历年高考数学试题分类汇编
2008年高考数学试题分类汇编
圆锥曲线
一． 选择题：
1.（福建卷11)又曲线22
221x y a b
==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P
为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B
A.(1,3)
B.(]1,3
C.(3,+∞)
D.[)3,+∞
2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距
离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （
4
1
，－1） B. （4
1
，1）
C. （1，2）
D. （1，－2）
3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和
22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22
c
a . 其中正确式子的序号是B
A. ①③
B. ②③
C. ①④
D. ②④
4.（湖南卷8）若双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点
的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B )
A.(1,2)
B.(2,+∞)
C.(1,5)
D. (5,+∞)
5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=
的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C
A ．(0,1)
B ．1(0,]2 C
．(0,2 D
．[2
6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A
B ．3 C
D ．
92
7.（全国二9）设1a >，则双曲线22
22
1(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ B ） A
．
B
．
C ．(25)，
D
．(2
8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为
13
5
，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为A
（A ）1342222=-y x (B)151322
22=-y x
(C)1432222=-y x (D)1121322
22=-y x
9.（陕西卷8）双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，
过1F 作倾斜角为30 的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ） A
B
C
D
．
3
A
B
-C
D
-
10.（四川卷12）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，
点A 在C 上且AK =，则AFK ?的面积为( B )
（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）32
11.（天津卷（7）设椭圆22
221x y m n
+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x
=的焦点相同，离心率为
1
2
，则此椭圆的方程为B （A ）2211216x y +
= （B ）2211612x y += （C ）2214864x y += （D ）22
16448x y += 12.（浙江卷7）若双曲线122
22=-b
y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,
则双曲线的离心率是D
（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5
13.（浙江卷10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运
动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是B
（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线
14.（重庆卷(8)已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞
0),离心率e ,则双曲线方程为C
（A ）22x a －2
24y a =1
(B)22
2215x y a a
-=
(C)22
2214x y b b
-=
(D)22
2215x y b b
-=
二． 填空题：
1.（海南卷14）过双曲线22
1916
x y -
=的右顶点为A ，右焦点为F 。过点F 平行双
曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为_______
3215
2.（湖南卷12）已知椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的右焦点为F,右准线为l ,离心
率e =
5
过顶点A (0,b )作AM ⊥l ,垂足为M ，
则直线FM 的斜率等于 . 12 3.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆22
22x y a b
+=1( a b >>0)的焦距为2，
以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ??
???
作圆的两切线互相垂直，则离心率
e = ．
4.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30 的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则
AF
FB
= ．1
3
5.（全国一14）已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．2
6.（全国一15）在ABC △中，AB BC =，7
cos 18
B =-
．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．3
8
7.（全国二15）已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C
于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于 ．3+
8.（浙江卷12）已知21F F 、为椭圆
19
252
2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ，则AB =______________。8
三． 解答题：
1.（安徽卷22）．（本小题满分13分）
设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点M ，且着焦点为1(F
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，
满足AP QB AQ PB =
，证明：点Q 总在某定直线上
解 (1)由题意：
2222222211c a b
c a b ?=?
?+=???=-?
，解得22
4,2a b ==，所求椭圆方程为 22142x y += (2)方法一
设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。
由题设知,,,AP PB AQ QB
均不为零，记AP AQ PB QB
λ==
,则0λ>且1λ≠
又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-=
于是 12
41x x λλ-=-， 12
11y y λλ-=-
12
1x x x λλ
+=+， 12
1y y y λλ
+=
+
从而
222
12241x x x λλ-=-， （1） 222
122
1y y y λλ
-=-， （2） 又点A 、B 在椭圆C 上，即
221124,(3)x y += 22
2224,(4)x y +=
（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上 方法二
设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB
均不为零。
且 PA PB AQ QB
=
又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±
,于是
1141,11x y
x y λλλλ
--=
=-- （1）
2241,11x y
x y λλλλ
++=
=++ （2） 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2224,x y += 整理得
222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3） 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)
(4)－(3) 得 8(22)0x y λ+-= 0,220x y λ≠+-=∵∴
即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上
2.（北京卷19）．（本小题共14分）
已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线BD 过点(01)，
时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=
时，求菱形ABCD 面积的最大值． 解：（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x =+． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥． 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．
由2234x y y x n
?+=?=-+?，得22
46340x nx n -+-=． 因为A C ，在椭圆上，
所以2
12640n ?=-+>
，解得n <<． 设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，
则1232n x x +=，21234
4
n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+．
所以122
n
y y +=
． 所以AC 的中点坐标为344n n ??
???
，．
由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ??
???
，在直线1y x =+上， 所以
3144
n n =+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=． （Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=
， 所以AB BC CA ==．
所以菱形ABCD 的面积2
S AC =
． 由（Ⅰ）可得22
2
2
1212316
()()2
n AC x x y y -+=-+-=，
所以2
316)S n n ?=-+<< ??
．
所以当0n =时，菱形ABCD 的面积取得最大值 3.（福建卷21）（本小题满分12分）
如图、椭圆22
221(0)x y a b a b
+= 的一个焦点是F
（1，0），O 为坐标原点.
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成
正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.若直线l
绕点F 任意转动，值有2
2
2
OA OB AB + ,求a 的取值范围.
本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与
整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分. 解法一：(Ⅰ)设M ，N 为短轴的两个三等分点，
因为△MNF 为正三角形，
所以OF =
,
即1＝
2,23
b
b 解得
2
2
14,a b =+=因此，椭圆方程为22
1.43
x y += (Ⅱ)设1122(,),(,).A x y B x y (ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时，
222
2222
2
2
2,4(1),.
OA OB a AB a a OA OB AB +==>+<因此，恒有
(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时，
设直线AB 的方程为：22
221,1,x y x my a b
=++=代入
整理得22222222()20,a b m y b my b a b +++-=
所以2222
1212222222
2,b m b a b y y y y a b m a b m -+==++
因为恒有2
2
2
OA OB AB +<，所以∠AOB 恒为钝角.
即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ==+<
恒成立.
2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++
222222
222222
2222222
222
(1)()21
0.m b a b b m a b m a b m m a b b a b a a b m
+-=-+++-+-+=<+ 又a 2+b 2m 2>0,所以-m 2a 2b 2+b 2-a 2b 2+a 2<0对m ∈R 恒成立， 即a 2b 2m 2> a 2 -a 2b 2+b 2对m ∈R 恒成立.