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2010-2019年北京高考真题导数汇编
2010-2019年北京高考导数汇编2019整体法（h(x)=f(x)-g(x)≥0，左侧当成一个成体，求最小值≥0）+讨论参数(求h(x)的导数会出现未知参数进行讨论)2018（18）（本小题13分）设函数2()[(41)43]e x f x ax a x a =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；（Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围．直接讨论f(x)的性质+讨论参数201719．（13分）已知函数f （x ）=e x cosx ﹣x ．（1）求曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求函数f （x ）在区间[0，]上的最大值和最小值．简单二次求导问题2016（18）（本小题13分）设函数f(x)=x a x e - +bx ，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e -1)x+4，（I ）求a,b 的值；(I I) 求f(x)的单调区间。
简单二次求导问题18．（本小题13分）已知函数()1ln1x f x x +=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．第三问结合第二问去讨论参数问题2014(18)（本小题13分）已知函数()cos sin f x x x x =-，[0,]2x ∈π（Ⅰ）求证：()0f x ≤；（Ⅱ）若sin x a b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．构造新函数（sinx -ax>0,sinx -bx<0,再用整体法求a,b 的值）2013（18）（本小题共13分）设L 为曲线ln :x C y x=在点()1,0处的切线． （Ⅰ）求L 的方程；（Ⅱ）证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线L 的下方．位置问题用作差法（求证L -y>0）18．（2012•北京）已知函数f （x ）=ax 2+1（a ＞0），g （x ）=x 3+bx（1）若曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a 、b 的值；（2）当a 2=4b 时，求函数f （x ）+g （x ）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．简单讨论导数零点大小问题201118．（本小题共13分）已知函数2()()x k f x x k e =-。
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函数北京高考题二——导数1.（2011年文科18）已知函数()()x f x x k e =-， （I ）求()f x 的单调区间；（II ）求()f x 在区间[]0,1上的最小值（Ⅰ）若曲线()=在它们的交点(1,)c处具有公共切线，求,a b的值；y g x=与曲线()y f x（Ⅱ）当3k上的最大值为28，求k的取值范围．a=，9b=-时，若函数()()f xg x+在区间[,2](1)若曲线()=在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求,a b的值;y g x=与曲线()y f x(2)当24a b=时,求函数()()-∞-上的最大值.f xg x+的单调区间,并求其在区间(,1]4.（2013年文科18．）已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．5.（2013年理科18．）设L为曲线C：y＝在点(1，0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．6.（2014年文科20.）已知函数3=-.()23f x x x（1）求()f x在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)=相切，求t的取值范围；P t存在3条直线与曲线()y f x（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)y f x=相切？（只需写出结论）-分别存在几条直线与曲线()A B C7．（2014年理科18.）已知函数()cos sin ,[0,2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤； （Ⅱ）若sin x a b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值1.（2011年文科18）解：（I ）/()(1)x f x x k e =-+，令/()01f x x k =⇒=-；所以()f x 在(,1)k -∞-上递减，在(1,)k -+∞上递增；（II ）当10,1k k -≤≤即时，函数()f x 在区间[]0,1上递增，所以min ()(0)f x f k ==-；当011k <-≤即12k <≤时，由（I ）知，函数()f x 在区间[]0,1k -上递减，(1,1]k -上递增，所以1min ()(1)k f x f k e -=-=-；当11,2k k ->>即时，函数f x 在区间0,1上递减，所以2.（2012解3.（2012年文科18）解：（?）由()1c ，为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =， 3()g x x bx =+，则2()=3f x x b '+，23k b =+，∴23a b =+⎺又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩． （2）24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26a x =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增①若12a--≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126a a-<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a--≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 1=已知4.（(1)f (a )． 解得(2)f (x )－ ＋ ↘ ↗上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，(x )的最小值．当b 当b y ＝b ∞)． 5.（2013(1)(2)18．所以(2)g (x )>0(∀x >0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝. 当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增． 所以g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．7．解：（1）证明：()()'cos sin cos sin ,f x x x x x x x =+--=-∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴()'0f x …，即()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()00f =，所以()0f x …． （2）一方面令()sin xg x x =，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()2cos sin 'x x xg x x ⋅-=，由（1）可知，()'0g x <，故()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()π22πg x g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，故2πa …，所以m a x 2πa =． 令()sin h x x bx =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()'cos h x x b =-， 当1b …时，()'0h x <，故()h x 在π0,x ⎛⎫∈上单调递减，从而()()00h x h <=，﹣x=）=，（）﹣，上的最大值为．k=6﹣6﹣6﹣﹣+t+3=0仅供个人学习参考。
2023高考数学北京卷导数的计算历年真题及答案
2023高考数学北京卷导数的计算历年真题及答案一、第一题已知函数f(x) = x^3 - 2x + 1，求f(x)的导数f'(x)。
解答过程：首先，根据导数的定义，我们知道f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。
代入f(x) = x^3 - 2x + 1，得到f'(x) = lim(h→0) [(x+h)^3 - 2(x+h) + 1 - x^3 + 2x - 1] / h。
展开并进行化简计算，得到f'(x) = lim(h→0) [3x^2h + 3xh^2 + h^3 -2h] / h。
再一次化简，得到f'(x) = lim(h→0) (3x^2 + 3xh + h^2 - 2)。
在h→0的极限下，只有常数项-2保留，得到导数 f'(x) = 3x^2 - 2。
所以，f(x)的导数为 f'(x) = 3x^2 - 2。
二、第二题已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(x)的导数f'(x)及f''(x)。
解答过程：首先，计算f(x)的导数f'(x)。
根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0)[f(x+h) - f(x)] / h。
代入f(x) = 2x^2 + 3x - 5，得到f'(x) = lim(h→0) [2(x+h)^2 + 3(x+h) -5 - (2x^2 + 3x - 5)] / h。
展开并进行化简计算，得到f'(x) = lim(h→0) [2x^2 + 4xh + 2h^2 + 3x + 3h - 5 - 2x^2 - 3x + 5] / h。
再一次化简，得到f'(x) = lim(h→0) (4xh + 2h^2 + 3h) / h。
化简后消去h，得到 f'(x) = lim(h→0) (4x + 2h + 3)。
(完整word版)导数大题题型全面
一、 分类讨论：分类讨论复杂影响定义域， 导是否有根，最高次项系数(开口方向) 例1.(大兴19)已知函数f(x) (22 m)X .x m(I)当m 1时，求曲线f (x)在点(1, f (1))处的切线方程； (n)求函数f(x)的单调区间.(2 m)(x 2m) (2 m)x 2x fW--- K (1 )当 m 0时，f(x)-.x因为f '(x)当 f'(x) 0 时，x 0,或x 0.所以函数f (x)的单调减区间为(，0),(0,)，无单调增区间(2) 当m 0时，f (x)的定义域为{xxm}.当 f'(x) 0时，x 、、 m 或.m x . m 或x 、. m ,所以函数f (x) 的单调减区间为(,j m ),( —, —),(~m, 单调增区间•(3) 当 m 0时，f'(x) (m 2)(x 2 而2x 扁).(x 2 m)2①当0 m 2时，若 f '(x) 0，则 x. m 或x . m ，(13分)解：(I)当 m 1 时，f(x)x x 2 1.因为f '(x)x 2 1 22-(x 1)所以k 所以函数f (x)在点1 1(訐(2))处的切线方程为12x 25y4(m 2)(x 2m) 2 2(x m))，无f'121 25 .因为f (2若f '(x) 0 ,贝y m x 、、m ,所以函数f(x)的单调减区间为(,,m),C，m,),函数f(X)的单调增区间为(、、m,、、m).②当m 2时，f (x) 0 ,为常数函数，无单调区间•③当m 2时，若f '(x) 0，贝U 、、m x .. m，若f '(x) 0 ,则x 、、m或x m ,所以函数f(x)的单调减区间为(,函数f(x)的单调增区间为(，.m),( . m,).综上所述，当m 0时，函数f (x)的单调减区间为(,0),(0,)，无单调增区间；当m 0时，函数f(x)的单调减区间为(，■-m),(、._m,, _m),(、~~m,)无单调增区间；当m 0时，①当0 m 2时，函数f (x)的单调减区间为(,x m),^ m,),函数f (x)的单调增区间为(•、一 m, •、_ m)；②当m 2时，f(x) 0 ,为常数函数，无单调区间；③当m 2时，函数f (x)的单调减区间为(、、m,-、m)，函数f(x)的单调增区间为(，吊),(、m, ) —13根与定义域，最值处需要比较例2. (2012年北京理科)已知函数f(x) ax2 1(a 0)，g(x) x3 bx -(i)若曲线y f (x)与曲线y g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a, b的值;2(n )当a 4b时，求函数f(x) g(x)的单调区间，并求其在区间(-上的最大值解：(1 )由1, c为公共切点可得：2f (x) ax 1(a 0)，贝U f (x) 2 ax, K 2a ,3 2g(x) x bx，贝U f (x)=3x b , k2 3 b,2a 3 b ①又 f(1) a 1 , g(1) 1 b ,a 11 b ，即a b ，代入①式可得:(2) Q a 24b ,设 h(x) f(x)g(x) x 321 2 ax ax41 则 h (x) 3x 22ax 1 2a ，令 h (x)0，解得 a :x 1x ?a —;426Q a 0 ,aa26，原函数在a单调递增，在a-单调递减， 在a 上单调递增22， 66，①若1< a，即a < 2时，最大值为 h(1) a 2a” ,•24②若a 1 a 即2 a 6时， 最大值为 h -12 62③若1> 6时，即a >6时，最大值为h综上所述:当a 0,2时，最大值为h(1)2a ta；当 a 2 ,4时，最大值为h ?1•二、恒成立问题例3( 2014海淀一模)已知函数 f (x) xln x .(I )求 f(x)的单调区间；(n )当k 1时，求证：f (x) kx 1恒成立.(I )定义域为0,---------------------------------- 1分 f '(x) In x 1---------------------------------- 2分1令 f '(x) 0 ,得 x ----------------------------------- 3分f '(x)与f (x)的情况如下:分1 1所以f(X)的单调减区间为(0,—)，单调增区间为(―，)--------------------------- 6分e e(n )分离参数，证明1:1设g(x) ln x , x 0 ----------------------------- 7分X八1 1 X 1g(X) 2 2 ------------------------------------------- 8分X X Xg'(x)与g(X)的情况如下：所以g(x) g(1) 1，即1ln x 1在x 0时恒成立， ------------- 10 分x, 1 ,所以，当k 1时，ln x k，x所以xlnx 1 kx，即xlnx kx 1，X|k | B| 1 . c|O |m所以，当k 1时，有f (x) kx 1. -------------------- 13 分证明2：直接作差构造新函数令g(x) f (x) (kx 1) xlnx kx 1 ----------------------------- 7分g'(x) In x 1 k ----------------------------- 8分令g '(x) 0 ,得x e k 1------------------------------ 9 分g'(x)与g(x)的情况如下:2x)x证明：设g （x ）f(x)xe ^(xxX( 20)，则 g '(x)4x------------------- 10分g(x)的最小值为g(e k1) 1 e k 1--------------- 11分当 k 1 时，e k1 1，所以 1 e k1 0 故 g(x) 0----------------------- 12 分 即当 k 1 时，f(x) kx 1. ------------------------------ 13 分xe 例4.（ 2015海淀期末文科20题）已知函数f （x ） .x（I ）若曲线y f （x ）在点（x 。
(完整word版)北京高考导数大题分类
导数大题分类一、含参数单调区间的求解步骤：①确定定义域（易错点）②求导函数)('x f③对)('x f 进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理.④)('x f 中x 的最高次系数是否为0，为0时求出单调区间.例1：x x a x a x f ++-=23213)(，则)1)(1()('--=x ax x f 要首先讨论0=a 情况 ⑤)('x f 最高次系数不为0，讨论参数取某范围的值时，若0)('≥x f ，则)(x f 在定义域内单调递增；若0)('≤x f ，则)(x f 在定义域内单调递减. 例2：x x a x f ln 2)(2+=，则)('x f =)0(,12>+x x ax ，显然0≥a 时0)('>x f ，此时)(x f 的单调区间为),0(+∞.⑥)('x f 最高次系数不为0，且参数取某范围的值时，不会出现0)('≥x f 或者0)('≤x f 的情况 求出)('x f =0的根，（一般为两个）21,x x ，判断两个根是否都在定义域内.如果只有一根在定义域内，那么单调区间只有两段.若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数.则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间，即212121,,x x x x x x =<>. 例3:若)0(,ln )1(2)(2≠++-=a x x a x a x f ，则x x ax x f )1)(1()('--=，)0(>x 解方程0)('=x f 得a x x 1,121== 0<a 时，只有11=x 在定义域内.0>a 时,比较两根要分三种情况：1,10,1><<=a a a用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论)('x f在每个子区间内的正负，求得)(x f的单调区间。
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第三讲导数的应用研热点（聚焦突破）类型一利用导数研究切线问题导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x)就是曲线y＝f(x)在点(x,f(x))处的切线的斜率,即k＝f′(x)；(2)曲线y＝f(x)在点(x0,f(x))处的切线方程为y－f(x)＝f′(x)(x－x)．[例1] (2012年高考安徽卷改编)设函数f(x)＝a e x＋1aex＋b(a>0)．在点(2,f(2))处的切线方程为y＝32x,求a,b的值．[解析]∵f′(x)＝a e x－1 aex,∴f′(2)＝a e2－1ae2＝32, 解得a e2＝2或a e2＝－12(舍去),所以a＝2e2,代入原函数可得2＋12＋b＝3, 即b＝12, 故a＝2e2,b＝12.跟踪训练已知函数f(x)＝x3－x.(1)求曲线y＝f(x)的过点(1,0)的切线方程；(2)若过x轴上的点(a,0)可以作曲线y＝f(x)的三条切线,求a的取值范围．解析：(1)由题意得f′(x)＝3x2－1.曲线y＝f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t),即y＝(3t2－1)·x－2t3,将点(1,0)代入切线方程得2t3－3t2＋1＝0,解得t＝1或－,代入y＝(3t2－1)x－2t3得曲线y＝f(x)的过点(1,0)的切线方程为y＝2x－2或y＝－x＋.(2)由(1)知若过点(a,0)可作曲线y＝f(x)的三条切线,则方程2t3－3at2＋a＝0有三个相异的实根,记g(t)＝2t3－3at2＋a.则g′(t)＝6t2－6at＝6t(t－a)．当a>0时,函数g(t)的极大值是g(0)＝a,极小值是g(a)＝－a3＋a,要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根,需使a>0且－a3＋a<0,即a>0且a2－1>0,即a>1；当a＝0时,函数g(t)单调递增,方程g(t)＝0不可能有三个相异的实数根；当a<0时,函数g(t)的极大值是g(a)＝－a3＋a,极小值是g(0)＝a,要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根,需使a<0且－a3＋a>0,即a<0且a2－1>0,即a<－1.综上所述,a的取值范围是(－∞,－1)∪(1,＋∞)．类型二利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数的关系在区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数f(x)在区间(a,b)上单调递增；如果f′(x)<0,那么函数f(x)在区间(a,b)上单调递减．[例2] (2012年高考山东卷改编)已知函数f(x)＝(k为常数,e＝2.718 28…是自然对数的底数),曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间． [解析] (1)由f (x )＝ln x ＋kex, 得f ′(x )＝1－kx －xln xxex ,x ∈(0,＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在(1,f (1))处的切线与x 轴平行, 所以f ′(1)＝0,因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝(1－x －x ln x ),x ∈(0,＋∞)． 令h (x )＝1－x －x ln x ,x ∈(0,＋∞), 当x ∈(0,1)时,h (x )>0； 当x ∈(1,＋∞)时,h (x )<0.又e x >0,所以当x ∈(0,1)时,f ′(x )>0； 当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,＋∞)．跟踪训练若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间,求实数a 的取值范围． 解析：由题知f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax2＋2x －1x ,因为函数f (x )存在单调递减区间,所以f ′(x )＝－ax2＋2x －1x≤0有解．又因为函数的定义域为(0,＋∞),则应有ax 2＋2x －1≥0在(0,＋∞)上有实数解．(1)当a >0时,y ＝ax 2＋2x －1为开口向上的抛物线,所以ax 2＋2x －1≥0在(0,＋∞)上恒有解； (2)当a <0时,y ＝ax 2＋2x －1为开口向下的抛物线,要使ax 2＋2x －1≥0在(0,＋∞)上有实数解,则Δ＝>0,此时－1<a <0；(3)当a ＝0时,显然符合题意．综上所述,实数a 的取值范围是(－1,＋∞)． 类型三 利用导数研究函数的极值与最值 1．求函数y ＝f (x )在某个区间上的极值的步骤 (1)求导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根x 0； (3)检查f ′(x )在x ＝x 0左右的符号； ①左正右负⇔f (x )在x ＝x 0处取极大值； ②左负右正⇔f (x )在x ＝x 0处取极小值．2．求函数y ＝f (x )在区间[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a,b)内的极值(极大值或极小值)；(2)将y＝f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．[例3] (2012年高考北京卷)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0),g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1,c)处具有大众切线,求a,b的值；(2)当a2＝4b时,求函数f(x)＋g(x)的单调区间,并求其在区间(－∞,－1]上的最大值．[解析](1)f′(x)＝2ax,g′(x)＝3x2＋b,因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1,c)处具有大众切线,所以f(1)＝g(1),且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b,且2a＝3＋b.解得a＝3,b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝14a2时,h(x)＝x3＋ax2＋14a2x＋1,h′(x)＝3x2＋2ax＋14a2.令h′(x)＝0,得x1＝－a2,x2＝－a6.a>0时,h(x)与h′(x)的变化情况如下：0 0所以函数h(x)的单调递增区间为(－∞,－2)和(－6,＋∞)；单调递减区间为(－2,－6)．当－a2≥－1,即0<a≤2时,函数h(x)在区间(－∞,－1]上单调递增,h(x)在区间(－∞,－1]上的最大值为h(－1)＝a－14a2.当－a2<－1,且－a6≥－1,即2<a≤6时,函数h(x)在区间(－∞,－a2)上单调递增,在区间(－a2,－1]上单调递减,h(x)在区间(－∞,－1]上的最大值为h(－a2)＝1.当－a6<－1,即a>6时,函数h(x)在区间(－∞,－a2)上单调递增,在区间(－a2,－a6)上单调递减,在区间(－a6,－1]上单调递增,又因为h(－a2)－h(－1)＝1－a＋14a2＝14 (a－2)2>0,所以h(x)在区间(－∞,－1]上的最大值为h(－a2)＝1.跟踪训练(2012年珠海摸底)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x3＋3x2＋1（x ≤0）eax （x>0）,在[－2,2]上的最大值为2,则a 的取值范围是( )A ．[12ln 2,＋∞)B ．[0,12ln 2]C ．(－∞,0]D ．(－∞,12ln 2]解析：当x ≤0时,f ′(x )＝6x 2＋6x ,易知函数f (x )在(－∞,0]上的极大值点是x ＝－1,且f (－1)＝2,故只要在(0,2]上,e ax ≤2即可,即ax ≤ln 2在(0,2]上恒成立,即a ≤ln 2x 在(0,2]上恒成立,故a ≤12ln 2. 答案：D析典题（预测高考）高考真题【真题】 (2012年高考辽宁卷)设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ,b ∈R,a ,b 为常数),曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切． (1)求a ,b 的值；(2)证明：当0<x <2时,f (x )<9x x ＋6. 【解析】 (1)由y ＝f (x )过(0,0)点,得b ＝－1.由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32,又y ′⎪⎪x ＝0＝(1x ＋1＋12x ＋1＋a )⎪⎪x ＝0＝32＋a ,得a ＝0.(2)证明：证法一 由均值不等式,当x >0时, 2（x ＋1）·1<x ＋1＋1＝x ＋2,故x ＋1<x2＋1. 记h (x )＝f (x )－9x x ＋6, 则h ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1－54（x ＋6）2＝2＋x ＋12（x ＋1）－54（x ＋6）2<x ＋64（x ＋1）－54（x ＋6）2 ＝（x ＋6）3－216（x ＋1）4（x ＋1）（x ＋6）2.令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1), 则当0<x <2时,g ′(x )＝3(x ＋6)2－216<0. 因此g (x )在(0,2)内是递减函数． 又由g (0)＝0,得g (x )<0,所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(0,2)内是递减函数． 又h (0)＝0,得h (x )<0.于是当0<x <2时,f (x )<9x x ＋6. 证法二 由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1－1.由均值不等式,当x >0时,2（x ＋1）·1<x ＋1＋1＝x ＋2,故x ＋1<x 2＋1.① 令k (x )＝ln(x ＋1)－x ,则k(0)＝0,k′(x)＝1x＋1－1＝－xx＋1<0,故k(x)<0,即ln(x＋1)<x.②由①②得,当x>0时,f(x)<32 x.记h(x)＝(x＋6)f(x)－9x,则当0<x<2时,h′(x)＝f(x)＋(x＋6)f′(x)－9<32x＋(x＋6)·(1x＋1＋12x＋1)－9＝12（x＋1）[3x(x＋1)＋(x＋6)·(2＋x＋1)－18(x＋1)]<12（x＋1）[3x(x＋1)＋(x＋6)·(3＋x2)－18(x＋1)]＝x4（x＋1）(7x－18)<0.因此h(x)在(0,2)内单调递减．又h(0)＝0,所以h(x)<0,即f(x)<9xx＋6.【名师点睛】本题主要考查导数的应用和不等式的证明以及转化与化归能力,难度较大．本题不等式的证明关键在于构造函数利用最值来解决．考情展望高考对导数的应用的考查综合性较强,一般为解答题,着重考查以下几个方面：一是利用导数的几何意义来解题；二是讨论函数的单调性；三是利用导数研究函数的极值与最值．常涉及不等式的证明、方程根的讨论等问题名师押题【押题】已知f(x)＝ax－ln x,x∈(0,e],g(x)＝ln xx,其中e是自然常数,a∈R.(1)讨论a＝1时,f(x)的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下,f(x)>g(x)＋1 2；(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值；若不存在,请说明理由．【解析】(1)由题知当a＝1时,f′(x)＝1－1x＝x－1x,因为当0<x<1时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减,当1<x<e时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增,所以f(x)的极小值为f(1)＝1.(2)证明因为f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e]上的最小值为1.令h(x)＝g(x)＋12＝ln xx＋12,h′(x)＝1－ln xx2,当0<x<e时,h′(x)>0,h(x)在(0,e]上单调递增,所以h(x)max＝h(e)＝1e＋12<12＋12＝1＝f(x)min,所以在(1)的条件下,f(x)>g(x)＋1 2.(3)假设存在实数a,使f(x)＝ax－ln x(x∈(0,e])有最小值3,f′(x)＝a－1x＝ax－1x.①当a≤0时,因为x∈(0,e],所以f′(x)<0,而f(x)在(0,e]上单调递减,所以f(x)min＝f(e)＝a e－1＝3,a＝4e(舍去),此时f(x)无最小值；②当0<1a <e 时,f (x )在(0,1a )上单调递减,在(1a ,e]上单调递增,所以f (x )min ＝f (1a )＝1＋ln a ＝3,a ＝e 2,满足条件；③当1a≥e 时,因为x ∈(0,e],所以f ′(x )<0,所以f (x )在(0,e]上单调递减,f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3,a ＝4e (舍去)此时f (x )无最小值．综上,存在实数a ＝e 2,使得当x ∈(0,e]时,f (x )有最小值3.知识改变命运。
2023北京高考数学导数题
2023北京高考数学导数题2023北京高考数学导数题第一部分：问题描述在2023年的北京高考数学卷子中，有一道关于导数的题目引起了广泛的讨论。
这道题目涉及到函数的导数及其在实际问题中的应用。
通过解答这道题目，考生们需要展示出对导数概念的理解以及对实际问题的抽象能力。
第二部分：题目内容题目要求考生计算某函数在给定点处的导数，并利用求导的结果来解决实际问题。
具体内容如下：设函数f(x)表示某物体从初始位置出发沿直线匀速运动，其位移与时间的关系满足f(x) = 2x^2 - 3x + 5。
求物体在时刻x=2处的速度。
第三部分：解题思路对于这道题目，考生首先需要计算出函数f(x)的导数。
根据导数的定义，导数表示函数变化的速率，可以通过求函数在某一点的切线斜率来计算。
根据导数的定义，我们可以得到f'(x) = 4x - 3。
接下来，考生需要将x=2代入导数表达式中得到相应的速度值。
第四部分：解答过程将x=2代入导数表达式，可以得到f'(2) = 4(2) - 3 = 5。
因此，物体在时刻x=2处的速度为5。
第五部分：意义解释在解答过程中，考生需要进一步解释计算出的速度值的意义。
由于题目中所给定的函数表示物体的位移与时间的关系，所以导数表示了物体的瞬时速度。
在这个特定的情境中，物体在时刻x=2处的瞬时速度为5。
第六部分：实际应用这道题目通过导数的概念和应用，将抽象的数学概念与实际问题相联系。
在现实生活中，导数有着广泛的应用领域，包括物理、经济、工程等。
例如，在物理学中，导数可以用来描述物体的速度和加速度；在经济学中，导数可以用来分析收益率和成本函数的变化率。
在解答这道题目的过程中，考生们不仅仅是在计算数字，更重要的是培养了对导数及其应用的理解和运用能力。
通过将抽象的数学知识与实际问题相结合，考生不仅能够更好地掌握相关知识，还能够培养出解决实际问题的能力。
总结：这道2023北京高考数学卷子中关于导数的题目，引发了广泛的讨论。
北京高考数学导数题
北京高考数学导数题北京高考数学导数题一、题目背景和意义北京市高考是全国各地考生争先恐后的焦点，其中数学科目一直备受关注。
在这个充满竞争的考场上，导数是一道常见而又重要的题目。
导数作为微积分的基础概念之一，具有深远的理论意义和实际应用价值。
解题数量和质量是考查学生对导数的理解和运用能力的重要指标。
二、题目描述假定某城市的人口总数P（单位：万人）与时间t（单位：年）的关系满足函数表达式为P(t)=3t^3+5t^2-t+1。
1. 求在最近的10年（即t的取值范围为[0,10]）内，该城市人口的平均增长率。
2. 若该城市人口的增长速度最大值的时刻为t=3年，求此时的人口总数。
三、题目分析和解答1. 求在最近的10年内，该城市人口的平均增长率。
根据题意和函数表达式P(t)=3t^3+5t^2-t+1，我们需要求在[0,10]范围内函数P(t)的平均增长率。
首先，计算t=0时刻和t=10时刻的人口总数，分别代入函数表达式得到P(0)=1和P(10)=3311。
其次，计算[0,10]范围内人口总数的变化量，即P(10)-P(0)=3310。
最后，计算平均增长率，即(3310/10) = 331(单位：人/年)。
因此，在最近的10年内，该城市人口的平均增长率为331人/年。
2. 若该城市人口的增长速度最大值的时刻为t=3年，求此时的人口总数。
根据题意和函数表达式P(t)=3t^3+5t^2-t+1，我们需要求在t=3时刻的人口总数。
首先，代入t=3到函数表达式中得到 P(3) = 102。
因此，在t=3时刻，该城市的人口总数为102万人。
四、题目总结本题通过考查导数的相关概念和运用，旨在培养考生对数学知识的理解和应用能力。
通过计算平均增长率和最大增长速度对应的人口总数，考察学生的计算和推理能力。
同时，这道题目也暗示了人口增长问题在城市规划和社会预测中的重要性。
要成功解答本题，学生需要熟练掌握导数的求解方法和相关定理，并能够将其应用到实际问题中。
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导数大题分类一、含参数单调区间的求解步骤：① 确定定义域（易错点）②求导函数 f '(x)③对 f '( x) 进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理.④ f '( x) 中 x 的最高次系数是否为 0，为 0 时求出单调区间 .例 1： f ( x)a x 3 a 1 x 2 x ，则 f '( x)(ax 1)( x 1) 要首先讨论 a 0 情况3 2⑤f '( )最高次系数不为 0，讨论参数取某范围的值时， 若 f '(x)0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递增；x 若 f '(x) 0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递减 .例2：f (x)a x 2 ln x ，则 f '( x) =ax 2 1, ( x0) ，显然 a0时 f '( x) 0 ，此时 f (x) 的2 x单调区间为 (0,) .⑥f '( )最高次系数不为 0，且参数取某范围的值时，不会出现f '(x)0 或者 f '( x) 0 的情况x求出 f '( x) =0 的根，（一般为两个） x 1 , x 2 ，判断两个根是否都在定义域内 . 如果只有一根在定义域内，那么单调区间只有两段 .若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数 . 则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间，即 x 1x 2 , x 1 x 2 , x 1 x 2 .例 3: 若 f ( x)a x 2 (a 1)x ln x, (a 0) ，则 f '( x) ( ax 1)( x 1) ， (x 0) 解方程 f'( x) 2 1 x0 得 x 11, x 2aa 0时，只有 x 1 1 在定义域内 .a 0 时 , 比较两根要分三种情况： a 1,0 a 1, a 1用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论f'( x) 在每个子区间内的正负，求得f (x)的单调区间。
（ 1）求函数的单调区间1.已知函数f ( x) ln( x 1) x k x2 (k 0)2（Ⅰ）当 k 2 时，求曲线y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程. （Ⅱ）求 f ( x) 得单调区间.2. 已知函数 f ( x) ax 2 4ln x ， a R .（Ⅰ）当 a 1时，求曲线y f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线方程；2（Ⅱ）讨论 f ( x) 的单调性.3. 已知函数f ( x) ( x a)sin x cosx, x (0, ) .（Ⅰ）当 a πf ( x) 值域；时，求函数2（Ⅱ）当 a πf ( x) 的单调区间.时，求函数2e x 1，其中 a R .4．已知函数f (x)4x 4ax2（Ⅰ）若 a 0 ，求函数 f (x)的极值；（Ⅱ）当 a 1 时，试确定函数 f ( x) 的单调区间. （二）求函数在给定的区间的最值问题5．已知函数f ( x) ax 2 1 (a 0) ， g( x) x3 bx .（Ⅰ）若曲线 f (x) 与 g(x) 在它们的交点 (1, c) 处具有公切线，求（Ⅱ）当 a 2 4b 时，求函数 f (x) g( x) 的单调区间，并求其在6．已知函数f ( x) 1 ax2 ln x ，a R ．2（Ⅰ）求函数 f ( x) 的单调区间；a,b 的值.( , 1) 上的最大值.（Ⅱ）若函数 f ( x) 在区间[1,e] 的最小值为 1，求a的值．7. 已知函数f xln x ax 2 bx（其中 a, b 为常数且 a 0）在x 1处取得极值.( )（Ⅰ）当 a 1 时，求函数 f ( x) 的单调区间；（Ⅱ）若函数 f ( x) 在区间[0,e] 上的最大值为 1，求a的值 .8．已知函数f ( x) x1ax 2ln(1 x) ，其中 a R .2（Ⅰ）若 x2 是 f ( x) 的极值点，求 a 的值；（Ⅱ）求 f ( x) 的单调区间；（Ⅲ）若 f ( x) 在 [0,) 上的最大值是 0 ，求 a 的取值范围 .9. 已知 f ( x)1ax 2x ln(1 x) ，其中 a 0 ．2( Ⅰ ) 若函数 f (x) 在点 (3, f (3)) 处切线斜率为 0 ，求 a 的值；( Ⅱ ) 求 f ( x) 的单调区间； ( Ⅲ ) 若 f ( x) 在 0,上的最大值是 0 ，求 a 的取值范围．10. 设函数 f (x)e x ax ， xR ．（Ⅰ）当 a2 时，求曲线 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f ( x) 0 ；（Ⅲ）当 a1 时，求函数 f ( x) 在 [0, a] 上的最大值．二、恒成立问题的几种问法：1．对于x a, b ， f ( x) k 恒成立，等价于函数 f ( x) 在 a, b2．对于xa, b ， f ( x)a 恒成立，等价于函数f ( x) 在 a, b上的最小值 f (x)mink . 诉讼上的最大值 f (x)maxk .3. 对于 x , xa,b ， f ( x )g( x ) ，等价于f ( x) 在区间 a,b 上的最小值f ( x)min ，大于等于g( x)1212在区间 a,b 上的最大值 g( x)max ，即 f ( x) min g( x) max .4. 对于x 1 , x 2 a,b ， f (x 1 ) g (x 2 ) ，等价于 f (x) 在区间 a, b 上的最大值 f (x) max ，小于等于 g( x)在区间 a,b 上的最小值 g( x)min ，即 f (x) max g( x) min .5. 对于 xa, b ， f ( x) g( x) ，等价于构造函数h( x) f ( x) g( x) ， h(x) 在区间 a, b 上的最小值h( x) min 0 .6. 对于 x a, b ， f ( x) g( x) ，等价于构造函数 h( x) f ( x)h( x) max0 .7. f (x) 在区间 a, b 上单调递增，等价于 f '( x) min 0, x a, b 8.f (x) 在区间a, b 上单调递减，等价于 f '(x) max 0, x a,bg( x) ， h(x) 在区间 a, b 上的最大值..x1. 已知函数 f ( x) ( x k) 2 e k .（Ⅰ）求 f ( x) 的单调区间 .（Ⅱ）若对于任意的 x (0,) ，都有 f (x)1，求 k 的取值范围 .xe在点 (1,0) 处的切线 .2. 设 l 为曲线 C: yln x（Ⅰ）求 l 的方程 .（Ⅱ）证明：除切点外，曲线 C 在直线 l 下方 .3. 已知函数 f ( x)x cos x sin x ， x0,2（Ⅰ）求证： f (x) 0（Ⅱ）若 asin x b 在 0, 上恒成立，求 a 的最大值和 b 的最小值 .x25. 已知 a 0 ，函数 f ( x)ax 2a ， g( x) a ln xx a .x21（Ⅰ）求函数 f (x) 的单调区间；（Ⅱ）求证：对于任意的 x 1, x 2 (0,e) ，都有 f (x 1) g (x 2 ) .6. 已知函数 f ( x)e 2 x 1ax1 ， a R ．（Ⅰ）若曲线 y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线与直线 x ey 1 0 垂直，求 a 的值；（Ⅱ）求函数 f ( x) 的单调区间；（Ⅲ）设 a2e 3 ，当 x [0, 1] 时，都有 f ( x) 1 成立，求实数 a 的取值范围．7. 已知函数 f ( x) ( x a) ln x, a R（Ⅰ）当 a 0 时求 f (x)的极小值.（Ⅱ）若函数 f ( x) 在区间 (0, ) 上为增函数，求 a 得取值范围8. 已知f ( x) xln x, g( x) x2 ax 3 .（ I ）求函数f ( x)在[ t,t 2]( t 0) 上的最小值；（ II ）对一切x (0, ),2 f ( x) g( x) 恒成立，求实数 a 的取值范围.9. 已知函数 f ( x) x2 ax ln x,a R.（ I ）若函数 f (x) 在 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴，求实数 a 的值；(II) 在（ I ）的条件下，求函数 f ( x) 的单调区间；(III) 若 x 1时 , f ( x) 0 恒成立，求实数 a 的取值范围.10. 已知函数，其中a R ．⑴当时，求f( x) 的单调区间；⑵当 a＞0时，证明：存在实数m ＞0，使得对于任意的实数x，都有｜f( x) ｜≤m成立．三、存在性问题的几种问法：1. x0 a, b ,使得2. x0 a, b ,使得f (x) k 成立，等价函数 f (x) 在 a, bf (x) k 成立，等价函数 f (x) 在 a, b上的最大值 f ( x) max k .上的最小值 f ( x) min k .3. x1 , x2 a,b ，使得 f ( x1 ) g( x2 ) 成立，等价于 f ( x) 在区间 a,b 上的最大值 f ( x) max，大于等于g(x) 在区间 a,b 上的最小值g( x)min，即 f (x) max g( x) min.4. x1 , x2 a,b ，使得 f ( x1 ) g( x2 ) ，等价于 f ( x) 在区间 a,b 上的最小值 f ( x) min，小于等于 g( x)在区间 a,b 上的最大值 g( x) max，即 f ( x)min g( x) max.5. x a, b ，使得 f ( x) g( x) ，等价于构造函数h( x) f ( x) g( x) ， h( x) 在区间 a, b 上的最大值h( x) max 0 .6.x a,b ，使得 f ( x) g( x) ，等价于构造函数h(x) f ( x) g( x) ， h( x) 在区间a,b 上的最小值h(x) min0 .7. f (x) 在区间 a, b8. f (x) 在区间 a, b 上存在单调递增区间，等价于 f'(x)的最大值 f'(x)max0 . 上存在单调递减区间，等价于 f'(x)的最小值 f'(x)min0 .1. 已知曲线 f ( x) ax e x ( a0) .（Ⅰ）求曲线在点（0, f (0) ）处的切线方程；（Ⅱ）若存在x0使得 f ( x0 ) 0 ，求a的取值范围.2. 已知函数 f ( x) a( x 1) 2ln x (a R ) ．x（Ⅰ）若 a 2 ，求曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；（Ⅱ）求函数 f ( x) 的单调区间；（Ⅲ）设函数g( x) a．若至少存在一个 x0 [1,e] ，使得 f ( x0 ) g (x0 ) 成立，求实数 a 的取值范围．x3. 已知函数f ( x) 1a ln x ( a 0, a R ) x（Ⅰ）若 a 1 ，求函数 f (x)的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间 [1,e] 上至少存在一点x0，使得 f (x0 ) 0 成立，求实数 a 的取值范围.4.已知函数f ( x) x a e x．（Ⅰ）当 a e2时，求 f ( x) 在区间 [1,3] 上的最小值；（Ⅱ）求证：存在实数x0 [ 3,3] ，有f (x0 ) a .四、切线问题1. 已知函数 f ( x)x a ln x, a R ．（Ⅰ）求函数 f (x) 的单调区间；（Ⅱ）当 x 1,2 时，都有 f (x)0 成立，求 a 的取值范围；（Ⅲ）试问过点P(13)，可作多少条直线与曲线y f ( x) 相切？并说明理由．2. 已知函数 f ( x) x 3 x ．（I ）求曲线 y f (x) 在点 M (t ，f (t)) 处的切线方程；（II ）设 a0 ，如果过点 (a ， b) 可作曲线 y f ( x) 的三条切线， 证明： a b f (a) ．五、特殊问题1. 已知函数 f ( x) 1 ln x .x2（Ⅰ）求函数 f ( x) 的零点及单调区间；（Ⅱ）求证：曲线 yln xy 0 1 .x 存在斜率为 6 的切线，且切点的纵坐标六、构造函数模型1. 设函数 f ( x) ae x x 1， a R ．（Ⅰ）当 a 1 时，求 f ( x) 的单调区间；（Ⅱ）当 x(0,) 时， f ( x) 0 恒成立，求 a 的取值范围；（Ⅲ）求证：当 x (0,) 时， lne x1 x ．x 2。