20112017高考全国卷文科数学解析几何汇编
2011年—2017年新课标全国卷1文科数学分类汇编—13.坐标系与参数方程
2011年—2017年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编13．坐标系与参数方程一、解答题【2017，22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a ．【2016，23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ．（Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【2015，23】在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求1C ，2C 的极坐标方程； （II ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ，求2C MN ∆的面积.【2014，23】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.【2013，23】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【2012，23】已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。
2011—2017高考全国卷Ⅰ文科数学解析汇报几何总汇编
新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编解 析 几 何一、选择题【2017，5】已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ∆的面积为（ ）A ．13 B ．12 C ．23 D ．32【解法】选D ．由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ．【2017，12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞【解法】选A ．图 1图 2解法一：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AM B ∠最大，依题意只需使0120AEB ∠≥．1．当03m <<时，如图1，0tantan 602AEB a b ∠==≥=1m ≤，故01m <≤；2． 当3m >时，如图2，0tantan 602AEB a b ∠==≥=9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞，故选A ．解法二：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AM B ∠最大，依题意只需使0120AEB ∠≥．1．当03m <<时，如图1，01cos ,cos1202EA EB ≤=-，即12EA EB EA EB⋅≤-，带入向量坐标，解得1m ≤，故01m <≤；2． 当3m >时，如图2，01cos ,cos1202EA EB ≤=-，即12EA EB EA EB⋅≤-，带入向量坐标，解得9m ≥．综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞，故选A ．【2016，5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12 C ．23D ．34解析：选B ． 由等面积法可得1112224bc a b ⨯=⨯⨯⨯，故12c a =，从而12c e a ==．故选B ． 【2015，5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C : y 2=8x ，的焦点重合，A ,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=( )A ．3B ．6C ．9D ．12解：选B ．抛物线的焦点为(2,0)，准线为x =-2，所以c=2，从而a=4，所以b 2=12，所以椭圆方程为2211612x y +=，将x =-2代入解得y=±3，所以|AB |=6，故选B 【2014，10】10．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A (x 0,y 0)是C 上一点，|AF |=054x ，则x 0=( )A A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解：根据抛物线的定义可知|AF |=001544x x +=，解之得x 0=1． 故选A 【2014，4】4．已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则a=( ) D A ．2 B ．26 C ．25 D ．1解：2c e a ====，解得a=1，故选D【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为2C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x解析：选C ．∵e =c a =，即2254c a =．∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =．∴12b a =．∵双曲线的渐近线方程为b y x a =±，∴渐近线方程为12y x =±．故选C ．【2013，8】O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝POF 的面积为( )．A ．2B ．．．4 答案：C解析：利用|PF |＝P x =x P ＝y P ＝±S △POF ＝12|OF |·|y P |＝ 故选C ．【2012，4】4．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b+（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23C ．34D ．45【解析】如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==，260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，又23||2a F Q c =-，所以32a c c -=，解得34c a =，因此34c e a ==，故选择C ． 【2012，10】10．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =，则C 的实轴长为（ ）A B ．C ．4D ．8【解析】设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a-=，即222x y a -=（0a >），抛物线216y x =的准线方程为4x =-，联立方程2224x y a x ⎧-=⎨=-⎩，解得2216y a =-，因为||AB =，所以222||(2||)448AB y y ===，从而212y =，所以21612a -=，24a =，2a =，因此C 的实轴长为24a =，故选择C ．【2011，4】椭圆221168x y +=的离心率为（ ）A ．13 B ．12 C．3 D．2【解析】选D ．因为221168x y +=中，2216,8a b ==，所以2228c a b =-=，所以42c e a ===． 【2011，9】已知直线l 过抛物线的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP △的面积为（ ）．A ．18B ．24C ．36D ．48【解析】不妨设抛物线的标准方程为()220y px p =>，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为2px =．代入22y px =得y p =±，即2AB p =，又12AB =，故6p =，所以抛物线的准线方程为3x =-，故1612362ABP S =⨯⨯=△．故选C ．二、填空题【2016，15】设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于,A B两点，若AB =C 的面积为 ．解析：4π．由题意直线即为20x y a -+=，圆的标准方程为()2222x y a a +-=+，所以圆心到直线的距离d =，所以AB===， 故2224a r +==，所以24S r =π=π．故填4π．【2015，16】已知F 是双曲线C :2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，A ，当ΔAPF 周长最小时，该三角形的面积为 ．解： a =1，b 2=8，⇒ c =3，∴F (3,0)．设双曲线的的左焦点为F 1，由双曲线定义知|PF |=2+|PF 1|，∴ΔAPF 的周长为|PA |+|PF |+|AF |=|PA |+|AF |+|PF 1|+2，由于|AF |是定值，只要|PA |+|PF1|最小，即A ,P ,F 1共线，∵A，F 1 (-3,0)，∴直线AF 1的方程为13x +=-，联立8x 2-y 2=8消去x 整理得y 2+-96=0，解得y=y =-舍去)，此时S ΔAPF =S ΔAFF 1-S ΔPFF13=⨯=三、解答题【2017，20】设A ，B 为曲线C ：42x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且BM AM ⊥，求直线AB 的方程． 解析：第一问：【解法1】设 1122(,),(,)A x y B x y ,AB 直线的斜率为k ，又因为A,B 都在曲线C 上，所以 4/211x y = ①4/222x y = ②②-①得2221122121()()44x x x x x x y y -+--==由已知条件124x x += 所以，21211y yx x -=-即直线AB 的斜率k=1．【解法2】设 ),(),,(2211y x B y x A ,AB 直线的方程为y=kx+b,所以⎩⎨⎧=+=4/2x y b kx y整理得：,4,044212k x x b kx x =+∴=--且421=+x x 所以k=1第二问：设 00(,)M x y 所以200/4y x =① 又12y x =所以00011,2,12k x x y ==∴== 所以M （2,1），11(2,1)MA x y =--，22(2,1)MB x y =--，且AM BM ⊥，0AM BM =即05)()(221212121=++-++-y y y y x x x x ②，设AB 直线的方程为y x b =+，,4/2⎩⎨⎧=+=x y bx y化简得0442=--b x x ，所以2212121,24,4b y y b y y b x x =+=+-=由②得0772=--b b 所以b=7或者b=-1(舍去) 所以AB 直线的方程为y=x+7【2016，20】在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（1）求OH ON；（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？请说明理由．解析 （1）如图，由题意不妨设0t >，可知点,,M P N 的坐标分别为()0,M t ，2,2t P t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,N t t p ⎛⎫⎪⎝⎭，从而可得直线ON 的方程为y x p t =，联立方程22p x ty px y ⎧==⎪⎨⎪⎩，解得22x t p =，2y t =． 即点H 的坐标为22,2t t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而由三角形相似可知22H N OH y tON y t ===．（2）由于()0,M t ，22,2t H t p ⎛⎫⎪⎝⎭，可得直线MH 的方程为22ty t x t p-=， 整理得2220ty px t --=，联立方程222202ty y px t px--==⎧⎪⎨⎪⎩，整理得22440ty y t -+=，则2216160t t ∆=-=，从而可知MH 和C 只有一个公共点H ．【2015，20】已知过点A (0, 1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点.(Ⅰ)求k 的取值范围； (Ⅱ)OM ON ⋅=12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解：(Ⅰ)依题可设直线l 的方程为y=kx +1，则圆心C (2,3)到的l 距离1d =<.k <. 所以k的取值范围是. (Ⅱ)将y=kx +1代入圆C 的方程整理得 (k 2+1)x 2-4(k +1)x +7=0.设M (x 1, y 1),N (x 2, y 2)，则1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++ 所以OM ON ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+1)(kx 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+124(+1)8+1k k k =+=12，解得k =1=1k ，所以l 的方程为y=x +1.故圆心在直线l 上，所以|MN |=2.【2013，21】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M＝1，解得k＝4±当k＝4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±， 所以|AB ||x 2－x 1|＝187.当k＝4-|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187.【2012，20】设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。
20112017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编11解析几何
年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编2011—2017 11．解析几何一、选择题2x21y??）的离心率的取值范围是（（2017·5）若a＞1，则双曲线2a）1，，2）2+?）（2，（（2）（，12 A. D. C. B.2 的准线，为C在Mx轴上方），的焦点F，l且斜率为的直线交C于点M（2017·12）过抛物线C：y（= 4x3则M到直线NF的距离为点N在l上且MN⊥l, D. C. A.B. 2253323k2）轴，则k =（>0)与C交于点P，PF⊥（2016·5）设F为抛物线C：y==4x 的焦点，曲线yx(k x31．C．A．1D．2 B22）（的圆心到直线2016·6）圆的距离为1，则a =（2201?ax?y?0??y13?2x?8xy?34 2 ．B．CDA．．3??43，，则外接圆的圆心到原点的距离为（）（2015·7）已知三点，)C(2,3ABC?)(1,A0)3B,(0455221 B.D.A.C.33332 = 3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A、yB两点，则|AB|=（）F（2014·10）设为抛物线C：3073 D．C．12 A ．B．6 322=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x的取值范围是（，若在圆O：x+y），（2014·12）设点M(x1)00 2211．A．B．DC．2]?[2,1,1][?]，[?]，[?222222yx(a?b?0)PF?FFF,F，的左、右焦点分别为上的点，是（2013·5）设椭圆C，P1C:??2122122ab，则C的离心率为（）30?PFF?213311D ．C．A ．B．36232=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点. 若|AF|=3|BF（2013·10）设抛物线C: y|，则l的方程为（）331x??y?1??yx．A．或或B ??y(x?1)y??1)(x33221)?y(x?1)y??(x?．或或CD．1)?x??3(y?x1)y?3(2222a3yx（2012·4）设F、F是椭圆E：(a>b>0)的左、右焦点，P为直线上一点，△FPF是底?x1??2112222ba）的离心率为（E的等腰三角形，则30°角为1234．C．A．D B．52342两点，，A，yB=16x的准线交于2012·10）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线（34AB|?|则C的实轴长为（）．C．4 A．BD．822222xy（2011·4）椭圆的离心率为（）1??1682311．DC ．A．．B 3232 （2011·9）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直. l与C交于A, B两点，|AB|=12，P为C?ABP的面积为（的准线上一点，则）A．18 B．24 C．36 D．48二、填空题1，则该双曲线的标准方程为，且渐近线方程为（2015·15）. 已知双曲线过点3)(4,xy??2三、解答题2x（2017·20）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x 轴的垂线，垂足为N，点P满21y??2uuuruuur NP?2NM足（1）求点P的轨迹方程；uuuruuur（2）设点Q在直线x=-3上，且.证明过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.1PQ?OP?22yx（2016·21）已知A是椭圆E:的左顶点，斜率为k (k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E 上，1??43MA⊥NA.（Ⅰ）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；3?k?2.时，证明：AN|=|AM||（Ⅱ）当．22yx2a b1??，）在C上>020（2015·）已知椭圆C：.）的离心率为，点（（2>222ab2（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A、B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.22yx（2014·20）设F，F分别是椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点，M是C上一点且MF与x轴1??221 22ab垂直，直线MF与C的另一个交点为N.13（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；4（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2且|MN|=5|FN|，求a，b.1xPy23. 在中，20（2013·）在平面直角坐标系xoy已知圆轴上截得线段长为在，轴上截得线段长为222PPPxy?的方程（Ⅱ）若（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；点到直线，求圆.的距离为22=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，2012·（20）设抛物线C：xFA为半径的圆F交l于B，D两点.，24的方程；ABDF的面积为求p的值及圆BFD(Ｉ)若∠=90o，△（Ⅱ）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.2与坐标轴的交点都在圆C中，曲线上.2011·（20）在平面直角坐标系xOy1x?6x?y?（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线交与A，B两点，且，求a的值. 0??xya?OB?OA2文科数学试题分类汇编—2017年新课标全国卷2011 11．解析几何（解析版）一、选择题2211a1c?22?e?1?1???e2??1?1，故，则，因为a>1由题意（2017·5）C 解析：，所以2222aaaa C.选2xy4?21)??3(xMF：y解得联线知立得，，与（2017·12）C解析：由题意抛物03x??10x?31 (1,0)F1)??3(xNF：y?3)2M(3,3)1,2N(?，所以，因为所以，，所以，，因为lMN?3x?x?，213|3?2|3(3?1).所以M到NF的距离为213)?(?kk2?x?PF0)(ky??轴，所以交于点（2016·5）D解析：，又因为曲线P，与C(1,0)F，=2，所以k 1x D.故选1|??4|a4 A. ，解得圆心为（2016·6）A解析：，半径，所以，故选1??a?(1,4)2r?3221a?得DBDA=(1, b)，由B解析：圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，设圆心D（2015·7）213232222??()d?1??b1?(b?3)|b|?. ，所以圆心到原点的距离3333333?k?tan30?)?y?(x,0).(F，与抛AB又因为解析：由题意，得的方程为，故直线（2014·10）C343422xy=3,(x()Ax,y),By0?9x6?168x?1设义，联立得得，，，由抛物线定物线2211316812?x?x?p??AB?．，故选C2121622，=45°，使得∠+yOMN=1上存在点，∵点M（x1），∴若在圆O：xN（2014·12）A解析：由题意画出图形如图：0显然不满足题意，′，图中MMN=1，才能使得∠OMN=45°∴圆上的点到MN的距离的最大值为1，要使．1，1]轴时，满足题意，∴x的取值范围是[-当MN垂直x0342330F?FPF?F,?PF?c,PFcPF?2c tan30?.，所以（2013·5）D解析：因为又21212123331c363??a2cPF??PF?，所以D. ，即椭圆的离心率为，故选2133a332=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A(解析：抛物线yx，y)，B(x，y)，则C（2013·10）21211因为|AF|=3|BF|，所以x+1=3(x+1)，即x=3x+2，因为|y|=3|y|，x=9x，所以x=3，x=，当x=3时，1122221211131232?(B,A()3,23),,，，所以此时，若则此时,此时直线3??k23?2y?3?y?1212y?1AB1133123),2A(3,?3),B(,若. 此时方程为,，则此时直线方程为3??y?23k?1)?y3(x?AB133l 的方程是或所以，故选C.. 1)???3(3(?x?1)xxy?3(?1)y?y??PFA?60?，F解析：答案：4（2012·）C∵△是底角为30PF o的等腰三角形，12233||AF cc2F|?|PF|?|F，，，故选=C. ，∴?c??ea?2222124222a?yx?，将，设等轴双曲线方程为：代（2012·10）C解析：由题设知抛物线的准线为：4??4xx22?4a3216?a3|?4|AB ay??16?=2，∴，，∵，解得入等轴双曲线方程解得C的实轴长为4，故选C.∴22b1822c22D. ，故选4）D解析：，也可以用公式（2011·?e??，?e?1??1???e 2a1622a42（2011·9）C解析：易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C.二、填空题22xx122?m?y?y?1y??x，可设双曲线的方程为解析：根据双曲线渐近线方程为（2015·15），442(4,3)代入得m把=1.三、解答题2x（2017·20）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P 满21?y?2uuuruuur NP?2NM足（1）求点P的轨迹方程；uuuruuur（2）设点Q在直线x=-3上，且.证明过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.1OP?PQ?uuururuu??NMNP?2???)?2(0,yx?x,y)(,0))Ny(x)(Px,yM(x,，即，，，，2017·（20）解析：（1）设?xx???0x?x??2?x??222?2yx??1?y?P?，代入椭圆方程，∴点的轨迹方程，得到y????y2?y2y????2?22?2?yx. ruuu，)(m,nOP?则，t)，Qm，n)，(-3设为知（2）由题意,椭圆的左焦点F(-1，0)，P(rruuuuuuuruuruuuruuu221?n??3m?m?tn，，PF?(?1?m?n)，33,OQ?(-t)，PQ?(??m，t??OP?PQ1n)又得，由ruruuuruuuruuuuu222??nmPF0tn?OQ??OQ?PF3?3m?03+3m??tn P. ，即，故）知所以.又过点由（1. C的左焦点F存在唯一直线垂直于，所以过点P且垂直于OQ的直线l过22yx（2016·21）已知A是椭圆E:的左顶点，斜率为k (k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E 上，1??43MA⊥NA.（Ⅰ）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；3?k?2.时，证明：=|（Ⅱ）当|AM|AN|y?0.，则由题意知）解析：（Ⅰ）设由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为21（2016·)M(y,xAM111．22yx?22,0)?A(?12y?07y，解得代入得，因此直线的方程为，又.将1??2x?y?AM2?x?y 4341211212144120?y?AMN?y的面积或.因此. ，所以????S?2?yAMN?1727749722yx2222AM?12?0x?4k16)xk?16k(3?1??.代入的方程由（Ⅱ）将直线得0)y?k(x?2)(k?43222k121?)k2(3?412k?162?2|k|x?|AM|?1?. 得，故?x??2)x?(111222k43?k43?4k3?2k?12k112|AM|?|AN|得由，故同理可得由题设，直线的方程为.AN?|AN|2)?xy??(2k?34k2k32，即. 08??3k?4k?6k?k2322f()t)f(t8f(t)?4tt?6t??30?3?3(2t?f'(t)?12t1)?12t?在设是的零点，，则，所以(0,??)单调递22k?k343?4增，k)f(t)(0,??在在有唯一的零点，且零点又，因此内，所06?0,?26?f(2)?f(3)?1533,2)(以.2?3?k22yx2a b1??，）在C上已知椭圆C：）的离心率为，点（（2>.>0（2015·20）222ab2（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A、B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.2222?b4a221?,??4?8,ba?（Ⅰ）由题意有解析：（2015·20），解得. 所以C的方程为22a2ab22yx??1.84l:y?kx?b(k?0,b?0),A(x,y),B(x,y),M(x,y).（Ⅱ）设直线M212M122yx2221???8?04kbx?(2k2?1)xb?b?y?kx，代入将得84x?x?2kbb y112?,y?kx?x?b?M??k?，，于是直线OM的斜率故MMM OM2222k?12k?1k2x M1k?k??，所以直线OM的斜率与直线l即的斜率的乘积为定值. OM222yx（2014·20）设F，F分别是椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点，M是C上一点且MF与x轴1??221 22ab垂直，直线MF与C的另一个交点为N.13（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；4．.b，求a，MN|=5|FN|y（Ⅱ）若直线MN在轴上的截距为2且|122bb，即x=c时，，M的横坐标为c，当解析：∵M是C上一点且MF与x轴垂直，∴（2014·20）)(c，M?y2aa2233abb3222c??ac?ab?F??tan?MF，即若直线MN的斜率为，则，21242c2ac431112220ac??ac??3e?2e2?0e?，故椭圆C，则的离心率为，解得．亦即22222b?4，（Ⅱ）由题意，原点O是FF的中点，则直线MF与y轴的交点D（0，2）是线段MF 的中点，故111242(?c?x)?c?12=4a，由|MN|=5|FN|，解得|DF|=2|FN|即b，设N（x，y），由题意知y＜0，则，即?111111?2y?2?13?x??c22?4a9(a)11c9?12??1??12，，a=7 ，将b=4，代入椭圆方程得a代入得解得7b?2?.2224ab4a4a?y?1?1xPy23. 在轴上截得线段长为，轴上截得线段长为在（2013·20）在平面直角坐标系xoy中，已知圆22P的轨迹方程；（Ⅰ）求圆心2PPxy?的方程的距离为.点到直线，求圆（Ⅱ）若2222222 +2=x. 由题设y从而+2=ry，x+3. +3=rP（2013·20）解析：（Ⅰ）设(x，y)，圆P的半径为r.22=1. -故P点的轨迹方程为yx|x?y|?1?|y|x?20022. 又P点在双曲线y-x=1)（Ⅱ）设P(x，y 上，从而得．由已知得. 由00??0022y?x?122?10x?y?1x?0??000r?3. 的半径P，得. 此时，圆??22y?x?1y??1??000x?y??1x?0??000r?3. 的半径此时，圆由，得. P??22y?x?1y?1??0002222=3. y=3或x+1)故圆P的方程为x1)+(y-+(2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，F（2012·20）设抛物线C：xA为半径的圆F交l于B，D两点.，24的方程；F o，△ABD求的面积为p的值及圆若∠(Ｉ)BFD=90（Ⅱ）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值. rr p，EFD|=FB，|FA|=|的半径为轴的焦点为（Ⅰ）设准线2012·（20）解析：l于yE，圆FFE，则||=|=|0∴，点，∵，BD是的中90??BFDp2D||F?A|F||B=F?|p y?yxp224∴∵的面线定义得，|FA|=积|BD|=，为，设A(，，)，根据抛物ABD?000211p S p2242p?2?2|(y?p)|BD的方程为：|=，∴圆，解得，∴=2=F(0,1), =|FAF=ABD?0222228?1)?x?(y.0FFABAB90??ADBm，由抛物三点在同一条直线是圆上1（Ⅱ）【方法】∵, ，∴，的直径，331030?ABD?m m?|AB|||?|FA|AD线定义知或－，∴直线的方程为：，∴的斜率为，∴332333p d mb?xp?yy??x??n，代入，设直线=，∴原点到直线的距离的方程为：133243222pyx2?C n0x?2pbx??，∵得，只有一个公共点，与3p4p32?08pb?b?p?n?y??x?n的距离的方程为：，∴，∴原点到直线∴，∴直线=6363333d nmp3p:p?.=距离的比值为，∴坐标原点到，2121242p x)F(0,0,A()(x?0)x BA,F】由对称性设对称得：，点，则【方法2关于点00p2222p3xxp22)(3p,A00p?x?3B(?x,p?)?p???得，0022p2p2p3p?pp322?m3?y?:y?x?0?x直线，22p323xx3p3p2??p???x?x?2py?y??y(,)P切点，63332pp33pp3?:yy?p?0n?(x?)?x?3直线，6633 p3p33:?nm,.距离的比值为坐标原点到622.中，曲线）在平面直角坐标系xOy上与坐标轴的交点都在圆C（2011·201xy?x??6 的方程；（Ⅰ）求圆C.的值，B两点，且，求a（Ⅱ）若圆C与直线交与A0?x?y?aOB?OA2，故可设圆的圆心坐标为（Ⅰ）曲线）与坐标轴的交点为（0,1（2011·20）解析：）023?2,（1xy???6x222222，所以圆的方程为）则有，解得t，t=1，则圆的半径为（3t22)31?(t?)??(3??13)?(t22?)9y?x?3)1?((.x?y?a?0?（Ⅱ）设A(x, y)，B(x, y)坐标满足方程组，消去y得到方程?211222(x?3)?(y?1)?9?22201??2a82a?)x?a2x??(>0，由韦达定-4a理可得-知，由已可得判别式△=5616a2?2a?1a xx?yy?0a4??xx??xx，OA①，由，⊥OB，可得2211212122y?x?ay?x?a2xx?a(x?x)?a?0②，由①②可得a，所以=-1，满足△>0，故a=又-1. 22112211。
2011-2017高考全国卷解析几何试题(文科)
2011年-2015年高考全国课标卷解析几何试题〔文科〕1.【2017全国1，文5】F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，那么△APF 的面积为〔 〕 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 22.【2017课标II ，文5】假设1a >，那么双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是( )A. (2,)+∞B. (2,2)C. (1,2)D. (1,2)4.【2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M 〔M 在x 轴上方〕，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,那么M 到直线NF 的距离为( ) A.5 B.22 C. 23 D. 335.【2017课标1，文12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，假设C 上存在点M 满足∠AMB =120°，那么m 的取值范围是( ) A ．(0,1][9,)+∞B ．(0,3][9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．(0,3][4,)+∞6.【2017课标3，文11】椭圆C ：22221x y a b+=，〔a >b >0〕的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，那么C 的离心率为〔 〕A ．63B ．33C ．23D ．1311.【2017课标3，文14】双曲线22219x y a -=〔a >0〕的一条渐近线方程为35y x =，那么a = . 14.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．〔1〕求直线AB 的斜率；〔2〕设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．15.【2017课标II ，文20】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.16.【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答以下问题：〔1〕能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由； 〔2〕证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.1、〔2016年全国I 卷高考〕直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，假设椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，那么该椭圆的离心率为 〔 〕 〔A 〕13 〔B 〕 12 〔C 〕23 〔D 〕346、〔2016年全国II 卷〕设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx〔k >0〕与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，那么k =〔 〕 〔A 〕12 〔B 〕1 〔C 〕32〔D 〕27、〔2016年全国III 卷高考〕O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .假设直线BM 经过OE 的中点，那么C 的离心率为〔 〕〔A 〕13〔B 〕12〔C 〕23〔D 〕344、〔2016年全国I 卷高考〕设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，假设，那么圆C 的面积为 .5、〔2016年全国III 卷高考〕直线l ：360x -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，那么||CD =_____________.7、〔2016年全国I 卷高考〕在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . 〔I 〕求OH ON；〔II 〕除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.8、〔2016年全国II 卷高考〕A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥. 〔Ⅰ〕当AM AN =时，求AMN ∆的面积；〔Ⅱ〕当AM AN =32k <<.9、〔2016年全国III 卷高考〕抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．〔I 〕假设F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；〔II 〕假设PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.2011年 4．椭圆221168x y +=的离心率为〔 〕〔A 〕 13 〔B 〕 12〔C 〕3 〔D 〕220．〔本小题总分值12分〕在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．〔I 〕求圆C 的方程；〔II 〕假设圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．23．〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数〕，M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ． 〔I 〕求2C 的方程；〔II 〕在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C的异于极点的交点为B ，求|AB|．2012年 4．设12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，那么E 的离心率为〔 〕()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 4510．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =那么C 的实轴长为〔 〕()A ()B ()C 4 ()D 8 20．〔本小题总分值12分〕设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点．〔I 〕假设∠90BFD =,△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；〔II 〕假设A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．23．(本小题总分值10分)选修4—4；坐标系与参数方程 曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3) (Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2的取值范围．2013年(新课标Ⅰ卷)4. 双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为25，那么C 的渐近线方程为( )〔A 〕x y 41±= 〔B 〕 x y 31±= 〔C 〕 x y 21±= 〔D 〕x y ±=8. O 为坐标原点，F 为抛物线C ：x y 242=的焦点，P 为C 上一点，假设24||=PF ，那么△POF的面积为〔 〕〔A 〕2 〔B 〕22〔C 〕32〔D 〕421．(本小题总分值12分)圆M ：1)1(22=++y x ,圆N ：9)1(22=+-y x ,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .〔Ⅰ〕求C 的方程；〔Ⅱ〕l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长是，求||AB .23．〔本小题10分〕选修4—4：坐标系与参数方程曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty t x sin 55cos 54 ，〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θρsin 2=.〔Ⅰ〕把C 1的参数方程化为极坐标方程；〔Ⅱ〕求C 1与C 2交点的极坐标〔ρ≥0,0≤θ＜2π〕．2013年(新课标Ⅱ卷)5．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>)的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，那么C 的离心率为( )〔A 〕36 〔B 〕13 .〔C 〕12 〔D 〕3310．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．假设|AF |＝3|BF |，那么l 的方程为( )〔A 〕y ＝x －1或y ＝－x ＋1 〔B 〕y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1)〔C 〕y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) 〔D 〕y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1)20．(本小题总分值12分)在平面直角坐标系xOy 中，圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.〔I 〕求圆心P 的轨迹方程； 〔II 〕假设P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．23．〔本小题总分值10分〕选修4——4；坐标系与参数方程动点P Q 、都在曲线2cos ,:2sin x t C y t=⎧⎨=⎩〔t 为参数〕上，对应参数分别为t=α与t=2α〔02απ<<〕，M 为PQ 的中点．〔Ⅰ〕求M 的轨迹的参数方程；〔Ⅱ〕将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．2014年(新课标Ⅰ卷)4.双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，那么=a 〔 〕 〔A 〕 2 〔B 〕 26 〔C 〕 25〔D 〕 110.抛物线C ：2y x =的焦点为F ,00(,)A x y 是C 上一点，054AF x =，那么0x =〔 〕〔A 〕 1 〔B 〕 2 〔C 〕 4 〔D 〕 8 20.〔本小题总分值12分〕点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.〔I 〕求M 的轨迹方程；〔II 〕当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积．23.〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=ty t x l 222:〔t 为参数〕 （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.2014年〔新课标卷Ⅱ〕10．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，那么│AB │＝〔 〕 〔A 〕330〔B 〕6 〔C 〕12 〔D 〕73 12．设点M 〔x 0，1〕，假设在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，那么x 0的取值范围是〔 〕 〔A 〕［－1，1］ 〔B 〕［－21，21］ 〔C 〕［－2，2］ 〔D 〕［－22，22］20．〔本小题总分值12分〕设F 1，F 2分别是椭圆C ：22ax ＋22b y ＝1〔a ＞b ＞0〕的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．〔Ⅰ〕假设直线MN 的斜率为43，求C 的离心率；〔Ⅱ〕假设直线MN 在y 轴上的截距为2，且│MN │＝5│F 1N │，求a ，b ．23．〔本小题总分值10〕选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈［0，2π］．〔Ⅰ〕求C 的参数方程； 〔Ⅱ〕设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据〔Ⅰ〕中你得到的参数方程，确定D 的坐标．2015年(新课标Ⅰ卷)5．椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，那么AB = 〔 〕〔A 〕 3 〔B 〕6 〔C 〕9 〔D 〕1216．F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ． 20. 〔本小题总分值12分〕过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.〔I 〕求k 的取值范围； 〔II 〕假设12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .23. 〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.〔I 〕求12,C C 的极坐标方程.〔II 〕假设直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.2015年(新课标Ⅱ卷)7.三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，那么ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为〔 〕 〔A 〕35 〔B 〕321 〔C 〕 352 〔D 〕34 15.双曲线过点)3,4(，且渐近线方程为x y 21±=，那么该双曲线的标准方程为 .20、椭圆C ：22221x y a b+=〔0a b >>〕的离心率为2，点(2,在C 上. （I ） 求C 的方程.（II ） 直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.23．〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩〔t 为参数，t ≠0〕其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=.(Ⅰ).求C 2与C 3交点的直角坐标；(Ⅱ).假设C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.。
2017高考试题分类汇编之解析几何和圆锥曲线文科(word-解析版)
2017年高考试题分类汇编之解析几何（文）、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题冃要求的）PF 与x 轴垂直，设(2, y ), y >0,则y=3, 则 P (2, 3), ••• AP I PF,则丨 AP I =1,1 PF I =3,•••△ APF 的面积 S= X| AP |X| PF I 三；,22同理当y v 0时，则△ APF 的面积S=；,2【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题.22. （2017课标II 文）若a 1，则双曲线 —-y^1的离心率的取值范围是（）aA.（迈B. C ，2, 2）C.（1r . 2）D. （1 , 2）【分析】利用双曲线方程，求出a , c 然后求解双曲线的离心率的范围即可.的坐标是 （1,3），则：APF 的面积为（)"11 2A.-B.二c.―3232【解解：由双曲线C : X 2- ’ =1的右焦点F (2 ,0),3D-221.（ 2017课表I 文）已知F 是双曲线C ：X 2-’1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与X 轴垂直，点A 32【解答】解：a > 1,则双曲线二-y 2=1的离心率为:a故选：C.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.2 23. （2017浙江）椭圆 -y1的离心率是（94)A.远B.W2 C.- 5D.—3339【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可.2 2【解答】解：椭圆<-+[ =1,可得a=3, b=2，则c=J 」"=",94所以椭圆的离心率为：’=•.a 3故选：B.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力.4. （ 2017课标II 文）过抛物线C : y 2 =4x 的焦点F ,且斜率为•、、3的直线交C 于点M （ M 在x 轴上方），I 为C 的准线，点N 在I 上且MN _ I ,则M 至煩线NF 的距离为（【分析】利用已知条件求出M 的坐标，求出N 的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可. 【解答】解：抛物线C ： f=4x 的焦点F （1, 0）,且斜率为亦的直线：y=^ （x - 1）, 过抛物线C ： y 2=4x的焦点F ,且斜率为二的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），1可得N (- 1, 2徒),NF 的方程为：y=-J§ (x - 1),即冋+厂后 0 , ^^=2 二. 故选：C.A. ,5 C.2.3 D. 3 3则M 到直线NF 的距离为: 可知:「「解得M （3,2»【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力.2 25.（2017课标I 文）设代B 是椭圆C :―— =1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足.AMB =120°，3 m则m 的取值范围是（由要使椭圆C 上存在点 M 满足/ AMB=120，Z AMB > 120°,/AMO >60°当假设椭圆的焦点在x 轴上，tan / AMO^2>tan60 °当即可求得椭圆的焦点在 y 轴上时， m >3, tan / AMO= 7 >tan60 =「；，即可求得 m 的取值范围.V3 【解答】解：假设椭圆的焦点在x 轴上，则0v m v 3时，假设M 位于短轴的端点时，/ AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足/ AMB=120 ,/ AMB > 120°,/ AMO >60°, tan / AMO=^1 >tan60 =二,当椭圆的焦点在y 轴上时，m > 3,假设M 位于短轴的端点时，/ AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足/ AMB=120 , / AMB > 120°, / AMO >60° tan / AMO 卫>tan60 °兀，解得：m >9,V3 •••m 的取值范围是（0， 1] U [9， 故选A.A.（0,1]U[9,B.（0, ..3]U[9,：：）C.（0,1] [4,D.（0,、3U[4, •二）【分析】分类讨论,【点评】本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结合思 想的应用，考查计算能力，属于中档题.2 2X y6.（ 2017课标III 文）已知椭圆C:二 2=1（a ・0），的左、右顶点分别为A I ,A 2，且以线段AA 2为a b直径的圆与直线 bx-ay ，2ab=0相切，则C 的离心率为（）A 邑B 二C 迈33 3【分析】以线段RA 2为直径的圆与直线bx - ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离【解答】解：以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx- ay+2ab=0相切, •I 原点到直线的距离: ▼=&，化为：a 2 =3b 2.Va 2 + b 2故选：A .【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式, 考查D-3化简即可得出.了推理能力与计算能力，属于中档题.2 27.（2017天津文）已知双曲线笃-与=1（a . 0,b . 0）的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，.9AF a b是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）2 2 2 2 2 2A△丄=1 B△丄=1 C.X__y2=1 D.x2丄=14 12 12 4 3 3【分析】利用三角形是正三角形，推出a, b关系，通过c=2,求解a, b,然后等到双曲线的方程.2 2【解答】解：双曲线二-二=1 （a>0, b>0）的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上，△ a2 b? OAF是边长为2的等边三角形（O为原点）,2 2 2可得c=2,亠飞为，即,—>,a a /2解得a=1, b=二，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：「--.故选：D.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）28. （2017天津文）设抛物线y =4x的焦点为F ,准线为I.已知点C在I上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点 A.若Z FAC =120支，则圆的方程为_________________________________ .【分析】根据题意可得F （- 1, 0）, / FAO=30, OA=_马一=1,由此求得OA的值，可得tanZFAO 圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程.【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F （1, 0）,准线l：x=- 1,v点C在I上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A,vZ FAC=120, •••/FAO=30,：OA= - =1 , A OA^ ,：A （0,二），如图所示：V••• C （- 1,二），圆的半径为CA=1 ,故要求的圆的标准方程为T,_ 一］故答案为：（x+1）2+ 一：・=1.【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中档题.29. （2017北京文）若双曲线X2—厶=1的离心率为J3，则实数m= ____________________m【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m即可.【解答】解：双曲线x2-——=1 （m>0）的离心率为-，m可得：丄| -.：，解得m=2.故答案为：2.【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力.2 2x y10. （2017山东文）在平面直角坐标系xOy中，双曲线二2=1（a 0，b 0）的右支与焦点为F的抛a b物线x2 =2py（p>0）交于A, B两点若AF|+|BF =4OF，则该双曲线的渐近线方程为_________________2 2【分析】把x2=2py （p>0）代入双曲线与」$=1 （a>0，b> 0），可得：a2y2- 2pb2y+a2b2=0，a2 b2利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出.2 2【解答】解：把x2=2py （p>0）代入双曲线———=1 （a>0，b>0），a b可得：a2y2- 2pb2y+a2b2=0，• • y A+y B —，T | AF|+| BF| =4| 0F|，二 y A +y B +2XlL =4XlL,2 2=p , 声P ， • h 二— • .1 '•该双曲线的渐近线方程为：y=± - x .2 故答案为：y=±-x. 2【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的 关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.2 211. (2017课标III 文)双曲线 冷-丫 1 (a 0)的一条渐近线方程为 a9【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解 a 即可.2 2【解答】解：双曲线厂-(a > 0)的一条渐近线方程为y=；x ,(9 5可得丄-丄，解得a=5.a 5 故答案为：5.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.2 x12(2017江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 一 -y =1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q3 其焦点是F 1，F 2 ,则四边形F 1PF 2Q 的面积是【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到 P ，Q 坐标，求出焦点坐标，然后求解 四边形的面积.2【解答】解：双曲线匚-『=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y= 土』x ， ，Q 务-3 "5x ，则a -所以P ([,，F 1 (- 2, 0). F 2 (2, 0).则四边形F1PF2Q的面积是：=2「.■W故答案为：2二.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.2 2 r r13. (2017江苏)在平面直角坐标系xOy中，A(-12,0), B(0,6),点P在圆O: x y =50上，若PA PB < 20, 则点P的横坐标的取值范围是_________________________________ .【分析】根据题意，设P(X o，y o)，由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x o+y o+5<0,分析可得其表示表示直线2x+y+5<0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案.【解答】解：根据题意，设P (X0, y0),则有X02+y02=50,b■ 2 2"=(-12 - X0，—y0) ? ( —X0，6 - y0) = (12+X0)X0 - y。
2011-2017全国1卷分类汇编 解析几何
2011-2017全国卷分类汇编——解析几何【2011年全国】（21）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=(Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.【2012年全国】（20）（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点。
（Ⅰ）若90BFD ∠=，ABD ∆的面积为求p 的值及圆F 的方程；（Ⅱ）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值。
【2013年全国】(20)(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.【2014年全国】20. (本小题满分12分) 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.【2015年全国】（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =24x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点， （Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由。
专题05 解析几何-2017年高考数学(文)试题分项版解析(附解析)$793250
专题05 解析几何-2017年高考数学（文）试题分项版解析1.【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D 【解析】【考点】双曲线【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得)0,2(F ，结合PF 与x 轴垂直，可得3||=PF ，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．2.【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. )+∞B.C.D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a +===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e <<故选C.【考点】双曲线离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．59【答案】B 【解析】试题分析：e ==，选B ． 【考点】 椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于c b a ,,的方程或不等式，再根据c b a ,,的关系消掉b 得到c a ,的关系式，建立关于c b a ,,的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．4.【2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为B. C. D. 【答案】C【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.5.【2017课标1，文12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：当03m <<，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab≥=≥01m <≤；当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan603ab ≥=≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)⋃+∞，选A ． 【考点】椭圆【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定b a ,的关系，求解时充分借助题设条件 120=∠AMB 转化为360tan =≥ ba，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．6.【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A B C D ．13【答案】A【考点】椭圆离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7.【2017天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -=【答案】D 【解析】试题分析：由题意结合双曲线的渐近线方程可得：22202tan 60c c a bba ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==， 双曲线方程为：2213y x -=，本题选择D 选项. 学#科网 【考点】双曲线方程【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意a 、b 、c 的关系222c a b =+，否则很容易出现错误．解本题首先画图，掌握题中所给的几何关系，再结合双曲线的一些几何性质，得到,,a b c 的关系，联立方程，求得,,a b c 的值，8.【2017天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，学 科&网准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 .【答案】22(1)(1x y ++= 【解析】【考点】1.抛物线的方程；2.圆的方程.【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆，抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是0120CAF ∠=，会不会用向量的坐标表示cos CAF ∠，根据图象，可设圆心为()1,C m -，那么方程就是()()2211x y m ++-=，若能用向量的坐标表示角，即可求得m ，问题也就迎刃而解了.9.【2017北京，文10】若双曲线221y x m-=m =__________．【答案】2 【解析】试题分析：221,a b m == ，所以c a ==，解得2m = . 【考点】双曲线的方程和几何性质【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意a 、b 、c 的关系222c a b =+，否则很容易出现错误．以及当焦点在x 轴时，哪些量表示22,a b ，根据离心率的公式计算.10.【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>， 的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】2y x =± 【解析】【考点】抛物线的定义与性质、双曲线的几何性质【名师点睛】若AB 是抛物线()220y px p =>的焦点弦,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)．则(1)y 1y 2＝－p 2,x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p.(4)以AB 为直径的圆与准线相切．(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．11.【2017课标3，文14】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a = . 【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3y x a=± ，结合题意可得：5a =.学%科网【考点】双曲线渐近线【名师点睛】1.已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y by x a b a -=⇒=±2.已知渐近线y mx = 设双曲线标准方程222m x y λ-=3.双曲线焦点到渐近线距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.12.【2017江苏，8】 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ .【答案】【考点】双曲线渐近线【名师点睛】1.已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y by x a b a -=⇒=±2.已知渐近线y mx = 设双曲线标准方程222m x y λ-=3，双曲线焦点到渐近线距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.13.【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .【答案】[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上,结合限制条件x -≤≤，可得点P 横坐标的取值范围为[-.【考点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】（1）1； （2）7y x =+． 【解析】将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±从而12||AB x x -=．由题设知||2||AB MN =，即2(1)m +，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+．学&科网 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．15.【2017课标II ，文20】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 上，过M 作x轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM = (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程，（2）证明直线过定点问题，一般方法以算代证：即证，先设 P （m ，n ），则需证330m tn +-=，根据条件1OP PQ ⋅=可得2231m m tn n --+-=，而，代入即得330m tn +-=.（2）由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则，.由得2231m m tn n --+-=，又由（1）知，故330m tn +-=.所以，即.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F【考点】求轨迹方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.16.【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.【答案】（1）不会；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）设()()12,0,,0A x B x ，由AC ⊥BC 得1210x x +=；由韦达定理得122x x =-，矛盾，所以不存在（2）可设圆方程为2220x y mx Ey +++-=,因为过(0,1)，所以1E = ，令0x = 得22012y y y y +-=⇒==-或，即弦长为3.令0x =得121,2y y ==-，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为()123--=，所以所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值 解法2：设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，由122x x =-可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得122OD OC OA OB x x ===， 又1OC =，所以2OD =，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为3OC OD +=，为定值. 【考点】圆一般方程，圆弦长【名师点睛】：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：12|||AB x x =-= (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．学科#网17.【2017山东，文21】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,圆N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与圆N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.【答案】(Ⅰ)22142x y +=;(Ⅱ)EDF ∠的最小值为π2. 【解析】222(21)4240k x kx m +++-=,确定222(,)2121km m D k k -++,DN =所以2sin 2ON FDN DN∠==≥,由此可得FDN ∠的最小值为π,4EDF ∠的最小值为π2.（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ， 联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩ 得222(21)4240k x kmx m +++-=， 由0∆> 得2242m k <+ （*）且122421kmx x k +=+ ，因此122221my y k +=+ ，所以222(,)2121km mD k k -++ ， 又(0,)N m - ， 所以222222()()2121km mND m k k =-++++ 整理得：2242224(13)(21)m k k ND k ++=+ ，因为NF m =所以2422222224(31)831(21)(21)NDk k k k k NF+++==+++ 令283,3t k t =+≥故21214t k ++=所以222161611(1)2ND t t NFt t=+=++++ . 令1y t t=+ ，所以211y t '=- . 当3t ≥时，0y '>,设2EDF θ∠=， 则1sin 2NF NDθ=≥， 所以θ得最小值为6π. 从而EDF ∠的最小值为3π，此时直线l 的斜率时0. 综上所述：当0k =，(m ∈⋃时，EDF ∠取得最小值为3π.学科%网 【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决；②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．18.【2017天津，文20】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b .（I ）求椭圆的离心率；（II ）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c . （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程.【答案】（Ⅰ）12 （Ⅱ）（ⅰ）34 （ⅱ）2211612x y += 【解析】试题解析：（Ⅰ）解：设椭圆的离心率为e .由已知，可得21()22b c a c +=.又由222b ac =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=.又因为01e <<，解得12e =. 所以，椭圆的离心率为12. （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1m. 由（Ⅰ）知2a c =，可得直线AE 的方程为12x yc c+=，即220x y c +-=，与直线FP 的方程联立，可解得(22)3,22m c c x y m m -==++，即点Q 的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++. 由已知|FQ |=32c ，有222(22)33[]()()222m c c c c m m -++=++，整理得2340m m -=，所以43m =，即直线FP 的斜率为34.【考点】1.椭圆方程；2.椭圆的几何性质；3.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用,,,a b c e的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再求解过程逐步发现四边形PQNM的几何关系，从而求解面积，计算结果，本题计算量比较大，19.【2017北京，文19】已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM 的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．【答案】（Ⅰ）2214xy+=；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据条件可知2,c a a ==，以及222b a c =- ，求得椭圆方程；（Ⅱ）设(,)M m n ，则(,0),(,)D m N m n -，根据条件求直线DE 的方程，并且表示直线BN 的方程，并求两条直线的交点，根据1212EBDEBDNN BD y S S BD y ∆∆⋅⋅=⋅⋅ ，根据坐标表示面积比值. 试题解析：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>.由题意得2,a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得c =所以2221b a c =-=.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.由点M 在椭圆C 上，得2244m n -=.所以45E y n =-. 又12||||||||25BDE E S BD y BD n =⋅=⋅△，1||||2BDN S BD n =⋅△，所以BDE △与BDN △的面积之比为4:5. 【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再根据面积的几何关系，从而求解面积比值，计算结果，本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 学科*网20.【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作 直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）()77（2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F .设00(,)P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>.(第17题)当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符.当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为01y x -.又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=.由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00,77x y ==；220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解. 因此点P的坐标为.【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方程.21.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点)2321)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值． 【答案】（Ⅰ）)1,1(-；（Ⅱ）2716【解析】试题分析：（Ⅰ）由两点求斜率公式可得AP 的斜率为21-x ，由1322x -<<，得AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程，得Q 的横坐标，进而表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3)1)(1()(+--=k k k f 求解||||PQ PA ⋅的最大值．学*科网解得点Q 的横坐标是)1(23422+++-=k k k x Q ，因为|P A |=1)2x +=)1(12++k k |PQ |=1)1)(1()(1222++--=-+k k k x x k Q ，所以|P A ||PQ |=3)1)(1(+--k k令3)1)(1()(+--=k k k f ，因为2)1)(24()('+--=k k k f ，所以 f (k )在区间)21,1(-上单调递增，)1,21(上单调递减，因此当k =12时，||||PQ PA ⋅取得最大值2716． 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3)1)(1()(+--=k k k f 求解||||PQ PA ⋅的最大值．。
17年高考真题—文科数学5：解析几何
2017高考真题分类汇编：解析几何1.【2017浙江 2】椭圆22194x y +=的离心率是（ ）（A （B （C ）23 （D ）52.【2017课标I 5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是()1,3，则APF ∆的面积为（ ）（A ）1 （B ）12 （C ）2 （D ）323.【2017课标II 5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是（ ）（A ）)+∞ （B ）) （C ）( （D ）()1,24.【2017天津 5】已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）（A ）221412x y -= （B ）221124x y -= （C ）2213x y -= （D ）2213y x -= 5.【2017课标III 11】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．136.【2017课标II 12】过抛物线2:4C y x =的焦点F C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为（ ）（A （B ） （C ） （D ）7.【2017课标I 12】设,A B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足0120AMB ∠=，则m 的取值范围是（ ）（A ）(][)0,19,+∞ （B ）([)9,+∞ （C ）(][)0,14,+∞ （D ）([)4,+∞8.【2017江苏 8】 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点,P Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是__________。
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新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编解 析 几 何一、选择题【2017，5】已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ∆的面积为（ ）A ．13 B ．12 C ．23 D ．32【解法】选D ．由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ．【2017，12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1][9,)+∞U B ．(0,3][9,)+∞U C ．(0,1][4,)+∞U D ．(0,3][4,)+∞U【解法】选A ．图 1图 2解法一：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只需使0120AEB ∠≥．1．当03m <<时，如图1，03tantan 6032AEB a b m∠=≥=，解得1m ≤，故01m <≤； 2． 当3m >时，如图2，0tantan 60323AEB a m b ∠==≥9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞U ，故选A ．解法二：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只需使0120AEB ∠≥．1．当03m <<时，如图1，01cos ,cos1202EA EB ≤=-u u u r u u u r ，即12EA EB EA EB⋅≤-u u u r u u u ru u u r u u u r ，带入向量坐标，解得1m ≤，故01m <≤；2． 当3m >时，如图2，01cos ,cos1202EA EB ≤=-u u u r u u u r ，即12EA EB EA EB⋅≤-u u u r u u u ru u u r u u u r ，带入向量坐标，解得9m ≥．综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞U ，故选A ．【2016，5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12 C ．23D ．34解析：选B ． 由等面积法可得1112224bc a b ⨯=⨯⨯⨯，故12c a =，从而12c e a ==．故选B ． 【2015，5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C : y 2=8x ，的焦点重合，A ,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=( )A ．3B ．6C ．9D ．12解：选B ．抛物线的焦点为(2,0)，准线为x =-2，所以c=2，从而a=4，所以b 2=12，所以椭圆方程为2211612x y +=，将x =-2代入解得y=±3，所以|AB |=6，故选B 【2014，10】10．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A (x 0,y 0)是C 上一点，|AF |=054x ，则x 0=( )A A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解：根据抛物线的定义可知|AF |=001544x x +=，解之得x 0=1． 故选A 【2014，4】4．已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则a=( ) D A ．2 B ．26 C ．25 D ．1解：2c e a ====，解得a=1，故选D【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x± C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x 解析：选C ．∵52e =，∴52c a =，即2254c a =．∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =．∴12b a =．∵双曲线的渐近线方程为b y x a =±，∴渐近线方程为12y x =±．故选C ．【2013，8】O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF的面积为( )．A ．2B ．22C ．23D ．4 答案：C解析：利用|PF |＝242P x +=，可得x P ＝32，∴y P ＝26±．∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝23． 故选C ．【2012，4】4．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【解析】如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==，260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，又23||2a F Q c =-，所以32a c c -=，解得34c a =，因此34c e a ==，故选择C ． 【2012，10】10．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||43AB =，则C 的实轴长为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．8【解析】设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a-=，即222x y a -=（0a >），抛物线216y x =的准线方程为4x =-，联立方程2224x y a x ⎧-=⎨=-⎩，解得2216y a =-，因为||43AB =，所以222||(2||)448AB y y ===，从而212y =，所以21612a -=，24a =，2a =，因此C 的实轴长为24a =，故选择C ．【2011，4】椭圆221168x y +=的离心率为（ ） A ．13 B ．12C．3 D．2【解析】选D ．因为221168x y +=中，2216,8a b ==，所以2228c a b =-=，所以42c e a ===．【2011，9】已知直线l 过抛物线的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP △的面积为（ ）． A ．18 B ．24 C ．36 D ．48【解析】不妨设抛物线的标准方程为()220y px p =>，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为2p x =．代入22y px =得y p =±，即2AB p =，又12AB =，故6p =，所以抛物线的准线方程为3x =-，故1612362ABP S =⨯⨯=△．故选C ．二、填空题【2016，15】设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于,A B两点，若AB =C 的面积为 ．解析：4π．由题意直线即为20x y a -+=，圆的标准方程为()2222x y a a +-=+，所以圆心到直线的距离d =，所以AB===， 故2224a r +==，所以24S r =π=π．故填4π．【2015，16】已知F 是双曲线C :2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，A ，当ΔAPF 周长最小时，该三角形的面积为．解： a =1，b 2=8，⇒ c =3，∴F (3,0)．设双曲线的的左焦点为F 1，由双曲线定义知|PF |=2+|PF 1|，∴ΔAPF 的周长为|P A |+|PF |+|AF |=|P A |+|AF |+|PF 1|+2，由于|AF |是定值，只要|P A |+|PF1|最小，即A ,P ,F 1共线，∵A，F 1 (-3,0)，∴直线AF 1的方程为13x +=-，联立8x 2-y 2=8消去x 整理得y 2+y -96=0，解得y=或y =-舍去)，此时S ΔAPF =S ΔAFF 1-S ΔPFF13=⨯=．三、解答题【2017，20】设A ，B 为曲线C ：42x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且BM AM ⊥，求直线AB 的方程． 解析：第一问：【解法1】设 1122(,),(,)A x y B x y ,AB 直线的斜率为k ，又因为A,B 都在曲线C 上，所以 4/211x y = ①4/222x y = ②②-①得2221122121()()44x x x x x x y y -+--==由已知条件124x x += 所以，21211y yx x -=-即直线AB 的斜率k=1．【解法2】设 ),(),,(2211y x B y x A ,AB 直线的方程为y=kx+b,所以⎩⎨⎧=+=4/2x y b kx y整理得：,4,044212k x x b kx x =+∴=--且421=+x x 所以k=1第二问：设 00(,)M x y 所以200/4y x =① 又12y x =所以00011,2,12k x x y ==∴== 所以M （2,1），11(2,1)MA x y =--，22(2,1)MB x y =--，且AM BM ⊥，0AM BM =g 即05)()(221212121=++-++-y y y y x x x x ②，设AB 直线的方程为y x b =+，,4/2⎩⎨⎧=+=x y bx y化简得0442=--b x x ，所以2212121,24,4b y y b y y b x x =+=+-=由②得0772=--b b 所以b=7或者b=-1(舍去) 所以AB 直线的方程为y=x+7【2016，20】在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（1）求OHON；（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？请说明理由． 解析 （1）如图，由题意不妨设0t >，可知点,,M P N 的坐标分别为()0,M t ，2,2t P t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,N t t p ⎛⎫⎪⎝⎭，从而可得直线ON 的方程为y x p t =，联立方程22p x ty px y ⎧==⎪⎨⎪⎩，解得22x t p =，2y t =． 即点H 的坐标为22,2t t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而由三角形相似可知22H N OH y tON y t ===．（2）由于()0,M t ，22,2t H t p ⎛⎫⎪⎝⎭，可得直线MH 的方程为22ty t x t p-=， 整理得2220ty px t --=，联立方程222202ty y px t px--==⎧⎪⎨⎪⎩，整理得22440ty y t -+=，则2216160t t ∆=-=，从而可知MH 和C 只有一个公共点H ．【2015，20】已知过点A (0, 1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点. (Ⅰ)求k 的取值范围； (Ⅱ)u u u u r u u u rOM ON ⋅=12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解：(Ⅰ)依题可设直线l 的方程为y=kx +1，则圆心C (2,3)到的l 距离1d =<.解得4433k -<<所以k的取值范围是44(33-. (Ⅱ)将y=kx +1代入圆C 的方程整理得 (k 2+1)x 2-4(k +1)x +7=0.设M (x 1, y 1),N (x 2, y 2)，则1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++所以u u u u r u u u rOM ON ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+1)(kx 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+124(+1)8+1k k k =+=12，解得k =1=1k ，所以l 的方程为y=x +1. 故圆心在直线l 上，所以|MN |=2.【2013，21】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2， 所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝23.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得21k +＝1，解得k ＝2±. 当k ＝2时，将22y x =+代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝462-±， 所以|AB |＝21k +|x 2－x 1|＝187.当k ＝2-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝23或|AB |＝187.【2012，20】设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。