2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题
2009至2018年北京高考真题分类汇编之向量
2009至2018年北京高考真题分类汇编之向量精心校对版题号一二总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。
2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。
3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、填空题（本大题共6小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）向量(1,1)A ，(3,0)B ，(2,1)C ，若平面区域D 由所有满足AP AB AC （12，01）的点P 组成，则D 的面积为。
2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB uuu r uu r 的值为；DE DC uuu r uuu r 的最大值为．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知向量a=（3，1），b=（0，-1），c=（k ，3）.若a-2b 与c 共线，则k=________________. 4.（2016年北京高考真题数学(文)）已知向量=(1,3),(3,1)a b ，则a 与b 夹角的大小为_________. 5.（2017年北京高考真题数学(文)）已知点P 在圆22=1x y 上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO AP 的最大值为_________．6.（2018年北京高考真题数学(文)）设向量a =（1,0），b =（-1,m ）,若()m a a b ，则m =_________. 二、选择题（本大题共6小题，每小题0分，共0分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）7.（2009年北京高考真题数学(文)）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ，姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●。
十年高考真题(答案)——导数,微积分,定积分
∫1
8．C【解析】∵
S阴影 =
（
0
x − x)dx =
(2
3
x2
−
1
x2 )
1
=
3 20
1
,正方形的面积为 1，
6
∴P=1． 6
∫4
9．C【解析】用定积分求解 ( 0
x − x + 2)d=x
(2 3
3
x2
−
1 2
x2
+
2 x)=04
16
，选 C
3
∫ 10．C【解析】
1(ex + 2x)dx
0
=(ex
∫ 20． 5 【解析】由已知得阴影部分面积为 4 − 2 x2dx =4 − 7 = 5 ．所以此点取自阴影部分
12
1
33
5
的概率等于 3 = 5 ． 4 12
21． y =−5x + 3 【解析】 y′ = −5e−5x ，在点 (0, 3) 处的切线的斜率为 −5 ，
切线方程为 y − 3 =−5(x − 0) ，即 y =−5x + 3．
2 22． e2 【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等，
∫ ∴ S阴=2(e −
1 e x dx)
0
=2e
−
2ex
|10
=2 ，由几何概型的概率计算公式，
得所求的概率为
S阴 S正
=
2 e2
．
23．－3【解析】由题意可得 −5= 4a + b ① 2
又 f ′(= x)
2ax −
b x2
，过点 P(2,−5) 的切
x1
+
1 x1
2018全国高考试题分类汇编-导数部分(含解析)
2018年全国高考试题分类汇编-导数部分（含解析）1.(2018·全国卷I高考理科·T5)同(2018·全国卷I高考文科·T6)设函数f=x3+-x2+ax.若f为奇函数,则曲线y=f在点处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x2.(2018·全国卷II高考理科·T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为3.(2018·全国卷II高考文科·T13)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T14)曲线y=e x在点处的切线的斜率为-2,则a=.5.(2018·天津高考文科·T10)已知函数f(x)=e x ln x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为.6.(2018·全国卷I高考理科·T16)已知函数f=2sin x+sin2x,则f的最小值是.7.(12分)(2018·全国卷I高考文科·T21)已知函数f=a e x-ln x-1.(1)设x=2是f的极值点.求a,并求f的单调区间.(2)证明:当a≥时,f≥0.8.(2018·全国Ⅲ高考理科·T21)(12分)已知函数f=ln-2x.(1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f<0;当x>0时,f>0.(2)若x=0是f的极大值点,求a.9.(2018·全国Ⅲ高考文科·T21)(12分)已知函数f=-.(1)求曲线y=f在点-处的切线方程.(2)证明:当a≥1时,f+e≥0.10.(本小题13分)(2018·北京高考理科·T18)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程与x轴平行,求a.(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.11.(本小题13分)(2018·北京高考文科·T19)设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a.(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.12.(12分)(2018·全国卷I高考理科·T21)已知函数f=-x+a ln x.(1)讨论f的单调性.(2)若f存在两个极值点x1,x2,证明:-<a-2.-13.(2018·全国卷II高考理科·T21)(12分)已知函数f(x)=e x-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1.(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.14.(2018·全国卷II高考文科·T21)(12分)已知函数f=x3-a.(1)若a=3,求f(x)的单调区间.(2)证明:f(x)只有一个零点.15.(本小题满分14分)(2018·天津高考理科·T20)已知函数f(x)=a x,g(x)=log a x,其中a>1.(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)-x ln a的单调区间.(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2)=-.(Ⅲ)证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.16.(本小题满分14分)(2018·天津高考文科·T20)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.(Ⅰ)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)若d=3,求f(x)的极值;(Ⅲ)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点,求d的取值范围.17.(本小题满分14分)(2018·江苏高考·T17)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围.(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)(2018·江苏高考·T19)记f′(x),g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”.(2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=ln x存在“S点”,求实数a的值.(3)已知函数f(x)=-x2+a,g(x)=,对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.19.(2018·浙江高考T22)(本题满分15分)已知函数f(x)=-ln x.(Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8-8ln2.(Ⅱ)若a≤3-4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.1.【解析】选D.因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即a=1,所以f(x)=x3+x,所以f′(0)=1,所以切线方程为y=x.2.【解析】y′=,k==2,所以切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.答案:y=2x3.【解析】y′=,k==2,所以切线方程为y-0=2(x-1)即y=2x-2.答案:y=2x-24.【解析】由y=(ax+1)e x,所以y′=a e x+(ax+1)e x=(ax+1+a)e x,故曲线y=(ax+1)e x在(0,1)处的切线的斜率为k=a+1=-2,解得a=-3.答案:-35.【解析】因为f(x)=e x ln x,所以f′(x)=(e x ln x)′=(e x)′ln x+e x(ln x)′=e x·ln x+e x·,f′(1)=e1·ln1+e1·=e.答案:e6.【解析】方法一:f′(x)=2cos x+2cos2x=4cos2x+2cos x-2=4(cos x+1)-, 所以当cos x<时函数单调减,当cos x>时函数单调增,从而得到函数的减区间为--(k∈Z),函数的增区间为-(k∈Z),所以当x=2kπ-,k∈Z时,函数f(x)取得最小值,此时sin x=-,sin2x=-,所以f(x)min=2×--=-.方法二:因为f(x)=2sin x+sin2x,所以f(x)最小正周期为T=2π,所以f′(x)=2(cos x+cos2x)=2(2cos2x+cos x-1),令f′(x)=0,即2cos2x+cos x-1=0,所以cos x=或cos x=-1.所以当cos x=,为函数的极小值点,即x=或x=π,当cos x=-1,x=π,所以f=-,f=,f(0)=f(2π)=0,f(π)=0,所以f(x)的最小值为-.答案:-7.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=a e x-.由题设知,f′(2)=0,所以a=.从而f(x)=e x-ln x-1,f′(x)=e x-.当0<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.(2)当a≥时,f(x)≥-ln x-1.设g(x)=-ln x-1,则g′(x)=-.当0<x<1时,g′(x)<0;当x>1时,g′(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.因此,当时a≥时,f(x)≥0.8.【解析】(1)当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f′(x)=ln(1+x)-.设函数g(x)=f′(x)=ln(1+x)-,则g′(x)=.当-1<x<0时,g′(x)<0;当x>0时,g′(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,当且仅当x=0时,g(x)=0,从而f′(x)≥0,当且仅当x=0时,f′(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.(2)(i)若a≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.(ii)若a<0,设函数h(x)==ln(1+x)-.由于当|x|<min时,2+x+ax2>0,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点,当且仅当x=0是h(x)的极大值点. h′(x)=--=.如果6a+1>0,则当0<x<-,且|x|<min时,h′(x)>0,故x=0不是h(x)的极大值点.如果6a+1<0,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故当x∈(x1,0),且|x|<min时,h′(x)<0,所以x=0不是h(x)的极大值点..如果6a+1=0,则h′(x)=---则当x∈(-1,0)时,h′(x)>0;当x∈(0,1)时,h′(x)<0.所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.综上,a=-.9.【解析】(1)f(x)的定义域为R,f′(x)=--,显然f(0)=-1,即点(0,-1)在曲线y=f(x)上,所求切线斜率为k=f′(0)=2,所以切线方程为y-(-1)=2(x-0),即2x-y-1=0.(2)方法一(一边为0):令g(x)=-ax2+(2a-1)x+2,当a≥1时,方程g(x)的判别式Δ=(2a+1)2>0,由g(x)=0得,x=-,2,且-<0<2,x,f′(x),f(x)的关系如下①若x∈(-∞,2],f(x)≥f-=-又因为a≥1,所以0<≤1,1<≤e,-≥-e,f(x)+e≥0,②若x∈(2,+∞),ax2+x-1>4a+2-1>0,e x>0,所以f(x)=->0,f(x)+e≥0,综上,当a≥1时,f(x)+e≥0.方法二(充要条件):①当a=1时,f(x)=-.显然e x>0,要证f(x)+e≥0只需证-≥-e, 即证h(x)=x2+x-1+e·e x≥0,h′(x)=2x+1+e·e x,观察发现h′(-1)=0,x,h′(x),h(x)的关系如下所以h(x)有最小值h(-1)=0,所以h(x)≥0即f(x)+e≥0.②当a>1时,由①知,-≥-e,又显然ax2≥x2,所以ax2+x-1≥x2+x-1,f(x)=-≥-≥-e,即f(x)+e≥0.综上,当a≥1时,f(x)+e≥0.方法三(分离参数):当x=0时,f(x)+e=-1+e≥0成立.当x≠0时,f(x)+e≥0等价于-≥-e,等价于ax2+x-1≥-e·e x,即ax2≥-e·e x-x+1等价于a≥--=k(x),等价于k(x)max≤1.k′(x)=--,令k′(x)=0得x=-1,2.x,k′(x),k(x)的关系如下又因为k(-1)=1,k(2)=-<0,所以k(x)max=1,k(x)≤1,x≠0,综上,当a≥1时,f(x)+e≥0.10.【解析】(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x,所以f′(x)=[2ax-(4a+1)]e x+[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x=[ax2-(2a+1)x+2]e x. f′(1)=(1-a)e.由题设知f′(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e≠0,所以a的值为1.(2)由(1)得f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]e x=(ax-1)(x-2)e x.若a>,则当x∈时,f′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在x=2处取得极小值.若a≤,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤x-1<0, 所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(,+∞).11.【解析】(1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x, 所以f′(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x,f′(2)=(2a-1)e2, 由题设知f′(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=.(2)方法一:由(1)得f′(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x=(ax-1)(x-1)e x若a>1,则当x∈时,f′(x)<0.当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值.若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,所以f′(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(1,+∞).方法二:f′(x)=(ax-1)(x-1)e x.①当a=0时,令f′(x)=0得x=1.f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.②当a>0时,令f′(x)=0得x1=,x2=1.(ⅰ)当x1=x2,即a=1时,f′(x)=(x-1)2e x≥0,所以f(x)在R上单调递增,所以f(x)无极值,不合题意.(ⅱ)当x1>x2,即0<a<1时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.(ⅲ)当x1<x2,即a>1时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:所以f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.③当a<0时,令f′(x)=0得x1=,x2=1.f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.综上所述,a的取值范围为(1,+∞).12.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=--1+=--.(i)若a≤2,则f′(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f′(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.(ii)若a>2,令f′(x)=0得,x=--或x=-.当x∈--∪-时,f′(x)<0;当x∈---时,f′(x)>0.所以f(x)在--,-上单调递减,在---上单调递增.(2)由(1)知,f(x)存在两个极值点,当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x1<x2,则x2>1.由于--=--1+a--=-2+a--=-2+a--,所以--<a-2等价于-x2+2ln x2<0.设函数g(x)=-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+∞)上单调递减,又g(1)=0,从而当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0.所以-x2+2ln x2<0,即--<a-2.13.【解析】(1)当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g′(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.当x≠1时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,1)∪(1,+∞)上单调递减.而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.(2)设函数h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+∞)上只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)上只有一个零点.(i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点;(ii)当a>0时,h′(x)=ax(x-2)e-x.当x∈(0,2)时,h′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0.所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.故h(2)=1-是h(x)在[0,+∞)上的最小值.①若h(2)>0,即a<,h(x)在(0,+∞)上没有零点;②若h(2)=0,即a=,h(x)在(0,+∞)上只有一个零点;③若h(2)<0,即a>,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)上有一个零点,由(1)知,当x>0时,e x>x2,所以h(4a)=1-=1->1-=1->0.故h(x)在(2,4a)有一个零点,因此h(x)在(0,+∞)有两个零点.综上,f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=.14.【解析】(1)当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3,f′(x)=x2-6x-3.令f′(x)=0解得x=3-2或3+2.当x∈(-∞,3-2)或(3+2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(3-2,3+2)时,f′(x)<0.故f(x)在(-∞,3-2),(3+2,+∞)上单调递增,在(3-2,3+2)上单调递减.(2)由于x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于-3a=0.设g(x)=-3a,则g′(x)=≥0,仅当x=0时g′(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.故g(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-=-6--<0,f(3a+1)=>0,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.15.【解析】(I)由已知,h(x)=a x-x ln a,有h′(x)=a x ln a-ln a.令h′(x)=0,解得x=0.由a>1,可知当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如表:所以函数h(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).(II)由f′(x)=a x ln a,可得曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线斜率为ln a.由g′(x)=,可得曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线斜率为.因为这两条切线平行,故有ln a=,即x2(ln a)2=1.两边取以a为底的对数,得log a x2+x1+2log a(ln a)=0,所以x1+g(x2)=-. (III)曲线y=f(x)在点(x1,)处的切线l1:y-=ln a·(x-x1).曲线y=g(x)在点(x2,log a x2)处的切线l2:y-log a x2=(x-x2).要证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线,只需证明当a≥时,存在x1∈(-∞,+∞),x2∈(0,+∞),使得l1和l2重合.即只需证明当a≥时,方程组有解,--由①得x2=,代入②,得-x1ln a+x1++=0③,因此,只需证明当a≥时,关于x1的方程③有实数解.设函数u(x)=a x-xa x ln a+x++,即要证明当a≥时,函数y=u(x)存在零点. u′(x)=1-(ln a)2xa x,可知x∈(-∞,0)时,u′(x)>0;x∈(0,+∞)时,u′(x)单调递减,又u′(0)=1>0,u′[]=1-<0,故存在唯一的x0,且x0>0,使得u′(x0)=0,即1-(ln a)2x0=0.由此可得u(x)在(-∞,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.u(x)在x=x0处取得极大值u(x0).因为a≥,故ln(ln a)≥-1,所以u(x0)=-x0ln a+x0++=+x0+≥≥0.下面证明存在实数t,使得u(t)<0.由(I)可得a x≥1+x ln a,当x>时,有u(x)≤(1+x ln a)(1-x ln a)+x++=-(ln a)2x2+x+1++,所以存在实数t,使得u(t)<0,因此,当a≥时,存在x1∈(-∞,+∞),使得u(x1)=0.所以,当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.16.【解析】(Ⅰ)由已知,可得f(x)=x(x-1)(x+1)=x3-x,故f′(x)=3x2-1,因此f(0)=0,f′(0)=-1,又因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-f(0)=f′(0)(x-0),故所求切线方程为x+y=0.(Ⅱ)由已知可得f(x)=(x-t2+3)(x-t2)(x-t2-3)=(x-t2)3-9(x-t2)=x3-3t2x2+(3-9)x-+9t2.故f′(x)=3x2-6t2x+3-9.令f′(x)=0,解得x=t2-,或x=t2+.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:所以函数f(x)的极大值为f(t2-)=(-)3-9×(-)=6;函数极小值为f(t2+)=()3-9×=-6.(III)曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x-t2+d)(x-t2)(x-t2-d)+(x-t2)+6=0有三个互异的实数解,令u=x-t2,可得u3+(1-d2)u+6=0.设函数g(x)=x3+(1-d2)x+6,则曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点.g′(x)=3x2+(1-d2).当d2≤1时,g′(x)≥0,这时g′(x)在R上单调递增,不合题意.当d2>1时,g′(x)=0,解得x1=--,x2=-.易得,g(x)在(-∞,x1)上单调递增,在[x1,x2]上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,g(x)的极大值g(x1)=g-=-+6>0,g(x)的极小值g(x2)=g-=--+6.若g(x2)≥0,由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点,不合题意.若g(x2)<0,即(d2-1>27,也就是|d|>,此时|d|>x2,g(|d|)=|d|+6>0,且-2|d|<x1,g(-2|d|)=-6|d|3-2|d|+6<-62+6<0,从而由g(x)的单调性,可知函数y=g(x)在区间(-2|d|,x1),(x1,x2),(x2,|d|)内各有一个零点,符合题意.所以d的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞)17.【解析】(1)设PO的延长线交MN于H,则PH⊥MN,所以OH=10.过O作OE⊥BC于E,则OE∥MN,所以∠COE=θ,故OE=40cosθ,EC=40sinθ,则矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ),△CDP的面积为×2×40cosθ(40-40sinθ)=1600(cosθ-sinθcosθ).过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10.令∠GOK=θ0,则sinθ0=,θ0∈.当θ∈[θ0,)时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范围是.答:矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面积为1600(cosθ-sinθcosθ),sinθ的取值范围是.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0),则年总产值为4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ-sinθcosθ) =8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈.设f(θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈,则f′(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-(2sin2θ+sinθ-1)=-(2sinθ-1)(sinθ+1).令f′(θ)=0,得θ=,当θ∈时,f′(θ)>0,所以f(θ)为增函数;当θ∈时,f′(θ)<0,所以f(θ)为减函数,因此,当θ=时,f(θ)取到最大值.答:当θ=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.【解析】(1)函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f′(x)=1,g′(x)=2x+2.由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x),得-此方程组无解,因此,f(x)与g(x)不存在“S”点.(2)函数f(x)=ax2-1,g(x)=ln x,则f′(x)=2ax,g′(x)=.设x0为f(x)与g(x)的“S”点,由f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),得-即-(*)得ln x0=-,即x0=-,则a=-=.当a=时,x0=-满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S”点.因此,a的值为.(3)f′(x)=-2x,g′(x)=-,(x≠0),由f′(x0)=g′(x0),得b=-->0,得0<x0<1,由f(x0)=g(x0),得-+a==--,得a=--,令h(x)=x2---a=---,(a>0,0<x<1),设m(x)=-x3+3x2+ax-a,(a>0,0<x<1),则m(0)=-a<0,m(1)=2>0,得m(0)m(1)<0,又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,则m(x)在(0,1)上有零点,则h(x)在(0,1)上有零点,则f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S”点.19.【解析】(Ⅰ)函数f(x)的导函数f′(x,由f′(x1)=f′(x2)得-=-,因为x1≠x2,所以+=.由基本不等式得=+≥2.因为x1≠x2,所以x1x2>256.由题意得f(x1)+f(x2)=-ln x1+-ln x2=-ln(x1x2).设g(x)=-ln x,则g′(x)=(-4),所以所以g(x)在(256,+∞)上单调递增,故g(x1x2)>g(256)=8-8ln2,即f(x1)+f(x2)>8-8ln2.(Ⅱ)令m=e-(|a|+k),n=+1,则f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0,f(n)-kn-a<n-≤n<0,所以,存在x0∈(m,n)使f(x0)=kx0+a,所以,对于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点.由f(x)=kx+a得k=--.设h(x)=--,则h′(x)=--=--,其中g(x)=-ln x.由(Ⅰ)可知g(x)≥g(16),又a≤3-4ln2,故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln2+a≤0,所以h′(x)≤0,即函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,因此方程f(x)-kx-a=0至多1个实根.综上,当a≤3-4ln2时,对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.。
2009至2018年北京高考真题分类汇编之程序框图
2009至2018年北京高考真题分类汇编之程序框图精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。
2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。
3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、选择题（本大题共8小题，每小题0分，共0分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.（2013年北京高考真题数学(文)）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A ．1 B ．23C ．1321 D ．6109872.（2012年北京高考真题数学(文)）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为3.（2011年北京高考真题数学(文)）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输入的P 值为A ．2B ．3C ．4D ．5 （A ）2（B ）4（C ）8（D ）16姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封-
-------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●S=S?2k k=k+1k=0, S=1k<3是否输出S 结束开始。
(北京卷)十年真题(-)高考数学真题分类汇编 专题04 导数及其应用 文(含解析)-人教版高三全册数
专题04导数及其应用历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 导数综合问题2019年文科20解答题2018 导数综合问题2018年文科19解答题2017 导数综合问题2017年文科20解答题2016 导数综合问题2016年文科20解答题2015 导数综合问题2015年文科19解答题2014 导数综合问题2014年文科20解答题2012 导数综合问题2012年文科18解答题2011 导数综合问题2011年文科18解答题2010 导数综合问题2010年文科18历年高考真题汇编1．【2019年文科20】已知函数f（x）x3﹣x2+x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为l的切线方程；（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x），由f′（x）＝1得x（x）＝0，得．又f（0）＝0，f（），∴y＝x和，即y＝x和y＝x；（Ⅱ）证明：欲证x﹣6≤f（x）≤x，只需证﹣6≤f（x）﹣x≤0，令g（x）＝f（x）﹣x，x∈[﹣2，4]，则g′（x），可知g′（x）在[﹣2，0]为正，在（0，）为负，在[]为正，∴g（x）在[﹣2，0]递增，在[0，]递减，在[]递增，又g（﹣2）＝﹣6，g（0）＝0，g（）6，g（4）＝0，∴﹣6≤g（x）≤0，∴x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|＝|f（x）﹣x﹣a|＝|g（x）﹣a|∵在[﹣2，4]上，﹣6≤g（x）≤0，令t＝g（x），h（t）＝|t﹣a|，则问题转化为当t∈[﹣6，0]时，h（t）的最大值M（a）的问题了，①当a≤﹣3时，M（a）＝h（0）＝|a|＝﹣a，此时﹣a≥3，当a＝﹣3时，M（a）取得最小值3；②当a≥﹣3时，M（a）＝h（﹣6）＝|﹣6﹣a|＝|6+a|，∵6+a≥3，∴M（a）＝6+a，也是a＝﹣3时，M（a）最小为3．综上，当M（a）取最小值时a的值为﹣3．2．【2018年文科19】设函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]e x．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值X围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]e x的导数为f′（x）＝[ax2﹣（a+1）x+1]e x．曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，可得（4a﹣2a﹣2+1）e2＝0，解得a；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）＝[ax2﹣（a+1）x+1]e x＝（x﹣1）（ax﹣1）e x，若a＝0则x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1，f′（x）＜0，f（x）递减．x＝1处f（x）取得极大值，不符题意；若a＞0，且a＝1，则f′（x）＝（x﹣1）2e x≥0，f（x）递增，无极值；若a＞1，则1，f（x）在（，1）递减；在（1，+∞），（﹣∞，）递增，可得f（x）在x＝1处取得极小值；若0＜a＜1，则1，f（x）在（1，）递减；在（，+∞），（﹣∞，1）递增，可得f（x）在x＝1处取得极大值，不符题意；若a＜0，则1，f（x）在（，1）递增；在（1，+∞），（﹣∞，）递减，可得f（x）在x＝1处取得极大值，不符题意．综上可得，a的X围是（1，+∞）．3．【2017年文科20】已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（2）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，令g（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）＝e x（cos x﹣sin x﹣sin x﹣cos x）＝﹣2e x•sin x，当x∈[0，]，可得g′（x）＝﹣2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）＝0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）＝e0cos0﹣0＝1；最小值为f（）cos．4．【2016年文科20】设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a＝b＝4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值X围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【解答】解：（1）函数f（x）＝x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）＝3x2+2ax+b，可得y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝f′（0）＝b，切点为（0，c），可得切线的方程为y＝bx+c；（2）设a＝b＝4，即有f（x）＝x3+4x2+4x+c，由f（x）＝0，可得﹣c＝x3+4x2+4x，由g（x）＝x3+4x2+4x的导数g′（x）＝3x2+8x+4＝（x+2）（3x+2），当x或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x＝﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x处取得极小值，且为．由函数f（x）有三个不同零点，可得c＜0，解得0＜c，则c的取值X围是（0，）；（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）＝0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．即有f（x）有3个单调区间，即为导数f′（x）＝3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）＝3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c＝0，a＝b＝4时，满足a2﹣3b＞0，即有f（x）＝x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．5．【2015年文科19】设函数f（x）klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【解答】解：（1）由f（x）f'（x）＝x由f'（x）＝0解得xf（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：X（0，）（）f'（x）﹣ 0 +f（x）↓↑所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x处的极小值为f（），无极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k＝e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）＝0所以x是f（x）在区间（1，）上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．6．【2014年文科20】已知函数f（x）＝2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求t的取值X围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y＝f（x）相切？（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝2x3﹣3x得f′（x）＝6x2﹣3，令f′（x）＝0得，x或x，∵f（﹣2）＝﹣10，f（），f（），f（1）＝﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x0，y0），则y0＝23x0，且切线斜率为k＝63，∴切线方程为y﹣y0＝（63）（x﹣x0），∴t﹣y0＝（63）（1﹣x0），即46t+3＝0，设g（x）＝4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）＝12x2﹣12x＝12x（x﹣1），∴g（x）与g′（x）变化情况如下：x（﹣∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）g′（x）+ 0 ﹣ 0 +g（x）↗t+3 ↘t+1 ↗∴g（0）＝t+3是g（x）的极大值，g（1）＝t+1是g（x）的极小值．当g（0）＝t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）＝t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）＝t﹣7＜0，g（2）＝t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切时，t的取值X围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y＝f（x）相切．7．【2012年文科18】已知函数f（x）＝ax2+1（a＞0），g（x）＝x3+bx．（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a＝3，b＝﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值X围．【解答】解：（1）f（x）＝ax2+1（a＞0），则f′（x）＝2ax，k1＝2a，g（x）＝x3+bx，则g′（x）＝3x2+b，k2＝3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a＝3+b①又f（1）＝a+1，g（1）＝1+b，∴a+1＝1+b，即a＝b，代入①式，可得：a＝3，b＝3．（2）当a＝3，b＝﹣9时，设h（x）＝f（x）+g（x）＝x3+3x2﹣9x+1则h′（x）＝3x2+6x﹣9，令h'（x）＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1；∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，1]上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）＝28﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28所以k的取值X围是（﹣∞，﹣3]8．【2011年文科18】已知函数f（x）＝（x﹣k）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（x﹣k+1）e x，令f′（x）＝0，得x＝k﹣1，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：x（﹣∞，k﹣1）k﹣1 （k﹣1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↓﹣e k﹣1↑∴f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k﹣1），f（x）的单调递增区间（k﹣1，+∞）；（Ⅱ）当k﹣1≤0，即k ≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）＝﹣k；当0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k﹣1]上单调递减，f（x）在区间（k﹣1，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k﹣1）＝﹣e k﹣1；当k﹣1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）＝（1﹣k）e；综上所述f（x）min．9．【2010年文科18】设定函数f（x）x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）﹣9x＝0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a＝3且曲线y＝f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值X围．【解答】解：由得f′（x）＝ax2+2bx+c因为f′（x）﹣9x＝ax2+2bx+c﹣9x＝0的两个根分别为1，4，所以（*）（Ⅰ）当a＝3时，又由（*）式得解得b＝﹣3，c＝12又因为曲线y＝f（x）过原点，所以d＝0，故f（x）＝x3﹣3x2+12x．（Ⅱ）由于a＞0，所以“在（﹣∞，+∞）内无极值点”等价于“f′（x）＝ax2+2bx+c≥0在（﹣∞，+∞）内恒成立”．由（*）式得2b ＝9﹣5a ，c ＝4a ． 又△＝（2b ）2﹣4ac ＝9（a ﹣1）（a ﹣9）解得a ∈[1，9]即a 的取值X 围[1，9] 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数，若有3个零点，则k 的取值X 围为( )A ．(21e -，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e ) 【答案】C 【解析】由题意，函数，要使得函数在R 上有3个零点，当0x >时，令，可得2ln xk x =， 要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和()2ln xg x x=有两个交点，又由，令，可得x e =，当(0,)x e ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以当x e =时，，若直线y k =和()2ln x g x x=有两个交点，则1(0,)2k e ∈， 当0x <时，y k =和()1g x x=有一个交点，则0k >，综上可得，实数k 的取值X 围是1(0,)2e，故选C.2．已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2παβ+<B ．2παβ+=C ．αβ<D ．αβ>【答案】C 【解析】由题意，，，设，，设，，()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且，()'0f x ∴<,所以()sin x f x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递减，αβ∴<，故选C.3．已知函数（a 为大于1的整数），若()y f x =与的值域相同，则a 的最小值是（）（参考数据：，，） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】A 【解析】，当x a >时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当0x a <<时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，故，又当，所以函数()f x 的值域为，令因此()t a 是单调递增函数，因此当2,a a Z ≥∈时， ，令由上可知：，，由上可知函数(n)f 在0x a <<时，单调递增，在x a >时，单调递减，要想的值域为，只需，即，设，2,a a Z ≥∈，，所以当3,a a Z ≥∈时，函数()g a 单调递增，，，所以a 的最小值是5，故本题选A.4．已知实数a ，b ，c ，d 满足，则的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．2D 2【答案】D 【解析】，∴可以看成()ln f x x =和()1g x x =+之间的最小值'1()f x x= ∴当时，即点()1,0到直线()1g x x =+的距离最小∴5．若函数在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值X 围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 因为函数，所以令，因为，当(1,)x ∈+∞时，，所以()0g x '>所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则，当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数， 则，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点.当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >；所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，，因为，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点. 所以1(,)2a ∈+∞， 故答案选D.6．已知函数，若对任意(0,)x ∈+∞，都有成立，则实数a 的取值X 围是（ ）A ．3,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．,2eC ．3,2e D ．2,e【答案】D 【解析】 令，则，因为对任意(0,)x ∈+∞，都有成立，所以在(0,)x ∈+∞上恒成立； 即在(0,)x ∈+∞上恒成立；即在(0,)x ∈+∞上恒成立；令，(0,)x ∈+∞，则，由()0h x '=得，解得1x =-（舍）或12x =，所以，当102x <<时，，单调递减；当12x >时，，单调递增；所以，因为在(0,)x ∈+∞上恒成立，所以只需24a e -≤，解得2a e ≥-. 故选D7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有，则不等式的解集为( ) A ．B ．C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-【答案】A 【解析】 设， 因为()f x 为R 上奇函数， 所以，即()g x 为R 上奇函数 对()g x 求导，得， 而当0x >时，有故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增， 所以()g x 在R 上单调递增 不等式，即所以，解得2016x <-故选A 项.8．已知函数，则使不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为（ ） A ．-3 B ．-2C ．-1D ．0【答案】D 【解析】根据题意，函数，其导数，0x ≠时，()f x '可以看成是1为首项，2x -为公比的等比数列，则有，函数()f x 在R 上为增函数， 又由， ，则函数()f x 在(2,1)--上存在唯一的零点，设其零点为t ，，又由21t -<<-，则，故不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为0；故选：D ．9．直线y ax =是曲线1ln y x =+的切线，则实数a =____． 【答案】1 【解析】解：∵1ln y x =+，∴1y x'=设切点为(,1ln )m m +，得切线的斜率为1m， 所以曲线在点(),1ln m m +处的切线方程为：．即：它过原点，∴ln 0m -=，∴1m =， ∴11a m==． 故答案为：1． 10．函数与的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值X 围为_________． 【答案】1a 【解析】关于x 轴对称的函数为，因为函数与的图象上存在关于x 轴的对称点， 所以与的图象有交点，方程有解，即1x ae x =+有解，0a =时符合题意， 0a ≠时转化为有解， 即的图象有交点，是过定点()1,0-的直线，其斜率为1a， 设相切时，切点的坐标为(),mm e，则111m m e m ae a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，解得1a =，切线斜率为11a =，由图可知，当11a≥，即1a ≤且0a ≠时，的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于x 轴的对称点，综上可得，实数a 的取值X 围为1a ≤，故答案为1a ≤. 11．已知函数，若存在实数,()a b a b <使得，则2+a b 的最大值为________.【答案】32ln 27【解析】 作出函数图像如下：由题意，令,a b 为方程()f x m =的两个根，由图像易得01m <<； 由1xe m -=得1x e m =±，解得或，因为a b <，所以，，因此，令，01m <<， 则，因为01m <<，所以由()0g m '>得103m <<；由()0g m '<得113m <<，即函数()g m 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；所以，因此2+a b 的最大值为32ln 27. 故答案为32ln2712．已知实数a ，b ，c 满足（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是_______．【答案】15【解析】 设，则，所以函数u(x)的增区间为（0，+∞），减区间为(-∞,0), 所以，即e 1x x ≥+；可知，当且仅当时取等； 因为 所以，．所以，解得，当且仅当15c =时，取等号．故答案为：1513．已知直线x t =与曲线分别交于,M N 两点，则MN 的最小值为________【答案】1. 【解析】 令，，显然为增函数，且'(0)0h =所以当(1,0)t ∈-时，单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，单调递增.所以.故答案为1.14．曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，则切线l 的方程为_____． 【答案】【解析】解：曲线cos y a x =，可得，曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12， 可得，所以1a =-. 所以切点坐标为：3(,)62π-， 则切线l 的方程为：.即：．故答案为：．15．已知函数若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22- 【解析】作出()f x 的函数图象如图所示， 由，可得，即1a >，不妨设12x x <，则，令，则，，令，则，∴当18t <<时，()'0g t >，g t 在()1,8上递增；当8t 时，()'0g t <，g t 在()8,+∞上递减；∴当8t =时，g t 取得最大值,故答案为3ln 22-. 16．已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值X 围______.【答案】0a <或2a > 【解析】（1）当0a <时，()f x 在(,0]-∞上单调递减，又(0)1f =-，所以函数()f x 的图象经过第二、三象限，当0x >时，，所以，①若1a -时，()0f x '>恒成立，又当0x +→时，()2f x →，所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；②若10a -<<时，()0f x '>在[2,)+∞上恒成立，当02x <<时，令()0f x '=，解，所以()f x 在10,3a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,23a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增， 又所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；（2）当0a =时，()f x 的图象在(,0)-∞上，只经过第三象限，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 的图象在(0,)+∞上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当0a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，故()f x 的图象在(,0)-∞上只经过第三象限，所以()f x 在(0,)+∞上的最小值min ()0f x <，当02x <<时，令()0f x '=，解得13a x +=， 若123a +<时，即11a <时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为 ，令.若时，则()f x 在02x <<时，单调递减，当2x ≥时，令()0f x '=，解得13a x -=， 若，()f x 在(2,)+∞上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为，令，所以1113a ≤<；若，()f x 在12,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为，显然，故13a ≥；结上所述：0a <或2a >. 17．已知函数.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较与的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.【答案】（I ）见解析；（II ）见解析 【解析】（Ⅰ）函数()f x 可化为，当0x a <<时，，从而()f x 在(0,)a 上总是递减的，当x a ≥时，，此时要考虑a 与1的大小.若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[,)a +∞上递增，若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在[,1)a 上递减， 在(1,)+∞上递增，而()f x 在x a =处连续，所以 当1a ≥时，()f x 在(0,)a 上递减，在[,)a +∞上递增；当01a <<时，()f x 在(0,1)上递减，在[1,)+∞上递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x<-.所以.18．已知函数．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：.【答案】（1）当2a <-时，()f x 在为增函数，减函数，为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数．（2）证明见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，，对于函数，①当时，即22a -≤≤时，在0x >恒成立．在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数；②当∆>0，即2a <-或2a >时， 当2a <-时，由()0f x '>，得或，，()f x ∴在为增函数，减函数，为增函数，当2a >时，由在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数．综上，当2a <-时，()f x 在为增函数，减函数，为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数． （2）由（1）知2a <-，且，故故只需证明，令2a t =-，故1t >，原不等式等价于ln 1t t 对1t >成立， 令，所以单调递减，有得证. 19．已知函数.（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值； （Ⅱ）若1()ef x e+对恒成立，某某数a 的取值X 围.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）[1,e] 【解析】（Ⅰ）当1a =时，，定义域为(1,)-+∞..令()0f x '=，得0x =.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以.（Ⅱ），1x a >-.令()0f x '=，得1a x a-=. 当时，()0f x '>，()f x 单调递增；当时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以.依题意有，设，则，所以()g a 在[1,)a ∈+∞上单调递增.又，故1e a ⇒，即实数a 的取值X 围为[1,e].20．对于函数()y f x =的定义域D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在上是单调函数；②当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,2m n ，则称区间是函数()f x 的“单调倍区间”．已知函数（1）若2a =，求()f x 在点()(),e f e 处的切线方程；（2）若函数()f x 存在“单调倍区间”，求a 的取值X 围．【答案】（1）；（2）【解析】 （1）当2a =时，∴当0x >时，，则：，又()f x ∴在()(),e f e 处的切线方程为：即：（2）列表如下：x(),0-∞0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭ 2a ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '-+-()f x极大值设函数()f x 存在“单调倍区间”是①当0m n <≤时，由()f x 在(),0-∞上单调递减，则有两式相减得：即，代入得：要使此关于,m n 的方程组在0m n <≤时有解，则使得2y a =与的图象有两个公共点当14x =时，min 38y =，当0x =时，12y =结合两函数图象，则31282a <≤，即：31164a <≤ 即此时满足()f x 存在“单调倍区间”的a 的取值X 围是31,164⎛⎤⎥⎝⎦ ②当时，由()f x 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则有即：1ln 41ln 4m a mn a n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设()ln 4xg x x=，则当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数要使方程1ln 4x a x =有两解，则1y a =与()ln 4x g x x =的图象在0,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦有两个交点 结合两函数图象，则，即：2ln 122114ae a a a a e ⎧>⎪⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪<⎪⎪⎩解得：即此时满足()f x 存在“在单调倍区间”的a 的取值X 围是(24,2e e ⎤⎦③当2a m n <<时，由()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则有两式相减得：，此式不成立，即此时()f x 不存在“单调倍区间”综上，函数()f x 存在“单调倍区间”的a 的取值X 围是21．已知函数.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当[0,1)b ∈时，设函数有最小值()h b ，求()h b 的值域.【答案】(1)见解析；(2)【解析】解：（1）()f x 定义域为，.令，①，1︒当04a ≤≤时，0∆≤，，即'()0f x ≥且不恒为零，故()f x 单调递增区间为(,4)-∞-，(4,)-+∞，2︒当4a >时，∆>0，方程①两根为，，由于，.故124x x <-<，因此当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x >，()f x 单调递增，1(,4)x x ∈-，'()0f x <，()f x 单调递减， 2(4,)x x ∈-，'()0f x <，()f x 单调递减， 2(,)x x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增，综上，当04a ≤≤时，()f x 在(,4)-∞-单调递增，(4,)-+∞单调递增， 当4a >时，()f x 在单调递增，，单调递减；在单调递增.（2），设，由（1）知，0a =时，在(2,)-+∞单调递增， 由于(0)0k b =≥，，故在(2,0]-存在唯一0x ，使0()0k x =，，又当0(2,)x x ∈-，()0k x <，即'()0g x <，()g x 单调递减，0(,)x x ∈+∞，()0k x >，即'()0g x >，()g x 单调递增，故时，0204x e x +=+，0(2,0]x ∈-. 又设，(2,0]x ∈-，，故()m x 单调递增，故，即，即.22．已知函数（无理数 2.718e =…）．（1）若()f x 在(1,)+∞单调递增，某某数a 的取值X 围：（2）当0a =时，设，证明：当0x >时，．【答案】（1）2]-∞（，； （2）见解析.【解析】（1）解：由题意可得在1（，）+∞上恒成立． ∴， 令，则，∴函数在1（，）+∞上单调递增． ∴12a h ≤=（）． ∴实数a 的取值X 围是2]-∞（，． （2）证明：当0a =时，． ，令， 则，可得2x ln =时，函数u x （）取得极小值，． ∵00g '=（），又． ∴存在，使得． 由单调性可得：0x x =时，函数()g x 取得极小值，即最小值， ∴． 由，可得函数0y g x =（）单调递减，故． ∴当0x >时，．。
2009-2013年北京高考真题--导数大题汇编
_________高考题库，荣誉出品__________●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●2009-2013年北京高考真题--导数大题汇编5年高考真题分类汇编-教师卷题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009至2013年北京市高考真题，并经过精心校对。
2.本系列文档包含全部试题分类汇编，命名规律为：2009-2013年北京高考真题--******试题汇编。
3.本系列试题涵盖北京高考所有学科，均有相关实体书出售。
i.、解答题（本大题共5小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。
（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。
【答案解析】解：（1）'()2cos (2cos )f x x x x x x 因为曲线()y f x 在点(,())a f a 处的切线为y b 所以'()0()f a f a b ，即22cos 0sin cos a a a a a a a b ，解得01a b （2）因为2cos 0x 所以当0x 时'()0f x ，()f x 单调递增当0x 时'()0f x ，()f x 单调递减所以当0x 时，()f x 取得最小值(0)1f ，所以b 的取值范围是(1,)2.（2012年北京高考真题数学(文)）。
2009至2018年北京高考真题分类汇编之集合
2009至2018年北京高考真题分类汇编之集合精心校对版△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。
2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。
3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一 、选择题（本大题共10小题，每小题0分，共0分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则AB =（ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1- 2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知集合{320}A x x =∈+>R ，{(1)(3)0}B x x x =∈+->R ，则A B =3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知全集U=R,集合P=｛x ︱x 2≤1｝,那么A ．(-∞, -1]B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 4.（2009年北京高考真题数学(文)）设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B = （ ）A ．{12}x x -≤<B ．1{|1}2x x -<≤ C ．{|2}x x < D ．{|12}x x ≤<5.（2010年北京高考真题数学(文)）集合，则=(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x ≤3}2{03},{9}P x Z x M x R x =∈≤<=∈≤PM（A ）(,1)-∞- （B ）2(1,)3--（C ）2(,3)3-（D ）(3,)+∞姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●6.（2014年北京高考真题数学(文)）若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）（A ）{}0,1,2,3,4 （B ）{}0,4 （C ）{}1,2 （D ）{}37.（2015年北京高考真题数学(文)）若集合A={x|﹣5＜x ＜2}，B={x|﹣3＜x ＜3}，则A∩B=（ ）A ． {x|﹣3＜x ＜2}B ． {x|﹣5＜x ＜2}C ． {x|﹣3＜x ＜3}D ． {x|﹣5＜x ＜3}8.（2016年北京高考真题数学(文)）已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则AB =（A ）{|2<<5}x x （B ）{|<45}x x x >或（C ）{|2<<3}x x （D ）{|<25}x x x >或 9.（2017年北京高考真题数学(文)）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞（C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞ 10.（2018年北京高考真题数学(文)）已知集合A ={x||x |<2},B ={−2,0,1,2},则AB =（A ）{0,1}（B ）{−1,0,1} （C ）{−2,0,1,2}（D ）{−1,0,1,2}二 、填空题（本大题共2小题，每小题0分，共0分）11.（2009年北京高考真题数学(文)）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A-∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.12.（2015年北京高考真题数学(文)）如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P （x ，y ）为D 中任意一点，则z=2x+3y 的最大值为 ．2009至2018年北京高考真题分类汇编之集合答案解析一、选择题1.B2.D3.D4.A5.B6.C7.A8.C9.C10.A二、填空题11.612.7。
2009至2018年北京高考真题分类汇编之圆锥曲线
2009至2018年北京高考真题分类汇编之圆锥曲线精心校对版题号一二三总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。
2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。
3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、填空题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）若抛物线22y px 的焦点坐标为(1,0)，则p ，准线方程为。
2.（2011年北京高考真题数学(文)）已知双曲线2221y x b （b ＞0）的一条渐近线的方程为2y x ，则b = . 3.（2010年北京高考真题数学(文)）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。
4.（2009年北京高考真题数学(文)）椭圆22192x y 的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF ，则2||PF ；12F PF 的大小为 . 5.（2014年北京高考真题数学(文)）设双曲线C 的两个焦点为2,0，2,0，一个顶点是1,0，则C 的方程为 . 6.（2015年北京高考真题数学(文)）已知（2，0）是双曲线x 2﹣=1（b ＞0）的一个焦点，则b= ．22221x y a b 221259x y 姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●。
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2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。
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3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。
（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。
2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知函数2()1(0)f x ax a ，3()g x x bx ．（Ⅰ）若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当3a ，9b 时，若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知函数()()x f x x k e . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值.
4.（2009年北京高考真题数学(文)）姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封-
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