高考数学试题分类汇编(导数)

2007年高考数学试题分类汇编(导数)

(福建理11文)

已知对任意实数x ,有()()()()f x f x g x g x -=--=,,且0x >时,()0()0f x g x ''>>,,则0x <时( B ) A .()0()0f x g x ''>>, B .()0()0f x g x ''><, C .()0()0f x g x ''<>, D .()0()0f x g x ''<<,

(海南理10)

曲线12

e x y =在点2(4e ),处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( D )

A.29

e 2

B.24e C.22e D.2e

(海南文10)

曲线x y e =在点2(2)e ,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( D )

A.294e

B.2

2e

C.2

e

D.2

2

e

(江苏9)

已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有()0f x ≥,

则(1)'(0)

f f 的最小值为( C ) A .3 B .52 C .2 D .3

2

(江西理9)

12.设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞,内单调递增,:5q m -≥,则p 是q 的( B )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

(江西理5)

5.若π

02

x <<,则下列命题中正确的是( D ) A.3sin πx x < B.3sin πx x >

C.2

24sin π

x x <

D.2

24sin π

x x >

(江西文8)

若π

02x <<

,则下列命题正确的是( B ) A.2sin πx x < B.2sin πx x > C.3sin πx x < D.3

sin π

x x >

(辽宁理12)

已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数,如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0,且()()f x g x ≥,那么下列情形不可能...

出现的是( ) A .0是()f x 的极大值,也是()g x 的极大值 B .0是()f x 的极小值,也是()g x 的极小值 C .0是()f x 的极大值,但不是()g x 的极值 D .0是()f x 的极小值,但不是()g x 的极值

(全国一文11)

曲线313y x x =+在点413??

???,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( A )

A.19 B.29 C.13 D.23

(全国二文8)

已知曲线2

4

x y =的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( A )

A .1

B .2

C .3

D .4

(浙江理8)

设()f x '是函数()f x 的导函数,将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( D )

高考数学试题分类汇编(导数)

(北京文9)

()f x '是3

1()213

f x x x =

++的导函数,则(1)f '-的值是____.3

(广东文12)

函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是____.1,e ??

+∞????

(江苏13)

已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ,则M m -=__.32

(湖北文13)

已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1

22

y x =+,则(1)(1)f f '+=____.3

(湖南理13)

函数3()12f x x x =-在区间[33]-,

上的最小值是____.16-

(浙江文15)

曲线32242y x x x =--+在点(13)-,

处的切线方程是____.520x y +-=

(安徽理 18)

设a ≥0,f (x )=x -1-ln 2 x +2a ln x (x >0).

(Ⅰ)令F (x )=xf '(x ),讨论F (x )在(0.+∞)内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当x >1时,恒有x >ln 2x -2a ln x +1.

本小题主要考查函数导数的概念与计算,利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法,考查综合运用有关知识解决问题的能力.本小题满分14分. (Ⅰ)解:根据求导法则有2ln 2()10x a

f x x x x

'=-

+>,, 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>,, 于是22

()10x F x x x x

-'=-=>,, 列表如下:

x

(02),

2 (2)+,∞

()F x ' -

0 +

()F x

极小值(2)F

故知()F x 在(02),

内是减函数,在(2)+,∞内是增函数,所以,在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+.

(Ⅱ)证明:由0a ≥知,()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>. 于是由上表知,对一切(0)x ∈+,∞,恒有()()0F x xf x '=>.

从而当0x >时,恒有()0f x '>,故()f x 在(0)+,

∞内单调增加. 所以当1x >时,()(1)0f x f >=,即21ln 2ln 0x x a x --+>. 故当1x >时,恒有2ln 2ln 1x x a x >-+.

(安徽文 20)

设函数f (x )=-cos 2x -4t sin 2

x

cos 2

x +4t 2+t 2-3t +4,x ∈R,其中t ≤1,将f (x )的最小值记为g (t ).

(Ⅰ)求g (t )的表达式;

(Ⅱ)诗论g (t )在区间(-1,1)内的单调性并求极值.

本小题主要考查同角三角函数的基本关系,倍角的正弦公式,正弦函数的值域,多项式函数的导数,函数的单调性,考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间,极值与最值等问题的综合能力. 解:(I )我们有

232()cos 4sin cos 43422

x x

f x x t t t t =--++-+

222sin 12sin 434x t t t t =--++-+ 223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+

23(sin )433x t t t =-+-+.

由于2(sin )0x t -≥,1t ≤,故当sin x t =时,()f x 达到其最小值()g t ,即

3()433g t t t =-+.

(II )我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<,. 列表如下:

t

121?

?-- ??

?,

1

2

-

1221??- ???

, 12 112?? ???

, ()g t '

+

0 - 0

+

()g t

极大值12g ??

- ???

极小值12g ??

???

由此可见,()g t 在区间112??-- ???,和112?? ???,单调增加,在区间1122??

- ???,单调减小,极小值为

122g ??= ???,极大值为42g 1??

-= ???

. (北京理 19)

如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为2r ,短半轴长为r ,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB 是半椭圆的短轴,上底CD 的端点在椭圆

上,记2CD x =,梯形面积为S .

(I )求面积S 以x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (II )求面积S 的最大值.

解:(I )依题意,以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -(如图),则点C 的横坐标为x .

点C 的纵坐标y 满足方程22

221(0)4x y y r r

+=≥,

解得222(0)y r x x r =-<<

221

(22)22

S x r r x =

+- 222()x r r x =+- , 其定义域为{}0x x r <<.

(II )记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<,, 则2()8()(2)f x x r r x '=+-. 令()0f x '=,得1

2

x r =. 因为当02r x <<

时,()0f x '>;当2

r

x r <<时,()0f x '<,所以12f r ??

???

是()f x 的最大值.

因此,当1

2

x r =

时,S 也取得最大值,最大值为213322f r r ??= ???

即梯形面积S 的最大值为

2

332

r . 4r

C

D

A

B

2r

C

D A B O

x

y

(福建理 22)

已知函数()e x f x kx x =-∈R ,

(Ⅰ)若e k =,试确定函数()f x 的单调区间;

(Ⅱ)若0k >,且对于任意x ∈R ,()0f x >恒成立,试确定实数k 的取值范围; (Ⅲ)设函数()()()F x f x f x =+-,求证:1

2

(1)(2)()(e

2)()n n F F F n n +*>+∈N .

本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法,考查分析问题、解决问题的能力.满分14分.

解:(Ⅰ)由e k =得()e e x f x x =-,所以()e e x f x '=-. 由()0f x '>得1x >,故()f x 的单调递增区间是(1)+∞,, 由()0f x '<得1x <,故()f x 的单调递减区间是(1)-∞,

. (Ⅱ)由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数.

于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立. 由()e 0x f x k '=-=得ln x k =.

①当(01]k ∈,

时,()e 10(0)x f x k k x '=->->≥. 此时()f x 在[0)+∞,上单调递增. 故()(0)10f x f =>≥,符合题意.

②当(1)k ∈+∞,

时,ln 0k >.

当x 变化时()()f x f x ',的变化情况如下表:

x

(0ln )k ,

ln k

(ln )k +∞,

()f x ' - 0

+ ()f x

单调递减

极小值

单调递增

由此可得,在[0)+∞,

上,()(ln )ln f x f k k k k =-≥. 依题意,ln 0k k k ->,又11e k k >∴<<,

. 综合①,②得,实数k 的取值范围是0e k <<. (Ⅲ)()()()e e x x F x f x f x -=+-=+ ,

12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+,

1(1)()e 2n F F n +∴>+,

11(2)(1)e 2

()(1)e 2.

n n F F n F n F ++->+>+

由此得,21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+ 故1

2

(1)(2)()(e

2)n n F F F n n +*>+∈N ,.

(福建文 20)

设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ,. (Ⅰ)求()f x 的最小值()h t ;

(Ⅱ)若()2h t t m <-+对(02)t ∈,

恒成立,求实数m 的取值范围. 本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用,考查运用数学知识分析问题解决问题的能力.满分12分.

解:(Ⅰ)23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ,,

∴当x t =-时,()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-, 即3()1h t t t =-+-.

(Ⅱ)令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--, 由2()330g t t '=-+=得1t =,1t =-(不合题意,舍去). 当t 变化时()g t ',()g t 的变化情况如下表:

t

(01),

1

(12),

()g t ' + 0 - ()g t

递增

极大值

1m -

递减

()g t ∴在(02),内有最大值(1)1g m =-.

()2h t t m <-+在(02),内恒成立等价于()0g t <在(02),内恒成立,

即等价于10m -<, 所以m 的取值范围为1m >.

(广东理、文 20)

已知a 是实数,函数2()223f x ax x a =+--.如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有 零点,求a 的取值范围.

解: 若0a = , ()23f x x =- ,显然在上没有零点, 所以 0a ≠ 令 ()248382440a a a a ?=++=++= 得 37

2

a -±= 当 37

2

a --=

时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; 当 ()()()()11150f f a a -=--< 即 15a << 时, ()y f x =也恰有一个零

点在[]1,1-上;

当 ()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则

()()208244011121010a a a a f f >???=++>??-<-

1121010a a a a f f

??=++>??-<-

?

-≤?

解得5a ≥或35

2

a --<

因此a 的取值范围是 1a > 或 35

2

a --≤ ;

(海南理 21)

设函数2()ln()f x x a x =++

(I )若当1x =-时,()f x 取得极值,求a 的值,并讨论()f x 的单调性; (II )若()f x 存在极值,求a 的取值范围,并证明所有极值之和大于e ln 2

. 解:(Ⅰ)1

()2f x x x a

'=

++, 依题意有(1)0f '-=,故32

a =

. 从而2231(21)(1)

()3322

x x x x f x x x ++++'==++.

()f x 的定义域为32??

-+ ???,∞,当312x -<<-时,()0f x '>;

当1

12x -<<-时,()0f x '<;

当1

2

x >-时,()0f x '>.

从而,()f x 分别在区间31122????---+ ? ?????,,,∞单调增加,在区间112?

?-- ???,单调减少.

(Ⅱ)()f x 的定义域为()a -+,∞,2221

()x ax f x x a

++'=+.

方程22210x ax ++=的判别式248a ?=-.

(ⅰ)若0?<,即22a -<<,在()f x 的定义域内()0f x '>,故()f x 的极值. (ⅱ)若0?=,则2a -或2a =-.

若2a =,(2)x ∈-+,∞,2

(21)()2x f x x -'=

+. 当2

2x =-时,()0f x '=,当22222x ????∈---+ ? ? ? ?????

,,∞时,()0f x '>,所以()f x 无极值.

若2a =-,(2)x ∈+,∞,2

(21)()02

x f x x -'=

>-,()f x 也无极值. (ⅲ)若0?>,即2a >或2a <-,则22210x a x ++=有两个不同的实根

2122a a x ---=

,222

2

a a x -+-=. 当2a <-时,12x a x a <-<-,,从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点,故()f x 无极值. 当2a >时,1x a >-,2x a >-,()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点,由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==,取得极值.

综上,()f x 存在极值时,a 的取值范围为(2)+,∞.

()f x 的极值之和为

2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22

e

f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=.

(海南文 19)

设函数2()ln(23)f x x x =++ (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;

(Ⅱ)求()f x 在区间3144??

-????,的最大值和最小值.

解:()f x 的定义域为32??

-+ ???

,∞.

(Ⅰ)224622(21)(1)()2232323

x x x x f x x x x x ++++'=+==+++. 当312x -

<<-时,()0f x '>;当112x -<<-时,()0f x '<;当1

2

x >-时,()0f x '>. 从而,()f x 分别在区间312??-- ???,,12??-+ ???,∞单调增加,在区间112??-- ??

?,单调减少.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知()f x 在区间3144??

-????

,的最小值为

11ln 224f ??

-=+ ???

又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ????

??--

=+--=+=- ? ? ???

??

??0<.

所以()f x 在区间3144??

-????

,的最大值为

11

7ln 416

2f ??=+ ???.

(湖北理 20)

已知定义在正实数集上的函数2

1()22

f x x ax =

+,2()3ln g x a x b =+,其中0a >.设两曲线()y f x =,()y g x =有公共点,且在该点处的切线相同. (I )用a 表示b ,并求b 的最大值; (II )求证:()()f x g x ≥(0x >).

本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.

解:(Ⅰ)设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ,处的切线相同.

()2f x x a '=+∵,23()a g x x

'=,由题意00()()f x g x =,00()()f x g x ''=.

即22

0002

00123ln 232x ax a x b a x a x ?+=+????+=??,,由200

32a x a x +=得:0x a =,或03x a =-(舍去). 即有2222215

23ln 3ln 22

b a a a a a a a =

+-=-. 令225

()3ln (0)2

h t t t t t =->,则()2(13ln )h t t t '=-.于是

当(13ln )0t t ->,即1

3

0t e <<时,()0h t '>; 当(13ln )0t t -<,即13

t e >时,()0h t '<.

故()h t 在1

3

0e ?? ???,为增函数,在13e ??+ ???

∞为减函数, 于是()h t 在(0)+,

∞的最大值为12

3

3

32

h e e ??= ???. (Ⅱ)设2

21()()()23ln (0)2

F x f x g x x ax a x b x =-=

+-->, 则()F x '23()(3)

2(0)a x a x a x a x x x -+=+-=>. 故()F x 在(0)a ,为减函数,在()a +,

∞为增函数, 于是函数()F x 在(0)+,

∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=. 故当0x >时,有()()0f x g x -≥,即当0x >时,()()f x g x ≥.

(湖北文 19)

设二次函数2()f x x ax a =++,方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<. (I )求实数a 的取值范围; (II )试比较(0)(1)(0)f f f -与

1

16

的大小.并说明理由. 本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法,考查推理和运算能力.

解法1:(Ⅰ)令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+,

则由题意可得01012

(1)0(0)0a g g ?>??-?<

?

>??,,,

,011322322a a a a ?>??-<+?,,,或,0322a ?<<-. 故所求实数a 的取值范围是(0322)-,.

(II )2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -== ,令2()2h a a =.

当0a >时,()h a 单调增加,∴当0322a <<-时,

20()(322)2(322)2(17122)

h a h <<-=

-=- 11

216

17122=<+ ,即1(0)(1)(0)16f f f -< .

解法2:(I )同解法1.

(II ) 2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==,由(I )知0322a <<-, 41122170a -<-<∴2.又4210a +>,

于是 22111

2(321)(421)(421)0161616

a a a a -

=-=-+<, 即212016a -

<,故1

(0)(1)(0)16

f f f -<. 解法3:(I )方程()0f x x -=?2(1)0x a x a +-+=,由韦达定理得

121x x a +=-,12x x a =,于是12121212

1200010(1)(1)0(1)(1)0

x x x x x x x x x x ?>??+>??

<<??-+->??-->?,

,,

01322322a a a a ?>?

?

<->+?,

或0322a ?<<-. 故所求实数a 的取值范围是(0322)-,.

(II )依题意可设12()()()g x x x x x =--,则由1201x x <<<,得

12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]f f f g g x x x x x x x x -==--=--

2

2

11221112216x x x x +-+-????

<= ? ?????

,故1(0)(1)(0)16f f f -<.

(湖南理 19)

如图4,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路,点P 所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(090θ<< ),且2

sin 5

θ=

,点P 到平面α的距离0.4PH =(km ).沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用.从点O 到山脚修路的造价为a 万元/km ,原有公路改建费用为

2

a

万元/km .当山坡上公路长度为l km (12l ≤≤)时,其造价为2(1)l a +万元.已知OA AB ⊥,PB AB ⊥, 1.5(km)AB =,

3(km)OA =.

(I )在AB 上求一点D ,使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小;

(II ) 对于(I )中得到的点D ,在DA 上求一点E ,使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小.

(III )在AB 上是否存在两个不同的点D ',E ',使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于(II )中得到的最小总造价,证明你的结论.

解:(I )如图,PH α⊥,HB α?,PB AB ⊥, 由三垂线定理逆定理知,AB HB ⊥,所以PBH ∠是 山坡与α所成二面角的平面角,则PBH θ∠=,

1sin PH PB θ

==.

设(km)BD x =,0 1.5x ≤≤.则

2221PD x PB x =+=+[12]∈,

. 记总造价为1()f x 万元,

A

E

D

B

H P

α

A

O

E D

B

H

P

据题设有2211111

()(1)(3)224

f x PD AD AO a x x a =++

+=-++ 2

1433416x a a ????

=-++ ? ?????

当14x =

,即1

(km)4

BD =时,总造价1()f x 最小. (II )设(km)AE y =,5

04

y ≤≤,总造价为2()f y 万元,根据题设有

222131()13224f y PD y y a ??

??=++++-- ??????

?2433216y y a a ??=+-+ ???.

则()22123y f y a y ??' ?=- ?+??,由2()0f y '=,得1y =.

当(01)y ∈,时,2()0f y '<,2()f y 在(01),内是减函数;

当514y ??∈ ???,时,2()0f y '>,2()f y 在514??

???

,内是增函数.

故当1y =,即1AE =(km )时总造价2()f y 最小,且最小总造价为67

16

a 万元. (III )解法一:不存在这样的点D ',E '.

事实上,在AB 上任取不同的两点D ',E '.为使总造价最小,E 显然不能位于D ' 与B 之

间.故可设E '位于D '与A 之间,且BD '=1(km)x ,1(km)AE y '=,123

02x y +≤≤,总造

价为S 万元,则221111113224x y S x y a ?

?=-++-+ ???.类似于(I )、(II )讨论知,2111216x x --≥,

2113322y y +-

≥,当且仅当11

4x =,11y =同时成立时,上述两个不等式等号同时成立,此时1(km)4BD '=

,1(km)AE =,S 取得最小值67

16

a ,点D E '',分别与点D E ,重合,所以不存在这样的点 D E '',,使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于(II )中得到的最小总造价.

解法二:同解法一得

221111113224x y S x y a ?

?=-++-+ ??

?

(

)(

)

2

22111111143

3

334416

x a y y y y a a ?

???=-++-+

+++ ??????

?

221111143

23(3)(3)416y y y y a a ?+-++?+≥ 67

16

a =. 当且仅当114x =且2211113(3)(3)y y y y +-++,即111

14

x y ==,同时成立时,S 取得最小值67

16

a ,以上同解法一.

(湖南文 21)

已知函数3211

()32

f x x ax bx =++在区间[11)

-,,(13],内各有一个极值点. (I )求24a b -的最大值;

(II )当248a b -=时,设函数()y f x =在点(1(1))A f ,处的切线为l ,若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象(即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动,经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求函数()f x 的表达式.

解:(I )因为函数3211

()32

f x x ax bx =++在区间[11)

-,,(13],内分别有一个极值点,所以2()f x x ax b '=++0=在[11)

-,,(13],内分别有一个实根, 设两实根为12x x ,(12x x <),则2214x x a b -=-,且2104x x <-≤.于是

2044a b <-≤,20416a b <-≤,

且当11x =-,23x =,即2a =-,3b =-时等号成立.故24a b -的最大值是16.

(II )解法一:由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ,处的切线l 的方程是

(1)(1)(1)y f f x '-=-,即21

(1)32

y a b x a =++--,

因为切线l 在点(1())A f x ,处空过()y f x =的图象,

所以21

()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号,则

1x =不是()g x 的极值点.

而()g x 321121

(1)3232

x ax bx a b x a =++-++++,且

22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++. 若11a ≠--,则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点.

所以11a =--,即2a =-,又由248a b -=,得1b =-,故3

21()3

f x x x x =

--. 解法二:同解法一得21

()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--

2133

(1)[(1)(2)]322

a x x x a =-++-+. 因为切线l 在点(1(1))A f ,处穿过()y f x =的图象,所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号,于是存在12m m ,(121m m <<).

当11m x <<时,()0g x <,当21x m <<时,()0g x >; 或当11m x <<时,()0g x >,当21x m <<时,()0g x <.

设233()1222a a h x x x ???

?=++-+ ? ??

???,则

当11m x <<时,()0h x >,当21x m <<时,()0h x >; 或当11m x <<时,()0h x <,当21x m <<时,()0h x <. 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点,则3(1)21102

a

h =?++=, 所以2a =-,又由248a b -=,得1b =-,故3

21()3

f x x x x =--. (辽宁理 22)

已知函数2222()2()21t f x x t x x x t =-++++,1

()()2

g x f x =. (I )证明:当22t <时,()g x 在R 上是增函数; (II )对于给定的闭区间[]a b ,,试说明存在实数 k ,当t k >时,()g x 在闭区间[]

a b ,上是减函数; (III )证明:3

()2

f x ≥.

(辽宁文 22)

已知函数322()9cos 48cos 18sin f x x x x αβα=-++,()()g x f x '=,且对任意的实数t 均有

(1cos )0g t +≥,(3sin )0g t +≤.

(I )求函数()f x 的解析式;

(II )若对任意的[266]m ∈-,

,恒有2()11f x x mx --≥,求x 的取值范围. (全国一 理20) 设函数()e e x x f x -=-.

(Ⅰ)证明:()f x 的导数()2f x '≥;

(Ⅱ)若对所有0x ≥都有()f x ax ≥,求a 的取值范围. 解:(Ⅰ)()f x 的导数()e e x x f x -'=+. 由于e e 2e e 2x -x x x -+= ≥,故()2f x '≥. (当且仅当0x =时,等号成立). (Ⅱ)令()()g x f x ax =-,则

()()e e x x g x f x a a -''=-=+-,

(ⅰ)若2a ≤,当0x >时,()e e 20x x g x a a -'=+->-≥,

故()g x 在(0)+,∞

上为增函数, 所以,0x ≥时,()(0)g x g ≥,即()f x ax ≥.

(ⅱ)若2a >,方程()0g x '=的正根为214

ln 2a a x +-=,

此时,若1(0)x x ∈,,则()0g x '<,故()g x 在该区间为减函数.

所以,1(0)x x ∈,时,()(0)0g x g <=,即()f x ax <,与题设()f x ax ≥相矛盾. 综上,满足条件的a 的取值范围是(]2-∞,.

(全国一文 20)

设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值.

(Ⅰ)求a 、b 的值;

(Ⅱ)若对于任意的[03]x ∈,

,都有2()f x c <成立,求c 的取值范围. 解:(Ⅰ)2()663f x x ax b '=++,

因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值,则有(1)0f '=,(2)0f '=.

即6630241230a b a b ++=??++=?,.

解得3a =-,4b =.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,32()29128f x x x x c =-++,

2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--. 当(01)x ∈,时,()0f x '>; 当(12)x ∈,时,()0f x '<; 当(23)x ∈,时,()0f x '>.

所以,当1x =时,()f x 取得极大值(1)58f c =+,又(0)8f c =,(3)98f c =+. 则当[]03x ∈,时,()f x 的最大值为(3)98f c =+. 因为对于任意的[]03x ∈,,有2()f x c <恒成立, 所以 298c c +<, 解得 1c <-或9c >,

因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞ ,

,.

(全国二理 22)

已知函数3()f x x x =-.

(1)求曲线()y f x =在点(())M t f t ,处的切线方程;

(2)设0a >,如果过点()a b ,可作曲线()y f x =的三条切线,证明:()a b f a -<<. 解:(1)求函数()f x 的导数;2()31x x f '=-. 曲线()y f x =在点(())M t f t ,处的切线方程为:

()()()y f t f t x t '-=-,

即 23(31)2y t x t =--.

(2)如果有一条切线过点()a b ,,则存在t ,使

23(31)2b t a t =--.

于是,若过点()a b ,可作曲线()y f x =的三条切线,则方程

32230t at a b -++=

有三个相异的实数根.

记 32()23g t t at a b =-++, 则 2()66g t t at '=-

6()t t a =-.

当t 变化时,()()g t g t ',变化情况如下表:

t

(0)-∞,

0 (0)a ,

a ()a +∞,

()g t ' +

0 -

0 +

()g t

极大值

a b +

极小值

()b f a -

由()g t 的单调性,当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时,方程()0g t =最多有一个实数根;

当0a b +=时,解方程()0g t =得302

a

t t ==

,,即方程()0g t =只有两个相异的实数根; 当()0b f a -=时,解方程()0g t =得2

a

t t a =-=,,即方程()0g t =只有两个相异的实

数根.

综上,如果过()a b ,可作曲线()y f x =三条切线,即()0g t =有三个相异的实数根,

则0()0.

a b b f a +>??-

(全国二文 22)

已知函数321

()(2)13

f x ax bx b x =-+-+

在1x x =处取得极大值,在2x x =处取得极小值,且12012x x <<<<. (1)证明0a >;

(2)若z =a +2b ,求z 的取值范围。

解:求函数()f x 的导数2()22f x ax bx b '=-+-.

(Ⅰ)由函数()f x 在1x x =处取得极大值,在2x x =处取得极小值,知12x x ,是()0f x '=的两个根.

所以12()()()f x a x x x x '=--

当1x x <时,()f x 为增函数,()0f x '>,由10x x -<,20x x -<得0a >.

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