高考数学试题分类汇编(导数)
2007年高考数学试题分类汇编（导数）
（福建理11文）
已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ B ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<，
（海南理10）
曲线12
e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ）
Ａ．29
e 2
Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e
（海南文10）
曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ）
Ａ．294e
Ｂ．2
2e
Ｃ．2
e
Ｄ．2
2
e
（江苏9）
已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，
则(1)'(0)
f f 的最小值为（ C ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．3
2
（江西理9）
12．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ B ）
Ａ．充分不必要条件
Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
（江西理5）
5．若π
02
x <<，则下列命题中正确的是（ D ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x >
Ｃ．2
24sin π
x x <
Ｄ．2
24sin π
x x >
（江西文8）
若π
02x <<
，则下列命题正确的是（ B ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3
sin π
x x >
（辽宁理12）
已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．
出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值
（全国一文11）
曲线313y x x =+在点413??
???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ）
Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23
（全国二文8）
已知曲线2
4
x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ A ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
（浙江理8）
设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ）
(北京文9)
()f x '是3
1()213
f x x x =
++的导函数，则(1)f '-的值是＿＿＿＿．3
（广东文12）
函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．1,e ??
+∞????
（江苏13）
已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=＿＿．32
（湖北文13）
已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1
22
y x =+，则(1)(1)f f '+=＿＿＿＿．3
（湖南理13）
函数3()12f x x x =-在区间[33]-，
上的最小值是＿＿＿＿．16-
（浙江文15）
曲线32242y x x x =--+在点(13)-，
处的切线方程是＿＿＿＿．520x y +-=
（安徽理 18）
设a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）.
（Ⅰ）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x >1时，恒有x >ln 2x －2a ln x ＋1.
本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分． （Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x a
f x x x x
'=-
+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，， 于是22
()10x F x x x x
-'=-=>，， 列表如下：
x
(02)，
2 (2)+，∞
()F x ' -
0 +
()F x
极小值(2)F
故知()F x 在(02)，
内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．
（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>． 于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>．
从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，
∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．
(安徽文 20)
设函数f （x ）=-cos 2x -4t sin 2
x
cos 2
x +4t 2+t 2-3t +4,x ∈R,其中t ≤1，将f (x )的最小值记为g (t ).
(Ⅰ)求g (t )的表达式；
(Ⅱ)诗论g (t )在区间（-1,1）内的单调性并求极值.
本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力． 解：（I ）我们有
232()cos 4sin cos 43422
x x
f x x t t t t =--++-+
222sin 12sin 434x t t t t =--++-+ 223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+
23(sin )433x t t t =-+-+．
由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即
3()433g t t t =-+．
（II ）我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，． 列表如下：
t
121?
?-- ??
?，
1
2
-
1221??- ???
， 12 112?? ???
， ()g t '
+
0 - 0
+
()g t
极大值12g ??
- ???
极小值12g ??
???
由此可见，()g t 在区间112??-- ???，和112?? ???，单调增加，在区间1122??
- ???，单调减小，极小值为
122g ??= ???，极大值为42g 1??
-= ???
． （北京理 19）
如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆
上，记2CD x =，梯形面积为S ．
（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （II ）求面积S 的最大值．
解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则点C 的横坐标为x ．
点C 的纵坐标y 满足方程22
221(0)4x y y r r
+=≥，
解得222(0)y r x x r =-<<
221
(22)22
S x r r x =
+- 222()x r r x =+- ， 其定义域为{}0x x r <<．
（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，， 则2()8()(2)f x x r r x '=+-． 令()0f x '=，得1
2
x r =． 因为当02r x <<
时，()0f x '>；当2
r
x r <<时，()0f x '<，所以12f r ??
???
是()f x 的最大值．
因此，当1
2
x r =
时，S 也取得最大值，最大值为213322f r r ??= ???
．
即梯形面积S 的最大值为
2
332
r ． 4r
C
D
A
B
2r
C
D A B O
x
y
（福建理 22）
已知函数()e x f x kx x =-∈R ，
（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：1
2
(1)(2)()(e
2)()n n F F F n n +*>+∈N ．
本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．
解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x f x '=-． 由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，
． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．
于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立． 由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．
①当(01]k ∈，
时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥． 此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意．
②当(1)k ∈+∞，
时，ln 0k >．
当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：
x
(0ln )k ，
ln k
(ln )k +∞，
()f x ' - 0
+ ()f x
单调递减
极小值
单调递增
由此可得，在[0)+∞，
上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，
． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+ ，
12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+，
1(1)()e 2n F F n +∴>+，
11(2)(1)e 2
()(1)e 2.
n n F F n F n F ++->+>+
由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+ 故1
2
(1)(2)()(e
2)n n F F F n n +*>+∈N ，．
（福建文 20）
设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；
（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，
恒成立，求实数m 的取值范围． 本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，
∴当x t =-时，()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-， 即3()1h t t t =-+-．
（Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--， 由2()330g t t '=-+=得1t =，1t =-（不合题意，舍去）． 当t 变化时()g t '，()g t 的变化情况如下表：
t
(01)，
1
(12)，
()g t ' + 0 - ()g t
递增
极大值
1m -
递减
()g t ∴在(02)，内有最大值(1)1g m =-．
()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立，
即等价于10m -<， 所以m 的取值范围为1m >．
(广东理、文 20)
已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有 零点，求a 的取值范围．
解: 若0a = , ()23f x x =- ,显然在上没有零点, 所以 0a ≠ 令 ()248382440a a a a ?=++=++= 得 37
2
a -±= 当 37
2
a --=
时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; 当 ()()()()11150f f a a -=--< 即 15a << 时, ()y f x =也恰有一个零
点在[]1,1-上;
当 ()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则
()()208244011121010a a a a f f >???=++>??-<-
1121010a a a a f f
??=++>??-<-
?
-≤?
解得5a ≥或35
2
a --<
因此a 的取值范围是 1a > 或 35
2
a --≤ ;
（海南理 21）
设函数2()ln()f x x a x =++
（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2
． 解：（Ⅰ）1
()2f x x x a
'=
++， 依题意有(1)0f '-=，故32
a =
． 从而2231(21)(1)
()3322
x x x x f x x x ++++'==++．
()f x 的定义域为32??
-+ ???，∞，当312x -<<-时，()0f x '>；
当1
12x -<<-时，()0f x '<；
当1
2
x >-时，()0f x '>．
从而，()f x 分别在区间31122????---+ ? ?????，，，∞单调增加，在区间112?
?-- ???，单调减少．
（Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221
()x ax f x x a
++'=+．
方程22210x ax ++=的判别式248a ?=-．
（ⅰ）若0?<，即22a -<<，在()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值． （ⅱ）若0?=，则2a -或2a =-．
若2a =，(2)x ∈-+，∞，2
(21)()2x f x x -'=
+． 当2
2x =-时，()0f x '=，当22222x ????∈---+ ? ? ? ?????
，，∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值．
若2a =-，(2)x ∈+，∞，2
(21)()02
x f x x -'=
>-，()f x 也无极值． （ⅲ）若0?>，即2a >或2a <-，则22210x a x ++=有两个不同的实根
2122a a x ---=
，222
2
a a x -+-=． 当2a <-时，12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值． 当2a >时，1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．
综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为(2)+，∞．
()f x 的极值之和为
2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22
e
f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．
（海南文 19）
设函数2()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）求()f x 在区间3144??
-????，的最大值和最小值．
解：()f x 的定义域为32??
-+ ???
，∞．
（Ⅰ）224622(21)(1)()2232323
x x x x f x x x x x ++++'=+==+++． 当312x -
<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当1
2
x >-时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间312??-- ???，，12??-+ ???，∞单调增加，在区间112??-- ??
?，单调减少．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144??
-????
，的最小值为
11ln 224f ??
-=+ ???
．
又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ????
??--
=+--=+=- ? ? ???
??
??0<．
所以()f x 在区间3144??
-????
，的最大值为
11
7ln 416
2f ??=+ ???．
（湖北理 20）
已知定义在正实数集上的函数2
1()22
f x x ax =
+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）．
本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．
()2f x x a '=+∵，23()a g x x
'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=．
即22
0002
00123ln 232x ax a x b a x a x ?+=+????+=??，，由200
32a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有2222215
23ln 3ln 22
b a a a a a a a =
+-=-． 令225
()3ln (0)2
h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是
当(13ln )0t t ->，即1
3
0t e <<时，()0h t '>； 当(13ln )0t t -<，即13
t e >时，()0h t '<．
故()h t 在1
3
0e ?? ???，为增函数，在13e ??+ ???
，
∞为减函数， 于是()h t 在(0)+，
∞的最大值为12
3
3
32
h e e ??= ???． （Ⅱ）设2
21()()()23ln (0)2
F x f x g x x ax a x b x =-=
+-->， 则()F x '23()(3)
2(0)a x a x a x a x x x -+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，
∞为增函数， 于是函数()F x 在(0)+，
∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．
（湖北文 19）
设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）试比较(0)(1)(0)f f f -与
1
16
的大小．并说明理由． 本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．
解法1：（Ⅰ）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，
则由题意可得01012
(1)0(0)0a g g ?>??-?<
?
>??，，，
，011322322a a a a ?>??-<+?，，，或，0322a ?<<-． 故所求实数a 的取值范围是(0322)-，．
（II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -== ，令2()2h a a =．
当0a >时，()h a 单调增加，∴当0322a <<-时，
20()(322)2(322)2(17122)
h a h <<-=
-=- 11
216
17122=<+ ，即1(0)(1)(0)16f f f -< ．
解法2：（I ）同解法1．
（II ） 2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，由（I ）知0322a <<-， 41122170a -<-<∴2．又4210a +>，
于是 22111
2(321)(421)(421)0161616
a a a a -
=-=-+<， 即212016a -
<，故1
(0)(1)(0)16
f f f -<． 解法3：（I ）方程()0f x x -=?2(1)0x a x a +-+=，由韦达定理得
121x x a +=-，12x x a =，于是12121212
1200010(1)(1)0(1)(1)0
x x x x x x x x x x ?>??+>??
<<??-+->??-->?，
，，
，
01322322a a a a ?>?
?
<->+?，
，
或0322a ?<<-． 故所求实数a 的取值范围是(0322)-，．
（II ）依题意可设12()()()g x x x x x =--，则由1201x x <<<，得
12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]f f f g g x x x x x x x x -==--=--
2
2
11221112216x x x x +-+-????
<= ? ?????
，故1(0)(1)(0)16f f f -<．
（湖南理 19）
如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路，点P 所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（090θ<< ），且2
sin 5
θ=
，点P 到平面α的距离0.4PH =（km ）．沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用．从点O 到山脚修路的造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为
2
a
万元/km ．当山坡上公路长度为l km （12l ≤≤）时，其造价为2(1)l a +万元．已知OA AB ⊥，PB AB ⊥， 1.5(km)AB =，
3(km)OA =．
（I ）在AB 上求一点D ，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小；
（II ） 对于（I ）中得到的点D ，在DA 上求一点E ，使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小．
（III ）在AB 上是否存在两个不同的点D '，E '，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价，证明你的结论．
解：（I ）如图，PH α⊥，HB α?，PB AB ⊥， 由三垂线定理逆定理知，AB HB ⊥，所以PBH ∠是 山坡与α所成二面角的平面角，则PBH θ∠=，
1sin PH PB θ
==．
设(km)BD x =，0 1.5x ≤≤．则
2221PD x PB x =+=+[12]∈，
． 记总造价为1()f x 万元，
Ｏ
A
E
D
B
H P
α
A
O
E D
B
H
P
据题设有2211111
()(1)(3)224
f x PD AD AO a x x a =++
+=-++ 2
1433416x a a ????
=-++ ? ?????
当14x =
，即1
(km)4
BD =时，总造价1()f x 最小． （II ）设(km)AE y =，5
04
y ≤≤，总造价为2()f y 万元，根据题设有
222131()13224f y PD y y a ??
??=++++-- ??????
?2433216y y a a ??=+-+ ???．
则()22123y f y a y ??' ?=- ?+??，由2()0f y '=，得1y =．
当(01)y ∈，时，2()0f y '<，2()f y 在(01)，内是减函数；
当514y ??∈ ???，时，2()0f y '>，2()f y 在514??
???
，内是增函数．
故当1y =，即1AE =（km ）时总造价2()f y 最小，且最小总造价为67
16
a 万元． （III ）解法一：不存在这样的点D '，E '．
事实上，在AB 上任取不同的两点D '，E '．为使总造价最小，E 显然不能位于D ' 与B 之
间．故可设E '位于D '与A 之间，且BD '=1(km)x ，1(km)AE y '=，123
02x y +≤≤，总造
价为S 万元，则221111113224x y S x y a ?
?=-++-+ ???．类似于（I ）、（II ）讨论知，2111216x x --≥，
2113322y y +-
≥，当且仅当11
4x =，11y =同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1(km)4BD '=
，1(km)AE =，S 取得最小值67
16
a ，点D E ''，分别与点D E ，重合，所以不存在这样的点 D E ''，，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价．
解法二：同解法一得
221111113224x y S x y a ?
?=-++-+ ??
?
(
)(
)
2
22111111143
3
334416
x a y y y y a a ?
???=-++-+
+++ ??????
?
221111143
23(3)(3)416y y y y a a ?+-++?+≥ 67
16
a =． 当且仅当114x =且2211113(3)(3)y y y y +-++，即111
14
x y ==，同时成立时，S 取得最小值67
16
a ，以上同解法一．
（湖南文 21）
已知函数3211
()32
f x x ax bx =++在区间[11)
-，，(13]，内各有一个极值点． （I ）求24a b -的最大值；
（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．
解：（I ）因为函数3211
()32
f x x ax bx =++在区间[11)
-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)
-，，(13]，内分别有一个实根， 设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-，且2104x x <-≤．于是
2044a b <-≤，20416a b <-≤，
且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．
（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是
(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21
(1)32
y a b x a =++--，
因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象，
所以21
()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则
1x =不是()g x 的极值点．
而()g x 321121
(1)3232
x ax bx a b x a =++-++++，且
22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++． 若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．
所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故3
21()3
f x x x x =
--． 解法二：同解法一得21
()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--
2133
(1)[(1)(2)]322
a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．
当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．
设233()1222a a h x x x ???
?=++-+ ? ??
???，则
当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102
a
h =?++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故3
21()3
f x x x x =--． （辽宁理 22）
已知函数2222()2()21t f x x t x x x t =-++++，1
()()2
g x f x =． （I ）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数； （II ）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]
a b ，上是减函数； （III ）证明：3
()2
f x ≥．
（辽宁文 22）
已知函数322()9cos 48cos 18sin f x x x x αβα=-++，()()g x f x '=，且对任意的实数t 均有
(1cos )0g t +≥，(3sin )0g t +≤．
（I ）求函数()f x 的解析式；
（II ）若对任意的[266]m ∈-，
，恒有2()11f x x mx --≥，求x 的取值范围． （全国一 理20） 设函数()e e x x f x -=-．
（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；
（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x x f x -'=+． 由于e e 2e e 2x -x x x -+= ≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则
()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，
（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x x g x a a -'=+->-≥，
故()g x 在(0)+，∞
上为增函数， 所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．
（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为214
ln 2a a x +-=，
此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．
所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，．
（全国一文 20）
设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．
（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，
，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围． 解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，
因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．
即6630241230a b a b ++=??++=?，．
解得3a =-，4b =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，
2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--． 当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．
所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立， 所以 298c c +<， 解得 1c <-或9c >，
因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞ ，
，．
（全国二理 22）
已知函数3()f x x x =-．
（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；
（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<． 解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：
()()()y f t f t x t '-=-，
即 23(31)2y t x t =--．
（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使
23(31)2b t a t =--．
于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程
32230t at a b -++=
有三个相异的实数根．
记 32()23g t t at a b =-++， 则 2()66g t t at '=-
6()t t a =-．
当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：
t
(0)-∞，
0 (0)a ，
a ()a +∞，
()g t ' +
0 -
0 +
()g t
极大值
a b +
极小值
()b f a -
由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；
当0a b +=时，解方程()0g t =得302
a
t t ==
，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根； 当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2
a
t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实
数根．
综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，
则0()0.
a b b f a +>??-
（全国二文 22）
已知函数321
()(2)13
f x ax bx b x =-+-+
在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． （1）证明0a >；
（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。
解：求函数()f x 的导数2()22f x ax bx b '=-+-．
（Ⅰ）由函数()f x 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，知12x x ，是()0f x '=的两个根．
所以12()()()f x a x x x x '=--
当1x x <时，()f x 为增函数，()0f x '>，由10x x -<，20x x -<得0a >．