湘教版数学九年级上册 1.2.3 公式法 公开课课件
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湘教版九年级数学上册课件：一元二次方程的解法3
(2) m2 1 1 m2 0 m 0 m 0 (m 1) (m 2) 2m 1 1≠0 m 0 m2 1 0 m m 1 0 m 1 m 2 3≠0 m 1 m 0 x 2x 1 0 x 1 m 1 3x 1 0
五、小结 本节课通过配方法求解一般形式的一元二 次方程的根，推出了一元二次方程的求根 公式，并掌握利用根的判别式判断一元二 次方程根的情况
(1)x2 3x 2 0 (2)2x2 3x 5 0
❖ ❖ ax2 bx c 0(a≠0) a b c
ax2 bx c a≠0 a
ax2 bx c 0(a≠0) a b c
(1) ax2 bx c 0 b2 4ac≥0 a b c
(2) (3)
湘教版九年级数学上册 课件：一元二次方程的
解法3
2020/9/22
教学目标 1．经历推导求根公式的过程，加强推理技能 的训练． 2．会用公式法解简单系数的一元二次方程．
教学重难点 重点：求根公式的推导和公式法的应用． 难点：一元二次方程求根公式法的推导．
一、课预习 阅读课本P35－37页内容，了解本节主要内容 ．
(2) m
解析：能． (1)要使它为一元二次方程，必须满足m2＋1＝2，同时还 要满足(m＋1)≠0. (2)要使它为一元一次方程，必须满足：
解：(1) m2 1 2 m2 1 m ±1 m 1 m 1 1 1 2≠0 m 1 m 1 1 1 0(不合题意，舍去) ∴m 1 2x2 1 x 0 a2b 1c 1 b2 4ac ( 1)2 42( 1) 1 8 9
四、点点对接 例1： 2x2 3 7x 解析：用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、 c的值、再算出b2－4ac的值、最后代入求根公式求解 ．
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综上可知，我们不难发现一元二次方程ax2+ bx +c =0 (a≠0) 的根的情况可由Δ = b2- 4ac来判断:
当Δ >0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
当Δ =0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
当Δ <0时，原方程没有实数根.
要点归纳
判别式的情况 Δ>0 Δ=0 Δ< 0 Δ≥0
根．
即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
一元二次方程ax2+ bx +c =0 (a≠0)的根的情况可由Δ = b2- 4ac来判断: 当Δ >0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
当Δ =0时，原方程有两个相等的实数根，其根为 当Δ <0时，原方程没有实数根.
2.不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况:
当 b2 - 4ac＞0 时，x1=
， x2=
当 b2 - 4ac = 0 时， x1 = x2 =
当 b2 - 4ac＜0 时，不能开方(负数没有平方根)， 所以原方程没有实数根.
我们把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx +c = 0 (a≠0)的 根的判别式，记作“Δ”，即Δ = b2-4ac .
(C)只有一个实数根
(D)没有实数根
x2-x+1=0 因为Δ =b2-4ac = ( -1 )2-4×1×1
所以，=1原-4=方-3程<0没, 有实数根.
2. 不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:
解：(1)因为Δ = b2-4ac =32-4×1×( -1 ) =9+ 4 =13>0，
所以，原方程有两个不相等的实数根.
湘教版九年级数学上册2.2.2-公式法ppt课件
能否也用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0). 解: 移项，得 ax bx c，
2
方程两边都除以a 配方，得 即
b c x x ， a a
2
2 2
b c b b 2 x x . a a 2a 2a
解： 化简为一般式：x 2 2 3 x 3 0
a 1、 b -2 3、 c 3.
2 Q b2 4ac （ 2 3） 4 1 3 0，
（-2 3） 0 2 3 x 3. 2 1 2
即 ：x1 x2 3.
b b2 4ac x 2a
b b 2 4ac x 2a
b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.
b b2 4ac x 2a
( 4) 256 4 16 2 8 = 25 10 5
6 x1 2, x2 5
2 解方程：
x 3 2 3x
2
这里的a、b、c的 值是什么？
b b2 4ac x 2a 4a 2 .
2
问题：接下来能用直接开平方解吗？
∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ≥0时， 即
b x 2a b 2 4ac . 2a
特别提醒பைடு நூலகம்
x
b
b 2 4ac . 2a
一元二次方程
的求根公式
∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ＜0时，
例 2 ：解方程：9x2+12x+4=0 解：这里a=9,b=12,c=4 因而 b2-4ac=122-4×9×4=0
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0). 解: 移项，得 ax bx c，
2
方程两边都除以a 配方，得 即
b c x x ， a a
2
2 2
b c b b 2 x x . a a 2a 2a
解： 化简为一般式：x 2 2 3 x 3 0
a 1、 b -2 3、 c 3.
2 Q b2 4ac （ 2 3） 4 1 3 0，
（-2 3） 0 2 3 x 3. 2 1 2
即 ：x1 x2 3.
b b2 4ac x 2a
b b 2 4ac x 2a
b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.
b b2 4ac x 2a
( 4) 256 4 16 2 8 = 25 10 5
6 x1 2, x2 5
2 解方程：
x 3 2 3x
2
这里的a、b、c的 值是什么？
b b2 4ac x 2a 4a 2 .
2
问题：接下来能用直接开平方解吗？
∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ≥0时， 即
b x 2a b 2 4ac . 2a
特别提醒பைடு நூலகம்
x
b
b 2 4ac . 2a
一元二次方程
的求根公式
∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ＜0时，
例 2 ：解方程：9x2+12x+4=0 解：这里a=9,b=12,c=4 因而 b2-4ac=122-4×9×4=0
湘教版数学九年级上册一元二次方程根的判别式课件
b2－4ac.
知2－讲
知识点
2 一元二次方程根的类别
综上所知，我们不难发现一元二次方程a x2＋b x＋c＝0
( a ≠ 0 ) 的根的情况可由 =b2－4ac 来判断：
当＞0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1＝
, x2＝
.
2a
2a
当＝0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
b
x1＝x2＝
.
2a
当＜0时，原方程没有实数根.
知2－讲
例1
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) 3x2＋4x －3 = 0；
(2) 4x2 = 12x －9；
(3) 7y = 5 ( y2＋1 ).
解： (1) 因为=b2－4ac = 42 －4×3×(－3)
因为=b2－4ac = (－7) 2 －4×5×5
=49－100 =－51 ＜0，
所以，原方程没有实数根.
知2－讲
总 结
利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的方法：
先将一元二次方程化成一般情势 ax2＋bx＋c ＝0，
当方程中的a，b，c 是常数时，直接求出 = b2－4ac
的值， 确定方程根的情况；当方程中的a，b，c 含有
母，则应注意检验二次项系数是否为零.
3. 应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、
有两个不等的实根、有两个相等的实根）.
知3－讲
例2 【中考·凉山】关于 x 的一元二次方程 ( m－2 )x2＋
2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是( D )
A．m ≤3
B．m ＜3
知2－讲
知识点
2 一元二次方程根的类别
综上所知，我们不难发现一元二次方程a x2＋b x＋c＝0
( a ≠ 0 ) 的根的情况可由 =b2－4ac 来判断：
当＞0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1＝
, x2＝
.
2a
2a
当＝0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
b
x1＝x2＝
.
2a
当＜0时，原方程没有实数根.
知2－讲
例1
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) 3x2＋4x －3 = 0；
(2) 4x2 = 12x －9；
(3) 7y = 5 ( y2＋1 ).
解： (1) 因为=b2－4ac = 42 －4×3×(－3)
因为=b2－4ac = (－7) 2 －4×5×5
=49－100 =－51 ＜0，
所以，原方程没有实数根.
知2－讲
总 结
利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的方法：
先将一元二次方程化成一般情势 ax2＋bx＋c ＝0，
当方程中的a，b，c 是常数时，直接求出 = b2－4ac
的值， 确定方程根的情况；当方程中的a，b，c 含有
母，则应注意检验二次项系数是否为零.
3. 应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、
有两个不等的实根、有两个相等的实根）.
知3－讲
例2 【中考·凉山】关于 x 的一元二次方程 ( m－2 )x2＋
2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是( D )
A．m ≤3
B．m ＜3
2022年湘教版九上《公式法》立体课件(公开课版) (2)
15
15
5 5 _____5 _5 _ ______
24
24
你发现了什么规律?请用字母表示规律,并任意 选几个数验证你所发现的规律.
探究二
第一章 二次根式复习
比较 6 1和 4 7 1的3大小
解：∵ (6)1)426284 14 2 0284 (71)322 029 1
又 6 140 7 130
614 713
w3.计算: b2-4ac 的值;
25
10
w4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
5
x1
56;x2
2.
w5.定根:写出原方 程的根.
例题讲解
w 例2、用公式法解方程 4x2+4x+10=1-8x
解 :整 ,得 理 :4 x 2 1x 2 9 0
a4 ,b 1,c 29 公式法
b 2 4 a 1 c2 2 4 4 9 0 .
a a （a ≥0 ， b＞0）
b
b
例4 化简下列各式：
第一章 二次根式复习
(1) (6)2 ;
(2)( ) 5 ;
8
(5) 45 10 811 75 ; 3
( 6 )2 ( 3 ) 2 (3 2 )3 (2 ) ;
第一章 二次根式复习
(7) a2b22a(b ab);
值为： （ ） A 、0 B、1 C、 －1 D、 2
3、求下列二次根式中字母x的取值范围：
⑴ 2x 1 ⑵ x2 3 ⑶ 2x 2x
⑷2
x5
⑸ x1 x 1
第一章 二次根式复习
4.若2<x<5化简 (x1)2 (x5)2
4 9
18 6
湘教版九年级数学上册课件ppt《一元二次方程的解法-公式法》
X=
=
Х1=
Х2=
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（2）x2+2x+2=0
解： a=1，b=2，c=2 ∵b²-4ac=2²-4× 1× 2=-4<0
∴此方程无实数解
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（3）2x2-7x=0
解：a=2，b=-7，c=0 b²-4ac=（-7）²-4×2×0=49>0
Х=
五、总结提高
湖南教育出版社九年级 | 上册
1、解一元二次方程有通法——公式法 2、解一元二次方程各式各法湖南教育出版社九 Nhomakorabea级 | 上册
作业布置
课本P．18练习，第(1)~(4)题。
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板书设计
公式法
1、公式成立的条件：a≠0，b2-4ac≥0.
2、公式法解一元二次方程的基本步骤.
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
2
b
b 4ac
x 2a
4a 2
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
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一元二次方程的求根 公式
b b2 4ac x
2a
3、公式法的特点
(a≠0, b2-4ac≥0)
你有什么不同的看法或补充？
例1.用公式法解方程
（1）3x2+5x-1=0
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（2）x2+2x+2=0
2.3一元二次方程根的判别式++课件 2024—2025学年湘教版数学九年级上册
板书设计
2.3一元二次方程根的判别式
根的判别式∆：
∆>0：
∆=0：
∆<0：
习题讲解书写部分
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.对于一元二次方程 2 + + = 0 ≠ 0 , 下列说法：①当 =
+ 时，则方程 2 + + = 0一定有一根为 = −1；②若 > 0
B． 2 + 3 + 6 = 0
C． 2 + 8 + 16 = 0
D．( − 1)2 = 9
3.已知关于x 的一元二次方程 2 − = 2 有两个不相等的实数根，
则m的取值范围是（ A ）
A．m＞－1 B．m＜－2 C．m ≥0 D．m＜0
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.已知关于 的方程 2 + (1 − ) − 1 = 0 ，下列说法正确的是( C )
2 − 4 − 2 + 4 = 0
( − 1) 2 − 4 + 4 = 0
∵方程有两个不相等的实数根，
∴k−1≠0，即k≠1，且△＞0，即（-4）2−4×（k−1）×4＞0，
解得k＜2，则k＜2且k≠1，
∴k＜2且k≠1；
作业布置
【综合拓展类作业】
已知关于x的方程 ( − 4) − 2 + 4 = 0
新知导入
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
1.二次项系数化为1：左右俩边同时除以二次项系数;
2.移项：将常数项移至右边，含未知数的项移至左边;
3.配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方;
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4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
回顾与复习
用配方法解方程
2
9 17 x . 4 16 9 17 x . 4 4 9 17 x . 4 4 9 17 9 17 x1 ; x2 . 4 4
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2.2 一元二次方程的解法
2.2.2 公式法
回顾与复习
配方法
配方法解方程的步骤是怎样的呢?
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
0
2 2
3
3 ,
即：x1= x2=
3
例 3 解方程：（x-2)(1-3x)=6
解：去括号：x-2-3x2+6x=6 化为一般式：-3x2+7x-8=0 ∵a= - 3, b= 7, c= - 8.
b2 - 4ac=72 - 4×(-3)×(-8)=49 - 96 = - 47 < 0,
∴原方程没有实数根.
用公式法解方程 2x2-9x=-8
a 2, b 9, c 8.
2
b 2 4 ac 9 4 2 8 =17 0
b b 2 4ac x 2a 9 17 2 2
4.代入:把有关数值代入公式计算；
（结果能开方和化简的要彻底）
C
b b 2 4 ac . x 2 2a 4a
2
3.配方:方程两边都加上一次项系 数一半的平方;
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，
.
23
.
例11 9x2+12x+4=0.
从例11看到，当b2-4ac = 0时，一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0) 有两个相等的实数解(或者说有 两个相等的实数根).
此例中的方程可以直接用因式分解法求解吗？ 试着做一做．
动脑筋
x
b 2a
2
b24a42ac
0.
观察第16页中的方程 ，当b2-4ac <0时， 一元二次方程ax2+bc+c=0(a≠0)有实数解吗？
本节内容
1.2 解一元二次方程的算法
——1.2.3 公式法
探究
例6 （1）x2+10x+9=0；（2）x2-12x-13=0. 例7 x2+ x -1=0. 例8 2x2 -4x -6 = 0.
例9
3x2
+9x
+
3 4
=
0.
从例6至例9的解法，以及从解一元二次方程的
算法框图看到：
我们对于每一个具体的一元二次方程，都重复 使用了同一些计算步骤；
a=2，b=4，c=-5， b2-4ac =16+40=56，
因此
x
3 56 22
32 4
14
.
从而
x1=
-3+2 4
14，x2=
-3-2 4
14.
3. k 取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的 实数根?求这时方程的根.
答：k=±4， 当 k=4 时，x=2； 当 k=-4 时，x=-2.
例2 下列方程中，没有实数根的是（ D ）.
A.
x -1 2x
=
1
B. y2+1=2y
C. x2-x-6=0
D. 2x2 - 2x+2=0
解 A为分式方程，有解. B中b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0，有实数根. C中b2-4ac=12-4×(-6)×1=25>0，有实数根. D中b2-4ac=(- 2 )2-4× 2×2=2- 8 2 <0，无实数根. 故应选择D.
试讨论方程x2+x+1=0有没有实数解.
x
b 2a
2
b24a42ac
0.
当b2-4ac<0时，ax2+bx+c 恒
大于0，故无实数解.
∵ x2+x+1=0 中b2-4ac <0，
∴ x2+x+1=0无实数解.
结论
由上述可知，根据b2-4ac的值的符号，可 以判定一元二次方程 ax2+bx+c = 0 的根的情况， 所以我们把 b2-4ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c = 0 的根的判别式.
所以，原方程有两个相等的实数根.
2. 解下列方程：
（1）x2-3x+2=0；
（2）2x2 +5x+2 =0 ；
（3）3x2=4x-1；
（4）x2-3x+1=0；
（5）4x2-12x+9=0；
（6）x2-
3
x-
1 4
=0；
（7）x2+4x+8=4x+11； （8）x(2x-4)= 5-8x.
解 （1） x2-3x+2=0
结论
综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的 情况可由b2-4ac来判定：
当b2-4ac > 0时，有两个不相等的实数根，
其根为 x1 b
b2 4ac 2a
,
x2
b
b2 4ac 2a
；
当b2-4ac = 0时，有两个相等的实数根，
其根为
x1
x2
b 2a
；
当b2-4ac < 0时，没有实数根.
x2
b a
x
c a
0.
把方程的左边配方，得
即
x
b 2a
2
x2
b a
x
b 2a
b24a42ac 0.
2
b 2a
2
c a
0.
当b2-4ac≥0时，方程 可以写成
b
x
2a
2
b2 4ac 2a
2
0.
把方程左边因式分解，得
x
b 2a
b2 4ac 2a
x
b 2a
b2 4ac 2a
5
.
x1=
3+ 2
5
，x2=
3- 5 . 2
解 （5） 4x2-12x+9=0
a=4，b=-12，c=9， b2-4ac =(-12)2-4×4×9=144-144=0，
因此
x
12 24
3 2
.
从而
x1=x2=
3 2
.
解
（6） x2-
3x-
1 4
=0
a=1，b=- 3 ，c= b2-4ac =3+1=4，
练习
1. 不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）x2+3x-1=0； （2）x2 -6x+9 =0 .
（3）2y2-3y+4=0； （4）x2+5= 2 5x .
解 （1） x2+3x-1=0
因为 b2-4ac = 9-4×1×(-1) = 13 > 0，
所以，原方程有两个不相等的实数根.
解 （2） x2 -6x+9 =0
a=1，b=-3，c=2，
b2-4ac =(-3)2-4×1×2=9-8=1，
因此 从而
x
3 1 21
31 2
.
x1=2，x2=1.
解 （2） 2x2 +5x+2 =0
a=2，b=5，c=2， b2-4ac =52-4×2×2=25-16=9，
因此
x
5 9 22
5 3 4
.
从而 x1= 12 ，x2= -2 .
例12 不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）3x2+4x-3=0； （2）7y=5(y2+1)； （3）4x2=12x-9.
解 （1） 3x2+4x-3=0
因为 b2-4ac = 42-4×3×(-3) = 16+36 =52 > 0，
所以，原方程有两个不相等的实数根.
解 （2） 7y=5(y2+1)
这启发我们思考：能不能对一般形式的一元二 次方程ax2+bx+c = 0 (a≠0)使用这些计算步骤，求出 解 x 的公式.
这样做了以后，我们就可以运用这个公式来求
每一个具体的一元二次方程的解，取得事半功倍的
效果．
解一元二次方程：ax2+bx+c = 0(a≠0)， ⑩
由于a≠0，⑩的两边同除以a，得
-1 4
，
因此 从而
x
3 4 21
32 2
.
x1=
3+2 2
，x2=
3-2 . 2
解 （7） x2+4x+8=4x+11
a=1，b=0，c=-3， b2-4ac = 0-4×1×(-3)=12，
因此
x
12 21
2 2
3
.
从而 x1= 3 ，x2= - 3 .
解 （8） x(2x-4)= 5-8x
中考 试题
例1 用公式法解方程 3x2-6x+1= 0.
解 3x2-6x+1=0，这里a=3，b=-6,c=1.
∵△=b2-4ac=36-12=24>0,
∴ x = b±
b2 2a
+4ac
=
6± 2×
24 3
=
3±
3
6
即
x1 =
3+ 3
6
,
x2
=
33
6(或x1
=1+
6, 3
x2
=1-
6）. 3
中考 试题
解 （3） 3x2=4x-1
a=3，b=-4，c=1， b2-4ac =(-4)2-4×3×1=16-12=4，
因此 从而
x
4 4 23
4 6
2
.
x1=1，x2=
1 3
.
解 （4） x2-3x+1=0
a=1，b=-3，c=1， b2-4ac =9-4×1×1=9-4=5，
因此 从而
x
3 5 21
3 2
移项，得 5y2-7y+5 = 0. 因为 b2-4ac = (-7)2-4×5×5
= 49-100 = -51 < 0， 所以，原方程没有实数根.
解 （3） 4x2 = 12x -9
移项，得 4x2-12x+9=0. 因为 b2-4ac = (-12)2-4×4×9
= 144-144 = 0 ， 所以，原方程有两个相等的实数根.
0.
由此得出
xb
b2 4ac 2a
0
或
xb
b2 2a
4ac
0.
解得
x1 b
b2 2a
4ac
,Leabharlann x2 bb2 4ac . 2a
结论
于是我们得到了一元二次方程ax2+bc+c = 0(a≠0)，当 b2-4ac≥0 时求解x的公式：
x b
b2 4ac 2a
(b2 4ac≥0).
通常把这个公式叫作一元二次方程的求根公式．
a= 1 ，b= -2 ，c= -1 ，