 【答案详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤,所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭, 故选:B.【名师点评】本题考查集合的运算,属基础题,在高考中要求不高,掌握集合的交并补的基本概念即可求解.12.(2021全国新Ⅰ卷∙高考真题)设集合{}24A x x =-<<,{}2,3,4,5B =,则A B = ( )A .{}2B .{}2,3C .{}3,4D .{}2,3,4 【答案】B【详细分析】利用交集的定义可求A B ⋂.【答案详解】由题设有{}2,3A B ⋂=,故选:B .考点03 并集1.(2024∙北京∙高考真题)已知集合{|31}M x x =-<<,{|14}N x x =-≤<,则M N ⋃=( ) A .{}11x x -≤< B .{}3x x >-C .{}|34x x -<<D .{}4x x <【答案】C【详细分析】直接根据并集含义即可得到答案.【答案详解】由题意得{}|34M x x N ⋃=-<<.故选:C.2.(2022∙浙江∙高考真题)设集合{1,2},{2,4,6}A B ==,则A B ⋃=( )A .{2}B .{1,2}C .{2,4,6}D .{1,2,4,6}【答案】D【详细分析】利用并集的定义可得正确的选项.【答案详解】{}1,2,4,6A B = ,故选:D.3.(2021∙北京∙高考真题)已知集合{}|11A x x =-<<,{}|02B x x =≤≤,则A B ⋃=( ) A .{}|12x x -<< B .{}|12x x -<≤C .{}|01x x ≤<D .{}|02x x ≤≤【答案】B【详细分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【答案详解】由题意可得:{}|12A B x x =-<≤ .故选:B.4.(2020∙山东∙高考真题)设集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2<x <4},则A ∪B =( ) A .{x |2<x ≤3} B .{x |2≤x ≤3}C .{x |1≤x <4}D .{x |1<x <4}【答案】C【详细分析】根据集合并集概念求解.【答案详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U故选:C【名师点评】本题考查集合并集,考查基本详细分析求解能力,属基础题.考点04 补集1.(2024年全国甲卷∙高考真题)已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==,则()A A B ⋂=ð( )A .{}1,4,9B .{}3,4,9C .{}1,2,3D .{}2,3,5【答案】D【详细分析】由集合B 的定义求出B ,结合交集与补集运算即可求解.【答案详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==,所以{}1,4,9,16,25,81B =, 则{}1,4,9A B = ,(){}2,3,5A A B = ð故选:D 2.(2023年全国乙卷∙高考真题)设全集{}0,1,2,4,6,8U =,集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==,则U M N ⋃=ð( ) A .{}0,2,4,6,8 B .{}0,1,4,6,8 C .{}1,2,4,6,8 D .U【答案】A【详细分析】由题意可得U N ð的值,然后计算U M N ⋃ð即可.【答案详解】由题意可得{}2,4,8U N =ð,则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选:A.3.(2023年全国乙卷∙高考真题)设集合U =R ,集合{}1M x x =<,{}12N x x =-<<,则{}2x x ≥=( ) A .()U M N ð B .U N M ðC .()U M N ðD .U M N ⋃ð【答案】A【详细分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{}|2x x ≥即可.【答案详解】由题意可得{}|2M N x x =< ,则(){}|2U M N x x =≥ ð,选项A 正确; {}|1U M x x =≥ð,则{}|1U N M x x =>- ð,选项B 错误;{}|11M N x x =-<< ,则(){|1U M N x x ⋂=≤-ð或}1x ≥,选项C 错误;{|1U N x x =≤-ð或}2x ≥,则U M N = ð{|1x x <或}2x ≥,选项D 错误;故选:A.4.(2022∙全国乙卷∙高考真题)设全集{1,2,3,4,5}U =,集合M 满足{1,3}U M =ð,则( ) A .2M ∈ B .3M ∈ C .4M ∉ D .5M ∉【答案】A【详细分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【答案详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知,A 正确,BCD 错误故选:A5.(2022∙北京∙高考真题)已知全集{33}U x x =-<<,集合{21}A x x =-<≤,则U A =ð( ) A .(2,1]- B .(3,2)[1,3)-- C .[2,1)- D .(3,2](1,3)--【答案】D【详细分析】利用补集的定义可得正确的选项.【答案详解】由补集定义可知:{|32U A x x =-<≤-ð或13}x <<,即(3,2](1,3)U A =-- ð,故选:D .6.(2021全国新Ⅱ卷∙高考真题)设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===,则()U A B = ð( ) A .{3} B .{1,6}C .{5,6}D .{1,3}【答案】B【详细分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【答案详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð,故(){}U 1,6A B ⋂=ð, 故选:B.7.(2020全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知全集{},,,U a b c d =,集合{},M a c =,则U M ð等于( ) A .∅ B .{},a cC .{},b dD .{},,,a b c d【答案】C【详细分析】利用补集概念求解即可. 【答案详解】{},U M b d =ð. 故选:C考点05 充分条件与必要条件1.(2024∙全国甲卷∙高考真题)设向量()()1,,,2a x x b x =+= ,则( )A .“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B .“3x =-”是“//a b ”的必要条件C .“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D .“1x =-”是“//a b ”的充分条件 【答案】C【详细分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程,解出即可.【答案详解】对A ,当a b ⊥ 时,则0a b ⋅=,所以(1)20x x x ⋅++=,解得0x =或3-,即必要性不成立,故A 错误;对C ,当0x =时,()()1,0,0,2a b == ,故0a b ⋅=,所以a b ⊥,即充分性成立,故C 正确;对B ,当//a b时,则22(1)x x +=,解得1x =±B 错误;对D ,当1x =-时,不满足22(1)x x +=,所以//a b不成立,即充分性不立,故D 错误. 故选:C.2.(2024∙天津∙高考真题)设,a b ∈R ,则“33a b =”是“33a b =”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】说明二者与同一个命题等价,再得到二者等价,即是充分必要条件.【答案详解】根据立方的性质和指数函数的性质,33a b =和33a b =都当且仅当a b =,所以二者互为充要条件. 故选:C.3.(2024∙北京∙高考真题)设 a ,b 是向量,则“()()ꞏ0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B【详细分析】根据向量数量积详细分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =,结合充分、必要条件详细分析判断.【答案详解】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ,可得22a b = ,即a b = ,可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = , 若a b = 或a b =- ,可得a b = ,即()()0a b a b +⋅-=,可知必要性成立;若()()0a b a b +⋅-= ,即a b =,无法得出a b = 或a b =- , 例如()()1,0,0,1a b ==,满足a b = ,但a b ≠ 且a b ≠- ,可知充分性不成立;综上所述,“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选:B.4.(2023∙北京∙高考真题)若0xy ≠,则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】解法一:由2xyy x +=-化简得到0x y +=即可判断;解法二:证明充分性可由0x y +=得到x y =-,代入x y y x+化简即可,证明必要性可由2x yy x +=-去分母,再用完全平方公式即可;解法三:证明充分性可由x y y x +通分后用配凑法得到完全平方公式,再把0x y +=代入即可,证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式,再把0x y +=代入,解方程即可. 【答案详解】解法一: 因为0xy ≠,且2x yy x +=-,所以222x y xy +=-,即2220x y xy ++=,即()20x y +=,所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x +=-”的充要条件. 解法二:充分性:因为0xy ≠,且0x y +=,所以x y =-, 所以112x y y yy x y y -+=+=--=--, 所以充分性成立;必要性:因为0xy ≠,且2x yy x +=-,所以222x y xy +=-,即2220x y xy ++=,即()20x y +=,所以0x y +=. 所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x +=-”的充要条件. 解法三:充分性:因为0xy ≠,且0x y +=,所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xyy x xy xy xy xy+-+++--+=====-, 所以充分性成立;必要性:因为0xy ≠,且2x yy x +=-,所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-, 所以()20x y xy+=,所以()20x y +=,所以0x y +=,所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2xyy x +=-”的充要条件. 故选:C5.(2023∙全国甲卷∙高考真题)设甲:22sin sin 1αβ+=,乙:sin cos 0αβ+=,则( ) A .甲是乙的充分条件但不是必要条件 B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【详细分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【答案详解】当22sin sin 1αβ+=时,例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠, 即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=;当sin cos 0αβ+=时,2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=,即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=. 综上可知,甲是乙的必要不充分条件. 故选:B6.(2023∙天津∙高考真题)已知,R a b ∈,“22a b =”是“222a b ab +=”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分又不必要条件【答案】B【详细分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系,即可得答案.【答案详解】由22a b =,则a b =±,当0a b =-≠时222a b ab +=不成立,充分性不成立; 由222a b ab +=,则2()0a b -=,即a b =,显然22a b =成立,必要性成立; 所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件. 故选:B7.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,设甲:{}n a 为等差数列;乙:{}nS n为等差数列,则( )A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C【详细分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义,再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.,【答案详解】方法1,甲:{}n a 为等差数列,设其首项为1a ,公差为d , 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+, 因此{}nS n为等差数列,则甲是乙的充分条件; 反之,乙:{}nS n为等差数列,即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数,设为t ,即1(1)n nna S t n n +-=+,则1(1)n n S na t n n +=-⋅+,有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥,两式相减得:1(1)2n n n a na n a tn +=---,即12n n a a t +-=,对1n =也成立, 因此{}n a 为等差数列,则甲是乙的必要条件, 所以甲是乙的充要条件,C 正确.方法2,甲:{}n a 为等差数列,设数列{}n a 的首项1a ,公差为d ,即1(1)2n n n S na d -=+, 则11(1)222n S n d d a d n a n-=+=+-,因此{}n S n 为等差数列,即甲是乙的充分条件;反之,乙:{}nS n 为等差数列,即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+, 即1(1)n S nS n n D =+-,11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--,当2n ≥时,上两式相减得:112(1)n n S S S n D --=+-,当1n =时,上式成立, 于是12(1)n a a n D =+-,又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数, 因此{}n a 为等差数列,则甲是乙的必要条件, 所以甲是乙的充要条件. 故选:C8.(2022∙浙江∙高考真题)设x ∈R ,则“sin 1x =”是“cos 0x =”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【详细分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【答案详解】因为22sin cos 1x x +=可得: 当sin 1x =时,cos 0x =,充分性成立; 当cos 0x =时,sin 1x =±,必要性不成立; 所以当x ∈R ,sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选:A.9.(2022∙北京∙高考真题)设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列,则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,则0d ≠,利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【答案详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则0d ≠,记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列,则0d >,若10a ≥,则当2n ≥时,10n a a >≥;若10a <,则()11n a a n d +-=, 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-,取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦,则当0n N >时,0n a >,所以,“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”; 若存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >,取N k *∈且0k N >,0k a >, 假设0d <,令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-,且k ak k d->, 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时,0n a <,与题设矛盾,假设不成立,则0d >,即数列{}n a 是递增数列.所以,“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”.所以,“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”的充分必要条件. 故选:C.10.(2021∙全国甲卷∙高考真题)等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,设甲:0q >,乙:{}n S 是递增数列,则( )A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B【详细分析】当0q >时,通过举反例说明甲不是乙的充分条件;当{}n S 是递增数列时,必有0n a >成立即可说明0q >成立,则甲是乙的必要条件,即可选出答案. 【答案详解】由题,当数列为2,4,8,--- 时,满足0q >, 但是{}n S 不是递增数列,所以甲不是乙的充分条件.若{}n S 是递增数列,则必有0n a >成立,若0q >不成立,则会出现一正一负的情况,是矛盾的,则0q >成立,所以甲是乙的必要条件. 故选:B .【名师点评】在不成立的情况下,我们可以通过举反例说明,但是在成立的情况下,我们必须要给予其证明过程.考点06 全称量词与存在量词1.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知命题p :x ∀∈R ,|1|1x +>;命题q :0x ∃>,3x x =,则( ) A .p 和q 都是真命题 B .p ⌝和q 都是真命题 C .p 和q ⌝都是真命题 D .p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B【详细分析】对于两个命题而言,可分别取=1x -、1x =,再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【答案详解】对于p 而言,取=1x -,则有101x +=<,故p 是假命题,p ⌝是真命题,对于q 而言,取1x =,则有3311x x ===,故q 是真命题,q ⌝是假命题, 综上,p ⌝和q 都是真命题. 故选:B.2.(2020∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)下列命题为真命题的是( ) A .10>且34> B .12>或45> C .x R ∃∈,cos 1x > D .x ∀∈R ,20x ≥【答案】D【详细分析】本题可通过43>、12<、45<、cos 1≤x 、20x ≥得出结果. 【答案详解】A 项:因为43>,所以10>且34>是假命题,A 错误; B 项:根据12<、45<易知B 错误; C 项:由余弦函数性质易知cos 1≤x ,C 错误; D 项:2x 恒大于等于0,D 正确, 故选:D.。

十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题01集合理(含解析)

十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题01集合理(含解析)

专题01集合历年考题细目表历年高考真题汇编1.【2019年新课标1理科01】已知集合M={x|﹣4<x<2},N={x|x2﹣x﹣6<0},则M∩N=()A.{x|﹣4<x<3} B.{x|﹣4<x<﹣2} C.{x|﹣2<x<2} D.{x|2<x<3}【解答】解:∵M={x|﹣4<x<2},N={x|x2﹣x﹣6<0}={x|﹣2<x<3},∴M∩N={x|﹣2<x<2}.故选:C.2.【2018年新课标1理科02】已知集合A={x|x2﹣x﹣2>0},则∁R A=()A.{x|﹣1<x<2} B.{x|﹣1≤x≤2} C.{x|x<﹣1}∪{x|x>2} D.{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2} 【解答】解:集合A={x|x2﹣x﹣2>0},可得A={x|x<﹣1或x>2},则:∁R A={x|﹣1≤x≤2}.故选:B.3.【2017年新课标1理科01】已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则()A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=R C.A∪B={x|x>1} D.A∩B=∅【解答】解:∵集合A={x|x<1},B={x|3x<1}={x|x<0},∴A∩B={x|x<0},故A正确,D错误;A∪B={x|x<1},故B和C都错误.故选:A.4.【2016年新课标1理科01】设集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2x﹣3>0},则A∩B=()A.(﹣3,)B.(﹣3,)C.(1,)D.(,3)【解答】解:∵集合A={x|x2﹣4x+3<0}=(1,3),B={x|2x﹣3>0}=(,+∞),∴A∩B=(,3),故选:D.5.【2014年新课标1理科01】已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},则A∩B=()A.[1,2)B.[﹣1,1] C.[﹣1,2)D.[﹣2,﹣1]【解答】解:由A中不等式变形得:(x﹣3)(x+1)≥0,解得:x≥3或x≤﹣1,即A=(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞),∵B=[﹣2,2),∴A∩B=[﹣2,﹣1].故选:D.6.【2013年新课标1理科01】已知集合A={x|x2﹣2x>0},B={x|x},则()A.A∩B=∅B.A∪B=R C.B⊆A D.A⊆B【解答】解:∵集合A={x|x2﹣2x>0}={x|x>2或x<0},∴A∩B={x|2<x或x<0},A∪B=R,故选:B.7.【2012年新课标1理科01】已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x﹣y∈A},则B中所含元素的个数为()A.3 B.6 C.8 D.10【解答】解:由题意,x=5时,y=1,2,3,4,x=4时,y=1,2,3,x =3时,y =1,2,x =2时,y =1综上知,B 中的元素个数为10个故选:D .8.【2010年新课标1理科01】已知集合A ={x ∈R ||x |≤2}},,则A ∩B =( ) A .(0,2) B .[0,2] C .{0,2} D .{0,1,2}【解答】解:A ={x ∈R ||x |≤2,}={x ∈R |﹣2≤x ≤2},故A ∩B ={0,1,2}.应选D .考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:集合关系及其运算,历年考题主要以选择填空题型出现,重点考查的知识点为:交并补运算,预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点交并补运算为重点较佳.最新高考模拟试题1.若集合{}5|2A x x =-<<,{}|||3B x x =<,则AB =( ) A .{}|32x x -<<B .{}|52x x -<<C .{}|33x x -<<D .{}|53x x -<< 【答案】A【解析】 解:{}{}333||B x x x x =<=-<<,则{}|32A B x x ⋂=-<<,。

数学十年高考真题分类汇编集合 word 版含解析

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十年真题分类汇编数------集合1.(2019•全国1•理T1)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=( )A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}【答案】C【解析】由题意得N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C.2.(2019•全国1•文T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁U A=( )A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}【答案】C【解析】由已知得∁U A={1,6,7},∴B∩∁U A={6,7}.故选C.3.(2019•全国2•理T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=( )A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)【答案】A【解析】由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A.4.(2019•全国2•文T1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( )A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.⌀【答案】C【解析】由题意,得A∩B=(-1,2),故选C.5.(2019•全国3•T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( )A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}【答案】A【解析】A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.6.(2019•北京•文T1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=( )A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)【答案】C【解析】∵A={x|-1<x<2},B={x|x>1},∴A∪B=(-1,+∞),故选C.7.(2019•天津•T1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}【答案】D【解析】A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.8.(2019•浙江•T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁U A)∩B=( )A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}【答案】A【解析】∁U A={-1,3},则(∁U A)∩B={-1}.9.(2018•全国1•理T2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}【答案】B【解析】A={x|x<-1或x>2},所以∁R A={x|-1≤x≤2}.10.(2018•全国1•文T1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}【答案】A【解析】由交集定义知A∩B={0,2}.11.(2018•全国2•文T2,)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}【答案】C【解析】集合A、B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}.12.(2018•全国3•T1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】C【解析】由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.13.(2018•北京•T1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}【答案】A【解析】∵A={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.14.(2018•天津•理T1)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁R B)=( )A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}【答案】B【解析】∁R B={x|x<1},A∩(∁R B)={x|0<x<1}.故选B.15.(2018•天津•文T1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}【答案】C【解析】A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.16.(2018•浙江•T1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=( )A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C.17.(2018•全国2•理T2,)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个。

2024年全国高考数学真题分类( 不等式与不等关系)汇编(附答案)

2024年全国高考数学真题分类( 不等式与不等关系)汇编(附答案)

2024年全国高考数学真题分类(不等式与不等关系)汇编一、单选题1.(2024ꞏ全国1卷)已知函数为()f x 的定义域为R ,()(1)(2)f x f x f x >-+-,且当3x <时()f x x =,则下列结论中一定正确的是( )A .(10)100f >B .(20)1000f >C .(10)1000f <D .(20)10000f <2.(2024ꞏ全国1卷)已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩,在R 上单调递增,则a 取值的范围是( ) A .(,0]-∞B .[1,0]-C .[1,1]-D .[0,)+∞3.(2024ꞏ全国2卷)已知命题p :x ∀∈R ,|1|1x +>;命题q :0x ∃>,3x x =,则( ) A .p 和q 都是真命题 B .p ⌝和q 都是真命题 C .p 和q ⌝都是真命题D .p ⌝和q ⌝都是真命题4.(2024ꞏ全国2卷)设函数()()ln()f x x a x b =++,若()0f x ≥,则22a b +的最小值为( )A .18B .14C .12D .15.(2024ꞏ全国甲卷文)若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩,则5z x y =-的最小值为( ) A .5B .12C .2-D .72-6.(2024ꞏ北京)已知集合{|41}M x x =-<≤,{|13}N x x =-<<,则M N ⋃=( ) A .{}43x x -<< B .{}11x x -<≤ C .{}0,1,2D .{}14x x -<<7.(2024ꞏ北京)记水的质量为1ln S d n-=,并且d 越大,水质量越好.若S 不变,且1 2.1d =,2 2.2d =,则1n 与2n 的关系为( ) A .12n n <B .12n n >C .若1S <,则12n n <;若1S >,则12n n >;D .若1S <,则12n n >;若1S >,则12n n <;8.(2024ꞏ北京)已知()11,x y ,()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点,则下列正确的是( )A .12122log 22y y x x ++> B .12122log 22y y x x ++< C .12212log 2y y x x +>+ D .12212log 2y y x x +<+ 9.(2024ꞏ天津)若0.30.34.24.2 4.2log 0.2a b c -===,,,则a b c ,,的大小关系为( )A .a b c >>B .b a c >>C .c a b >>D .b c a >>二、填空题10.(2024ꞏ上海)已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 .三、解答题11.(2024ꞏ全国甲卷文)已知函数()()1ln 1f x a x x =--+. (1)求()f x 的单调区间;(2)若2a ≤时,证明:当1x >时,()1e xf x -<恒成立.12.(2024ꞏ全国甲卷理)已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-. (1)当2a =-时,求()f x 的极值;(2)当0x ≥时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围.参考答案1.B【详细分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==,再利用函数性质和不等式的性质,逐渐递推即可判断.【答案解析】因为当3x <时()f x x =,所以(1)1,(2)2f f ==, 又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-,则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>,(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>, (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>, (11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+> (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>,(16)(15)(14)15971000f f f >+>>,则依次下去可知(20)1000f >,则B 正确;且无证据表明ACD 一定正确. 故选:B.【名师点评】关键点名师点评:本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==,再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-,代入函数值再结合不等式同向可加性,不断递推即可. 2.B【详细分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组,解出即可.【答案解析】因为()f x 在R 上单调递增,且0x ≥时,()()e ln 1xf x x =++单调递增,则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩,解得10a -≤≤, 即a 的范围是[1,0]-. 故选:B. 3.B【详细分析】对于两个命题而言,可分别取=1x -、1x =,再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【答案解析】对于p 而言,取=1x -,则有101x +=<,故p 是假命题,p ⌝是真命题, 对于q 而言,取1x =,则有3311x x ===,故q 是真命题,q ⌝是假命题,综上,p ⌝和q 都是真命题. 故选:B. 4.C【详细分析】解法一:由题意可知:()f x 的定义域为(),b ∞-+,分类讨论a -与,1b b --的大小关系,结合符号详细分析判断,即可得1b a =+,代入可得最值;解法二:根据对数函数的性质详细分析ln()x b +的符号,进而可得x a +的符号,即可得1b a =+,代入可得最值. 【答案解析】解法一:由题意可知:()f x 的定义域为(),b ∞-+, 令0x a +=解得x a =-;令ln()0x b +=解得1x b =-; 若-≤-a b ,当(),1x b b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +>+<, 此时()0f x <,不合题意;若1b a b -<-<-,当(),1x a b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +>+<, 此时()0f x <,不合题意;若1a b -=-,当(),1x b b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +<+<,此时()0f x >; 当[)1,x b ∞∈-+时,可知()0,ln 0x a x b +≥+≥,此时()0f x ≥; 可知若1a b -=-,符合题意;若1a b ->-,当()1,x b a ∈--时,可知()0,ln 0x a x b ++, 此时()0f x <,不合题意; 综上所述:1a b -=-,即1b a =+,则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭,当且仅当11,22a b =-=时,等号成立,所以22a b +的最小值为12;解法二:由题意可知:()f x 的定义域为(),b ∞-+, 令0x a +=解得x a =-;令ln()0x b +=解得1x b =-;则当(),1x b b ∈--时,()ln 0x b +<,故0x a +≤,所以10b a -+≤;()1,x b ∞∈-+时,()ln 0x b +>,故0x a +≥,所以10b a -+≥;故10b a -+=, 则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭,当且仅当11,22a b =-=时,等号成立,所以22a b +的最小值为12. 故选:C.【名师点评】关键点名师点评:分别求0x a +=、ln()0x b +=的根,以根和函数定义域为临界,比较大小分类讨论,结合符号性详细分析判断. 5.D【详细分析】画出可行域后,利用z 的几何意义计算即可得.【答案解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩,作出可行域如图:由5z x y =-可得1155y x z =-, 即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-, 则该直线截距取最大值时,z 有最小值, 此时直线1155y x z =-过点A , 联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩,解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩,即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭, 则min 375122z =-⨯=-. 故选:D. 6.A【详细分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【答案解析】由题意得()4,3M N ⋃=-,故选:A. 7.C【详细分析】根据题意详细分析可得12.1112.22e e S S n n --⎧=⎪⎨⎪=⎩,讨论S 与1的大小关系,结合指数函数单调性详细分析判断.【答案解析】由题意可得11221 2.1ln 1 2.2ln S d n S d n -⎧==⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩,解得12.1112.22e e S S n n --⎧=⎪⎨⎪=⎩, 若1S >,则112.1 2.2S S -->,可得112.1 2.2e e S S -->,即12n n >; 若1S =,则1102.1 2.2S S --==,可得121n n ==; 若1S <,则112.1 2.2S S --<,可得112.1 2.2e e S S --<,即12n n <; 结合选项可知C 正确,ABD 错误; 故选:C. 8.A【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ;举例判断CD 即可.【答案解析】由题意不妨设12x x <,因为函数2x y =是增函数,所以12022x x <<,即120y y <<,对于选项AB:可得121222222x x x x ++>=,即12122202x x y y ++>>, 根据函数2log y x =是增函数,所以121212222log log 222x x y y x x+++>=,故A 正确,B 错误;对于选项C :例如120,1x x ==,则121,2y y ==, 可得()12223log log 0,122y y +=∈,即12212log 12y y x x +<=+,故C 错误; 对于选项D :例如121,2x x =-=-,则1211,24y y ==,可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--,即12212log 32y y x x +>-=+,故D 错误, 故选:A.9.B【详细分析】利用指数函数和对数函数的单调性详细分析判断即可. 【答案解析】因为 4.2x y =在R 上递增,且0.300.3-<<, 所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<,所以0.30.30 4.21 4.2-<<<,即01a b <<<, 因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增,且00.21<<, 所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=,即0c <, 所以b a c >>, 故选:B10.{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案解析】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =, 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<, 故答案为:{}|13x x -<<.11.(1)见答案解析 (2)见答案解析【详细分析】(1)求导,含参分类讨论得出导函数的符号,从而得出原函数的单调性; (2)先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时,1e 21ln 0x x x --++>即可.【答案解析】(1)()f x 定义域为(0,)+∞,11()ax f x a x x'-=-= 当0a ≤时,1()0ax f x x-'=<,故()f x 在(0,)+∞上单调递减; 当0a >时,1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,()f x 单调递增,当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,()f x 单调递减.综上所述,当0a ≤时,()f x 在(0,)+∞上单调递减;0a >时,()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增,在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.(2)2a ≤,且1x >时,111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++,令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>,下证()0g x >即可. 11()e 2x g x x -'=-+,再令()()h x g x '=,则121()e x h x x-'=-, 显然()h x '在(1,)+∞上递增,则0()(1)e 10h x h ''>=-=, 即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增,故0()(1)e 210g x g ''>=-+=,即()g x 在(1,)+∞上单调递增, 故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=,问题得证12.(1)极小值为0,无极大值. (2)12a ≤-【详细分析】(1)求出函数的导数,根据导数的单调性和零点可求函数的极值.(2)求出函数的二阶导数,就12a ≤-、102a -<<、0a ≥分类讨论后可得参数的取值范围.【答案解析】(1)当2a =-时,()(12)ln(1)f x x x x =++-,故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x+'=++-=+-+++, 因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数, 故()f x '在()1,∞-+上为增函数,而(0)0f '=, 故当10x -<<时,()0f x '<,当0x >时,()0f x '>, 故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =,无极大值.(2)()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x +-=-+'+-=-+->++, 设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+,则()()()()()()222111211111a a x a a ax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+, 当12a ≤-时,()0s x '>,故()s x 在()0,∞+上为增函数,故()()00s x s >=,即()0f x '>,所以()f x 在[)0,∞+上为增函数,故()()00f x f ≥=.当102a -<<时,当210a x a+<<-时,()0s x '<, 故()s x 在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数,故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <,即在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数,故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()00f x f <=,不合题意,舍.当0a ≥,此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立,同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立,不合题意,舍; 综上,12a ≤-.【名师点评】思路名师点评:导数背景下不等式恒成立问题,往往需要利用导数判断函数单调性,有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征,处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.。

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2008年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一. 选择题:1.(福建卷11)又曲线22221x y a b==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为BA.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. (41,-1) B. (41,1)C. (1,2)D. (1,-2)3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a <22ca . 其中正确式子的序号是BA. ①③B. ②③C. ①④D. ②④4.(湖南卷8)若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B )A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)5.(江西卷7)已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是CA .(0,1)B .1(0,]2C .(0,)2 D.,1)2 6.(辽宁卷10)已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A ) AB .3 CD .927.(全国二9)设1a >,则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是( B )A.2) B. C .(25), D.(28.(山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为135,焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C 2的标准方程为A(A )1342222=-y x (B)15132222=-y x(C)1432222=-y x (D)112132222=-y x9.(陕西卷8)双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的左、右焦点分别是12F F ,,过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点,若2MF 垂直于x 轴,则双曲线的离心率为( B ) ABCD.3ABCD-10.(四川卷12)已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在C 上且2AK =,则AFK ∆的面积为( B )(A)4 (B)8 (C)16 (D)3211.(天津卷(7)设椭圆22221x y m n+=(0m >,0n >)的右焦点与抛物线28y x=的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为B (A )2211216x y += (B )2211612x y += (C )2214864x y += (D )2216448x y += 12.(浙江卷7)若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,则双曲线的离心率是D(A )3 (B )5 (C )3 (D )513.(浙江卷10)如图,AB 是平面a 的斜线段,A 为斜足,若点P 在平面a 内运动,使得△ABP 的面积为定值,则动点P 的轨迹是B(A )圆 (B )椭圆 (C )一条直线 (D )两条平行直线14.(重庆卷(8)已知双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的一条渐近线为y =kx (k >0),离心率e 5k ,则双曲线方程为C(A )22x a -224y a =1(B)222215x y a a-=(C)222214x y b b-=(D)222215x y b b-=二. 填空题:1.(海南卷14)过双曲线221916x y -=的右顶点为A ,右焦点为F 。

过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ,则△AFB 的面积为_______32152.(湖南卷12)已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点为F,右准线为l ,离心率e =5过顶点A (0,b )作AM ⊥l ,垂足为M ,则直线FM 的斜率等于 . 123.(江苏卷12)在平面直角坐标系中,椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2,以O 为圆心,a 为半径的圆,过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直,则离心率e = .24.(江西卷15)过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30的直线,与抛物线分别交于A 、B 两点(A 在y 轴左侧),则AF FB= .135.(全国一14)已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 .26.(全国一15)在ABC △中,AB BC =,7cos 18B =-.若以A B ,为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = .387.(全国二15)已知F 是抛物线24C y x =:的焦点,过F 且斜率为1的直线交C于A B ,两点.设FA FB >,则FA 与FB 的比值等于 .3+8.(浙江卷12)已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ,则AB =______________。

8三. 解答题:1.(安徽卷22).(本小题满分13分)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ,且着焦点为1(F(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时,在线段AB 上取点Q ,满足AP QB AQ PB =,证明:点Q 总在某定直线上 解 (1)由题意:2222222211c a bc a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩,解得224,2a b ==,所求椭圆方程为 22142x y += (2)方法一设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。

由题设知,,,AP PB AQ QB 均不为零,记AP AQ PBQBλ==,则0λ>且1λ≠又A ,P ,B ,Q 四点共线,从而,AP PB AQ QB λλ=-=于是 1241x x λλ-=-, 1211y y λλ-=-121x x x λλ+=+, 121y y y λλ+=+从而22212241x x x λλ-=-,(1) 2221221y y y λλ-=-,(2)又点A 、B 在椭圆C 上,即221124,(3)x y += 222224,(4)x y +=(1)+(2)×2并结合(3),(4)得424s y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上 方法二设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ,由题设,,,,PA PB AQ QB 均不为零。

且PA PB AQQB=又 ,,,P A Q B 四点共线,可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±,于是 1141,11x yx y λλλλ--==-- (1)2241,11x yx y λλλλ++==++ (2) 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上,将(1),(2)分别代入C 的方程2224,x y += 整理得222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= (3) 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)(4)-(3) 得 8(22)0x y λ+-=0,220x y λ≠+-=∵∴即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上2.(北京卷19).(本小题共14分)已知菱形ABCD 的顶点A C ,在椭圆2234x y +=上,对角线BD 所在直线的斜率为1. (Ⅰ)当直线BD 过点(01),时,求直线AC 的方程; (Ⅱ)当60ABC ∠=时,求菱形ABCD 面积的最大值. 解:(Ⅰ)由题意得直线BD 的方程为1y x =+. 因为四边形ABCD 为菱形,所以AC BD ⊥. 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+.由2234x y y x n⎧+=⎨=-+⎩,得2246340x nx n -+-=. 因为A C ,在椭圆上,所以212640n ∆=-+>,解得33n -<<. 设A C ,两点坐标分别为1122()()x y x y ,,,, 则1232nx x +=,212344n x x -=,11y x n =-+,22y x n =-+.所以122ny y +=. 所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫⎪⎝⎭,.由四边形ABCD 为菱形可知,点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭,在直线1y x =+上, 所以3144n n =+,解得2n =-. 所以直线AC 的方程为2y x =--,即20x y ++=. (Ⅱ)因为四边形ABCD 为菱形,且60ABC ∠=, 所以AB BC CA ==.所以菱形ABCD 的面积232S AC =. 由(Ⅰ)可得22221212316()()2n AC x x y y -+=-+-=,所以234343(316)433S n n ⎛⎫=-+-<< ⎪ ⎪⎝⎭. 所以当0n =时,菱形ABCD 的面积取得最大值43. 3.(福建卷21)(本小题满分12分)如图、椭圆22221(0)x y ab a b+=的一个焦点是F(1,0),O 为坐标原点.(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;(Ⅱ)设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.若直线l绕点F 任意转动,值有222OA OBAB +,求a 的取值范围.本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识,考查分类与整合思想,考查运算能力和综合解题能力.满分12分. 解法一:(Ⅰ)设M ,N 为短轴的两个三等分点,因为△MNF 为正三角形, 所以32OF MN =, 即1=32, 3.23bb 解得=2214,a b =+=因此,椭圆方程为221.43x y += (Ⅱ)设1122(,),(,).A x y B x y (ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时,2222222222,4(1),.OA OB a AB a a OA OB AB +==>+<因此,恒有(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时,设直线AB 的方程为:22221,1,x y x my a b=++=代入整理得22222222()20,a b m y b my b a b +++-=所以222212122222222,b m b a b y y y y a b m a b m -+==++因为恒有222OA OB AB +<,所以∠AOB 恒为钝角. 即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ==+<恒成立.2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++2222222222222222222222(1)()210.m b a b b m a b m a b m m a b b a b a a b m+-=-+++-+-+=<+ 又a 2+b 2m 2>0,所以-m 2a 2b 2+b 2-a 2b 2+a 2<0对m ∈R 恒成立, 即a 2b 2m 2> a 2 -a 2b 2+b 2对m ∈R 恒成立.当m ∈R 时,a 2b 2m 2最小值为0,所以a 2- a 2b 2+b 2<0. a 2<a 2b 2- b 2, a 2<( a 2-1)b 2= b 4,因为a >0,b >0,所以a <b 2,即a 2-a -1>0, 解得a或a(舍去),即a, 综合(i )(ii),a,+∞). 解法二:(Ⅰ)同解法一, (Ⅱ)解:(i )当直线l 垂直于x 轴时,x =1代入22222221(1)1,A y b a y a b a -+===1.因为恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2,2(1+y A 2)<4 y A 2, y A 2>1,即21a a->1,解得a 或a (舍去),即a . (ii )当直线l 不垂直于x 轴时,设A (x 1,y 1), B (x 2,y 2).设直线AB 的方程为y =k (x -1)代入22221,x y a b+=得(b 2+a 2k 2)x 2-2a 2k 2x + a 2 k 2- a 2 b 2=0,故x 1+x 2=222222222222222,.a k a k a b x x b a k b a k-=++因为恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2,所以x 21+y 21+ x 22+ y 22<( x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2, 得x 1x 2+ y 1y 2<0恒成立.x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2+k 2(x 1-1) (x 2-1)=(1+k 2) x 1x 2-k 2(x 1+x 2)+ k 2=(1+k 2)2222222222222222222222222()a k a b a k a a b b k a b k k b a k b a k b a k --+--+=+++.由题意得(a 2- a 2 b 2+b 2)k 2- a 2 b 2<0对k ∈R 恒成立.①当a 2- a 2 b 2+b 2>0时,不合题意;②当a 2- a 2 b 2+b 2=0时,a ; ③当a 2- a 2 b 2+b 2<0时,a 2- a 2(a 2-1)+ (a 2-1)<0,a 4- 3a 2 +1>0,解得a 2>32+或a 2>32-(舍去),a >12+,因此a ≥12+.综合(i )(ii ),a 的取值范围为(12+,+∞). 4.(广东卷18).(本小题满分14分)设0b >,椭圆方程为222212x y b b+=,抛物线方程为28()x y b =-.如图4所示,过点(02)F b +,作x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G ,已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F .Ay xO B GFF 1 图4(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;(2)设A B ,分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P ,使得ABP △为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标). 【解析】(1)由28()x y b =-得218y x b =+, 当2y b =+得4x =±,∴G 点的坐标为(4,2)b +,1'4y x =,4'|1x y ==,过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即2y x b =+-,令0y =得2x b =-,1F ∴点的坐标为(2,0)b -,由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ,2b b ∴-=即1b =,即椭圆和抛物线的方程分别为2212x y +=和28(1)x y =-;(2)过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个,同理∴ 以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个。

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