2020年高考文科数学分类汇编:专题九解析几何

《2018年高考文科数学分类汇编》

第九篇:解析几何

一、选择题

1.【2018全国一卷4】已知椭圆C :22

214

x y a +=的一个焦点为(20),

,则C 的离心率为

A .1

3

B .12

C D

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2.【2018全国二卷6】双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>

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A .y =

B .y =

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C .y =

D .y = 3.【2018全国二11】已知1F ,2F 是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若12PF PF ⊥,

且2160PF F ∠=?,则C 的离心率为

A .1

B .2

C

D 1

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4.【2018全国三卷8】直线20x y ++=分别与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆

()

2

222x y -+=上,则ABP △面积的取值范围是

A .[]26,

B .[]48,

C .

D .??

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5.【2018全国三卷10】已知双曲线22

221(00)x y C a b a b

-=>>:,,则点(4,0)

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到C 的渐近线的距离为

A

B .2

C .

2

D .

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6.【2018天津卷7】已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率为2,过右焦点且垂直

于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点. 设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1

d

和2d ,且126d d +=,则双曲线的方程为

A

22

1412

x y -=

B

22

1124

x y -= C

22

139

x y -=

D 22

193

x y -= 7.【2018浙江卷2】双曲线2

21 3=x y -的焦点坐标是

A .(?2,0),(2,0)

B .(?2,0),(2,0)

C .(0,?2),(0,2)

D .(0,?2),(0,2)

8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 25x + 23

y =1上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )

A.2

B.2

C.2

D.4

二、填空题

1.【2018全国一卷15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ,两点,则

AB =________.

2.【2018北京卷10】已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴,若l 被抛物线24y ax =截得的线

段长为4,则抛物线的焦点坐标为_________.

3.【2018北京卷12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为

5

2

,则a =_________. 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为__________.

5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点

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(,0)F c ,则其离心率的值是 . 6.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,

(5,0)B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD ?=,则点A 的横坐标

为 .

7.【2018浙江卷17】已知点P (0,1),椭圆24

x +y 2

=m (m >1)上两点A ,B 满足AP =2PB ,则

当m =___________时,点B 横坐标的绝对值最大.

8.【2018上海卷2】2.双曲线2

214

x y -=的渐近线方程为 . 9.【2018上海卷12】已知实数x ?、x ?、y ?、y ?满足:221x y +=??,221x y +=??,21

2

x x y y +=???,

的最大值为__________

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三、解答题

1.【2018全国一卷20】设抛物线22C y x =:,点()20A ,,()20B -,,过点A 的直线l 与C

交于M ,N 两点.

(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:ABM ABN =∠∠.

2.【2018全国二卷20】设抛物线24C y x =:的焦点为F ,过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ,B 两点,||8AB =.

(1)求l 的方程;

(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.

3.【2018全国三卷20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22

143

x y C +

=:交于A ,B 两点.线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >.

(1)证明:12

k <-

; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0.证明:

2||||||FP FA FB =+.

4.【2018北京卷20】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3

,焦距为.

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斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B .

(Ⅰ)求椭圆M 的方程;

(Ⅱ)若1k =,求||AB 的最大值;

(Ⅲ)设(2,0)P -,直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44

Q -共线,求k .

5.【2018天津卷19】设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右顶点为A ,上顶点为B .已知椭圆

的离心率为

3

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,||AB = (I )求椭圆的方程;

(II )设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点,l 与直线AB 交于点M ,且点P ,M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍,求k 的值.

6.【2018江苏卷18】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点1

)2,焦点

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12(F F ,圆O 的直径为12F F .

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(1)求椭圆C 及圆O 的方程;

(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .

①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标;

②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.若OAB △的面积为

26

,求直线l 的方程. 7.【2018浙江卷21】如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线C :y 2=4x 上存在

不同的两点A ,B 满足PA ,PB 的中点均在C 上. (Ⅰ)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;

(Ⅱ)若P 是半椭圆

x 2+

2

4

y =1(x <0)上的动点,求△P AB 面积的取值范围. 8.【2018上海卷20】(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)

设常数t >2,在平面直角坐标系xOy 中,已知点F (2,0),直线l :x=t ,曲线τ:

28y x =00x t y (≦≦,≧),l 与x 轴交于点A ,与τ交于点B ,P 、Q 分别是曲线τ与线段AB 上的动点.

(1)用t 为表示点B 到点F 的距离;

(2)设t =3,

2FQ =∣∣,线段OQ 的中点在直线FP 上,求△AQP 的面积; (3)设t =8,是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在τ上?若存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由. 参考答案 一、选择题

1.C

2.A

3.D

4.A

5.D

6.C

7.B

8.C 二、填空题

1. 22

2.)0,1(

3.4

4.022

2=-+x y x 5.2 6.3 7.5

8.x y 2

1

±= 9.32+

三、解答题

1.解:(1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x =2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,–2).

所以直线BM 的方程为y =112x +或1

12

y x =--.

(2)当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM =∠ABN .

当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.

由2(2)2y k x y x

=-??=?,得ky 2–2y –4k =0,可知y 1+y 2=2

k ,y 1y 2=–4.

直线BM ,BN 的斜率之和为 122112

1212122()

22(2)(2)

BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=

+=++++.① 将112y x k =

+,222y

x k

=+及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得 121221121224()88

2()0y y k y y x y x y y y k k

++-++++=

==.

所以k BM +k BN =0,可知BM ,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM +∠ABN . 综上,∠ABM =∠ABN .

2.解:(1)由题意得F (1,0),l 的方程为y =k (x –1)(k >0).

设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).

由2(1)

4y k x y x

=-??=?得2222(24)0k x k x k -++=. 2

16160k ?=+=,故2122

24

k x x k ++=

. 所以2122

44

(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=.

由题设知22

44

8k k +=,解得k =–1(舍去),k =1.

因此l 的方程为y =x –1.

(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为 2(3)y x -=--,即5y x =-+.

设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则

0022

000

5(1)(1)16.2

y x y x x =-+???-++=+??,

解得0032x y =??=?,或00116.x y =??=-?, 因此所求圆的方程为

22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.

3.解:(1)设11()A x y ,,22()B x y ,,则2211143x y +=,22

22

143

x y +=.

两式相减,并由

1212=y y k x x --得1212

043

x x y y k +++?=. 由题设知

1212x x +=,122y y m +=,于是3

4k m

=-

. 由题设得302m <<

,故1

2

k <-. (2)由题意得F (1,0).设33()P x y ,,则

331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=,,,,.

由(1)及题设得3123()1x x x =-+=,312()20y y y m =-+=-<.

又点P 在C 上,所以34m =

,从而3

(1)2P -,

2

3=.

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于是11||(22

x

FA x ==-.

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同理2

||=22

x FB -

. 所以121

4()32

FA FB x x +=-+=.

故2||=||+||FP FA FB .

4.解:

(Ⅰ)由题意得2c =

,所以c =

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又c e a =

=

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,所以a =2221b a c =-=, 所以椭圆M 的标准方程为2

213

x y +=.

(Ⅱ)设直线AB 的方程为y x m =+,

由22

13

y x m x y =+???+=??消去y 可得2246330x mx m ++-=, 则2

2

2

3644(33)48120m m m ?=-?-=->,即24m <,

设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则1232m x x +=-,21233

4

m x x -=,

则12|||AB x x =-==

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易得当20m =

时,max ||AB ,故||AB

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. (Ⅲ)设11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,44(,)D x y ,

则221133x y += ①,22

2233x y += ②,

又(2,0)P -,所以可设1

112

PA y k k x ==

+,直线PA 的方程为1(2)y k x =+, 由122

(2)13

y k x x y =+???+=??消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=, 则2113211213k x x k +=-+,即2

1312

1

1213k x x k =--+,学科*网 又1112y k x =

+,代入①式可得13171247x x x --=+,所以13147y y x =+, 所以1111712(

,)4747x y C x x --++,同理可得22

22712(,)4747

x y D x x --++.

故3371(,)44QC x y =+

-,4471

(,)44

QD x y =+-, 因为,,Q C D 三点共线,所以34437

171()()()()04

4

4

4

x y x y +--+-=,

将点,C D 的坐标代入化简可得

12

12

1y y x x -=-,即1k =. 5. 解:(I )设椭圆的焦距为2c ,由已知得2259

c a =,又由222

a b c =+,可得23a b =.

由||AB ==,从而3,2a b ==.

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所以,椭圆的方程为22

194

x y +=. (II )设点P 的坐标为11(,)x y ,点M 的坐标为22(,)x y ,由题意,210x x >>,

点Q 的坐标为11(,)x y --.由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍,可得

||=2||PM PQ ,

从而21112[()]x x x x -=--,即215x x =.

易知直线AB 的方程为236x y +=,

由方程组236,,

x y y kx +=??

=?消去y ,可得26

32x k =+.

由方程组22

1,94,

x y y kx ?+

?=??=?

消去y ,可得12

94x k =+. 由215x x =,可得2945(32)k k +=+,两边平方,整理得2

182580k k ++=,解得

89k =-,或12

k =-.

当89k =-

时,290x =-<,不合题意,舍去;当12k =-时,212x =,112

5

x =,符合题意. 所以,k 的值为1

2

-

. 6.解:(1)因为椭圆C 的焦点为12() 3,0,(3,0)F F -,

可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>.又点1

(3,)2在椭圆C 上,

所以2222311,

43,

a b

a b ?+=???-=?

,解得2

24,1,a b ?=??=?? 因此,椭圆C 的方程为2

214

x y +=.

因为圆O 的直径为12F F ,所以其方程为223x y +=.

(2)①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>,则22003x y +=, 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =-

-+,即000

3x y x y y =-+.

由22

0001,43,x y x y x y y ?+=????=-+??

消去y ,得222200004243640()x y x x x y +-+-=.(*) 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,

所以222222000000()()(

24)(44364820)4x x y y y x ?=--+-=-=. 因为00,0x y >,所以002,1x y ==.

因此,点P 的坐标为(2,1).

②因为三角形OAB 的面积为

26

, 所以21 26AB OP ?=

,从而42AB =. 设1122,,()(),A x y B x y ,

由(*)得22000001,22448(2)

x y x x ±-=

所以22

2

2

121()()x B y y x A =-+-2220002222

00048(2)(1)(4)x y x y x y -=+?+.

因为22003x y +=,

所以22

022

016(2)32

(1)49

x AB x -==+,即42002451000x x -+=, 解得22005(202x x ==舍去),则201

2

y =,因此P 的坐标为102(,).

综上,直线l 的方程为532y x =-+.

7.解:(Ⅰ)设00(,)P x y ,2111(

,)4A y y ,2

221(,)4

B y y .

因为PA ,PB 的中点在抛物线上,

所以1y ,2y 为方程2

02014()422

y x y y ++=?

即22

000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根. 所以1202y y y +=. 因此,PM 垂直于y 轴.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知1202

12

002,

8,y y y y y x y +=???=-?? 所以2221200013||()384

PM y y x y x =

+-=-

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,12||y y -= 因此,PAB △

的面积3

2212001||||4)24

PAB

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S PM y y y x =?-=-△. 因为2

200

01(0)4

y x x +=<,所以22

00004444[4,5]y x x x -=--+∈.

因此,PAB △

面积的取值范围是4

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. 8.解:(1)由抛物线的性质可知,抛物线x y 82=的准线为2-=x ,

抛物线上的点B 到焦点)0,2(F 的距离等于点B 到准线2-=x 的距离, 由题意知,点B 的横坐标为t ,则2+=t BF 。 (2)当3=t 时,)0,3(A 。

由曲线τ:x y 82

=)0,0(≥≤≤y t x 知: 点B 的纵坐标为6238=?,则)62,3(B 。

由于Q 在线段AB 上,则点Q 的纵坐标取值在]62,0[之间。 由题意)0,2(F ,2=FQ ,则Q 的纵坐标为31222=-,

故)3,3(Q ,OQ 的中点坐标为)2

3,23(Q 。 由于

22

3

≠,由题意可知PF 的斜率存在,则可设直线PF 的方程为:)2(-=x k y , 所以将点)23,

2

3(Q 的坐标代入方程得)22

3(23-=k , 解得3-=k ,则直线PF 的方程为)2(3--=x y 。 代入抛物线方程得3

2

=

P x 。 由于A 、Q 均在直线3=x 上,则AQP ?的AQ 边边长为303=

-,

AQ 边上的高等于3

7323=-

=-P A x x , 则P AQP x AQ S -??=

?32136

737321=??=。 (3)存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在τ上。 当8=t 时,)0,8(A ,点B 的纵坐标为888=?,则)8,8(B 。

设),8

(2

n n P ,80≤≤n 。

①若28

2

=n ,则点)4,2(P ,而点)0,2(F ,则x PF ⊥轴。 若以FP 、FQ 为邻边的四边形FPEQ 为矩形,则FQ PF ⊥, 则y FQ ⊥轴,故点)0,8(Q 。此时点)4,8(E ,由于4888≠=?, 则点E 不在τ上,此情况不成立。

②当282≠n 时,直线PF 的斜率可以表示为16828

22-=-=n n n n k PF

由于FQ PF ⊥,则直线FQ 的斜率可以表示为n

n k FQ

8162-=。

所以直线FQ 的方程为)2(8162

--=

x n

n y ,

当8=x 时,)28(8162--=n n y n n 4)

16(32-=, 所以)4

)16(3,

8(2n Q -。 而在以FP 、FQ 为邻边的四边形FPEQ 中,F 、E 为不相邻的两个顶点, 则=+。

而),28(2n n -=,)4)

16(3,

6(2n -=, 则)448

,

48(22n n n ++=。 故点)448

,

68(22n

n n E ++。 当点点E 在τ上时,有)68

(8)448(

2

22+=+n n n , 移项后去分母整理得48152

=n ,解得5

16

2

=

n 。 而80≤≤n ,则554=

n ,故)5

5

4,

52(P 。 综上所述,存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在τ上,此时点)5

5

4,

52(P 。

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