2012年高考文科数学分类汇编：函数(术科班)
2012年高考文科数学解析分类汇编：函数(逐题详解)
2012年高考文科数学解析分类汇编：函数一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））设函数2()43,()32,xf x x xg x =-+=-集合{|(())0M x R f g x =∈> {|()2},N x R g x =∈<则M N 为 （ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(-1,1)D ．(,1)-∞2 ．（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为（ ）A ．cos 2y x =B ．2log ||y x =C ．2xxee y --=D ．31y x =+3 ．（2012年高考（四川文））函数(0,1)xy a a a a =->≠的图象可能是4 ．（2012年高考（陕西文））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =5 ．（2012年高考（山东文））函数cos 622xxx y -=-的图象大致为6 ．（2012年高考（山东文））函数1()ln(1)f x x =++的定义域为 （ ）A ．[2,0)(0,2]-B ．(1,0)(0,2]-C ．[2,2]-D ．(1,2]-7 ．（2012年高考（江西文））如右图,OA=2(单位:m),OB=1(单位:m),OA 与OB 的夹角为6π,以A 为圆心,AB 为半径作圆弧 BD C 与线段OA 延长线交与点 C ．甲.乙两质点同时从点O 出发,甲先以速度1(单位:ms)沿线段OB 行至点B,再以速度3(单位:ms)沿圆弧 BD C 行至点C 后停止,乙以速率2(单位:m/s)沿线段OA 行至A 点后停止.设t 时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0),则函数y=S(t)的图像大致是8 ．（2012年高考（江西文））已知2()sin ()4f x x π=+若a =f (lg5),1(lg)5b f =则 （ ）A ．a+b=0B ．a-b=0C ．a+b=1D ．a-b=19 ．（2012年高考（江西文））设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则((3))f f =（ ）A ．15B ．3C ．23D ．13910．（2012年高考（湖南文））设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数,()f x '是()f x 的导函数,当[]0,x π∈时,0()1f x <<;当(0,)x π∈且2x π≠时 ,()()02x f x π'->,则函数()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为 （ ）A ．2B ．4C ．5D ．811．（2012年高考（湖北文））已知定义在区间(0,2)上的函数()y f x =的图像如图所示,则(2)y f x =--的图像为12．（2012年高考（湖北文））函数()cos 2f x x x =在区间[0,2]π上的零点个数为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．513．（2012年高考（广东文））(函数)下列函数为偶函数的是（ ）A ．sin y x =B ．3y x =C ．x y e =D．lny =14．（2012年高考（福建文））设1,()0,1,f x ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩0(0)(0)x x x >=<,1,()0,g x ⎧⎪=⎨⎪⎩()(x x 为有理数为无理数),则(())f g π的值为 （ ）A ．1B ．0C ．1-D ．π15．（2012年高考（大纲文））函数1)y x =≥-的反函数为（ ） A ．21(0)y x x =-≥ B ．21(1)y x x =-≥C ．21(0)y x x =+≥D ．21(1)y x x =+≥16．（2012年高考（北京文））函数121()()2xf x x =-的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．317．（2012年高考（安徽文））23log 9log 4⨯=（ ）A ．14B ．12C ．2D ．418．（2012年高考（安徽文））设集合{3213}A x x =-≤-≤,集合B 是函数lg(1)y x =-的定义域;则A B = （ ）A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[,)12D ．(,]12二、填空题19．（2012年高考（重庆文））函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数,则实数a =________ 20．（2012年高考（浙江文））设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则3f 2（）=_______________.21．（2012年高考（天津文））已知函数211x y x -=-的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点,则实数k 的取值范围是________.22．（2012年高考（四川文））函数()f x =____________.(用区间表示)23．（2012年高考（上海文））已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .,则=-)1(g _______ .24．（2012年高考（上海文））方程03241=--+x x的解是_________.25．（2012年高考（陕西文））设函数发0,()1(),0,2x x f x x ìï³ïï=íï<ïïïî,则((4))f f -=_____26．（2012年高考（山东文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数,则a =____.27．（2012年高考（课标文））设函数()f x =(x +1)2+sin xx 2+1的最大值为M,最小值为m ,则M+m =____28．（2012年高考（广东文））(函数)函数y x=__________.29．（2012年高考（福建文））已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立,则实数a的取值范围是_________.30．（2012年高考（北京文））已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22xg x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <,则m 的取值范围是________. 31．（2012年高考（北京文））已知函数()l g f x x =,若()1f ab =,则22()()f a f b +=_________.32．（2012年高考（安徽文））若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞,则_____a = 三、解答题33．（2012年高考（上海文））已知函数)1lg()(+=x x f .(1)若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.34．（2012年高考（福建文））某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据: 单阶x (元) 8 8.28.48.6 8.89 销量y (件)9084 83 80 7568(I)求回归直线方程ˆybx a =+,其中ˆ20,b a y b x =-=-; (II)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)35．（2012年高考（北京文））设A 是如下形式的2行3列的数表,满足:性质P:,,,,,[1,1]a b c d e f ∈-,且0++++=a b c d e f +.记()i r A 为A 的第i 行各数之和1,2=i （）,()j c A 为A 的第j 列各数之和1,2,3=j （）; 记()k A 为1|()|r A ,2|()|r A ,1|()|c A ,2|()|c A ,3|()|c A 中的最小值.(1)对如下数表A,求()k A 的值;1 1 -0.80.1-0.3-1(2)设数表A形如1 1 -1-2d-1其中0≤≤.求()-1dk A的最大值;(3)对所以满足性质P的2行3列的数表A,求()k A的最大值.2012年高考文科数学解析分类汇编：函数参考答案一、选择题 1. 【答案】:D【解析】:由(())0f g x >得2()4()30g x g x -+>则()1g x <或()3g x >即321x -<或323x ->所以1x <或3log 5x >;由()2g x <得322x -<即34x <所以3l o g 4x <故(,1)M N =-∞【考点定位】本题考查了利用直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式的解法.本题以函数为载体,考查复合函数,关键是函数解析式的确定.2. 【解析】函数x y 2log=为偶函数,且当0>x 时,函数x x y 22loglog==为增函数,所以在)2,1(上也为增函数,选B.3. [答案]C[解析]采用特殊值验证法. 函数(0,1)x y a a a a =->≠恒过(1,0),只有C 选项符合. [点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用.4. 解析:运用排除法,奇函数有1y x=和||y x x =,又是增函数的只有选项D 正确.5. 解析:函数xxx x f --=226cos )(,)(226cos )(x f x x f xx-=-=--为奇函数,当0→x ,且0>x 时+∞→)(x f ;当0→x ,且0<x 时-∞→)(x f ;当+∞→x ,+∞→--x x 22,0)(→x f ;当-∞→x ,-∞→--xx 22,0)(→x f .答案应选D.6. 解析:要使函数)(x f 有意义只需⎩⎨⎧≥-≠+040)1ln(2x x ,即⎩⎨⎧≤≤-≠->220,1x x x ,解得21≤<-x ,且0≠x .答案应选B.7. 【答案】A8. 【答案】C【解析】本题可采用降幂处理,则21cos(2lg 5)1sin(2lg 5)2(lg 5)sin (lg 5)422a f ππ-++==+==211cos(2lg )111sin(2lg 5)52(lg)sin (lg)55422b f ππ-+-==+==,则可得1a b +=.【考点定位】本题主要考查函数的概念,三角函数的恒等变化及对数,属综合应用题.9. 【答案】D【解析】考查分段函数,22213((3))()()1339f f f ==+=.10. 【答案】B【解析】由当x∈(0,π) 且x≠2π时 ,()()02x f x π'->,知0,()0,()2x f x f x π⎡⎫'∈<⎪⎢⎣⎭时,为减函数；()0,()2x f x f x ππ⎛⎤'∈> ⎥⎝⎦，时,为增函数 又[]0,x π∈时,0<f (x )<1,在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数,在同一坐标系中作出sin y x =和()y f x =草图像如下,由图知y=f(x)-sinx 在[-2π,2π] 上的零点个数为4个.【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.11. B 【解析】特殊值法:当2x =时,()()()22200y fx f f =--=--=-=,故可排除D项;当1x =时,()()()22111y f x f f =--=--=-=-,故可排除A,C 项;所以由排除法知选B.【点评】本题考查函数的图象的识别.有些函数图象题,从完整的性质并不好去判断,作为徐总你则提,可以利用特殊值法(特殊点),特性法(奇偶性,单调性,最值)结合排除法求解,既可以节约考试时间,又事半功倍.来年需注意含有xe 的指数型函数或含有ln x的对数型函数的图象的识别.12. D 【解析】由()c o s 20==f x x x ,得0=x 或cos 20=x ;其中,由cos 20=x ,得()22x k k ππ=+∈Z ,故()24k x k ππ=+∈Z .又因为[]0,2x ∈π,所以π3π5π7π,,,4444x =.所以零点的个数为145+=个.故选D.【点评】本题考查函数的零点,分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法.对于三角函数的零点问题,一般需要规定自变量的取值范围;否则,如果定义域是R ,则零点将会有无数个;来年需注意数形结合法求解函数的零点个数,所在的区间等问题.13.解析:D.()()ln lnf x f x -===.14. 【答案】B【解析】因为()0g π= 所以(())(0)0f g f π==. B 正确【考点定位】该题主要考查函数的概念,定义域和值域,考查求值计算能力.15.答案A【命题意图】本试题主要考查了反函数的求解,利用原函数反解x ,再互换,x y 得到结论,同时也考查了函数值域的求法.【解析】由2211y x y x y =+=⇒=-,而1x ≥-,故0y ≥互换,x y 得到21(0)y x x =-≥,故选答案A16. 【答案】B【解析】函数121()()2xf x x =-的零点,即令()0f x =,根据此题可得121()2xx =,在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像,可得交点只有一个,所以零点只有一个,故选答案B. 【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题,实质上考查的是函数图像问题,该题涉及到图像幂函数和指数函数.17. 【解析】选D 23lg 9lg 42lg 32lg 2log 9log 44lg 2lg 3lg 2lg 3⨯=⨯=⨯=18. 【解析】选D {3213}[1,2]A x x =-≤-≤=-,(1,)(1,2]B A B =+∞⇒= 二、填空题 19. 【答案】4【解析】由函数()f x 为偶函数得()()f a f a =-即()(4)()(4)a a a a a a +-=-+--4a ⇒=.【考点定位】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切a 都有()()f a f a =-成立.20. 【答案】32【命题意图】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性. 【解析】331113()(2)()()1222222f f f f =-=-==+=.21. 【解析】函数1)1)(1(112-+-=--=x x x x x y ,当1>x 时,11112+=+=--=x x x x y ,当1<x 时,⎩⎨⎧-<+<≤---=+-=--=1,111,11112x x x x x x x y ,综上函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+<≤---≥+=--=1,111,111112x x x x x x x x y ，,做出函数的图象,要使函数y 与kx y =有两个不同的交点,则直线kx y =必须在蓝色或黄色区域内,如图,则此时当直线经过黄色区域时)2,1(B ,k 满足21<<k ,当经过蓝色区域时,k 满足10<<k ,综上实数的取值范围是10<<k 或21<<k .22. [答案](21-，∞)[解析]由分母部分的1-2x>0,得到x∈(21-，∞).[点评]定义域问题属于低档题,只要保证式子有意义即可,相对容易得分.常见考点有:分母不为0;偶次根下的式子大于等于0;对数函数的真数大于0;0的0次方没有意义.23. [解析] )(x f y =是奇函数,则)1()1(f f -=-,44)1()1()1()1(=+-+=-+f f g g ,所以3)1(4)1(=-=-g g .24. [解析] 0322)2(2=-⋅-xx,0)32)(12(=-+xx,32=x,3log 2=x .25.解析:41(4)()162f --==,((4))(16)4f f f -===26.答案:14解析:当1a >时,有214,a a m -==,此时12,2a m ==,此时()g x =,不合题意.若01a <<,则124,a a m -==,故11,416a m ==,检验知符合题意.另解:由函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数可知41,041<>-m m ;当1>a 时()x f x a =在[-1,2]上的最大值为=2a 4,解得2=a ,最小值为211==-a m 不符合题意,舍去;当10<<a 时,()x f x a =在[-1,2]上的最大值为41=-a ,解得41=a ,此时最小值为411612<==a m ,符合题意,故a =41.27. 【命题意图】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题.【解析】()f x =22sin 11x x x +++,设()g x =()1f x -=22sin 1x x x ++,则()g x 是奇函数,∵()f x 最大值为M,最小值为m ,∴()g x 的最大值为M-1,最小值为m -1, ∴110M m -+-=,M m +=2.28.解析:[)()1,00,-+∞ .由100x x +≥⎧⎨≠⎩解得函数的定义域为[)()1,00,-+∞ .29. 【答案】(0,8)【解析】因为 不等式恒成立,所以0∆<,即 2420a a -⋅<,所以08a << 【考点定位】该题主要考查一元二次不等式的解法,解法的三种情况的理解和把握是根本.30. 【答案】(4,0)-【解析】首先看()22xg x =-没有参数,从()22x g x =-入手,显然1x <时,()0g x <,1x ≥时,()0g x ≥,而对,()0x R f x ∀∈<或()0g x <成立即可,故只要1x ∀≥时,()0f x <(*)恒成立即可.当0m =时,()0f x =,不符合(*),所以舍去;当0m >时,由()(2)(3)0f x m x m x m =-++<得32m x m --<<,并不对1x ∀≥成立,舍去;当0m <时,由()(2)(3)0f x m x m x m =-++<,注意20,1m x ->≥,故20x m ->,所以30x m ++>,即(3)m x >-+,又1x ≥,故(3)(,4]x -+∈-∞-,所以4m >-,又0m <,故(4,0)m ∈-,综上,m 的取值范围是(4,0)-.【考点定位】 本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小,涉及到指数函数,还涉及到简易逻辑中的“或”,还考查了分类讨论的思想,对m 进行讨论.31. 【答案】2【解析】()lg ,()1f x x f ab == ,lg()1ab ∴=2222()()lg lg 2lg()2f a f b a b ab ∴+=+==【考点定位】本小题考查的是对数函数,要求学生会利用对数的运算公式进行化简,同时也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉.32. 【解析】6- 由对称性:362a a -=⇔=-三、解答题33. [解](1)由⎩⎨⎧>+>-01022x x ,得11<<-x .由1lg)1lg()22lg(0122<=+--<+-x xx x 得101122<<+-x x 因为01>+x ,所以1010221+<-<+x x x ,3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x(2)当x ∈[1,2]时,2-x ∈[0,1],因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为y x 103-=,所以所求反函数是x y 103-=,]2lg ,0[∈x34. 【考点定点】本题主要考查回归分析,一元一次函数等基础知识,考查运算能力、应用意识、转化与化归思想、特殊与一般思想. 解:(1)1234561()8.56x x x x x x x =+++++=1234561()806y y y y y y y =+++++=80208.5250a y b x ∴=-=-⨯=,回归直线方程为:ˆ20250yx =-+ (2)设工厂获利润为L 元,依题意:22(20250)4(20250)2033010003320()361.254L x x x x x x =-+-+-+=-+-=--+当单价定为8.25x =时,工厂获利最大.35. 【考点定位】此题作为压轴题难度较大,考查学生分析问题解决问题的能力,考查学生严谨的逻辑思维能力.(1)因为1()r A =1.2,2() 1.2r A =-,1() 1.1c A =,2()0.7c A =,3() 1.8c A =-,所以()0.7k A = (2)1()12r A d =-,2()12r A d =-+,12()()1c A c A d ==+,3()22c A d =--.因为10d -≤≤,所以1|()|r A =2|()|r A 0d ≥≥,3|()|c A 0d ≥≥.所以()11k A d =+≤. 当0d =时,()k A 取得最大值1.(3)任给满足性质P 的数表A (如图所示)a bc def任意改变A 的行次序或列次序,或把A 中的每个数换成它的相反数,所得数表*A 仍满足性质P ,并且*()()k A k A =,因此,不妨设112()0,()0,()0r A c A c A ≥≥≥,由()k A 的定义知,112()(),()(),()()k A r A k A c A k A c A ≤≤≤,从而1123()()()()()kA rAcA c A abc ≤++=+++++ ()()3a b c d e f a b f a b f =+++++++-=+-≤因此()1k A ≤,由(2)知,存在满足性质P 的数表A ,使()1k A =,故()k A 的最大值为1.。
2012年全国高考文科数学试题及答案-新课标
绝密*启用前2012年全国各地高考数学试题汇编汇总(新课标卷)文科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0},B ＝{x |－1<x <1},则(A)A ⊂≠B (B)B ⊂≠A (C)A ＝B (D)A ∩B ＝∅ (2)复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是(A)2+i (B)2－i (C)－1+i (D)－1－i 3、在一组样本数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )(n ≥2,x 1,x 2,…,x n 不全相等)的散点图中,若所有样本点(x i ,y i )(i ＝1,2,…,n )都在直线y ＝12x +1上,则这组样本数据的样本相关系数为(A)－1 (B)0 (C)12 (D)1(4)设F 1、F 2是椭圆E:x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线x ＝3a2上一点,△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为( ) (A)12 (B)23 (C)34 (D)455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内部,则z ＝－x+y 的取值范围是(A)(1－3,2) (B)(0,2) (C)(3－1,2) (D)(0,1+3)(6)如果执行右边的程序框图,输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ,输出A,B,则 (A)A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和(B)A ＋B2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数(C)A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数 (D)A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数(7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(A)6(B)9(C)12(D)18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为(A)6π (B)43π (C)46π (D)63π(9)已知ω>0,0<φ<π,直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴,则φ＝ (A)π4 (B)π3 (C)π2 (D)3π4(10)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A,B 两点,|AB|＝43,则C 的实轴长为(A) 2 (B)2 2 (C)4 (D)8(11)当0<x ≤12时,4x <log a x ,则a 的取值范围是(A)(0,22) (B)(22,1) (C)(1,2) (D)(2,2)(12)数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1,则{a n }的前60项和为 (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年高考数学试题分类汇编第二部分基本初等函数
第二部分 基本初等函数(2012年安徽卷理)（2）下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（ ）()A ()f x x = ()B ()f x x x =- ()C ()f x x =+1 ()D ()f x x =-【解析】选C()f x kx =与()f x k x =均满足：(2)2()f x f x =得：,,A B D 满足条件（2012年上海卷文）6、方程14230x x +--=的解是（2012年上海卷文）9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -=（2012年天津卷理）（4）函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （A ）0 （Ｂ）1 （Ｃ）2 （Ｄ）34．B【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.，即(0)(1)<0f f ⋅且函数()f x B 正确.． 1()2xy =1. (2012年福建卷理设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D ,0,1)(，则下列结论错误的是（ ）A ．)(x D 的值域为}1,0{B ．)(x D 是偶函数C ．)(xD 不是周期函数 D ．)(x D 不是单调函数 (2012年安徽文) （3）（2l o g 9）·（3log 4）=（A ）14（B ）12（C ） 2 （D ） 4 【解析】选D23lg 9lg 42lg 32lg 2log 9log 44lg 2lg 3lg 2lg 3⨯=⨯=⨯=(2012年安徽文)(13)若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是),3[+∞，则a =________. 【解析】_____a =6- 由对称性：362a a -=⇔=-（2012年山东卷理） 3 设a ＞0 a ≠1 ，则“函数f(x)= a x在R 上是减函数 ”，是“函数g(x)=(2-a) 3x 在R 上是增函数”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件解析：p ：“函数f(x)= a x在R 上是减函数 ”等价于10<<a ；q ：“函数g(x)=(2-a) 3x 在R上是增函数”等价于02>-a ，即,20<<a 且a ≠1，故p 是q 成立的充分不必要条件. 答案选A 。
2012年高考试题分项解析数学(文科)——专题05三角函数(教师版)
2012年高考试题分项解析数学（文科）专题05 三角函数(教师版)一、选择题:1.(2012年高考山东卷文科5)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是 (A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真2.(2012年高考山东卷文科8)函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2- (B)0 (C)－1 (D)1-3.（2012年高考辽宁卷文科6）已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α=(A) -1 (B) (C) (D) 1 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-故选A【考点定位】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题.4. (2012年高考广东卷文科6)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝AC ＝A. B. C.D.5. （2012年高考新课标全国卷文科9）已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ= （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π46. (2012年高考浙江卷文科6)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】由题意，y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即解析式为y=cosx+1，向左平移一个单位为y=cos （x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos （x-1)，利用特殊点,02π⎛⎫⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，选A. 【考点定位】本题主要考查了三角函数中图像的性质，具体考查了在x 轴上的伸缩变换，在x 轴、y 轴上的平移变化，利用特殊点法判断图像的而变换。
2012年数学文科高考题分类专题三 三角函数、解三角形
专题三 三角函数、解三角形1.(2012·高考广东卷)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3C. 3D.322.(2012·高考浙江卷)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )3.(2012·高考安徽卷)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位4.(2012·高考湖南卷)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋3945.(2012·高考江西卷)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.436.(2012·高考江西卷)已知f (x )＝sin 2(x ＋π4)，若a ＝f (lg 5)，b ＝f (lg 15)，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1 7.(2012·高考湖北卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶48.(2012·高考重庆卷)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.329.(2012·高考江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．10.(2012·高考课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A .(Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .11.(2012·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝2，cos A ＝－24.(Ⅰ)求sin C 和b 的值；(Ⅱ)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3的值．12.(2012·高考广东卷)已知函数f (x )＝A cos ⎝⎛x4⎭⎫＋π6，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝ 2. (1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝－3017， f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．13.(2012·高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．14.(2012·高考湖南卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示．(Ⅰ)求函数f (x )的解析式；(Ⅱ)求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．15.(2012·高考辽宁卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列．(Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．16.(2012·高考重庆卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2. (Ⅰ)求f (x )的解析式；(Ⅱ)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f （x ＋π6）的值域．专题三 三角函数、解三角形1.B 根据正弦定理，BC sin A ＝ACsin B ，则AC ＝BC ·sin B sin A ＝32×2232＝2 3.2.A y ＝cos2x ＋1⇒y ＝cos x ＋1⇒y ＝cos(x ＋1)＋1 ⇒y ＝cos x ＋1，故选A.3.C y ＝cos2x 向左平移12个单位得y ＝cos(2x ＋1)或y ＝cos(2x ＋1)＝cos2(x ＋12)．4.B由余弦定理得12＝4＋AB 2－72×2AB，解得AB ＝3，∴BC 边上的高h ＝AB ·sin60°＝332.5.B 由已知：2sin α＋2cos α＝sin α－cos α. ∴sin α＝－3cos α.tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2sin αcos α1－sin 2αcos 2α＝2×（－3）1－9＝34.6.C f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π42＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x 2＝1＋sin 2x 2.∴f (lg 5)＋f ⎝⎛⎫lg 15 ＝12[1＋sin(2lg 5)]＋12[1＋sin(－2lg 5)]＝1. 7.D 由题意知c ＝b －1，a ＝b ＋1.由3b ＝20a ·cos A ，得3b ＝20a ·b 2＋c 2－a 22bc，化简得7b 2－27b －40＝0， 解得b ＝5，则a ＝6，c ＝4.8.C 原式＝sin （30°＋17°）－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝12.9.17250 根据cos(α＋π6)＝45， cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝2×1625－1＝725，因为cos(2α＋π3)>0，所以sin(2α＋π3)＝1－（725）2＝2425，因为sin(2α＋π12)＝sin[(2α＋π3)－π4]＝sin(2α＋π3)cos π4－cos(2α＋π3)sin π4＝17250.10.解：(Ⅰ)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理得 3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(Ⅱ)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.11.解：(Ⅰ)在△ABC 中，由cos A ＝－24，可得sin A ＝144.又由a sin A ＝c sin C 及a ＝2，c ＝2，可得sin C ＝74.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋b －2＝0， 因为b >0，故解得b ＝1.所以sin C ＝74，b ＝1.(Ⅱ)由cos A ＝－24，sin A ＝144，得cos2A ＝2cos 2A －1＝－34，sin2A ＝2sin A cos A ＝－74.所以cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝cos2A cos π3－sin2A sin π3＝－3＋218.12.解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝A cos ⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，解得A ＝2.(2)f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝2 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝2 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2 ＝－2 sin α＝－3017，即sin α＝1517，f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝2 cos ⎝⎛⎭⎫β－π6＋π6＝2 cos β＝85， 即cos β＝45.因为α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos α＝1－sin 2α＝817，sin β＝1－cos 2β＝35，所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.13.解：(Ⅰ)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝ bsin B，得sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(Ⅱ)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.14.解：(Ⅰ)由题设图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT ＝2. 因为点⎝⎛⎭⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0.又因为0＜φ＜π2，所以5π6＜5π6＋φ＜4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0，1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(Ⅱ)g (x )＝2sin[2(x －π12)＋π6]－2sin[2(x ＋π12)＋π6]＝2sin2x －2sin(2x ＋π3)＝2sin2x －2 (12sin2x ＋32cos2x )＝sin2x －3cos2x＝2sin(2x －π3)．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .15.解：(Ⅰ)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，所以cos B ＝12.(Ⅱ)法一：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ，所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.法二：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－ac 2ac ，解得a ＝c ，所以B ＝A ＝C ＝60°，故sin A sin C ＝34.16.解：(Ⅰ)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因为f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2.从而sin(2×π6＋φ)＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又由－π<φ≤π得φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(Ⅱ)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin （2x ＋π2）＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos2x＝（2cos 2x －1）（3cos 2x ＋2）2（2cos 2x －1）＝32cos2x＋1(cos2x≠12)．因cos2x∈[0，1]，且cos2x≠12，故g(x)的值域为[1，74)∪(74，52]．。
2012年高考数学分类汇编：函数的应用
2012 年高考数学分类汇编函数的应用一、选择题11)x的零点个数为1．（ 2012 年高考（北京文））函数f ( x)x2(（）2A．0B． 1C． 2D． 32 ．（ 2012 年高考（天津理））函数f (x)=2x+x3 2 在区间(0,1)内的零点个数是（）A．0B． 1C． 2D． 33 ．（ 2012 年高考（江西文））如右图,OA=2(单位:m),OB=1(单位:m),OA与OB的夹角为, 以 A6为圆心 ,AB 为半径作圆弧BDC与线段 OA延伸线交与点C．甲 . 乙两质点同时从点 O 出发 , 甲先以速度 1( 单位 :ms) 沿线段 OB行至点 B, 再以速度 3( 单位 :ms) 沿圆弧BDC行至点 C 后停止 , 乙以速率 2( 单位 :m/s) 沿线段 OA行至 A 点后停止 . 设 t 时辰甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0),则函数y=S(t) 的图像大概是4．（ 2012 年高考（湖南文））设定义在R 上的函数 f (x) 是最小正周期为 2的偶函数, f ( x)是f ( x)的导函数,当x0,时,0 f (x)1;当x(0,)且x2时,( x)f( x)0,则函数y f ( x)sin x 在 [2,2] 上的零点个数为（）2A．2B． 4C． 5D． 85．（ 2012 年高考（湖北文））函数 f ( x)x cos 2x 在区间[0, 2] 上的零点个数为（）A．2B． 3C． 4D． 56．（ 2012年高考（辽宁理））设函数f(x)( x R) 知足f(x )=f(x),f(x)=f(2x),且当x[0,1]时 ,f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos(x)|,则函数h (x)=g(x)-f(x)在 [1 , 3] 上的零点个数2 2为（）A．5B． 6C． 7D． 87．（ 2012 年高考（湖北理））函数f (x)xcos x2在区间 [0,4]上的零点个数为（）A．4B． 5C． 6D． 7二、解答题8．（ 2012 年高考（上海春））本题共有2 个小题 , 第 1 小题满分7 分 , 第 2 小题满分7 分.某环线地铁按内、外环线同时运转, 内、外环线的长均为30 千米(忽视内、外环线长度差异).(1) 当9列列车同时在内环线上运转时, 要使内环线乘客最长候车时间为10 分钟,求内环线列车的最小均匀速度;(2) 新调整的方案要求内环线列车均匀速度为25 千米/小时,外环线列车均匀速度为30千米 / 小时 . 现内、外环线共有18列列车所有投入运转 , 要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超出 1 分钟,问:内、外环线应名投入几列列车运转?9．（ 2012 年高考（江苏））如图,成立平面直角坐标系xoy,x轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1千米 . 某炮位于坐标原点 . 已知炮弹发射后的轨迹在方程y kx1(1k2 )x 2 ( k 0) 表示的曲线上,此中k与发射方向相关.炮的射程是指炮弹落20地址的横坐标.(1)求炮的最大射程 ;(2)设在第一象限有一飞翔物 ( 忽视其大小 ), 其飞翔高度为 3.2 千米 , 试问它的横坐标a不超出多少时 ,炮弹能够击中它?请说明原因 .10．（ 2012 年高考（湖南理））某公司接到生产3000 台某产品的A,B,C 三种零件的订单, 每台产品需要这三种零件的数目分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每日可生产 A 零件或 B 零件 3 件, 或 C 零件 2 件. 该公司计划安排200 名工人分红三组分别生产这三种零件生产 B 零件的人数与生产 A 零件的人数成正比, 比率系数为k(k 为正整数 ).6 件,,(1)设生产 A零件的人数为 x, 分别写出达成 A,B,C 三种零件生产需要的时间 ;(2) 假定这三种零件的生产同时动工, 试确立正整数k 的值 , 使达成订单任务的时间最短,并给出时间最短时详细的人数分组方案.参照答案一、选择题1.【答案】 B11(1) x,在平面【分析】函数 f ( x) x 2( 1)x的零点,即令 f (x) 0 ,依据本题可得 x 222直角坐标系中分别画出这两个函数的图像, 可得交点只有一个 , 因此零点只有一个, 应选答案 B.【考点定位】本小题表面上观察的是零点问题, 实质上观察的是函数图像问题, 该题波及到图像幂函数和指数函数 .2.【答案】 B, 函数的零点的观点 , 零点存在【命题企图】本试题主要观察了函数与方程思想4定理以及作图与用图的数学能力.【分析】解法 1: 因为f (0)=1+02=1, f (1)=2+232=8,即f (0) f (1)<0且函数 f (x) 在 (0,1) 内连续不停,故 f (x) 在 (0,1) 内的零点个数是 1.解法 2: 设y1=2x , y2=2x3, 在同一坐标系中作出两函数的图像以下图: 可知B正确.3.【答案】 A4.【答案】 B【分析】由当 x∈(0, π )且 x≠时 ,( x) f (x)0 , 知2222 4 6 8x0,时,为减函数；，时,f(x) 0,f(x)为增函数2 f ( x) 0, f ( x)x2又 x0,时 ,0<f(x)<1,在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为2π的偶函数 , 在同一坐标系中作出 y sin x 和 y f ( x) 草图像以下,由图知y=f(x)-sinx在[-2π ,2 π ] 上的零点个数为 4 个.y1y f ( x)2o2xy sin x 1【评论】本题观察函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.5. D 【分析】由f (x ), 得x 0 或cos2 x 0 ;此中,由 cos 2x 0 , 得x c o sx202x kkZ , 故kk Z. 又 因 为 x 0,2 π ,所 以x422xπ 3π 5π 7π1 4 5个.应选 D., , ,. 因此零点的个数为4 4 4 4【评论】本题观察函数的零点 , 分类议论的数学思想. 判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法 . 对于三角函数的零点问题, 一般需要规定自变量的取值范围 ;不然,假如定义域是 R , 则零点将会有无数个; 来年需注意数形联合法求解函数的零点个数, 所在的区间等问题 .6. 【答案】 B【 解 析 】 因 为 当x [ 0 时,f(x)=x3.所 以 当x [1,2]时， (2 -x) [0,1] ,f(x)=f(2x)=(2 x) 3,当 x[0, 1] 时 ,g(x)=xcos ( x) ; 当 x[1 ,3] 时 ,g(x)=xcos ( x) , 注意到函数 f(x) 、22 2g(x) 都是偶函数 , 且 f(0)= g(0), f(1)= g(1),g( 1)g( 3) 0 , 作出函数 f(x) 、 g(x)22的大概图象 , 函数 h(x) 除了 0、1 这两个零点以外 , 分别在区间 [1,0]、[0, 1]、[1 ,1 ]、[1, 3]2222上各有一个零点 , 共有 6 个零点 , 应选 B【评论】本题主要观察函数的奇偶性、对称性、函数的零点, 观察转变能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类议论思想、数形联合思想, 难度较大 .7. 考点剖析 : 本题观察三角函数的周期性以及零点的观点.分析 : f ( x) 0 , 则 x 0 或 cos x 20 , x 2k, k Z , 又 x 0,4 , k0,1,2,3,42因此共有 6个解.选 C.二、解答题8. 解 :(1) 设内环线列车运转的均匀速度为v 千米 / 小时 , 由题意可知 ,3060 10v 209v因此 , 要使内环线乘客最长候车时间为10 分钟 , 列车的最小均匀速度是 20 千米/ 小时.(2) 设内环线投入 x 列列车运转 , 则外环线投入 (18 x) 列列车运转 , 内、外环线乘客最长候车时间分别为 t 1,t 2 分钟 , 则 t 130 6072, t 2 30 606025x x30(18 x)18 x于是有| t 1 t 2 | |7260 | 1 x 2 150x 1296 0150 17316 x114 18180x18 xx2114x 1296 022又x N * , 因此 x10 , 因此当内环线投入 10 列 , 外环线投入 8 列列车运转 , 内、外环线乘客最长候车时间之差不超出1分钟.9. 【答案】解:(1)在y kx1(1k 2 ) x2 (k 0)中 , 令y0 ,得 kx1(1k 2 ) x2 =0 .2020由实质意义和题设条件知 x >0， k > 0.∴20k2020, 当且仅当 k =1 时取等号 . x=1 k 2=12=10kk∴炮的最大射程是 10 千米.(2) ∵ a > 0 , ∴炮弹能够击中目标等价于存在k 0 , 使ka 1k22(1)a =3.2 成立,即对于 k 的方程a2k2 a 22020ak64=0 有正根.由 =24a2a2640得 a 6 . 20a20a20a2 a 264此时 ,4a 2k =2a 2> 0 (不考虑另一根).∴当 a 不超出 6 千米时 , 炮弹能够击中目标 .【考点】函数、方程和基本不等式的应用.【分析】 (1) 求炮的最大射程即求y1220) 与 x 轴的横坐标,求出后应用kx(1 k ) x (k20基本不等式求解.(2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值, 由一元二次方程根的鉴别式求解.10.【分析】解:( Ⅰ) 设达成A,B,C 三种零件的生产任务需要的时间( 单位 : 天 ) 分别为T1 ( x),T2 ( x),T3 ( x), 由题设有2300010002000(x)1500T1 ( x)6x,T2 ( x),T3, x kx200(1 k) x期中 x, kx,200(1 k ) x 均为1到200之间的正整数.( Ⅱ) 达成订单任务的时间为 f ( x)max T1 (x), T2 (x),T3 ( x) , 其定义域为x 0x200 , x N. 易知, T ( x), T(x) 为减函数, T ( x) 为增函数.注意到1 k123T2 ( x)2T1( x), 于是k(1) 当k2时,T1 (x)T2 ( x), 此时f ( x)max T1( x),T3 ( x)max1000,1500,x200 3x10001500时 f ( x) 获得最小值,解得由函数 T (x), T ( x) 的单一性知,当13x200 3xx400. 因为94440045,而 f (44) T 1 (44)250, f (45) T 3 (45)300, f (44)f (45) .91113 故当 x44 时达成订单任务的时间最短 , 且最短时间为250.f (44)11(2) 当k 2时 , T 1 ( x) T 2 ( x),由 于 k 为正整数,故 k3, 此 时T ( x)375 (x)max T 1 (x),T ( x) 易知 T ( x) 为增函数 , 则50 ,xf ( x) max T 1 ( x), T 3 ( x) max T 1( x),T ( x)( x)max 1000 , 375.x 50 x由函数 T 1 ( x), T ( x) 的单一性知 , 当 1000375 时( x) 获得最小值 , 解得 x400 . 由x50 x11于 36400 37, 而 (36) T 1 (36)250 250 , (37) T (37) 375250 ,119 111311此时达成订单任务的最短时间大于250 .11(3) 当k 2时 , T 1 ( x) T 2 ( x),由 于 k 为正整数, 故 k 1, 此 时f ( x) max T 2 ( x), T 3 ( x) max 2000 750.由函数 T 2 ( x),T 3 ( x) 的单一性知 ,x ,x100当 2000750 时 f ( x) 获得最小值 , 解得 x 800 . 近似 (1) 的议论 . 此时x 100 x 250 大于 250 11达成订单任务的最短时间为 , .综上所述 , 当 k 2 9 11时达成订单任务的时间最短 , 此时生产 A,B,C 三种零件的人数分别为 44,88,68.【评论】本题为函数的应用题 , 观察分段函数、函数单一性、最值等, 观察运算能力及用数学知识剖析解决实质应用问题的能力. 第一问成立函数模型; 第二问利用单一性与最值来解决 , 表现分类议论思想 .。
2012年高考试题文科数学分类汇编：导数
2012年高考试题分类汇编：导数1.【2012高考重庆文8】设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是【答案】C2.【2012高考浙江文10】设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数A. 若ea+2a=eb+3b，则a＞bB. 若ea+2a=eb+3b，则a＜bC. 若ea-2a=eb-3b，则a＞bD. 若ea-2a=eb-3b，则a＜b【答案】A3.【2012高考陕西文9】设函数f（x）=+lnx 则（）A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点【答案】D.4.【2012高考辽宁文8】函数y=x2㏑x的单调递减区间为（A）（1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞）（D）（0，+∞）【答案】B5.【2102高考福建文12】已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f （3）＜0.其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】C．6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(A) 1 (B) 3 (C)4 (D)8【答案】C7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________【答案】8.【2012高考上海文13】已知函数的图像是折线段，其中、、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为【答案】。
9【2102高考北京文18】（本小题共13分）已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。
若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。
2012年高考文科数学解析分类汇编：三角函数(逐题详解)
2012年高考文科数学解析分类汇编：三角函数一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））sin47sin17cos30cos17-（）A．2-B．12-C．12D．22 ．（2012年高考（浙江文））把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是3 ．（2012年高考（天津文））将函数()sin(0)f x xωω=>的图像向右平移4π个单位长度,所得图像经过点3(,0)4π,则ω的最小值是（）A．13B．1 C．53D．24 ．（2012年高考（四川文））如图,正方形A B C D的边长为1,延长B A至E,使1A E=,连接E C、E D则sin C ED∠=（）A．10B．10C10D5 ．（2012年高考（上海文））在ABC∆中,若BA22sinsin+形状是（）A．钝角三角形. B．直角三角形. C．锐角三角形. D．不能确定.6 ．（2012年高考（陕西文））设向量a=(1.cosθ)与b=(-1, 2cosθ)垂直,则cos2θ等于A2B12C．0 D．-17 ．（2012年高考（山东文））函数2sin(09)63xy xππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为（）A ．2-B ．0C ．-1D ．1--8 ．（2012年高考（辽宁文））已知s in c o s αα-=,α∈(0,π),则sin 2α=（ ）A ．-1B ．2-C ．2D ．19 ．（2012年高考（课标文））已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴,则ϕ=（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π410．（2012年高考（江西文））若sin cos 1sin cos 2αααα+=-,则tan2α=（ ） A ．-34B ．34C ．-43D ．4311．（2012年高考（湖南文））在△ABC 中,BC=2,B =60°,则BC 边上的高等于 （ ）A ．2B ．2C 2D ．412．（2012年高考（湖北文））设A B C ∆的内角,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A B C >>,320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为 （ ） A ．4∶3∶2 B ．5∶6∶7 C ．5∶4∶3 D ．6∶5∶4 13．（2012年高考（广东文））(解三角形)在ABC∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC=（ ）A ．B ．CD ．214．（2012年高考（福建文））函数()s i n ()4f x x π=-的图像的一条对称轴是（ ）A ．4x π=B ．2x π=C ．4x π=-D ．2x π=-15．（2012年高考（大纲文））已知α为第二象限角,3sin 5α=,则sin 2α=（ ）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．242516．（2012年高考（大纲文））若函数[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数,则ϕ=（ ）A ．2πB ．23π C ．32π D ．53π17．（2012年高考（安徽文））要得到函数c o s (21)y x =+的图象,只要将函数c o s 2y x =的图象（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位二、填空题 18．（2012年高考（重庆文））设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、,且1cos 4a b C ==1，=2，,则sin B =____19．（2012年高考（陕西文））在三角形ABC 中,角A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=6π则b=______20．（2012年高考（福建文））在A B C ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=则A C =_______.21．（2012年高考（大纲文））当函数s i n c o s (02)y x x x π=≤<取最大值时,x =____.22．（2012年高考（北京文））在△ABC 中,若3a =,b =3A π∠=,则C ∠的大小为___________. 三、解答题 23．（2012年高考（重庆文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)设函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,0,A ωπϕπ>>-<< )在6x π=处取得最大值2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为2π(I)求()f x 的解析式; (II)求函数426cos sin 1()()6x x g x f x π--=+的值域.24．（2012年高考（浙江文））在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且(1)求角B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.25．（2012年高考（天津文））在A B C∆中,内角,,A B C所对的分别是,,a b c.已知2,cos4a c A===-.(I)求sin C和b的值; (II)求cos(2)3Aπ+的值.26．（2012年高考（四川文））已知函数21()cos sin cos2222x x xf x=--.(Ⅰ)求函数()f x的最小正周期和值域;(Ⅱ)若()10fα=求sin2α的值.27．（2012年高考（上海文））海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处,如图.24912xy=援船出发t小时后,失事船所在位置的横坐标为t7.(1)当5.0=t时,写出失事船所在位置P的纵坐标.两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?28．（2012年高考（陕西文））函数()sin()16f x A xπω=-+(0,0Aω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π,(1)求函数()f x的解析式;(2)设(0,)2πα∈,则()22fα=,求α的值.29．（2012年高考（山东文））(本小题满分12分)在△ABC中,内角,,A B C所对的边分别为,,a b c,已知s i n(t a n t a nB A CA C+=.(Ⅰ)求证:,,a b c 成等比数列; (Ⅱ)若1,2a c ==,求△ABC 的面积S .30．（2012年高考（辽宁文））在A B C ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C成等差数列. (Ⅰ)求cos B 的值;(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值.31．（2012年高考（课标文））已知a ,b ,c 分别为A B C ∆三个内角A ,B ,C 的对边,sin sin c C c A =-.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若a =2,A B C ∆,求b ,c . 32．（2012年高考（江西文））△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求cosA;(2)若a=3,△ABC 的面积为,求b,c.33．（2012年高考（湖南文））已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<的部分图像如图5所示.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间.34．（2012年高考（湖北文））设函数22()sin cos cos ()f x x x x x x R ωωωωλ=+-+∈的图像关于直线x π=对称,其中,ωλ为常数,且1(,1)2ω∈(1) 求函数()f x 的最小正周期;(2) 若()y f x =的图像经过点(,0)4π,求函数()f x 的值域.35．（2012年高考（广东文））(三角函数)已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R,且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭(Ⅰ)求A 的值; (Ⅱ)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,4304317f απ⎛⎫+=-⎪⎝⎭,28435f βπ⎛⎫-=⎪⎝⎭,求()cos αβ+的值.36．（2012年高考（福建文））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)2sin 13cos17sin 13cos17︒+︒-︒︒ (2)2sin 15cos15sin 15cos15︒+︒-︒︒ (3)2sin 18cos12sin 18cos12︒+︒-︒︒ (4)2sin (18)cos 48sin(18)cos 48-︒+︒--︒︒ (5)2sin (25)cos 55sin(25)cos 55-︒+︒--︒︒Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.37．（2012年高考（大纲文））A B C ∆中,内角A.B.C 成等差数列,其对边,,a b c 满足223b ac =,求A .38．（2012年高考（北京文））已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递减区间.39．（2012年高考（安徽文））设A B C ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ,且有2s i n c o s s i n c o s c o ss i n B A A C A C =+(Ⅰ)求角A 的大小;(II) 若2b =,1c =,D 为B C 的中点,求A D 的长.2012年高考文科数学解析分类汇编：三角函数参考答案一、选择题1. 【答案】:C【解析】:sin 47sin 17cos 30sin(3017)sin 17cos 30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos 30sin 17sin 17cos 30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====【考点定位】本题考查三角恒等变化,其关键是利用473017=+2. 【答案】A【命题意图】本题主要考查了三角函数中图像的性质,具体考查了在x 轴上的伸缩变换,在x 轴、y 轴上的平移变化,利用特殊点法判断图像的而变换. 【解析】由题意,y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即解析式为y=cosx+1,向左平移一个单位为y=cos(x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos(x-1),利用特殊点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭,选A. 3.【解析】函数向右平移4π得到函数)4s i n ()4(s i n )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ,因为此时函数过点)0,43(π,所以0)443(sin =-ππω,即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω,所以ω的最小值为2,选D.4. [答案]B1010cos 1sin 10103EC ED 2CD-ECEDCED cos 1CD 5CB AB EA EC 2ADAEED 11AE ][22222222=∠-=∠=∙+=∠∴==++==+=∴=CED CED ）（，正方形的边长也为解析[点评]注意恒等式sin 2α+cos 2α=1的使用,需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.5. [解析] 由条件结合正弦定理,得222c b a <+,再由余弦定理,得0cos 2222<=-+abcb a C ,所以C 是钝角,选A.6. 解析:0a b⋅=,212cos 0θ-+=,2cos 22cos 10θθ=-=,故选C.7. 解析:由90≤≤x 可知67363ππππ≤-≤-x ,可知]1,23[)36sin(-∈-ππx ,则2sin [2]63x y ππ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭, 则最大值与最小值之和为2-答案应选A.8. 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=- 故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题.9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质,是中档题.【解析】由题设知,πω=544ππ-,∴ω=1,∴4πϕ+=2k ππ+(k Z ∈),∴ϕ=4k ππ+(k Z ∈),∵0ϕπ<<,∴ϕ=4π,故选A.10. 【答案】B【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以cos α可得tan 3α=-,带入所求式可得结果. 11. 【答案】B【解析】设A B =,在△ABC 中,由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅,即27422cos 60c c =+-⨯⨯⨯ ,2230,(-3)(1)c c c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴= 设BC 边上的高等于h ,由三角形面积公式11sin 22A B C S A B B C B B C h ==,知1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯,解得2h =.【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.12. D 【解析】因为,,a b c 为连续的三个正整数,且>>A B C ,可得a b c >>,所以2,1=+=+a c b c ①;又因为已知320c o s =b a A ,所以3c o s 20b A a=②.由余弦定理可得222c o s 2+-=b c aA bc③,则由②③可得2223202b b c aab c+-=④,联立①④,得2713600--=c c ,解得4=c 或157=-c (舍去),则6=a ,5=b .故由正弦定理可得,sin :sin :sin ::6:5:4==A B C a b c .故应选D.【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用. 13.解析:B.由正弦定理,可得sin 45sin 60AC BC =︒︒,所以22AC==.14. 【答案】C【解析】把4x π=-代入后得到()1f x =-,因而对称轴为4x π=-,答案C 正确.【考点定位】此题主要考查三角函数的图像和性质,代值逆推是主要解法. 15.答案A【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用.【解析】因为α为第二象限角,故cos 0α<,而3sin 5α=,故4cos 5α==-,所以24sin 22sin cos 25ααα==-,故选答案A.16.答案C【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质,.【解析】由[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈为偶函数可知,y 轴是函数()f x 图像的对称轴,而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得,故3(0)sin13()3322f k k k Z ϕϕπππϕπ==±⇒=+⇒=+∈,而[]0,2ϕπ∈,故0k =时,32πϕ=,故选答案C.17. 【解析】选C cos 2cos(21)y x y x =→=+左+1,平移12二、填空题 18. 【答案】4【解析】11,2,c o s4a b C ===,由余弦定理得22212cos1421244c a b a b C =+-=+-⨯⨯⨯=,则2c =,即B C =,故sin 4B ==.【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系式求出sin B 的值是本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值.19.解析:由余弦定理得,2222cos 4b a c ac B =+-=,所以2b =.20.【解析】由正弦定理得sin 45sin 60AC AC =⇒=︒︒【考点定位】本题考查三角形中的三角函数,正弦定理,考醒求解计算能力. 21.答案:56π【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点.【解析】由sin 2sin()3y x x x π=-=-由502333x x ππππ≤<⇔-≤-<可知22sin()23x π-≤-≤ 当且仅当332x ππ-=即116x π=时取得最小值,32x ππ-=时即56x π=取得最大值.22. 【答案】2π【解析】222cos 2b c aA c bc+-=⇒=,而sin sin c a CA=,故sin 12C C π=⇒=.【考点定位】本小题主要考查的是解三角形,所用方法并不唯一,对于正弦定理和余弦定理此二者会其一都可以得到最后的答案. 三、解答题23. 【答案】:(Ⅰ)6πϕ=(Ⅱ)775[1,)(,]4422231cos 1(cos )22x x =+≠因2cos [0,1]x ∈,且21cos 2x ≠故()g x 的值域为775[1,)(,]44224. 【命题意图】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理,考考生对基础知识、基本技能的掌握情况.【解析】(1)acosB,由正弦定理可得sin sin cos B A A B =,即得tan B =3B π∴=.(2) sinC=2sinA,由正弦定理得2c a=,由余弦定理2222c o sb ac a c B=+-,229422cos3a a a a π=+-⋅,解得a =2c a ∴==.25.解:(1)在A B C ∆中,由cos 4A =-,可得sin 4A =,又由s i n s i n a c AC=及2a =,c =可得sin 4C =由22222cos 20a b c bc A b b =+-⇒+-=,因为0b >,故解得1b =.所以sin 14C b ==(2)由cos 4A =-,sin 4A =,得23cos 22cos 14A A =-=-,sin 2sin cos 4A A A ==-所以3cos(2)cos 2cos sin 2sin3338A A A πππ-++=-=26. [解析](1)由已知,f(x)=212x cos2x sin2x cos 2--21sinx 21cosx 121--+=）（ ）（4x cos 22π+=所以f(x)的最小正周期为2π,值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22，(2)由(1)知,f(α)=，）（10234cos 22=+πα 所以cos(534=+πα).所以）（）（42cos 22cos 2sin πααπα+-=+-=257251814cos 212=-=+-=）（πα,[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想. 27. [解](1)5.0=t 时,P 的横坐标x P =277=t ,代入抛物线方程24912xy =中,得P 的纵坐标y P =3 由|AP |=2949,得救援船速度的大小为949海里/时由tan∠OAP =30712327=+,得∠OAP =arctan 307,故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度(2)设救援船的时速为v 海里,经过t 小时追上失事船,此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ,整理得337)(1442122++=tt v因为2212≥+tt ,当且仅当t =1时等号成立,所以22253372144=+⨯≥v ,即25≥v .因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船28.29.解:(I)由已知得:sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=,sin sin()sin sin B A C A C+=,则2sin sin sin B A C =,再由正弦定理可得:2b ac =,所以,,a b c成等比数列.(II)若1,2ac ==,则22bac ==,∴2223cos 24a c bB ac+-==,sin 4C =,∴△ABC 的面积11sin 122244S ac B ==⨯⨯⨯=.30. 【答案与解析】(1)由已知12=+,++=,=,cos =32B AC A B C B B ππ∴(2)解法一:2=b ac ,由正弦定理得23sin sin =sin =4A C B解法二:2=b ac ,222221+-+-=cos ==222a c b a c ac B acac,由此得22+-=,a c ac ac 得=a c所以===3A B C π,3sin sin =4A C【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果.31. 【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用,是简单题.【解析】(Ⅰ)由sin sin c C c A =-及正弦定理得sin sin sin sin A C A C C-=由于sin 0C ≠,所以1sin()62A π-=,又0A π<<,故3A π=.(Ⅱ) A B C ∆的面积S =1sin 2bc A 故bc =4, 而 2222cos a b c bc A =+- 故22c b +=8,解得b c ==2. 法二:解: 已知:A c C a c cos sin 3⋅-⋅=,由正弦定理得:A C C A C cos sin sin sin 3sin ⋅-⋅=因0sin ≠C ,所以:AA cos sin 31-= ,由公式:()⎪⎭⎫ ⎝⎛<=>++=+2,tan ,0sin cos sin 22πϕϕϕa b a x b a x b x a 得:216sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA , A 是∆的内角,所以66ππ=-A ,所以:3π=A(2) 1sin 42S bc A bc ==⇔=2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=解得:2b c ==32. 【解析】(1)3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3B C B C B C B C B C B C A π+-=-=-+=--=-则1cos 3A =.(2) 由(1)得sin 3A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理2222291cos 2123b c ab c A bc+-+-===则2213b c +=②,①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩. 33. 【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期11522(),21212T T ππππω=-=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上,所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即.又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+ 从而，即=6πϕ.又点0,1（）在函数图像上,所以s i n 1,26A A π==,故函数f(x)的解析式为()2sin(2).6f x x π=+(Ⅱ)()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 22sin(2)3x x π=-+12sin 22(sin 22)22x x x =-+sin 22x x =-2sin(2),3x π=-由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期1152(),1212T πππ=-=从而求得22Tπω==.再利用特殊点在图像上求出,A ϕ,从而求出f(x)的解析式;第二问运用第一问结论和三角恒等变换及sin()y A x ωϕ=+的单调性求得.34. 【解析】(1)因为22()sin cos cos cos 222sin(2)6f x x x x x x x πωωωωλωωλωλ=-++=-++=-+由直线x π=是()y f x =图像的一条对称轴,可得sin(2)16x πω-=±所以2()62x k k Z ππωπ-=+∈,即1()23k k Z ω=+∈又1(,1),2k Z ω∈∈,所以1k =时,56ω=,故()f x 的最小正周期是65π.(2)由()y f x =的图象过点(,0)4π,得()04f π=即52sin()2sin 6264πππλ=-⨯-=-=即λ=故5()2sin()36f x x π=--函数()f x 的值域为[22-+.【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式2T πω=来求解;求三角函数的值域,一般先根据自变量x 的范围确定函数x ωϕ+的范围.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查.35.解析:(Ⅰ)1cos cos 343642f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2A =.(Ⅱ)4143042cos 42cos 2sin 3436217f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以15sin 17α=.212842cos 42cos 34365f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+==⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以4c o s 5β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以8c o s 17α==,3sin 5β==,所以()8415313c o s c o s c o s s i n s i n17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-. 36. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式,考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化的思想.解:(1)选择(2)式计算如下213sin 15cos15sin 15cos151sin 3024︒+︒-︒︒=-︒=(2)证明:22sin cos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-22sin (cos 30cos sin 30sin )sin (cos 30cos sin 30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒2222311sin cos cos sin cos sin 42422αααααααα=+++--22333sin cos 444αα=+=37. 【命题意图】: 本试题主要考查了解三角形的运用.该试题从整体看保持了年的解题风格,依然是通过边角的转换,结合了三角形的内角和定理的知识,以及正弦定理求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定,思路比较容易想,先利用等差数列得到角B ,然后利用正弦定理与三角求解运算得到答案.【解析】由 A.B.C 成等差数列可得2B A C =+,而A B C π++=,故33B B ππ=⇒=且23C A π=-而由223b ac=与正弦定理可得2222sin 3sin sin 2sin3sin()sin 33B AC A Aππ=⇒⨯=-所以可得232223(s 433A A Aππ⨯=-⇒+=⇒1cos 2121sin(2)2262AA A π-+=⇒-=,由27023666A A ππππ<<⇒-<-<,故266A ππ-=或5266A ππ-=,于是可得到6A π=或2A π=.38. 【考点定位】本题考查三角函数,三角函数难度较低,此类型题平时的练习中练习得较多,考生应该觉得非常容易入手.解:(1)由sin 0x ≠得,()x k k Z π≠∈,故()f x 的定义域为{|,}x R x k k Z π∈≠∈.因为(s()sin x x xf x x-==2cos (sin cos )x x x -=sin 2cos 21x x --=)14x π--,所以()f x 的最小正周期22T ππ==.(2)函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈.由3222,()242k x k x k k Z ππππππ+≤-≤+≠∈得37,()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以()f x 的单调递减区间为37[],()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈.39. 【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈⇒+=>2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23A A π⇔=⇔=(II)2222222cos 2a b c bc A a b a c B π=+-⇔=⇒=+⇒=在R t A B D ∆中,2AD ===。
山东省各地市2012年高考数学(文科)最新试题分类大汇编14三角函数(4)
【山东省青岛市2012届高三期末检测文】9.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为A ．B ．CD ．【答案】D【山东省青岛市2012届高三期末检测文】18．（本小题满分12分）已知函数221()2(cos sin )12f x x x x =---，R x ∈,将函数()f x 向左平移6π个单位后得函数()g x ，设三角形ABC ∆三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .（Ⅰ）若c =()0f C =，sin 3sin B A =，求a 、b 的值；（Ⅱ）若0)(=B g 且(cos ,cos )m A B =，(1,sin cos tan )n A A B =-，求m n ⋅的取值范围.【答案】解：（Ⅰ）221()2(cos sin )12f x x x x =---12cos 21sin(2)126x x x π=--=-- …………………………………………1分 ()sin(2)106f C C π=--=,所以sin(2)16C π-=因为112(,)666C πππ-∈-,所以262C ππ-=,所以3C π=……………………………3分由余弦定理知：222cos73a b ab π+-=，因为sin 3sin B A =,由正弦定理知：3b a =……………………………………………5分 解得：3,1==b a …………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由条件知()sin(2)16g x x π=+-所以()sin(2)106g B B π=+-=,所以sin(2)16B π+=因为132(,)666B πππ+∈,所以262B ππ+= 即6B π=(cos m A =，(1,sin )n A A =于是1cos )cos sin()26m n A A A A A A π⋅=-==+…… 8分 5(0,)66B A ππ=∴∈,得 ),6(6πππ∈+A ……………………………………………10分 ∴ ]1,0()6sin(∈+πA ，即](0,1m n ⋅∈…………………………………………………12分【山东省青岛市2012届高三期末检测文】3.已知tan()34πα+=，则αtan 的值为A ．21 B ．21- C ．41D ．41-【答案】A【山东省济宁市2012届高三上学期期末检测文】5.在ABC ∆中，解A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若,5,3,7===c b a 则角A 等于 A.32π B.65π C.43π D.3π 【答案】A【山东省济宁市2012届高三上学期期末检测文】8.要得到函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像A.向左平行移动3π个单位长度 B.向右平行移动3π个单位长度 C.向左平行移动6π个单位长度D.向右平行移动6π个单位长度【答案】C【山东省济宁市2012届高三上学期期末检测文】17.（本小题满分12分）已知函数().1cos 2cos sin 322-+=x x x x f（I ）求函数()x f 的单调增区间； （II ）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求函数()x f 的最大值及相应的x 值. 【答案】17.解：（I ）()1cos 2cos sin 322-+=x x x x fx x 2cos 2sin 3+= ⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 2πx ……………………………………………………2分 令()Z k k x k ∈+≤+≤-226222πππππ得()Z k k x k ∈+≤≤-63ππππ……………………………………4分∴()x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6.3ππππ……………6分（II ）由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 可得67626πππ≤+≤x ………………………8分 所以当,262ππ=+x 即6π=x 时.………………………………10分()x f 取最大值，最大值为2.………………………………………12分【山东省济南一中2012届高三上学期期末文】3. 已知4sin ,sin cos 0,5θθθ=<则θ2sin 的值为 A ．2524-B ．2512-C ．54- D ．2524 【答案】A【山东省莱芜市2012届高三上学期期末文】若31)tan(-=-απ，则αααα2c o sc o s s i n 22c o s +的值为 A.38 B.58 C.158 D.78- 【答案】C【山东省济南一中2012届高三上学期期末文】8. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0x R A ∈>，，02πωϕ><，）的图象（部分）如图所示，则()x f 的解析式是A ．()()2sin 6f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R B ．()()2sin 26f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭RC ．()()2sin 3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R D ．()()2sin 23f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R【答案】A【山东省济南一中2012届高三上学期期末文】17. （本小题满分12分）已知2()s i n (2)2c o s 16f x x x π=-+-（Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且()11 ,2 , 2a b c f A =+==，求ABC ∆的面积.【答案】17. 解：（Ⅰ）因为()f x =2sin(2)2cos 16x x π-+-=12cos2cos222x x x -+=1sin 2cos222x x +=sin(2)6x π+…………（3分） 所以函数()f x 的单调递增区间是[,36k k πππ-π+]（k Z ∈）……………（5分） (Ⅱ)因为()f x =12，所以1sin(2)62A π+=,又0A π<<，所以132666A πππ<+<，从而52,663A A πππ+==故…………（7分） 在ABC ∆中，∵ 1 , 2 , 3a b c A π=+== ∴1=b 2+c 2-2bc cos A ,即1=4-3bc .故bc =1………（10分）从而S △ABC =1sin 24bc A =…………（12分）【山东省莱芜市2012届高三上学期期末文】关于)42sin(3)(π+=x x f 有以下命题：①若,0)()(21==x f x f 则)(21Z k k x x ∈=-π； ②)(x f 图象与)42cos(3)(π-=x x g 图象相同；③)(x f 在区间]83,87[ππ--上是减函数； ④)(x f 图象关于点)0,8(π-对称。
2012年高考文科数学解析分类汇编2：函数与方程
2012年高考文科数学解析分类汇编2：函数与方程2012高考文科试题解析分类汇编：函数与方程 一、选择题1.【2012高考安徽文3】（2log 9）·（3log 4）=（A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）4【答案】D23lg9lg 42lg32lg 2log 9log 44lg 2lg3lg 2lg3⨯=⨯=⨯=2.【2012高考新课标文11】当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 【答案】A【命题意图】本题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质及数形结合思想，是中档题.【解析】由指数函数与对数函数的图像知12011log 42a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得02a <<，故选A.3.【2012高考山东文3】函数1()ln(1)f x x =++义域为(A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]-(D)(1,2]- 【答案】B考点：求函数的定义域，对指对幂函数性质的考察。
解析：函数式若有意义需满足条件：210,1,ln(1)0,0,22,40,x x x x x x ⎧+>>-⎧⎪⎪+≠⇒≠⎨⎨⎪⎪-≤≤-≥⎩⎩取交集可得：()(]1,00,2x ∈-。
答案：B.4.【2012高考山东文10】函数cos622xxxy -=-的图象大致为【答案】D 考点：函数图像解析：本题为已知函数解析式，求函数图象的问题。
对于判断函数图象，我们平时最常用的方法是看：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、正负性、极值点。
显然此函数为奇函数，排除A则C 点坐标为),(11y x --，由图象知,,2121y yx x >-<-即,02121<+>+y y x x ，故答案选B.方法二：设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得b 不妨设12x x <，则223xb =.所以21()()(F x x x x =-，比较系数得1x -=，故1x =.120x x +，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B.法二，x 1bxax +=2，则01-23=+bx ax，令1-)(23bx axx h +=因为()()x g x f ,图像有两个公共点，所以()x h 必然有一个极值为0，又())3(b ax x x h +='，所以032=⎪⎭⎫⎝⎛-ab h 解得23)2(3a b =⎪⎭⎫⎝⎛所以令2,3==a b 可得2,1,21,12121=-==-=y y x x令2,3-==a b 可得2,1,21,12121-==-==y y x x6.【2012高考重庆文7】已知2log3log a =+，2log 9log b =-3log 2c =则a,b,c 的大小关系是（A ） a b c =< （B ）a b c => （C ）a b c << （D ）a b c >> 【答案】B 【解析】：222213log3log log 3log 3log 322a =+=+=，222213log 9log 2log 3log 3log 322b =-=-=，2322log 21log2log 3log 3c ===则a b c=>【考点定位】本题考查对数函数运算．7.【2012高考全国文11】已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << 【答案】D【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用，采用中间值大小比较方法。
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2012年高考文科数学分类汇编：函数
1.(天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )
A.x y 2cos =
B.x y 2log =
C.2
x
x e e y --= D.13+=x y 2.(四川)函数()10≠>-=a a a a y x ,,的图象可能是( )
3.(陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A.1+=x y
B.2x y -=
C.x
y 1= D.x x y = 4.(山东)函数()()
2411x x x f -++=ln 的定义域为 . 5.(江西)设函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=12112x x
x x x f ,,，则()()=3f f . 6.(湖北)定义在区间(0,2)上的函数()y f x =的图像如图所示，则(2)y f x =--的图像为(
)
7.(大纲)函数()11-≥+=
x x y 的反函数为( ) A.()012≥-=x x y B.()112≥-=x x y C.()012≥+=x x y D.()112≥+=x x y
8.(北京)函数()x x x f ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=2121的零点个数为 . 9.(安徽)计算：=∙4932log log .
10.(重庆)函数()()()4-+=x a x x f 为偶函数，则实数=a ________.
11.(安徽)设集合{}3123≤-≤-=x x A |，集合B 是函数()1-=x y lg 的定义域， 则=B A ( ) A.()21, B.[]21, C.[)21, D.(]21,
12.(浙江)设函数()x f 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[]10,∈x 时，()1+=x x f ，则 =⎪⎭
⎫ ⎝⎛23f _______________. 13.(四川)函数()x x f 211
-=的定义域是 .(用区间表示)
14.(上海)已知()x f y =是奇函数，若()()2+=x f x g 且()11=g ，则()=-1g _______ .
15.(上海)方程03241=--+x x 的解是 .
16.(陕西)设函数发()⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭
⎫ ⎝⎛≥=0210x x x x f x ,,，则()()=-4f f .
17.(福建)已知关于x 的不等式022>+-a ax x 在R 上恒成立，则实数a 的范围是_________.
18.(北京)已知函数()x x f lg =，若()1=ab f ，则()()
=+22b f a f _________. 19.(天津)已知212.=a ，2021.-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=b ，225log =c ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a b c << B.b a c << C.c a b << D. a c b << 20.(江苏)函数()x x f 621log -=的定义域为 .
21.(上海)已知()()1+=x x f lg . (1)若()()1210<--<x f x f ，求x 的取值范围.
答案：BCD ()(]2001,, - 913 BA 1 4 4 D 23 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, 3 32l o g =x 4 ()80, 2 A (]60,
21.解：由题意，得 ()()[]()x x x f 2212121-=+-=-lg lg 所以，()()()()1
2212221+-=+--=--x x x x x f x f lg lg lg 得不等式组为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<+-<>+>-10122101022x x x x ，解得，3132<<-x。